一类广义分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性

一类广义分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性

王春^,¹, 许天周²

¹ 长治学院数学系山西长治 046011

² 北京理工大学数学与统计学院北京 100081

Hyers-Ulam-Rassias Stability on a Class of Generalized Fractional Systems

Wang Chun^,¹, Xu Tianzhou²

¹ Department of Mathematics, Changzhi University, Shanxi Changzhi 046011

² School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081

通讯作者: 王春, E-mail: wangchun12001@163.com

收稿日期: 2020-08-30

基金资助:

山西省自然科学基金. 201801D121024
山西省高等学校科技创新项目. 2019L0903

Received: 2020-08-30

Fund supported:

the NSF of Shanxi Province. 201801D121024
the Scientific and Technological Innovation Programs of Higher Education Institutions in Shanxi. 2019L0903

Abstract

This paper investigates the stability in the sense of Hyers-Ulam-Rassias for a class of generalized fractional differential systems by the generalized Laplace transform method. Several examples are given to illustrate the theoretical results.

Keywords： Generalized Laplace transform ; Generalized fractional differential systems ; Hyers-Ulam-Rassias stability

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本文引用格式

王春, 许天周. 一类广义分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性. 数学物理学报[J], 2021, 41(6): 1791-1804 doi:

Wang Chun, Xu Tianzhou. Hyers-Ulam-Rassias Stability on a Class of Generalized Fractional Systems. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(6): 1791-1804 doi:

1 引言

关于群同态的Ulam稳定性问题是由Ulam于1940年首先提出的^[22]. Hyers^[5]在Banach空间上对可加映射的Ulam稳定性问题给出了部分回答. 后来, Rassias^[18]通过研究无界的Cauchy差给出了一个更一般的结论, 该结论推广了Hyers的结论. 从此, 各种类型函数方程的Ulam稳定性问题得到了广泛的关注和系统深入的研究.

Obloza第一个研究了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[14, 15]. 从此开始, 很多学者把关注点放在了微分方程的Hyers-Ulam稳定性的研究上, 得到了很多有意义的重要结果. 这方面的研究可参见文献[1, 3, 4, 7-9, 13, 17, 20, 23, 25-33].

设 $X$ 是一个赋范空间, $I$ 是一个开区间. 对某一个 $\varepsilon\geq 0$ , 如果对任意的满足微分不等式

$\|a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) + h(x)\| \leq \varepsilon$

的函数 $f : I \rightarrow X$ , 这里 $x\in I$ , 都存在微分方程

$a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) + h(x) = 0$

的一个解 $f_0 : I \rightarrow X$ 使得对任何的 $x\in I$ 都有 $\|f(x)-f_0(x)\|\leq K(\varepsilon)$ , 这里 $K(\varepsilon)$ 仅仅是 $\varepsilon$ 的表达式, 那么, 我们称该微分方程具有Hyers-Ulam稳定性.

如果用 $\phi(x)$ 代替 $\varepsilon$ , 用 $\Phi(x)$ 代替 $K(\varepsilon)$ , 上面的陈述也是成立的, 那么我们称该微分方程具有Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 这里 $\phi, \Phi: I\rightarrow [0, \infty)$ 都是不明确依赖于 $f$ 和 $f_0$ 的函数.

以上定义也可以参考文献[4].

分数阶微分方程已经被证明是在科学和工程的各个领域中模拟很多现象的最有价值和最有用的工具之一. 例如在粘弹性理论、电化学、电磁学、经济学、最优控制等方面的应用. 分数阶导数、分数阶微分方程和系统能刻画很多材料的记忆特性和遗传特性, 这是分数阶理论的最大优点. 因此, 分数阶微分方程和系统理论得到了广泛的关注. 一些应用细节和例子参见文献[11, 16, 21].

近些年来, 很多学者开始研究一些分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性和解的性态. 在文献[10]中, 应用矩阵方法, Jung讨论了一个带有常系数的一阶线性微分系统的Hyers-Ulam稳定性. 在文献[2] 中, Gejji和Babakhani研究了一类分数阶微分系统初始值问题的存在性和惟一性问题. 在文献[29] 中, 通过应用加权空间方法, Wang和Xu研究了一类带有右侧Riemann-Liouville分数阶导数的非线性微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题. 应用Laplace变换方法, Rezaei, Jung和Rassias讨论了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[19]. Wang和Li^[24]应用Laplace变换方法研究了一类线性分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性. Shen和Chen^[20]通过Laplace变换方法讨论了带有常系数的一类线性分数阶微分方程的Ulam稳定性问题, 他们得到了一些新颖的结果. Wang和Xu^{[26, 28, 30, 33]}也应用Laplace变换方法研究了一些线性微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题.

然而, 尽我们所知, 对于含有一个函数关于另一个函数的分数阶导数(即广义分数阶导数) 的微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题, 还没有相关的研究工作. 这类问题的困难在于对于广义分数阶导数没有找到更一般的积分变换工具来处理相应的问题. 最近, Jarad和Abdeljawad^[6]针对一些广义分数阶微分方程引进了广义的Laplace变换, 并且深入研究了这类变换的性质. 这一工作为我们前面的问题带来了新的思想和工具.

在本文中, 通过应用广义的Laplace变换方法, 研究了以下分数阶线性微分系统

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t) = A\vec{y}(t)+\vec{f}(t), \ 0<\alpha<1, \ t\geq a, \\ \vec{y}(a^+) = \vec{c} \end{array} \right. \end{equation}$

(1.1)

和

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t) = A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)+\vec{h}(t), \ 0<\beta<\alpha<1, \ t\geq a, \\ \vec{y}(a^+) = \vec{c} \end{array} \right. \end{equation}$

(1.2)

的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 这里 $^C_aD_g^\alpha\vec{y}(\cdot)$ 和 $^C_aD_g^\beta\vec{y}(\cdot)$ 都是广义的Caputo分数阶导数算子, $A$ 是 $n\times n$ 常数矩阵, $\vec{f}(t)$ 和 $\vec{h}(t)$ 都是 $n$ 维连续向量值函数, 它们通常被称为强迫项. 我们证明了广义分数阶微分系统(1.1) 和(1.2) 是Hyers-Ulam-Rassias稳定性的.

2 定义和引理

在这一部分, 介绍一些基本的定义和引理. 在证明主要结论时会用到这些定义和引理. 设 $g(t)$ 是区间 $[a, \infty)$ 上严格增加的正函数, 它的导数 $g'(t)$ 在 $(a, \infty)$ 上是连续的.

定义2.1 设 $0<\alpha<1$ , 在区间 $[a, \infty)$ 上一个向量值函数 $\vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 关于函数 $g(t)$ 的 $\alpha$ 阶 $\rm Riemann-Liouville$ 分数阶积分定义为

$\begin{eqnarray*} _aI_g^\alpha\vec{v}(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(s))^{\alpha-1}\vec{v}(s)g'(s){\mathrm d}s. \end{eqnarray*}$

定义2.2 设 $0<\alpha<1$ , 在区间 $[a, \infty)$ 上一个向量值函数 $\vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 关于函数 $g(t)$ 的 $\alpha$ 阶 $\rm Riemann-Liouville$ 分数阶导数定义为

$\begin{eqnarray*} _aD_g^\alpha\vec{v}(t) & = & \frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left(_aI_g^{1-\alpha}\vec{v}\right)(t)\nonumber\\ & = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\int_a^t(g(t)-g(s))^{-\alpha}\vec{v}(s)g'(s){\mathrm d}s. \end{eqnarray*}$

定义2.3 设 $0<\alpha<1$ , 在区间 $[a, \infty)$ 上一个向量值函数 $\vec{v}:(a, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 关于函数 $g(t)$ 的 $\alpha$ 阶 $\rm Caputo$ 分数阶导数定义为

$\begin{eqnarray*} ^{C}_{a}D_g^\alpha\vec{v}(t) = {_{a}D_g^\alpha}[\vec{v}(t)-\vec{v}(a^+)]. \end{eqnarray*}$

注2.1 当 $\vec{v}\in \overrightarrow{AC}[a, b]$ 时, 有

${}^{C}_{a}D_g^\alpha\vec{v}(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(s))^{-\alpha}\vec{v}^{[1]}(s)g'(s){\mathrm d}s,$

这里 $\vec{v}^{[1]}(s) = \frac{1}{g'(t)}\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\vec{v}(s).$

定义2.4 Mittag-Leffler函数 $E_{\alpha, \beta}(z)$ 的定义是

$E_{\alpha, \beta}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}\ \ \ (z\in {\Bbb C};\ \ \Re(\beta)>0, \ \ \Re(\alpha)>0).$

当 $\alpha = \beta = 1$ , 有 $E_{1, 1}(z) = e^z$ . 关于该函数更详细的性质可参见文献[11]. 此外, $\alpha$ -指数函数的定义是

$e_\alpha^{\lambda z}: = z^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}(\lambda z^\alpha),$

这里 $z\in{\Bbb C}\backslash \{0\}, {\mathfrak R}(\alpha)>0,$ $\lambda\in{\Bbb C},$ ${\Bbb C}$ 表示复平面.

下面的两个定义类似于参考文献[6] 中的定义3.1和定义3.3, 它们是针对向量值函数情况的推广.

定义2.5 设 $\vec{v}(t)$ 是 $n$ 维向量值函数. 向量值函数 $\vec{v}(t)$ 关于函数 $g(t)$ 的广义 $\rm Laplace$ 变换的定义是

${\cal L}_g\{\vec{v}(t)\}(s): = \int_a^\infty e^{-s(g(t)-g(a))}\vec{v}(t)g'(t){\mathrm d}t.$

定义2.6 区间 $[a, \infty)$ 上的向量值函数 $\vec{v}$ 称为 $g(t)$ -指数阶的, 如果对任何的 $t\geq T$ , 它满足以下形式的不定式

$\|\vec{v}(t)\|\leq Me^{cg(t)},$

这里 $M$ , $c$ 和 $T$ 都是实的非负常数.

下面的定义和结果都来自文献[6], 这些定义和引理也适用于向量值函数的情况. 在本文中, 将把这些结果应用在相应的向量值函数上, 从而证明关于分数阶微分系统的主要结论.

定义2.7^[6] 设函数 $f$ 和 $h$ 在每个区间 $[a, T]$ 上是分段连续的且都是指数阶的. 函数 $f$ 和 $h$ 的广义卷积定义为

$(f\ast_gh)(t) = \int_a^tf(\tau)h\left( g^{-1}(g(t)+g(a)-g(\tau))\right)g'(\tau){\mathrm d}\tau.$

注意, 两个函数的广义卷积是可交换的.

引理2.1^[6] 设函数 $f$ 和 $h$ 在每个区间 $[a, T]$ 上是分段连续的且都是指数阶的, 那么

$f\ast_gh = h\ast_gf.$

引理2.2^[6] 设 $\alpha>0$ , $f\in AC_\gamma^n[a, b]$ 且 $f^{[k]}\ (k = 0, 1, \cdots , n)$ 都是 $g(t)$ -指数阶的. 那么

${\cal L}_g \left\{\left(^{C}_{a}D_g^\alpha f\right)(t)\right\}(s) = s^\alpha\left[{\cal L}_g\{f(t)\}-\sum\limits_{k = 0}^{n-1}s^{-k-1}(f^{[k]})(a^+) \right].$

注2.2 当 $n = 1$ 时, 有

${\cal L}_g \left\{\left(^{C}_{a}D_g^\alpha f\right)(t)\right\}(s) = s^\alpha\left[{\cal L}_g\{f(t)\}-s^{-1}f(a^+) \right].$

引理2.3 设 ${\Bbb C}$ 是复平面, 对任何的 $\alpha>0, \beta>0$ 和矩阵 $A\in {\Bbb C}^{n\times n}$ , 若 ${\mathfrak R}(s)>\|A\|^{\frac{1}{\alpha}}$ , 有

${\cal L}_g\{(g(t)-g(a))^{\beta-1}E_{\alpha, \beta}(A (g(t)-g(a))^\alpha)\} = s^{\alpha-\beta}(s^\alpha I-A)^{-1}$

成立, 这里 ${\mathfrak R}(s)$ 表示复数 $s$ 的实部.

引理2.3的证明类似于参考文献[6] 中的引理4.2的证明.

在参考文献[12] 中, 作者得到了以下结果, 并且用该结果和逆Laplace变换得到了相应分数阶微分系统的解.

引理2.4 假设系统

$\left\{ \begin{array}{l} ^C_0D_t^\alpha\vec{x}(t) = A\vec{x}(t)+\vec{f}(t), \ 0<\alpha<1, \ t\geq 0, \\ \nonumber \vec{x}(0) = \vec{\eta} \end{array} \right.$

有惟一的连续解 $\vec{x}(t)$ , 如果 $\vec{f}(t)$ 在 $[0, \infty)$ 上是连续的并且指数有界的, 那么 $\vec{x}(t)$ 和它的 $\rm Caputo$ 导数 $^C_0D_t^\alpha\vec{x}(t)$ 都是指数有界的, 于是它们的 $\rm Laplace$ 变换都存在.

对于广义的分数阶导数和广义的Laplace变换, 以上结果也是成立的. 在下文中, 假定在广义分数阶系统(1.1) 和(1.2) 中, $\vec{f}(t)$ 和 $\vec{h}(t)$ 都是 $g(t)$ -指数阶的.

3 广义分数阶系统(1.1) 的Hyers-Ulam-Rassias稳定性

在这一部分, 我们应用广义的Laplace变换方法来证明广义分数阶系统(1.1) 是Hyers-Ulam-Rassias稳定的.

定理3.1 设 $A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} )$ , $0<\alpha<1$ , 且 $\vec{f}(t)$ 是 $g(t)$ -指数阶的. 如果向量值函数 $\vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 对任何的 $t\in[a, +\infty)$ 和某个 $\varepsilon>0$ 满足不等式

$\begin{equation} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\|\leq\varepsilon, \end{equation}$

(3.1)

那么存在广义分数阶系统(1.1) 的一个解 $\vec{y}^\ast(t)$ 使得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^\alpha\right). \end{eqnarray*}$

证设 $\vec{Z}(t) = \ ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)$ , 应用引理2.2, 可得

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\} \\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\} \\ & = &\left(s^\alpha I-A\right){\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}, \end{eqnarray}$

(3.2)

这里 $I$ 是单位矩阵. 由式(3.2), 可得到

$\begin{equation} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\} = \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\left\{{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}+s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\right\}. \end{equation}$

(3.3)

取

$\begin{equation} \vec{y}^\ast(t) = \int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}\vec{f}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau+\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}A\vec{c}g'(\tau){\mathrm d}\tau+\vec{c}. \end{equation}$

(3.4)

由广义Laplace变换的定义和性质, 可得

$\begin{eqnarray*} {\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}\vec{f}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}\\ &\quad& +{\cal L}_g\left\{\int_a^te_\alpha^{A[g(t)-g(\tau)]}A\vec{c}g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\nonumber\\ & = & {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{f}(t)\right\}+ {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_gA\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\nonumber\\ & = & {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_g\vec{f}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&+ {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_gA\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}. \end{eqnarray*}$

应用上式的结果、广义Laplace变换的卷积性质和引理2.3, 得到

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\\ &\quad&+ {\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\right\}{\cal L}_g\left\{A\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\left\{\vec{c}\right\}\\ & = & (s^\alpha I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+(s^\alpha I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{A\vec{c}\right\}+{\cal L}_g\{\vec{c}\} \\ & = &\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}+\frac{1}{s}\vec{c}. \end{eqnarray}$

(3.5)

由引理2.4、引理2.2和式(3.5), 可得到

$\begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = & s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s)-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s) \nonumber\\ & = & (s^\alpha I-A){\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}(s)-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+) \nonumber\\ & = & (s^\alpha I-A)\left[\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}+\frac{1}{s}\vec{c}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+). \nonumber \end{eqnarray*}$

由上式的结果, 得

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\vec{y}^\ast(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}+\frac{1}{s}A\vec{c}+\left(s^\alpha I-A\right)\frac{1}{s}\vec{c}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\\ & = & {\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(3.6)

由于 ${\cal L}_g$ 是1-1映射, 这就证明了 $\vec{y}^\ast(t)$ 是分数阶系统(1.1) 的一个解. 由式(3.3) 和式(3.5), 可得到

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{y}^{\ast}(t)\right\} \\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\left\{{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}+s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}\right\}\\ &\quad&-\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{f}(t)\right\}-\left(s^\alpha I-A\right)^{-1}\frac{1}{s}A\vec{c}-\frac{1}{s}\vec{c} \\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(3.7)

应用广义卷积的性质和引理2.3, 得

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = & \left(s^\alpha I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(3.8)

再由式(3.7) 和式(3.8), 可得到

$\begin{equation} \vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t) = e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t). \end{equation}$

(3.9)

下面, 我们来估计式(3.9) 的范数. 由广义卷积的定义, 得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\| & = & \left\|e_\alpha^{A[g(t)-g(a)]}\ast_g\vec{Z}(t)\right\| \nonumber\\ & = &\left\|(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A (g(t)-g(a))^\alpha\right]\ast_g\vec{Z}(t)\right\|\nonumber\\ &\leq&\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^\alpha\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|.\nonumber \end{eqnarray*}$

应用积分的不等式性质, 得到

$\begin{eqnarray*} &&\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^\alpha\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|\left|g'(\tau)\right|{\mathrm d}\tau.\nonumber \end{eqnarray*}$

由条件(3.1) 和简单的计算得到

$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|\left|g'(\tau)\right|{\mathrm d}\tau\nonumber\\ &\leq&\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}g'(\tau){\mathrm d}\tau\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}{\mathrm d}g(\tau)\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\left[-\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}{\mathrm d}(g(t)-g(\tau))\right].\nonumber \end{eqnarray*}$

应用以上式子的结果和简单计算可得到

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^{\ast}(t)\right\| &\leq&\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k(g(t)-g(a))^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k+\alpha+1)}\nonumber\\ & = &\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^\alpha\right). \end{eqnarray*}$

定理3.1证毕.

推论3.1 设 $A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} )$ , $0<\alpha<1$ , 且 $\vec{f}(t)$ 是 $g(t)$ -指数阶的. 如果对任何的 $t\in [a, +\infty)$ 向量值函数 $\vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 满足不等式

$\begin{eqnarray*} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\vec{y}(t)-\vec{f}(t)\right\|\leq F(t), \end{eqnarray*}$

这里数量值函数 $F(t)\geq 0$ , 那么存在分数阶系统(1.1) 的一个解 $\vec{y}^\ast(t)$ 使得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma(\alpha k+\alpha)}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k+\alpha-1}F(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau. \end{eqnarray*}$

证应用定理3.1的结论可证明该推论.

下面我们举一个例子, 来说明一下我们的主要结论.

例3.1 考虑广义分数阶系统

$\begin{equation} ^C_aD_g^{\frac{3}{7}}\vec{y}(t) = A\vec{y}(t)+\vec{l}(t), \end{equation}$

(3.10)

这里 $g(t) = t, a = 0$ , 初始值

$\vec{c} = \left(\begin{array}{cc}1\\1\\1\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\\y'''(t)\end{array}\right), {\quad} A = \left(\begin{array}{ccc}1 &\ 0\ &3\\-1 & 2 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}\right),$

并且

$\vec{l}(t) = \left(\begin{array}{cc}( { } 3^{\frac{3}{7}}-1)e^{3t}-3e^t+\frac{1}{10000}\sin^3t\\ { } e^{3t}+(2^{\frac{3}{7}}-2)e^{2t}+\frac{1}{20000}\cos^2t \\ { } -e^{2t}+2e^{t}+\frac{1}{30000}\sin t\end{array}\right).$

对于 $\varepsilon = \frac{1}{10000}$ , 容易得到向量值函数

$\vec{y}_1(t) = \left(\begin{array}{cc}e^{3t}\\e^{2t}\\ e^{t}\end{array}\right)$

满足

$\left\|^C_aD_g^{\frac{3}{7}}\vec{y}_1(t)-A\vec{y}_1(t)-\vec{l}(t)\right\|<\frac{1}{10000},$

并且满足初始条件

$\vec{y}_1(0^+) = \left(\begin{array}{cc}1\\1\\1\end{array}\right).$

由式(3.4) 和分数阶系统(3.10) 的初始值, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$\vec{y}^\ast(t) = \int_0^te_{\frac{3}{7}}^{A(t-\tau)}\vec{l}(\tau){\mathrm d}\tau+\int_0^te_{\frac{3}{7}}^{A(t-\tau)}A\vec{c}{\mathrm d}\tau+\vec{c}.$

应用定理3.1, $\vec{y}_1(t)$ 的控制函数是

$\frac{1}{10000} (t-0)^{\frac{3}{7}}E_{\frac{3}{7}, \frac{10}{7}}\left(9 (t-0)^{\frac{3}{7}}\right),$

于是

$\|\vec{y}_1(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\frac{1}{10000} t^{\frac{3}{7}}E_{\frac{3}{7}, \frac{10}{7}}\left(9 t^{\frac{3}{7}}\right).$

因此, 可以估计逼近解 $\vec{y}_1(t)$ 的误差.

4 广义分数阶系统(1.2) 的Hyers-Ulam-Rassias稳定性

这一部分, 我们应用广义Laplace变换方法研究广义分数阶系统(1.2) 的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 并给出相关的一些例子.

定理4.1 设 $A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} )$ , $0<\beta<\alpha<1$ , 且 $\vec{h}(t)$ 是 $g(t)$ -指数阶的. 如果对 $t\in[a, +\infty)$ 和某个 $\varepsilon>0$ 向量值函数 $\vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 满足不等式

$\begin{equation} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\|\leq\varepsilon, \end{equation}$

(4.1)

那么存在广义分数阶系统(1.2) 的一个解 $\vec{y}^\ast(t)$ 使得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha-\beta, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right). \end{eqnarray*}$

证为了证明的方便, 设 $\vec{Z}(t) = \ ^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)$ , 这里 $t>a,$ 由引理2.2, 可得

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\} & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\} \\ & = & {\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)\right\}-A{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\} \\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\left\{s^\beta I{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\} \\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right){\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)+As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)-{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}, \end{eqnarray}$

(4.2)

这里 $I$ 是单位矩阵. 由式(4.2), 得到

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}& = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(4.3)

取

$\begin{equation} \vec{y}^\ast(t) = y_a(t)\vec{y}(a^+)+\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau, \end{equation}$

(4.4)

这里

$\begin{equation} y_a(t) = E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})-A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}). \end{equation}$

(4.5)

由式(4.4)、式(4.5) 和卷积的Laplace变换性质得

$\begin{eqnarray*} {\cal L}_g\{\vec{y}^\ast(t)\} & = &{\cal L}_g\Bigg{\{}y_a(t)\vec{y}(a^+)+\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\Bigg{\}}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\Big{\{}E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-{\cal L}_g\Big{\{}A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{h}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\Big{\{}E_{\alpha-\beta, 1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-A{\cal L}_g\Big{\{}(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}E_{\alpha-\beta, \alpha-\beta+1}(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta})\Big{\}}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}.\nonumber \end{eqnarray*}$

应用上式和引理2.3得到

$\begin{eqnarray} {\cal L}_g\{\vec{y}^\ast(t)\} & = &s^{\alpha-\beta-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)-As^{\alpha-\beta-(\alpha-\beta+1)}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+) \\ &\quad&+{\cal L}_g\left\{(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right]\right\}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\\ & = &s^{\alpha-\beta-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)-As^{-1}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\vec{y}(a^+)\\ &\quad&+s^{(\alpha-\beta)-\alpha}\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\\ & = &\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]. \end{eqnarray}$

(4.6)

由引理2.2和式(4.6), 得到

$\begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)\right\}-A{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &s^\alpha I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\left\{s^\beta I{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}-s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\right\}\nonumber\\ & = &s^\alpha I\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\nonumber\\ &\quad&-A\Big\{s^\beta I\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right] -s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)\Big\}\nonumber\\ & = &s^\alpha\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)\\ && -As^\beta\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right] +As^{\beta-1}\vec{y}(a^+). \end{eqnarray*}$

应用上式结果, 进一步计算可得

$\begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{^C_aD_g^\alpha\vec{y}^\ast(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta\right)\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &s^\beta\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &s^\beta\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]-\left(s^{\alpha-1}I-As^{\beta-1}\right)\vec{y}(a^+)\\ & = &{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(4.7)

因此, $\vec{y}^\ast(t)$ 是分数阶系统(1.2) 的一个解. 应用式(4.3) 和式(4.6), 得到

$\begin{eqnarray*} &&{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber\\ & = &{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)\right\}-{\cal L}_g\left\{\vec{y}^\ast(t)\right\}\nonumber \\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta\right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-\beta}I-A\right)^{-1}\left[s^{\alpha-\beta-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{-1}\vec{y}(a^+)+s^{-\beta}{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\nonumber\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\nonumber\\ &\quad&-\left(s^{\alpha-\beta} I-A\right)^{-1}\cdot s^{-\beta}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right].\nonumber \end{eqnarray*}$

由上式结果和简单计算可得

$\begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\}\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-As^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]+\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ &\quad&-\left(s^\alpha I-As^\beta\right)^{-1}\left[s^{\alpha-1}\vec{y}(a^+)-A\cdot s^{\beta-1}\vec{y}(a^+)+{\cal L}_g\left\{\vec{h}(t)\right\}\right]\\ & = &\left(s^\alpha I-As^\beta \right)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(4.8)

另外, 由卷积的性质和引理2.3可得到

$\begin{eqnarray} &&{\cal L}_g\left\{\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t)\right\}\\ & = &{\cal L}_g\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = &s^{-\beta}(s^{\alpha-\beta}I-A)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}\\ & = &(s^\alpha I-As^\beta)^{-1}{\cal L}_g\left\{\vec{Z}(t)\right\}. \end{eqnarray}$

(4.9)

由式(4.8) 和式(4.9), 得到

$\begin{eqnarray} \vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t) = \left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t). \end{eqnarray}$

(4.10)

为了进一步得到要证明的结果, 下面我们来估计式(4.10) 的范数. 由式(4.10)、卷积的定义和Mittag-Leffler函数的定义, 可得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| & = & \left\|\left[(g(t)-g(a))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left(A(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)\right]\ast_g \vec{Z}(t)\right\| \nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha-1}E_{\alpha-\beta, \alpha}\left[A(g(t)-g(\tau))^{\alpha-\beta}\right]\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\int_a^t\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ & = &\left\|\sum\limits_{k = 0}^\infty \int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|.\nonumber \end{eqnarray*}$

应用上式的结果和积分的不等式性质, 得到

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\left\|\int_a^t\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\vec{Z}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau\right\|\nonumber\\ &\leq&\sum\limits_{k = 0}^\infty\int_a^t\left\|\frac{A^k(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}g'(\tau)}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\right\|\left\|\vec{Z}(\tau)\right\|{\mathrm d}\tau.\nonumber \end{eqnarray*}$

由上式结果和条件(4.11), 可得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha]}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}g'(\tau){\mathrm d}\tau\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha](\alpha k-\beta k+\alpha)}(g(t)-g(a))^{\alpha k-\beta k+\alpha}\nonumber\\ & = &\varepsilon\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha+1]}(g(t)-g(a))^{\alpha k-\beta k+\alpha}.\nonumber \end{eqnarray*}$

应用上面各式的结果和简单计算, 得到

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\| &\leq&\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right)^k}{\Gamma[(\alpha-\beta) k+\alpha+1]}\nonumber\\ & = &\varepsilon (g(t)-g(a))^\alpha E_{\alpha-\beta, \alpha+1}\left(\|A\|(g(t)-g(a))^{\alpha-\beta}\right). \end{eqnarray*}$

这样就得到了要证明的结论, 定理4.1证毕.

推论4.1 设 $A\in M_{n\times n}({{\Bbb R}} )$ , $0<\beta<\alpha<1$ , 且 $\vec{h}(t)$ 是 $g(t)$ -指数阶的. 如果对任何的 $t>a$ 和某个数量值函数 $G(t)\geq 0$ 向量值函数 $\vec{y}(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 满足不等式

$\begin{eqnarray*} \left\|^C_aD_g^\alpha\vec{y}(t)-A\ ^C_aD_g^\beta\vec{y}(t)-\vec{h}(t)\right\|\leq G(t), \end{eqnarray*}$

那么存在广义分数阶系统(1.2) 的一个解 $\vec{y}^\ast(t): [a, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$ 使得

$\begin{eqnarray*} \left\|\vec{y}(t)-\vec{y}^\ast(t)\right\|\leq\sum\limits_{k = 0}^\infty\frac{\|A\|^k}{\Gamma\left[(\alpha-\beta) k+\alpha\right]}\int_a^t(g(t)-g(\tau))^{\alpha k-\beta k+\alpha-1}G(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau. \end{eqnarray*}$

证应用定理4.1, 容易证明这个结果.

接下来, 我们通过两个广义分数阶微分系统的例子来说明得到的主要结果.

例4.1 考虑下面的广义分数阶系统

$\begin{eqnarray} ^C_aD_g^{\frac{1}{3}}\vec{y}(t) = A\ ^C_aD_g^{\frac{1}{5}}\vec{y}(t)+\vec{h}(t), \end{eqnarray}$

(4.11)

这里 $a = 1, \ g(t) = \log t, \ \log (\cdot) = \log_e(\cdot)$ , 初始值

$\vec{y}(1^+) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\end{array}\right), {\quad} A = \left(\begin{array}{cc}0 & 2\\-1 & 0\end{array}\right),$

强迫项是

$\vec{h}(t) = \left(\begin{array}{cc} { } \frac{2}{\Gamma(\frac{8}{3})}\left(\log t\right)^{\frac{5}{3}} -\frac{2}{\Gamma(\frac{9}{5})}\left(\log t\right)^{\frac{4}{5}}+\frac{1}{3000}\cos^2 t\\ { } \frac{1}{\Gamma(\frac{5}{3})}\left(\log t\right)^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{\Gamma(\frac{14}{5})} \left(\log t\right)^{\frac{9}{5}}+\frac{1}{4000}\sin^2 t\end{array}\right).$

对于 $\varepsilon = \frac{1}{1000}$ , 向量值函数

$\vec{y}_2(t) = \left(\begin{array}{cc}(\log t)^2\\\log t\end{array}\right)$

满足

$\left\|^C_aD_g^{\frac{1}{3}}\vec{y}_2(t)-A\ ^C_aD_g^{\frac{1}{5}}\vec{y}_2(t)-\vec{h}(t)\right\|<\frac{1}{1000},$

并且满足初始值条件

$\vec{y}_2(1) = \left(\begin{array}{cc}(\log 1)^2\\\log 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right).$

由式(4.4) 和分数阶系统(4.11) 的初始值条件, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$\vec{y}^\ast(t) = \int_1^t\left(\log\frac{t}{\tau}\right)^{-\frac{2}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{1}{3}}\left[A\left(\log\frac{t}{\tau}\right)^{\frac{2}{15}}\right]\vec{h}(\tau)\frac{1}{\tau}{\mathrm d}\tau.$

应用定理4.1, $\vec{y}_2(t)$ 的控制函数是

$\frac{1}{1000}(\log t)^{\frac{1}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{4}{3}}\left[3(\log t)^{\frac{2}{15}}\right],$

于是

$\|\vec{y}_2(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\frac{1}{1000}(\log t)^{\frac{1}{3}}E_{\frac{2}{15}, \frac{4}{3}}\left[3(\log t)^{\frac{2}{15}}\right].$

由此, 我们能够估计逼近解 $\vec{y}_2(t)$ 的误差.

例4.2 考虑下面的广义分数阶微分系统

$\begin{eqnarray} ^C_aD_g^{\frac{4}{5}}\vec{y}(t) = B\ ^C_aD_g^{\frac{3}{4}}\vec{y}(t)+\vec{k}(t), \end{eqnarray}$

(4.12)

这里初始值为

$\vec{y}(a^+) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right), {\quad} \vec{y}(t) = \left(\begin{array}{cc}y'(t)\\y''(t)\end{array}\right), {\quad} B = \left(\begin{array}{cc}0 & -2\\3 & 0\end{array}\right),$

强迫项为

$\vec{k}(t) = \left(\begin{array}{cc} { } \frac{6}{\Gamma(\frac{16}{5})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{11}{5}}+\frac{2}{\Gamma(\frac{5}{4})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{1}{4}}+\frac{\varepsilon}{20000}\sin^{\frac{1}{2}} t\\ { }\frac{1}{\Gamma(\frac{6}{5})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{1}{5}}-\frac{18}{\Gamma(\frac{13}{4})}\left(g(t)-g(a)\right)^{\frac{9}{4}}+\frac{\varepsilon}{30000}\cos^{\frac{1}{5}} t\end{array}\right).$

对任何的 $\varepsilon >0$ , 向量值函数

$\vec{y}_3(t) = \left(\begin{array}{cc}\left(g(t)-g(a)\right)^3\\g(t)-g(a)\end{array}\right)$

满足

$\left\|^C_aD_g^{\frac{4}{5}}\vec{y}_3(t)-B\ ^C_aD_g^{\frac{3}{4}}\vec{y}_3(t)-\vec{k}(t)\right\|<\varepsilon,$

并且满足初始条件

$\vec{y}_3(a) = \left(\begin{array}{cc}\left(g(a)-g(a)\right)^3\\g(a)-g(a)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right).$

由式(4.4) 和分数阶系统(4.12) 的初始值条件, 我们得到该系统的一个精确解, 也就是

$\vec{y}^\ast(t) = \int_a^t\left(g(t)-g(\tau)\right)^{-\frac{1}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{4}{5}}\left[B\left((g(t)-g(\tau)\right)^{\frac{1}{20}}\right]\vec{k}(\tau)g'(\tau){\mathrm d}\tau.$

应用定理4.1, $\vec{y}_3(t)$ 的控制函数是

$\varepsilon(g(t)-g(a))^{\frac{4}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{9}{5}}\left[5(g(t)-g(a))^{\frac{1}{20}}\right],$

于是有

$\|\vec{y}_3(t)-\vec{y}^\ast(t)\|\leq\varepsilon(g(t)-g(a))^{\frac{4}{5}}E_{\frac{1}{20}, \frac{9}{5}}\left[5(g(t)-g(a))^{\frac{1}{20}}\right].$

因此, 可以得到逼近解 $\vec{y}_3(t)$ 的误差估计.

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Ulam-Hyers stability of dynamic equations on time scales via Picard operators

2013

... Obloza第一个研究了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[14, 15]. 从此开始, 很多学者把关注点放在了微分方程的Hyers-Ulam稳定性的研究上, 得到了很多有意义的重要结果. 这方面的研究可参见文献[1, 3, 4, 7-9, 13, 17, 20, 23, 25-33]. ...

Analysis of a system of fractional differential equations

2004

... 近些年来, 很多学者开始研究一些分数阶系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性和解的性态. 在文献[10]中, 应用矩阵方法, Jung讨论了一个带有常系数的一阶线性微分系统的Hyers-Ulam稳定性. 在文献[2] 中, Gejji和Babakhani研究了一类分数阶微分系统初始值问题的存在性和惟一性问题. 在文献[29] 中, 通过应用加权空间方法, Wang和Xu研究了一类带有右侧Riemann-Liouville分数阶导数的非线性微分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题. 应用Laplace变换方法, Rezaei, Jung和Rassias讨论了线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性, 可参见文献[19]. Wang和Li^[24]应用Laplace变换方法研究了一类线性分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性. Shen和Chen^[20]通过Laplace变换方法讨论了带有常系数的一类线性分数阶微分方程的Ulam稳定性问题, 他们得到了一些新颖的结果. Wang和Xu^{[26, 28, 30, 33]}也应用Laplace变换方法研究了一些线性微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题. ...

Stability of the second order partial differential equations

2011

On the stability of Laplace's equation

2013

... 以上定义也可以参考文献[4]. ...

On the stability of the linear functional equation

1941

... 关于群同态的Ulam稳定性问题是由Ulam于1940年首先提出的^[22]. Hyers^[5]在Banach空间上对可加映射的Ulam稳定性问题给出了部分回答. 后来, Rassias^[18]通过研究无界的Cauchy差给出了一个更一般的结论, 该结论推广了Hyers的结论. 从此, 各种类型函数方程的Ulam稳定性问题得到了广泛的关注和系统深入的研究. ...

Generalized fractional derivatives and Laplace transform

2020

... 然而, 尽我们所知, 对于含有一个函数关于另一个函数的分数阶导数(即广义分数阶导数) 的微分方程和系统的Hyers-Ulam-Rassias稳定性问题, 还没有相关的研究工作. 这类问题的困难在于对于广义分数阶导数没有找到更一般的积分变换工具来处理相应的问题. 最近, Jarad和Abdeljawad^[6]针对一些广义分数阶微分方程引进了广义的Laplace变换, 并且深入研究了这类变换的性质. 这一工作为我们前面的问题带来了新的思想和工具. ...

... 下面的两个定义类似于参考文献[6] 中的定义3.1和定义3.3, 它们是针对向量值函数情况的推广. ...

... 下面的定义和结果都来自文献[6], 这些定义和引理也适用于向量值函数的情况. 在本文中, 将把这些结果应用在相应的向量值函数上, 从而证明关于分数阶微分系统的主要结论. ...

... 定义2.7^[6] 设函数

$f$

和

$h$

在每个区间

$[a, T]$

上是分段连续的且都是指数阶的. 函数

$f$

和

$h$

的广义卷积定义为 ...

... 引理2.1^[6] 设函数

$f$

和

$h$

在每个区间

$[a, T]$

上是分段连续的且都是指数阶的, 那么 ...

... 引理2.2^[6] 设

$\alpha>0$

$f\in AC_\gamma^n[a, b]$

且

$f^{[k]}\ (k = 0, 1, \cdots , n)$

都是

$g(t)$

-指数阶的. 那么 ...

... 引理2.3的证明类似于参考文献[6] 中的引理4.2的证明. ...

Hyers-Ulam stability of linear differential equations of first order

2004

Hyers-Ulam stability of linear differential equations of first order, Ⅲ

2005

Hyers-Ulam stability of linear differential equations of first order, Ⅱ

2006

Hyers-Ulam stability of a system of first order linear differential equations with constant coefficients

2006

... 分数阶微分方程已经被证明是在科学和工程的各个领域中模拟很多现象的最有价值和最有用的工具之一. 例如在粘弹性理论、电化学、电磁学、经济学、最优控制等方面的应用. 分数阶导数、分数阶微分方程和系统能刻画很多材料的记忆特性和遗传特性, 这是分数阶理论的最大优点. 因此, 分数阶微分方程和系统理论得到了广泛的关注. 一些应用细节和例子参见文献[11, 16, 21]. ...

... 当

$\alpha = \beta = 1$

, 有

$E_{1, 1}(z) = e^z$

. 关于该函数更详细的性质可参见文献[11]. 此外,

$\alpha$

-指数函数的定义是 ...

Laplace transform and fractional differential equations

2011

... 在参考文献[12] 中, 作者得到了以下结果, 并且用该结果和逆Laplace变换得到了相应分数阶微分系统的解. ...

Hyers-Ulam stability of a first order partial differential equation

2012

Hyers stability of the linear differential equation

1993

Connections between Hyers and Lyapunov stability of the ordinary differential equations

1997

1999

On the Hyers-Ulam stability of the linear differential equation

2011

On the stability of the linear mapping in Banach spaces

1978

Laplace transform and Hyers-Ulam stability of linear differential equations

2013

Laplace transform method for the Ulam stability of linear fractional differential equations with constant coefficients

2017

A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering

2018

1960

Mittag-Leffler-Ulam stabilities of fractional evolution equations

2012

A uniform method to Ulam-Hyers stability for some linear fractional equations

2016

Hyers-Ulam stability of fractional linear differential equations involving Caputo fractional derivatives

2015

Hyers-Ulam stability of differential operators on reproducing kernel function spaces

2016

Hyers-Ulam stability of a class of fractional linear differential equations

2015

Stability of the nonlinear fractional differential equations with the right-sided Riemann-Liouville fractional derivative

2017

On the stability of multi-additive mappings in non-Archimedean normed spaces

2015

On the stability of multi-Jensen mappings in β-normed spaces

2012

一类分数阶系统的稳定性和Laplace变换

2019

一类分数阶系统的稳定性和Laplace变换

2019

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