该文研究以下$k$-Hessian问题的$k$凸径向正解的存在性和边界渐近行为

其中, $\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$$(N \geq 2)$是一个严格凸的光滑有界区域, 方程(1.1) 中的条件表示当$d(x) = dist(x, \partial\Omega) \rightarrow 0$时, $z(x) \rightarrow +\infty$. 若$\Omega = B_{R}$, 其中, $B_{R}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$是以原点为心半径为$R>0$的球, 则方程(1.1) 的条件应替换为$z(x) \rightarrow +\infty, \; (x \rightarrow R)$. 在$B_{R}$上, 方程(1.1) 满足$z(x) \rightarrow +\infty, \; (x \rightarrow R)$的解被称为爆破解. 特别地, 若$\Omega = {{\Bbb R}} ^{N}$, 则解被称为整体爆破解.

$S_{k}\left(\lambda\left(D^{2} z\right)\right)$是$k$-Hessian算子形式如下

其中, $D^{2} z = \left(\frac{\partial^{2}z}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)$是$z \in C^{2}({{\Bbb R}} ^{N})$的Hessian矩阵, $\lambda\left(D^{2} z\right) = \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{N}\right)$是Hessian矩阵$D^{2} z$的特征值构成的向量, $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{N}$是Hessian矩阵$D^{2} z$的特征值.

令锥$\Gamma_{k}$为$\{\lambda \in {{\Bbb R}} ^{N}:S_{k}\left(\lambda\left(D^{2} z\right)\right)>0\}\subset {{\Bbb R}} ^{N}$且含正锥

则由文献[1] 和[2]可知

定义 1.1^[3]   令$\Omega$是${{\Bbb R}} ^{N}$的有界开子集且$k \in \{1, 2, \cdots , N\}$. 若对于$x \in \Omega$, $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots ,$$\lambda_{N}) \in \overline{\Gamma}_{k}$, 则函数$z \in C^{2}(\Omega)$是$k$凸. 换句话说, 若在$\Omega$中, $S_{i}\left(\lambda\left(D^{2} z\right)\right) \geq 0$$(i = 1, 2, \cdots k)$, 则函数$z \in C^{2}(\Omega)$是$k$凸.

定义 1.2^[3]   令$\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$是具有$C^{2}$边界的开集且$k \in \{1, 2, \cdots , N-1\}$. 若对于$\bar{x} \in \partial\Omega$, $S_{i}(\kappa_{j}(\bar{x}), \cdots , \kappa_{N-1}(\bar{x})) > 0$$(i = 1, 2, \cdots , k)$, 则$\Omega$是严格凸的. 其中, $\kappa_{j}(\bar{x})$$(j = 1, 2, \cdots , N-1)$是$\partial\Omega$关于$\bar{x}$的主曲率.

$S_{k}\left(\lambda\left(D^{2} z\right)\right)$是一个包含诸多著名算子的集合. 当$k = 1$时, $k$-Hessian算子是Laplace算子; 当$k = N$时, $k$-Hessian算子是Monge-Ampère算子, 即

近年来, Laplace问题和Monge-Ampère问题被广泛应用于数学和应用数学的诸多分支. 关于Monge-Ampère问题和Laplace问题解的存在性、非存在性、多解性、唯一性和渐近稳定性结果见文献[4-17]. 例如, 在2015年, 应用Karamata正则变化理论(其被Karamata于1930年建立, 是研究随机过程^[18-20]和非线性椭圆问题解的渐近稳定性的一个有用的工具), 张^[4]研究了下列边界爆破Monge-Ampère问题严格凸解的边界行为

其中, $\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$是一个严格凸的光滑有界区域.

在2019年, 应用Karamata正则变化理论, Khamessi和Othman^[6]研究了下列奇异Laplace问题正解的边界渐近行为

其中, $\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$是一个严格凸的光滑有界区域.

在2019年, 应用单调迭代方法, Covei^[7]分别研究了下列Laplace方程整体有界径向解和爆破径向解的存在性

在方程(1.4) 中, 当$f(z) = z^{\alpha}$, $g(z) = z^{\beta}$, $0<\alpha \leq \beta$时, Lair^[8]研究了整体爆破径向正解的存在性和非存在性.

在2012年, Dupaigne等^[9]分别得到了下列半线性椭圆方程整体有界解和爆破解的存在性, 并且研究了解的唯一性、对称性和渐近稳定性

在问题(1.1) 中, 当$k = 1$时, 这些问题源于现实世界的许多现象. 例如, 生产规划问题相应的标量情况模型^[21]. 当$k \geq 2$时, $k$-Hessian方程是完全非线性偏微分方程. 在流体力学、几何问题和其它应用学科中, 它有着重要的应用. 例如, 在文献[17]中, $k$-Hessian问题可以描述反射器的形状设计或Weingarten曲率. 近年来, 诸多学者对$k$-Hessian问题产生了浓厚的研究兴趣, 并且应用诸如单调迭代方法、上下解方法、不动点定理、变分法、移动平面法和Perron's方法等方法得到了很多关于$k$-Hessian问题的优秀成果, 参见文献[22-34].

在2015年, 应用Arzela-Ascoli定理和单调迭代方法, 张和周^[22]分别得到了$k$-Hessian方程

和Hessian方程组

径向解的有界性和爆破性.

在2017年, 应用Perron's方法, 曹和保^[34]研究了Hessian方程Dirichlet问题粘性解的存在性和唯一性

其中, $\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$$(N \geq 3)$是一个光滑有界区域.

在2019年, 应用上下解方法, 马和李^[26]研究了$k$-Hessian方程(1.1) 粘性解的存在性和渐近稳定性. 这里, $f$满足Keller-Osserman型条件

其中, $F_{1}(s) = \int_{0}^{s} f(\tau){\rm d}\tau$.

在2020年, 应用上下解方法, 冯和张^[27]得到了下列边界爆破问题$k$凸径向解的存在性与非存在性

其中, $\beta>0$.

受文献[15] 的启发, 本文首先利用单调迭代方法, 分别在球$B_{R}$和全空间${{\Bbb R}} ^{N}$上, 研究了$k$-Hessian方程(1.1) 严格凸的径向对称正解的存在性. 然后应用上下解方法和Karamata正则变化理论, 在严格凸的光滑有界区域$\Omega$上, 得到了$k$-Hessian方程(1.1) 严格凸的爆破解的边界渐近行为. 关于单调迭代方法和上下解方法在研究非线性问题方面的作用, 请参见文献[22-27, 35-43]. 我们的主要结果改进和扩展了以前的工作, 请参见文献[1, 3-4, 9, 15-16, 22, 26].

该节给出一些预备知识和关于Karamata正则变化理论的著名结果. 记$\psi$是

的唯一解. 设$f$满足

$(S_{1})$   $f \in C^{1}[0, \infty)$是一个严格单调递增的函数且$f(0) = 0$;

$(S_{2})$   $\int_{s}^{\infty} \frac{{\rm d}t}{F(t)}<\infty$, $F(s): = (k f(s))^{\frac{1}{k}}$, $s>0$;

$(S_{3})$   存在一个正常数$C^{+}_{f}$使得

其中, $J_{f}(s): = F^{\prime}(s) \int_{s}^{\infty} \frac{{\rm d}t}{F(t)}, s>0$.

注 2.1  (1) 若$(S_{1})$和$(S_{2})$成立, 则$f$满足Keller-Osserman型条件^{[1, 3-4, 16, 26]} (1.9) 式. 详细的证明请参看文献[15];

(2) 由$(S_{1})$, $(S_{2})$和$(S_{3})$可知$\psi(t) \rightarrow +\infty \Leftrightarrow t \rightarrow 0.$

令$b$满足

$(B_{1})$   在$\Omega$中, $b \in C^{\infty}(\Omega)$是一个正函数.

$(B_{2})$   $b$是一个球对称连续函数, 即, 对于$r = |x|$, $b(x) = b(r)$.

$(B_{3})$   存在$g \in \Lambda$和正常数$b_{i} (i = 1, 2)$使得

其中, $\Lambda$是一个所有单调正函数$g \in C^{1}(0, \delta_{0}) \bigcap L^{1}(0, \delta_{0})$$(\delta_{0} > 0)$的集合且$g$满足

注 2.2^[15]   关于$g \in \Lambda$的一些函数列举如下:

(1) 对于$\mu > 0$, 当$g(t) = \exp(-\frac{1}{t^{\mu}})$, $t \in (0, \delta_{0})$时, $G_{g} = 0$;

(2) 对于$\mu > 0$, 当$g(t) = t^{\mu}$, $t \in (0, \delta_{0})$时, $G(t) = \frac{t^{1+\mu}}{1+\mu}$, $G_{g} = \frac{1}{1+\mu}$;

(3) 对于$\mu > 0$, 当$g(t) = \frac{1}{(-\ln t)^{\mu}}$, $t \in (0, 1)$时, $G_{g} = 1$;

(4) 对于$\mu > 0$, 当$g(t) = \frac{1}{t^{\mu}}$, $t \in (0, \delta_{0})$时, $G(t) = \frac{t^{1-\mu}}{1-\mu}$, $G_{g} = \frac{1}{1-\mu}$.

关于$g \in \Lambda$的一些性质列举如下.

引理 2.1^[4]   如果$g \in \Lambda$, 那么

(1) $\lim\limits _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{G(t)}{g(t)} = 0$;

(2) $\lim\limits _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{G(t)g^{\prime}(t)}{g^{2}(t)} = 1-\lim\limits _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{G(t)}{g(t)}\right) = 1-G_{g}$;

(3) 若$G_{g} = 0$, 则$g$在$0$处比$t^{p}$增长的快, 其中, $p > 1$;

(4) 若$G_{g}>0$, 则$g$在$0$处是一个指数为$\frac{1-G_{g}}{G_{g}}$的标准正则变化函数. 特别地, 若$G_{g} = 1$, 则$g$在$0$处是一个标准慢变函数.

为了研究满足条件$(S_{2})$和条件$(S_{3})$的$f$以及(2.1) 式中$\psi$的性质, 接下来, 引入关于Karamata正则变化理论的结果.

定义 2.1^[44]   如果对于$\beta > 0$和某个$q \in {{\Bbb R}}$, 正函数$f \in C^{1}[\zeta, \infty)$, $\zeta > 0$, 满足

那么$f$在无穷远处是一个指数为$q$的正则变化函数, 记$f \in RV_{q}$. 特别地, 若$q = 0$, 则$f$在无穷远处是一个慢变函数.

显然, 当$f \in RV_{q}$时, $L(s) : = \frac{f(s)}{s^{q}}$在无穷远处是慢变函数.

注 2.3  关于在无穷远处慢变函数的一些基本例子如下

(1) 每一个$f(s) \in C[\zeta, \infty)$在无穷远处有正极限;

(2) $f(s) = \exp((\ln s)^{\mu})$, $\mu \in (0, 1)$;

(3) $f(s) = (\ln(\ln s))^{\mu}$, $\mu \in {{\Bbb R}}$;

(4) $f(s) = (\ln s)^{\mu}$, $\mu \in {{\Bbb R}}$.

命题 2.1^[44](一致收敛定理)   当$f \in RV_{q}$时, 对于$\beta \in [\beta_{1}, \beta_{2}]$且$0 < \beta_{1} < \beta_{2}$, (2.3)式一致成立.

命题 2.2^[44](Karamata表达式定理)   $H$在无穷远处是一个慢变函数当且仅当它可表示为以下形式

其中, $\zeta_{1} \geq \zeta$, $z$和$y$是连续的, $\lim\limits _{s \rightarrow \infty}y(s) = 0$, $\lim\limits _{s \rightarrow \infty}z(s) = c_{0}$, $c_{0} > 0$.

定义 2.2^[44]   (1)

在无穷远处是一个标准慢变函数;

(2)

在无穷远处是一个指数为$q$的标准正则变化函数(记$f \in NRV_{q}$).

等价地, $f \in RV_{q}$属于$NRV_{q}$当且仅当对于$\zeta_{1} > 0$, $f\in C^{1}[\zeta_{1}, \infty)$满足

命题 2.3^[44]   若$H$, $H_{1}$在无穷远处是慢变函数, 则

(1) $H^{q}$ ($\forall q \in {{\Bbb R}}$), $c_{1}H + c_{2}H_{1}$, $H \cdot H_{1}$和$H \circ H_{1}$ ($\lim\limits _{s \rightarrow \infty} H_{1}(s) = \infty$) 在无穷远处是慢变函数, 其中, $c_{1} \geq 0$, $c_{2} \geq 0$, $c_{1} + c_{2} > 0$;

(2) $\lim\limits _{s \rightarrow \infty} s^{q}H(s) \rightarrow \infty$, $\lim\limits _{s \rightarrow \infty} \frac{H(s)}{s^{q}} \rightarrow 0$, $\forall q > 0$;

(3) $\lim\limits _{s \rightarrow \infty} \frac{\ln(H(s))}{\ln s} \rightarrow 0$, $\lim\limits _{s \rightarrow \infty} \frac{\ln(s^{q} H(s))}{\ln s} \rightarrow q$, $\forall q \in {{\Bbb R}}$.

命题 2.4^[45](渐近行为)   若$H$在无穷远处是一个慢变函数, 则对于$a \geq 0$, 当$t \rightarrow \infty$时

(1) $\int_{a}^{t} s^{q} H(s){\rm d}s\cong \frac{t^{q+1}}{q+1}, \quad q>-1$;

(2) $\int_{t}^{\infty} s^{q} H(s){\rm d}s\cong \frac{t^{q+1}}{-q-1}, \quad q<-1$.

类似地, 对于正函数$f \in C^{1}(-\infty, -\zeta)$, $\zeta > 0$ (或$f \in C^{1}(0, s_{0})$, $s_{0} > 0$), 可给出在$-\infty$处(或在$0$处)标准正则变化(或正则变化) 的定义和一些基本性质.

引理 2.2^[15]   假设$f$满足$(S_{1})$和$(S_{2})$, 那么

(1) 当$(S_{3})$成立时, $C^{+}_{f} \in [1, \infty)$;

(2) 当$(S_{3})$成立时, 存在$T_{0} > 0$使得在$[T_{0}, \infty)$上$\frac{f(s)}{s^{kl}}$是单调递增的, 其中, 对于$C^{+}_{f} > 1$, $l \in \left(1, \frac{C^{+}_{f}}{C^{+}_{f} -1}\right)$; 对于$C^{+}_{f} = 1$, $l \in (1, \infty)$;

(3) 对于$C^{+}_{f} >1$, $(S_{3})$成立当且仅当对于某个$p > 1$, $f \in NRV_{kp}$. 事实上, 这种情况下, $p = \frac{C^{+}_{f}}{C^{+}_{f} -1}$;

(4) 对于$C^{+}_{f} = 1$, 当$(S_{3})$成立时, 在无穷远处$s^{p}$$(p > k)$比$f$增长的慢;

(5) 对于某个大的$T_{0} > 0$, 当$f \in C^{2}(T_{0}, \infty)$且$\lim\limits _{s \rightarrow +\infty} \frac{f(s)f''(s)}{f'^{2}(s)} = 1$时, $f$满足$(S_{3})$且$C^{+}_{f} = 1$.

记

引理 2.3^[15]   假设$f$满足$(S_{1})$, $(S_{2})$和$(S_{3})$, 那么

(1) $\psi(s)>0$, $s\in(0, \infty)$, $\psi(0): = \lim\limits_{s\rightarrow 0^{+}}\psi(s) = +\infty$;

(2) $-\psi'(s) = F(\psi(s)) = \sqrt[k]{kf(\psi(s))}, \quad s\in(0, \infty)$;

(3) $\psi''(s) = F(\psi(s))F'(\psi(s)) = \frac{f'(\psi(s))}{(kf(\psi(s)))^{(k-2)/k}}, \quad s\in(0, \infty)$;

(4) $\lim\limits _{s \rightarrow 0^{+}} \frac{s \psi^{\prime}(s)}{\psi(s)} = -\lim\limits _{s \rightarrow 0^{+}} \frac{s F(\psi(s))}{\psi(s)} = -\lim\limits _{t \rightarrow +\infty} \frac{F(t) \int_{t}^{\infty} \frac{{\rm d}\tau}{F(\tau)}}{t} = -\left(C^{+}_{f}-1\right)$;

(5) $\lim\limits _{s \rightarrow 0^{+}} \frac{s \psi^{\prime \prime}(s)}{\psi^{\prime}(s)} = -\lim\limits _{s \rightarrow 0^{+}} \frac{s f^{\prime}(\psi(s))}{(k f(\psi(s)))^{(k-1) / k}} = -\lim\limits _{t \rightarrow +\infty} F^{\prime}(t) \int_{t}^{\infty} \frac{{\rm d}\tau}{F(\tau)} = -C^{+}_{f}$;

(6) 对于$\beta \in [\beta_{1}, \beta_{2}]$, $0 < \beta_{1} < \beta_{2}$, $\lim\limits _{s \rightarrow 0}\Upsilon(\beta s) = C^{+}_{f}$一致成立.

该节研究在球$B_{R}$和全空间${{\Bbb R}} ^{N}$上$k$-Hessian方程(1.1)径向对称正解的存在性.

引理 3.1^[46]   假设$y(r) \in C^{2}[0, R), \; y^{\prime}(0) = 0$. 那么, $z(|x|) = y(r) \in C^{2}\left(B_{R}\right)$, $r = |x|<R$, 并且

其中$B_{R} = \left\{x \in {{\Bbb R}} ^{N} :|x|<R\right\}$, $C_{N}^{k} = \frac{N !}{k !(N-k) !}$.

通过计算, 可以得到以下引理:

引理 3.2   令$\Omega = B_{R}$, $z(|x|) = y(r)$是$k$-Hessian方程(1.1) 的径向解当且仅当$y(r)$是以下常微分方程的解

注 3.1  令$\Omega = B_{R}$, 且$b \in C(B_{R})$是正函数. 那么

当且仅当

事实上, 由洛必达法则, 得

和

由注3.1可知条件(3.4) 优于条件(3.5). 基于条件(3.4), 有以下两定理成立, 证明过程类似于文献[22] 中的定理1.1.

定理 3.1  令$\Omega = B_{R}$. 假设

(1) $f$满足$(S_{1})$和

(2) $b$满足$(B_{1})$, $(B_{2})$和

则方程(1.1) 有无穷多严格凸的径向正解.

定理 3.2  令$\Omega = {{\Bbb R}} ^{N}$. 假设

(1) $f$满足$(S_{1})$和

(2) $b$满足$(B_{1})$, $(B_{2})$和

则方程(1.1) 有无穷多严格凸的整体径向正解.

该节研究在严格凸的光滑有界区域$\Omega$上$k$-Hessian问题(1.1) 严格凸正解的渐近稳定性. 首先引入一些与$k$-Hessian问题相关的引理.

引理 4.1^[24](比较原理)   对$x \in \Omega$和$z$, 定义一个函数$f(x, z)$, 其中, $z$属于某个包含$z_{1}$和$z_{2}$的区间, $z_{1}, z_{2} \in C^{2}(\Omega)\bigcap C(\overline{\Omega})$, $\Omega \subset {{\Bbb R}} ^{N}$$(N\geq2)$是一个有界区域. 若

(1) 对于$\forall x \in \Omega$, $f(x, z)$关于$z$是一个严格单调递增的函数;

(2) 在$\Omega$中, $D^{2} z_{1}$是一个正定矩阵;

(3) $S_{k}\left(\lambda\left(D^{2} z_{1}\right)\right)\geq f(x, z_{1}), \forall x \in \Omega$;

(4) $S_{k}\left(\lambda\left(D^{2} z_{2}\right)\right)\leq f(x, z_{2}), \forall x \in \Omega$;

(5) $z_{1}\leq z_{2}, \forall x \in \partial\Omega$.

则在$\Omega$中, $z_{1}\leq z_{2}$.

引理 4.2^[25]   令$z \in C^{2}(\Omega)$使得对于任意的$x \in \Omega$, $(z_{x_{i}x_{j}})$的所有主子矩阵是可逆的. 设$h$是一个$C^{2}$函数, 那么

其中, $A^{T}$是矩阵$A$的转置, $B(z_{i})$是$i$阶主子矩阵$(z_{x_{is}x_{ij}})$的逆, $\det(z_{x_{is}x_{ij}})$是$(z_{x_{is}x_{ij}})$的行列式,

其中$C_{N}^{k} = \frac{N !}{k !(N-k) !}$.

对于$\delta > 0$, 令

若$\Omega$是$C^{l}$光滑的且$l \geq 2$, 则由文献[47] 中的引理14.16和引理14.17可知存在$\delta_{1} \in (0, \delta_{0})$使得$d \in C^{l}(\Omega_{\delta_{1}})$, 其中, $\delta_{0}$在$\Lambda$中已经被给定. 此外, 由文献[47] 中的引理14.17可知

其中, $\varepsilon_{j} = \frac{\kappa_{j}\left(\bar{x}\right)}{1-\kappa_{j}\left(\bar{x}\right) d\left(x\right)}$, $\kappa_{j}(\bar{x})$$(j = 1, 2, \cdots , N-1)$是$\partial\Omega$关于$\bar{x}$的主曲率, $\bar{x}$是点$x \in \Omega_{\delta_{1}}$到$\partial\Omega$的投影.

引理 4.3^[48]   若在$(0, \delta_{1})$上, $h$是一个$C^{2}$函数. 则, 对于$x \in \Omega_{\delta_{1}}$, 有

定理 4.1  令$f$满足$(S_{1})$, $(S_{2})$和$(S_{3})$, $b$满足$(B_{1})$和$(B_{3})$. 如果

或

那么$k$-Hessian问题(1.1) 的每一个严格凸解$z$满足

其中, $\beta = \frac{k+1}{k}$, $\psi$是方程(2.1) 的解, 且

这里

证   令

固定$\epsilon \in (0, \min\{\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{2}\})$, 选取

其中, $b_{1}$和$b_{2}$在条件$(B_{3})$中已经被给定. 利用引理2.1, 引理2.3, 有

和

可得

由(4.9) 式可得

和

(Ⅰ) 当$g$非递减时, 基于条件$(B_{3})$, 可知存在与$\varepsilon$有关的充分小的$\delta_{\varepsilon} \in (0, \min\{1, \delta_{1}/2\})$使得对于$\varrho \in (0, \delta_{\varepsilon})$有

且对于$x \in \Omega_{2 \delta_{\varepsilon}}$有

和

由(4.8) 式和(4.12) 式, 得

令

由(4.13) 式, 引理2.3和引理4.3, 可知对于$x \in D_{\varrho}^{-}$有

这表明在$D_{\varrho}^{-}$中, $\bar{z}_{\varepsilon}$是$k$-Hessian问题(1.1) 的上解.

显然, 在$D_{\varrho}^{-}$中, $D^{2} \bar{z}_{\varepsilon}>0$. 结合引理4.2和4.3的证明, 利用(4.2) 式和引理2.3中$(1)$–$(3)$, 可得矩阵$D^{2} \bar{z}_{\varepsilon}$的$l$阶主子式

其中, $l = 1, 2, \cdots , N-1$. 因此, 在$D_{\varrho}^{-}$中, 矩阵$D^{2} \bar{z}_{\varepsilon}$是正定的.

类似地, 可证在$D_{\varrho}^{+}$中, $\underline{z}_{\varepsilon} = \psi\left(\xi_{2+} w_{1}\left(d_{2}(x)\right)\right)$是$k$-Hessian问题(1.1) 的下解且矩阵$D^{2} \underline{z}_{\varepsilon}$是正定的.

令$z \in C^{2}(\Omega)$是$k$-Hessian问题(1.1) 的一个严格凸解且$C_{0} > 0$充分大可使得

显然, $\lim\limits _{d_{1}(x) \rightarrow \varrho}\bar{z}_{\varepsilon}(x) = \infty$, $z\mid_{\partial \Omega} = +\infty > \underline{z}_{\epsilon}\mid_{\partial \Omega}$. 由引理4.1可得

即

和

对于$x \in D_{\varrho}^{-} \cap D_{\varrho}^{+}$, 令$\varrho \rightarrow 0$, 有

和

则

进一步, 在(4.17) 式中, 令$\varepsilon \rightarrow 0$可得(4.6) 式.

(Ⅱ) 当$g$非递增时, 令

由引理2.3和条件$(B_{3})$得

且存在与$\epsilon$有关的充分小的$\delta_{\epsilon} \in (0, \min\{1, \delta_{1}/2\})$使得

令$\varrho \in (0, \delta_{\epsilon})$,

利用引理2.1, 引理4.3, (4.18) 式, (4.19) 式, 可得

和

对于$x \in D_{\varrho}^{-}$, 有

这表明在$D_{\varrho}^{-}$中, $\overline{z}_{\epsilon}$是$k$-Hessian问题(1.1) 的上解. 类似地, 可证

在$D_{\varrho}^{+}$中, $\underline{z}_{\epsilon}$是$k$-Hessian问题(1.1) 的下解.

显然, 根据(Ⅰ) 中相同的证明可知(4.6) 式在(Ⅱ) 中依然成立. 证毕.