数学物理学报, 2021, 41(6): 1616-1624 doi:

论文

再谈单位球上正规权Zygmund空间上的点乘子

谭梅娟, 黄莹, 张学军,

湖南师范大学数学与统计学院 长沙 410006

Another Discussion on the Pointwise Multiplier on the Normal Weight Zygmund Space in the Unit Ball

Tan Meijuan, Huang Ying, Zhang Xuejun,

College of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University, Changsha 410006

通讯作者: 张学军, E-mail: xuejunttt@263.net

收稿日期: 2021-01-16  

基金资助: 国家自然科学基金.  11942109
湖南省重点学科建设项目

Received: 2021-01-16  

Fund supported: the NSFC.  11942109
the Construct Program of the Key Discipline in Hunan Province

Abstract

Let $\mu$ be a normal function on $[0, 1)$. In this paper, the dependencies among the three conditions for which the multiplier operator is bounded on the normal weight Zygmund space ${\cal Z}_{\mu}(B)$ in the unit ball $B$ of ${{\bf C}}^{n}$ are discussed.

Keywords: Normal weight Zygmund space ; Pointwise multiplier ; Dependency ; Unit ball

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本文引用格式

谭梅娟, 黄莹, 张学军. 再谈单位球上正规权Zygmund空间上的点乘子. 数学物理学报[J], 2021, 41(6): 1616-1624 doi:

Tan Meijuan, Huang Ying, Zhang Xuejun. Another Discussion on the Pointwise Multiplier on the Normal Weight Zygmund Space in the Unit Ball. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(6): 1616-1624 doi:

1 引言

$ B $$ n $维复向量空间$ {\bf C}^{n} $中的单位球(当$ n = 1 $时记为$ D $).$ H(B) $表示$ B $上所有全纯函数类, $ H^{\infty}(B) $表示$ B $上的全体有界全纯函数.

定义1.1  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正连续函数, 若存在常数$ 0< a\leq b<\infty $$ 0\leq \rho_{0}<1 $满足在$ [\rho_{0}, 1) $$ \frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^b} $递增且$ \frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^a} $递减, 我们称$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数.

给定这样的正规函数后, $ a $$ b $一般不唯一, 而$ \rho_{0} $往往依赖于$ a $$ b $. 例如

$ \beta = \gamma = 0 $, 则可以取任意$ 0<a\leq p $和任意$ b\geq p $; 若$ \beta<0 $, 则可以取任意$ b>p $和任意$ 0<a\leq p $; 若$ \beta>0 $, 则可以取任意$ 0<a<p $和任意$ b\geq p $. 至于$ \rho_{0} $的选取, 只要$ a $$ b $确定后总能取到.

$ z = (z_{1}, \cdots, z_{n}) $$ w = (w_{1}, \cdots, w_{n}) $$ {\bf C}^{n} $中的两点, 二者的内积定义为

$ {\bf C}^{n} $上全纯函数$ f $的复梯度以及径向导数分别定义为

定义1.2  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, 如果$ f\in H(B) $

我们称$ f $属于正规权Zygmund空间$ {\cal Z}_{\mu}(B) $. 给定范数

定义1.3  设$ X $$ Y $$ B $上的两个函数空间, 给定$ B $上的一个函数$ \psi $, 如果对一切$ f\in X $都有$ \psi f\in Y $, 我们称$ \psi $为空间$ X $$ Y $的一个点乘子, 算子$ M_{\psi}: f\rightarrow \psi f $称为$ X $$ Y $的一个乘子算子.

空间$ X $$ Y $的点乘子问题实际上就是乘子算子$ M_{\psi} $是否为$ X $$ Y $的有界算子问题. 这方面的直接工作和与此有关的间接工作已经很多, 例如文献[1-27]等.

在文献[1]中, 郭雨婷等给出了如下结果:

定理X  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, $ \psi\in H(B) $, 则$ M_{\psi} $$ {\cal Z}_{\mu}(B) $上有界算子的充要条件是:$ \psi\in H^{\infty}(B) $

以及

就上述定理X的结果, 文献[1]提出了一个问题:第二个条件是否可以不要?

我们知道, 若$ \psi $是空间$ X $$ Y $的点乘子, 则必有$ \psi\in Y $ (只要$ X $含有常值函数1). 如果$ {\int_{0}^{1}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right\}{\rm d}\rho = \infty} $, 则满足$ I_{2}<\infty $的函数$ \psi $构成的集合实际上要比$ {\cal Z}_{\mu}(B) $小, 由于正规函数$ \mu $是相对抽象的, 定义中$ a $$ b $的选取有不确定性, 上述三个条件$ \psi\in H^{\infty}(B) $$ I_{1}<\infty $以及$ I_{2}<\infty $有没有必然的依赖关系尚不明显, 尤其第二个条件是不是多余的尚待讨论. 但从另一方面看, 给定一个正规函数后, $ a $有上界, $ b $有下界, 这样又为寻找上面三者之间的关系提供了一定的可能性, 本文的主要工作就是回答此问题, 进一步就各种情况探讨$ \psi\in H^{\infty}(B) $$ I_{1}<\infty $以及$ I_{2}<\infty $三者之间的关系.

在本文中, 若存在常数$ c>0 $$ c'>0 $使得$ cF \leq E \leq c'F $, 我们称$ E $等价于$ F $, 记为$ "E\asymp F" $. 相应的, 若存在常数$ c>0 $使得$ E \leq cF $ ($ E \geq cF $), 我们记为$ "E\lesssim F" $ ($ "E\gtrsim F" $). 下文中, 若没有特殊说明, $ a $$ b $总是指正规函数$ \mu $定义中的那两个参数, 同时为了计算上的方便, 本文中总假定$ r_{0} = 0 $.

2 一些引理

为了证明主要结果, 我们先给一些引理.

引理2.1[2]  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, 若$ f\in H(B) $, 则下列几条等价:

(1)   $ f\in {\cal Z}_{\mu}(B) $.

(2)   $ {I_{1} = |f(0)|+\sup_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|}<\infty $, 这里$ R^{(2)}f = R(Rf) $.

(3)   $ {I_{2} = |f(0)|+\sup_{z\in B}\mu(|z|)\ |\nabla(Rf) (z)|}<\infty $.

进一步有$ I_{1}\ \asymp \ I_{2} \ \asymp \ ||f||_{{\cal Z}_{\mu}} $, 这里的控制常数与$ f $无关.

这是文献[2]中的定理3.1.

引理2.2[3]  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, 若$ f\in {\cal Z}_{\mu}(B) $, 则

以及

对一切$ z\in B $成立.

可参见文献[3].

引理2.3  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, 则

  对一切$ 0\leq r<1 $, 根据正规函数的定义可得

引理2.4  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, 则当$ a>1 $时, 对一切$ 0\leq \rho<1 $

  根据正规函数的定义以及$ b\geq a>1 $可得: 当$ \rho\rightarrow 1^{-} $时, 有

以及

而当$ \rho\rightarrow 0^{+} $时, $ {1+ {\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\asymp \frac{1-\rho^{2}}{\mu(\rho)}}} \ \asymp \ 1. $

引理2.5  (1) 当$ \alpha>1 $$ \beta $为实数时, 则对一切$ 0\leq\rho<1 $

(2) 当$ \beta>-1 $时, 则对一切$ 0\leq\rho<1 $

(3) 对一切$ 0\leq\rho<1 $

  (1) 我们记

以及

经过简单计算可得

这样, 存在$ 0<\rho_{0}<1 $, 当$ \rho_{0}<\rho<1 $时, $ (\alpha-1)J_{\rho}<I_{\rho}<3(\alpha-1)J_{\rho} $. 而当$ 0\leq \rho\leq \rho_{0} $时, $ J_{\rho} \ \asymp \ 1 \ \asymp \ I_{\rho} $.

同样的办法可证结论(2)和(3).

引理2.6  (1) 对一切$ w\in D $

(2) 存在$ A\in(2e, 2e^{2}) $, 对一切$ w\in D $

  (1) 这种情况类似文献[4]中引理2.3的证明. 实际上, $ h(x) = {x^{2}\log\frac{e}{x}} $$ (0, \sqrt{e} \ ] $上递增, 在$ (\sqrt{e}, 2] $上递减. 因此, 当$ w\in D_{1} = \{w: w\in D \ \mbox{且} \ |1-w^{2}|\leq\sqrt{e} \ \} $时, $(1-|w|^{2})^{2}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq |1-w^{2}|^{2}\log\frac{e}{|1-w^{2}|}$.

另一方面, 当$ w\in D $$ w $不属于$ D_{1} $时, 我们有

(2) 设$ g(x) = {(2\log \frac{x}{2}-1)\log\log \frac{x}{2}-1} $, 则存在$ A\in (2e, 2e^{2}) $使得$ g(A) = 0 $, 并且$ g(x) $$ (2e, \infty) $上递增. 实际上, $ g(2e) = -1<0 $$ g(2e^{2}) = 3\log2-1>0 $以及

这是因为当$ x>2e $时,

$ h(x) = {x^{2}\log\frac{A}{x}\log\log\frac{A}{x}} $, 则$ h'(2) = 2g(A) = 0 $$ {h'(x) = xg\left(\frac{2A}{x}\right)} $. 这样可得$ h(x) $$ (0, 2] $上递增. 由于当$ w\in D $$ 0<1-|w|^{2}\leq |1-w^{2}|< 2 $, 故

引理2.6证毕.

3 主要结果

命题3.1  设$ \mu $$ [0, 1) $上的正规函数, $ \psi\in H(B) $.

(1) 若$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $, 则$ I_{2}<\infty $可推出$ \psi\in H^{\infty}(B) $$ I_{1}<\infty $. 所以此种情况起决定作用的是条件$ I_{2}<\infty $.

(2) 若$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho = \infty} $$ 1<a\leq 2 $, 则$ \psi\in H^{\infty}(B) $可推出$ I_{1}<\infty $, 但$ I_{2}<\infty $不一定能推出$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 同时$ \psi\in H^{\infty}(B) $也不一定能推出$ I_{2}<\infty $. 所以此种情况起决定作用的除了$ \psi\in H^{\infty}(B) $外可能还要求$ I_{2}<\infty $.

(3) 若$ a>2 $, 则$ \psi\in H^{\infty}(B) $可推出$ I_{1}<\infty $, 并且$ I_{1}<\infty $当且仅当$ I_{2}<\infty $. 此种情况起决定作用的是条件$ \psi\in H^{\infty}(B) $.

  (1) 当$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $时, 若$ I_{2}<\infty $, 根据引理2.1我们有$ ||\psi||_{{\cal Z}_{\mu}}\asymp I_{2} $. 再根据引理2.2就有$ \psi\in H^{\infty}(B) $. 最后利用引理2.2–2.3我们可以得到

(2) 当$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho = \infty} $$ 1<a\leq 2 $时, 利用引理2.4可知$ I_{1}<\infty $当且仅当$ {\sup_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|<\infty} $. 因此, 如果$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 则有$ I_{1}<\infty $. 至于$ I_{2}<\infty $$ \psi\in H^{\infty}(B) $可能互相推不出. 例如$ \mu(r) = {(1-r^{2})^{\alpha} \ \log^{\beta}\frac{e}{1-r^{2}}} $ ($ \alpha>0 $, $ \beta $为实数), 我们列举两种情况说明$ I_{2}<\infty $$ \psi\in H^{\infty}(B) $不能互推.

首先是$ \alpha = 2 $$ \beta<1 $时, 根据引理2.5可知$ I_{2}<\infty $当且仅当

下面说明$ I_{2}<\infty $$ \psi\in H^{\infty}(B) $不能互推. 实际上, 我们首先取

由于对任意模大于1的复数$ w $$ \log|w|\leq |\log w| $, 考虑到此时的$ R^{(2)}\psi(z) $只是$ z_{1} $的函数, 结合引理2.6可得

另一方面, 沿实轴上积分时, 根据引理2.5知

这说明$ \psi $不属于$ H^{\infty}(B) $.

我们再取$ \psi(z) = g(z_{1}) = {\exp\left\{\frac{z_{1}+1}{z_{1}-1}\right\}} $.$ z_{1} = x+y{\rm i}\in D $

但另一方面, 由于$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 则必有$ {(1-|z|^{2})\log\frac{e}{1-|z|^{2}}}\lesssim 1 $$ (1-|z|^{2})|R \psi(z)|\lesssim 1 $对一切$ z\in B $成立. 这样, 经简单计算可得

其次是$ \alpha = 2 $$ \beta = 1 $时, 根据引理2.5可知$ I_{2}<\infty $当且仅当

$ \psi\in H^{\infty}(B)\nRightarrow I_{2}<\infty $不用再举例. 下面举例说明$ I_{2}<\infty $推不出$ \psi\in H^{\infty}(B) $.

$ A $为引理2.6中的那个常数, 我们取

对一切$ z\in B $, 根据引理2.6可得

当复数$ w $满足$ |w|>e $时, $ |\log\log w|\geq \log|\log w|\geq\log\log |w| $, 故

这样就有

这说明$ I_{2}<\infty $, 但沿实轴上积分时

(3) 当$ a>2 $时, 利用引理2.4可推出

对一切$ 0\leq\rho<1 $成立. 故$ I_{1}<\infty $当且仅当$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|}<\infty $, $ I_{2}<\infty $当且仅当$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|}<\infty $. 由于$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|}<\infty $当且仅当

因而命题结论成立.

注3.1  实际上, 只要存在$ \alpha>0 $和有限个实数$ \beta_{1}, \cdots, \beta_{k} $, 当$ r\rightarrow 1^{-} $

则定理X中的第二个条件能去掉, 其中$ c $充分大使得最后括号的值为正. 又如

其中$ b>a $, $ n = 1, 2, \cdots \ b>a>0 $, 可以验证$ \mu(r)\asymp (1-r^{2})^{\frac{a+b}{2}} $ ($ r\rightarrow 1^{-} $), 因而对这样的$ \mu $, 定理X中的第二个条件可以去掉.

注3.2  从命题3.1知, 只要$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $或者能找到$ \mu $定义中那个参数$ a>1 $, 定理X中的第二个条件可以去掉. 即使总有$ a\leq 1 $, 只要能找到$ b<2 $, 同样得到定理X中的第二个条件也可以去掉.

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