近三十年来, 对于有限维系统在滚动时域控制下的稳定性与最优性, 已受到许多学者的广泛研究, 并得到了许多深刻的结果. 然而对于无穷维控制系统, 近十年才引起学者们的关注. 从目前的研究结果来看, 对于连续时间的无穷维动态系统的最优性, 还没有统一的理论结果. 但是, 对于Timoshenko梁系统的稳定性的研究已有许多很好的结果. 就我们的知识而言, 关于Timoshenko梁系统的最优性结果仍较少, 参见文献[1-4]; 与此同时, 关于板(或Mindlin-Timoshenko板)系统的稳定性研究的结果已有丰富的结果, 参见文献[5-17]. 然而, 具有滚动时域控制的系统的稳定性与最优性结果就比较少, Azmi和Kunisch在文献[18-19]中研究了具有滚动时域控制的Burgers方程和波方程的稳定性与最优性. 基于此, 本文研究的是Mindlin-Timoshenko板系统的最优性与稳定性.

设$\Omega$是${{\Bbb R}} ^{2}$中的有界开集, $\partial\Omega = \Gamma = \Gamma_{0}\cup\Gamma_{1}(\Gamma_{0}\cap\Gamma_{1} = \emptyset)$满足Lipschitz边界条件, 且$\Gamma_{1}$是具有非空内部的闭集, $\Gamma_{0}\neq\emptyset$是相对开的.

我们考虑下面具有边界控制的无限时域的二维Mindlin-Timosahenko系统

其中, $\rho_{1} = \frac{\rho h^{3}}{2}, \rho_{2} = \rho h$, $\rho$是密度, $h$是板的厚度, $\mu\in(0, \frac{1}{2})$是Poisson比, $D = \frac{Eh^{3}}{12(1-\mu^{2})}$ ($E$杨氏模量)表示弹性模量, $K = \frac{kEh}{2(1+\mu)}$ ($k$剪切校正, $E$杨氏模量)表示剪切模量, 函数$\psi, \phi$和$\omega$依赖于$(x, y, t)\in\Omega\times {{\Bbb R}} ^{+}$表示板的全转角和板的横向位移.

边界条件和初始条件

其中, ${\bf \nu} = (\nu_{1}, \nu_{2})$是$\Gamma_{1}$的单位外法向量, $U(t) = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$是控制变量. 与系统(1.1)–(1.2)相关的具体技术细节请参阅文献[8].

定义系统(1.1)在$t$时刻的能量为

为了叙述方便起见, 对足够光滑的$\Phi = (\psi, \phi, \omega), \widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})$, 定义如下线性算子及双线性泛函

引入函数空间$W = \{(\psi, \phi, \omega)\in[H^{1}(\Omega)]^{3}|\psi = \phi = \omega = 0, (x, y)\in\Gamma_{0}\}$, 赋予范数$\left\|(\psi, \phi, \omega)\right\|_{W}^{2} = a(\psi, \phi, \omega; \psi, \phi, \omega)$, 其中$H^{1}(\Omega)$是一阶Sobolev空间^[20].

空间$H = (L_{\rho_{1}}^{2}(\Omega))^{2}\times L_{\rho_{2}}^{2}(\Omega)$, 赋予范数$\|(p, q, r)\|_{H}^{2} = \int_{\Omega}[\rho_{1}(|p|^{2}+|q|^{2})+\rho_{2}|r|^{2}]{\rm d}x{\rm d}y$, 那么$W, H$都是(复)Hilbert空间.

定义空间${\cal H} = W\times H$, 赋予范数$\|(\psi, \phi, \omega; p, q, r)\|_{{\cal H}}^{2} = \|(\psi, \phi, \omega)\|_{W}^{2}+\|(p, q, r)\|_{H}^{2}$, 因此${\cal H}$也是一个Hilbert空间.

定义${\cal U} = (L^{2}(\Gamma_{1}))^{3}$, 赋予范数$\|U\|_{{\cal U}}^{2} = \int_{\Gamma_{1}}(|u_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2}+|u_{3}|^{2}){\rm d}\Gamma_{1}$, 那么${\cal U}$也是一个Hilbert空间.

在状态空间${\cal H}$, 控制空间${\cal U}$中, 记$\Phi = (\psi, \phi, \omega), {\cal Y} = (\Phi, \Phi_{t}), {\cal Y}_{0} = (\Phi_{01}, \Phi_{02}), {\cal Y}, {\cal Y}_{0}\in {\cal H}$和$U(t) = (u_{1}, u_{2}, u_{3})\in L^{2}((0, \infty);{\cal U})$. 考虑具有下面的性能指标(代价函数)

这里, $\beta$是一个正常数.

本文采用文献[17]的滚动时域控制方法, 即对任意给定采样时间$\delta>0$和一个合适的预测时间$T>\delta$, 定义采样时间序列$t_{k} = k\delta, k = 0, 1, \cdots$, 对于每一个时刻$t_{k}$, 在有限预测区间$[t_{k}, t_{k}+T]$内, 求解开环最优控制问题. 由此我们将无限时域的最优控制问题转化为有限时间$[t_{k}, t_{k}+T]$内最优控制问题. ${\cal Y}(t), U(t)$分别表示滚动时域的状态和控制变量, ${\cal Y}_{T}^{\ast}(\cdot, {\cal Y}_{0}, t_{0}), U_{T}^{\ast}(\cdot, {\cal Y}_{0}, t_{0})$分别表示在有限时域$[0, T]$内的最优控制问题的最优状态和最优控制. 不难看出, 通过不断改变预测区间, 我们将获得新的最优控制以及最优状态轨线. 具体做法如下:

给定采样时间$\delta>0$以及预测时间$T>\delta$, 当$k = 0$时, $t_{0} = 0$, ${\cal Y}(t_{0}) = {\cal Y}_{0}$, 在时间$[t_{k}, t_{k}, +T]$内求解以下开环最优问题

满足

本文将无限时域最优性问题转化为有限时域的最优性问题.借助乘子技巧, 对每一有限时域系统的解做先验估计, 证明了系统能量是一致指数衰减的.进一步, 借助对偶方法、变分原理和Bellman最优性原理, 得到系统的次优性条件, 由此证明了最优轨线是指数衰减的.

首先, 我们考虑任意初始值${\cal Y}_{0}\in {\cal H}$在有限时域内的最优控制问题(OCP)

满足

定义2.1 (值函数)   对每一初始状态${\cal Y}_{0}\in {\cal H}$, 定义无限时域值函数: $V_{\infty}: {\cal H}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{+}$,

其中$({\cal Y}, U)$满足系统(1.1)和(1.2)；类似地, 定义有限时域的值函数: $V_{T}: {\cal H}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{+}$,

且$({\cal Y}, U)$满足系统(2.2).

定义2.2 (弱解)   给定$T>0, {\cal Y}_{0}\in {\cal H}, \quad U\in {\cal U}$, 那么我们称$\Phi = (\psi, \phi, \omega)$为系统(2.2)的弱解, 如果对于任意$\widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})\in C^{1}([0, T]\times\Omega)$, 在$\Gamma_{0}$上, $\widehat{\Phi} = 0$, 以及对于$\forall t\in[0, T], \tau\in[0, t]$使得

命题2.1   给定$T>0, {\cal Y}_{0}\in {\cal H}, \quad U\in L^{2}([0, T];{\cal U})$, 则系统(2.2)存在唯一的弱解$\Phi = (\psi, \phi, \omega)\in C^{0}([0, T];W)\cap C^{1}([0, T], H)$满足

其中$C$(常数$C$在不同地方表示不一样的常数)是与$\Phi_{01}, \Phi_{02}, U$无关的正常数.

证  记$I(t) = a(\psi, \phi, \omega; \psi, \phi, \omega)+\int_{\Omega}[\rho_{1}(|\psi_{t}|^{2}+|\phi_{t}|^{2}) +\rho_{2}|\omega_{t}|^{2}]{\rm d}x{\rm d}y$, 则有

设$f = (f_{1}, f_{2}): \overline{\Omega}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{2}$是$C^{1}$的向量值函数, 且在$\overline{\Gamma}_{0}$上有$f = 0$, 则存在$\sigma>0$, 在$\Gamma_{1}$上几乎处处满足$f\cdot \nu\geq\sigma$.

记$2M_{0} = \min\{\rho_{1}\rho_{1}\}, R_{0} = \max\limits_{(x, y)\in\overline{\Omega}}\{|f|, |f_{ix}|, |f_{iy}|\}, i = 1, 2$, 其中, $|f|^{2} = f_{1}^{2}+f_{2}^{2}$. 对$\forall t\in[0, T], \tau\in[0, t]$, 将$f\cdot\nabla\psi, f\cdot\nabla\phi, f\cdot\nabla\omega$分别乘以系统(2.2)的前三式, 在$[0, t]\times\Omega$上积分并相加得

分部积分得

即

又由于

因此

为了方便起见, 记

下面对$I_{1}, I_{2}, I_{3}$做估计.

由Poincaré和Cauchy-Schwarz不等式知, 存在与$\psi, \phi, \omega$无关的正常数$C_{1}, C_{2}$使得

因此, 我们有

这里, $C_{3}$是某个正常数.

由(2.5)和(2.8)式即得

这里, $C_{4}$是某个正常数.

由Gronwall不等式得

这里, $C_{5}$是某个正常数. 即

这里, $C_{6}$是某个正常数.

对于任意$Z = (z_{1}, z_{2}, z_{3})\in W$, 且$\|Z\|_{W} = 1$, 将$Z = (z_{1}, z_{2}, z_{3})$与系统(2.2)前三式在$H$中作内积, 并分部积分得

这里$\langle\cdot, \cdot\rangle_{W^{\ast}\times W}$是对偶积, $(\cdot, \cdot)_{H}$是內积, $C_{7}$是某个正常数. 因此, 由(2.10)式得

于是有

并且有

命题2.1证毕.

定理3.1   对于任意$T>0$以及${\cal Y}_{0}\in {\cal H}$, 最优控制问题(OCP)存在唯一解.

证  我们利用标准的变分原理进行证明. 由目标函数$J_{T}({\cal Y}_{0}, U)$的定义知, $J_{T}({\cal Y}_{0}, U)$是强制的且有下界, 故必有下确界. 记

因此, 存在有界极小化序列$\{U_{n}\}\subset L^{2}([0, T];{\cal U})$, 使得

进一步可知, ${U_{n}}$存在弱收敛的子列, 不妨仍记为${U_{n}}$, 即

由(2.4)式知, 对应于$\{U_{n}\}$, 以及有界序列$\{\Phi_{n}\}\subset L^{2}(0, T; W)$, $\{\Phi_{nt}\}\subset L^{2}(0, T; H)$, $\{\Phi_{ntt}\}\subset L^{2}(0, T:W^{\ast})$, 存在子列, 仍记为$\{\Phi_{n}\}$, 使得

下面, 我们将证明：当$U = U^{\ast}$时, $\Phi^{\ast}$是系统(2.2)的弱解.

对于任意$t\in[0, T], \tau\in[0, t]$, 以及$\forall\widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})\in C^{1}([0, T]\times\Omega)$, 且在$\Gamma_{0}$上, 有$\widehat{\Phi} = 0$, 于是, 由(3.3)与(3.4)式有

又由(2.4)式得, 对于任意$t\in[0, T]$, $\{\Phi_{nt}\}$是$H$中的有界序列, 因此, 必存在弱收敛的子列, 仍记为$\{\Phi_{nt}\}$, 使得: $\Phi_{nt}\stackrel{w}{\longrightarrow}\Phi_{t}\in H$.对于任意$t\in[0, T]$, 定义如下算子$\Lambda: H^{1}(0, T; W^{\ast})\rightarrow W^{\ast}$, 其中, $W^{\ast}$为$W$的对偶空间. 那么算子$\Lambda$是连续的, 且对于任意$X\in W$, 有

这里, $\Lambda^{\ast}$表示$\Lambda$的伴随算子, 且$\Lambda^{\ast}: W^{\ast}\longrightarrow(H^{1}(0, T;W^{\ast}))^{\ast}$. 因此, 对于任意$t\in[0, T]$, 以及$\forall\widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})\in C^{1}([0, T]\times\Omega)$, 且在$\Gamma_{0}$上有$\widehat{\Phi} = 0$, 我们有

因此, 当$U = U^{\ast}$时, 对(3.5)和(3.7)式, 令$n\rightarrow \infty$取极限得, $\Phi^{\ast}$是系统(2.2)的弱解. 从而, 对任意控制$U = (u_{1}, u_{2}, u_{3})\in L^{2}(0, T; {\cal U})$到$(\Phi, \Phi_{t})\in L^{\infty}([0, T];{\cal H})$的映射是连续的. 又由目标函数的定义可知, 目标函数$J_{T}({\cal Y}_{0}, U)$是弱下半连续的, 这蕴含着

所以, $({\cal Y}^{\ast}, U^{\ast})$是最优问题(2.1)满足系统(2.2)的最优解.由于$J_{T}({\cal Y}_{0}, U)$是严格凸的, 于是最优解是唯一的. 证毕.

定理4.1  考虑如下线性系统

与对偶系统

其中$(g_{1}, g_{2}, g_{3})\in L^{2}([0, T];W^{\ast})$, $((p_{0}(T), q_{0}(T), r_{0}(T));(p_{1}(T), q_{1}(T), r_{1}(T)))\in H^{\ast}\times W^{\ast}$, $H^{\ast}, W^{\ast}$分别表示$H, W$的对偶空间. 且成立着如下的等式

证  对于$(p, q, r)\in C^{0}([0, T];W)\cap C^{1}([0, T];H)$, 并用$(p, q, r)$分别乘以系统(4.1)前三式, 在$[0, T]\times\Omega$上积分并相加得

分部积分得

即

进一步有

因此有

由能量估计式及线性双曲方程关于时间的可逆性知系统(4.2)的解$(p, q, r)\in C^{0}([0, T];H^{\ast})\cap C^{1}([0, T];W^{\ast})$, 而$W, H, L^{2}([0, T];H)$分别在$H^{\ast}, W^{\ast}, L^{2}([0, T];W^{\ast})$中稠密, 由稠密性理论得

证毕.

定理4.2   若$(\overline{\Phi};\overline{U}) = ((\overline{\psi}, \overline{\phi}, \overline{\omega});(\overline{u}_{1}, \overline{u}_{2}, \overline{u}_{3}))$是最优控制问题(OCP)的最优解, 则满足以下最优性条件

和

其中$(\overline{p}, \overline{q}, \overline{r})\in C^{0}([0, T];H^{\ast})\cap C^{1}([0, T];W^{\ast})$是对偶系统(4.2)的解, 且在$[0, T]\times\Gamma_{1}$上有

证  由目标函数的表达式得

对于任意的$(\delta u_{1}, \delta u_{2}, \delta u_{3})\in L^{2}([0, T];{\cal U})$, 对目标函数作变分得

分部积分得

其中$(\delta\psi, \delta\phi, \delta\omega)\in C^{0}([0, T];W)\cap C^{1}([0, T];H)$是以下系统的弱解

则一阶最优性条件等价于

另一方面, 由定理4.1得

比较(4.9)式和(4.10)式, 并由$(\delta u_{1}, \delta u_{2}, \delta u_{3})\in L^{2}([0, T];{\cal U})$的任意性, 我们可以得到

即由变分原理所得到的最优解满足(4.4)–(4.6)式. 证毕.

本节我们主要讨论Mindlin-Timoshenko板系统的能观性与系统能量指数衰减之间的关系. 首先我们采用文献[21]的方法证明如下的结果.

引理5.1  假定存在$(x_{0}, y_{0})\in {{\Bbb R}} ^{2}$, 满足$\widetilde{\Gamma} = \{(x, y)\in \Gamma_{1}|(x-x_{0}, y-y_{0})\cdot\nu>0\}$非空, 则存在$T_{1}>0$, 使得对任意$T\geq T_{1}$有

存在$T_{2}>0$, 使得对任意$T\geq T_{2}$有

其中, $C_{1}, C_{2}$均为仅与$T$有关的正常数, $\widetilde{\Phi} = (\widetilde{\psi}, \widetilde{\phi}, \widetilde{\omega})$是如下齐次系统的弱解, 且$(\widetilde{\Phi}, \widetilde{\Phi}_{t})\in C^{0}([0, T];{\cal H})$, 有

证  记$F(x, y) = \eta(x, y)((x-x_{0}), (y-y_{0}))$, 其中, 乘子$\eta(\cdot)\in C^{1}(\overline{\Omega})$且满足在$\overline{\Gamma}_{0}$上, $\eta = 0$; 在$\Gamma_{1}$上, $\eta = 1$. 对边界$\Gamma_{1}$作如下分割

记$M^{2} = \max\limits_{(x, y)\in\overline{\Omega}}|F(x, y)|^{2} = \max\limits_{(x, y)\in\overline{\Omega}}\{|x-x_{0}|^{2}+|y-y_{0}|^{2}\}, \quad 2M_{1} = \max\{\rho_{1}, \rho_{2}\}.$将$F\cdot\nabla\widetilde{\psi}, F\cdot\nabla\widetilde{\phi}, F\cdot\nabla\widetilde{\omega}$分别乘以系统(5.3)前三式, 并在$[0, T]\times\Omega$上积分, 则有

分部积分得

即

由Poincaré不等式得

将$\widetilde{\psi}, \widetilde{\phi}, \widetilde{\omega}$分别乘以系统(4.3)前三式, 并在$[0, T]\times\Omega$上积分并相加, 得

分部积分得

再由Poincaré不等式得

由(5.4), (5.5)和(5.7)式得

又由(5.8)式得

因此, 由(5.8)–(5.9)式得

由(5.8)和(5.10)式可得

因此, 记$T_{1} = 4c_{1}+3c_{0}>0$, 当$T\geq T_{1}$时, 记$C_{1} = \frac{1}{2MM_{0}}(T-T_{1})\geq0$, 则有

故(5.1)式得证.

又由(5.7)式得

故

即

因此, 记$T_{2} = c_{0}>0$当$T\geq T_{2}$时, 记$C_{2} = \frac{1}{2M_{1}}(T-T_{2})\geq0$, 则由(5.11)式得

从而, (5.2)式得证. 引理5.1证毕.

定理5.1   假定${\cal Y}_{0}\in {\cal H}$, 系统(1.1)–(1.2)能量依${\cal H}$范数一致指数收敛到0, 即存在与${\cal Y}_{0}$无关, 而与$T_{1}$有关的正常数$M, \alpha$使得

当且仅当能观性条件(5.1)成立.

证  (Ⅰ) 充分性

首先闭环系统(1.1)和(1.2)是适定的, 且其唯一弱解为

对于任意$T>0$, 考虑如下控制系统

用$\psi_{t}, \phi_{t}, \omega_{t}$分别乘以系统(5.12)前三式, 并在$[0, T_{1}]\times\Omega$上积分并相加, 利用边界条件得到

因此

此外系统(5.12)的弱解分解为$\Phi = \widetilde{\Phi}+\widehat{\Phi}$, 其中, $\widetilde{\Phi}$是系统(5.3)的弱解, $\widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})\in C^{0}([0, T];W)\cap C^{1}([0, T];H)$是以下系统弱解

由能观性条件及命题2.1中(2.4)式知

由(5.13)和(5.15)式得

取$\alpha = \frac{\ln(1+\frac{1}{C'})}{T_{1}}$, 则有

因此, 对于$\forall k\in {\Bbb N}^{+}$, 有$I(kT_{1})\leq {\rm e}^{-\alpha T_{1}}I((k-1)T_{1})$. 于是对于$\forall t\in [0, \infty)$, 存在$k\in {\Bbb N}^{+}$, 使得$t\in [kT_{1}, (k+1)T_{1})$有

记$M = 1+\frac{2}{C'}$, 则$I(t)\leq M{\rm e}^{-\alpha t}I(0)$, 即$\|(\Phi, \Phi_{t})\|_{{\cal H}}^{2}\leq M{\rm e}^{-\alpha t}\|(\Phi_{01}, \Phi_{02})\|_{{\cal H}}^{2}$.

(Ⅱ) 必要性

对于$\forall t>0$, 将$\psi_{t}, \phi_{t}, \omega_{t}$分别乘以系统(5.14) 前三式, 在$[0, t]\times\Omega$上积分并相加, 分部积分得

又由于系统是指数稳定的, 故存在足够大的$T'>0$, 使得

再用$\widehat{\psi}_{t}, \widehat{\phi}_{t}, \widehat{\omega}_{t}$分别乘以系统(5.14) 前三个等式, 在$[0, T']\times\Omega$上积分并相加得

分部积分得

亦即

因此, 由Cauchy-Schwarz以及Young不等式, 我们有

注意到: $\psi = \widehat{\psi}+\widetilde{\psi}, \phi = \widehat{\phi}+\widetilde{\phi}, \omega = \widehat{\omega}+\widetilde{\omega}$. 于是, 我们有

上式结合(5.17)和(5.19)式得

故能观性条件(5.1)得证. 证毕.

接下来我们研究系统(2.2)的次最优性与最优轨线的指数稳定性.

命题6.1   对于任意初始对${\cal Y}_{0} = (\Phi_{01}, \Phi_{02})\in {\cal H}$及任意$T>0$, 系统(2.2)存在控制$\widehat{U} = (\widehat{u}_{1}, \widehat{u}_{2}, \widehat{u}_{3})\in L^{2}([0, T];{\cal U})$使得

其中$\gamma_{1}(\cdot)$是一个连续、不减的有界函数. 进一步, 存在只与$T$有关的正常数$\gamma_{2}(T)$, 使得

证  取$u_{1} = -\psi_{t}, u_{2} = -\phi_{t}, u_{3} = -\omega_{t}$, 那么

对(6.3)式两边在$[0, T]$上积分得

再由(5.13)式得

取$\gamma_{1}(T) = \frac{M}{2\alpha}(1-{\rm e}^{-\alpha T})+\frac{\beta}{4}$, 由值函数的定义, 我们有

即(6.1)式成立.

为了证明(6.2)式, 对于任意$U = (u_{1}, u_{2}, u_{3})\in L^{2}([0, T];{\cal U})$, 我们应用叠加原理, 将系统(2.2)的弱解表示为$\Phi = \widetilde{\Phi}+\widehat{\Phi}$, 其中$\widetilde{\Phi} = (\widetilde{\psi}, \widetilde{\phi}, \widetilde{\omega})$是系统(5.3)的弱解, $\widehat{\Phi} = (\widehat{\psi}, \widehat{\phi}, \widehat{\omega})$是下面系统的弱解

由能观性条件(5.2)和(2.4)得

由控制变量$U = (u_{1}, u_{2}, u_{3})\in L^{2}([0, T];{\cal U})$的任意性, 我们得到只与$T$有关的正常数$\gamma_{2}(T) = \frac{1}{C''(T)}$使得(6.2)式成立. 证毕.

引理6.1  对于任意初始值${\cal Y}_{0}\in {\cal H}$以及$\delta>0$, 当$T>\delta$时, 则, 对所有的$\widehat{t}\in[\delta, T]$, 有

和对所有的$\widetilde{t}\in[0, T]$, 有

证  取$\xi = \frac{1}{2}\min\{1, \beta\}$, 对于任意${\cal Y}_{0}\in{\cal H}$及$\overline{t}\in[0, T]$, 由(1.4)式得

因此, 我们有

又由(2.4)式得

因此, 对于任意$\overline{t}\in[0, T]$, 都有${\cal Y}_{T}^{\ast}(\overline{t}, {\cal Y}_{0}, 0)\in{\cal H}$.

对于任意$\widehat{t}\in[\delta, T]$, 我们有

又${\cal Y}_{T}^{\ast}(\cdot, {\cal Y}^{\ast}(\delta), \delta)$是系统在区间$[\delta, T+\delta]$的最优解, 根据贝尔曼最优性原理, 我们有

因此, (6.5)式成立.

接下来证明(6.6)式. 对于任意$\widetilde{t}\in[0, T]$, 我们有

因此, 对所有$\widetilde{t}\in[0, T]$都有

证毕.

定理6.1  对于任意初始值${\cal Y}_{0}\in{\cal H}$, 以及样本时间$\delta>0$和预测时间$T>\delta$, 存在只与$T$有关的函数

使得以下估计式

和

成立.

证  由于${\cal Y}_{T}^{\ast}(\cdot, {\cal Y}_{0}, 0)\in C([0, T];{\cal H})$, 故一定存在$t_{1}\in[\delta, T], t_{2}\in[0, \delta]$, 使得

由(6.5)和(6.7)式可得

即(6.8)成立.

同理, 由(6.6)和(6.7)式得

因此(6.9)式成立. 证毕.

定理6.2  对于任意初始值${\cal Y}_{0}\in{\cal H}$以及样本时间$\delta>0$, 存在$\widetilde{T}>\delta$和$\kappa\in(0, 1)$, 当$T\geq\widetilde{T}$时, 使得

成立.

证  由定理6.1得

于是, 当$T\rightarrow \infty$时, $1-\sigma_{2}(T)(\sigma_{1}(T)-1) = 1-\frac{\gamma_{1}^{2}(T)}{\xi^{2}\delta(T-\delta)}\rightarrow1$. 因此, 存在$\widetilde{T}>\delta$, 使得当$T\geq\widetilde{T}$时, 存在$\kappa\in(0, 1)$, 使得$1-\sigma_{2}(T)(\sigma_{1}(T)-1)>\kappa$. 因此(6.10)式成立. 证毕.

定理6.3  对于给定的样本时间$\delta>0$, 则存在$\widetilde{T}>\delta$和$\kappa\in(0, 1)$, 以及对每一预测时间$T\geq\widetilde{T}$以及初始值${\cal Y}_{0}\in{\cal H}$, 滚动时域控制$U_{T}^{\ast}(\cdot)$使得

成立. 进一步, 我们可以得到最优轨线是指数稳定的, 即存在只与$\delta, \kappa$有关的正数$M, \eta$使得

成立.

证  由于$\kappa V_{\infty}({\cal Y}_{0})\leq \kappa J_{\infty}({\cal Y}_{0}, U_{T}^{\ast}(\cdot) )$和$V_{T}({\cal Y}_{0})\leq V_{\infty}({\cal Y}_{0})$显然成立. 因此, 我们只需证明$\kappa J_{\infty}({\cal Y}_{0}, U_{T}^{\ast}(\cdot) ) \leq V_{T}({\cal Y}_{0})$即可.

对于给定$\delta>0$, 取$t_{k} = k\delta$, 由定理6.2可得, 存在$\widetilde{T}>\delta$和$\kappa\in(0, 1)$, 当$T\geq\widetilde{T}$时, 使得

因此, 由递推得

上式蕴含着

令$k\rightarrow \infty$, 则有

从而(6.11)式成立.

对于任意$k\in {\Bbb N}^{+}$, 由(6.6)式得

又由(6.1)和(6.2)式知, 对于任意${\cal Y}_{0}\in{\cal H}$, 我们有

因此

再由(6.16)和(6.17)式得

即

记$\mu = 1-\frac{\kappa\gamma_{2}(\delta)}{\gamma_{1}(T)}$, 注意到$0<\gamma_{2}(\delta)\leq\gamma_{1}(\delta)\leq\gamma_{1}(T)$且$\kappa\in(0, 1)$, 所以, $\mu\in(0, 1)$, 且对$k\in{\Bbb N}^{+}$有

若再记$\eta = \frac{\ln|\mu|}{\delta}$, 则对$k\in{\Bbb N}^{+}$有

记$\gamma = \frac{\gamma_{1}(T)}{\gamma_{2}(T)}$, 则对$k\in{\Bbb N}^{+}$有

故对任意$t>0$, 存在$k\in{\Bbb N}^{+}$, 使得$t\in[k\delta, (k+1)\delta] = [t_{k}, t_{k+1}]$, 且由(2.4), (6.1)和(6.19)式得

取$M = \gamma C(1+\frac{2\gamma_{1}(T)}{\beta})\frac{1}{1-\frac{\kappa\gamma_{2}(\delta)}{\gamma_{1}(T)}}\|{\cal Y}_{0}\|_{{\cal H}}^{2}$, 故有$\|{\cal Y}_{T}^{\ast}(t, {\cal Y}_{0}, 0)\|_{{\cal H}}^{2} \leq M {\rm e}^{-\eta t}.$证毕.