分数阶导数的定义包含了变量或其整数阶导数的弱奇异积分^[1-5], 其中的核函数称为记忆核函数^[6-7], 它表征系统的记忆效应. 相对于整数阶系统而言, 分数阶系统的主要特点是具有"记忆特性". 它适用于刻画具有"过程记忆性"、"历史遗传性"等特点的现象和过程, 已被广泛用于多个领域^[8-11].

分数阶广义系统是分数阶系统和广义系统的有机结合, 它是微分约束部分用分数阶导数刻画的微分代数系统. 它适于描述状态变量间既存在分数阶微分约束, 又存在代数约束的复杂系统^[12]. 目前学术界对于分数阶广义系统的研究集中于: 1) 研究分数阶广义系统的稳定性、容许性、系统镇定^[12-16]等问题. 文献[12]是研究分数阶广义系统的奠基性工作. 该文在无脉冲的前提下, 分别针对导数阶数$ 0<\alpha<1 $和$ 1<\alpha<2 $两种情况研究了分数阶广义线性系统的稳定性条件. 此外, 容许性对于广义系统具有重要意义, 其主要特点之一就是系统无脉冲. 文献[14-15]研究了分数阶广义系统的容许性条件. 文献[16]基于文献[15], 研究了导数阶数$ 1<\alpha<2 $时, 基于状态观测器的容许系统的系统镇定问题. 2) 探讨分数阶广义线性系统的解. 如Kaczorek等^[17-19]利用分数阶广义线性系统等价标准型, 研究了系统解的存在唯一性等基础理论及系统求解方法, 所涉及的解均为不含脉冲项的经典解. 3) 关于分数阶广义系统的应用研究, 典型的应用包括分数阶电路系统等^[20]. 易见, 目前关于分数阶广义线性系统的研究, 几乎都是在系统无脉冲的基础上开展的. 无脉冲要求系统经受限等价变换后, 代数约束部分的系数矩阵$ N = 0 $. 而更多情况下, 系数矩阵$ N\neq0 $, 即系统是含脉冲的, 此时前述研究方法和结论不能直接使用.

系统观测器设计是控制理论应用于工程实践的重要方面. 现有分数阶广义线性系统观测器设计方法比较繁琐, 不便于工程应用. 文献[21]是关于分数阶广义线性系统及其状态观测器设计方面的奠基性工作. 文中提出的观测器设计方法, 需要确定$ N, J, H, P, Q, F $等六个矩阵, 这限制了该方法的实用性. 不难发现, 该观测器设计方法复杂的原因在于, 文章针对分数阶广义线性系统建立的观测器及观测器误差系统都是分数阶线性系统. 为了将误差状态方程表现为分数阶线性系统的形式, 进而利用分数阶线性系统理论保证误差系统的稳定性, 文章引入了较多的矩阵作为参数, 这导致观测器设计的复杂性增加. 文献[22]借鉴[21]的思路, 研究了含未知输入的分数阶广义非线性系统观测器设计方法, 也存在同样的问题.

如果转变思路, 将系统状态观测器及其误差系统设计为分数阶广义线性系统的形式, 就可以减少参数矩阵的引入, 从而得到更加便捷实用的观测器设计方法. 这一思路面临的挑战是, 具有分数阶广义线性系统形式的状态观测器很可能含有脉冲, 这就需要对含脉冲的分数阶广义线性系统的状态响应和稳定性等理论进行研究.

本文首先研究了含有脉冲项的分数阶广义线性系统的分布解, 阐述系统分布解如何表征分数阶系统的"记忆特性". 以系统分布解为基础, 本文证明了含有脉冲项的分数阶广义线性系统的渐近稳定性定理, 据此给出了具有分数阶广义线性系统形式的状态观测器设计依据和方法. 该观测器设计方法仅涉及一个待定列向量, 且只需确定其中部分元素, 设计方法简单便捷. 最后, 仿真实例验证了观测器对系统状态的重构准确有效.

脉冲函数$ \delta(t) $的Caputo导数$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) $是研究分数阶广义线性系统分布解的基础, 本节我们首先讨论$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) $及其Laplace变换, 然后研究系统的分布解.

脉冲函数$ \delta(t) $及其$ i\: $ ($ i\in{\Bbb N} $)阶导数$ \delta^{(i)}(t) $是广义函数, 其定义如下.

定义2.1

$ \delta(t) = \left\{\begin{array}{ll} 0& t\neq0;\\ \infty & t = 0. \end{array}\right., {\quad} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t){\rm d} t = 1. $

本文用到的$ \delta(t) $的主要性质如下^[23].

命题2.1  设函数$ f(t) $在包含$ 0 $的区间$ [a, b] $连续, 则有: $ \int_a^b f(t)\delta(t){\rm d} t = f(0). $

命题2.2  $ \delta^{(i)}(t) $是$ \delta(t) $的$ i $阶导数($ i\in{\Bbb N} $), 则: $ \delta^{(i)}(t) = 0, t\neq0 $. 对于在包含$ 0 $的区间$ [a, b] $上连续, 在$ t = 0 $处$ i $阶可导的函数$ f(t) $, 有: $ \int_a^b f(t)\delta^(i)(t)\ {\rm d} t = (-1)^if^{(i)}(0). $

命题2.3  $ \delta^{(i)}(t) $的Laplace变换, $ {\cal L}[\delta^{(i)}(t)] = s^i $, ($ i\in{\Bbb N} $), 特别地, $ {\cal L}(\delta(t)) = s $.

Caputo导数是应用中常见的分数阶导数, 其完整定义如下^[1].

定义2.2

$ {^C_a}{D}_t^\alpha f(t) = \left\{\begin{array}{ll} { }{}_aI_{t}^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)} \int_a^t (t-\tau)^{(-\alpha-1)}f(\tau)\, {\rm d} \tau, & \alpha<0;\\ { } f^{(m)}(t), & \alpha = m, m\in{\Bbb N};\\ { } \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)} \int_a^t (t-\tau)^{(m-\alpha-1)}f^{(m)}(\tau)\, {\rm d} \tau, & 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}}. \end{array}\right. $

Caputo导数的Laplace变换仅涉及函数整数阶导数的初值, 较为常用, 其形式如下.

命题2.4

$ {\cal L}[{^C_a}{D}_t^\alpha f(t)] = s^\alpha F(s)-\sum\limits_{k = 0}^{m-1}s^{\alpha-k-1}f^{(k)}(0), 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}}, {\cal L}[f(t)] = F(s). $

此外, 以下性质给出了函数$ t^\alpha $的Laplace变换^[24].

命题2.5  当$ \alpha>-1 $时, $ {\cal L}[t^\alpha] = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}} $, 或$ {\cal L}^{-1}[s^\beta] = \frac {t^{-\beta-1}}{\Gamma(-\beta)} $, $ (\beta = -\alpha-1<0) $.

将上述Caputo导数定义, 运用到函数$ \delta(t) $上, 有定义$ 2.3 $.

定义2.3

$ {^C_a}{D}_t^\alpha \delta(t) = \left\{\begin{array}{ll} { }{}_aI_{t}^{-\alpha} \delta(t) = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)} \int_a^t (t-\tau)^{-\alpha-1}\delta(\tau)\, {\rm d} \tau, & \alpha<0;\\ { } \delta^{(m)}(t), & \alpha = m, m\in{\Bbb N};\\ { } \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)} \int_a^t (t-\tau)^{m-\alpha-1}\delta^{(m)}(\tau)\, {\rm d} \tau, & 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}}. \end{array}\right. $

利用上述命题以及定义, 我们可以得到$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) $的解析表达式, 即定理2.1.

定理2.1

$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\frac{1}{t^{\alpha+1}}\, \quad(\alpha\notin{\Bbb N}). $

证   $ \alpha\notin{\Bbb N} $, 可分为$ \alpha<0 $和$ 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}} $两种情况讨论.

(1) 若$ \alpha<0 $, 由定义2.3以及命题2.1, 有

$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)} \int_0^t (t-\tau)^{(-\alpha-1)}\delta(\tau)\, {\rm d}\tau = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)}(t-\tau)^{-\alpha-1}\bigg|_{\tau = 0} = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\frac{1}{t^{\alpha+1}}. $

(2) 若$ 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}} $, 由定义2.3以及命题2.2, 有

$ \begin{eqnarray*} {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)& = &\frac{1}{\Gamma(m-\alpha)} \int_0^t (t-\tau)^{m-\alpha-1}\delta^{(m)}(\tau)\, {\rm d}\tau = \frac{(-1)^m}{\Gamma{(m-\alpha)}}\frac{{\rm d}^m(t-\tau)^{m-\alpha-1}}{{\rm d}\tau^m}\bigg|_{\tau = 0}\\ & = &\frac{(-1)^m\times(-1)\times(m-\alpha-1)}{\Gamma(m-\alpha)}\frac{{\rm d}^{m-1}(t-\tau)^{m-\alpha-2}}{{\rm d} \tau^{m-1}}\bigg|_{\tau = 0}\\ & = &\frac{(-1)^{m-1}}{\Gamma(m-\alpha-1)}\frac{{\rm d}^{m-1}(t-\tau)^{-(\alpha+1)+m-1}} {{\rm d}\tau^{m-1}}\bigg|_{\tau = 0} = \overbrace{\cdots}^{m-1\mbox{次}}\\ & = &\frac{(-1)^{m-m}}{\Gamma(m-\alpha-m)}(t-\tau)^{-(\alpha+1)+m-m}\bigg|_{\tau = 0}\\ & = &\frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\frac{1}{t^{\alpha+1}}. \end{eqnarray*} $

定理2.1证毕.

定理2.2和推论2.1给出了$ {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) $的Laplace变换及其逆变换.

定理2.2  $ {\cal L}[{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)] = s^\alpha $, $ \alpha\in{\Bbb R} $.

证   根据定义2.3中$ \alpha $的不同取值情况分类讨论.

(1) 当$ \alpha<0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal L} [{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)] & = &{\cal L}[\frac{1}{\Gamma(-\alpha)} \int_0^t (t-\tau)^{-\alpha-1}\delta(\tau)\, {\rm d}\tau]\\ & = &\frac{1}{\Gamma(-\alpha)}{\cal L}[t^{-\alpha-1}\ast\delta(t)] = \frac{{\cal L}[t^{-\alpha-1}\rm{]}\cdot{\cal L}\rm{[}\delta(t)]}{\Gamma(-\alpha)}. \end{eqnarray*} $

由于$ -\alpha-1>-1 $, 利用命题2.5和命题2.3可得: $ {\cal L}[{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)] = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(-\alpha)}{s^{-\alpha}}\times1 = s^{\alpha} $.

(2) 当$ \alpha = m, m\in{\Bbb N} $时, 由命题2.3知: $ {\cal L}[\delta^{(m)}(t)] = s^m $.

(3) 当$ 0\leq m-1<\alpha< m, m\in{\Bbb N^{+}} $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal L} [{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)]& = &{\cal L}[\frac{1}{\Gamma(m-\alpha)} \int_0^t (t-\tau)^ {m-\alpha-1}\delta^{(m)}(\tau)\, {\rm d}\tau]\\ & = &\frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}{\cal L}[t^{m-\alpha-1}\ast\delta^{(m)}(t)] = \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}{\cal L}[t^{m-\alpha-1}]\cdot{\cal L}[\delta^{(m)}(t)]. \end{eqnarray*} $

显然, $ 0>m-\alpha-1>-1 $, 由命题2.3及2.5得

$ {\cal L}[{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)] = \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(m-\alpha)}{s^{m-\alpha}}\cdot s^m = s^{\alpha}. $

定理2.2证毕.

定理2.2将命题2.3中$ {\cal L}[\delta^{(i)}(t)] = s^i $, ($ i\in{\Bbb N} $)推广至$ {\cal L}[{^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t)] = s^{\alpha} $, $ \alpha\in{\Bbb R} $. 显然有如下推论.

推论2.1  $ {\cal L}^{-1}[s^{\alpha}] = {^C_0}{D}_t^\alpha\delta(t) $, $ \alpha\in{\Bbb R} $.

考虑如下分数阶广义线性系统^{[17, 21]}

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} E{^C_0}{D}_t^\alpha x(t) = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x_{0}, &\quad\quad(2.1.1)\\ y(t) = Cx(t), & \quad\quad (2.1.2) \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ x(t)\in{\Bbb R}^n, y(t)\in{\Bbb R}^m, u(t)\in{\Bbb R}^r $分别是系统的状态变量、输出变量和控制输入变量, 系数矩阵$ E, A\in {\Bbb R}^{n\times n}, B\in {\Bbb R}^{n\times r}, C\in {\Bbb R}^{m\times n} $. 分数阶导数为Caputo导数, $ 0<\alpha<1 $. 假设矩阵对$ (E, A) $是正则的, 则方程(2.1.1)存在唯一的解^[18], 同时存在可逆矩阵$ P_1 $和$ P_2 $, 对方程(2.1.1)左乘$ P_1 $, 令$ x = P_2[x_1, x_2]^T $, 方程(2.1.1)可变换为(2.2)式^[18]

(2.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} {^C_0}{D}_t^\alpha x_1(t) = A_1x_1(t)+B_1u(t), x_1(0) = x_{10}, &(2.2.1)\\ N{^C_0}{D}_t^\alpha x_2(t) = Ix_2(t)+B_2u(t), x_2(0) = x_{20}, & (2.2.2) \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ I $是单位矩阵, $ N $是幂零矩阵, 设其指数为$ h $, 则有$ N^i\neq0, i = 1, 2, \cdots, h-1, N^h = 0 $.

与一般广义线性系统相对应, 我们把子系统(2.2.1)称为分数阶广义线性系统(2.2)的慢子系统, 子系统(2.2.2)称为分数阶广义线性系统的快子系统^[25-26]. 下面我们分别讨论其快子系统和慢子系统的解, 即二者的状态响应.

显然, 慢子系统(2.2.1)是分数阶线性系统, 其状态响应可由如下定理2.3^[17]给出.

定理2.3  系统(2.2.1)的解形式如下

(2.3) $ \begin{equation} x_1(t) = x_{1i}(t, x_{10})+x_{1u}(t, u) = \Phi_0(t)x_{10}+\int_0^t\Phi(t-\tau)B_1u(\tau){\rm d}\tau, \end{equation} $

其中$ \Phi_0(t) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{A_1^k t^{k\alpha}}{\Gamma(k \alpha+1)} = E_{\alpha}(A_{1} t^\alpha), \Phi(t) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{A_1^k t^{(k+1)\alpha-1}}{\Gamma[(k+1)\alpha]}$, $ E_{\alpha}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+1)} $是单参数Mittage-Leffler函数^[17].

快子系统的状态响应是含有脉冲项的分布解, 我们证明如下定理2.4.

定理2.4  快子系统(2.2.2)的状态响应如下

(2.4) $ \begin{equation} x_2(t, x_{20}, u) = x_{2i}(t, x_{20})+x_{2u}(t, u), \end{equation} $

$ \begin{eqnarray*} \qquad\left\{\begin{array}{ll} { } x_{2i}(t, x_{20}) = -\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^k{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)x_{20}, &\, \quad\:\quad(2.4.1)\\ { } x_{2u}(t, u) = -\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^kB_{2}[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)+\sum\limits_{i = 0}^{l_{k}-1}{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1-i)}\delta(t)u^{(i)}(0)].&\, \quad\:\quad(2.4.2) \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

$ h $是幂零矩阵$ N $的指数, $ l_{k} = \lceil k\alpha \rceil, k = 0, 1, 2, \cdots, h-1. $

证   对快子系统(2.2.2)两边同时施行Laplace变换, 则有

(2.5) $ \begin{equation} N(s^\alpha X_2(s)-s^{\alpha-1}x_2(0)) = IX_2(s)+B_2U(s), \end{equation} $

移项整理之, $ (Ns^\alpha-I)X_2(s) = Ns^{\alpha-1}x_2(0)+B_2U(s) $, 进而有

(2.6) $ \begin{equation} X_2(s) = (Ns^{\alpha}-I)^{-1}[Ns^{\alpha-1}x_2(0)+B_2U(s)]. \end{equation} $

将$ (Ns^{\alpha}-I)^{-1} $利用Neumann级数展开, 即$ (Ns^{\alpha}-I)^{-1} = -\sum\limits_{k = 0}^{\infty}N^ks^{\alpha k} $, 同时考虑到$ N $是指数为$ h $的幂零矩阵, 从而$ (Ns^{\alpha}-I)^{-1} = -\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^ks^{\alpha k} $, 将其带入(2.6)式中, 有

(2.7) $ \begin{eqnarray} X_{2}(s)& = &-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{\alpha k}[Ns^{\alpha-1}x_2(0)+B_2U(s)]{}\\ & = &-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}[N^{k+1}s^{(k+1)\alpha -1}x_2(0)+N^k s^{k\alpha}B_2U(s)]{}\\ & = &-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^{k+1}s^{(k+1)\alpha-1}x_2(0)-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s){}\\ & = &-\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^{k}s^{k\alpha-1}x_2(0)-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s). \end{eqnarray} $

利用推论2.1, 对(2.7)式两边同时进行Laplace逆变换, 可得

(2.8) $ \begin{eqnarray} x_2(t)& = &{\cal L}^{-1} \bigg[-\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^{k}s^{k\alpha-1}x_2(0)-\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s)\bigg] {}\\ & = &-\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^{k}{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)x_{20}-{\cal L}^{-1} \bigg[\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s)\bigg]. \end{eqnarray} $

计算$ {\cal L}^{-1}[\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s)] $, 由于

$ {\cal L}[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)] = s^{k\alpha}U(s)-\sum\limits_{i = 0}^{l_k-1}s^{k\alpha-1-i}u^{(i)}(0), \; (l_k-1<k\alpha\leq l_k, l_k\in {\Bbb N}^+). $

移项之

$ s^{k\alpha}U(s) = {\cal L}[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)]+\sum\limits_{i = 0}^{l_k-1}s^{k\alpha-1-i}u^{(i)}(0) , $

于是

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}^{-1}[s^{k\alpha}U(s)]& = &{\cal L}^{-1} \bigg\{{\cal L}[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)]+\sum\limits_{i = 0}^{l_k-1}s^{k\alpha-1-i}u^{(i)}(0)\bigg\} \\ & = &{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)+\sum\limits_{i = 0}^{l_k-1}{^C_0}{D}_t^{k\alpha-1-i}\delta(t)u^{(i)}(0), \end{eqnarray*} $

从而有

(2.9) $ \begin{equation} {\cal L}^{-1} \bigg[\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^k s^{k\alpha}B_2U(s)\bigg] = \sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^kB_2[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)+\sum\limits_{i = 0}^{l_k-1}{^C_0}{D}_t^{k\alpha-1-i}\delta(t)u^{(i)}(0)]. \end{equation} $

将(2.9)式带入(2.8)式, 得到快子系统(2.2.2)的状态响应

$ \begin{eqnarray*} x_2(t, x_{20}, u) = x_{2i}(t, x_{20})+x_{2u}(t, u), \end{eqnarray*} $

其中$ x_{2i}(t, x_{20}) = -\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^k{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)x_{20}, $

$ x_{2u}(t, u) = -\sum\limits_{k = 0}^{h-1}N^kB_{2}[{^C_0}{D}_t^{k\alpha}u(t)+\sum\limits_{i = 0}^{l_{k}-1}{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1-i)}\delta(t)u^{(i)}(0)]. $

定理2.4证毕.

快子系统(2.2.2)的状态响应(2.4)含有脉冲函数$ \delta(t) $及其分数阶导数的线性组合(脉冲项), 它是分布解^[23-24]. 分布解的$ x_{2i}(t, x_{20}) $由初值引起, $ x_{2u}(t, u) $则由控制输入引起. 联立慢子系统和快子系统的状态响应, 同时考虑到受限等价变换的逆变换, 便可得到原分数阶广义线性系统(2.1.1)的分布解.

分数阶广义线性系统的分布解显著刻画了分数阶广义线性系统的"记忆特性". 快子系统的状态响应(2.4)包含脉冲项和控制输入$ u(t) $的分数阶导数项, 它们都反映系统的记忆特性. 相对而言, 脉冲项对记忆特性的表征尤为明显. 考察定理2.1的证明过程, 不难发现当$ \alpha<0 $时, $ {^C_0}{D}_t^{\alpha}\delta(t) $表示分数阶积分, 其计算结果就是记忆核函数. 当$ \alpha>0 $时, $ {^C_0}{D}_t^{\alpha}\delta(t) $表示分数阶导数, 其计算结果是记忆核函数的导数, 仍然表征记忆性质. 具体来说, 各脉冲项在0点处和$ \delta(t) $一样, 取值无穷, 而在$ t>0 $后, 取值随时间增长趋向于零, 这直接反映了系统响应对快子系统的状态初值和控制输入初值的"记忆"以衰减的方式持续存在. 分布解(2.4)中控制输入$ u(t) $的分数阶导数项则刻画了分数阶广义线性系统对控制输入$ u(t) $的记忆效应.

综上所述, 分数阶广义线性系统的分布解(2.4)显著刻画了系统对其快子系统的初值、控制输入及其各阶导数的"记忆特性", 分布解包含的脉冲项更明显地反映了系统的记忆效应.

研究分数阶广义线性系统的渐近稳定性是设计系统观测器的前提. 目前关于分数阶广义线性系统渐近稳定性的研究, 是建立在系统无脉冲的基础上的. 利用定理2.1和定理2.4, 可以证明含脉冲的分数阶广义线性系统的渐近稳定性定理.

定义3.1  对于正则分数阶广义线性系统(3.1) $ (0<\alpha<1) $

(3.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} E{^C_0}{D}_t^\alpha x(t) = Ax(t), x(0) = x_{0}, \\y = Cx(t). \end{array}\right. \end{equation} $

若由任意初始状态$ x(0) = x_{0} $引起的系统零输入响应$ x(t) = x(0, x_0, t) $, 都随着时间$ t $趋于零, 即有$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}x(t) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}x(0, x_0, t) = 0 $, 则称系统(3.1)是渐近稳定的, 或者是内部稳定的. 需指出, 这里不要求系统无脉冲.

文献[21]指出分数阶线性系统是渐近稳定的充要条件是: 系统矩阵$ A $的所有特征值$ \lambda_i $, 都满足$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $. 定理3.1表明这也可以推广到含脉冲的分数阶广义线性定常系统.

定理3.1  正则分数阶广义线性定常系统(3.1)是渐近稳定的充要条件是矩阵对$ (E, A) $的任意特征值, 即$ \forall\lambda_i \in \sigma (E, A) = \{\lambda||\lambda E-A| = 0 \} $, 都有$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $.

证   先对正则分数阶广义线性定常系统(3.1)的状态方程进行受限等价变换, 其慢子系统(3.1.1)和快子系统(3.1.2)分别为

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} {^C_0}{D}_t^\alpha x_1(t) = A_1x_1(t), x_1(0) = x_{10};\qquad\qquad\qquad &(3.1.1) \\N{^C_0}{D}_t^\alpha x_2(t) = x_2(t), x_2(0) = x_{20}. \qquad\qquad\qquad &(3.1.2) \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

显然, 慢子系统是分数阶线性定常系统, 该部分渐近稳定的充要条件是矩阵$ A_1 $的所有特征值, $ \forall\lambda_i \in \sigma (A_1) = \{\lambda||\lambda I-A_1| = 0 \} $, 都有：$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $. 由于快子系统(3.1.2)的控制输入$ u(t) = 0 $, 由定理2.4知, 其解为由初值$ x_{20} $引起的含脉冲响应, 即:

$ x_{2i}(t, x_{20}) = -\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^k{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)x_{20}. $

由定理2.1, 脉冲项$ {^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t) = \frac{1}{\Gamma(1-k\alpha)t^{k\alpha}} $, 因此

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} {^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{1}{\Gamma(1-k\alpha)t^{k\alpha}} = 0\quad (\alpha>0). $

从而有

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}x_{2i}(t, x_{20}) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}-\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^k{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)x_{20} = -\sum\limits_{k = 1}^{h-1}N^k[\lim\limits_{t\rightarrow \infty}{^C_0}{D}_t^{(k\alpha-1)}\delta(t)]x_{20} = 0. $

显然, 快子系统(3.1.2)是渐近稳定的. 综合慢子系统和快子系统的渐近稳定性, 知系统(3.1)是渐近稳定的充要条件是其慢子系统(3.1.1)矩阵$ A_1 $的所有特征值$ \lambda_i $, 都有$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $.

下面证明, 在受限等价变换下, 原系统(3.1)和慢子系统(3.1.1)的特征值集合相等, 即$ \sigma(E, A) = \{\lambda||\lambda E-A| = 0\} = \sigma(A_1) = \{\lambda ||\lambda I-A_1|\} $. 设变换矩阵是$ P_1 $和$ P_2 $, 则

$ (E, A)\thicksim(P_1 E P_2, P_1 A P_2) = \left[\left( \begin{array}{cc} I_1 & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right) \right] . $

经受限等价变换后, 系统的特征值不变, 其特征多项式可表为

$ |P_1||\lambda E-A||P_2| = |\lambda P_1EP_2-P_1AP_2| = \left|\begin{array}{cc} \lambda I_1-A_1 & 0 \\ 0 & \lambda N-I_2 \end{array}\right| = |\lambda I_1-A_1||\lambda N-I_2| $

考虑到$ N $是主对角元素为0的上三角幂零阵, 设$ A_1 $是$ n_1 $阶, $ N $是$ n_2 $阶的, 上式化为

$ |P_1||\lambda E-A||P_2| = \left|\begin{array}{cc} \lambda I_1-A_1 & 0 \\ 0 & \lambda N-I_2 \end{array}\right| = (-1)^{n_2}|\lambda I_1-A_1| $

可见, 受限等价变换后的系统和其慢子系统具有相同特征值, 因此$ \sigma(E, A) = \sigma(A_1) $.

综上所述, 系统(3.1)是渐近稳定的充要条件是其矩阵对$ (E, A) $的任意特征值, 即$ \forall\lambda_i \in \sigma (E, A) = \{\lambda||\lambda E-A| = 0 \} $, 都满足$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $.

定理3.1说明, 脉冲项不影响分数阶广义线性系统的稳定性. 因此含脉冲的分数阶广义线性系统的稳定性和分数阶线性系统、无脉冲分数阶广义线性系统的稳定性条件相同.

基于定理3.1, 本节主要研究具有分数阶广义线性系统形式的状态观测器的存在条件和设计方法.首先给出分数阶广义线性定常系统的状态观测器的概念.

针对分数阶广义线性系统(2.1), 如果存在一个以系统(2.1)的输入$ u(t) $和输出$ y(t) $为输入的动态系统, 使得对于系统(2.1)从任意初始状态$ x_0 $出发的运动状态$ x(t) $, 该动态系统的状态$ \widehat{x(t)} $都满足: $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} |x(t)-\widehat{x(t)}| = 0 $, 则称该动态系统是分数阶广义线性系统(2.1)的一个状态观测器.

定义4.1  形如式(4.1)的动态系统观测器($ 0< \alpha <1 $)

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} E{^C_0}{D}_t^\alpha \widehat {x(t)} = A\widehat {x(t)}+Bu(t)+L(y-\widehat y), &\quad\qquad(4.1.1) \\ \widehat {y(t)} = C\widehat {x(t)}, &\quad\qquad(4.1.2) \end{array}\right. \end{equation} $

称为系统(2.1)的全维闭环状态观测器, 其中$ L $是增益矩阵.

结合含脉冲分数阶广义线性系统的渐近稳定性定理3.1, 可以证明分数阶广义系统(2.1)存在全维闭环状态观测器(4.1)的充要条件, 即定理4.1.

定理4.1  正则分数阶广义线性系统(2.1)存在全维状态观测器(4.1)的充要条件是存在矩阵$ L $, 使得$ \forall\lambda_i \in \sigma (E, A-LC) = \{\lambda||\lambda E-(A-LC)| = 0 \} $, 都有$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $.

证   将两个状态方程(2.1.1)和(4.1.1)相减, 可得

$ E{^C_0}{D}_t^\alpha \left[x(t)-\widehat {x(t)}\right] = A\left[x(t)-\widehat {x(t)}\right]-LC\left[x(t)-\widehat {x(t)}\right] = (A-LC)\left[x(t)-\widehat {x(t)}\right], $

作误差变量, $ e(t) = x(t)-\widehat {x(t)} $, 显然有

(4.2) $ \begin{equation} E{^C_0}{D}_t^\alpha e(t) = (A-LC)e(t). \end{equation} $

由定理3.1, 系统(4.2)渐近稳定, 即$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}e(t) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\left[x(t)-\widehat {x(t)}\right] = 0 $的充要条件是存在矩阵$ L $, 使得$ \forall\lambda_i \in \sigma (E, A-LC) = \{\lambda||\lambda E-(A-LC)| = 0\} $, 都有$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $.

由定理3.1的证明过程可知, 具有分数阶广义线性系统形式的状态观测器, 其快子系统的状态响应中会出现脉冲项. 但脉冲项将随着时间的增长, 衰减为0, 它不影响系统稳定性, 它对观测器跟踪效果的影响也将衰减为0. 从而慢子系统的稳定性决定了系统(3.1)的稳定性. 因此, 更好的思路是仅针对系统(3.1)的慢子系统设计观测器. 我们可以通过适当指定增益矩阵$ L $的特殊形式, 使得误差系统(4.2)经受限等价变换后, 仍然能保持慢子系统和快子系统的良好结构, 进而完成系统全维状态观测器的设计. 定理4.2结合慢子系统的能观性给出了系统(2.1)的全维观测器的存在条件和观测器的设计方法.

定理4.2  若正则分数阶广义线性系统(2.1)经过受限等价变换后, 其慢子系统是完全能观的, 则原系统(2.1)具有形如(4.1)式的全维状态观测器.

证   对被观测系统(2.1)左乘可逆矩阵$ P_1 $, 并令$ x(t) = P_2\overline {x}(t) $, 则系统(2.1)可以表示成

(4.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{cc} I_1 & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^\alpha \left[ \begin{array}{c} \overline{x_1}(t) \\ \overline{x_2}(t) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \overline{x_1} \\ \overline{x_2} \\ \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ \end{array} \right]u(t), \\ \overline {y(t)} = C_1\overline {x_1}(t)+C_2\overline {x_2}(t). \end{array}\right. \end{equation} $

对观测器(4.1)左乘可逆矩阵$ P_1 $, 并令$ \widehat x(t) = P_2\widetilde x(t) $, 则系统(4.1)可以表示成

(4.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{cc} I_1 & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^\alpha \left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1}(t) \\ \widetilde{x_2}(t) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1} \\ \widetilde{x_2} \\ \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ \end{array} \right]u(t) +\left[ \begin{array}{c} \overline{L_1} \\ \overline{L_2} \\ \end{array} \right]\left(\left[ \begin{array}{c} \overline{x_1} \\ \overline{x_2} \\ \end{array} \right]-\left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1} \\ \widetilde{x_2} \\ \end{array} \right] \right), \\ \widetilde {y(t)} = C_1\widetilde {x_1}(t)+C_2\widetilde {x_2}(t). \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \left[ \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ \end{array} \right] = P_1B, [C_1 {\:}C_2] = CP_2, \left[ \begin{array}{c} \overline{L_1} \\ \overline{L_2} \\ \end{array} \right] = (P_1L)(CP_2) = \left[ \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ \end{array} \right][C_1{\:}C_2], \left[ \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ \end{array} \right] = P_1L. $

令$ L_2 = 0 $, 有

(4.5) $ \begin{equation} P_1L = \left[ \begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} L_1 \\ 0 \\ \end{array} \right], \; \left[ \begin{array}{c} \overline{L_1} \\ \overline{L_2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} L_1 \\ 0 \\ \end{array} \right][C_1{\:}C_2] = \left[ \begin{array}{cc} L_1C_1 &L_1C_2 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]. \end{equation} $

从而观测器状态方程(4.4)可以表为

(4.6) $ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} I_1 & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^\alpha \left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1}(t) \\ \widetilde{x_2}(t) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A_1 & 0 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1} \\ \widetilde{x_2} \\ \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{c} B_1 \\ B_2 \\ \end{array} \right]u(t) +\left[ \begin{array}{cc} L_1C_1 & L_2C_2 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left(\left[ \begin{array}{c} \overline{x_1} \\ \overline{x_2} \\ \end{array} \right]-\left[ \begin{array}{c} \widetilde{x_1} \\ \widetilde{x_2} \\ \end{array} \right] \right). \end{equation} $

用(4.3)式的状态方程减去(4.6)式有

(4.7) $ \begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} I_1 & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^\alpha \left[ \begin{array}{c} \overline {x_1}(t)- \widetilde{x_1}(t) \\ \overline {x_2}(t)-\widetilde{x_2}(t) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} A_1-L_1C_1 & -L_1C_2 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \overline {x_1}(t)- \widetilde{x_1}(t) \\ \overline {x_2}(t)-\widetilde{x_2}(t) \\ \end{array} \right]. \end{equation} $

(4.7)式上下两部分的结构特点, 便于我们得到其特征多项式

$ \begin{eqnarray*} \left|\lambda\left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & N \\ \end{array} \right)-\left[ \begin{array}{cc} A_1-L_1C_1 & -L_1C_2 \\ 0 & I_2 \\ \end{array} \right] \right|& = &\left|\begin{array}{cc} \lambda I-(A_1-L_1C_1) & L_1C_2 \\ 0 & \lambda N-I_2 \\ \end{array} \right|\\ & = &(-1)^{n_2}|\lambda I-(A_1-L_1C_1)|. \end{eqnarray*} $

由于原系统的慢子系统是完全能观的, 其对偶系统完全能控, 可进行任意极点配置. 即存在$ L_1^T $, 使得$ \det|\lambda I-(A_1^T-C_1^TL_1^T)| = \det|\lambda I-(A_1-L_1C_1)| $的根配置到任意点处. 结合定理4.1, 可通过极点配置, 得到$ L_1 $, 使得$ \forall\lambda_i \in \sigma (E, A-LC) = \{\lambda||\lambda I-(A_1-L_1C_1)| = 0 \} $, 都有$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $, 从而保证系统(4.7)渐近稳定, 即观测器(4.1)能正确跟踪和重构原系统(2.1)的状态响应.

对(4.5)式的第一式两边同乘$ P_1^{-1} $, 得增益矩阵$ L = P_1^{-1}\left[ \begin{array}{c} L_1 \\ 0 \\ \end{array} \right] $, 即可完成状态观测器(4.1)的设计.

综上所述, 具有分数阶广义线性系统形式的全维状态观测器(4.1)设计算法如下.

Step 1 针对所给系统进行受限等价变换, 得到标准型;

Step 2 提取慢子系统的系数矩阵$ A_1 $和$ C_1 $, 通过考察能观性矩阵对$ (A_1, C_1) $是否满秩, 确定慢子系统的完全能观性;

Step 3 对$ (A_1, C_1) $和期望的特征值$ \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{n_1}\} $ (要求满足$ |\arg{(\lambda_i)}|\geq{\frac{\alpha \pi}{2}} $, 即极点位于系统的稳定区域), 采用线性系统中的极点配置算法, 计算$ \det|\lambda I-(A_1-L_1C_1)| $, 将$ (A_1, C_1) $的极点配置到期望极点, 计算增益矩阵$ L_1 $;

Step 4 计算原系统的增益矩阵$ L $, $ L = P_1^{-1}\left[\begin{array}{c} L_1 \\ L_2 \end{array} \right] = P_1^{-1}\left[\begin{array}{c} L_1 \\ 0 \end{array} \right] $;

Step 5. 得到原系统的全维状态观测器(4.1).

例1  针对以下正则分数阶广义线性定常系统设计状态观测器

(5.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 & -3 \\ -2 & -2 & 1 & 2 \\ \end{array} \right] {^C_0}{D}_t^{\alpha} \left( \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \\ \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 4 & -3 & -3 \\ 3 & 5 & -2 & -4 \\ -2 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \\ \end{array} \right) +\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -3\\ 2 \\ \end{array} \right]u(t), \ (5.1.1) \\y = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & -1 & 6 & 3 \\ \end{array} \right]\left( \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \\ \end{array} \right). \qquad {\qquad}{\qquad}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad (5.1.2) \end{array}\right. \end{equation} $

解  取非奇异变换矩阵

$ P_1 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 3 & 6 \\ \end{array} \right], {\qquad} P_2 = \frac {1}{2}\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 1 & 6 & 5 & -3 \\ \end{array} \right]. $

进行受限等价变换后, 系统(5.1)被等价地变换为如下标准型(5.2)

(5.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] {^C_0}{D}_t^{\alpha} \overline {x_1}(t) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right]\overline {x_1}(t)+\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ \end{array} \right]u(t), \qquad\qquad\:\: (5.2.1) \\ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] {^C_0}{D}_t^{\alpha} \overline {x_2}(t) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\overline {x_2}(t)+\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ \end{array} \right]u(t), \qquad\qquad\qquad (5.2.2) \\ \overline{y} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} \overline{x_1}(t) \\ \overline{x_2}(t) \\ \end{array} \right].\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(5.2.3) \end{array}\right. \end{equation} $

(5.2.1)式是(5.2)式的慢子系统部分, (5.2.2)式是其快子系统部分, 显然有

$ A_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right] , {\qquad} C_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right]. $

考虑该慢子系统的能观性, 能观性矩阵$ Q_o = \left[ \begin{array}{cc} C_1 \\ C_1 A_1 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -3 \\ \end{array} \right] $, $ {\rm rank} Q_o = 2 = n_1 $, 慢子系统是完全能观的.由此定理4.2, 原系统存在全维闭环状态观测器. 下面对其进行极点配置.

系统稳定性要求任意期望极点$ \overline{\lambda_i } $满足$ \left|\arg{(\overline{\lambda_i })} \right|\geq\frac{\pi\alpha}{2} $. 选择期望极点$ \overline{\lambda_1 } = -600-3i, $$ \overline{\lambda_2} = -600+3i $, 由于$ 0<\alpha<1 $, 显然它们均位于极点稳定区域. 考虑到该例中的矩阵阶数较低, 我们直接计算系统特征多项式, 进行极点配置.

设系统增益矩阵$ L_1 = \left[\begin{array}{cc} l_1& l_2 \end{array}\right]^T $于是有

$ ({A_1}-{L_1 C_1}) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1& -1\\ \end{array} \right]-\left[ \begin{array}{c} l_1 \\ l_2 \\ \end{array} \right]\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right) = \left[ \begin{array}{cc} 1-l_1 & -1-2l_1 \\ 1-l_2& -1-2l_2 \\ \end{array} \right], $

其特征多项式为

$ \det(\lambda I-({A_1}-{L_1 C_1})) = \left[ \begin{array}{cc} \lambda+l_1-1 & 2l_1+1 \\ l_2-1 & \lambda+2l_2+1 \\ \end{array} \right] = \lambda^2+(l_1+2l_2)\lambda+3(l_1-l_2). $

由期望极点构成的特征多项式为$ (\lambda-\overline{\lambda_1})(\lambda-\overline{\lambda_2}) = \lambda^2+1200\lambda+360009 $, 比较以上两式, 可得$ l_1 = 80402, l_2 = -39601 $, 从而$ L_1 = \left[ \begin{array}{c} l_1 \\ l_2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 80402 \\ -39601 \\ \end{array} \right]. $

于是我们得到系统(5.1)的慢子系统状态观测器方程为

(5.3) $ \begin{equation} {^C_0}{D}_t^{\alpha}\widetilde {x_1}(t) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right]\widetilde {x_1}(t)+\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1 \\ \end{array} \right]u(t)+\left[ \begin{array}{c} 80402 \\ -39601 \\ \end{array} \right](\overline{y}-\widetilde {y}). \end{equation} $

下求观测器的增益矩阵$ L $, 由Step 4知

(5.4) $ \begin{equation} L = P_1^{-1}\left[ \begin{array}{c} L_1 \\ 0 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} 80402 \\ -39601 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 80402 \\ 160804 \\ 159604 \\ -120003 \\ \end{array} \right]. \end{equation} $

因此, 原系统的状态观测器是

(5.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 & -3 \\ -2 & -2 & 1 & 2 \\ \end{array} \right] {^C_0}{D}_t^{\alpha} \left( \begin{array}{c} \widehat x_1(t) \\ \widehat x_2(t) \\ \widehat x_3(t) \\ \widehat x_4(t) \\ \end{array} \right) \\ = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 4 & -3 & -3 \\ 3 & 5 & -2 & -4 \\ -2 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} \widehat x_1(t) \\ \widehat x_2(t) \\ \widehat x_3(t) \\ \widehat x_4(t) \\ \end{array} \right) +\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -3\\ 2 \\ \end{array} \right]u(t)+\left[ \begin{array}{c} 80402 \\ 160804 \\ 159604 \\ -120003 \\ \end{array} \right](y-\widehat y), \\y = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & -1 & 6 & 3 \\ \end{array} \right]\left( \begin{array}{c} \widehat x_1(t) \\ \widehat x_2(t) \\ \widehat x_3(t) \\ \widehat x_4(t) \\ \end{array} \right). \end{array}\right. \end{equation} $

下面验证观测器(5.5)能正确观测原系统(5.1)的状态轨迹。由方程(4.3)和(4.6)可知, 在被观测系统与其状态观测器中, 控制输入$ u(t) $及其响应是一样的, 在误差式(4.7)中, $ u(t) $及其系统效应被完全抵消, 故我们假定$ u(t) = 0 $. 此外, 由于原系统的状态变量$ x(t) = P_2\overline{x}(t) $, 观测器的状态变量$ \widehat x(t) = P_2\widetilde{x}(t) $, 两变换矩阵相同, 因此我们只需验证等价变换后的$ \widetilde{x}(t) $能正确观测$ \overline{x}(t) $即可.

取系统(5.2)的初值为$ \overline {x}(0) = [2, 1, 1, 1]^T $, 其慢子系统(5.2.1)的响应为

$ \overline {x}_1(t) = \left[I+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right)\right]\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right]. $

快子系统(5.2.2)的响应为

$ \overline {x}_2(t) = -\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^{\alpha-1}\delta(t)\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right] = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)t^\alpha}\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ \end{array} \right]. $

从而系统(5.2)的状态响应为

$ \left[ \begin{array}{c} \overline {x}_1(t) \\ \overline {x}_2(t) \\ \end{array} \right] = \left[ 2+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)} {\quad} 1+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)} {\quad} \frac{-1}{\Gamma(1-\alpha)t^\alpha} {\quad} 0 \right]^T. $

系统观测器(5.5)经等价变换后, 任取其初值$ \widetilde {x}(0) = \left[ \begin{array}{cccc} \widetilde {x_1}(0) & \widetilde {x_2}(0) & \widetilde {x_3}(0) & \widetilde {x_4}(0) \\ \end{array}\right]^T $, 其慢子系统方程为

$ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] {^C_0}{D}_t^{\alpha} \widetilde{x_1}(t) = \left[ \begin{array}{cc} -80401 & -160805 \\ 3602 & 79201 \\ \end{array} \right]\widetilde {x_1}(t)+\left[ \begin{array}{c} 321608 \\ -158404 \\ \end{array} \right]+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\left[ \begin{array}{c} 241206 \\ -118803 \\ \end{array} \right], $

其解为初值引起的响应$ \widetilde{x_{1i}}(t) $和输入引起的响应$ \widetilde{x_{1u}}(t) $叠加而成, 即：$ \widetilde{x_{1}}(t) = \widetilde{x_{1i}}(t)+\widetilde{x_{1u}}(t) $. 对$ A_1 = \left[ \begin{array}{cc} -80401 & -160805 \\ 3602 & 79201 \\ \end{array} \right] $作约当分解, 有

$ \widetilde{x_{1i}}(t) = V\left[ \begin{array}{cc} E_{(\alpha, 1)} ((-600-300i)t^\alpha)& 0 \\ 0 & E_{(\alpha, 1)}((-600+300i)t^\alpha) \\ \end{array} \right] V^{-1}\left[ \begin{array}{c} \widetilde {x_1}(0) \\ \widetilde {x_2}(0) \\ \end{array} \right], $

其中, $ V = \left[ \begin{array}{cc} -\frac{401}{199}-\frac{3i}{39602} & -\frac{401}{199}+\frac{3i}{39602} \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right] , V^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{19801i}{3} & \frac{1}{2}+\frac{79801i}{6} \\ -\frac{19801i}{3} & \frac{1}{2}-\frac{79801i}{6} \\ \end{array} \right]. $于是

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{x_{1u}}(t) & = &\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\int_{0}^{t}\frac{A_1^k(t-\tau)^{(k+1)\alpha-1}}{\Gamma{[(k+1)\alpha]}}\left[ \begin{array}{cc} 80402 & 160804 \\ -39601 & -79202 \\ \end{array} \right]\left( \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right]+\frac{\tau^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right] \right)\mathrm {d} \tau \\ & = &\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{A_1^kt^{(k+1)\alpha}}{\Gamma{[(k+1)\alpha+1]}}\left[ \begin{array}{c} 321608 \\ -158404 \\ \end{array} \right]+\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{A_1^kt^{(k+2)\alpha}}{\Gamma{[(k+2)\alpha+1]}}\left[ \begin{array}{c} 241206 \\ -118803 \\ \end{array} \right]\\ & = &t^\alpha V\left[\begin{array}{cc} E_{(\alpha, \alpha+1)}((-600-300i)t^\alpha) & 0 \\ 0 & E_{(\alpha, \alpha+1)}((-600+300i)t^\alpha) \\ \end{array} \right]V^{-1}\left[\begin{array}{c} 321608 \\ -158404 \\ \end{array} \right]\\ &&+t^{2\alpha}V\left[ \begin{array}{cc} E_{(\alpha, 2\alpha+1)}((-600-300i)t^\alpha) & 0 \\ 0 & E_{(\alpha, 2\alpha+1)}((-600+300i)t^\alpha) \\ \end{array} \right]V^{-1}\left[ \begin{array}{c} 241206 \\ -118803 \\ \end{array} \right]. \end{eqnarray*} $

快子系统

$ \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]{^C_0}{D}_t^{\alpha}\widetilde{x_2}(t) = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]\widetilde{x_2}(t), $

解为$ \widetilde{x_2}(1) = -\frac{\widetilde{x_{40}}}{\Gamma{(1-\alpha)t^\alpha}}, \widetilde{x_2}(2) = 0 $.

图 1–3给出了$ \alpha = 0.75 $, 观测器初值为$ [4\:\, 0.5\:\, 3\:\, 0.25]^T $时状态观测器的跟踪效果, 图中$ \overline x(t) $是被观测系统的状态响应, $ \overline {x_1}(t) $、$ \overline {x_2}(t) $和$ \overline {x_3}(t) $是其慢子系统的第一、二分量和快子系统的第一分量. $ \widetilde x(t) $是观测器的状态响应, $ \widetilde {x_1}(t) $、$ \widetilde {x_2}(t) $和$ \widetilde {x_3}(t) $含义同前述各量. 显然观测器状态响应$ \widetilde x(t) $的三个分量均能快速正确跟踪被观测系统的状态变量. 快子系统的第二分量为0, 观测器的相应分量也为0, 这里图略. 此外, 观测器对原系统状态的观测不依赖于初值. 事实上, 观测器慢子系统的状态响应

$ \widetilde {x_1}(t) = \widetilde {x_{1i}}(t)+\widetilde {x_{1u}}(t), $

其中$ \widetilde {x_{1i}}(t) $由初值引起, 但这部分响应在任何初值下都趋于0. 图 4给出了在初值为$ \left[6\:\, 5\:\, 1\:\, 4\right]^T $时, 慢子系统关于初值的响应. 由输入$ u(t) $激发的$ \widetilde {x_{1u}}(t) $与初值无关, 并趋向被观测系统慢子系统的状态变量. 观测器快子系统的状态变量$ \widetilde {x_{2}}(t) $为脉冲项, 它在任何初值下均会趋于0, 即被观测系统快子系统的状态响应. 经受限等价变换后的观测器能正确反应原系统经受限等价变换后的状态响应, 因此观测器(5.5)能正确跟踪原系统(5.1)的状态响应.

本文研究了分数阶广义线性系统的状态观测器设计问题. 我们首先研究了脉冲函数$ \delta(t) $的Caputo导数及其Laplace变换, 得到了分数阶广义线性定常系统含脉冲项的分布解. 分数阶广义线性系统的分布解显著刻画了分数阶系统的"记忆特性". 以系统的分布解为基础, 我们证明了脉冲项不影响分数阶广义线性系统的稳定性. 在此基础上, 我们证明了分数阶广义线性系统存在全维状态观测器的充要条件是: 存在增益矩阵$ L $, 使得系统稳定. 为了进一步简化观测器设计, 我们指定增益矩阵$ L $与快子系统对应的部分为0, 通过仅对慢子系统进行极点配置, 实现了系统的全维状态观测器设计. 和已有的分数阶广义线性系统观测器设计方法相比, 本文提出的观测器设计方法仅需确定一个待定的列矩阵$ L $的部分元素, 因此设计方法大为简化, 且由此产生的观测器中的脉冲项对状态跟踪的影响逐渐衰减为0. 最后, 我们给出了系统观测器设计的实例, 验证了本文所提观测器设计方法的准确性和有效性.