同宿与异宿轨道是动力系统中一类重要的不变集, 同宿轨道沿着系统相应稳定流形与不稳定流形趋于相同的平衡点. 而异宿轨道沿着系统相应稳定流形与不稳定流形趋于不同的两个平衡点. 在同宿与异宿轨道附近, 系统具有丰富的动力学行为, 比如混沌运动^[6]. 因此同宿与异宿轨道的分支是动力系统中非常重要的问题.

对于同宿与异宿轨道在扰动下持久性问题的研究, 曾引起了许多数学家的注意. 人们处理此类问题的方法大致分为两类: 一是几何的方法, 几何的方法源自于Silnikov. 通过在同宿轨附近构造一个映射, 映射的不动点的存在性对应于扰动系统的同宿轨的存在性, 参见文献[14-16].二是分析的方法, 分析的方法源自于Melnikov^[11], 他构造了一个距离函数来测量扰动后稳定流形与不稳定流形之间的距离. 当距离等于零时, 意味着扰动后的稳定流形与不稳定流形相交, 进而扰动系统存在同宿或异宿轨道. 这样的方法被人们称为Melnikov方法.

1980年, Chow, Hale和Mallet-Parret^[1]将泛函分析的方法引入到了同宿轨分支问题的研究中, 他们应用Fredholm更替原理研究了平面Duffing方程的同宿轨保持问题. 随后Palmer^[12]将Chow, Hale和Mallet-Parret的工作推广到$ N $维非Hamiltonian系统. 他假设未扰动的方程具有一同宿轨, 并且沿同宿轨的变分方程只有一个有界解. Palmer利用Lyapunov-Schmidt约化和指数二分性推导出了相应的分支函数, 分支函数零点的存在性就对应着原同宿轨在周期扰动下的保持性. 同时作者也应用跟踪引理证明了扰动之后的周期系统的周期映射的迭代共轭于具有两个符号的移位算子. 也就意味着扰动之后的周期系统存在着Smale马蹄, 具有混沌运动. Palmer在文献[13]中将上述方法应用到异宿轨道分支问题的研究中. 1984年, Hale^[7]提出了推广上述分析的方法研究更一般的情形, 即具有多个参数的扰动以及退化的同宿与异宿轨道的分支问题. 假设沿着未扰动的同宿与异宿轨道的变分方程具有$ d $个线性无关的有界解. 由于同宿或异宿轨道关于时间的导数就是变分方程的有界解, 因此$ d\geq 1 $. 变分方程有界解的个数$ d $就等于相应的稳定流形与不稳定流形的切空间相交子空间的维数. 如果$ d = 1 $, 称未扰动的同宿与异宿轨道是非退化的. 如果$ d\geq1 $, 称未扰动的同宿与异宿轨道是退化的^[18]. Zhang在文献[19]中用Kuramoto-Sivashinsky方程作为例子说明了相应的变分方程存在两个线性无关的有界解. 变分方程有界解的个数$ d $反应了相应的未扰动的同宿或异宿轨道的退化性.

在文献[4-5]中, Gruendler应用分析的方法研究了退化的同宿轨在周期扰动下的持久性问题. Hale和Lin^[8]应用分析的方法研究了时滞泛函微分方程的异宿轨分支问题.他在文中给出了扰动之后的系统在未扰动的异宿轨附近存在异宿轨的条件.同时作者在文中关于未扰动的异宿轨引入了一个指标量. 未扰动的异宿轨在扰动之后的情形依赖于此指标量. 在文献中[9]中, 作者考虑了一类具有特殊退化性的异宿轨道在周期扰动下的分支问题, 给出了系统在周期扰动下出现四条异宿轨道的条件. Li和Du在文献[10]中, 将分析的方法推广到了处理片段光滑系统中的异宿轨分支问题.

本文将考虑如下的自治微分方程

(1.1) $ \begin{equation} \dot{x}(t) = f(x(t)) \end{equation} $

及其周期扰动方程

(1.2) $ \begin{equation} \dot{x}(t) = f(x(t))+\sum\limits_{j = 1}^{m}\mu_j g_j(x(t), \mu, t), \end{equation} $

其中$ x\in{{\Bbb R}} ^{n} $, $ \mu = (\mu_1, \cdots , \mu_m)\in{{\Bbb R}} ^m $. 并且假设方程(1.1)和(1.2)满足如下的条件:

(H1) $ f\in C^{3} $.

(H2) $ p_+ $和$ p_- $是未扰动方程(1.1)的两个不同的鞍点. 即$ f(p_{\pm}) = 0 $并且矩阵$ Df(p_{\pm}) $的特征值只有正实部和负实部.

(H3) 未扰动方程(1.1)具有退化的异宿解$ \gamma(t) $. $ \gamma(t) $以指数的形式渐近趋于平衡点$ p_+ $和$ p_- $. 即$ \dot{\gamma}(t) = f(\gamma(t)) $, $ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty}\gamma(t) = p_{\pm} $.

(H4) $ g_j\in C^{3} $, $ g_j(x, 0, t) = 0 $, $ g_j(x, \mu, t+2) = g_j(x, \mu, t) $.

(H5) $ d_{+} = \dim(W^{s}(p_+)) $, $ d_{-} = \dim(W^{s}(p_-)) $, 其中$ W^{s}(p_+) $和$ W^{u}(p_-) $分别是平衡点$ p_+ $和$ p_- $的稳定流形和不稳定流形.

方程(1.1)沿着异宿轨$ \gamma $的变分方程为

(1.3) $ \begin{equation} \dot{u}(t) = Df(\gamma(t))u(t). \end{equation} $

由于

(1.4) $ \begin{equation} \dot{\gamma}(t) = f(\gamma(t)), \end{equation} $

将式(1.4)两边同时关于$ t $求导, 可得

$ \ddot{\gamma}(t) = Df(\gamma(t))\dot{\gamma}(t). $

因此$ \dot{\gamma}(t) $是方程(1.3)的一个有界解. 假设方程(1.3)具有$ d(d\ge1) $个线性无关的有界解. 基于Sacker在文献[17]和Chow, Yamashita在文献[2]中的定义, 我们定义未扰动的异宿轨道$ \gamma $的分离指标为

(1.5) $ \begin{equation} S(\gamma) = d_{+}-d_{-} = s. \end{equation} $

若未扰动的轨道$ \gamma $是同宿于双曲平衡点的同宿轨道, 则$ d_+ = d_- $. 即分离指标$ s = 0 $. 若同宿于非双曲平衡点的同宿轨其指标$ s $与平衡点的中心流形的维数有关^[3]. 但是当$ \gamma $是异宿轨道时, $ d_+ $和$ d_- $不一定相等, 即分离指标$ s $不一定为零. 本文将研究$ d $与分离指标$ s $对周期扰动下未扰动异宿轨道$ \gamma $分支的影响.

由$ \gamma(t) $的假设, 我们有

$ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty} Df(\gamma(t)) = D(p_{\pm}). $

由于$ p_{\pm} $是双曲的及指数二分性的粗糙性定理, 可知变分方程(1.3)在$ {{\Bbb R}} ^{\pm} $上具有双边指数二分性. 令$ U $为方程(1.3)的标准基解矩阵, 则存在常数$ M>0 $, $ K_{0}>0 $, 及投影$ P^{+} $, $ P^{-} $, 使得

(2.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} |U(t)P^{+}U^{-1}(\tau)|\leq K_{0}e^{2M (\tau-t)}, \ 0\leqslant \tau\leqslant t, \\ |U(t)(I-P^{+})U^{-1}(\tau)|\leq K_{0}e^{2M(t-\tau)}, \ 0\leqslant t\leqslant \tau, \\ |U(t)P^{-}U^{-1}(\tau)|\leq K_{0}e^{2M(\tau-t)}, \ \tau\leqslant t\leqslant 0, \\ |U(t)(I-P^{-})U^{-1}(\tau)|\leq K_{0}e^{2M(t-\tau)}, \ t\leqslant \tau\leqslant 0, \end{array} \end{equation} $

其中$ I $为$ n\times n $单位矩阵. 进一步的, 我们定义Banach空间

$ \begin{eqnarray*} {\cal Z}^r = \{ z\in C^{r}({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ^{n}) : \max\limits_{0\leq j\leq r} \sup\limits_{t\in {{\Bbb R}} }|D^jz(t)|e^{M|t|}<\infty \}. \end{eqnarray*} $

定义线性算子$ L:{\cal Z}^1\to {\cal Z}^0 $,

(2.2) $ \begin{equation} L(u): = \dot u-Df(\gamma(t))u. \end{equation} $

线性算子$ L $的对偶算子为

(2.3) $ \begin{equation} L^{*}(\psi): = \dot\psi+(Df(\gamma(t)))^T\psi, \end{equation} $

其中$ (Df(\gamma(t)))^T $是$ n\times n $矩阵值函数$ Df(\gamma(t)) $的共轭转置.

令$ U^{-1} $为矩阵$ U $的逆矩阵, 则$ U^{-1}U = I $. 对$ U^{-1}U = I $两端关于时间$ t $求导, 可得

$ U^{-1}\dot{U}+\dot{U}^{-1}U = 0, $

因此

$ \dot{U}^{-1} = -U^{-1}\dot UU^{-1} = -U^{-1}Df(\gamma). $

所以我们有

$ (\dot{U}^{-1})^T = -(Df(\gamma))^T(U^{-1})^T. $

因此$ (U^{-1})^T $是方程(1.3)的对偶方程的基解矩阵. 在式(2.1)中两端求共轭转置, 容易看出方程(1.3)的对偶方程分别在$ {{\Bbb R}} ^+ $和$ {{\Bbb R}} ^- $上具有投影为$ I-(P^{+})^T $和$ I- (P^{-})^T $的指数二分性.

由方程(1.3)的变分方程具有双边指数二分性, 如果

$ u_0\in Ran(P^+\cap(I-P^-)), $

则

$ u(t) = U(t)u_0\in ker(L). $

类似的, 如果$ u_0\in Ran((I-(P^{+})^T)\cap ((P^{-})^T)) $, 则$ \psi(s) = (U^{-1})^T(s)u_0\in ker(L^*) $. 即意味如下的引理成立.

引理2.1  投影$ P^{+} $和$ P^{-} $满足如下的性质:

(ⅰ) $ \dim Ran(P^{+}) = \dim W^s(p_+); $

(ⅱ) $ \dim Ran(I-P^{-}) = \dim W^u(p_-); $

(ⅲ) $ \dim(Ran(P^{+})\cap Ran(I- P^{-})) = \dim(T_{\gamma(0)}W^s(p_+)\cap T_{\gamma(0)}W^u(p_-)) = \dim ker(L) = d; $

(ⅳ) $ \dim(Ran(I-(P^{+})^T)\cap Ran((P^{-})^T)) = \dim Ker(L^*). $

由于方程(1.3)在$ {{\Bbb R}} ^+ $和$ {{\Bbb R}} ^- $上具有指数二分性, 因此根据Palmer在文献[12]中的引理4.2可知线性算子$ L $是一个Fredholm算子. 此外算子$ L $的值域与算子$ L^* $的核空间满足

(2.4) $ \begin{equation} h\in Ran(L)\; \mbox{当且仅当}\; \int_{-\infty}^\infty\langle\psi^T(t), h(t)\rangle {\rm d}t = 0, \; \psi\in Ker(L^*). \end{equation} $

由此我们可以建立从$ {\cal Z}^0 \setminus Ran(L) $到$ ker(L^*) $的一个同构. 因此

$ {\rm codim} Ran(L) = \dim Ker(L^*), $

其中$ Ran(L) $是$ {\cal Z}^0 $的一个闭子空间, $ \dim(Ran(L)) $和codim$ \, Ran(L) $都是有限的.

Fredholm算子$ L $的指标定义为

$ index L = {\rm dim} Ker(L)-{\rm codim} Ran(L). $

通过直接的计算我们有

(2.5) $ \begin{eqnarray} index L& = &\dim Ker(L)-{\rm codim} Ran(L) {}\\ & = &\dim(Ran(P^{+})\cap Ran(I-P^{-}))-\dim(Ran(I-(P^{+})^T)\cap Ran ((P^{-})^T)) {}\\ & = &\dim(Ran(P^{+}))+\dim(Ran(I-P^{-}))-\dim(Ran(P^{+})+Ran(I-P^{-})){}\\ &&-\dim(Ran^\perp(P^{+})\cap Ran^\perp(I-P^{-})){}\\ & = &\dim(Ran(P^{+}))+\dim(Ran(I-P^{-}))-\dim(Ran(P^{+})+Ran(I-P^{-})){}\\ &&-\dim((Ran(P^{+})+Ran(I-P^{-}))^\perp){}\\ & = &\dim(Ran(P^{+}))+\dim(Ran(I-P^{-}))-\dim(Ran(P^{+})+Ran(I-P^{-})){}\\ &&-n+\dim(Ran(P^{+})+Ran(I-P^{-})){}\\ & = &\dim(Ran(P^{+}))+\dim(Ran(I- P^{-}))-n{}\\ & = &\dim(W^s(p_+))+\dim(W^u(p_-))-n{}\\ & = &\dim(W^s(p_+))-\dim(W^s(p_-)){}\\ & = &d_+-d_-. \end{eqnarray} $

根据文献[5]中的推论6.2或者Sacker在文献[17]中的定理3以及上文中式(1.5), 我们有如下的结论.

引理2.2  线性算子$ L $是一个Fredholm算子并且其指标满足

$ index L = S(\gamma). $

根据式$ (1.5) $, $ (2.5) $以及引理2.1, 我们有

$ \dim ker(L) = d, \; \; \dim ker(L^*) = d-s. $

对于$ t\in{{\Bbb R}} $, 假设$ u_1(t), u_2(t), \cdots , u_{d-1}(t), u_{d}(t) = \dot{\gamma}(t) $是线性无关的, 且满足

$ T_{\gamma(0)}W^s(p_+)\cap T_{\gamma(0)}W^u(p_-) = span\{u_1(0), u_2(0), \cdots , u_{d}(0)\}, $

则$ \{u_1(t), u_2(t), \cdots , u_{d}(t)\} $是线性空间$ ker(L) $的一组单位正交基. 假设

$ \{\psi_1(t), \psi_1(t), \cdots, \psi_{d-s}(t)\} $

是线性空间$ ker(L^*) $的一组单位正交基.

显然异宿轨道$ \gamma $位于$ W^{s}(p_+)\cap W^{u}(p_-) $. 由于方程(1.3)具有$ d $个线性无关的有界解, 因此

$ \dim(T_{\gamma(0)}W^{s}(p_+)\cap T_{\gamma(0)}W^{u}(p_-)) = d. $

假设(H2)意味着$ p_+ $和$ p_- $为方程(1.1)的两个双曲平衡点. 并且

$ g_j(x, \mu, t) = g_j(x, \mu, t+2). $

因此$ p_+ $和$ p_- $在周期扰动下为方程(1.2)的两个双曲周期轨, 我们分别记为

$ \xi_+(t, \mu): = p_++O(|\mu|), \; \; \xi_-(t, \mu): = p_-+O(|\mu|), $

令$ \delta_1(t) $和$ \delta_2(t) $为两个光滑实值函数, 满足$ \delta_1(t) = 0 $对$ t\geq 1 $, $ \delta_1(t) = 1 $对$ t\leq 2 $, 及$ \delta_2(t) = \delta_1(-t) $. 令

(2.6) $ \begin{equation} y(t, \mu) = \delta_1(t)(\xi_{-}(t, \mu)-p_{-})+\delta_2(t)(\xi_{+}(t, \mu)-p_{+}). \end{equation} $

显然$ y(t, 0) = 0 $, $ \lim\limits_{t\to -\infty}y(t, \mu) = \xi_{-}(t, \mu)-p_{-} $, 且$ \lim\limits_{t\to +\infty}y(t, \mu) = \xi_{+}(t, \mu)-p_{+} $.

对于$ i = 1, \cdots , d-s $, $ j = 1, \cdots , m $, 及$ p $, $ q = 1, \cdots , d-1 $. 我们定义如下的Melnikov型的积分.

(2.7) $ \begin{eqnarray} b^{(i)}_{pq}& = &\int^{+\infty}_{-\infty}\langle\psi_{i}^T(t), D_{11}f(\gamma(t))u_p(t)u_q(t)\rangle {\rm d}t; \\ a^{(i)}_{j}(\alpha)& = &\int^{+\infty}_{-\infty}\langle \psi_{i}^T(t) , g_j(\gamma, 0, t+\alpha)-\delta_1(t)g_j(p_-, 0, t)-\delta_2(t)g_j(p_+, 0, t)\\ &&+\delta_1(t)D_{\mu_j}\xi_-(t, 0)(Df(\gamma)-Df(p_-))\\ &&+\delta_2(t)D_{\mu_j}\xi_+(t, 0)(Df(\gamma)-Df(p_+))\\ &&-\dot{\delta_1}(t)D_{\mu_j}\xi_-(t, 0)-\dot{\delta_2}(t)D_{\mu_j}\xi_+(t, 0) \rangle {\rm d}t. \end{eqnarray} $

定义$ M:{\mathbb R}^{d-1}\times{\mathbb R}^{m}\times{\mathbb R}\to{\mathbb R}^{d-s} $为

$ M(\beta, \mu, \alpha) = (M_1(\beta, \mu, \alpha), \cdots , M_{d-s}(\beta, \mu, \alpha)), $

其中

(2.8) $ \begin{equation} M_i(\beta, \mu, \alpha) = \sum\limits_{j = 1}^{m}a^{(i)}_j(\alpha) \mu_j+\frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^{d-1}\sum\limits_{q = 1}^{d-1} b^{(i)}_{pq}\beta_p\beta_q, i = 1, \cdots , d-s. \end{equation} $

定理2.1  假设$ \rm(H1) $–$ \rm(H5) $成立.

(ⅰ) 当$ s<0 $时, 取$ m = 1-s $. 如果存在点$ (\beta_{0}, \mu_{0}, \alpha_{0})\in {\mathbb R}^{d-1}\times{\mathbb R}^{1-s}\times{\mathbb R} $, 使得

$ M(\beta_{0}, \mu_{0}, \alpha_{0}) = 0, $

且$ D_{(\beta, \mu)}M(\beta_{0}, \mu_{0}, \alpha_{0}) $是一个$ (d-s)\times (d-s) $的非奇异矩阵. 则存在一个包含零点的开区间$ I\in {\mathbb R} $以及可微的函数$ \kappa_2: I\rightarrow {{\Bbb R}} ^{1-s} $, 使得当$ \mu = \varepsilon^2(u_{0}+\kappa_2(\varepsilon)) $时, 扰动系统在未扰动的异宿轨$ \gamma $附近存在异宿轨$ x_{\varepsilon} $, $ \varepsilon\in I $.

(ⅱ) 当$ s\geq0 $时, 取$ m = 1 $.如果存在点$ (\hat{\beta}_{0}, \check{\beta}_0, \mu_{0}, \alpha_{0})\in{{\Bbb R}} ^{d-s-1} \times{{\Bbb R}} ^{s}\times {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} $, 使得

$ M(\hat{\beta}_{0}, \check{\beta}_0, \mu_{0}, \alpha_{0}) = 0, $

且$ D_{(\hat{\beta}, \alpha)}M(\hat{\beta}_{0}, \check{\beta}_0, \mu_{0}, \alpha_{0}) $是一个$ (d-s)\times (d-s) $的非奇异矩阵. 则存在一个包含零点的开区间$ J\in{\mathbb R} $, 使得当$ \mu = \varepsilon^2\mu_{0} $时, 扰动系统在未扰动的异宿轨$ \gamma $附近存在异宿轨$ x_{\varepsilon} $, $ \varepsilon\in J $.

假设$ x(t) $是方程(1.2)的一个解, $ \alpha $是$ {{\Bbb R}} $中给定的数, $ y(t, \mu) $的定义见式(2.6). 我们做如下的变换

(3.1) $ \begin{equation} x(t+\alpha) = \gamma(t)+y(t, \mu)+z(t), \end{equation} $

因此方程(1.2)可以被改写为

(3.2) $ \begin{equation} \dot{z} = Df(\gamma)z+\widetilde{g}(z, \mu, \alpha), \end{equation} $

其中

(3.3) $ \begin{eqnarray} \widetilde{g}(z, \mu, \alpha)(t)& = &f(\gamma(t)+y(t, \mu)+z(t))-f(\gamma(t))-Df(\gamma(t))z{}\\ &&+\sum\limits_{j = 1}^{m}\mu_j g_j(\gamma(t)+y(t, \mu)+z(t), \mu, t+\alpha)-\dot{y}(t, \mu). \end{eqnarray} $

由于$ \xi_{\pm}(t, \mu) $和$ p_{\pm} $都是双曲的. 如果$ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty}|z(t)| = 0 $. 则当$ t\to +\infty $时, 则$ x(t) $以指数的形式趋于$ \xi_{+} $. 当$ t\to -\infty $时, $ x(t) $以指数的形式趋于$ \xi_{-} $. 因此经过变换$ (3.1) $后, 如果$ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty}|z(t)| = 0 $, 则$ x(t) $是一个异宿于双曲周期解$ \xi_{-}(t, \mu) $和$ \xi_{+}(t, \mu) $的异宿解. 因此未扰动的异宿轨$ \gamma $在周期扰动下的持久性等价于寻求方程$ (3.2) $满足$ |z(t)|\leq K_{0}e^{-M|t|} $的解$ z(t) $.

由$ y(t, \mu) $和$ \delta_i(t) $的定义. 对任意的$ (\mu, \alpha)\in {{\Bbb R}} ^m\times{{\Bbb R}} $, 如果$ z(t)\in{\cal Z}^1 $, 则$ \widetilde{g}(z, \mu, \alpha)\in {\cal Z}^0 $. 令$ D_{i} $表示一个多元函数关于其第$ i $的变量的一阶导数, $ D_{ij} $表示关于第$ i $个和第$ j $个变量的二阶导数. 通过直接的计算关于$ \widetilde{g}(z, \mu, \alpha) $我们有如下的结论.

引理3.1   函数$ \widetilde{g}(\cdot, \mu, \alpha): {\cal Z}^1\times{{\Bbb R}} ^m\times{{\Bbb R}} \mapsto{\cal Z}^0 $, 满足如下的性质:

(ⅰ) $ \widetilde{g}(0, 0, \alpha) = 0; $$ D_{1}\widetilde{g}(0, 0, \alpha) = 0; $

(ⅱ) $ D_{11}\widetilde{g}(0, 0, \alpha) = D_{11}f(\gamma); $

(ⅲ)

$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial\widetilde{g}}{\partial \mu_j}(0, 0, \alpha)(t) & = &g_j(\gamma, 0, t+\alpha)-\delta_1(t)g_j(p_-, 0, t)-\delta_2(t)g_j(p_+, 0, t) \\ && +\delta_1(t)D_{\mu_j}\xi_-(t, 0)(Df(\gamma)-Df(p_-))+\delta_2(t)D_{\mu_j}\xi_+(t, 0)(Df(\gamma)-Df(p_+)) \\ && -\dot{\delta_1}(t)D_{\mu_j}\xi_-(t, 0)-\dot{\delta_2}(t)D_{\mu_j}\xi_+(t, 0), \; \; j = 1, \cdots , m. \end{eqnarray*} $

定义$ {\cal Z}^0 $的一个闭子空间为

$ \widetilde{{\cal Z}} = \bigg\{h\in{\cal Z}^0: \int_{-\infty}^\infty\langle\psi_i^T(t), h(t)\rangle {\rm d}t = 0, i = 1, \cdots , d-s \bigg\}. $

由式$ (2.4) $, 我们有$ \widetilde{{\cal Z}} = Ran(L) $. 因此如果$ h\in\widetilde{{\cal Z}} $, 则线性算子方程$ L(u) = \dot{u}(t)-Df(\gamma) = h $存在一个解映射记为$ K(h) $, $ K:\widetilde{{\cal Z}}\mapsto {\cal Z}^1 $. 由于$ \dim({\cal Z}^0\setminus\widetilde{{\cal Z}}) = \dim(ker(L^*)) = d-s $, 假设$ \varphi_1(t), \cdots , \varphi_{d-s}(t) $是$ {\cal Z}^0\setminus\widetilde{{\cal Z}} $的一组单位正交基, 满足$ \langle\varphi_{i}, \psi_{j}\rangle = \delta_{ij} $, $ \delta_{ij} $为Kronecker符号. 定义映射$ P: {\cal Z}^0\mapsto {\cal Z}^0 $为

(3.4) $ \begin{equation} P(z)(t) = \sum\limits_{i = 1}^{d-s}\varphi_i(t)\int_{-\infty}^\infty\langle\psi_i^T(t), z(t)\rangle {\rm d}t. \end{equation} $

显然$ P $满足如下的特征:

引理3.2  $ \rm(i) $线性算子$ P $和$ I-P $为投影算子;

$ \rm(ii) $$ Ran(P)\oplus Ran(L) = {{\cal Z}^0} $;

$ \rm(iii) $$ Ran(I-P) = Ran(L) = \widetilde{{\cal Z}} $.

我们将应用Lyapunov-Schmidt约化方法去求解方程(3.2). 应用投影$ P $和$ (I-P) $作用于方程(3.2), 则方程(3.2)等价于如下的两个系统

(3.5) $ \begin{equation} \dot{z} = Df(\gamma)z-(I-P)\widetilde{g}(z, \mu, \alpha), \end{equation} $

(3.6) $ \begin{equation} P\widetilde{g}(z, \mu, \alpha) = 0. \end{equation} $

首先我们在$ {\cal Z}^1 $中求解方程(3.5)的解$ z $. 然后将得到的解$ z $带入方程(3.6)就得到了分支方程.

由于$ Ran(I-P) = \widetilde{{\cal Z}} $且$ K:\widetilde{{\cal Z}}\to{{\cal Z}^1} $. 我们定义一个$ C^{2} $映射$ F:{\cal Z}^1\times{{\Bbb R}} ^{d-1}\times{{\Bbb R}} ^m\times{{\Bbb R}} \rightarrow {\cal Z}^1 $,

(3.7) $ \begin{equation} F(z, \beta, \mu, \alpha) = \sum\limits_{i = 1}^{d-1}\beta_iu_i+K(I-P)\widetilde{g}(z, \mu, \alpha), \end{equation} $

其中$ \beta = (\beta _{1}, \cdots , \beta _{d-1})\in{\mathbb R}^{d-1} $. 对于充分小的$ \beta $, $ \mu $和$ \alpha $, 应用压缩映射原理我们可得到映射(3.7)的一个不动点$ z $. $ z $就是方程(3.5)在$ {\cal Z}^1 $中的解

记式(3.7)的不动点为$ z = \phi(\beta, \mu, \alpha) $, 则

(3.8) $ \begin{equation} \phi(\beta, \mu, \alpha) = \sum\limits_{i = 1}^{d-1}\beta_iu_i+K(I-P)\widetilde{g}(\phi(\beta, \mu, \alpha), \mu, \alpha), \end{equation} $

且$ \phi\in C^2 $. 根据$ \widetilde{g}(z, \mu, \alpha) $的性质, 我们有$ \phi(0, 0, \alpha) = 0 $且

$ (\partial\phi/\partial \beta_p) |_{(0, 0, \alpha)} = u_p, \; p = 1, \cdots , d-1. $

将$ z = \phi(\beta, \mu, \alpha) $带入到方程(3.6)中, 得到分支方程为

(3.9) $ \begin{equation} 0 = P\widetilde{g}(\phi(\beta, \mu, \alpha), \mu, \alpha)(t) = \sum\limits_{i = 1}^{d-s}\varphi_i(t)\int^{+\infty}_{-\infty}\langle\psi_i^T(s), \widetilde{g}(\phi(\beta, \mu, \alpha), \mu, \alpha)(s)\rangle {\rm d}s, \end{equation} $

由于$ \varphi_1, \cdots , \varphi_{d-s} $是线性无关的, 所以方程$ (3.9) $等价于

$ H_{i}(\beta, \mu, \alpha): = \int^{+\infty}_{-\infty}\langle\psi_i^T(s), \widetilde{g}(\phi(\beta, \mu, \alpha), \mu, \alpha)(s)\rangle {\rm d}s = 0, \; i = 1, \cdots , d-s. $

如果存在$ (\beta, \mu, \alpha)\in {{\Bbb R}} ^{d-1}\times {{\Bbb R}} ^m\times{{\Bbb R}} $, 使得

$ H_{i}(\beta, \mu, \alpha) = 0, \; \; \; \; i = 1, \cdots , d-s, $

则$ z = \phi $就是方程(3.2)的一个解. 因此扰动方程(1.2)具有一个异宿轨

$ x(t-\alpha) = \gamma(t-\alpha)+y(t-\alpha, \mu)+\phi(\beta, \mu, \alpha)(t-\alpha), $

其中$ y, \phi $见式(2.6)和(3.8). 令

$ H(\beta, \mu, \alpha) = (H_{1}(\beta, \mu, \alpha), \cdots , H_{d-s}(\beta, \mu, \alpha)). $

通过直接的计算我们有如下的引理.

引理3.3  函数$ H(\beta, \mu, \alpha) $具有如下的性质:

(ⅰ) $ H_i(0, 0, \alpha) = 0, \; \; \frac{\partial H_i}{\partial \beta_p}(0, 0, \alpha) = 0; $

(ⅱ) $ b^{(i)}_{pq} = \frac{\partial^2 H_i}{\partial\beta_p\partial\beta_q}(0, 0, \alpha) = \int^{+\infty}_{-\infty}\langle\psi_i(t), D_{11}f(\gamma(t))u_p(t)u_q(t)\rangle {\rm d}t; $

(ⅲ) $ a^{(i)}_j(\alpha) = \frac{\partial H_i}{\partial\mu_j}(0, 0, \alpha) = \int^{+\infty}_{-\infty}\langle\psi_i(t) , \frac{\partial \widetilde{g}}{\partial\mu_j}(0, 0, \alpha)(t)\rangle {\rm d}t, $

其中$ i = 1, \cdots , d-s $, $ j = 1, \cdots , m $, $ p, q = 1, \cdots , d-1 $.

令$ M:{\mathbb R}^{d-1}\times{\mathbb R}^m\times{\mathbb R} \to{\mathbb R}^{d-s} $为

$ M(\beta, \mu, \alpha) = (M_1(\beta, \mu, \alpha), \cdots , M_{d-s}(\beta, \mu, \alpha)), $

其中

$ M_i(\beta, \mu, \alpha) = \sum\limits_{j = 1}^{m}a^{(i)}_j(\alpha)\mu_j+\frac{1}{2}\sum\limits_{p = 1}^{d-1}\sum\limits_{q = 1}^{d-1}b^{(i)}_{pq}\beta_p\beta_q, \; \; i = 1, \cdots , d-s. $

因此，我们有

$ H(\beta, \mu, \alpha) = M(\beta, \mu, \alpha)+H.O.T. $

在上面的假设下, 我们应用了Lyapunov-Schmidt约化方法和指数二分性推到出了分支函数$ H $. 由同宿或异宿轨道分支理论, 可知分支函数$ H(\beta, \mu, \alpha) $的零点就对应这扰动的异宿轨. 为求分支函数$ H $的零点, 实际上需要求解一个具有$ d+m $个变量$ d-s $个方程的方程组. 这与通常的退化同宿轨道的分支函数相比依赖于分离指标$ S(\gamma) = s $. 接下来我们将讨论分支结果对于分离指标$ s $和扰动参数的维数$ m $的依赖性. 由上面的讨论可知, 根据函数$ M $是分支函数$ H $的低阶项. 应用隐函数定理可知, 如果函数$ M $具有简单零点, 则可得到分支函数$ H $的零点. 以下根据分离指标$ S(\gamma) = s $的取值, 将分两类不同的情形来讨论异宿轨道的分支.

情形1 当分离指标$ s<0 $时, 为了得到分支函数$ H $的零点, 我们需要假设扰动的维数$ m\geq 1-s $. 即意味着至少需要$ 1-s $维的周期扰动才能扰开未扰动的异宿轨道. 不失一般性, 我们取$ m = 1-s $来说明此类分支情形.

引理3.4  若存在$ (\beta_0, \mu_0, \alpha_0)\in{{\Bbb R}} ^{d-1}\times{{\Bbb R}} ^{1-s}\times{{\Bbb R}} $使得$ M(\beta_0, \mu_0, \alpha_0) = 0 $且$ D_{(\beta, \mu)}M(\beta_0, $$ \mu_0, \alpha_0) $是一个$ (d-s)\times(d-s) $的非奇异矩阵. 则存在包含原点的开区间$ I\subset{{\Bbb R}} $以及可微的函数$ \kappa_1: I\rightarrow {{\Bbb R}} ^{d-1} $, $ \kappa_2: I\rightarrow {{\Bbb R}} ^{1-s} $, 使得$ \kappa_1(0) = 0 $, $ \kappa_2 (0) = 0 $, 且$ H(\varepsilon(\beta_0+\kappa_1(\varepsilon)), \varepsilon^2(\mu_{0}+\kappa_2(\varepsilon)), \alpha_0) = 0 $, $ \varepsilon\in I $.

证  定义$ C^2 $函数$ N: {{\Bbb R}} ^{d-1}\times{{\Bbb R}} ^{1-s}\times{{\Bbb R}} \mapsto {{\Bbb R}} ^{d-s} $为

$ \begin{eqnarray*} N(x, y, \varepsilon) = \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{\varepsilon^2}H(\varepsilon(\beta_0+x), \varepsilon^2(\mu_{0}+y), \alpha_0), \; \; &\varepsilon \neq 0, \\ M(\beta_0+x, \mu_{0}+y, \alpha_0), &\varepsilon = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

当$ \varepsilon\neq 0 $, 显然$ H = 0 $当且仅当$ N = 0 $. 直接计算有$ N(0, 0, 0) = 0 $, 且$ D_{(x, y)}N(0, 0, 0) = D_{(\beta, \mu)}M(\beta_0, \mu_0, \alpha_0) $是一个非奇异的矩阵. 应用隐函数定理, 我们可知存在开区间$ I\subset{\mathbb {R}} $以及可微的函数$ \kappa_1: I\rightarrow {{\Bbb R}} ^{d-1} $, $ \kappa_2: I\rightarrow {{\Bbb R}} ^{1-s} $, 分别满足$ \kappa_1(0) = 0 $, $ \kappa_2(0) = 0 $. 使得$ N(\kappa_1(\varepsilon), \kappa_2(\varepsilon), \varepsilon) = 0 $, $ \varepsilon\in I $. 因此我们有

$ H(\varepsilon(\beta_0+\kappa_1(\varepsilon)), \varepsilon^2(\mu_0+\kappa_2(\varepsilon)), \alpha_0) = 0\; \; \mbox{对}\; \; \varepsilon\not = 0. $

引理3.4证毕.

由引理3.4可知当$ \varepsilon\in I $时, 分支函数$ H $在$ \beta = \varepsilon(\beta_0+\kappa_1(\varepsilon)) $, $ \mu = \varepsilon^{2}(\mu_0+\kappa_2(\varepsilon)) $, $ \alpha = \alpha_0 $处为零. 即意味着方程(3.2)有解$ z = \phi(\varepsilon(\beta_0+\kappa_1(\varepsilon)), \varepsilon^2(\mu_{0}+\kappa_2(\varepsilon)), \alpha_0) $. 因此在未扰动的异宿轨$ \gamma $附近, 系统

(3.10) $ \begin{equation} \dot{x}(t) = f(x(t))+\sum\limits_{j = 1}^{1-s}\varepsilon^2(\mu_{0j}+\kappa_{2j}(\varepsilon)) g_j(x(t), \mu, t+\alpha_0) \end{equation} $

具有异宿轨

$ \begin{eqnarray*} x_{\varepsilon}(t)& = &\gamma(t)+y(t, \varepsilon^2(\mu_0+\kappa_2(\varepsilon)))+\sum\limits_{i = 1}^{d-1}\varepsilon(\beta_{0}+\kappa_1(\varepsilon))u_i(t)\\ &&+K(I-P)\widetilde{g}(z, \varepsilon^2(\mu_0+\kappa_2(\varepsilon)), \alpha_0)(t), \end{eqnarray*} $

其中$ y $见式(2.6).

情形2  当分离指标$ s\geq0 $时, 存在一个一维的小扰动就可以扰开未扰动的异宿轨. 因此我们取$ m = 1 $. 令$ \beta = (\hat{\beta}, \check{\beta})\in {{\Bbb R}} ^{d-1} $, $ \hat{\beta} = (\beta_1, \cdots , \beta_{d-s-1}) $, $ \check{\beta} = (\beta_{d-s}, \cdots , \beta_{d-1}) $且$ s>0 $. 如果$ s = 0 $, 则取$ \beta = \hat{\beta} $.

引理3.5  如果存在点$ (\hat{\beta}_0, \check{\beta}_0, \mu_0, \alpha_0)\in{{\Bbb R}} ^{d-s-1}\times{{\Bbb R}} ^{s}\times{{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} $, 使得$ M(\hat{\beta}_0, \check{\beta}_0, \mu_0, \alpha_0) = 0 $, 且$ D_{(\hat{\beta}, \alpha)}M(\hat{\beta}_0, \check{\beta}_0, \mu_0, \alpha_0) $是一个$ (d-s)\times(d-s) $的非奇异矩阵. 则存在包含原点的开区间$ J\subset{{\Bbb R}} $及可微的函数$ \kappa_3: J\rightarrow {{\Bbb R}} ^{d-s-1} $, $ \kappa_4: J\rightarrow {{\Bbb R}} $, 使得$ \kappa_3(0) = 0 $, $ \kappa_4 (0) = 0 $, 且$ H(\varepsilon(\hat{\beta}_0+\kappa_3(\varepsilon)), \varepsilon\check{\beta}_0, \varepsilon^2\mu_0, \alpha_0+\kappa_4(\varepsilon)) = 0 $, $ \varepsilon\in J $.

证  定义$ C^2 $函数$ N: {{\Bbb R}} ^{d-s-1}\times{{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} \mapsto{{\Bbb R}} ^{d-s} $为

$ \begin{eqnarray*} N(x, y, \varepsilon) = \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{\varepsilon^2}H(\varepsilon(\hat{\beta}_0+x), \varepsilon\check{\beta}_0, \varepsilon^2\mu_0, \alpha_0+y), \; \; &\varepsilon\neq 0, \\ M(\hat{\beta}_0+x, \check{\beta}_0, \mu_0, \alpha_0+y), \; \; \; &\varepsilon = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

类似于引理3.4的证明. 由隐函数定理, 存在包含原点的开区间$ J\subset{\mathbb {R}} $及可微的函数$ \kappa_3: J\rightarrow {{\Bbb R}} ^{d-s-1} $, $ \kappa_4: J\rightarrow {{\Bbb R}} $, 使得$ \kappa_3(0) = 0 $, $ \kappa_4(0) = 0 $, $ N(\kappa_3(\varepsilon), \kappa_4(\varepsilon), \varepsilon) = 0 $, $ \varepsilon\in J $. 因此我们得到

$ H(\varepsilon(\hat{\beta}_0+\kappa_3(\varepsilon)), \varepsilon\check{\beta}_0, \varepsilon^2\mu_{0}, \alpha_0+\kappa_4(\varepsilon)) = 0 , \varepsilon\not = 0. $

引理3.5证毕.

引理3.5意味着在未扰动的异宿轨$ \gamma $附近, 系统

(3.11) $ \begin{equation} \dot{x}(t) = f(x(t))+\varepsilon^{2}\mu_{0} g(x(t), \mu, t+\alpha_0+\kappa_4(\varepsilon)) \end{equation} $

具有异宿轨

$ \begin{eqnarray*} x_{(\varepsilon)}(t)& = &\gamma(t)+y(t, \varepsilon^{2}\mu_{0})+\sum\limits_{i = 1}^{d-s-1}\varepsilon(\hat{\beta}_{0}+\kappa_{3i}(\varepsilon))u_i(t)\\ &&+\sum\limits_{j = d-s}^{d-1}\varepsilon\check{\beta}_{0}u_j(t)+K(I-P)\widetilde{g}(z, \varepsilon^{2}\mu_{0}, \alpha_0+\kappa_4(\varepsilon))(t), \end{eqnarray*} $

其中$ y $见式(2.6).

我们考虑如下的两个未扰动的系统

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2 = x_1-2x^3_1, \\ \dot{x}_3 = x_3(1-2x_5), \\ \dot{x}_4 = x_4(1-2x_5), \\ \dot{x}_5 = x_5(x_5-1) \end{array}\right. \end{equation} $

和

(4.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2 = x_1-2x_1x^2_3+x^2_2, \\ \dot{x}_3 = x_4, \\ \dot{x}_4 = x_3-2x^3_3+x_1x_2 {\rm sech} t, \\ \dot{x}_5 = x_5(x_5-1). \end{array}\right. \end{equation} $

容易验证$ (0, 0, 0, 0, 0) $和$ (0, 0, 0, 0, 1) $分别是系统$ (4.1) $和$ (4.2) $的两个双曲平衡点. 为了后面叙述的方便我们记$ p_+ = (0, 0, 0, 0, 0) $, $ p_- = (0, 0, 0, 0, 1) $. 令$ r(t) = {\rm sech} t, h(t) = 1/(1+e^t) $.

对于系统(4.1), 容易计算矩阵$ Df(p_+) $的特征值是$ \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 1, \lambda_4 = 1, $$ \lambda_5 = 1 $, 矩阵$ Df(p_-) $的特征值是$ \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1, \lambda_4 = 1, \lambda_5 = 1 $. 因此可知$ \dim(W^s(p_+)) = d_+ = 2 $, $ \dim(W^s(p_-)) = d_- = 3 $. 系统(4.1)具有异宿轨道$ \gamma_- = (r, \dot r, 0, 0, h) $, $ \gamma_- $异宿于$ p_+ $和$ p_- $. 即$ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty}\gamma_-(t) = p_{\pm} $. 由分离指标的定义(1.5), 可知$ \gamma_- $的分离指标为$ S(\gamma_-) = d_+-d_- = 2-3 = -1 $.

对于系统$ (4.2) $, 容易计算矩阵$ Df(p_+) $的特征值是$ \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -1, $$ \lambda_4 = 1, \lambda_5 = 1 $, 矩阵$ Df(p_-) $的特征值是$ \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 1, \lambda_4 = 1, \lambda_5 = 1 $. 因此$ \dim(W^s(p_+)) = d_+ = 3 $, $ \dim(W^s(p_-)) = d_- = 2 $. 系统$ (4.2) $具有异宿轨道$ \gamma_+ = (0, 0, r, \dot r, h) $, $ \gamma_+ $异宿于$ p_+ $和$ p_- $. 即$ \lim\limits_{t\rightarrow \pm\infty}\gamma_+(t) = p_{\pm} $. 由分离指标的定义(1.5), 可知$ \gamma_+ $的分离指标为$ S(\gamma_+) = d_+-d_- = 3-2 = 1 $.

因此这两个例子表明对于自治的常微分方程可以具有两类不同的异宿轨道. 其中一类分离指标$ S(\gamma_+) = s = 1>0 $, 另一类分离指标$ S(\gamma_-) = s = -1<0 $. 接下来我们将应用系统$ (4.2) $来说明我们定理2.1中的情形2. 对于情形1, 我们可用系统$ (4.1) $类似的计算即可. 当分离指标$ s\geq0 $. 可知存在一个一维的小扰动就可以扰开未扰动的异宿轨.

因此我们考虑系统$ (4.2) $及其如下的周期扰动系统

(4.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2 = x_1-2x_1x^2_3+x^2_2+\mu x_3 \cos \pi t, \\ \dot{x}_3 = x_4, \\ { } \dot{x}_4 = x_3-2x^3_3+x_1x_2r+\frac{1}{8}\mu x_4, \\ \dot{x}_5 = x_5(x_5-1)+\mu x_5(x_5-1)^2. \end{array}\right. \end{equation} $

令

$ f(x) = (x_2, x_1-2x_1x^2_3+x^2_2, x_4, x_3-2x^3_3+x_1x_2, x_5(x_5-1)), $

$ \mu g(x, \mu, t) = \mu(0, x_3\cos \pi t, 0, \frac{1}{8} x_4, x_5(x_5-1)^2). $

对于系统$ (4.3) $, 容易验证假设(H1)–(H5)成立. 方程$ (4.2) $沿着异宿轨道$ \gamma_+ $的变分方程是

(4.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{u}_1 = u_2, \\ \dot{u}_2 = (1-2r^2)u_1, \\ \dot{u}_3 = u_4, \\ \dot{u}_4 = (1-6r^2)u_3, \\ \dot{u}_5 = (2h-1)u_5. \end{array}\right. \end{equation} $

方程$ (4.4) $的对偶方程为

(4.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{\psi}_1 = (2r^2-1)\psi_2, \\ \dot{\psi}_2 = -\psi_1, \\ \dot{\psi}_3 = (6r^2-1)\psi_4, \\ \dot{\psi}_4 = -\psi_3, \\ \dot{\psi}_5 = (1-2h)\psi_5. \end{array}\right. \end{equation} $

则方程(4.4)具有三个线性无关的有界解

$ u_1 = (r, \dot r, 0, 0, 0), {\quad} u_2 = (0, 0, \dot r, \ddot{r}, 0), {\quad} u_3 = (0, 0, \dot r, \ddot{r}, \dot{h}). $

同时

$ \psi_1 = (-\dot r, r, 0, 0, 0), {\quad} \psi_2 = (0, 0, -\ddot{r}, \dot r, 0), $

是方程(4.5)的两个线性无关的有界解.

由式$ (2.7) $, 我们有$ i = 1, 2, j = 1, p, q = 1, 2 $,

$ b^{(1)}_{11} = \int^{\infty}_{-\infty}\langle \psi^T_{1}(t), D_{11}f(\gamma_+(t))(u_{1}(t), u_{1}(t)) \rangle {\rm d}t = \int^{\infty}_{-\infty} 2r\dot{r}^2 {\rm d}t = \frac{\pi}{4}, $

$ b^{(2)}_{11} = \int^{\infty}_{-\infty}\langle \psi^T_{2}(t), D_{11}f(\gamma_+(t))(u_{1}(t), u_{1}(t)) \rangle {\rm d}t = \int^{\infty}_{-\infty} 2r^2\dot{r}^2 {\rm d}t = \frac{8}{15}, $

$ b^{(1)}_{12} = b^{(1)}_{22} = 0, b^{(2)}_{12} = b^{(2)}_{22} = 0. $

此外对于$ \mu\in {{\Bbb R}} $, $ g(p_+, \mu, t) = g(p_-, \mu, t) = 0 $. 因此扰动后的周期解$ \xi_+(t, \mu) = p_+ $, $ \xi_-(t, \mu) = p_- $. 因此

$ \begin{eqnarray*} a^{(1)}_1(\alpha)& = &\int^{\infty}_{-\infty}\langle \psi^T_{1}(t), g(\gamma_+(t), 0, t+\alpha, 0)\rangle {\rm d}t \\ & = &\int^{\infty}_{-\infty} r^2(t) \cos(\pi(t+\alpha)) {\rm d}t \\ & = &0.141969 \cos(\pi\alpha), \\ a^{(2)}_1(\alpha)& = &\int^{\infty}_{-\infty}\langle \psi^T_{2}(t), g(\gamma_+(t), 0, t+\alpha, 0)\rangle {\rm d}t \\ & = &\int^{\infty}_{-\infty}\dot r^2(t) {\rm d}t \\ & = &1/12, \end{eqnarray*} $

由式(2.8), 我们有

(4.6) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } M_1(\beta, \mu, \alpha) = 0.141969\cos(\pi\alpha)\mu+\frac{\pi}{8}\beta_1^2, \\ { } M_2(\beta, \mu, \alpha) = \frac{1}{12}\mu+\frac{4}{15}\beta_1^2. \end{array} \end{equation} $

令$ \beta = (\hat{\beta}, \check{\beta}) = (\beta_1, \beta_2) $, $ M = (M_1, M_2) $. 取$ (\hat{\beta}_0, \check{\beta}, \mu_0, \alpha_0) = (1, \beta_2, -3.2, \pm0.1677) $. 则$ M(\hat{\beta}_0, \check{\beta}, \mu_0, \alpha_0) = 0 $且$ D_{(\beta_1, \alpha)}M(\hat{\beta}_0, \check{\beta}, \mu_0, \alpha_0) $是一个$ 2\times 2 $非奇异的矩阵. 因此由定理2.1, 存在包含原点的开区间$ J\in{\mathbb R} $, 使得扰动系统$ (4.3) $当$ \mu = \varepsilon^2\mu_{0} $时, 系统在$ \gamma_+(t) $附近具有异宿轨$ x_{\varepsilon} $, $ \varepsilon\in J $.