设$ B $为$ n $维复向量空间$ {\bf C}^{n} $中的单位球(当$ n = 1 $时记为$ D $). 用$ H(B) $表示$ B $上所有全纯函数类, $ H^{\infty}(B) $表示$ B $上的全体有界全纯函数.

定义1.1  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正连续函数, 若存在常数$ 0< a\leq b<\infty $和$ 0\leq \rho_{0}<1 $满足在$ [\rho_{0}, 1) $上$ \frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^b} $递增且$ \frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^a} $递减, 我们称$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数.

给定这样的正规函数后, $ a $和$ b $一般不唯一, 而$ \rho_{0} $往往依赖于$ a $和$ b $. 例如

$ {\mu(\rho) = (1-\rho^{2})^{p}\ \log^{\beta}\frac{e}{1-\rho^{2}} \left\{\log\log\frac{e^{2}}{1-\rho^{2}}\right\}^{\gamma}, \ \ p>0, \ \beta \ \mbox{和} \ \gamma \ \mbox{为实数}}. $

若$ \beta = \gamma = 0 $, 则可以取任意$ 0<a\leq p $和任意$ b\geq p $; 若$ \beta<0 $, 则可以取任意$ b>p $和任意$ 0<a\leq p $; 若$ \beta>0 $, 则可以取任意$ 0<a<p $和任意$ b\geq p $. 至于$ \rho_{0} $的选取, 只要$ a $和$ b $确定后总能取到.

设$ z = (z_{1}, \cdots, z_{n}) $和$ w = (w_{1}, \cdots, w_{n}) $为$ {\bf C}^{n} $中的两点, 二者的内积定义为

$ \langle z, w\rangle = z_{1}\overline{w_{1}}+z_{2}\overline{w_{2}}+\cdots+z_{n}\overline{w_{n}}. $

$ {\bf C}^{n} $上全纯函数$ f $的复梯度以及径向导数分别定义为

$ \nabla f(z) = \left(\frac{\partial f}{\partial z_{1}}(z), \cdots, \frac{\partial f}{\partial z_{n}}(z)\right) \ \mbox{和} \ R f(z) = \langle \nabla f(z), \overline{z}\rangle, \ \ z\in {\bf C}^{n}. $

定义1.2  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 如果$ f\in H(B) $且

$ {||f||_{\mu} = \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)\ \sum\limits_{k = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{n} \left|\frac{\partial^{2}f}{\partial z_{j}\partial z_{k}}(z)\right|}<\infty, $

我们称$ f $属于正规权Zygmund空间$ {\cal Z}_{\mu}(B) $. 给定范数

$ {||f||_{{\cal Z}_{\mu}} = |f(0)|+\sum\limits_{k = 1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial z_{k}}(0)\right|+||f||_{\mu}} \ \mbox{后${\cal Z}_{\mu}(B)$构成一个Banach空间.} $

定义1.3  设$ X $和$ Y $为$ B $上的两个函数空间, 给定$ B $上的一个函数$ \psi $, 如果对一切$ f\in X $都有$ \psi f\in Y $, 我们称$ \psi $为空间$ X $到$ Y $的一个点乘子, 算子$ M_{\psi}: f\rightarrow \psi f $称为$ X $到$ Y $的一个乘子算子.

空间$ X $到$ Y $的点乘子问题实际上就是乘子算子$ M_{\psi} $是否为$ X $到$ Y $的有界算子问题. 这方面的直接工作和与此有关的间接工作已经很多, 例如文献[1-27]等.

在文献[1]中, 郭雨婷等给出了如下结果:

定理X  设$ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数, $ \psi\in H(B) $, 则$ M_{\psi} $为$ {\cal Z}_{\mu}(B) $上有界算子的充要条件是：$ \psi\in H^{\infty}(B) $且

$ I_{1} = \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t<\infty $

以及

$ I_{2} = \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right\}{\rm d}\rho<\infty. $

就上述定理X的结果, 文献[1]提出了一个问题：第二个条件是否可以不要?

我们知道, 若$ \psi $是空间$ X $到$ Y $的点乘子, 则必有$ \psi\in Y $ (只要$ X $含有常值函数1). 如果$ {\int_{0}^{1}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right\}{\rm d}\rho = \infty} $, 则满足$ I_{2}<\infty $的函数$ \psi $构成的集合实际上要比$ {\cal Z}_{\mu}(B) $小, 由于正规函数$ \mu $是相对抽象的, 定义中$ a $和$ b $的选取有不确定性, 上述三个条件$ \psi\in H^{\infty}(B) $和$ I_{1}<\infty $以及$ I_{2}<\infty $有没有必然的依赖关系尚不明显, 尤其第二个条件是不是多余的尚待讨论. 但从另一方面看, 给定一个正规函数后, $ a $有上界, $ b $有下界, 这样又为寻找上面三者之间的关系提供了一定的可能性, 本文的主要工作就是回答此问题, 进一步就各种情况探讨$ \psi\in H^{\infty}(B) $和$ I_{1}<\infty $以及$ I_{2}<\infty $三者之间的关系.

在本文中, 若存在常数$ c>0 $和$ c'>0 $使得$ cF \leq E \leq c'F $, 我们称$ E $等价于$ F $, 记为$ "E\asymp F" $. 相应的, 若存在常数$ c>0 $使得$ E \leq cF $ ($ E \geq cF $), 我们记为$ "E\lesssim F" $ ($ "E\gtrsim F" $). 下文中, 若没有特殊说明, $ a $和$ b $总是指正规函数$ \mu $定义中的那两个参数, 同时为了计算上的方便, 本文中总假定$ r_{0} = 0 $.

为了证明主要结果, 我们先给一些引理.

引理2.1^[2]  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 若$ f\in H(B) $, 则下列几条等价：

(1)   $ f\in {\cal Z}_{\mu}(B) $.

(2)   $ {I_{1} = |f(0)|+\sup_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}f(z)|}<\infty $, 这里$ R^{(2)}f = R(Rf) $.

(3)   $ {I_{2} = |f(0)|+\sup_{z\in B}\mu(|z|)\ |\nabla(Rf) (z)|}<\infty $.

进一步有$ I_{1}\ \asymp \ I_{2} \ \asymp \ ||f||_{{\cal Z}_{\mu}} $, 这里的控制常数与$ f $无关.

这是文献[2]中的定理3.1.

引理2.2^[3]  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 若$ f\in {\cal Z}_{\mu}(B) $, 则

$ |Rf(z)|\lesssim\left(\int_{0}^{|z|}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right)||f||_{{\cal Z}_{\mu}} $

以及

$ |f(z)|\lesssim\left\{1+\int_{0}^{|z|}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right){\rm d}\rho\right\}||f||_{{\cal Z}_{\mu}} $

对一切$ z\in B $成立.

可参见文献[3].

引理2.3  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 则

$ \mu(r)\left(\int_{0}^{r}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right)^{2}\lesssim \int_{0}^{r}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho \ \mbox{对一切$0\leq r<1$成立.} $

证  对一切$ 0\leq r<1 $, 根据正规函数的定义可得

$ \begin{eqnarray*} \mu(r)\left(\int_{0}^{r}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right)^{2} & = &\mu(r)\left\{\int_{0}^{r}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right)\frac{{\rm d}\rho}{\mu(\rho)}+ \int_{0}^{r}\left(\int_{\rho}^{r}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right)\frac{{\rm d}\rho}{\mu(\rho)}\right\} \\ & = &2\mu(r)\int_{0}^{r}\frac{1}{\mu(\rho)}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho \leq 2\int_{0}^{r}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho. \end{eqnarray*} $

引理2.4  设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 则当$ a>1 $时, 对一切$ 0\leq \rho<1 $有

$ 1+ {\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\asymp \frac{1-\rho^{2}}{\mu(\rho)}}. $

证  根据正规函数的定义以及$ b\geq a>1 $可得: 当$ \rho\rightarrow 1^{-} $时, 有

$ \frac{\mu(\rho)}{1-\rho^{2}}\left\{1+\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right\}\leq \mu(0)(1-\rho^{2})^{a-1}+\int_{0}^{\rho}\frac{(1-\rho^{2})^{a-1}}{(1-t^{2})^{a}}\ {\rm d}t \ \asymp \ 1 $

以及

$ \frac{\mu(\rho)}{1-\rho^{2}}\left\{1+\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right\}\geq \mu(0)(1-\rho^{2})^{b-1}+\int_{0}^{\rho}\frac{(1-\rho^{2})^{b-1}}{(1-t^{2})^{b}}\ {\rm d}t \ \asymp \ 1. $

而当$ \rho\rightarrow 0^{+} $时, $ {1+ {\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\asymp \frac{1-\rho^{2}}{\mu(\rho)}}} \ \asymp \ 1. $

引理2.5  (1) 当$ \alpha>1 $且$ \beta $为实数时, 则对一切$ 0\leq\rho<1 $有

$ 1+\int_{0}^{\rho}\frac{1}{(1-t^{2})^{\alpha}}\ \log^{\beta}\frac{e}{1-t^{2}}\ {\rm d}t \ \asymp \ \frac{1}{(1-\rho^{2})^{\alpha-1}}\ \log^{\beta}\frac{e}{1-\rho^{2}}. $

(2) 当$ \beta>-1 $时, 则对一切$ 0\leq\rho<1 $有

$ 1+\int_{0}^{\rho}\frac{1}{1-t^{2}}\ \log^{\beta}\frac{e}{1-t^{2}}\ {\rm d}t \ \asymp \ \log^{1+\beta}\frac{e}{1-\rho^{2}}. $

(3) 对一切$ 0\leq\rho<1 $有

$ 1+\int_{0}^{\rho}\frac{1}{1-t^{2}}\left(\log\frac{e}{1-t^{2}}\right)^{-1}\ {\rm d}t \ \asymp \ \log\log\frac{e^{2}}{1-\rho^{2}}. $

证  (1) 我们记

$ J_{\rho} = 1+ {\int_{0}^{\rho} \frac{1}{(1-t^{2})^{\alpha}} \ \log^{\beta}\frac{e}{1-t^{2}}\ {\rm d}t} $

以及

$ I_{\rho} = {\frac{1}{(1-\rho^{2})^{\alpha-1}} \ \log^{\beta}\frac{e}{1-\rho^{2}}}. $

经过简单计算可得

$ \lim\limits_{\rho\rightarrow 1^{-}}\frac{I_{\rho}}{J_{\rho}} = \lim\limits_{\rho\rightarrow 1^{-}}2\rho\left\{\alpha-1+\beta\log^{-1}\frac{e}{1-\rho^{2}}\right\} = 2(\alpha-1). $

这样, 存在$ 0<\rho_{0}<1 $, 当$ \rho_{0}<\rho<1 $时, $ (\alpha-1)J_{\rho}<I_{\rho}<3(\alpha-1)J_{\rho} $. 而当$ 0\leq \rho\leq \rho_{0} $时, $ J_{\rho} \ \asymp \ 1 \ \asymp \ I_{\rho} $.

同样的办法可证结论(2)和(3).

引理2.6  (1) 对一切$ w\in D $有

$ {(1-|w|^{2})^{2} \log\frac{e}{1-|w|^{2}}\lesssim |1-w^{2}|^{2} \log\frac{e}{|1-w^{2}|}}. $

(2) 存在$ A\in(2e, 2e^{2}) $, 对一切$ w\in D $有

$ {(1-|w|^{2})^{2}\log\frac{A}{1-|w|^{2}}\log\log\frac{A}{1-|w|^{2}}\leq |1-w^{2}|^{2}\log\frac{A}{|1-w^{2}|}}\log\log\frac{A}{|1-w^{2}|}. $

证  (1) 这种情况类似文献[4]中引理2.3的证明. 实际上, $ h(x) = {x^{2}\log\frac{e}{x}} $在$ (0, \sqrt{e} \ ] $上递增, 在$ (\sqrt{e}, 2] $上递减. 因此, 当$ w\in D_{1} = \{w: w\in D \ \mbox{且} \ |1-w^{2}|\leq\sqrt{e} \ \} $时, $(1-|w|^{2})^{2}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq |1-w^{2}|^{2}\log\frac{e}{|1-w^{2}|}$.

另一方面, 当$ w\in D $但$ w $不属于$ D_{1} $时, 我们有

$ (1-|w|^{2})^{2}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq 1 \ \ \mbox{以及} \ \ |1-w^{2}|^{2}\log\frac{e}{|1-w^{2}|}\geq 4\log\frac{e}{2} $

$ \Rightarrow \ (1-|w|^{2})^{2}\log\frac{e}{1-|w|^{2}}\leq \frac{1}{ {4\log\frac{e}{2}}}\ |1-w^{2}|^{2}\log\frac{e}{|1-w^{2}|}. \ \ \ \ \ \ $

(2) 设$ g(x) = {(2\log \frac{x}{2}-1)\log\log \frac{x}{2}-1} $, 则存在$ A\in (2e, 2e^{2}) $使得$ g(A) = 0 $, 并且$ g(x) $在$ (2e, \infty) $上递增. 实际上, $ g(2e) = -1<0 $且$ g(2e^{2}) = 3\log2-1>0 $以及

$ g'(x) = \frac{1}{x}\left\{2+2\log\log\frac{x}{2}-\frac{1}{ {\log\frac{x}{2}}}\right\} = \frac{g_{1}(x)}{x}>0 \ \ (x>2e), $

这是因为当$ x>2e $时,

$ g_{1}'(x) = \frac{2}{ {x\log\frac{x}{2}}}+\frac{1}{ {x\log^{2}\frac{e}{x}}}>0 \ \Rightarrow \ g_{1}(x)>g_{1}(2e) = 1>0. $

取$ h(x) = {x^{2}\log\frac{A}{x}\log\log\frac{A}{x}} $, 则$ h'(2) = 2g(A) = 0 $且$ {h'(x) = xg\left(\frac{2A}{x}\right)} $. 这样可得$ h(x) $在$ (0, 2] $上递增. 由于当$ w\in D $时$ 0<1-|w|^{2}\leq |1-w^{2}|< 2 $, 故

$ (1-|w|^{2})^{2}\log\frac{A}{1-|w|^{2}}\log\log\frac{A}{1-|w|^{2}}\leq |1-w^{2}|^{2}\log\frac{A}{|1-w^{2}|}\log\log\frac{A}{|1-w^{2}|}. $

引理2.6证毕.

命题3.1  设$ \mu $为$ [0, 1) $上的正规函数, $ \psi\in H(B) $. 设

$ I_{1} = \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t $

和

$ I_{2} = \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)|R^{(2)}\psi(z)|\int_{0}^{|z|}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{\mu(t)}\ {\rm d}t\right\}{\rm d}\rho. $

(1) 若$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $, 则$ I_{2}<\infty $可推出$ \psi\in H^{\infty}(B) $且$ I_{1}<\infty $. 所以此种情况起决定作用的是条件$ I_{2}<\infty $.

(2) 若$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho = \infty} $且$ 1<a\leq 2 $, 则$ \psi\in H^{\infty}(B) $可推出$ I_{1}<\infty $, 但$ I_{2}<\infty $不一定能推出$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 同时$ \psi\in H^{\infty}(B) $也不一定能推出$ I_{2}<\infty $. 所以此种情况起决定作用的除了$ \psi\in H^{\infty}(B) $外可能还要求$ I_{2}<\infty $.

(3) 若$ a>2 $, 则$ \psi\in H^{\infty}(B) $可推出$ I_{1}<\infty $, 并且$ I_{1}<\infty $当且仅当$ I_{2}<\infty $. 此种情况起决定作用的是条件$ \psi\in H^{\infty}(B) $.

证  (1) 当$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $时, 若$ I_{2}<\infty $, 根据引理2.1我们有$ ||\psi||_{{\cal Z}_{\mu}}\asymp I_{2} $. 再根据引理2.2就有$ \psi\in H^{\infty}(B) $. 最后利用引理2.2–2.3我们可以得到

$ I_{1}\lesssim \sup\limits_{z\in B}\mu(|z|)\left\{\int_{0}^{|z|}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right\}^{2}||\psi||_{{\cal Z}_{\mu}} \lesssim ||\psi||_{{\cal Z}_{\mu}}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho\lesssim I_{2}<\infty. $

(2) 当$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho = \infty} $且$ 1<a\leq 2 $时, 利用引理2.4可知$ I_{1}<\infty $当且仅当$ {\sup_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|<\infty} $. 因此, 如果$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 则有$ I_{1}<\infty $. 至于$ I_{2}<\infty $和$ \psi\in H^{\infty}(B) $可能互相推不出. 例如$ \mu(r) = {(1-r^{2})^{\alpha} \ \log^{\beta}\frac{e}{1-r^{2}}} $ ($ \alpha>0 $, $ \beta $为实数), 我们列举两种情况说明$ I_{2}<\infty $和$ \psi\in H^{\infty}(B) $不能互推.

首先是$ \alpha = 2 $且$ \beta<1 $时, 根据引理2.5可知$ I_{2}<\infty $当且仅当

$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}}<\infty. $

下面说明$ I_{2}<\infty $和$ \psi\in H^{\infty}(B) $不能互推. 实际上, 我们首先取

$ \psi(z) = g(z_{1}) = {\int_{0}^{z_{1}}\frac{1}{\rho}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{t(1-t^{2})^{2}}\left(\log\frac{e}{1-t^{2}}\right)^{-1}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho}. $

由于对任意模大于1的复数$ w $有$ \log|w|\leq |\log w| $, 考虑到此时的$ R^{(2)}\psi(z) $只是$ z_{1} $的函数, 结合引理2.6可得

$ \begin{eqnarray*} I_{2}&\asymp&\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\\ &\leq& \sup\limits_{z_{1}\in D}\frac{(1-|z_{1}|^{2})^{2}}{|1-z_{1}^{2}|^{2}}\left\{\log\frac{e}{|1-z_{1}^{2}|}\right\}^{-1}\log\frac{e}{1-|z_{1}|^{2}}<\infty. \end{eqnarray*} $

另一方面, 沿实轴上积分时, 根据引理2.5知

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{r}\frac{1}{\rho}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{t(1-t^{2})^{2}}\left(\log\frac{e}{1-t^{2}}\right)^{-1}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho\\ &\gtrsim &\int_{0}^{r}\frac{1}{1-\rho^{2}}\left(\log\frac{e}{1-\rho^{2}}\right)^{-1}{\rm d}\rho \asymp \log\log\frac{e}{1-r^{2}}\rightarrow \infty, \ \ r\rightarrow 1^{-}, \end{eqnarray*} $

这说明$ \psi $不属于$ H^{\infty}(B) $.

我们再取$ \psi(z) = g(z_{1}) = {\exp\left\{\frac{z_{1}+1}{z_{1}-1}\right\}} $. 当$ z_{1} = x+y{\rm i}\in D $时

$ |\psi(z)| = {\exp\left\{\frac{x^{2}+y^{2}-1}{(1-x)^{2}+y^{2}}\right\}}<1 \ \ \Rightarrow \ \ \psi\in H^{\infty}(B). $

但另一方面, 由于$ \psi\in H^{\infty}(B) $, 则必有$ {(1-|z|^{2})\log\frac{e}{1-|z|^{2}}}\lesssim 1 $和$ (1-|z|^{2})|R \psi(z)|\lesssim 1 $对一切$ z\in B $成立. 这样, 经简单计算可得

$ \begin{eqnarray*} I_{2}&\asymp&\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\\ & = &\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R\psi(z)+z_{1}^{2}g''(z_{1})|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\\ &\geq& \sup\limits_{z_{1}\in D}(1-|z_{1}|^{2})^{2}\left|\exp\left\{\frac{z_{1}+1}{z_{1}-1}\right\}\right|\frac{4|z_{1}|^{3}}{|z_{1}-1|^{4}}\log\frac{e}{1-|z_{1}|^{2}}\\ &\;&-\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\\ & = &\sup\limits_{re^{i\theta}\in D}\frac{4r^{3}(1-r^{2})^{2}}{(1+r^{2}-2r\cos\theta)^{2}}\exp\left\{\frac{r^{2}-1}{1+r^{2}-2r\cos\theta}\right\}\log\frac{e}{1-r^{2}}\\ &\;& -\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\\ & \geq& 4e^{-1}\sup\limits_{0<|\theta|<\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\log\frac{e}{1-\cos^{2}\theta}-\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}} = \infty. \end{eqnarray*} $

其次是$ \alpha = 2 $且$ \beta = 1 $时, 根据引理2.5可知$ I_{2}<\infty $当且仅当

$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}}\log\log\frac{e^{2}}{1-|z|^{2}}<\infty. $

$ \psi\in H^{\infty}(B)\nRightarrow I_{2}<\infty $不用再举例. 下面举例说明$ I_{2}<\infty $推不出$ \psi\in H^{\infty}(B) $.

设$ A $为引理2.6中的那个常数, 我们取

$ \psi(z) = \int_{0}^{z_{1}}\frac{1}{\rho}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{t(1-t^{2})^{2}}\left(\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1} \left(\log\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho. $

对一切$ z\in B $, 根据引理2.6可得

$ (1-|z|^{2})^{2}\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{1-|z|^{2}}\asymp (1-|z|^{2})^{2}\log\frac{A}{1-|z|^{2}}\log\log\frac{A}{1-|z|^{2}} $

$ \leq (1-|z_{1}|^{2})^{2}\log\frac{A}{1-|z_{1}|^{2}}\log\log\frac{A}{1-|z_{1}|^{2}}\leq |1-z_{1}^{2}|^{2}\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}\log\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}. $

当复数$ w $满足$ |w|>e $时, $ |\log\log w|\geq \log|\log w|\geq\log\log |w| $, 故

$ \begin{eqnarray*} |R^{(2)}\psi(z)|^{-1}& = &|1-z_{1}^{2}|^{2}\left|\log\frac{A}{1-z_{1}^{2}}\right|\left|\log\log\frac{A}{1-z_{1}^{2}}\right|\\ &\geq &|1-z_{1}^{2}|^{2}\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}\log\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}, \end{eqnarray*} $

这样就有

$ \begin{eqnarray*} &&(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{e}{1-|z|^{2}}\log\log\frac{e^{2}}{1-|z|^{2}}\\ &\lesssim &|1-z_{1}^{2}|^{2}|R^{(2)}\psi(z)|\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}\log\log\frac{A}{|1-z_{1}^{2}|}\leq 1. \end{eqnarray*} $

这说明$ I_{2}<\infty $, 但沿实轴上积分时

$ \begin{eqnarray*} &\;& {\int_{0}^{r}\frac{1}{\rho}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{t(1-t^{2})^{2}}\left(\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1} \left(\log\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho}\\ & \geq& \int_{0}^{r}\left\{\int_{0}^{\rho}\frac{1}{(1-t^{2})^{2}}\left(\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1} \left(\log\log\frac{A}{1-t^{2}}\right)^{-1}{\rm d}t\right\}{\rm d}\rho\\ & \asymp& \int_{0}^{r}\frac{1}{1-\rho^{2}}\left(\log\frac{A}{1-\rho^{2}}\right)^{-1} \left(\log\log\frac{A}{1-\rho^{2}}\right)^{-1}{\rm d}\rho\\ & \asymp &\log\log\log\frac{A}{1-r^{2}} \ \rightarrow \ \infty \ \ (r\rightarrow 1^{-}) \ \ \Rightarrow \ \ \psi \ \mbox{不属于} \ H^{\infty}(B). \end{eqnarray*} $

(3) 当$ a>2 $时, 利用引理2.4可推出

$ 1+ {\int_{0}^{\rho}\left(\int_{0}^{s}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}s\asymp \frac{(1-\rho^{2})^{2}}{\mu(\rho)}} $

对一切$ 0\leq\rho<1 $成立. 故$ I_{1}<\infty $当且仅当$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|}<\infty $, $ I_{2}<\infty $当且仅当$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|}<\infty $. 由于$ {\sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})|R\psi(z)|}<\infty $当且仅当

$ \sup\limits_{z\in B}(1-|z|^{2})^{2}|R^{(2)}\psi(z)|<\infty, $

因而命题结论成立.

注3.1  实际上, 只要存在$ \alpha>0 $和有限个实数$ \beta_{1}, \cdots, \beta_{k} $, 当$ r\rightarrow 1^{-} $时

$ \mu(r)\asymp (1-r^{2})^{\alpha}\log^{\beta_{1}}\frac{c}{1-r^{2}}\left\{\log\log\frac{c}{1-r^{2}}\right\}^{\beta_{2}}\cdots \left\{\log\log ...\log\frac{c}{1-r^{2}}\right\}^{\beta_{k}}, $

则定理X中的第二个条件能去掉, 其中$ c $充分大使得最后括号的值为正. 又如

$ \mu(r) = \left\{ \begin{array}{ll} {\left(\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\right)^{b-a}(1-r^{2})^{a}}, & {\frac{n-1}{n}\leq r^{2}<\frac{2n^{2}-1}{2n(n+1)}}, \\ {\left(\frac{(2n)!!(n+1)}{(2n+1)!!}\right)^{b-a}(1-r^{2})^{b}}, {\quad} & {\frac{2n^{2}-1}{2n(n+1)}\leq r^{2}<\frac{n}{n+1}}, \end{array}\right. $

其中$ b>a $, $ n = 1, 2, \cdots \ b>a>0 $, 可以验证$ \mu(r)\asymp (1-r^{2})^{\frac{a+b}{2}} $ ($ r\rightarrow 1^{-} $), 因而对这样的$ \mu $, 定理X中的第二个条件可以去掉.

注3.2  从命题3.1知, 只要$ {\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{\mu(t)}\right){\rm d}\rho<\infty} $或者能找到$ \mu $定义中那个参数$ a>1 $, 定理X中的第二个条件可以去掉. 即使总有$ a\leq 1 $, 只要能找到$ b<2 $, 同样得到定理X中的第二个条件也可以去掉.