设$\Omega$是${{\Bbb R}} ^{n}$中具有光滑边界$\partial\Omega$的连通有界区域, 考虑$p$ -扭转刚性问题

其中$\triangle_{p}u = {\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$, $2\leq p<\infty$.

定义1.1  设$\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega$)是任意具有紧支集的光滑函数, 称$u\in W_{0}^{1, p}(\Omega)$是方程(1.1)的弱解, 当且仅当

我们知道, $p$ -扭转刚性问题(1.1)有唯一解$u\in C^{1, \alpha}$, 这里$\alpha\in(0, 1)$, 参见文献[16]. 一般地, 在$\nabla u = 0$处$u$不是$C^{2}$的. 本文我们假定$u\in C^{1}(\bar{\Omega})$, 那么$|\nabla u|^{p-1}\in W^{1, 2}(\Omega)$, 参见文献[11].

定义1.2  设${\cal A}$是${{\Bbb R}} ^{n}$中具有光滑边界的所有连通有界区域的集合, 若

则称$J(D)$是关于区域$D$的泛函. 这里对于每个$D\in{\cal A}$, $u_{D} \in W^{1, p}(D)\bigcap C^{1}(\overline{D})$是$p$ -扭转刚性问题(1.1)的解.

考虑最优化问题

当$p = 2$时, Choulli等^[3]证明了泛函$J(D)$的最优形状是球形. 最近Farjudian等^[5]研究了定义在光滑有界的体积约束区域${\cal A_{\epsilon}} = \{D\subseteq {{\Bbb R}} ^{n}:\ |D| = \epsilon, \ \epsilon>0 \}$上$p$ -扭转刚性问题(1.1)的另一个域泛函

他们推广了Talenti^[15]的经典结果, 即证明了该泛函的最优形状是球形. 对于Monge-Ampère方程的形状优化问题, 参见文献[2].

Choulli等^[3]证明在$p = 2$的情况下, $D_{0}$是域泛函$J(D)$的最优形状, 当且仅当超定问题

有解, 因此由Serrin^[12]的定理知$D_{0}$是球形. 事实上, 这个结论可由Choulli等^[3]的结论直接推导出来, 因为在$p = 2$时, 他们证明对于任意的$D\in{\cal A}$都有$J(D)\geq0$, 如果存在一个区域$D_{0}$使得$J(D_{0}) = 0$, 那么从他们的证明中可以推出, $\nabla^{2}u = -\frac{1}{n}I$, 其中$I$表示单位矩阵, 因此$u = R^{2}-\frac{|x-x_{0}|^{2}}{2n}$, 所以根据Dirichlet边界条件可知$D_{0}$是球形.

本文我们讨论$p$ -扭转刚性问题(1.1)的最优区域, 不是简单地从$p = 2$推广到更一般的情况, 因为当$p\neq2$时, 不能从$J(D_{0}) = 0$推出等式$\nabla^{2}u = -\frac{1}{n}I$, 所以我们不能使用$p = 2$时获得最优区域的办法.

为了克服这个困难, 我们引进辅助函数

我们利用Bernstein的方法证明$P(x)$在边界上是常数, 那么由Dirichlet边界条件可知$|\nabla u|$在边界上是常数, 即：$u$是如下超定问题(1.4)的解.

定理1.1  设$D_{0}$是${{\Bbb R}} ^{n}$中具有光滑边界$\partial D_{0}$的连通有界区域. 假设$u(x) \in W^{1, p}(D_{0})\bigcap$$C^{1}(\overline{D}_{0})$是在$\Omega = D_{0}$中$p$ -扭转刚性问题(1.1)的解, 那么$D_{0}$是域泛函$J(D)$在${\cal A}$中的最优形状当且仅当$u(x)$是超定问题$(1.4)$在$\Omega = D_{0}$中的解.

Garofalo等^[8]证明了, 如果$p$ -扭转刚性超定问题

有解$u\in W^{1, p}(\Omega)\bigcap C^{1}(\overline{\Omega})$, 那么$\Omega$是球形. 因此可得如下推论.

推论1.1  域泛函$J(D)$在${\cal A}$中的最优形状是球形.

超定问题(1.3)是由Serrin^[12]通过移动平面法证明的. 随后Weinberger^[17]利用极大值原理和Pohožaev^[10]恒等式给出一个非常简单的证明. Choulli等^[3]利用域导数和Alexandrov^[1]的定理给出超定问题(1.3)的另一种证明. 超定问题(1.4)首先是由Garofalo等^[8]利用Weinberger的方法证明的, 也参见文献[6-7, 9]. 据目前所知, 超定问题(1.4)还没有其他证明方法, 本文我们利用Choulli等^[3]域导数的方法给出超定问题(1.4)的另一种证明.

定理1.2  设$\Omega = D_{0}$是${{\Bbb R}} ^{n}$中具有光滑边界$\partial D_{0}$的连通有界区域. 如果超定问题$(1.4)$有解$u\in W^{1, p}(D_{0})\bigcap C^{1}(\overline{D}_{0})$, 那么$D_{0}$是球形.

首先我们给出定理1.1的证明, 这里分为三个部分. 第一部分是证明对于任意的$D\in{\cal A}$, 有$J(D)\leq0$. 第二部分是证明如果存在区域$D_{0}$使得$J(D_{0}) = 0$, 那么超定问题(1.4)在$\Omega = D_{0}$中有解. 第三部分是证明如果在$\Omega = D_{0}$中超定问题(1.4)有解, 那么$J(D_{0}) = 0$.

我们先证明如下引理.

引理2.1  设$D$是${{\Bbb R}} ^{n}$中具有光滑边界$\partial D$的连通有界区域. 假设$u(x) \in W^{1, p}(D)\bigcap C^{1}(\overline{D})$是$p$ -扭转刚性问题$(1.1)$在$\Omega = D$中的解, 那么

证  首先我们证明在$D$中恒有$u\geq0$. 在定义1.1中取截断函数$\varphi = \min\{u, 0\}$. 因为$\nabla \varphi = \nabla u$在$\{u<0\}$中几乎处处相等, 在其他地方$\varphi = 0$, 所以

因此在$\{u<0\}$中$u = 0$, 即在$\Omega$中几乎处处有$u\geq0$, 又因为$u\in C^{1}(\overline{D})$, 所以在$D$中$u\geq0$.

其次证明${\cal K}\triangleq \{x| \nabla u(x) = 0\}$的测度是零. 事实上, ${{\cal K}}$的内点组成的集合$\mathop{{\cal K}}\limits^{\circ}$是空集, 若不然, 假设存在内点$x_{0}\in \mathop{{\cal K}}\limits^{\circ}$, 那么必然存在$x_{0}$的一个邻域$D'$使得$D'\subset\subset {\cal K}$. 那么可取截断函数$\eta$使得它的支集包含在${\cal K}$中, 并且在$D'$中$\eta\equiv1$, 在${\cal K}$中$|\nabla\eta|\leq C$. 因此

上式蕴含着在$D'$中$u\equiv 0$. 因为$u$是方程(1.1)的弱解, 所以这是不可能的. 由矛盾性可知$\mathop{{\cal K}}\limits^{\circ} = \phi$. 又由$u(x) \in C^{1}(\overline{D})$知, 测度${\cal K}\triangleq \{x| \nabla u(x) = 0\}$等于零.

现在我们开始引理的证明. 对使得$\nabla u(x_{0})\neq0$的任意$x_{0}\in D$, 取标准正交基$e_{1}, \cdot\cdot\cdot, e_{n}$使得在水平集$\{x|u(x) = u(x_{0})\}$上$e_{n} = \frac{-\nabla u}{|\nabla u|}$, 那么

对以上不等式两边同时乘以$u|\nabla u|^{2p-4}$并在$D\setminus{\cal K}$上积分, 可得

因为测度${\cal K}\triangleq \{x| \nabla u(x) = 0\}$是零, $|\nabla u|^{p-1}\in W^{1, p}(D)$和$\triangle_{p} u = -1$, 所以

显然, 以上不等式的等号成立当且仅当对使得$\nabla u(x)\neq0$的所有$x$, 都有

这就完成了引理2.1的证明.

引理2.2  对任意的$D\in{\cal A}$, 有$J(D)\leq0$.

证  设$\varepsilon_{0}>0$充分小, 对$\varepsilon<\varepsilon_{0}$, 定义$D_{\varepsilon_{0}} = \{x\in D|\ dist(x, \partial D)>\varepsilon_{0}\}$. 设$\rho_{\varepsilon}$是磨光算子, 定义$u^{\varepsilon} = u*\rho_{\varepsilon}$. 我们注意, 在$D_{\varepsilon_{0}}$中$\Delta_{p}u^{\varepsilon} = -1$, 那么由分部积分公式得

继续利用分部积分公式, 可知

因为$\triangle_{p}u^{\varepsilon} = |\nabla u^{\varepsilon}|^{p-2}\triangle u^{\varepsilon}+\nabla|\nabla u^{\varepsilon}|^{p-2}\cdot\nabla u^{\varepsilon} = -1$, 所以

因为在$\partial D$上$u = 0$, 所以在$\partial D$上$|\nabla u|>0$. 因此, 可取充分小的$\varepsilon_{0}$使得在$\overline{D}\setminus D_{\varepsilon_{0}}$中$u\in C^{2, \alpha}$. 由标准的边界正则性理论, 我们得到在$\partial D$上$|\nabla u|$是有界的. 因为在$\partial D$上$u = 0$, 则由方程可知在$\partial D$上$\nabla^{2}u$是有界的, 从而得到$u$在$\overline{D}\setminus D_{\varepsilon_{0}}$中$C^{2}$范数的界, 它不依赖于$\varepsilon_{0}$. 令$\varepsilon\rightarrow 0$和$\varepsilon_{0}\rightarrow 0$, 我们得到(2.2)式右边第二项是零. 事实上, 由$u_{\nu} = -|\nabla u|$, 可得

由Cauchy-Schwarz不等式知$|\nabla u|^{2}|\nabla^{2} u\cdot\nabla u|^{2}\geq(\nabla^{2} u(\nabla u, \nabla u))^{2}$, 那么

由引理2.1, 可知

下面我们计算(2.3)式的最后一项,

因为$u_{\nu} = -|\nabla u|$, 所以上面的等式可化为

将式(2.4)代入式(2.3), 注意到$\int_{D}u {\rm d}x = \int_{D}|\nabla u|^{p}{\rm d}x$, 可得

从而完成了引理2.2的证明.

引理2.3  如果存在区域$D_{0}$使得$J(D_{0}) = 0$, 那么在$\Omega = D_{0}$中超定问题$(1.4)$有解.

证  由引理2.1的证明得知, 如果$J(D_{0}) = 0$, 那么式(2.1)在$\overline{D}_{0}$中成立. 因为在$\partial D_{0}$上$|\nabla u(x)|\neq0$, 从而可取标准正交基$e_{1}, \cdot\cdot\cdot, e_{n}$使得在$\partial D_{0}$上$e_{n} = \nu = -\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$. 因此, 在$\partial D_{0}$上, 如下的方程成立

由式(2.1), 可得

另一方面, 在$\partial D_{0}$上, 有

将式(2.5)代入式(2.6), 在$\partial D_{0}$上, 可得

现在我们引进辅助函数$P(x) = \frac{p-1}{p}|\nabla u|^{p}+\frac{1}{n}u$. 我们将利用Bernstein的方法证明在$\partial D_{0}$上该辅助函数为常数.

设$a_{ij} = |\nabla u|^{p-2}\delta_{ij}+(p-2)|\nabla u|^{p-4}u_{i}u_{i}$, 其中$\delta_{ij} = 1$, 如果$i = j$, 否则$\delta_{ij} = 0$, 并且$u_{i} = \frac{\partial u}{\partial x_{i}}$. 自然地有$a_{ij}u_{ij} = -1$, 其中$u_{ij} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}$, 重复指标代表从$1$到$n$求和.

由Caffarelli等^[4]的定理2.2, 我们在集合${\cal C} = \{x\ |\ \nabla u (x)\neq0 , x\in D_{0}\}$中得到如下结论

由式(2.7), 我们知道在$\partial D_{0}$上$|\nabla u(x)|\neq0$. 因为$u\in C^{1}(\overline{D}_{0})$, 所以可取$D_{\varepsilon}\subset D_{0}$使得$|\nabla u(x)|\neq0$, 对$x\in D_{\varepsilon}$, 并且对于充分小的正常数$\varepsilon$, 它的两个边界由$u = 0$和$u = \varepsilon$组成. 因为$P(x)$满足式$(2.8)$, 所以, 由Hopf's引理知, $P_{\nu}(x_{0})>0$, 对于$\partial D_{\varepsilon}$上的极大值点$x_{0}$, 或在$\overline{D}_{\varepsilon}$上$P(x)$为常数. 然而由式(2.5), 可推出$P_{\nu}(x_{0}) = (p-1)|\nabla u|^{p-2}u_{\nu\nu}u_{\nu}-\frac{1}{n}u_{\nu} = 0$. 因此, $P(x)$在$\overline{D}_{\varepsilon}$中是常数. 又因为在$\partial D_{0}$上$u = 0$, 所以在$\partial D_{0}$上$|\nabla u| = c$.

这就完成了引理2.3的证明.

引理2.4  设在$\Omega = D_{0}$中超定问题$(1.4)$有解, 那么$J(D_{0}) = 0$.

证  由分部积分公式知

因为$|\nabla u|^{p-1} \in W^{1, 2}(D_{0})$, 所以

事实上, 在边界$\partial D_{0}$上, 由$\nu = -\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$和$|\nabla u| = c$, 可知

将式(2.10)代入式(2.9), 我们就得到$J(D_{0}) = 0$. 从而完成了引理2.4的证明.

现在开始定理1.2的证明. 在定理的证明之前我们有必要回顾域导数的定义, 关于域导数更详细的介绍, 读者可以参考Simon^[13]的经典文章或Sokolowski等^[14]的著作. 设$V: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{n}$是一个光滑向量场, 对每个充分小$t>0$, 定义$\phi_{t}(x) = x+tV$, $D_{t} = \phi_{t}(D)$, $J$在方向$V$上关于区域$D$的导数定义为

用$u'$表示在方向$V$上$u$关于区域$D$的域导数,

由Simon^[13]的结论知, 如果$u$是方程(1.4)的解, 那么域导数$u'\in W^{1, p}(D)\bigcap C^{1}(\overline{D})$满足如下的方程

其中$W = (p-2)|\nabla u|^{p-4}\nabla u\cdot\nabla u'\nabla u+|\nabla u|^{p-2}\nabla u'.$

证  我们注意到

由经典的Hadamard公式^[13], 我们可以得到了$J(D)$在方向$V$上关于区域$D_{0}$的域导数

由于$u'$满足具有边界条件$|\nabla u| = c$和$\nu = -\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$的方程(2.11), 那么由散度定理, 显然有

因此

对式(2.11)两边乘以$u$, 由分部积分公式可得

再结合式(2.13)和(2.14), 得到

和

在$\partial D_{0}$上考虑方程$\triangle_{p}u = -1$, 在$\partial D_{0}$上, 我们知道

所以

将方程(2.15)–(2.17)代入式(2.12), 得到

由于向量场$V$的任意性和$|\nabla u| = c\neq0$, 方程(2.18)在$\partial D_{0}$上蕴含着

从而由Alexandrov的定理^[1], 我们得到区域$D_{0}$是球形.定理1.2证毕.