关于群同态的Ulam稳定性问题是由Ulam于1940年首先提出的^[22]. Hyers^[5]在Banach空间上对可加映射的Ulam稳定性问题给出了部分回答. 后来, Rassias^[18]通过研究无界的Cauchy差给出了一个更一般的结论, 该结论推广了Hyers的结论. 从此, 各种类型函数方程的Ulam稳定性问题得到了广泛的关注和系统深入的研究.

Obloza第一个研究了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[14, 15]. 从此开始, 很多学者把关注点放在了微分方程的Hyers-Ulam稳定性的研究上, 得到了很多有意义的重要结果. 这方面的研究可参见文献[1, 3, 4, 7-9, 13, 17, 20, 23, 25-33].

设$ X $是一个赋范空间, $ I $是一个开区间. 对某一个$ \varepsilon\geq 0 $, 如果对任意的满足微分不等式

$ \|a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) + h(x)\| \leq \varepsilon $

的函数$ f : I \rightarrow X $, 这里$ x\in I $, 都存在微分方程

$ a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) + h(x) = 0 $

的一个解$ f_0 : I \rightarrow X $使得对任何的$ x\in I $都有$ \|f(x)-f_0(x)\|\leq K(\varepsilon) $, 这里$ K(\varepsilon) $仅仅是$ \varepsilon $的表达式, 那么, 我们称该微分方程具有Hyers-Ulam稳定性.

如果用$ \phi(x) $代替$ \varepsilon $, 用$ \Phi(x) $代替$ K(\varepsilon) $, 上面的陈述也是成立的, 那么我们称该微分方程具有Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 这里$ \phi, \Phi: I\rightarrow [0, \infty) $都是不明确依赖于$ f $和$ f_0 $的函数.

以上定义也可以参考文献[4].

分数阶微分方程已经被证明是在科学和工程的各个领域中模拟很多现象的最有价值和最有用的工具之一. 例如在粘弹性理论、电化学、电磁学、经济学、最优控制等方面的应用. 分数阶导数、分数阶微分方程和系统能刻画很多材料的记忆特性和遗传特性, 这是分数阶理论的最大优点. 因此, 分数阶微分方程和系统理论得到了广泛的关注. 一些应用细节和例子参见文献[11, 16, 21].

近些年来, 很多学者开始研究一些分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性和解的性态. 在文献[10]中, 应用矩阵方法, Jung讨论了一个带有常系数的一阶线性微分系统的Hyers-Ulam稳定性. 在文献[2] 中, Gejji和Babakhani研究了一类分数阶微分系统初始值问题的存在性和惟一性问题. 在文献[29] 中, 通过应用加权空间方法, Wang和Xu研究了一类带有右侧Riemann-Liouville分数阶导数的非线性微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题. 应用Laplace变换方法, Rezaei, Jung和Rassias讨论了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[19]. Wang和Li^[24]应用Laplace变换方法研究了一类线性分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性. Shen和Chen^[20]通过Laplace变换方法讨论了带有常系数的一类线性分数阶微分方程的Ulam稳定性问题, 他们得到了一些新颖的结果. Wang和Xu^{[26, 28, 30, 33]}也应用Laplace变换方法研究了一些线性微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题.

然而, 尽我们所知, 对于含有一个函数关于另一个函数的分数阶导数(即广义分数阶导数) 的微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题, 还没有相关的研究工作. 这类问题的困难在于对于广义分数阶导数没有找到更一般的积分变换工具来处理相应的问题. 最近, Jarad和Abdeljawad^[6]针对一些广义分数阶微分方程引进了广义的Laplace变换, 并且深入研究了这类变换的性质. 这一工作为我们前面的问题带来了新的思想和工具.

在本文中, 通过应用广义的Laplace变换方法, 研究了以下分数阶线性微分系统

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t) = A\vec{y}(t)+\vec{f}(t), \ 0<\alpha<1, \ t\geq a, \\ \vec{y}(a^+) = \vec{c} \end{array} \right. \end{equation} $

和

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t) = A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)+\vec{h}(t), \ 0<\beta<\alpha<1, \ t\geq a, \\ \vec{y}(a^+) = \vec{c} \end{array} \right. \end{equation} $

的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 这里$ ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(\cdot) $和$ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(\cdot) $都是广义的Caputo分数阶导数算子, $ A $是$ n\times n $常数矩阵, $ \vec{f}(t) $和$ \vec{h}(t) $都是$ n $维连续向量值函数, 它们通常被称为强迫项. 我们证明了广义分数阶微分系统(1.1) 和(1.2) 是Hyers-Ulam-Rassias稳定性的.

在这一部分, 介绍一些基本的定义和引理. 在证明主要结论时会用到这些定义和引理. 设$ g(t) $是区间$ [a, \infty) $上严格增加的正函数, 它的导数$ g'(t) $在$ (a, \infty) $上是连续的.

定义2.1   设$ 0<\alpha<1 $, 在区间$ [a, \infty) $上一个向量值函数$ \vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $关于函数$ g(t) $的$ \alpha $阶$ \rm Riemann-Liouville $分数阶积分定义为

$ \begin{eqnarray*} _aI_g^\alpha\vec{v}(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(s))^{\alpha-1}\vec{v}(s)g'(s){\mathrm d}s. \end{eqnarray*} $

定义2.2  设$ 0<\alpha<1 $, 在区间$ [a, \infty) $上一个向量值函数$ \vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $关于函数$ g(t) $的$ \alpha $阶$ \rm Riemann-Liouville $分数阶导数定义为

$ \begin{eqnarray*} _aD_g^\alpha\vec{v}(t) & = & \frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left(_aI_g^{1-\alpha}\vec{v}\right)(t)\nonumber\\ & = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\int_a^t(g(t)-g(s))^{-\alpha}\vec{v}(s)g'(s){\mathrm d}s. \end{eqnarray*} $

定义2.3   设$ 0<\alpha<1 $, 在区间$ [a, \infty) $上一个向量值函数$ \vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $关于函数$ g(t) $的$ \alpha $阶$ \rm Caputo $分数阶导数定义为

$ \begin{eqnarray*} ^{C}_{a}D_g^\alpha\vec{v}(t) = {_{a}D_g^\alpha}[\vec{v}(t)-\vec{v}(a^+)]. \end{eqnarray*} $

注2.1   当$ \vec{v}\in \overrightarrow{AC}[a, b] $时, 有

$ {}^{C}_{a}D_g^\alpha\vec{v}(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(s))^{-\alpha}\vec{v}^{[1]}(s)g'(s){\mathrm d}s, $

这里$ \vec{v}^{[1]}(s) = \frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\vec{v}(s). $

定义2.4   Mittag-Leffler函数$ E_{\alpha, \beta}(z) $的定义是

$ E_{\alpha, \beta}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}\ \ \ (z\in {\Bbb C};\ \ \Re(\beta)>0, \ \ \Re(\alpha)>0). $

当$ \alpha = \beta = 1 $, 有$ E_{1, 1}(z) = e^z $. 关于该函数更详细的性质可参见文献[11]. 此外, $ \alpha $ -指数函数的定义是

$ e_\alpha^{\lambda z}: = z^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}(\lambda z^\alpha), $

这里$ z\in{\Bbb C}\backslash \{0\}, {\mathfrak R}(\alpha)>0, $$ \lambda\in{\Bbb C}, $$ {\Bbb C} $表示复平面.

下面的两个定义类似于参考文献[6] 中的定义3.1和定义3.3, 它们是针对向量值函数情况的推广.

定义2.5   设$ \vec{v}(t) $是$ n $维向量值函数. 向量值函数$ \vec{v}(t) $关于函数$ g(t) $的广义$ \rm Laplace $变换的定义是

$ {\cal L}_g\{\vec{v}(t)\}(s): = \int_a^\infty e^{-s(g(t)-g(a))}\vec{v}(t)g'(t){\mathrm d}t. $

定义2.6   区间$ [a, \infty) $上的向量值函数$ \vec{v} $称为$ g(t) $ -指数阶的, 如果对任何的$ t\geq T $, 它满足以下形式的不定式

$ \|\vec{v}(t)\|\leq Me^{cg(t)}, $

这里$ M $, $ c $和$ T $都是实的非负常数.

下面的定义和结果都来自文献[6], 这些定义和引理也适用于向量值函数的情况. 在本文中, 将把这些结果应用在相应的向量值函数上, 从而证明关于分数阶微分系统的主要结论.

定义2.7^[6]   设函数$ f $和$ h $在每个区间$ [a, T] $上是分段连续的且都是指数阶的. 函数$ f $和$ h $的广义卷积定义为

$ (f\ast_gh)(t) = \int_a^tf(\tau)h\left( g^{-1}(g(t)+g(a)-g(\tau))\right)g'(\tau){\mathrm d}\tau. $

注意, 两个函数的广义卷积是可交换的.

引理2.1^[6]    设函数$ f $和$ h $在每个区间$ [a, T] $上是分段连续的且都是指数阶的, 那么

$ f\ast_gh = h\ast_gf. $

引理2.2^[6]   设$ \alpha>0 $, $ f\in AC_\gamma^n[a, b] $且$ f^{[k]}\ (k = 0, 1, \cdots , n) $都是$ g(t) $ -指数阶的. 那么

$ {\cal L}_g \left\{\left(^{C}_{a}D_g^\alpha f\right)(t)\right\}(s) = s^\alpha\left[{\cal L}_g\{f(t)\}-\sum\limits_{k = 0}^{n-1}s^{-k-1}(f^{[k]})(a^+) \right]. $

注2.2   当$ n = 1 $时, 有

$ {\cal L}_g \left\{\left(^{C}_{a}D_g^\alpha f\right)(t)\right\}(s) = s^\alpha\left[{\cal L}_g\{f(t)\}-s^{-1}f(a^+) \right]. $

引理2.3   设$ {\Bbb C} $是复平面, 对任何的$ \alpha>0, \beta>0 $和矩阵$ A\in {\Bbb C}^{n\times n} $, 若$ {\mathfrak R}(s)>\|A\|^{\frac{1}{\alpha}} $, 有

$ {\cal L}_g\{(g(t)-g(a))^{\beta-1}E_{\alpha, \beta}(A (g(t)-g(a))^\alpha)\} = s^{\alpha-\beta}(s^\alpha I-A)^{-1} $

成立, 这里$ {\mathfrak R}(s) $表示复数$ s $的实部.

引理2.3的证明类似于参考文献[6] 中的引理4.2的证明.

在参考文献[12] 中, 作者得到了以下结果, 并且用该结果和逆Laplace变换得到了相应分数阶微分系统的解.

引理2.4   假设系统

$ \left\{ \begin{array}{l} ^C_0D_t^\alpha\vec{x}(t) = A\vec{x}(t)+\vec{f}(t), \ 0<\alpha<1, \ t\geq 0, \\ \nonumber \vec{x}(0) = \vec{\eta} \end{array} \right. $

有惟一的连续解$ \vec{x}(t) $, 如果$ \vec{f}(t) $在$ [0, \infty) $上是连续的并且指数有界的, 那么$ \vec{x}(t) $和它的$ \rm Caputo $导数$ ^C_0D_t^\alpha\vec{x}(t) $都是指数有界的, 于是它们的$ \rm Laplace $变换都存在.

对于广义的分数阶导数和广义的Laplace变换, 以上结果也是成立的. 在下文中, 假定在广义分数阶系统(1.1) 和(1.2) 中, $ \vec{f}(t) $和$ \vec{h}(t) $都是$ g(t) $ -指数阶的.

在这一部分, 我们应用广义的Laplace变换方法来证明广义分数阶系统(1.1) 是Hyers-Ulam-Rassias稳定的.

定理3.1   设$ A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} ) $, $ 0<\alpha<1 $, 且$ \vec{f}(t) $是$ g(t) $ -指数阶的. 如果向量值函数$ \vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $对任何的$ t\in[a, +\infty) $和某个$ \varepsilon>0 $满足不等式

(3.1) $ \begin{equation} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\|\leq\varepsilon, \end{equation} $

那么存在广义分数阶系统(1.1) 的一个解$ \vec{y}^\ast(t) $使得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^\alpha\right). \end{eqnarray*} $

证   设$ \vec{Z}(t) = \ ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t) $, 应用引理2.2, 可得

(3.2) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\} \\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\} \\ & = &\left(s^\alpha I-A\right){\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}, \end{eqnarray} $

这里$ I $是单位矩阵. 由式(3.2), 可得到

(3.3) $ \begin{equation} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\} = \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\left\{{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}+s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\right\}. \end{equation} $

取

(3.4) $ \begin{equation} \vec{y}^\ast(t) = \int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}\vec{f}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau+\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}A\vec{c}g'(\tau){\mathrm d}\tau+\vec{c}. \end{equation} $

由广义Laplace变换的定义和性质, 可得

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}\vec{f}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}\\ &\quad& +{\cal L}_g\left\{\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}A\vec{c}g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\nonumber\\ & = & {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{f}(t)\right\}+ {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_gA\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\nonumber\\ & = & {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_g\vec{f}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&+ {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_gA\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}. \end{eqnarray*} $

应用上式的结果、广义Laplace变换的卷积性质和引理2.3, 得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\\ &\quad&+ {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\right\}{\cal L}_g\left\{A\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\\ & = & (s^\alpha I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+(s^\alpha I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{A\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\{\vec{c}\} \\ & = &\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}+\frac{1}{s}\vec{c}. \end{eqnarray} $

由引理2.4、引理2.2和式(3.5), 可得到

$ \begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = & s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s)-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s) \nonumber\\ & = & (s^\alpha I-A){\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s)-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+) \nonumber\\ & = & (s^\alpha I-A)\left[\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}+\frac{1}{s}\vec{c}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+). \nonumber \end{eqnarray*} $

由上式的结果, 得

(3.6) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\frac{1}{s}A\vec{c}+\left(s^\alpha I-A\right)\frac{1}{s}\vec{c}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\\ & = & {\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

由于$ {\cal L}_g $是1-1映射, 这就证明了$ \vec{y}^\ast(t) $是分数阶系统(1.1) 的一个解. 由式(3.3) 和式(3.5), 可得到

(3.7) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{y}^{\ast}(t)\right\} \\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\left\{{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}+s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\right\}\\ &\quad&-\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}-\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}-\frac{1}{s}\vec{c} \\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

应用广义卷积的性质和引理2.3, 得

(3.8) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

再由式(3.7) 和式(3.8), 可得到

(3.9) $ \begin{equation} \vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t) = e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t). \end{equation} $

下面, 我们来估计式(3.9) 的范数. 由广义卷积的定义, 得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\| & = & \left\|e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t)\right\| \nonumber\\ & = &\left\|(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_g\vec{Z}(t)\right\|\nonumber\\ &\leq&\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^\alpha\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|.\nonumber \end{eqnarray*} $

应用积分的不等式性质, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^\alpha\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|\left|g'(\tau)\right|{\mathrm d}\tau.\nonumber \end{eqnarray*} $

由条件(3.1) 和简单的计算得到

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|\left|g'(\tau)\right|{\mathrm d}\tau\nonumber\\ &\leq&\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}g'(\tau){\mathrm d}\tau\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}{\mathrm d}g(\tau)\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\left[-\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}{\mathrm d}(g(t)-g(\tau))\right].\nonumber \end{eqnarray*} $

应用以上式子的结果和简单计算可得到

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\| &\leq&\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k(g(t)-g(a))^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k+\alpha+1)}\nonumber\\ & = &\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^\alpha\right). \end{eqnarray*} $

定理3.1证毕.

推论3.1   设$ A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} ) $, $ 0<\alpha<1 $, 且$ \vec{f}(t) $是$ g(t) $ -指数阶的. 如果对任何的$ t\in [a, +\infty) $向量值函数$ \vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $满足不等式

$ \begin{eqnarray*} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\|\leq F(t), \end{eqnarray*} $

这里数量值函数$ F(t)\geq 0 $, 那么存在分数阶系统(1.1) 的一个解$ \vec{y}^\ast(t) $使得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}F(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau. \end{eqnarray*} $

证   应用定理3.1的结论可证明该推论.

下面我们举一个例子, 来说明一下我们的主要结论.

例3.1   考虑广义分数阶系统

(3.10) $ \begin{equation} ^C_aD_g^{\frac{3}{7}}\vec{y}(t) = A\vec{y}(t)+\vec{l}(t), \end{equation} $

这里$ g(t) = t, a = 0 $, 初始值

$ \vec{c} = \left(\begin{array}{cc}1\\1\\1\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\\y'''(t)\end{array}\right), {\quad} A = \left(\begin{array}{ccc}1 &\ 0\ &3\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}\right), $

并且

$ \vec{l}(t) = \left(\begin{array}{cc}( { } 3^{\frac{3}{7}}-1)e^{3t}-3e^t+\frac{1}{10000}\sin^3t\\ { } e^{3t}+(2^{\frac{3}{7}}-2)e^{2t}+\frac{1}{20000}\cos^2t \\ { } -e^{2t}+2e^{t}+\frac{1}{30000}\sin t\end{array}\right). $

对于$ \varepsilon = \frac{1}{10000} $, 容易得到向量值函数

$ \vec{y}_1(t) = \left(\begin{array}{cc}e^{3t}\\e^{2t}\\ e^{t}\end{array}\right) $

满足

$ \left\|^C_aD_g^{\frac{3}{7}}\vec{y}_1(t)-A\vec{y}_1(t)-\vec{l}(t)\right\|<\frac{1}{10000}, $

并且满足初始条件

$ \vec{y}_1(0^+) = \left(\begin{array}{cc}1\\1\\1\end{array}\right). $

由式(3.4) 和分数阶系统(3.10) 的初始值, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$ \vec{y}^\ast(t) = \int_0^te_{\frac{3}{7}}^{A(t-\tau)}\vec{l}(\tau){\mathrm d}\tau+\int_0^te_{\frac{3}{7}}^{A(t-\tau)}A\vec{c}{\mathrm d}\tau+\vec{c}. $

应用定理3.1, $ \vec{y}_1(t) $的控制函数是

$ \frac{1}{10000} (t-0)^{\frac{3}{7}}E_{\frac{3}{7}, \frac{10}{7}}\left(9 (t-0)^{\frac{3}{7}}\right), $

于是

$ \|\vec{y}_1(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\frac{1}{10000} t^{\frac{3}{7}}E_{\frac{3}{7}, \frac{10}{7}}\left(9 t^{\frac{3}{7}}\right). $

因此, 可以估计逼近解$ \vec{y}_1(t) $的误差.

这一部分, 我们应用广义Laplace变换方法研究广义分数阶系统(1.2) 的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 并给出相关的一些例子.

定理4.1   设$ A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} ) $, $ 0<\beta<\alpha<1 $, 且$ \vec{h}(t) $是$ g(t) $ -指数阶的. 如果对$ t\in[a, +\infty) $和某个$ \varepsilon>0 $向量值函数$ \vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $满足不等式

(4.1) $ \begin{equation} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\|\leq\varepsilon, \end{equation} $

那么存在广义分数阶系统(1.2) 的一个解$ \vec{y}^\ast(t) $使得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha-\beta, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right). \end{eqnarray*} $

证   为了证明的方便, 设$ \vec{Z}(t) = \ ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t) $, 这里$ t>a, $由引理2.2, 可得

(4.2) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\} \\ & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)\right\}-A{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\} \\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\left\{s^\beta I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\} \\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right){\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}, \end{eqnarray} $

这里$ I $是单位矩阵. 由式(4.2), 得到

(4.3) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}& = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

取

(4.4) $ \begin{equation} \vec{y}^\ast(t) = y_a(t)\vec{y}(a^+)+\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau, \end{equation} $

这里

(4.5) $ \begin{equation} y_a(t) = E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})-A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}). \end{equation} $

由式(4.4)、式(4.5) 和卷积的Laplace变换性质得

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}_g\{\vec{y}^\ast(t)\} & = &{\cal L}_g\Bigg{\{}y_a(t)\vec{y}(a^+)+\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\Bigg{\}}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\Big{\{}E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-{\cal L}_g\Big{\{}A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\Big{\{}E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-A{\cal L}_g\Big{\{}(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}.\nonumber \end{eqnarray*} $

应用上式和引理2.3得到

(4.6) $ \begin{eqnarray} {\cal L}_g\{\vec{y}^\ast(t)\} & = &s^{\alpha-\beta-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)-As^{\alpha-\beta-(\alpha-\beta+1)}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+) \\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\\ & = &s^{\alpha-\beta-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)-As^{-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)\\ &\quad&+s^{(\alpha-\beta)-\alpha}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\\ & = &\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]. \end{eqnarray} $

由引理2.2和式(4.6), 得到

$ \begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)\right\}-A{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\left\{s^\beta I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}-s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\right\}\nonumber\\ & = &s^\alpha I\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-A\Big\{s^\beta I\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right] -s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\Big\}\nonumber\\ & = &s^\alpha\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\\ && -As^\beta\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right] +As^{\beta-1}\vec{y}(a^+). \end{eqnarray*} $

应用上式结果, 进一步计算可得

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta\right)\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &s^\beta\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &s^\beta\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

因此, $ \vec{y}^\ast(t) $是分数阶系统(1.2) 的一个解. 应用式(4.3) 和式(4.6), 得到

$ \begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber \\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\nonumber\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-\beta} I-A\right)^{-1}\cdot s^{-\beta}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right].\nonumber \end{eqnarray*} $

由上式结果和简单计算可得

(4.8) $ \begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ &\quad&-\left(s^\alpha I-As^\beta\right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

另外, 由卷积的性质和引理2.3可得到

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t)\right\}\\ & = &{\cal L}_g\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = &s^{-\beta}(s^{\alpha-\beta}I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = &(s^\alpha I-As^\beta)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray} $

由式(4.8) 和式(4.9), 得到

(4.10) $ \begin{eqnarray} \vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t) = \left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t). \end{eqnarray} $

为了进一步得到要证明的结果, 下面我们来估计式(4.10) 的范数. 由式(4.10)、卷积的定义和Mittag-Leffler函数的定义, 可得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| & = & \left\|\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t)\right\| \nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\sum\limits_{k = 0}^\infty \int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|.\nonumber \end{eqnarray*} $

应用上式的结果和积分的不等式性质, 得到

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\left\|\int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}g'(\tau)}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|{\mathrm d}\tau.\nonumber \end{eqnarray*} $

由上式结果和条件(4.11), 可得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}g'(\tau){\mathrm d}\tau\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha](\alpha k-\beta k+\alpha)}(g(t)-g(a))^{\alpha k-\beta k+\alpha}\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha+1]}(g(t)-g(a))^{\alpha k-\beta k+\alpha}.\nonumber \end{eqnarray*} $

应用上面各式的结果和简单计算, 得到

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha+1]}\nonumber\\ & = &\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha-\beta, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right). \end{eqnarray*} $

这样就得到了要证明的结论, 定理4.1证毕.

推论4.1   设$ A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} ) $, $ 0<\beta<\alpha<1 $, 且$ \vec{h}(t) $是$ g(t) $ -指数阶的. 如果对任何的$ t>a $和某个数量值函数$ G(t)\geq 0 $向量值函数$ \vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $满足不等式

$ \begin{eqnarray*} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\|\leq G(t), \end{eqnarray*} $

那么存在广义分数阶系统(1.2) 的一个解$ \vec{y}^\ast(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n $使得

$ \begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma\left[(\alpha-\beta) k+\alpha\right]}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}G(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau. \end{eqnarray*} $

证   应用定理4.1, 容易证明这个结果.

接下来, 我们通过两个广义分数阶微分系统的例子来说明得到的主要结果.

例4.1   考虑下面的广义分数阶系统

(4.11) $ \begin{eqnarray} ^C_aD_g^{\frac{1}{3}}\vec{y}(t) = A\ ^C_aD_g^{\frac{1}{5}}\vec{y}(t)+\vec{h}(t), \end{eqnarray} $

这里$ a = 1, \ g(t) = \log t, \ \log (\cdot) = \log_e(\cdot) $, 初始值

$ \vec{y}(1^+) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\end{array}\right), {\quad} A = \left(\begin{array}{cc}0 & 2\\-1 & 0\end{array}\right), $

强迫项是

$ \vec{h}(t) = \left(\begin{array}{cc} { } \frac{2}{\Gamma(\frac{8}{3})}\left(\log t\right)^{\frac{5}{3}} -\frac{2}{\Gamma(\frac{9}{5})}\left(\log t\right)^{\frac{4}{5}}+\frac{1}{3000}\cos^2 t\\ { } \frac{1}{\Gamma(\frac{5}{3})}\left(\log t\right)^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{\Gamma(\frac{14}{5})} \left(\log t\right)^{\frac{9}{5}}+\frac{1}{4000}\sin^2 t\end{array}\right). $

对于$ \varepsilon = \frac{1}{1000} $, 向量值函数

$ \vec{y}_2(t) = \left(\begin{array}{cc}(\log t)^2\\\log t\end{array}\right) $

满足

$ \left\|^C_aD_g^{\frac{1}{3}}\vec{y}_2(t)-A\ ^C_aD_g^{\frac{1}{5}}\vec{y}_2(t)-\vec{h}(t)\right\|<\frac{1}{1000}, $

并且满足初始值条件

$ \vec{y}_2(1) = \left(\begin{array}{cc}(\log 1)^2\\\log 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right). $

由式(4.4) 和分数阶系统(4.11) 的初始值条件, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$ \vec{y}^\ast(t) = \int_1^t\left(\log\frac{t}{\tau}\right)^{-\frac{2}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{1}{3}}\left[A\left(\log\frac{t}{\tau}\right)^{\frac{2}{15}}\right]\vec{h}(\tau)\frac{1}{\tau}{\mathrm d}\tau. $

应用定理4.1, $ \vec{y}_2(t) $的控制函数是

$ \frac{1}{1000}(\log t)^{\frac{1}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{4}{3}}\left[3(\log t)^{\frac{2}{15}}\right], $

于是

$ \|\vec{y}_2(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\frac{1}{1000}(\log t)^{\frac{1}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{4}{3}}\left[3(\log t)^{\frac{2}{15}}\right]. $

由此, 我们能够估计逼近解$ \vec{y}_2(t) $的误差.

例4.2   考虑下面的广义分数阶微分系统

(4.12) $ \begin{eqnarray} ^C_aD_g^{\frac{4}{5}}\vec{y}(t) = B\ ^C_aD_g^{\frac{3}{4}}\vec{y}(t)+\vec{k}(t), \end{eqnarray} $

这里初始值为

$ \vec{y}(a^+) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\end{array}\right), {\quad} B = \left(\begin{array}{cc}0 & -2\\3 & 0\end{array}\right), $

强迫项为

$ \vec{k}(t) = \left(\begin{array}{cc} { } \frac{6}{\Gamma(\frac{16}{5})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{11}{5}}+\frac{2}{\Gamma(\frac{5}{4})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{1}{4}}+\frac{\varepsilon}{20000}\sin^{\frac{1}{2}} t\\ { }\frac{1}{\Gamma(\frac{6}{5})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{1}{5}}-\frac{18}{\Gamma(\frac{13}{4})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{9}{4}}+\frac{\varepsilon}{30000}\cos^{\frac{1}{5}} t\end{array}\right). $

对任何的$ \varepsilon >0 $, 向量值函数

$ \vec{y}_3(t) = \left(\begin{array}{cc}\left(g(t)-g(a)\right)^3\\g(t)-g(a)\end{array}\right) $

满足

$ \left\|^C_aD_g^{\frac{4}{5}}\vec{y}_3(t)-B\ ^C_aD_g^{\frac{3}{4}}\vec{y}_3(t)-\vec{k}(t)\right\|<\varepsilon, $

并且满足初始条件

$ \vec{y}_3(a) = \left(\begin{array}{cc}\left(g(a)-g(a)\right)^3\\g(a)-g(a)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right). $

由式(4.4) 和分数阶系统(4.12) 的初始值条件, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$ \vec{y}^\ast(t) = \int_a^t\left(g(t)-g(\tau)\right)^{-\frac{1}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{4}{5}}\left[B\left((g(t)-g(\tau)\right)^{\frac{1}{20}}\right]\vec{k}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau. $

应用定理4.1, $ \vec{y}_3(t) $的控制函数是

$ \varepsilon(g(t)-g(a))^{\frac{4}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{9}{5}}\left[5(g(t)-g(a))^{\frac{1}{20}}\right], $

于是有

$ \|\vec{y}_3(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\varepsilon(g(t)-g(a))^{\frac{4}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{9}{5}}\left[5(g(t)-g(a))^{\frac{1}{20}}\right]. $

因此, 可以得到逼近解$ \vec{y}_3(t) $的误差估计.