近年来, 分数阶积分微分方程在物理等领域的应用研究日益增多. 例如, 在文献[1] 中, Carpinteri和Mainardi利用分数阶微积分处理了连续体和统计力学中的一些基本问题. 在文献[2] 中, Longhi基于非球面光腔中的横向光动力学, 提出了分数阶薛定谔方程的光学实现方法. 在文献[3] 中, Yang等人研究了一类非齐次时空分数阶扩散方程的逆初值问题. 与此同时, 这些应用研究也在不断完善分数阶微积分理论. 2000年前后, 在数学和物理的双重推动下, 分数阶微积分进入了量子力学领域. Laskin将Feynman路径积分推广到Lévy路径积分, 在此基础上导出了一种新的量子物理的基本方程—包含分数Riesz导数的空间分数阶薛定谔方程, 进而建立了分数阶量子力学体系^[4-8]. 基于Laskin的研究, Naber^[9]提出了时间分数阶薛定谔方程. 后来, Wang和Xu^[10]、Dong和Xu^[11]给出了时空分数阶薛定谔方程, 该方程将Laskin的方程和Naber的方程结合起来. 2017年, Laskin^[12]建立了时空分数阶薛定谔方程的一个新版本, 在该版本中有一个新的尺度标量, 它是量子物理中普朗克常数的时间推广. 同时, 他通过该方程求解了自由粒子的波函数和能级、时空分数阶量子力学核及其Fox's H函数表示.

在分数阶量子力学中, 分数阶薛定谔方程的提出极大地推动了该领域的发展. 研究人员已经对线性势、无限深方势阱、$ \delta $势阱、Coulomb势等势场的分数阶薛定谔方程进行了求解^[13-15]. 2010年, Jeng^[16]等学者指出, 由于分数阶薛定谔方程所包含的分数阶导数的非局部性, 针对很多局部势场, 利用分段求解方法所得的解是错误的, 而作为非局部势场的$ \delta $势的解是正确的. 在文献[14] 中, Dong和Xu利用动量表示方法求解了单$ \delta $势阱的空间分数阶薛定谔方程. 接着, Dong和Xu^[12] 建立了包含Caputo分数阶导数和Riesz分数算子的时空分数阶薛定谔方程, 给出了单$ \delta $势阱的时空分数阶薛定谔方程的解. 之后, Lin^[17]等人研究了粒子入射双$ \delta $势阱的空间分数阶薛定谔方程的解, 对结果进行了讨论, 并将动量表示方法推广到双$ \delta $势阱, 给出了粒子的能量, 它由一个超越方程决定. Oliveira^[18]等人求解了所有能量下单$ \delta $势的分数阶薛定谔方程, 并且研究了双$ \delta $势的情形, 其结果用Fox's H函数表示. 基于以上研究成果, 本文将通过Laskin最新提出的时空分数阶薛定谔方程求解出单$ \delta $势以及双$ \delta $势中运动粒子的波函数和能级, 还研究了时空分数阶量子力学核的Fox's H函数表示. 在整数阶量子力学中, Grosche^[19]从粒子的Feyman核出发, 得到了$ \delta $函数摄动下运动粒子的能级. 本文将讨论更一般的时空分数阶量子力学核, 进而从路径积分的角度对时空分数阶量子力学进行研究.

本文的安排如下: 第2节介绍了新版本的时空分数阶薛定谔方程和Fox's H函数的相关知识; 第3节根据新的时空分数阶薛定谔方程求解单$ \delta $势阱中运动粒子的波函数和能级; 第4节利用积分变换得到单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Fox's H函数表示. 第5节将单$ \delta $势阱中的结论推广到双$ \delta $势阱中.

Laskin^[12]提出了一种新的时空分数阶薛定谔方程, 考虑一维空间维度, 形式如下

(2.1) $ \begin{equation} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} \psi(x, t) = D_{\alpha, \beta}\left(-\hbar_{\beta}^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} \psi(x, t)+V(x, t) \psi(x, t), \quad 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1, \end{equation} $

这里$ \psi(x, t) $为波函数, i是虚数单位, $ {\rm i} = \sqrt {-1} $, $ V(x, t) $是势能. $ \hbar_{\beta} $和$ D_{\alpha, \beta} $是Laskin引入时空分数阶量子力学体系中的两个尺度系数, 量子尺度系数$ \hbar_{\beta} $具有物理维度$ [\hbar_{\beta}] = erg \cdot sec^{\beta} $, 尺度系数$ D_{\alpha, \beta} $具有物理维度$ [D_{\alpha, \beta}] = erg^{1-\alpha}\cdot cm^{\alpha} \cdot sec^{-\alpha\beta} $. $ \partial_{t}^{\beta} $是$ \beta $阶的左Caputo分数阶导数, 它被定义为

(2.2) $ \begin{equation} \partial_{t}^{\beta} f(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\beta)} \int_{0}^{t} \frac{f^{\prime}(\tau)}{(t-\tau)^{\beta}}{\rm d}\tau, \quad 0<\beta \leq 1, \end{equation} $

其中$ f^{\prime}(\tau) $是一阶时间导数, $ f^{\prime}(\tau) = {\rm d}f(\tau)/{\rm d}\tau $, $ \Gamma(1-\beta) $是Gamma函数. 此外, 算子$ (-\hbar_{\beta}^{2} \Delta)^{\alpha/2} $是一个时间分数阶量子Riesz导数

(2.3) $ \begin{equation} \left(-\hbar_{\beta}^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} \psi(x, t) = \frac{1}{2 \pi \hbar_{\beta}} \int \exp \left\{{\rm i}\frac{p_{\beta} x}{\hbar_{\beta}}\right\}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} \varphi\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d}p_{\beta}, \end{equation} $

这里$ \psi(x, t) $和$ \varphi\left(p_{\beta}, t\right) $分别是波函数的坐标表示和动量表示, 它们通过傅里叶变换相互联系

(2.4) $ \begin{equation} \psi(x, t) = \frac{1}{2 \pi \hbar_{\beta}} \int \exp \left\{{\rm i} \frac{p_{\beta} x}{\hbar_{\beta}}\right\} \varphi\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d}p_{\beta}, \end{equation} $

(2.5) $ \begin{equation} \varphi\left(p_{\beta}, t\right) = \int \exp \left\{-{\rm i}\frac{p_{\beta} x}{\hbar_{\beta}}\right\} \psi(x, t) {\rm d}x. \end{equation} $

为了得到时空分数阶薛定谔方程的算子形式, 定义时间分数阶量子动量算子$ \hat{p}_{\beta} $为

(2.6) $ \begin{equation} \hat{p}_{\beta} = -{\rm i}\hbar_{\beta} \frac{\partial}{\partial x}, \end{equation} $

量子坐标算子$ \hat{x} $为

(2.7) $ \begin{equation} \hat{x} = x, \end{equation} $

然后利用(2.6)、(2.7) 两式, 可以将时空分数阶薛定谔方程(2.1) 表示为算子形式

(2.8) $ \begin{equation} \begin{array}{l} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} \psi(x, t) = \hat{H}_{\alpha, \beta}\left(\hat{p}_{\beta}, \hat{x}\right) \psi(x, t) = \left(D_{\alpha, \beta}\left|\hat{p}_{\beta}\right|^{\alpha}+V(\hat{x}, t)\right) \psi(x, t), \\ 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1, \end{array} \end{equation} $

其中, $ \hat{H}_{\alpha, \beta}\left(\hat{p}_{\beta}, \hat{x}\right) $为时空分数阶量子力学算子, 该算子被称为伪哈密顿算子^[11]. 其算子形式与空间分数阶及整数阶情形类似, 但性质上有本质差别. 在空间分数阶及整数阶量子力学中, 粒子的能级是哈密顿算子的本征值; 而在时空分数阶量子力学中, 粒子的能级不再是伪哈密顿算子的本征值, 粒子的能级与时间$ t $相关, 违背了概率守恒定律, 这体现了时空分数阶量子体系和空间分数阶及整数阶量子体系的重大差别.

H函数由Fox^[20]提出, 它具有许多有趣的性质, 可应用于时空分数阶量子力学中的积分计算. 在文献[21] 中给出了H函数的定义及其基本性质, 讨论了H函数的各种变换, 如Laplace变换、Fourier变换、余弦变换等, 并且研究了它们的性质以及它们之间的一些关系. 这里介绍本文将会用到的Laplace变换以及余弦变换, H函数的Lapalce变换可以写成如下形式

(2.9) $ \begin{equation} L\left\{x^{\rho-1} H_{p, q+1}^{m, n}\left[a x^{\sigma} |_{\left(b_{q}, B_{q}\right), (1-\rho, \sigma)}^{\left(a_{p}, A_{p}\right) } \right]; s \right\} = s^{-\rho} H_{p, q}^{m, n}\left[a s^{-\sigma} |_{\left(b_{q}, B_{q}\right)}^{\left(a_{p}, A_{p}\right)}\right], \end{equation} $

利用H函数的性质(参考文献[22] 中的(1.38)式), 得到H函数的Lapalce的逆变换

(2.10) $ \begin{equation} L^{-1}\left\{s^{-\rho} H_{p, q}^{m, n}\left[a s^{\sigma} |_ {\left(b_{q}, B_{q}\right)}^{\left(a_{p}, A_{p}\right)}\right] ; t \right\} = t^{\rho-1} H_{p+1, q}^{m, n} \left[a t^{-\sigma} |_ {\left(b_{q}, B_{q}\right)}^{\left(a_{p}, A_{p}\right), \left(\rho, \sigma\right)}\right], \end{equation} $

其中$ \rho, a, s, \alpha \in C $, $ {\rm Re}(s)>0 $, $ \sigma>0 $, $ {\rm Re}(\rho)+\sigma \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left[\frac{1}{A_{i}}-\frac{{\rm Re}\left(a_{i}\right)}{A_{i}}\right]>0 $, 并且$ |\arg a|<\frac{1}{2} \pi \theta $, 这里$ \theta = \alpha-\rho $.

H函数的余弦变换由Prodnikov^[23]等人定义为

(2.11) $ \begin{equation} \int_{0}^{\infty} t^{v-1} \cos (xt) H_{p, q}^{m, n}[ a t^{\alpha}|_{\left(b_{q}, B_{q}\right)} ^{\left(a_{p}, A_{p}\right)}]{\rm d} t = \frac{\pi}{x^{v}} H_{p+1, q+2}^{m+1, n}\left[ \frac{x^{\alpha}}{a}|_{(v, \alpha), \left(1-a_{p}, A_{p}\right), \left(\frac{v+1}{2}, \frac{\alpha}{2}\right)}^ { ( 1 - b _ {q} , B _ {q} ) , ( \frac { v + 1 } { 2 } , \frac { \alpha } { 2 } ) }\right], \end{equation} $

其中$ {\rm Re}\left[v+\alpha \min\limits_{1 \leq j \leq m}\left(\frac{b_{j}}{B_{j}}\right)\right]>0 $, $ {\rm Re}\left[v+\alpha \max\limits_{1 \leq j \leq n}\left(\frac{a_{j}-1}{A_{j}}\right)\right]<0 $, $ |\arg a|<\pi \lambda /2 $, 并且$ \lambda $定义为$ \lambda = \sum\limits_{j = 1}^{m} B_{j}+\sum\limits_{j = 1}^{n} A_{j}-\sum\limits_{j = m+1}^{q} B_{j}-\sum\limits_{j = n+1}^{p} A_{j} $.

本节考虑时空分数阶量子体系下单$ \delta $势阱中粒子的运动. 假定单$ \delta $势的势函数$ V(x) = -\gamma \delta(x)(\gamma>0) $, 这里$ \delta(x) $表示Dirac delta函数, 伪哈密顿算子可以写成如下形式

(3.1) $ \begin{equation} \hat{H}_{\alpha, \beta}\left(\hat{p}_{\beta}, \hat{x}\right) = D_{\alpha, \beta}\left|\hat{p}_{\beta}\right|^{\alpha}-\gamma \delta(\hat{x}), \end{equation} $

显然(3.1) 式中伪哈密顿算子与时间无关, 则方程(2.8) 的解可以写成可分离变量的形式

(3.2) $ \begin{equation} \psi_{\alpha, \beta}(x, t) = \varphi_{\alpha, \beta}(x) \chi_{\alpha, \beta}(t), \quad 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1, \end{equation} $

其中$ \varphi_{\alpha, \beta}(x) $和$ \chi_{\alpha, \beta}(t) $分别是波函数$ \psi_{\alpha, \beta}(x, t) $的空间分量和时间分量, 这里假设初始波函数$ \psi_{\alpha, \beta}(x, t = 0) = \psi_{\alpha, \beta}(x, 0) $是标准化的

(3.3) $ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi_{\alpha, \beta}(x, 0)\right|^{2} {\rm d}x = |\chi(0)|^{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi_{\alpha, \beta}(x)\right|^{2} {\rm d}x = 1, \end{equation} $

其中$ \chi(0) = \chi_{\alpha, \beta}(x, 0) $是波函数$ \psi_{\alpha, \beta}(x, t) $与时间相关部分的初始条件. 将(3.2) 式带入方程(2.8) 中可以得到两个方程

(3.4) $ \begin{equation} \left(D_{\alpha, \beta}\left|\hat{p}_{\beta}\right|^{\alpha / 2}-\gamma \delta(\hat{x})\right) \varphi_{\alpha, \beta}(x) = \varepsilon_{\alpha, \beta} \varphi_{\alpha, \beta}(x), \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} \chi_{\alpha, \beta}(t) = \varepsilon_{\alpha, \beta} \chi_{\alpha, \beta}(t), \quad \chi_{\alpha, \beta}(t = 0) = \chi(0), \end{equation} $

这里$ \varepsilon_{\alpha, \beta} $是由(3.1) 式定义的量子力学伪哈密顿算子的本征值, $ \varphi_{\alpha, \beta}(x) $是本征函数.

参见文献[14], 我们可以得到

(3.6) $ \begin{equation} \varepsilon_{\alpha, \beta} = -\left[\frac{\gamma \beta\left(\frac{1}{\alpha}, 1-\frac{1}{\alpha}\right)}{\pi \hbar_{\beta} \alpha D_{\alpha, \beta}^{\frac{1}{\alpha}}}\right]^{\frac{\alpha}{\alpha-1}} = -\left[\gamma\left(\sin \frac{\pi}{\alpha} \hbar_{\beta} \alpha D_{\alpha, \beta}^{\frac{1}{\alpha}}\right)^{-1}\right]^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}, \end{equation} $

其中$ \beta(u, v) $是$ \beta $函数, 它的定义是$ \beta(u, v) = \int_{0}^{1} x^{u-1}(1-x)^{v-1} {\rm d}x ({\rm Re} u>0, {\rm Re} v>0) $,

(3.7) $ \begin{equation} \varphi_{\alpha, \beta}(x) = C_{1} H_{2, 3}^{2, 1}\left[|x|\left(\frac{D_{\alpha, \beta} \hbar_{\beta}^{\alpha}}{-\varepsilon_{\alpha, \beta}}\right)^{-1 / \alpha} |_{(0, 1), (1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}^{(1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}\right], \end{equation} $

这里$ C_{1} = \frac{-\gamma C}{2 \pi \hbar_{\beta}^{2} \varepsilon_{\alpha, \beta} \alpha}\left(\frac{D_{\alpha, \beta}}{-\varepsilon_{\alpha, \beta}}\right)^{-1 / \alpha} $, 其中$ C = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}\right) {\rm d}p_{\beta} $($ C $为常数).

应用Lapalce变换^[12], 方程(3.5) 的解为

(3.8) $ \begin{equation} \chi_{\alpha, \beta}(t) = \chi(0) E_{\beta}\left(\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar^{\beta}}\right), \end{equation} $

结合(3.2)、(3.8) 两式, 得到单$ \delta $势阱中运动粒子的波函数

(3.9) $ \begin{equation} \psi_{\alpha, \beta}(x, t) = C_{2} H_{2, 3}^{2, 1}\left[|x|\left(\frac{D_{\alpha, \beta} \hbar_{\beta}^{\alpha}}{-\varepsilon_{\alpha, \beta}}\right)^{-1 / \alpha} |_{(0, 1)(1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}^{(1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}\right] E_{\beta}\left(\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar^{\beta}}\right), \end{equation} $

其中$ C_{2} = C_{1}\chi(0) $. 根据时空分数阶量子力学框架下量子系统的能量定义^[12], 并运用初始波函数的标准化条件(3.3) 式可以求得单$ \delta $势阱中运动粒子的能级为

(3.10) $ \begin{equation} E_{\alpha, \beta} = \int \psi_{\alpha, \beta}^{*}(x, t) \hat{H}_{\alpha, \beta}\left(\hat{p}_{\beta}, \hat{x}_{\beta}\right) \psi_{\alpha, \beta}(x, t) {\rm d}x = \varepsilon_{\alpha, \beta}\left|E_{\beta}\left(\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right)\right|^{2}, \end{equation} $

这里$ E_{\beta}(z) $是由级数定义的Mittag-Leffler函数,

(3.11) $ \begin{equation} E_{\beta}(z) = \sum\limits_{\mathrm{k} = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{\Gamma(\beta k+1)}. \end{equation} $

显然单$ \delta $势阱中运动粒子的能级与时间$ t $相关, 伪哈密顿算子的本征值不是粒子的能级. 由此可见, 在时空分数阶量子力学中, 空间分形和时间分形是相互独立的. 空间分形中空间分数阶导数的存在支持量子力学概率守恒, 而时间分形中时间分数阶Caputo导数的存在不支持量子力学概率守恒, 因而时空分数阶量子力学违背了概率守恒定律. 当$ \beta = 1 $时, 可以得到单$ \delta $势的空间分数阶薛定谔方程的解^[14]; 当$ \alpha = 2 $、$ \beta = 1 $时, 可以得到单$ \delta $势的整数阶薛定谔方程的解^{[24, 25]}.

根据上面的结果, 我们可以建立单$ \delta $势阱的偶宇称态和奇宇称态, 其中偶宇称态中的粒子有束缚态, 而$ \delta $势阱对奇宇称态中的粒子没有作用, 更多细节可以参见文献[14].

在量子力学中, 粒子从点$ a $运动到点$ b $的概率振幅通常称作路径积分核, 或简称为核. 设单$ \delta $势阱中自由粒子从点$ (0, 0) $出发, 终止于点$ (x, t) $, 因此得到量子力学路径积分核$ K_{\alpha \beta} (x, t) $, 它包含了起点到终点的所有路径. 由于量子力学核是一种波函数, 则单$ \delta $势阱中运动粒子的量子力学核$ K_{\alpha \beta} (x, t) $一定满足时空分数阶薛定谔方程

(4.1) $ \begin{equation} \begin{array}{l} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} K_{\alpha, \beta}(x, t) = D_{\alpha, \beta}\left(-\hbar_{\beta}^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} K_{\alpha, \beta}(x, t)-\gamma \delta(x) K_{\alpha, \beta}(x, t), \\ 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1. \end{array} \end{equation} $

我们定义$ K_{\alpha \beta} (x, t) $的Fourier变换为$ K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} K_{\alpha, \beta}(x, t) {\rm d} x $, 易得

(4.2) $ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}(x, t) = \frac{1}{2 \pi \hbar_{\beta}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d} p_{\beta}, \end{equation} $

方程(4.1) 两边同时乘以$ e^{-{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} $, 并用(4.2) 式替换方程(4.1) 中的$ K_{\alpha, \beta}(x, t) $, 然后对$ x $由$ -\infty $到$ \infty $积分得到

(4.3) $ \begin{equation} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) = D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right)-\frac{\gamma \rho f(t)}{2 \pi \hbar_{\beta}}, \end{equation} $

其中

(4.4) $ \begin{equation} \rho f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d}p_{\beta}. \end{equation} $

再对方程(4.3) 两边关于$ t $进行Laplace变换, 可得

(4.5) $ \begin{equation} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}\left[s^{\beta} \widetilde{K}_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, s\right)-s^{\beta-1} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, 0\right)\right] = D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} \widetilde{K}_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, s\right)-\frac{\gamma \rho F(s)}{2 \pi \hbar_{\beta}}, \end{equation} $

其中$ \widetilde{K}_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, s\right) = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d} t $. 单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核$ K_{\alpha, \beta}(x, t) $满足

(4.6) $ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}(x, t) |_{t = 0} = K_{\alpha, \beta}(x, 0) = \delta(x), \quad 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1, \end{equation} $

则可得到

(4.7) $ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, 0\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} K_{\alpha, \beta}(x, 0) {\rm d}x = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} \delta(x) {\rm d}x = 1, \end{equation} $

这里应用了$ \delta $函数的性质

(4.8) $ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) {\rm d}x = f(a). \end{equation} $

此外, 根据波函数和量子力学核的关系式

(4.9) $ \begin{equation} \psi_{\alpha, \beta}(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}x^{\prime} K_{\alpha, \beta}\left(x-x^{\prime}, t\right) \psi_{\alpha, \beta}\left(x^{\prime}, 0\right), \end{equation} $

以及(3.9) 式, 得到$ f(t) = E_{\beta}\left(\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}\right) $, 然后利用Mittag-Leffler函数的定义(3.11) 式对$ f(t) $进行Laplace变换, 并将其记作$ F(s) $,

(4.10) $ \begin{equation} F(s) = L[f(t)] = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \frac{t^{\beta k}}{\Gamma(\beta k+1)}\left(\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right)^{k} {\rm d}t = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{1-\varepsilon_{\alpha, \beta} s^{-\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}. \end{equation} $

因此, (4.5) 式可以表示为

(4.11) $ \begin{equation} \tilde{K}_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, s\right) = \frac{s^{-1}}{1-D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} s^{-\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\left(1-\frac{\rho_{1} s^{-\beta}}{1-\varepsilon_{\alpha, \beta} s^{-\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right), \end{equation} $

其中$ \rho_{1} = \gamma \rho / 2 \pi {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}^{2} $. (4.11) 式即为单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Laplace-Fourier变换, 继续对(4.11) 式进行Laplace逆变换以及Fourier逆变换, 可得到单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核$ K_{\alpha, \beta}(x, t) $. 不过单纯根据积分变换的定义很难直接计算出结果, 这时可以借助本文前面介绍过的特殊函数: Fox's H函数来表示.

单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核$ K_{\alpha, \beta}(x, t) $可以由Fox's H函数表示, 它是一类由两个分形参数$ \alpha $和$ \beta $参数化的时空分数阶量子力学核. 在上一小节中, 得到了单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Laplace-Fourier变换. 这小一节我们首先采用部分分式分解法以及(2.10) 式, 借助H函数对(4.11) 式关于做Laplace逆变换, 可以得到

(4.12) $ \begin{eqnarray} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right)& = & L^{-1}\left[\frac{s^{-1}}{1-\frac{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} s^{-\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}}\right] -\rho_{1} L^{-1}\left[\frac{s^{-\beta-1}}{1-\frac{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} s^{-\beta}}{ {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}} \cdot \frac{1}{1-\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} s^{-\beta}}{ {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}}\right]{} \\ & = &E_{\beta}\left(\frac{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right)-\frac{\rho_{1} \varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{\varepsilon_{\alpha, \beta}-D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha}} H_{1, 2}^{1, 1}\left[\left(-\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right) |_{(0, 1)(-\beta, \beta)} ^{(0, 1)}\right]{}\\ & &-\frac{\rho_{1} D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} t^{\beta}}{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha}-\varepsilon_{\alpha, \beta}} H_{1, 2}^{1, 1}\left[\left(-\frac{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right) |_{(0, 1)(-\beta, \beta)} ^{(0, 1)}\right], \end{eqnarray} $

这里用到了两个特殊函数的H函数表示: 由级数给出的Mittag-Leffler函数(3.11) 式可以用H函数表示(参见文献[21] 中的(1.48)式)

(4.13) $ \begin{equation} E_{\beta}(z) = H_{1, 2}^{1, 1}\left[-z|_{(0, 1), (0, \beta)}^{(0, 1)} \right], \end{equation} $

以及H函数的一个恒等式(参见文献[21] 中的(1.43)式)

(4.14) $ \begin{equation} \frac{1}{1-z} = H_{1, 1}^{1, 1}\left[-\left.z\right|_{(0, 1)} ^{(0, 1)}\right]. \end{equation} $

(4.12) 式是单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的动量表示, 再对$ K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) $关于$ p_{\beta} $进行Fourier逆变换, 得到

(4.15) $ \begin{equation} K_{\alpha, \beta}(x, t) = \frac{1}{2 \pi \hbar_{\beta}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d}p_{\beta} = \frac{1}{\pi \hbar_{\beta}} \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{p_{\beta} x}{\hbar_{\beta}}\right) K_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, t\right) {\rm d}p_{\beta}, \end{equation} $

应用部分函数的级数形式以及Fox's H函数的余弦变换(2.11) 式, 可得

(4.16) $ \begin{eqnarray} &&K_{\alpha, \beta}(x, t) = \frac{1}{\alpha|x|} H_{3, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{D_{\alpha, \beta} t^{\beta}}\right)^{1 / \alpha}|x| |_{(1, 1), (1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha), (1, \beta /\alpha), (1, 1 / 2)}\right]{} \\ &&+\frac{\rho_{1} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{\alpha|x| \varepsilon_{\alpha, \beta}} H_{2, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta}}{D_{\alpha, \beta}}\right)^{1 / \alpha}|x| |_{(1, 1), (1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}\right] H_{1, 2}^{1, 1}\left[\left(-\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right) |_{(1, 1), (0, \beta)} ^{(1, 1)}\right] {}\\ & &-\frac{\rho_{1} t^{\beta}}{\alpha|x|} \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left(\frac{\varepsilon_{\alpha, \beta}|x|^{\alpha}}{D_{\alpha, \beta}}\right)^{k} H_{3, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{D_{\alpha, \beta} t^{\beta}}\right)^{1 / \alpha}|x| |_{(1-\alpha k, 1), (1, 1 / \alpha), (1-\alpha k / 2, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha), (1+\beta, \beta/\alpha), (1-\alpha k / 2, 1 / 2)}\right], \end{eqnarray} $

上述等式即为单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Fox's H函数表示. 因为方程(4.1) 中含有$ \beta $阶时间导数, 所以单$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核$ K_{\alpha, \beta}(x, t) $不满足量子叠加定律. (4.16) 式右边的第一项是自由粒子的时空分数阶量子力学核的Fox's H函数表示, 该结果Laskin已经给出(参见文献[12], 考虑势能$ V(x, t) = 0 $的情形).

本节主要是将单$ \delta $势阱中得到的结论推广到双$ \delta $势阱中, 这里不妨设双$ \delta $势的势函数为$ V(x) = -\gamma\left[\delta\left(x+\frac{l}{2}\right)+\delta\left(x-\frac{l}{2}\right)\right](\gamma>0) $, 则新的伪哈密顿算子可以写成

(5.1) $ \begin{equation} \hat{H}_{\alpha, \beta}\left(\hat{p}_{\beta}, \hat{x}\right) = D_{\alpha, \beta}\left|\hat{p}_{\beta}\right|^{\alpha}-\gamma\left[\delta\left(\hat{x}+\frac{l}{2}\right)+\delta\left(\hat{x}-\frac{l}{2}\right)\right]. \end{equation} $

根据单$ \delta $势阱时空分数阶薛定谔方程的动量表示方法, 可得双$ \delta $势阱中运动粒子的波函数

(5.2) $ \begin{eqnarray} \bar{\psi}_{\alpha, \beta}(x, t)& = &\sum\limits_{n = \pm l} \frac{-\gamma k(n) \chi(0)}{2 \alpha \pi \hbar_{\beta}^{2} \bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}}\left(\frac{D_{\alpha, \beta}}{-\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}}\right)^{-\frac{1}{\alpha}} {}\\ & & H_{2, 3}^{2, 1}\left[ \left|x+\frac{n}{2}\right|\left(\frac{D_{\alpha, \beta} \hbar_{\beta}^{\alpha}}{-\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}}\right)^{-\frac{1}{\alpha}} |_{(0, 1), (1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)} ^{(1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}\right] E_{\beta}\left(\frac{\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar^{\beta}}\right), \end{eqnarray} $

其中$ k(l) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-{\rm i} p_{\beta} \frac{l}{2} / \hbar} \varphi_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}\right) {\rm d}p_{\beta} $, (5.2) 式的本征值$ \bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta} $由以下超越方程^[17]决定

(5.3) $ \begin{equation} \frac{\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta} \pi \hbar}{\alpha|l|} H_{2, 3}^{2, 1}\left[|l|\left(\frac{D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha}}{-\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}}\right)^{-1 / \alpha} |_{(0, 1), (1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}^{(1-1 / \alpha, 1 / \alpha), (1 / 2, 1 / 2)}\right] = 0, \end{equation} $

结合(3.10)、(5.3) 两式可以得到双$ \delta $势阱中运动粒子的能级. 取$ \beta = 1 $, (5.2)、(5.3) 两式与双$ \delta $势的空间分数阶薛定谔方程的结论一致(参见文献[17, 18]).

双$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核$ \bar{K}_{\alpha, \beta}(x, t) $满足一维时空分数阶薛定谔方程

(5.4) $ \begin{equation} \begin{array}{l} {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta} \partial_{t}^{\beta} \bar{K}_{\alpha, \beta}(x, t) = D_{\alpha, \beta}\left(-\hbar_{\beta}^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} \bar{K}_{\alpha, \beta}(x, t)-\gamma\left[\delta\left(x+\frac{l}{2}\right)+\delta\left(x-\frac{l}{2}\right)\right] \bar{K}_{\alpha, \beta}(x, t), \\ 1<\alpha \leq 2, \quad 0<\beta \leq 1, \end{array} \end{equation} $

方程(5.4) 两边同时乘以$ e^{-{\rm i} p_{\beta} x / \hbar_{\beta}} $, 然后做Fourier变换并对方程两端关于$ x $由$ -\infty $到$ \infty $积分, 可以得到双$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Laplace-Fourier变换形式

(5.5) $ \begin{equation} \widetilde{\bar{K}}_{\alpha, \beta}\left(p_{\beta}, s\right) = \frac{s^{-1}}{1-D_{\alpha, \beta}\left|p_{\beta}\right|^{\alpha} s^{-\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\left(1-\frac{\omega(l) s^{-\beta}}{1-\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta} s^{-\beta} / {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right), \end{equation} $

这里$ \omega(l) = \gamma\left[k(l) \exp \left(\frac{{\rm i} p_{\beta} l}{2 \hbar_{\beta}}\right)+k(-l) \exp \left(-\frac{{\rm i} p_{\beta} l}{2 \hbar_{\beta}}\right)\right] /\left(2 \pi {\rm i}^{\beta}\hbar_{\beta}^{2}\right) $, 再对(5.5) 式进行Laplace逆变换以及Fourier逆变换, 可以得到

(5.6) $ \begin{eqnarray} \bar{K}_{\alpha, \beta}(x, t)& = & \frac{1}{\alpha|x|} H_{3, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{D_{\alpha, \beta} t^{\beta}}\right)^{1 / \alpha}|x| |_{(1, 1), (1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha), (1, \beta / \alpha), (1, 1 / 2)}\right] {}\\ & &+\sum\limits_{n = \pm l} \frac{\omega_{1}(n) {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{\alpha\left|x+\frac{n}{2} \right| \bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}} H_{2, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}}{D_{\alpha, \beta}}\right)^{1 / \alpha}\left|x+\frac{n}{2}\right| |_{(1, 1), (1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha), (1, 1 / 2)}\right] {}\\ &&H_{1, 2}^{1, 1}\left[\left(-\frac{\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta} t^{\beta}}{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}\right) |_{(1, 1), (0, \beta)} ^{(1, 1)}\right]-\sum\limits_{n = \pm l} \frac{\omega_{1}(n) t^{\beta}}{\alpha\left|x+\frac{n}{2}\right|} \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left(\frac{\bar{\varepsilon}_{\alpha, \beta}|x|^{\alpha}}{D_{\alpha, \beta}}\right)^{k}{} \\ &&H_{3, 3}^{2, 1}\left[\frac{1}{\hbar_{\beta}}\left(-\frac{{\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}}{D_{\alpha, \beta} t^{\beta}}\right)^{1 / \alpha}\left|x+\frac{n}{2}\right| |_{(1-\alpha k, 1), (1, 1 / \alpha), (1-\alpha k / 2, 1 / 2)}^{(1, 1 / \alpha)(1+\beta, \beta / \alpha)(1-\alpha k / 2, 1 / 2)}\right], \end{eqnarray} $

其中$ \omega_{1}(l) = \frac {\gamma K(l)} {2 \pi {\rm i}^{\beta} \hbar_{\beta}^{2}} $. 这正是双$ \delta $势阱中运动粒子的时空分数阶量子力学核的Fox's H函数表示. 当$ l = 0 $时, (5.6) 式可以转化为单$ \delta $势阱中的结果(4.16) 式.