Sturm-Liouville算子作为微分算子理论中一类十分重要的微分算子, 自问世以来, 在各种理论科学及应用科学领域里有着广泛的应用. 由于它重要的实际应用背景, Sturm-Liouville问题引起了许多研究者的注意, 并取得了较为完善的成果. 特别是正则的Sturm-Liouville问题的研究无论是理论上还是方法上均已十分完善. 值得注意的是, 经典的Sturm-Liouville算子所作用的函数应当是二阶可导的, 其最大算子域内的函数本身及其一阶导数都是绝对连续的, 但这一条件在一些实际问题中并不能被满足. 近年来, 越来越多的研究工作者对内部具有不连续性微分算子的研究产生了浓厚的兴趣. 内部具有不连续性是指微分方程的解或者它们的导函数(或者高阶导函数) 在定义区间内部一些点处发生间断. 显然, 这类问题不能用经典的Sturm-Liouville理论来解决. 这样一些问题来源于许多实际问题, 例如: 热传导和质量转移问题^[1]、衍射问题^[2]、摆线中部有结点(即要考虑单点质量) 的弦振动问题^[3]、药物洗提支架技术(DES) ^[4]、网络数据的传输过程^{[5, 6]}.

1912年, Bocher^[7]首次对有限区间上的不定Sturm-Liouville问题进行了研究. 随后, 1918年, Richardson^[8]证明了赋予Dirichlet边界条件的不定Sturm-Liouville问题存在非实特征值. 哪些不定问题有非实特征值?若存在非实特征值, 有多少？这些问题迄今为止都还是开问题. 自上世纪90年代以来, 越来越多的学者对右不定问题的非实特征值的存在性及其及界的估计进行了研究^[9-15], 并得到了一些重要的结论. 本文考虑了一类内部具有不连续性的不定Sturm-Liouville算子, 即考虑二阶微分方程

(1.1) $ \begin{equation} -(py^{\prime })^{\prime }+qy = \lambda wy, \;\lambda \in {\Bbb C}, \;\ t\in J = (a, c)\cup(c, b) \end{equation} $

和分离型边界条件

(1.2) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \cos \alpha \, y(a)- \sin \alpha \, (py^{\prime })(a)\, = 0, & 0\leq \alpha <\pi , \\ \cos \beta \, y(b)- \sin \beta \, (py^{\prime })(b)\, = 0, & 0<\beta \leq \pi \end{array} \end{equation} $

及转移条件

(1.3) $ \begin{equation} CY(c^{-})+DY(c^{+}) = 0, \;a<c<b \end{equation} $

所产生的Sturm-Liouvlle算子, 其中

$ Y = \left[ \begin{array}{c} y \\ (py^{\prime }) \end{array} \right] , $

系数$ p, q, w $满足

(1.4) $ \begin{equation} \;\frac{1}{p}, \, q, \, w\in L^{1}(J, {\Bbb R});\ p, \ \mid w \mid \mbox{在$ J$上 a.e. 大于零; $ w$在$ J$上变号}, \end{equation} $

矩阵$ C, \, D\in M_{2}({\Bbb C)} $满足

(1.5) $ \begin{equation} \;h\, C\, E\, C^{\ast } = k\, D\, E\, D^{\ast }, \;{\rm rank}\, (D) = 2, \; \end{equation} $

其中

$ h, \, k\in {\Bbb R}, \;h>0, \;k>0, \ E = \left[ \begin{array}{cc} 0{\quad} & -1 \\ 1{\quad} & 0 \end{array} \right] . $

本文首先给出了此类不定问题的特征曲线的解析性质, 并利用特征曲线性质讨论了其非实特征值存在性及其个数, 其次利用方程系数函数、边界条件和转移条件中的参数给出了非实特征值的上界估计, 最后给出了具体的两个例子.

设$ H_{r} = L^{2}(J_{r}, |w_{r}|), \;r = 1, 2, \ J_{1} = (a, c), \ J_{2} = (c, b), $且用$ \boldsymbol{{ {f} }} = \{f_{1}, f_{2}\} $表示直和空间$ H_{u} = H_{1}+H_{2} $中的元素, 其中$ f_{1}\in H_{1}, \, f_{2}\in H_{2}. $线性空间$ H_{u} $上定义内积和度规如下:

$ \langle \boldsymbol{{{f, g}}}\rangle \boldsymbol{{{ = \, }}}h\, \, (f_{1}, g_{1})_{1}+k \, \, (f_{2}, g_{2})_{2}, \;h>0, \;k>0, \label{eq2.7} $

$ [\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{g}}}] = h\int_{J_{1}}f_{1}\, \overline{g_{1}}\, w_{1}+k\int_{J_{2}}f_{2}\, \overline{g_{2}}\, w_{2}, $

则$ H = (H_{u}, \, \langle \cdot , \cdot \rangle ) $是Hilbert空间, $ K = (H_{u}, [\cdot, \cdot]) $是Krein空间.

注1.1  以下我们把方程(1.1) 和条件(1.2), (1.3) 简称为$ w $问题. 方程

(1.6) $ \begin{equation} -(py^{\prime })^{\prime }+qy = \lambda \, |w|\, \, y, \;\lambda \in {\Bbb C} , \;t\in J \end{equation} $

和条件(1.2), (1.3) 简称为$ w $问题相对应的$ |w\, | $问题. 由$ w $问题在线性空间$ H_{u} $内产生的线性算子记为$ A, $相对应的$ |w\, | $问题产生的线性算子记为$ S $.

定义1.1  算子$ J $定义为

$ (J\boldsymbol{{{f}}})(t) = {\rm sgn}w(t)\boldsymbol{{{f}}}(t), \ t\in J, \ \boldsymbol{{{f}}}\in H_{u}, $

称$ J $为线性算子$ A $的度规算子.

注1.2  由度规算子的定义易知, $ A = JS. $即, 度规算子$ J $确定了$ A $和$ S $之间的一个一一在上的映射. 我们所研究的线性算子$ A $在Hilbert空间$ H $内不是自共轭的, 甚至不是对称的, 但它是Krein空间$ K $内的自共轭算子. 由于空间$ K $和$ H $有相同的拓扑以及线性算子谱的定义, $ A $作为Hilbert空间$ H $内的算子的谱和作为Krein空间$ K $内的算子的谱是一样的. 因此, 我们可以借助于Krein空间的理论来研究$ w $问题.

引进下列具有两个参数的微分方程:

(2.1) $ \begin{equation} -(py^{\prime })^{\prime }+(q-\lambda w)y = \xi \, \, |w|\, y, \;\lambda \in {\Bbb R}, \;t\in J, \end{equation} $

并赋予相同的边界条件(1.2) 和转移条件(1.3), 其中$ \xi $表示谱参数, $ S(\lambda) $表示在空间$ H $中由方程(2.1) 及条件$ (1.2), \ (1.3) $生成的自共轭算子. 显然, $ S(0) = S. $

定义2.1  $ S(\lambda) $的定义如上. 对每个正整数$ n $, 我们称

$ \begin{eqnarray*} \xi _{n}(\lambda ) = \inf \{\sup \{\langle {S(\lambda )\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle :\boldsymbol{{{f}}}\in F, \, \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}:F\subset D(S(0)), \, \, {\rm dim}F = n\} \label{3.12} \end{eqnarray*} $

为$ S(\lambda) $的第$ n $个特征曲线.

一般来说, 特征曲线$ \xi _{n}(\lambda ) $是分段解析的. 这是因为$ S(\lambda ) $的特征值的重数可能大于$ 1 $. 尽管如此, 若边界条件是分离型情形, 下面的引理可证明特征曲线$ \xi _{n}(\lambda ) \ (n\in {\Bbb N}) $在$ {\Bbb R} $上解析的.

定义2.2  设函数$ f(z) $在实轴$ {\Bbb R} $上解析的. 称正数$ k $为函数$ f(z) $在实点$ z_0 $处的阶, 若$ f(z) $在$ z = z_0 $处有如下的级数展开形式$ \rm : $

$ \begin{eqnarray*} f(z) = f(z_0)+c(z-z_0)^k+\sum\limits_{i = k+1}^{\infty}c_i(z-z_0)^i, \ c\neq0. \end{eqnarray*} $

引理2.1  函数$ \xi _{n}(\lambda )\ (n\in {\Bbb N}) $在实轴$ {\Bbb R} $上解析的, 且$ \xi _{n}(\lambda )\ (n\in {\Bbb N}) $在实点$ \lambda $处的阶数不超过$ 2n $.

证  设$ y_1(x, \lambda, \xi)\ (\{\lambda, \ \xi\}\in {\Bbb C}^2) $是方程(2.1) 区间$ [a, c] $上满足初值条件

(2.2) $ \begin{equation} y_1(a) = \sin (\alpha), \ p(a) y'_1(a) = \cos (\alpha) \end{equation} $

的解, $ y_2(x, \lambda, \xi) $是方程(2.1) 在区间$ [c, b] $上满足初值条件

$ \begin{eqnarray*} \label{incon2} C\left[ \begin{array}{c} y_1 \\ (py_1^{\prime }) \end{array} \right](c^{-})+D\left[ \begin{array}{c} y_2 \\ (py_2^{\prime }) \end{array} \right](c^{+}) = 0 \end{eqnarray*} $

的解, 其中矩阵$ C, \, D\in M_{2}({\Bbb C)} $满足条件(1.5). 根据微分方程的解对参数的依赖性质知, 函数

$ D(\lambda, \xi) = \cos \beta y_2(b, \lambda, \xi)-\sin \beta p(b) y'_2(b, \lambda, \xi) $

为整函数. 方程$ D(\lambda, \xi) = 0 $的解$ \{\lambda, \ \xi\} $对应的$ \xi $恰好是$ S(\lambda ) $的特征值. 设

$ \{\lambda, \ \xi\}\in {\Bbb R}^2, \ \boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi) = \{y_1(\lambda, \xi), y_2(\lambda, \xi)\}, $

我们分别把$ \boldsymbol{{ {y} }}(\lambda, \xi) $和$ \overline{\boldsymbol{{ {y} }}(\lambda, \xi)} $带入到方程(2.1), 得到两个方程. 对第一个方程两边关于$ \xi $求偏导数, 并乘以$ \overline{\boldsymbol{{ {y} }}(\lambda, \xi)} $, 得到如下方程:

(2.3) $ \begin{eqnarray} &&-\left(p{\left(\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}^{\prime }(\lambda, \xi)\right)}\right)^{\prime }\overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)}+(q-\lambda w)\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi)\overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)} \\ & = &\xi \, \, |w|\, \frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi)\overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)}+|w|\, |\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)|^2. \end{eqnarray} $

第二个方程两边乘以$ \frac{\partial\boldsymbol{{ {y} }}}{\partial \xi}(\lambda, \xi) $, 得到如下方程

(2.4) $ \begin{eqnarray} -(p\overline{\boldsymbol{{{y}}}^{\prime }(\lambda, \xi)})^{\prime }\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi)+(q-\lambda w)\overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)}\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi) = \xi \, \, |w|\, \overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)}\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi). \end{eqnarray} $

(2.3) 式减去(2.4) 式, 得

$ |w||\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)|^2 = (p\overline{\boldsymbol{{{y}}}^{\prime }(\lambda, \xi)})^{\prime }\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}(\lambda, \xi)-\left(p{\left(\frac{\partial\boldsymbol{{{y}}}}{\partial \xi}^{\prime }(\lambda, \xi)\right)}\right)^{\prime }\overline{\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)}. $

利用分部积分及转移条件(1.3) 可得

(2.5) $ \begin{equation} \left \langle\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi), \boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)\right \rangle = kp(b)\left(\frac{\partial y_2}{\partial \xi}(b, \lambda, \xi) \overline{y_2'(b, \lambda, \xi)} -\left(\frac{\partial y_2}{\partial \xi}\right)^{\prime}(b, \lambda, \xi) \overline{y_2(b, \lambda, \xi)}\right). \end{equation} $

因为(2.5) 式的左边是非零的, 故方程组

(2.6) $ \begin{eqnarray} \overline{D(\lambda, \xi)} & = & \cos \beta \overline{y_2(b, \lambda, \xi)}-\sin \beta p(b) \overline{y_2'(b, \lambda, \xi)} \\ \frac{\partial D(\lambda, \xi)}{\partial\xi} & = & \cos \beta \frac{\partial y_2}{\partial \xi}(b, \lambda, \xi)-\sin \beta p(b) \left(\frac{\partial y_2}{\partial \xi}\right)^{\prime}(b, \lambda, \xi) \end{eqnarray} $

的左侧不能同时为零. 即, 若$ D(\lambda, \xi) = 0, $则$ \frac{\partial D(\lambda, \xi)}{\partial\xi}\neq0. $因此由隐函数存在定理可知, 函数$ \{\xi _{n}(\lambda ):n\in {\Bbb N}\} $在实轴$ {\Bbb R} $上解析的.

下面证明定理的第二部分. 令$ k $为$ \xi _{n}(\lambda ) $在实点$ \lambda = \lambda_{0} $处的阶数. 不失一般性, 可设$ \lambda_{0} = 0, \ \xi_n(0) = 0 $. 令$ y(x, 0) $为算子$ S(0) $特征值$ 0 $对应的特征函数, 则我们有

(2.7) $ \begin{equation} S(0)z_{0} = 0, \ \ S(0)z_{j} = {\rm sgn}wz_{j-1}, \ \ j = 1, 2, \cdots, k-1, \end{equation} $

其中$ z_{j} = \frac{1}{j!}\frac{{\rm d}^{j}y}{{\rm d}\lambda^{j}}(x, 0), \ j = 0, 1, 2, \cdots, k-1. $由算子$ S(0) $的自共轭性和$ (2.7) $式可得

(2.8) $ \begin{equation} (S(0)z_j, z_j) = 0, \ \ 0\leq j\leq [\frac{k-1}{2}]. \end{equation} $

实际上, 函数组$ z_0, z_1, \cdots, z_{k-1} $线性无关的. 若不然, 函数组$ {\rm sgn}wz_0, {\rm sgn}wz_1 $, $ \cdots $, $ {\rm sgn}wz_{k-1} $也是线性相关的, 即存在不全为零的数组$ \alpha_0, \alpha_1, \cdots $, $ \alpha_{k-1} $使得$ \sum\limits^{k-1}_{j = 0}\alpha_{j}{\rm sgn}wz_{j} = 0. $假设$ m $为满足$ \sum\limits^{m}_{j = 0}\alpha_{j}{\rm sgn}wz_{j} = 0 $且$ \alpha_{m}\neq0 $的最小的数, 从而有$ \sum\limits^{m}_{j = 0}\alpha_{j}z_{j} = 0. $则由$ (2.7) $式得

$ 0 = S(0)(\sum\limits^{m}_{j = 0}\alpha_{j}z_{j}) = \sum\limits^{m}_{j = 0}\alpha_{j}S(0)z_{j} = \sum\limits^{m}_{j = 1}\alpha_{j}{\rm sgnw}z_{j-1}. $

这与$ m $的选取相矛盾, 故$ z_0, z_1, \cdots, z_{k-1} $线性无关的. 则由极大极小定理和$ (2.8) $式可得

$ \xi_{[\frac{k-1}{2}]+1}(0)\leq0 = \xi_n(0), $

因此有

$ \frac{k}{2} = \frac{k-1}{2}-\frac{1}{2}+1\leq[\frac{k-1}{2}]+1\leq n, $

即$ k\leq2n. $

引理2.2  第一个特征曲线$ \xi _{1}(\lambda ) $在$ {\Bbb R} $上是凸的.

证  对$ \forall \lambda_{1}, \lambda_{2}\in {\Bbb R} $和任意的$ t \in [0, 1] $, 有

$ \begin{eqnarray*} \xi _{1}((1-t)\lambda_{1}+t\lambda_{2})& = &\inf \{\langle {S((1-t)\lambda_{1}+t\lambda_{2})\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle :\boldsymbol{{{f}}}\in D(S(0)), \, \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}\\ & = &\inf \{(1-t)\langle {S(\lambda_{1})\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle +t\langle {S(\lambda_{2})\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S(0)), \, \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}\\ &\geq&\inf \{(1-t)\langle {S(\lambda_{1})\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S(0)), \, \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}\\ &&+\inf \{t\langle {S(\lambda_{2})\, \boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S(0)), \, \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}\\ & = & (1-t)\xi_{1}(\lambda_{1})+t\xi_{1}(\lambda_{2}). \end{eqnarray*} $

则第一个特征曲线$ \xi _{1}(\lambda ) $在$ {\Bbb R} $上是凸的.

引理2.3  对任意的$ n\in {\Bbb N}, $有

$ \lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty }\frac{\xi _{n}(\lambda )}{\lambda } = -1\ , \lim\limits_{\lambda \rightarrow -\infty }\frac{\xi _{n}(\lambda )}{\lambda } = 1. $

证  见参考文献[9, 10].

结合引理2.1和引理2.2可知$ \xi _{1}(\lambda ) $在$ {\Bbb R} $上严格上凸的, 即有

(2.9) $ \begin{equation} \xi _{1}^{^{\prime \prime }}(\lambda )<0, \ \lambda\in {\Bbb R}. \end{equation} $

再由引理2.3存在唯一的$ \lambda _{1}\in {\Bbb R} $使得函数$ \xi _{1}(\lambda ) $在点$ \lambda _{1} $处达到最大值$ \xi _{1} $, 即

$ \xi _{1}^{\prime }(\lambda _{1}) = 0, \ \xi _{1}(\lambda )<\xi _{1}(\lambda_1 ) = \xi _{1}, \ \lambda\in {\Bbb R}. $

定义$ \delta , \ \mu $如下:

$ \delta = \inf \{\langle {S\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S), \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1, [\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}] = 0\}, $

$ \mu = \inf \{\xi _{n}(\lambda ):\xi _{n}^{\prime }(\lambda ) = 0, \ n\geq 2\}. $

引理2.4  $ \xi_1, \ \delta $的定义如上. 则有$ \xi_1 = \delta. $

证  设$ y_1(x, \lambda, \xi)\ (\{\lambda, \ \xi\}\in {\Bbb C}^2) $是方程(2.1)在区间$ [a, c] $上满足初值条件(2.2) 的解, $ y_2(x, \lambda, \xi) $是方程(2.1) 在区间$ [c, b] $上满足初值条件(1.3) 的解. 通过与求等式(2.5) 的类似方法得到

$ \begin{eqnarray*} \label{int2} [\boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi), \boldsymbol{{{y}}}(\lambda, \xi)] = kp(b)\left(\frac{\partial y_2}{\partial \lambda}(b, \lambda, \xi) \overline{y_2'(b, \lambda, \xi)} -\left(\frac{\partial y_2}{\partial \lambda}\right)^{\prime}(b, \lambda, \xi) \overline{y_2(b, \lambda, \xi)}\right), \end{eqnarray*} $

其中$ \boldsymbol{{ {y} }}(\lambda, \xi) = \{y_1(\lambda, \xi), y_2(\lambda, \xi)\}. $若$ \{\lambda, \ \xi\}\in {\Bbb R}^2 $是$ D(\lambda, \xi) $的零点, 则$ \xi $是$ S(\lambda) $的特征值, 且$ \boldsymbol{{ {y} }}(\lambda, \xi) $是对应的特征函数. 因为

$ \frac{\partial D(\lambda, \xi)}{\partial\lambda} = \cos \beta \frac{\partial y_2}{\partial \lambda}(b, \lambda, \xi)-\sin \beta p(b) \left(\frac{\partial y_2}{\partial \lambda}\right)^{\prime}(b, \lambda, \xi) , $

所以结合(2.5) 和(2.6) 式可得

$ \xi'(\lambda) = -\frac{[\boldsymbol{{{y}}}, \boldsymbol{{{y}}}]}{\langle\boldsymbol{{{y}}}, \boldsymbol{{{y}}}\rangle}. $

这表明, 若$ \xi'(\lambda) = 0 $, 则有$ [\boldsymbol{{ {y} }}, \boldsymbol{{ {y} }}] = 0 $. 设$ \boldsymbol{{ {\varphi} }}, \ \|\boldsymbol{{ {\varphi} }}\| = 1, $是$ S(\lambda_1) $的特征值$ \xi_1 $对应的特征函数, 则有$ [\boldsymbol{{ {\varphi} }}, \boldsymbol{{ {\varphi} }}] = 0. $从而得

$ \begin{eqnarray*} \xi_1& = &\xi_1(\lambda_1) = \inf \{\langle {S(\lambda_1)\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S), \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1\}\\ &\leq &\inf \{\langle {S\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}} \rangle:\boldsymbol{{{f}}}\in D(S), \Vert \boldsymbol{{{f}}}\Vert = 1, [\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}] = 0\} = \delta\\ &\leq &\langle {S\boldsymbol{{{\varphi}}}, \boldsymbol{{{\varphi}}}} \rangle = \langle {S(\lambda_1)\boldsymbol{{{\varphi}}}, \boldsymbol{{{\varphi}}}} \rangle = \xi_1(\lambda_1) = \xi_1. \end{eqnarray*} $

引理2.4得证.

引理2.5  $ A $的定义如上. 我们有如下结论$ \rm : $

$ (1) $ 若$ \lambda $是$ A $的非实特征值, $ \boldsymbol{{ {f} }} $是所对应的特征函数, 则有$ [\boldsymbol{{ {f} }}, \boldsymbol{{ {f} }}] = 0{\rm ;} $

$ (2) $ 若$ \lambda $是$ A $的多重非实特征值, $ \boldsymbol{{ {f} }}, \boldsymbol{{ {g} }} $是所对应的两个特征函数, 则有$ [\boldsymbol{{ {f} }}, \boldsymbol{{ {g} }}] = 0{\rm ;} $

$ (3) $ 若$ \lambda_1, \lambda_2 $是$ A $的非实特征值且$ \lambda_1\neq\overline{\lambda_2} $, $ \boldsymbol{{ {f} }}_1, \boldsymbol{{ {f} }}_2 $分别是$ \lambda_1, \lambda_2 $所对应的两个特征函数, 则有$ [\boldsymbol{{ {f} }}_1, \boldsymbol{{ {f} }}_2] = 0. $

证  $ (1) $因为$ A $是Krein空间$ K $内的自共轭算子, 故有

$ \lambda[\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}] = [A\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}] = [\boldsymbol{{{f}}}, A\boldsymbol{{{f}}}] = \overline{\lambda}[\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}]. $

即, $ (\lambda-\overline{\lambda})[\boldsymbol{{ {f} }}, \boldsymbol{{ {f} }}] = 0. $由于$ \lambda $是非实的, 所以$ \lambda-\overline{\lambda}\neq0, $故得$ [\boldsymbol{{ {f} }}, \boldsymbol{{ {f} }}] = 0. $

可类似地证明$ (2) $和$ (3) $.

定理2.1  $ A, \ S $的定义如上. 若$ S $存在至多有限多个非正特征值, 记$ n $是这些非正特征值的重数之和. 则$ A $至多有有限多个非实特征值, 它们的几何重数之和不超过$ 2n. $

证  设$ L_{+}, \ L_{-} $分别由上半复平面$ {\Bbb C}^{+} $和下半复平面$ {\Bbb C}^{-} $内的所有非实特征值所对应的特征函数张成的子空间. 从而有$ AL_{+}\subseteq L_{+}. $由引理2.5可知

$ [A\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}] = 0, \ \forall \boldsymbol{{{f}}}\in L_{+}. $

因为$ S $有有限多个非正特征值, 且$ n $是这些非正特征值的重数之和, 故由极大极小原理可知$ \dim L_{+}\leq n. $同理可证$ \dim L_{-}\leq n. $则$ A $至多有有限多个非实特征值, 且它们的几何重数之和不超过$ 2n. $

定理2.2  $ A $与$ S $的定义如上. 若

(2.10) $ \begin{equation} \sup\limits_{\lambda \in {\Bbb R}} \xi_1(\lambda)> 0, \end{equation} $

则$ A $的所有特征值都是实的.

证  考虑微分方程

(2.11) $ \begin{equation} -(py^{\prime })^{\prime }+(q-\lambda _{1}w)y = \lambda wy, \ \lambda \in {\Bbb C}, \ t\in J. \end{equation} $

由方程(2.11) 和条件(1.2), (1.3) 产生的算子记为$ A(\lambda_1) $. 注意到$ \xi _{1}(\lambda _{1}) $是自共轭算子$ S(\lambda _{1}) $的第一个特征值. 由定理的条件(2.10) 知, $ \xi_1(\lambda_1) > 0 $, 从而有

(2.12) $ \begin{equation} \langle {S(\lambda _{1})\boldsymbol{{{f}}}, \boldsymbol{{{f}}}}\rangle>0, \ \boldsymbol{{{f}}}\in D(S). \end{equation} $

这表明$ \lambda = 0 $不是$ A(\lambda _{1}) $的特征值. 假设$ \lambda_0 $是$ A(\lambda _{1}) $的某个非实特征值, 且$ \boldsymbol{{ {f} }}_0 $是对应的特征函数, 则有

$ \langle {S(\lambda _{1})\boldsymbol{{{f}}}_0, \boldsymbol{{{f}}}_0}\rangle = \lambda_0[\boldsymbol{{{f}}}_0, \boldsymbol{{{f}}}_0], $

这表明$ \langle {S(\lambda _{1})\boldsymbol{{ {f} }}_0, \boldsymbol{{ {f} }}_0}\rangle $等于零或者是非实数. 这与(2.12) 产生矛盾. 则$ A(\lambda_1) $不存在非实特征值. 因为$ A $不存在特征值当且仅当$ A(\lambda_1) $不存在非实特征值, 所以$ A $的所有特征值都是实的.

定理2.3   $ \delta $的定义如上. 若$ \delta >0 $, 则$ A $不存在非实特征值.

证  由引理2.4和定理2.2直接可得.

引理2.6  存在$ \tilde{\xi}>0 $使得由隐函数$ D(\lambda, \xi) = 0 $确定的复值函数$ \lambda(\xi) $在区间$ (\xi_1, \xi_1+\tilde{\xi}) $内连续.

证  由(2.9) 式知$ \xi_1(\lambda) $在$ \lambda = \lambda_1 $处的阶数为$ 2 $, 且$ \xi(\lambda_1)<0. $则由参考文献[16] 中的推论3.4可推得本定理的结论.

引理2.7  设$ I\subset {\Bbb R} $是使由隐函数$ D(\lambda, \xi) = 0 $确定的复值函数$ \lambda(\xi) $连续且$ \Im (\lambda(\xi))>0 $的最大区间. 记$ \tau $为$ I $的右端点. 若$ \tau<+\infty, $则必存在$ n\in {\Bbb N}, \ n\geq2 $, 使得

$ \xi^{\prime}_n(\lambda(\tau)) = 0. $

证  由引理2.6可知, $ (\xi_1, \xi_1+\mu)\subseteq I, $故$ I $非空. $ \tau $是存在的且$ \tau>\xi_1 $. 再由参考文献[16] 中的定理3.7和隐函数$ D(\lambda, \xi) = 0 $确定的复值函数$ \lambda(\xi) $在区间$ I $内的连续性可知, $ \lambda(\tau)\in {\Bbb R}, $且存在某个$ n, \ n\geq2 $使得$ \xi_n(\lambda(\tau)) = \tau. $再由参考文献[16] 中的推论3.4易知, $ \xi^{\prime}_n(\lambda(\tau)) = 0. $

定理2.4  $ A, \ S $的定义如上. 若$ \delta<0< \mu $, 则$ A $恰好存在两个非实特征值.

证  由引理2.4知, $ \xi_1 = \delta. $设$ I\subset {\Bbb R} $是使由隐函数$ D(\lambda, \xi) = 0 $确定的复值函数$ \lambda(\xi) $连续且$ \Im (\lambda(\xi))>0 $的最大区间. 记$ \tau $为$ I $的右端点. 则由引理2.7和$ \mu $的定义可知, $ \mu\leq \tau. $因为$ \delta<0< \mu $, 所以由引理2.6知

$ 0\in (\delta, \mu)\subseteq I. $

从而由参考文献[16] 中的推论3.4知, $ \lambda(0), \ \overline{\lambda(0)} $是$ A $的两个非实特征值.

设$ \lambda_2\in {\Bbb R}, $满足$ \xi^{\prime}_2(\lambda_2) = 0. $则由$ \mu $的定义及$ \mu>0 $易知, $ 0<\mu\leq \xi_2(\lambda_2). $令$ A(\lambda_1) $是由方程

$ -(py^{\prime })^{\prime }+qy-\lambda_2wy = \lambda wy, \ t\in J $

和边界条件(1.2) 及转移条件(1.3) 所产生的Sturm-Liouvlle算子. 由定理2.1知$ A(\lambda_2) $的非实特征值的个数不超过$ 2 $. 故由$ A(\lambda_1) $和$ A $的非实特征值是一致性知$ A $恰好存在两个非实特征值.

本节假设$ p = 1, $即考虑二阶微分方程

(3.1) $ \begin{equation} -(y^{\prime })^{\prime }+qy = \lambda wy, \;\lambda \in {\Bbb C}, \;\ t\in J = (a, c)\cup(c, b) \end{equation} $

和分离型边界条件

(3.2) $ \begin{equation} \begin{array}{cc} \cos \alpha \, y(a)- \sin \alpha \, y^{\prime }(a)\, = 0, & 0\leq \alpha <\pi , \\ 10pt] \cos \beta \, y(b)- \sin \beta \, y^{\prime }(b)\, = 0, {\quad} & 0<\beta \leq \pi \end{array} \end{equation} $

及转移条件

(3.3) $ \begin{equation} C\left[ \begin{array}{c} y(c^{-}) \\ y^{\prime }(c^{-}) \end{array} \right]+D\left[ \begin{array}{c} y(c^{+}) \\ y^{\prime }(c^{+}) \end{array} \right] = 0 \end{equation} $

所产生的Sturm-Liouvlle算子. 为了进一步给出非实特征值的上界估计, 我们首先给出下面两个引理. 令

$ K_{q} = h\int^{c}_{a}\mid q\mid+k\int^{b}_{c}\mid q\mid, \ \ \ M = -D^{-1}C = \left( \begin{array}{cc} m_{11}{\quad} & m_{12} \\ m_{21}{\quad} & m_{22} \end{array} \right), $

$ K_{M} = \left\{ \begin{array}{ll} k\mid m_{21}\overline{m_{11}}\mid, {\quad} & m_{12} = 0;\hbox{} \\ { } \frac{1}{\mid m_{12}\mid}[k\det(M)(\mid m_{22}\mid+1)+h(\mid m_{11}\mid+1)], {\quad} & m_{12}\neq0.\hbox{} \end{array} \right. $

引理3.1  令$ \phi$是给定的非实特征值$ \lambda $对应的特征函数且满足$\|\phi\|_{C}=1$, 则有如下估计

$ h\int^{c}_{a}\mid\phi_{1}'\mid^2+k\int^{b}_{c}\mid\phi_{2}'\mid^2 \leq hcot^{*}\alpha+kcot^{*}\beta+K_{M}+K_{q}. $

证  由转移条件(1.3) 和条件(1.5) 可知

$ \phi_{2}(c+) = M\phi_{1}(c-), \ \ \phi_{1}(c-) = M^{-1}\phi_{2}(c+) = \frac{1}{\det (M)}\left( \begin{array}{cc} m_{22}{\quad} & -m_{12} \\ -m_{21}{\quad} & m_{11} \end{array} \right)\phi_{2}(c+) , $

因此当$ m_{12} = 0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \phi_{2}(c+) = m_{11}\phi_{1}(c-), \ \ \ \ \phi_{2}'(c+) = m_{21}\phi_{1}(c-)+m_{22}\phi_{1}'(c-), \end{eqnarray*} $

从而有

(3.4) $ \begin{equation} h\phi_{1}'(c-)\overline{\phi_{1}(c-)}-k\phi_{2}'(c+)\overline{\phi_{2}(c+)} = k\mid m_{21}\overline{m_{11}}\mid. \end{equation} $

当$ m_{12}\neq0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \phi_{2}(c+) = m_{11}\phi_{1}(c-)+m_{12}\phi_{1}'(c-), \ \ \ \ \phi_{1}(c-) = \frac{1}{\det(M)}(m_{22}\phi_{2}(c+)-m_{12}\phi_{2}'(c+)), \end{eqnarray*} $

从而有

(3.5) $ \begin{eqnarray} h\phi_{1}'(c-)\overline{\phi_{1}(c-)}-k\phi_{2}'(c+)\overline{\phi_{2}(c+)} & = &\frac{h}{m_{12}}(m_{11}\mid \phi_{1}(c-)\mid^{2}-\phi_{2}(c+)\overline{\phi_{1}(c-)}) \\ & &-\frac{k\det(M)}{m_{12}}( m_{22}\mid\phi_{2}(c+)\mid^{2}-\phi_{1}(c-)\overline{\phi_{2}(c+)}). \end{eqnarray} $

进一步可得

$ \begin{eqnarray*} &&h\int^{c}_{a}\mid\phi_{1}'\mid^2+k\int^{b}_{c}\mid\phi_{2}'\mid^2\\ & = &\big{|}\mid h\mid\phi_{1}(a)\mid^2cot^{*}\alpha-k\mid\phi_{2}(b)\mid^2cot^{*}\beta+h\phi_{1}'(c-)\overline{\phi_{1}(c-)}\\ &&-k\phi_{2}'(c+)\overline{\phi_{2}(c+)} -h\int^{c}_{a}q\mid\phi_{1}\mid^2-k\int^{b}_{c}q\mid\phi_{2}\mid^2\\ &\leq&hcot^{*}\alpha+kcot^{*}\beta+\mid h\phi_{1}'(c-)\overline{\phi_{1}(c-)}-k\phi_{2}'(c+)\overline{\phi_{2}(c+)}\mid +h\int^{c}_{a}\mid q\mid+k\int^{b}_{c}\mid q\mid\\ &\leq&hcot^{*}\alpha+kcot^{*}\beta+K_{M} +K_{q}. \end{eqnarray*} $

引理3.1得证.

令

$ N = \max\{\frac{1}{h}, \frac{1}{k}\}(hcot^{*}\alpha+kcot^{*}\beta+K_{M}+K_{q}), \ \rho = \min\{\frac{1}{4N}, \frac{c-a}{2}, \frac{b-c}{2}\}, $

$ m = 1+\lfloor\max\{8N(b-a), \frac{4(b-a)}{b-c}, \frac{4(b-a)}{b-c}\}\rfloor, $

其中$ \lfloor.\rfloor $为取整函数.

注3.1  令$ x_{k} = a+\frac{k(b-a)}{m}, k = 0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot, $则每个区间$ I_{k} = [x_{k-1}, x_{k}] $有一个相等的区间长度$ \frac{b-a}{m}<\frac{\rho}{2}, k = 0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot, m. $因为$ \mid w \mid\mbox{在} J \mbox{上} a.e. \mbox{大于零} $, 则由$ w\in L^{1}(J, {\Bbb R}) $和Radon-Nikodym定理可知, 存在点$ t_{k}\in I_{k}, k = 0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot, m, $及$ \eta>0, $使得$ w(t_{k})\neq0 $且对任意的含有$ t_{k} $的区间$ I\subset[t_{k}-\eta, t_{k}+\eta], $成立

(3.6) $ \begin{equation} \left|\int_{I}w\right|\geq\frac{9}{10}\int_{I}|w|. \end{equation} $

引理3.2  令$ \boldsymbol{{ {\phi} }} $是给定的非实特征值$ \lambda $对应的特征函数且满足$ \parallel \boldsymbol{{ {\phi} }} \parallel_{C} = 1 $, 则存在长度为$ \rho $的区间$ I_{\boldsymbol{{ {\phi} }}}\subset J, $使得在区间$ I_{\boldsymbol{{ {\phi} }}} $上$ \left|\boldsymbol{{ {\phi} }}(x)\right|\geq\frac{1}{2}. $

证  取$ x_{\max}\in J, $且满足$ \left|\boldsymbol{{ {\phi} }}(x_{\max})\right| = 1. $当$ \left|x-x_{\max}\right|\leq\rho $时, 结合柯西不等式和引理可得

$ \begin{eqnarray*} \left|\boldsymbol{{{\phi}}}(x)-1\right| = \left|\boldsymbol{{{\phi}}}(x)-\boldsymbol{{{\phi}}}(x_{\max})\right| & = &\left|\int_{x_{\max}}^{x}\boldsymbol{{{\phi}}}'\right| \leq\int_{x_{\max}}^{x}\left|\boldsymbol{{{\phi}}}'\right|\\ &\leq&\sqrt{\int^{x}_{x_{\max}}1}\sqrt{\int_{x_{\max}}^{x}\left|\boldsymbol{{{\phi}}}'\right|^{2}}\leq\sqrt{\left|x-x_{\max}\right|}\sqrt{N}\leq\frac{1}{2}, \end{eqnarray*} $

因此在区间$ I_{\boldsymbol{{ {\phi} }}} = [x_{\max}-\rho, x_{\max}], $或$ I_{\boldsymbol{{ {\phi} }}} = [x_{\max}, x_{\max}+\rho] $上成立$ \left|\boldsymbol{{ {\phi} }}(x)\right|\geq\frac{1}{2}. $

定理3.1  若$ \lambda $是二阶微分方程$ (3.1) $及边界条件$ (3.2) $和转移条件$ (3.3) $所产生的$ \rm Sturm-Liouvlle $算子的非实特征值, 则存在由条件中的参数$ \alpha, \beta, C, D, $系数函数$ q, w $及$ h, k, $所决定的常数$ \eta>0 $, 使得

$ \mid{\rm Re}\lambda\mid \leq \frac{20+16 N+\eta\parallel q\parallel_{1}}{3\eta w_{\eta}}, \ \mid {\rm Im}\lambda\mid\leq \frac{20}{3\eta w_{\eta}}, $

其中$ w_{\eta} = \min \{\int^{x+\eta}_{x}\mid w\mid:x\in[a, c-\eta]\cup [c, b-\eta]\}. $

证  令$ \boldsymbol{{ {\phi} }} $是给定的非实特征值$ \lambda $对应的特征函数且满足$ \parallel \boldsymbol{{ {\phi} }} \parallel_{C} = 1 $. 由注3.1可知, 存在由条件参数$ \alpha, \beta, C, D, $系数函数$ q, w $及$ h, k, $所决定的常数$ \eta>0 $及$ I_{k_{0}}, $使得$ I_{k_{0}}\subseteq I_{\boldsymbol{{ {\phi} }}} $且对任意的$ x\in[x_{k_{0}}-\eta, x_{k_{0}}] $有

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\int^{x+\eta}_{x}w\geq\frac{9}{10}\int^{x+\eta}_{x}|w|, \ \ \ \mbox{当} \ {\rm sgn}(w(x_{k_{0}})) = 1;\\ &&\int^{x+\eta}_{x}w\leq-\frac{9}{10}\int^{x+\eta}_{x}|w|, \ \ \ \mbox{当}\ {\rm sgn}(w(x_{k_{0}})) = -1. \end{eqnarray} $

下面假设$ {\rm sgn}(w(x_{k_{0}})) = 1 $, $ {\rm sgn}(w(x_{k_{0}})) = -1 $的处理方法相同. 由引理3.2和不等式(3.7) 可得如下估计

(3.8) $ \begin{equation} \mid\int^{x+\eta}_{x}w\mid\boldsymbol{{{\phi}}}\mid^{2}\mid\geq\frac{3}{16}\int^{x+\eta}_{x}\mid w\mid \geq\frac{3}{16}w_{\eta}, \ x\in[x_{k_{0}}-\eta, x_{k_{0}}], \end{equation} $

其中$ w_{\eta} = \min \{\int^{x+\eta}_{x}\mid w\mid:x\in[a, c-\eta]\cup [c, b-\eta]\}. $

因$ \boldsymbol{{ {\phi} }} $是二阶微分方程$ (3.1) $及边界条件$ (3.2) $和转移条件$ (3.3) $所产生的Sturm-Liouvlle算子的非实特征值$ \lambda $对应的特征函数, 因此把$ \boldsymbol{{ {\phi} }} $带入$ (3.1) $式, 再两边同时乘$ \overline{\boldsymbol{{ {\phi} }}} $, 并在区间$ [x, x+\eta]\subset[x_{k_{0}}-\eta, x_{k_{0}}] $上积分可得

$ \begin{eqnarray*} \boldsymbol{{{\phi}}}'\overline{\boldsymbol{{{\phi}}}}\mid^{x+\eta}_{x}+\int^{x+\eta}_{x}\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'\mid^{2}+\int^{x+\eta}_{x}q\mid\boldsymbol{{{\phi}}}\mid^{2} = \lambda\int^{x+\eta}_{x}w\mid\boldsymbol{{{\phi}}}\mid^{2}, \end{eqnarray*} $

两边同时取绝对值且利用(3.8) 式可以推出

(3.9) $ \begin{eqnarray} &&\frac{3}{16}\mid \lambda\mid w_{\eta}\leq \mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(x+\eta)\mid+\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(x)\mid+N+\parallel q\parallel_{1}, \\ &&\frac{3}{16}\mid {\rm Im}\lambda\mid w_{\eta}\leq \mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(x+\eta)\mid+\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(x)\mid. \end{eqnarray} $

利用柯西不等式及$ \eta\leq\rho, $可得

$ \int_{x_{k_{0}}-\eta}^{x_{k_{0}}}\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(t)\mid {\rm d}t\leq\sqrt{\int_{x_{k_{0}}-\eta}^{x_{k_{0}}}1{\rm d}t}\sqrt{\int_{x_{k_{0}}-\eta}^{x_{k_{0}}}\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(t)\mid^{2}{\rm d}t}\leq \sqrt{\eta N}\leq \frac{1}{2}, $

$ \int_{x_{k_{0}}}^{x_{k_{0}}+\eta}\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(t)\mid {\rm d}t\leq\sqrt{\int_{x_{k_{0}}}^{x_{k_{0}}+\eta}1{\rm d}t}\sqrt{\int_{x_{k_{0}}}^{x_{k_{0}}+\eta}\mid\boldsymbol{{{\phi}}}'(t)\mid^{2}{\rm d}t}\leq \sqrt{\eta N}\leq \frac{1}{2}. $

再结合$ (3.9) $式可得

$ \frac{3}{16}\mid \lambda\mid \eta w_{\eta}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+N+\eta\parallel q\parallel_{1}, \ \ \ \frac{3}{16}\mid {\rm Im}\lambda\mid w_{\eta}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}, $

即可得

$ \mid {\rm Re}\lambda\mid \leq \frac{20+16 N+\eta\parallel q\parallel_{1}}{3\eta w_{\eta}}, \ \mid {\rm Im}\lambda\mid\leq \frac{20}{3\eta w_{\eta}}. $

定理3.1得证.

本节, 我们研究了具体的带有转移条件并且权函数变号的正则Sturm-Liouville边值问题, 通过计算得到了非实特征值的确切个数.

例4.1  考虑正则Sturm-Liouville方程

(4.1) $ \begin{equation} -f^{\prime \prime }(x) = \lambda {\rm sgn} x f(x), \ x\in J = (-1, 0)\cup (0, 1) \end{equation} $

和边界条件

(4.2) $ \begin{equation} f(-1) = f(1) = 0 \end{equation} $

及

(4.3) $ \begin{equation} f(0-)+f(0+) = 0, \ f^{\prime }(0-)+f^{\prime }(0+) = 0. \end{equation} $

设

(4.4) $ \begin{equation} -f^{\prime \prime }(x) = \lambda f(x), \ x\in J = (-1, 0)\cup (0, 1). \end{equation} $

经过简单计算可易得, $ \{n^2{\pi}^2|n = 1, 2, \cdots\} $是边值问题(4.4), (4.2), (4.3) 的全部特征值.

下面考虑边值问题(4.1)–(4.3) 的非特征值, 即假设$ \lambda = a+{\rm i}b, \ b\neq0 $. 方程$ (4.1) $在区间$ [-1, 0] $上的通解可表示为

$ f_1(x) = C_1{\rm e}^{ux}+C_2{\rm e}^{-ux}, \ x\in (-1, 0), $

在区间$ [0, 1] $上的通解可表示为

$ f_2(x) = D_1{\rm e}^{vx}+D_2{\rm e}^{-vx}, \ x\in (0, 1), $

其中, $ C_1, C_2, D_1, D_2\in {\Bbb C} $,

$ u = \sqrt[4]{a^2+b^2}{\rm e}^{{\rm i}\frac{\theta_1}{2}}, \ \sin\theta_1 = \frac{b}{\sqrt[ 2]{a^2+b^2}}, $

$ v = \sqrt[4]{a^2+b^2}{\rm e}^{{\rm i}\frac{\theta_2}{2}}, \ \sin\theta_2 = \frac{-b}{\sqrt [2]{a^2+b^2}}. $

由边界条件$ (4.2) $和转移条件$ (4.3) $可得

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} C_{1}+C_{2}+D_{1}+D_{2} = 0, & \hbox{} \\ u(C_{1}-C_{2})+v(D_{1}-D_{2}) = 0, & \hbox{} \\ C_{1}{\rm e}^{-u}+C_{2}{\rm e}^{u} = 0, & \hbox{} \\ D_{1}{\rm e}^{v}+D_{2}{\rm e}^{-v} = 0, & \hbox{} \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

故$ \lambda = a+{\rm i}b $是边值问题(4.1)–(4.3) 的特征值当且仅当

$ \begin{eqnarray*} \Delta = \left\vert \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ u & -u & v & -v \\ {\rm e}^{-u} & {\rm e}^{u} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\rm e}^{v} & {\rm e}^{-v} \end{array} \right\vert = 0. \end{eqnarray*} $

通过计算可得, 当$ b\neq 0 $时有$ \Delta\neq0 $. 这表明了$ \lambda = a+{\rm i}b, b\neq0 $不是边值问题(4.1)–(4.3) 的特征值. 则边值问题(4.1)–(4.3) 的特征值都是实的.

注4.1  由方程$ \rm (4.1) $的系数函数的偶性和权函数的奇性可知, 边值问题(4.1)–(4.3)的特征值对应的第一个特征曲线$ \xi_1(\lambda) $满足

$ \sup \xi_1(\lambda) = \xi_1(0) = {\pi}^2>0. $

例4.2  考虑正则Sturm-Liouville方程

(4.5) $ \begin{equation} -f^{\prime \prime }(x)-2{\pi }^{2}f(x) = \lambda {\rm sgn}xf(x), \ x\in J = (-1, 0)\cup (0, 1) \end{equation} $

和边界条件

(4.6) $ \begin{equation} f(-1) = f(1) = 0 \end{equation} $

及

(4.7) $ \begin{equation} f(0-)+f(0+) = 0, \ f^{\prime }(0-)+f^{\prime }(0+) = 0. \end{equation} $

设

(4.8) $ \begin{equation} -f^{\prime \prime }(x)-2{\pi }^{2}f(x) = \lambda f(x), \ x\in J = (-1, 0)\cup (0, 1), \end{equation} $

经过简单计算可易得, $ \{(n^{2}-2){\pi }^{2}|n = 1, 2, \cdots \} $是边值问题$ (4.8), (4.6), (4.7) $的全部特征值.

下面考虑边值问题(4.5)–(4.7) 的非实特征值, 即假设$ \lambda = a+{\rm i}b, \ b>0 $. 方程$ (4.5) $在区间$ [-1, 0] $上的通解可表示为

$ f_1(x) = C_1{\rm e}^{ux}+C_2{\rm e}^{-ux}, \ x\in (-1, 0), $

在区间$ [0, 1] $上的通解可表示为:

$ f_2(x) = D_1{\rm e}^{vx}+D_2{\rm e}^{-vx}, \ x\in (0, 1), $

其中, $ C_1, C_2, D_1, D_2\in {\Bbb C} $,

$ u = \sqrt[4]{(a-2{\pi}^2)^2+b^2}{\rm e}^{{\rm i}\frac{\theta_1}{2}}, \ \sin\theta_1 = \frac{b}{\sqrt[2]{(a-2{\pi}^2)^2+b^2}}, \ \theta_1\in (0, \pi); $

$ v = \sqrt[4]{(a+2{\pi}^2)^2+b^2}{\rm e}^{{\rm i}\frac{\theta_2}{2}}, \ \sin\theta_2 = \frac{-b}{\sqrt[2]{(a+2{\pi}^2)^2+b^2}}, \ \theta_2\in (\pi, 2\pi). $

由边界条件$ (4.6) $和转移条件$ (4.7) $可得

$ \left\{ \begin{array}{ll} C_{1}+C_{2}+D_{1}+D_{2} = 0, & \hbox{} \\ u(C_{1}-C_{2})+v(D_{1}-D_{2}) = 0, & \hbox{} \\ C_{1}{\rm e}^{-u}+C_{2}{\rm e}^{u} = 0, & \hbox{} \\ D_{1}{\rm e}^{v}+D_{2}{\rm e}^{-v} = 0, & \hbox{} \end{array} \right. $

故$ \lambda = a+{\rm i}b $是边值问题(4.5)–(4.7) 的特征值当且仅当

$ \begin{eqnarray*} \Delta = \left\vert \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ u & -u & v & -v \\ {\rm e}^{-u} & {\rm e}^{u} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\rm e}^{v} & {\rm e}^{-v} \end{array} \right\vert = 0. \end{eqnarray*} $

通过计算可得, 当$ a\neq 0 $时有$ \Delta\neq0 $. 这表明了$ \lambda = a+{\rm i}b, ab\neq0 $不是边值问题(4.5)–(4.7) 的特征值. 当$ a = 0 $时, $ \Delta $变成如下形式

$ \begin{eqnarray*} \Delta = \left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ {\rm e}^{{\rm i}\theta_1} & -{\rm e}^{{\rm i}\theta_1} & -1 & 1 \\ {\rm e}^{-u} & {\rm e}^{u} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\rm e}^{v} & {\rm e}^{-v} \end{array} \right|. \end{eqnarray*} $

则等式$ \Delta = 0 $等价于

(4.9) $ \begin{eqnarray} \frac{1-\cos \theta_1}{\sin \theta_1}\sin\{2\sqrt[4]{4{\pi}^4+b^2}\sin \frac{ \theta_1}{2}\} = \frac{1}{2}\{{\rm e}^{2\sqrt[4]{4{\pi}^4+b^2}\cos \frac{\theta_1}{2} }-{\rm e}^{-2\sqrt[4]{4{\pi}^4+b^2}\cos \frac{\theta_1}{2}}\}. \end{eqnarray} $

设

$ x = 2\sqrt[4]{4{\pi }^{4}+b^{2}}\cos \frac{\theta _{1}}{2} = 2\sqrt{\sqrt{4{ \pi }^{4}+b^{2}}-2{\pi }^{2}}, \ x\in (0, \infty ), $

则$ (4.9) $式变成

$ \sqrt{1+\frac{8{\pi }^{2}}{x^{2}}}\sin \sqrt{x^{2}+8{\pi }^{2}} = \frac{\exp ^{x}-{\rm e}^{-x}}{2}. $

因为两个函数$ y(x) = \sqrt{1+\frac{8{\pi }^{2}}{x^{2}}}\sin \sqrt{x^{2}+8{\pi }^{2}} $和$ \widetilde{y(x)} = \frac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{2 } $在区间$ (0, \infty ) $内只有一个交点, 所以在区间$ (0, \infty ) $内存在唯一的正数$ b $满足方程$ (4.9). $这表明了边值问题(4.5)–(4.7) 在上半复平面$ {\Bbb C}^{+} $内存在唯一的非实特征值. 因为边值问题(4.5)–(4.7) 的非实特征值关于实轴对称的, 故此边值问题恰好有两个非实特征值, 且关于实轴和虚轴都对称的.

注4.2  由方程$ \rm (4.5) $的系数函数的偶性和权函数的奇性可知, 边值问题(4.5)–(4.7) 对应的第一个特征曲线$ \xi _{1}(\lambda ) $和第二个特征曲线$ \xi _{2}(\lambda ) $满足

$ \sup \xi _{1}(\lambda ) = \xi _{1}(0) = -{\pi }^{2}<0, \ \xi _{2}(0) = 2{\pi } ^{2}>0. $