数学物理学报, 2021, 41(5): 1347-1356 doi:

论文

一类反应扩散方程的Nehari-Pankov型基态解

陈鹏,

三峡大学理学院 & 三峡大学数学研究中心 湖北宜昌 443002

Ground State Solutions of Nehari-Pohozaev Type for a Class of Reaction-Diffusion System

Chen Peng,

College of Science & Three Gorges Mathematical Research Center, China Three Gorges University, Hubei Yichang 443002

收稿日期: 2021-01-18  

基金资助: 湖北省教育厅重点项目.  D20161206

Received: 2021-01-18  

Fund supported: the Key Projects of Hubei Provincial Department of Education.  D20161206

作者简介 About authors

陈鹏,E-mail:pengchen729@sina.com , E-mail:pengchen729@sina.com

Abstract

In this paper, we consider a class of nonlinear reaction diffusion systems, by using the non Nehari manifold method in strongly indefinite functional theory, a more direct and simple method to prove the ground state solution is given when the nonlinear term is superlinear. The existence of Nehari pankov type ground state solution is proved without strict monotone condition, and some new results are obtained.

Keywords: Reaction-diffusion system ; Ground states ; Strongly indefinite functional

PDF (339KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

陈鹏. 一类反应扩散方程的Nehari-Pankov型基态解. 数学物理学报[J], 2021, 41(5): 1347-1356 doi:

Chen Peng. Ground State Solutions of Nehari-Pohozaev Type for a Class of Reaction-Diffusion System. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(5): 1347-1356 doi:

1 引言

考虑如下的非线性扩散系统

$ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u-\Delta_x u+b(t, x)\cdot \nabla_x u+V(x)u = H_v(t, x, u, v), \\ - \partial_t v-\Delta_x v-b(t, x)\cdot \nabla_x v+V(x)v = H_u(t, x, u, v), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中, $ N\geq 1, z = (u, v): {{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N\rightarrow {{\Bbb R}}^1\times {{\Bbb R}}^1, \ b = (b_1, b_2, \cdots , b_N) \in C^1({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N), $$ V\in C({{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}), $$ H\in C^1({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N \times {{\Bbb R}}^2, {{\Bbb R}}) $. 假设非线性项在无穷远处是次临界增长的, 在超线性的假设下, 证明上述系统基态解的存在性.

问题(1.1) 起源于时空扩散过程的研究, 这种过程最典型的例子是$ N $维Brownian运动. 同时, 它与Schrödinger方程有着非常紧密的联系, 具有深刻的物理背景(单个方程见Itô的专著[11], 方程组的情形见Nagasawa的专著[16]). 当$ b = 0 $时, 与经典的Hamilton系统相对应, (1.1) 被称为无界Hamilton系统或是无穷维Hamilton系统. 另外, 系统(1.1) 在优化和控制理论中有重要的应用.

对于有界区域情形, 类似于系统(1.1) 的问题, 现已被许多学者研究, 参见文献[13, 15]. 对于全空间$ {{\Bbb R}}^N $的情形, 假设$ b(t, x) = 0, V(x)\neq 0 $, Bartsch-Ding[1]通过研究算子的谱的性质, 建立了适当的变分框架, 获得了该问题多解的存在性结果. 假设$ b(t, x) \neq 0 $, 并且在周期情形下, Ding-Luan-Willem[5]首次利用强不定问题的变分法研究了解的存在性与多重性, 其中非线性项是超二次和渐近二次增长. 在文章[23]中, Wei-Yang研究了$ 0 $是算子谱的边界点的情形, 在超二次和渐近二次两种情况下, 也获得了无穷多解的存在性. 对于椭圆方程或系统的结果, 可参阅文献[9, 10, 22, 26].

容易看到, $ (0, 0) $是系统(1.1)的一个稳态解, 本文的主要目的是研究系统(1.1)的解$ z = (u, v):{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N\rightarrow {{\Bbb R}}^2 $, 满足当$ |t|+|x|\rightarrow \infty $$ z(t, x)\rightarrow0 $. 这种解称之为同宿型解.我们将研究系统(1.1)的具有极小能量的同宿型解.为叙述方便, 简称为基态解. 受上面工作的启发, 本文继续研究系统(1.1), 假设位势函数是周期的, 非线性项是超线性情形下, 证明系统(1.1) 基态解的存在性. 对于问题(1.1) 的研究, 一个主要困难是Sobolev嵌入失紧导致泛函可能失紧.

在叙述定理之前, 作如下假设:

(V)    $ V\in C({{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}) $关于$ x $的每个分量是1 -周期的, 且$ a: = \min\limits_{x\in {{\Bbb R}}^N} V(x)>0 $;

(B)    $ b\in C^1({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}^N) $关于$ t $以及$ x $的每个分量是1 -周期的, 且$ \mbox{div} b = 0 $;

(H1)   $ H\in C^1({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N \times {{\Bbb R}}^2, {{\Bbb R}}^+) $关于$ t $以及$ x $的每个分量是1 -周期的, 且存在常数$ C>0 $使得

其中, $ p\in (2, N^*) $.$ N = 1 $, $ N^* = \infty $, 若$ N\geq 2 $, $ N^* = \frac{2(N+2)}{N} $;

(H2)    当$ |z|\rightarrow 0 $时, $ H_z(t, x, z) = o (|z|) $关于$ (t, x) $一致成立;

(H3)    $ \lim\limits_{|z|\rightarrow \infty}\frac{|H(t, x, z)|}{|z|^2} = \infty $关于$ (t, x) $一致成立;

(H4)   对于所有的$ \theta\geq 0, z, \zeta\in {{\Bbb R}}^2 $,

$ E, E^- $$ E^+ $是Hilbert空间且$ E = E^- \oplus E^+ $ (定义见本文第2节). 注意到, 系统(1.1) 对应的能量泛函由如下形式给出

$ \begin{eqnarray} \Phi(z) = \frac{1}{2}(\|z^+\|^2-\|z^-\|^2)-\Psi(z), \end{eqnarray} $

这里$ \Psi(z) = \int_{{{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N} H(t, x, z) $. 由上述假设易知, $ \Phi\in C^1(E, {{\Bbb R}}) $, 且$ \Phi $的临界点$ z\in B_2 $ (见第2节) 对应于系统(1.1)的解. 进一步, 对于$ \forall\ z = (u, v), \zeta = (\varphi, \psi)\in E $

$ \begin{eqnarray} \langle \Phi'(z), \zeta\rangle = (z^+, \zeta^+)-(z^-, \zeta^-)-\int_{{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N}H_z(t, x, z)\cdot \zeta, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \langle \Phi'(z), z\rangle = \|z^+\|^2-\|z^-\|^2-\langle \Psi'(z), z\rangle. \end{eqnarray} $

$ z_0 = (u_0, v_0) \in E $是系统(1.1) 的解, 则$ z_0 \in {\cal N}^- $, 其中

是广义的Nehari流形. 显然, 它是通常的Nehari流形

的子集. 一般来说, $ {\cal N}^- $包含$ E $中无穷多个元素. 事实上, 对任意的$ z \in E \setminus E^- $, 存在$ \eta = \eta(z) > 0, \zeta = \zeta(z) \in E^- $使得$ \zeta+ \eta z \in {\cal N}^- $, 参见引理.

一般地, 在广义的Nehari流形$ {\cal N}^- $中寻找基态解要比在临界点集$ {\cal N} = \{u\in E\setminus \{0\}: \Phi'(u) = 0\} $中更困难. 本文的主要目的是: 在较弱的条件(V), (B), (H1)–(H4) 下, 在广义的Nehari流形$ {\cal N}^- $中寻找系统(1.1) 的解$ z_0 $且满足$ \Phi(z_0) = \inf\limits_{{\cal N}^-}\Phi $. 由于$ z_0 $$ \Phi $在流形$ {\cal N}^- $中的解且能量最小, 我们称之为Nehari-Pankov型基态解. 受文献[9, 20, 21]的启发, 我们利用作者建立的非Nehari流形方法来取代广义的Nehari流形方法和单调技巧. 这个方法的主要思想是: 通过使用对角线的方法在流形外寻找泛函的极小能量的Cerami序列(C -序列).

本文的主要结果如下:

定理 1.1   假设(V), (B), (H1)–(H4) 成立, 则系统(1.1) 至少有一个基态解$ z_0\in E $使得$ \Phi(z_0) = \inf\limits_{{\cal N}^-}\Phi>0 $.

推论 1.1   作为定理1.1的一个推论, 极小能量值$ m: = \inf\limits_{{\cal N}^-} $有如下的一个极大极小刻画:

容易看到, 较于通常由环绕所给出的能量值刻画, 此极大极小原理要更加简便.

2 预备知识

下面, 用$ |\cdot|_q $表示通常的$ L^q $ -范数, $ (\cdot, \cdot) $表示通常的$ L^2 $内积, $ c, c_i $$ C_i $代表不同的正常数. 另外, 令$ \sigma (A) $$ \sigma_e(A) $分别表示算子$ A $的谱和本质谱. 为了继续讨论和行文的方便, 设

于是, 系统(1.1) 可化成如下形式:

这种形式的系统被称为无界的Hamilton系统, 或者被称为无穷维的Hamilton系统. 事实上, 它具有如下的表示

其中

是Hamilton函数, $ {\rm grad}_z $表示$ L^2({{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}^2) $中的梯度算子.

对于$ r \geq 1 $, 下面的各向异性空间是由Bartsch-Ding[1]引入的:

其上的范数为

已知$ B_r $$ C_0^\infty ({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}^2) $$ \|\cdot\|_{B_r} $下的完备化. 如果$ r = 2 $, 则$ B_2 $是Hilbert空间.

$ A: = {\cal J} \partial_t+A_0 $, 在条件(V) 和(B) 的假设下, 容易证明$ A $$ L^2: = L^2({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}^2) $中是自伴算子, 且定义域为$ {\cal D}(A) = B_2({{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N, {{\Bbb R}}^2) $. 进一步, 存在常数$ c_1, c_2 $使得

具体细节见文献[5].

为了建立系统(1.1) 的变分框架, 首先给出关于Hamilton算子谱的性质.

引理 2.1[5]   假设(V) 和(B) 成立, 则

$ \rm(1) $   $ \sigma(A) = \sigma_e(A) $, 即$ A $有本质谱;

$ \rm(2) $   $ \sigma(A)\subset {{\Bbb R}} \setminus {(-a, a)} $$ \sigma (A) $关于原点对称;

$ \rm(3) $   设$ 0 \leq \mu_1\leq \cdots \leq \mu_l $是算子$ L^2 $$ \inf {\sigma_{ess}} L^2 $下方的所有特征值, 则$ \{\pm \mu_i^{1/2}, i = 1, $$ \cdots , l\} $$ L $的所有特征值.

由引理2.1可知$ L^2 $空间具有下面的正交分解

使得$ A $$ L^- $上是负定的, 在$ L^+ $上是正定的. 设$ |A| $$ |A|^{1/2} $分别表示$ A $的绝对值和$ |A| $的平方根. 令$ |A|^{1/2} $的定义域为$ E: = {\cal D}(|A|^{1/2}) $, 则$ E $在内积

下成为Hilbert空间及相应的范数为$ \|u\| = (u, u)^{1/2} $. 进一步, $ E $有下面的分解

其中$ E^- $$ E^+ $关于内积$ (\cdot, \cdot)_2 $$ (\cdot, \cdot) $分别正交. 相应的投影记为$ P^+ $$ P^- $. 由内插理论, 有如下引理.

引理 2.2   若$ N = 1, p\geq 2, E\hookrightarrow L^p $是连续的, 若$ N\geq 2, p\in [2, N^*], E\hookrightarrow L^p $是连续; 若$ p\in [1, N^*), E\hookrightarrow L_{loc}^p $是紧的.

引理 2.3[14]   设$ X $是一个Banach空间, $ X = X^-\oplus X^+ $$ X^-\perp X^+ $.$ \varphi\in C^1(X, {{\Bbb R}} ) $具有以下形式:

假设以下条件成立:

$ \rm(i) $  $ \psi\in C^1(X, {{\Bbb R}} ) $下方有界且是弱序列下半连续;

$ \rm(ii) $  $ \psi' $弱序列连续;

$ \rm(iii) $  存在$ r>\rho>0 $, $ e\in X^+ $$ \|e\| = 1 $使得

其中

则存在常数$ c\in [\kappa, \sup \varphi(Q)] $和序列$ \{u_n\}\subset X $满足

以下, 为叙述方便, 记

$ E $上定义如下泛函

这里$ \Psi(z) = \int_{{{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N} H(t, x, z) $. 定理的假设保证了$ \Phi\in C^1(E, {{\Bbb R}}) $$ \Phi $是弱序列下半连续的. 进一步, $ \Phi $的临界点对应于系统(1.1) 的解.

3 定理的证明

引理 3.1  假设定理1.1的条件成立, 则$ \Psi $是非负的, 弱下半连续的, 且$ \Psi' $是弱序列连续的.

  注意到, 由条件(H1) 知$ H(t, x, z)\geq 0 $. 结合Fatou引理, $ \Psi $是非负的且弱下半连续的. 通过标准的方法易证$ \Psi' $是弱序列连续的.

引理 3.2   假设(V), (B) 和(H1)–(H4) 成立, 则对于任意的$ \theta\geq 0, z\in E, \zeta\in E^- $, 有

$ \begin{eqnarray} \Phi(z)\geq \Phi(\theta z+\zeta)+\frac{1}{2}\|\zeta\|^2+\frac{1-\theta^2}{2} \langle \Phi'(z), z\rangle-\theta \langle \Phi'(z), \zeta\rangle. \end{eqnarray} $

   由(1.2)–(1.4) 式与(H4) 可得

引理3.2证毕.

由引理3.2, 可以得到如下推论.

推论 3.1  假设(V), (B), (H1), (H2) 和(H4) 成立, 则对任意的$ \theta\geq 0, \zeta\in E^-, z\in {\cal N}^- $, 有

$ \begin{eqnarray} \Phi(z)\geq \Phi(\theta z+\zeta). \end{eqnarray} $

推论 3.2   假设(V), (B), (H1), (H2) 和(H4) 成立, 则对任意的$ z\in E, \theta\geq 0 $

$ \begin{eqnarray} \Phi(z)\geq \frac{\theta^2}{2}\|z\|^2+\frac{1-\theta^2}{2}\langle \Phi'(z), z\rangle +\theta^2\langle \Phi'(z), z^-\rangle-\int_{{{\Bbb R}}\times {{\Bbb R}}^N}H(t, x, \theta z^+). \end{eqnarray} $

下面的引理在环绕结构中起着关键作用.

应用推论3.1和文献[18] 中的思想, 易证下面的结果.

引理 3.3  假设定理1.1的条件成立, 则

$ \rm(i) $  存在$ \rho>0 $使得

$ \rm(ii) $  对所有的$ z\in {\cal N}^-, \|z^+\|\geq \max\{\|z^-\|, \sqrt{2m}\} $.

引理 3.4  假设(V), (B)和(H1)–(H4) 成立, 则对任意的$ e\in E^+, \sup \Phi(E^-\oplus {{\Bbb R}}^+ e)<\infty $, 且存在$ R_e>0 $使得

   当非线性项$ H(t, x, z) $满足超线性增长时, 这个证明是标准的, 参见文献[17].

推论 3.3  假设(V), (B)和(H1)–(H4) 成立, 设$ e\in E^+ $$ \|e\| = 1 $. 则存在$ r_0>\rho $使得当$ r\geq r_0 $时, $ \sup\Phi (\partial Q)\leq 0 $, 其中

推论 3.4   假设(V), (H1), (H2) 和(H4) 成立, 设$ e\in E_0^+ $$ \|e\| = 1 $. 则存在$ r_0>\rho $使得当$ r\geq r_0 $时, $ \sup\Phi (\partial Q)\leq 0 $, 其中

引理 3.5   假设(V), (H1), (H2) 和(H4) 成立, 则存在常数$ c\in [\kappa, \sup\Phi(Q)] $和序列$ \{z_n\}\subset E $满足

   容易看到, 引理3.5可由引理3.1和引理3.3直接推得.

引理 3.6  假设(V), (B)和(H1)–(H4) 成立, 则存在常数$ c_* \in [\kappa, m] $和序列$ \{z_n\} = \{(u_n, v_n)\}\subset E $满足

$ \begin{eqnarray} \Phi(z_n)\rightarrow c_*, \ \ \|\Phi'(z_n)\|(1+\|z_n\|)\rightarrow 0. \end{eqnarray} $

引理 3.7  假设(V), (B)和(H1)–(H4) 成立, 则对任意的$ z \in E \setminus E^- $, $ {\cal N}^-\cap (E^-\oplus {{\Bbb R}}^+ z)\neq \emptyset $, 即存在$ \eta(z) > 0, \zeta(z) \in E^- $使得$ \eta(z)z + \zeta(z) \in {\cal N}^- $.

引理 3.8  假设(V), (B)和(H1)–(H4) 成立, 则对任意的序列$ \{z_n\} \subset E $满足

$ \begin{eqnarray} \Phi(z_n)\rightarrow c\geq 0, \ \ \langle \Phi'(z_n), z_n^+\rangle\rightarrow 0, \ \ \langle \Phi'(z_n), z_n^-\rangle\rightarrow 0 \end{eqnarray} $

是有界的.

   为了证明序列$ \{z_n\} $的有界性, 采用反证法. 假设$ \|z_n\|\rightarrow \infty $.$ w_n = z_n/{\|z_n\|} $, 则$ \|w_n\| = 1 $. 由Sobolev嵌入定理可知, 存在常数$ C_1 > 0 $使得$ \|w_n\|_2\leq C_1 $. 如果

则由Lions集中紧性原理, 在$ L^p $中, $ w_n^+\rightarrow 0 $. 固定$ R > [2(1 + c)]^{1/2} $, 由条件(H1) 和(H2), 对$ \varepsilon = 1/{4(RC_1)^2} > 0 $, 存在$ C_\varepsilon > 0 $使得

因此

$ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup\int_{{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N}H(t, x, Rz_n^+/{\|z_n\|})\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup\int_{{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N}H(t, x, Rw_n^+)\\ &\leq & \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup R^2\varepsilon\int_{{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N}|w_n^+|^2+ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup R^pC_\varepsilon\int_{{{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N}|w_n^+|^2\\ &\leq &\varepsilon (RC_1)^2 = \frac{1}{4}. \end{eqnarray} $

$ \theta_n = R/{\|z_n\|} $, 则由(3.3), (3.5)和(3.6) 式可得

这个矛盾蕴含了$ \delta> 0 $. 于是, 可以假设存在$ k_n \in {\Bbb Z}^{N+1} $使得

$ \zeta_n(x) = \xi_n(x + k_n) $, 则

$ \begin{eqnarray} \int_{B_{1+\sqrt{N+1}}(0)}|\zeta_n^+|^2>\frac{\delta}{2}. \end{eqnarray} $

定义$ \tilde{z}_n(x) = z_n(x + k_n) $, 则$ \tilde{z}_n/{\|z_n\|} = \zeta_n $$ \|\zeta_n\| = 1 $. 在子列的意义下, 假设在$ E $$ \zeta_n \rightharpoonup \zeta $, 在$ L_{loc}^2 $$ \zeta_n \rightarrow \zeta, \zeta_n \rightarrow \zeta $几乎处处于$ {{\Bbb R}}\times{{\Bbb R}}^N $. 显然, (3.7) 式蕴含了$ \zeta\neq 0 $. 于是, 由(3.5)式, 条件(H2)–(H4) 和Fatou引理可得

矛盾. 因此$ \{z_n\} $$ E $中有界. 证毕.

定理  1.1的证明   应用引理3.8, 存在一个有界的序列$ \{z_n\} \subset E $满足(3.4) 式. 于是存在常数$ C_2 > 0 $使得$ \|z_n\|_2 \leq C_2 $. 如果

则在$ L^p $$ z_n \rightarrow0, p\in(2, N^*) $. 另外, 由条件(H1)和(H2), 对$ \varepsilon = c_*/{4C_2^2} > 0 $, 存在$ C_\varepsilon > 0 $使得

由上面的关系, 可得

从而

矛盾. 因此, $ \delta> 0 $.

在子列的意义下, 我们可以假设存在$ k_n \in {\Bbb Z}^{N+1} $使得

$ \zeta_n(x) = \xi_n(x + k_n) $, 则

$ \begin{eqnarray} \int_{B_{1+\sqrt{N+1}}(0)}|\zeta_n^+|^2>\frac{\delta}{2}. \end{eqnarray} $

因为$ V(t, x), b(t, x), H(t, x, z) $关于$ t, x $是周期的, 则$ \|\zeta_n\| = \|z_n\| $

于是, 在子列的意义下, 假设在$ E $$ \zeta_n \rightharpoonup \zeta $, 在$ L_{loc}^2 $$ \zeta_n\rightarrow \zeta, \zeta_n(t, x)\rightarrow \zeta(t, x) $几乎处处于$ {{\Bbb R}}^{N+1} $, 由(3.8) 式, $ \zeta\neq 0 $. 对每个

可得

于是, $ \Phi'(\zeta) = 0 $. 这说明$ \zeta \in {\cal N}^- $. 因此, $ \Phi(\zeta) \geq m $. 另一方面, 由条件(H2), (H4) 和Fatou引理, 我们有

这蕴含了$ \Phi(\zeta) \leq m $. 于是, $ \Phi(\zeta) = m = \inf\limits_{{\cal N}^-}\Phi > 0 $. 定理1.1证毕.

参考文献

Bartsch T , Ding Y .

Homoclinic solutions of an infinite-dimensional Hamiltonian system

Math Z, 2002, 240, 289- 310

DOI:10.1007/s002090100383      [本文引用: 2]

Clment P , Felmer P , Mitidieri E .

Homoclinic orbits for a class of infinite dimensional Hamiltonian systems

Ann Sc Norm Super Pisa, 1997, 24, 367- 393

URL    

De Figueiredo D , Ding Y .

Strongly indefinite functions and multiple solutions of elliptic systems

Trans Amer Math Soc, 2003, 355, 2973- 2989

DOI:10.1090/S0002-9947-03-03257-4     

De Figueiredo D , Felmer P L .

On superquadiatic elliptic systems

Trans Amer Math Soc, 1994, 343, 97- 116

Ding Y , Luan S , Willem M .

Solutions of a system of diffusion equations

J Fixed Point Theory Appl, 2007, 2, 117- 139

DOI:10.1007/s11784-007-0023-8      [本文引用: 3]

Ding Y . Variational Methods for Strongly Indefinite Problems. Singapore: World Scientific Press, 2008

Ding Y , Xu T .

Effect of external potentials in a coupled system of multi-component incongruent diffusion

Topol Method Nonl Anal, 2019, 54, 715- 750

URL    

Ding Y , Xu T .

Concentrating patterns of reaction-diffusion systems: a variational approach

Trans Amer Math Soc, 2007, 369, 97- 138

URL    

Gu L , Zhou H .

An improved fountain Theorem and its application

Adv Nonlinear Stud, 2016, 17 (4): 727- 738

URL     [本文引用: 2]

Guo Y , Zeng X , Zhou H .

Energy estimates and symmetry breaking in attractive Bose-Einstein condensates with ring-shaped potentials

Ann I H Poincare-AN, 2016, 33 (3): 809- 828

DOI:10.1016/j.anihpc.2015.01.005      [本文引用: 1]

Itô S . Diffusion Equations. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992

[本文引用: 1]

Vazquez J L. The Mathematical Theories of Diffusion: Nonlinear and Fractional Diffusion//Bonforte M, Grillo G. Nonlocal and Nonlinear Diffusions and Interactions: New Methods and Directions. Berlin: Springer, 2017: 205-278

Kryszewski W , Szulkin A .

An infinite dimensional morse theorem with applications

Trans Amer Math Soc, 1997, 349, 3184- 3234

[本文引用: 1]

Li G , Szulkin A .

An asymptotically periodic Schrödinger equation with indefinite linear part

Commun Contemp Math, 2002, 4, 763- 776

DOI:10.1142/S0219199702000853      [本文引用: 1]

Li G , Yang J .

Asymptotically linear elliptic systems

Comm Partial Differential Equations, 2004, 29, 925- 954

DOI:10.1081/PDE-120037337      [本文引用: 1]

Nagasawa M . Schrödinger Equations and Diffusion Theory. Boston: Birkhäuser, 1993

[本文引用: 1]

Saad M , Gomez J .

Analysis of reaction-diffusion system via a new fractional derivative with non-singular kernel

Physica A, 2018, 509, 703- 716

DOI:10.1016/j.physa.2018.05.137      [本文引用: 1]

Szulkin A , Weth T .

Ground state solutions for some indefinite problems

J Funct Anal, 2009, 257, 3802- 3822

DOI:10.1016/j.jfa.2009.09.013      [本文引用: 1]

Tang X , Chen S , Lin X , Yu J .

Ground state solutions of Nehari-Pankov type for Schrödinger equations with local super-quadratic conditions

J Differ Equa, 2020, 268, 4663- 4690

DOI:10.1016/j.jde.2019.10.041     

Tang X .

Non-Nehari manifold method for superlinear Schrödinger equation

Taiwanese J Math, 2014, 18, 1957- 1979

URL     [本文引用: 1]

Tang X, Chen S. Ground state solutions of Nehari-Pohozaev type for Kirchhoff-type problems with general potentials. Calc Var Partial Differential Equations, 2017, 55, Article nomber: 110

[本文引用: 1]

Wang Z , Zhou H .

Radial sign-changing solution for fractional Schrodinger equation

Discrete Cont Dyn-A, 2016, 36 (1): 499- 508

URL     [本文引用: 1]

Wei Y , Yang M .

Existence of solutions for a system of diffusion equations with spectrum point zero

Z Angew Math Phys, 2014, 65, 325- 337

DOI:10.1007/s00033-013-0334-0      [本文引用: 1]

Yang M , Shen Z , Ding Y .

On a class of infinite-dimensional Hamiltonian systems with asymptotically periodic nonlinearities

Chinese Ann Math, 2011, 32B (1): 45- 58

DOI:10.1007/s11401-010-0625-0     

Yang M .

Nonstationary homoclinic orbits for an infinite-dimensional Hamiltonian system

J Math Phys, 2010, 51, 102701

DOI:10.1063/1.3488967     

Zeng X , Zhang Y , Zhou H .

Positive solutions for a quasilinear Schrödinger equation involving Hardy potential and critical exponent

Commun Contemp Math, 2014, 16 (6): 1450034

DOI:10.1142/S0219199714500345      [本文引用: 1]

Zhang J , Tang X , Zhang W .

Ground state solutions for superquadratic Hamiltonian elliptic systems with gradient terms

Nonlinear Anal, 2014, 95, 1- 10

DOI:10.1016/j.na.2013.07.027     

Zhao F , Ding Y .

On a diffusion system with bounded potential

Discrete Contin Dyn Syst, 2009, 23, 1073- 1086

DOI:10.3934/dcds.2009.23.1073     

Zhao L , Zhao F .

On ground state solutions for superlinear Hamiltonian elliptic systems

Z Angew Math Phys, 2013, 64, 403- 418

DOI:10.1007/s00033-012-0258-0     

/