本文考虑如下具一般扩散系数和一般非线性项的抛物型Kirchhoff方程的初边值问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t-M( \int_\Omega |\nabla u|^{2} {\rm d}x)\Delta u = k(t)f(u), \qquad &x\in\Omega, 0<t<T, \\ u(x, t) = 0, \qquad &x\in\partial\Omega, 0<t<T, \\ u(x, 0) = u_0(x), \qquad &x\in\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ \Omega\subset {{\Bbb R}} ^n(n\geq1) $是具有光滑边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ T\in(0, +\infty] $是解$ u(x, t) $的最大存在时间并且$ u_0\in H_0^1(\Omega) $. 扩散系数$ M(t) $, 非线性项$ f(s) $和时间依赖函数$ k(t) $满足如下假设.

(H1)    $ M\in C[0, \infty) $并且$ M(t)\geq m_0>0 $对任意$ t\geq0 $都成立, 其中$ m_0 $为正常数. 此外, 存在常数$ \sigma\in(0, 1) $使得

(1.2) $ \begin{eqnarray} \overline{M}(t)\geq\sigma t M(t), \ \ \forall\ t\in {{\Bbb R}} ^+, \end{eqnarray} $

其中$ \overline{M}(t) = \int_0^t M(s) {\rm d}s $;

(H2)    $ sf(s)\geq0, \quad \forall s\in {{\Bbb R}} ; $

(H3)    $ f\in C^1({{\Bbb R}} ) $并且存在常数$ \alpha>\frac{2}{\sigma}-1 $使得

$ s[sf'(s)-\alpha f(s)]\geq0, \quad \forall s\in {{\Bbb R}} ; $

(H4)    存在正整数$ l $及常数$ a_i>0\ (1\leq i\leq l) $使得

$ |f(s)|\leq\sum\limits_{i = 1}^l a_i|s|^{p_i}, \quad \forall s\in {{\Bbb R}} , $

其中$ 1<p_1<\cdots <p_l< 2^\ast -1 $, $ 2^\ast $是$ 2 $的Sobolev共轭指数, 即当$ n = 1, 2 $时, $ 2^\ast = +\infty $, 当$ n\geq3 $时, $ 2^\ast = \frac{2n}{n-2} $;

(H5)    $ k\in C^1[0, \infty) $, $ k(0)>0 $并且$ k'(t)\geq 0 $对任意$ t\in[0, \infty) $成立.

在过去的很多年中, 发展型Kirchhoff问题因其在物理学和其他应用科学中的广泛应用而引起了越来越多的关注. 这些问题与下面的非线性波动方程有着必然的联系.

(1.3) $ \begin{eqnarray} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \left(p_0+\frac{Eh}{2L}\int_0^L \left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2 {\rm d}x\right) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ f, \quad 0<x<L, \quad t>0, \end{eqnarray} $

其中$ u $为横向位移, $ \rho $为质量密度, $ p_0 $代表初始拉力, $ E $是Young氏模量, $ h $表示横截面面积, $ L $是绳长且$ f $代表外力. 该方程由Kirchhoff首次引入来研究拉伸弦的横向振动. Kirchhoff型方程(1.3) 解的存在性、唯一性和正则性已经确立^{[4-5, 16]}. 下面的Kirchhoff型方程是用于研究弹性弦自由振动的经典的D'Alembert波动方程的推广^[8].

(1.4) $ \begin{eqnarray} \epsilon u_{tt}^{\epsilon}+ u_{t}^{\epsilon}-M \left(\int_{\Omega} |\nabla u^{\epsilon}|^2 {\rm d} x \right)\Delta u^{\epsilon} = f(x, t). \end{eqnarray} $

取$ \epsilon = 0 $, (1.4) 式转化为

(1.5) $ \begin{eqnarray} u_{t}-M \left(\int_{\Omega} |\nabla u|^2 {\rm d} x \right)\Delta u = f(x, t). \end{eqnarray} $

事实上, 作为数学模型, 问题(1.5) 也可以用来描述非稳态流体或气体在非均匀各向异性介质中的运动, 另外, 出现在问题(1.5) 中的非局部项$ M $可以描述流体或气体在所考虑的介质中运动可能引起的整体状态的变化. 大量的学者致力于研究(1.5) 解的存在性, 唯一性和渐进行为, 我们仅向感兴趣的读者推荐文献[2-3, 6, 10-11, 13, 21]及其中的参考文献.

当$ M(s) = a+bs $, $ a, b>0 $, $ k(t)\equiv 1 $并且$ f(s) = |s|^{q-1}s $时, 问题(1.1) 转化为如下形式

(1.6) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t-(a+b \int_\Omega |\nabla u|^{2} {\rm d}x)\Delta u = |u|^{q-1}u, \qquad &x\in\Omega, 0<t<T, \\ u(x, t) = 0, \qquad &x\in\partial\Omega, 0<t<T, \\ u(x, 0) = u_0(x), \qquad &x\in\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

文献[11]中全面研究了当$ 3<q\leq 2^*-1 $时问题(1.6) 解的全局适定性和有限时刻爆破. 通过利用改进的位势井方法^{[17, 20]}及变分理论, 作者得到了初始能量次临界, 临界和超临界情形下的问题(1.6) 解的全局存在和有限时刻爆破的阈值结果. 后来, Han等^[10]重新考虑了问题(1.6) 的有限时刻爆破并且得到了新的爆破标准以及爆破时刻的上界与下界. 值得指出的是文献[10-11] 中仅考虑了$ q>3 $的情形, 而$ 1<q\leq 3 $情形下问题(1.6) 是否存在爆破解仍不得而知.

基于文献[10-11], 我们主要考虑问题(1.1) 和(1.6). 本文的主要目的有两个. 第一个目的是想把文献[10-11] 中得到的爆破结果延伸至更一般的情形, 即具一般扩散系数和一般非线性项的问题(1.1). 利用一阶微分不等式方法, 我们将证明当初始能量为负时, 问题(1.1) 的解在有限时间内爆破. 另外, 运用Levine凸理论, 我们将给出当初始能量为正时, 保证问题(1.1) 解在有限时刻爆破的充分条件. 进一步, 推导出两种情形下爆破时刻的上界与下界. 第二个目的是想揭示在$ 1<q\leq3 $且$ q<2^*-1 $的情形下问题(1.6) 解的性质会如何变化. 我们将证明$ q = 3 $在某种意义上是问题(1.6) 存在有限时刻爆破解的临界指数. 具体而言, 我们将说明当$ 1<q<\min\{3, 2^*-1\} $或者当$ q = 3<2^*-1 $且$ b>0 $充分大时, 问题(1.6) 的解必全局存在. 当$ q = 3<2^*-1 $且$ b>0 $充分小时, 初值满足一定条件, 问题(1.6) 既存在全局解又存在有限时刻爆破解. 因此结合上述结果及[11]中的结果, 很显然$ 3 $是问题(1.6) 存在有限时刻爆破解的临界指数.

本文结构如下: 第2章中我们给出一些必要的定义和记号. 问题(1.1) 的爆破结果将在第$ 3 $章中叙述并证明. 第$ 4 $章, 我们研究在$ 1<q\leq3 $且$ q<2^*-1 $情形下的问题(1.6) 解的全局适定性和有限时刻爆破性质.

首先, 我们介绍一些将在后文中使用的记号, 定义和必要的引理. 如文献[11] 中, 当$ r\geq 1 $时, 我们用$ \|u\|_{r} $表示Lebesgue函数$ u\in L^r(\Omega) $的$ L^r(\Omega) $范数并且用$ (\cdot, \cdot) $表示$ L^2(\Omega) $空间中的内积. 用$ H_0^1(\Omega) $表示Sobolev空间使得对任意$ u\in H_0^1(\Omega) $, $ u $和$ |\nabla u| $都属于$ L^2(\Omega) $, 并且赋予其范数$ \|u\|_{H_0^1(\Omega)} = \|\nabla u\|_2 $. 由于Poincaré 不等式可知, 该范数等价于完整的$ H_0^1(\Omega) $范数. 此外, 我们用$ {\lambda}_1>0 $表示在齐次Dirichlet边界条件下, $ -\Delta $在$ \Omega $中的第一特征值.

与问题(1.1) 相对应的时间依赖能量泛函$ J(u;t) $和Nehari泛函$ I(u;t) $, 分别定义如下

(2.1) $ \begin{equation} \ J(u;t) = \frac{1}{2}\overline{M}\left(\|\nabla u\|_2^2\right)-k(t)\int_\Omega F(u) {\rm d}x, \qquad u\in H_0^1(\Omega), \ t\geq 0, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} I(u;t) = M\left(\|\nabla u\|_2^2\right)\|\nabla u\|_2^2-k(t)\int_\Omega u f(u){\rm d}x, \qquad u\in H_0^1(\Omega), \ t\geq 0, \end{equation} $

其中$ F(u) = \int_0^u f(s) {\rm d}s $. 因为$ f(u) $满足(H3) 和(H4), 所以对任意$ t\geq 0 $, 泛函(2.1) 和(2.1) 均在$ H_0^1(\Omega) $上良定义且连续.

本文中我们考虑问题(1.1) 在如下意义下的弱解.

定义 2.1^[11]   令$ T>0 $. 称$ u = u(x, t)\in L^{\infty}(0, T;H_0^1(\Omega)) $是问题(1.1) 在$ \Omega\times[0, T) $上的一个弱解, 如果$ u_{t}\in L^{2}(0, T;L^2(\Omega)) $, $ u(x, 0) = u_{0}\in H_0^1(\Omega) $且满足对任意$ \phi\in H_0^1(\Omega) $, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} (u_t, \phi)+ M(\|\nabla u\|_2^2)(\nabla u, \nabla \phi) = (k(t)f(u), \phi), \quad{\rm a.e.}\ t\in(0, T). \end{eqnarray} $

我们称$ u(x, t) $在有限时刻$ T $爆破, 如果

(2.4) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow T}\|u(\cdot, t)\|_2^2 = +\infty. \end{eqnarray} $

如果在任意有限时刻$ T $情形(2.4) 均不发生, 那么我们称$ u(x, t) $是全局的.

结合标准的Galerkin方法和标准的极限过程, 可以得到问题(1.1) 弱解的局部存在性, 因此这里将略去具体证明过程. 如不产生混淆, 我们常简写$ u(t) $来表示$ u(x, t) $.

引理 2.1    令$ J(u;t) $和$ I(u;t) $分别按照(2.1) 和(2.1) 式定义, 令$ u = u(t) $是问题(1.1) 的一个弱解. 则下式成立

(2.5) $ \begin{equation} \int_0^t \|u_{\tau}\|_2^2 {\rm d}\tau + \int_0^t k'(\tau)\int_\Omega F(u) {\rm d}x {\rm d}\tau +J(u(t);t) = J(u_0;0), \ \ {\rm a.e.}\ t\in(0, T), \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t} (\frac{1}{2}\|u(t)\|_2^2) = -I(u(t);t), \ \ {\rm a.e.}\ t\in(0, T). \end{equation} $

证   在(2.3)式中分别取$ u_t $和$ u $作为测试函数, 即可得到(2.5) 和(2.6) 式. 证毕.

由(2.5) 式以及假设(H2) 和(H5), 很容易看出$ J(u(t);t) $在$ [0, T) $上是关于$ t $非增的.

因为问题(1.6) 是问题(1.1) 的一种特殊形式, 所以定义2.1和引理2.1也均适用于问题(1.6). 与问题(1.6) 相关联的能量泛函定义为

(2.7) $ \begin{eqnarray} J(u) = \frac{a}{2}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\frac{b}{4}\|\nabla u\|_{2}^{4}-\frac{1}{q+1}\|u\|_{q+1}^{q+1}, \quad u\in H_{0}^{1}(\Omega). \end{eqnarray} $

对任意$ \delta>0 $, 我们定义改进的Nehari泛函和Nehari流形如下

(2.8) $ \begin{equation} \begin{array}{l} I_\delta(u) = \delta(a\|\nabla u\|_2^2+b\|\nabla u\|_2^4)-\|u\|_{q+1}^{q+1}, \\ {\cal N}_\delta = \{u\in H_0^1(\Omega)|I_\delta(u) = 0, \|\nabla u\|_2\neq0\}. \end{array} \end{equation} $

由于$ q<2^*-1 $, 因此$ J(u) $和$ I_\delta(u) $在$ H_0^1(\Omega) $上都是良定义且连续的. 我们分别定义改进的位势井及其相关集合

$ \begin{eqnarray*} &&W_\delta = \{u\in H_{0}^{1}(\Omega)|I_\delta(u)>0, J(u)<d(\delta)\}\cup\{0\}, \\ &&V_\delta = \{u\in H_{0}^{1}(\Omega)|I_\delta(u)<0, J(u)<d(\delta)\}, \end{eqnarray*} $

其中$ d(\delta) $, 位势井深$ W_\delta $被刻画为

$ d(\delta) = \inf\limits_{u\in {\cal N}_\delta}J(u). $

当$ \delta = 1 $, $ I_\delta $, $ {\cal N}_\delta $, $ W_\delta $, $ V_\delta $和$ d(\delta) $将分别被简写为$ I $, $ {\cal N} $, $ W $, $ V $和$ d $.

另外, 我们将用$ S_{q+1}>0 $表示从$ H_0^1(\Omega) $到$ L^{q+1}(\Omega) $的最佳嵌入常数, 即

(2.9) $ \begin{equation} \frac{1}{S_{q+1}} = \inf\limits_{0\neq u\in H_{0}^{1}(\Omega)}\frac{\|\nabla u\|_2}{\|u\|_{q+1}}, \quad u\in H_0^1(\Omega). \end{equation} $

当$ q = 3 $, $ S_{q+1} = S_4 $将被简写为$ S $.

我们以两个引理开启本节. 第一个引理是Levine凸引理^[12], 当初始能量$ J(u_0;0) $为负时, 该引理将用于估计$ u(x, t) $的爆破时刻上界. 第二个引理是特殊形式的Gagliardo-Nirenberg插值不等式, 它将用于推导爆破时刻$ T $的下界.

引理 3.1^{[12, 14]}    设正的, 二阶可微函数$ \psi (t) $满足不等式

$ \begin{eqnarray*} \psi''(t)\psi(t)-(1+\theta)(\psi'(t))^2\geq0, \end{eqnarray*} $

其中$ \theta>0 $. 若$ \psi(0)>0 $且$ \psi'(0)>0 $, 则$ \psi(t)\rightarrow \infty $当

$ \begin{eqnarray*} t\rightarrow t_*\leq t^* = \frac{\psi(0)}{\theta\psi'(0)}. \end{eqnarray*} $

引理 3.2^[1]    令$ 1<p_l<2^*-1 $. 则, 对任意$ u\in H_0^1(\Omega) $, 下式成立

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}\leq C_{p_l}\|\nabla u\|_2^{z(p_l+1)}\|u\|_2^{(1-z)(p_l+1)}, \end{eqnarray*} $

其中$ z = \frac{n p_l-1}{2(p_l+1)}\in (0, 1) $并且$ C_{p_l}>0 $是仅依赖于$ p_l $和$ n $的常数.

接下来我们将说明当初始能量为负或者初始能量为正且以$ C_0\|u_0\|_2^2(C_0>0) $为上界时, 问题(1.1) 的解在有限时间内爆破. 另外, 我们将推导出以上两种情形下的爆破时刻的上界.

定理 3.1    问题(1.1) 的任意弱解$ u(x, t) $在某个有限时刻$ T $爆破. 若如下假设之一成立

$ \rm(i) $$ J(u_0; 0)<0 $;

$ \rm(ii) $$ 0\leq J(u_0; 0)< m_0\lambda_1\left(\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{\alpha+1}\right)\|u_0\|_2^2\triangleq C_0\|u_0\|_2^2 $, 其中由(H1) 和(H3)可知$ C_0>0 $.

进一步, 爆破时刻$ T $的上界估计如下.

当条件$ \rm(i) $成立时

$ T\leq \frac{\|u_0\|_2^2}{(1-\alpha^2)J(u_0; 0)}. $

当条件$ \rm(ii) $成立时

$ T\leq\frac{4\alpha\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)^2(\alpha+1)[C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0; 0)]}. $

证   (i) 为研究情形(i), 我们利用一阶微分不等式方法, 该方法选自文献[18]. 设

$ \begin{eqnarray*} L(t) = \frac{1}{2}\|u(t)\|_2^2, \ \ \ H(t) = -J(u(t);t). \end{eqnarray*} $

显然地, $ L(0)>0, H(0)>0 $. 由(2.5) 式, 条件(H2) 和(H5), 我们得到

$ \begin{eqnarray*} H'(t) = -\frac{\rm d}{{\rm d}t}J(u(t);t) = \int_\Omega u_t^2 {\rm d}x+k'(t)\int_\Omega F(u) {\rm d}x\geq0, \end{eqnarray*} $

这意味着对任意$ t\in [0, T) $, $ H(t)\geq H(0)>0 $. 另一方面, 根据假设(H3) 可得^[9]

(3.1) $ \begin{eqnarray} u f(u)\geq (\alpha+1)F(u), \ \ \alpha>\frac{2}{\sigma}-1. \end{eqnarray} $

考虑(1.2), (2.6) 以及(3.1) 式, 我们有, 对任意$ t\in [0, T) $

(3.2) $ \begin{eqnarray} L'(t) = -I(u(t);t)&\geq&-\frac{1}{\sigma}\overline{M}(\|\nabla u\|_2^2)-(\alpha+1)J(u(t);t)+\\\frac{\alpha+1}{2}\overline{M}(\|\nabla u\|_2^2) &\geq& (\alpha+1)H(t). \end{eqnarray} $

根据在$ [0, +\infty) $上$ k'(t)\geq0 $和假设(H2), 利用Cauchy-Schwarz不等式, 可以得到

(3.3) $ \begin{eqnarray} L(t)H'(t)& = & \frac{1}{2}\int_\Omega u^2 {\rm d}x\int_\Omega u_t^2 {\rm d}x+\frac{1}{2}\|u\|_2^2k'(t)\int_\Omega F(u) {\rm d}x\\ & \geq& \frac{1}{2}\left(\int_\Omega uu_{t} {\rm d}x \right)^2 = \frac{1}{2}\left(L'(t)\right)^2\geq \frac{\alpha+1}{2}L'(t)H(t). \end{eqnarray} $

由(3.3) 式, 直接计算则有

$ \begin{eqnarray*} \left(H(t)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(t)\right)' = \left(L(t)H'(t)-\frac{\alpha+1}{2}L'(t)H(t)\right)L^{-\frac{\alpha+3}{2}}(t)\geq0. \end{eqnarray*} $

因此

(3.4) $ \begin{eqnarray} 0<\xi\triangleq H(0)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(0)&\leq& H(t)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(t) \\ &\leq& \frac{1}{\alpha+1}L'(t)L^{-\frac{\alpha+1}{2}}(t) = \frac{2}{1-\alpha^2}\left(L^{\frac{1-\alpha}{2}}(t)\right)'. \end{eqnarray} $

任取$ t\in(0, T) $, 对(3.4) 式在$ [0, t] $上积分, 我们得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} 0\leq L^{-\frac{\alpha-1}{2}}(t)\leq L^{-\frac{\alpha-1}{2}}(0)-\frac{{\alpha}^2-1}{2}\xi t, \ \ t\in(0, T). \end{eqnarray} $

当$ t\rightarrow +\infty $时, 不等式(3.5)的右侧趋于$ -\infty $, 产生矛盾. 因此, $ T<+\infty $. 此外, 由(3.5) 式我们可以推导出

$ \begin{eqnarray*} T\leq\frac{2}{{(\alpha}^2-1)\xi}L^{-\frac{\alpha-1}{2}}(0) = \frac{\|u_0\|_2^2}{(1-\alpha^2)J(u_0;0)}. \end{eqnarray*} $

(ii) 首先, 根据(1.2) 和(3.1) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} I(u_0;0) &\leq& M(\|\nabla u_0\|_2^2)\|\nabla u_0\|_2^2+(\alpha +1)J(u_0;0)-\frac{(\alpha +1)\sigma}{2}M(\|\nabla u_0\|_2^2)\|\nabla u_0\|_2^2\\ & \leq& (\alpha +1)\left( J(u_0;0)-C_0 \|\nabla u_0\|_2^2 \right)\\ & <& 0. \end{eqnarray*} $

我们断言对任意$ t\in [0, T) $都有$ I(u(t);t)<0 $. 否则, 存在$ t_0\in (0, T) $使得对任意$ t\in [0, t_0) $有$ I(u(t);t)<0 $并且$ I(u(t_0);t_0) = 0 $. 由(2.6) 式我们知道$ \|u\|_2^2 $在$ [0, t_0) $上时严格增的, 这保证了

(3.6) $ \begin{eqnarray} 0\leq J(u_0;0)< C_0\|u_0\|_2^2 < C_0\|u(t_0)\|_2^2. \end{eqnarray} $

另一方面, 由条件(H1), (2.1)–(2.2)式以及$ J(u(t);t) $的单调性, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} J(u_0;0)&\geq& J(u(t_0);t_0) \nonumber\\ & \geq & \frac{1}{2}\overline{M}(\|\nabla u(t_0)\|_2^2)+\frac{1}{\alpha+1}I(u(t_0);t_0)-\frac{1}{\alpha+1}M(\|\nabla u(t_0)\|_2^2)\|\nabla u(t_0)\|_2^2 \nonumber\\ & \geq & \left(\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{\alpha+1}\right)m_0\lambda_1\|u(t_0)\|_2^2 = C_0\|u(t_0)\|_2^2, \end{eqnarray*} $

这与(3.6) 式矛盾. 因此, 正如断言的那样, 对任意$ t\in[0, T) $, 都有$ I(u(t);t)<0 $, 并且$ \|u\|_2^2 $在$ [0, T) $上是严格增的.

对任意$ T^*\in(0, T), \beta >0 $和$ \eta >0 $, 定义

(3.7) $ \begin{eqnarray} F(t) = \int_0^t \|u(\tau)\|_2^2 {\rm d}\tau+(T^*-t)\|u_0\|_2^2+\beta(t+\eta)^2, \ \ t\in[0, T^*]. \end{eqnarray} $

取函数$ F(t) $的一阶导数和二阶导数, 我们有

(3.8) $ \begin{eqnarray} F'(t)& = & \|u(t)\|_2^2-\|u_0\|_2^2+2\beta(t+\eta) = \int_0^t\frac{\rm d}{{\rm d}\tau}\|u(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau+2\beta(t+\eta)\\ & = & 2\int_0^t(u, u_\tau){\rm d}\tau+2\beta(t+\eta), \end{eqnarray} $

(3.9) $ \begin{eqnarray} F''(t)&\geq & -2I(u;t)+2\beta\\ &\geq& -2M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2-2(\alpha+1)J(u(t);t)+(\alpha+1)\overline{M}(\|\nabla u\|_2^2)+2\beta\\ &\geq&\ [(\alpha+1)\sigma-2]M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2-2(\alpha+1)J(u_0;0)\\ &&+2(\alpha+1)\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau+2\beta. \end{eqnarray} $

对$ t\in[0, T^*] $, 设

$ \begin{eqnarray*} Q(t) = \left(\int_0^t \|u(\tau)\|_2^2 {\rm d}\tau+\beta(t+\eta)^2\right)\left(\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau+\beta\right)-\left(\int_0^t(u, u_\tau){\rm d}\tau+\beta(t+\eta) \right)^2. \end{eqnarray*} $

根据Cauchy-Schwarz不等式和Hölder不等式, 可以推出$ Q(t) $在$ [0, T^*] $上是非负的. 因此, 结合(3.7)–(3.9) 式与$ \|u(t)\|_2^2 $的单调性, 则有

(3.10) $ \begin{eqnarray} && F''(t)F(t)-\frac{\alpha+1}{2}(F'(t))^2 \\ & = &F''(t)F(t)-2(\alpha+1)\left(\int_0^t(u, u_\tau){\rm d}\tau+\beta(t+\sigma) \right)^2 \\ & = &F''(t)F(t)+2(\alpha+1)\left[Q(t)-\left(F(t)-(T^*-t)\|u_0\|_2^2\right) \left(\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau+\beta\right) \right] \\ &\geq & F''(t)F(t)-2(\alpha+1)F(t)\left(\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau+\beta\right) \\ &\geq& F(t)\bigg[-2M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2+(\alpha+1)\overline{M}(\|\nabla u\|_2^2)-2(\alpha+1)J(u_0;0) \\ &&+ 2(\alpha+1)\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau+2\beta- 2(\alpha+1)\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau- 2(\alpha+1)\beta \bigg] \\ &\geq & F(t)\bigg[\big[(\alpha+1)\sigma-2\big]m_0\lambda_1\|u(t)\|_2^2-2(\alpha+1)J(u_0;0)-2\alpha\beta \bigg]\\ &\geq & F(t)\bigg[\big[(\alpha+1)\sigma-2\big]m_0\lambda_1\|u_0\|_2^2-2(\alpha+1)J(u_0;0)-2\alpha\beta \bigg]\\ & = &2(\alpha+1)F(t)\left[C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0)-\frac{\alpha\beta}{\alpha+1} \right]\geq0, \end{eqnarray} $

对任意$ t\in[0, T^*] $和任意$ \beta\in\Big(0, \frac{\alpha+1}{\alpha}(C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0))\Big] $成立. 因此, 根据$ \alpha>1 $的事实和引理3.1可得

$ \begin{eqnarray*} T^*\leq \frac{2F(0)}{(\alpha-1)F'(0)} = \frac{2(T^*\|u_0\|_2^2+\beta\eta^2)}{2(\alpha-1)\beta\eta}, \end{eqnarray*} $

这说明

$ \begin{eqnarray*} T^*\left(1-\frac{\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)\beta\eta}\right)\leq\frac{\eta}{\alpha-1}, \end{eqnarray*} $

对任意$ \beta\in\Big(0, \frac{\alpha+1}{\alpha}(C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0))\Big] $和$ \eta>0 $成立.

为估计$ T^* $的上界, 我们固定一个$ \beta_0\in\Big(0, \frac{\alpha+1}{\alpha}(C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0))\Big] $. 那么, 对任意$ \eta\in (\frac{\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)\beta_0}, +\infty) $, 我们有

(3.11) $ \begin{eqnarray} T^*\leq \frac{\beta_0\eta^2}{(\alpha-1)\beta_0\eta-\|u_0\|_2^2}. \end{eqnarray} $

对$ \eta\in (\frac{\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)\beta_0}, +\infty) $最小化(3.11) 式中的右边项, 可以看出

(3.12) $ \begin{eqnarray} T^*\leq \frac{4\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)^2\beta_0}, \quad \beta_0\in\Big(0, \frac{\alpha+1}{\alpha}(C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0))\Big]. \end{eqnarray} $

关于$ \beta_0\in\Big(0, \frac{\alpha+1}{\alpha}(C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0))\Big] $最小化(3.12) 式中的右边项, 可得

$ \begin{eqnarray*} T^*\leq\frac{4\alpha\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)^2(\alpha+1)[C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0)]}. \end{eqnarray*} $

由于$ T^*<T $的任意性, 则有

$ \begin{eqnarray*} T\leq\frac{4\alpha\|u_0\|_2^2}{(\alpha-1)^2(\alpha+1)[C_0\|u_0\|_2^2-J(u_0;0)]}. \end{eqnarray*} $

定理3.1证毕.

本节末我们给出问题(1.1) 解的爆破时间下界估计. 由于定理3.1中的情形(i) 和情形(ii) 都保持了$ I(u(t);t) $的负性, 因此我们将用统一的方法推导出爆破时间的下界.

定理 3.2   令定理3.1中的所有假设成立, 并且假设$ p_l<1+\frac{4}{n} $. 则问题(1.1) 解的最大存在时间满足

$ T\geq \frac{\|u_0\|_2^{2(1-\gamma)}}{2(\gamma-1)\widehat{C}}, $

其中正常数$ \gamma, \widehat{C} $将在证明中给出.

证   首先我们断言当定理3.1中的假设(i) 或(ii) 成立时, 对任意$ t\in[0, T) $都有$ I(u(t);t)<0 $. 事实上, 当假设(ii) 成立时, $ I(u(t);t) $在$ [0, T) $上的负性已经在前面证明过了. 现在我们证明另外一种情形. 由引理2.1, 我们有

$ \begin{eqnarray*} J(u(t);t)\leq J(u_0;0)<0, \ \ \ t\in[0, T). \end{eqnarray*} $

此外, 根据条件(H1), (2.1)–(2.1) 式和$ \alpha>\frac{2}{\sigma}-1 $的事实, 可得

$ \begin{eqnarray*} I(u;t)\leqslant(\alpha+1)J(u;t)- (\frac{(\alpha+1)\sigma}{2}-1)M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2 <0, \quad t\in [0, T). \end{eqnarray*} $

由假设(H1) 和(H4), 可知

(3.13) $ \begin{eqnarray} L'(t) = -I(u;t)& = &-M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2 +k(t)\int_\Omega u f(u){\rm d}x\\ & \leq&\ k(t)\sum\limits_{i = 1}^{l}\int_\Omega a_i |u|^{p_i+1}{\rm d}x, \ \ \ t\in [0, T). \end{eqnarray} $

因为$ 1<p_1<\cdots <p_l $, 应用Young不等式, 我们得到

(3.14) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega a_i |u|^{p_i+1}{\rm d}x\leq \frac{p_i+1}{p_l+1}\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}+\frac{(a_i)^{\frac{p_l+1}{p_l-p_i}}(p_l-p_i)}{p_l+1}|\Omega|, \ \ \ t\in [0, T). \end{eqnarray} $

根据对任意$ t\in [0, T) $有$ I(u(t);t)<0 $, 则

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_2^2 = -2I(u;t)>0, \quad \ t\in [0, T), $

该式结合Hölder不等式, 意味着

(3.15) $ \begin{eqnarray} \|u_0\|_2^{p_l+1}\leq\|u(t)\|_2^{p_l+1}\leq|\Omega|^{\frac{p_l-1}{2}}\|u(t)\|_{p_l+1}^{p_l+1}, \ \ \ t\in [0, T), \end{eqnarray} $

等价地

$ \frac{|\Omega|^{\frac{p_l-1}{2}}\|u(t)\|_{p_l+1}^{p_l+1}}{\|u_0\|_2^{p_l+1}}\geq 1, \quad \ t\in [0, T). $

将(3.14) 和(3.15) 式代入(3.13) 式我们得到

(3.16) $ \begin{eqnarray} L'(t)&\leq& k(t)\sum\limits_{i = 1}^{l-1}\frac{(p_l-p_i)a_i^{\frac{p_l+1}{p_l-p_i}}}{p_l+1} + k(t)\left(\sum\limits_{i = 1}^{l-1}\frac{p_i+1}{p_l+1}+a_l\right)\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}\\ &\leq& \chi k(t)\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}, \ \ t\in [0, T), \end{eqnarray} $

其中$ \chi = \frac{|\Omega|^{\frac{p_l-1}{2}}}{\|u_0\|_2^{p_l+1}}\sum\limits_{i = 1}^{l-1}\frac{(p_l-p_i)a_i^{\frac{p_l+1}{p_l-p_i}}}{p_l+1} +\sum\limits_{i = 1}^{l-1}\frac{p_i+1}{p_l+1}+a_l>0 $.

根据条件(H1) 以及$ I(u(t);t) $的负性, 可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} m_0\|\nabla u\|_2^2\leq M(\|\nabla u\|_2^2)\|\nabla u\|_2^2<k(t)\int_\Omega u f(u){\rm d}x\leq \chi k(t)\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}. \end{eqnarray} $

由引理3.2和(3.17) 式, 可知

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}&\leq & C_{p_l}\|\nabla u\|_2^{\frac{(n p_l -1)}{2}}\|u\|_2^{p_l+1-\frac{(n p_l -1)}{2}}\\ & \leq & C_{p_l}\Big(\frac{\chi k(t)\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}}{m_0}\Big)^{\frac{n(p_l-1)}{4}}\|u\|_2^{p_l+1-\frac{n(p_l-1)}{2}}\\ &\leq & \widetilde{C}\left(\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}\right)^{\frac{n(p_l-1)}{4}}\left(\|u\|_2^2\right)^{\frac{p_l+1}{2}-\frac{n(p_l-1)}{4}}, \ \ t\in [0, T), \end{eqnarray*} $

这说明

(3.18) $ \begin{eqnarray} \left(\|u\|_{p_l+1}^{p_l+1}\right)^{1-\frac{n(p_l-1)}{4}} \leq\widetilde{C}\left(\|u\|_2^2\right)^{\frac{p_l+1}{2}-\frac{n(p_l-1)}{4}}, \ \ t\in [0, T), \end{eqnarray} $

其中$ \widetilde{C} = C_{p_l}(\frac{\chi K}{m_0})^{\frac{n(p_l-1)}{4}} $且$ K = \max_{t\in[0, T)}k(t) $. 由于$ 1<p_l<1+\frac{4}{n} $, 很明显$ \gamma = \frac{(p_l+1)/2-n(p_l-1)/4}{1-n(p_l-1)/4}>1 $. 根据(3.16) 和(3.18) 式, 我们知道

(3.19) $ \begin{eqnarray} L'(t)\leq \widehat{C}2^{\gamma} L^{\gamma}(t), \ \ t\in[0, T), \end{eqnarray} $

其中$ \widehat{C} = \chi K\widetilde{C} $. 在(3.19) 式两边除以$ L^{\gamma}(t) $并对所得不等式在$ [0, t) $上积分, 可以导出

$ \frac{1}{1-\gamma}\left[L^{1-\gamma}(t)-L^{1-\gamma}(0)\right]\leq 2^{\gamma}\widehat{C}t, \quad\forall\ t\in (0, T). $

因为$ \lim\limits_{t\rightarrow T}L(t) = +\infty $, 在上述不等式中令$ t\rightarrow T $, 则

$ T\geq \frac{L^{1-\gamma}(0)}{2^{\gamma}(\gamma-1)\widehat{C}} = \frac{\|u_0\|_2^{2(1-\gamma)}}{2(\gamma-1)\widehat{C}}. $

定理3.2证毕.

本节我们将考虑$ 1<q<3 $且$ q\leq 2^*-1 $情形下的问题(1.6). 下面的第一个结果说明当$ 1<q<3 $或者当$ q = 3 $且$ b\geq S^{4} $时, 问题(1.6) 的弱解必全局存在.

定理 4.1   问题(1.6) 的任意弱解$ u(x, t) $全局存在, 如果下面的假设之一成立

$ \rm(i) $$ 1<q<\min\{3, 2^{*}-1\} $;

$ \rm(ii) $$ q = 3<2^{*}-1 $且$ b\geq S^{4} $.

此外, 当$ \rm(i) $成立时

$ \|u(\cdot, t)\|_2^{2}\leq\frac{C^{*}}{a{\lambda}_1}+{\rm e}^{-2a\lambda_1t}(\|u_0\|_2^2-\frac{C^{*}}{a{\lambda}_1}), $

其中$ C^{*} = C^{*}(q, b, S_{q+1})>0 $.

当$ \rm(ii) $成立时

$ \|u(\cdot, t)\|_2^{2}\leq\|u_0\|_2^2 {\rm e}^{{-2a\lambda_{1}t}}. $

证   (i) 在(2.3) 式中取$ \phi = u $, 根据$ H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^{q+1}(\Omega) $并应用Young不等式, 我们有

(4.1) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_2^2+a\|\nabla u\|_2^2+b\|\nabla u\|_2^4 = \|u\|_{q+1}^{q+1} \leq S_{q+1}^{q+1}\|\nabla u\|_2^{q+1} \leq\frac{q+1}{4}b\|\nabla u\|_2^4+C^{*}, \end{eqnarray} $

这意味着

(4.2) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_2^2+a\lambda_{1}\|u\|_2^2\leq C^{*}, \end{eqnarray} $

其中$ C^{*} = \frac{3-q}{4}\left(\frac{S_{q+1}^{q+1}}{b^{\frac{q+1}{4}}}\right)^{\frac{4}{3-q}} $. 直接计算可得

$ \|u(\cdot, t)\|_2^{2}\leq\frac{C^{*}}{a{\lambda}_1}+{\rm e}^{-2a\lambda_1t}\left(\|u_0\|_2^2-\frac{C^{*}}{a{\lambda}_1}\right), $

这说明$ u(x, t) $是问题(1.6) 的一个全局弱解.

(ii) 根据(4.1) 式和$ b\geq S^{4} $, 很明显

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_2^2\leq -a\lambda_{1}\|u\|_2^2. \end{eqnarray*} $

通过解上述常微分不等式, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \|u(\cdot, t)\|_2^{2}\leq\|u_0\|_2^2 {\rm e}^{{-2a\lambda_{1}t}}. \end{eqnarray*} $

定理4.1证毕.

为了说明$ q = 3 $的情形下问题(1.6) 既有全局解又有有限时刻爆破解, 下面的引理是至关重要的, 它断言当$ b $适当小时, $ {\cal N} $是非空的.

引理 4.1   设$ q = 3<2^{*}-1 $且$ b<S^{4} $. 则$ {\cal N}\ne\emptyset $.

证   因为$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^{n} $中的有界光滑区域并且$ q = 3<2^{*}-1 $, 众所周知(2.9) 式中定义得常数是可以取到的, 即存在$ \overline{u}\in H_0^1(\Omega)\backslash\{0\} $使得$ \|\overline{u}\|_{4} = S\|\nabla \overline{u}\|_{2} $.

设$ \widetilde{\lambda} = \Big[\frac{a}{(S^4-b)\|\nabla\overline{u}\|_2^2}\Big]^{1/2}>0 $. 直接计算可知

$ \begin{eqnarray*} I(\widetilde{\lambda}\overline{u})& = & a\widetilde{\lambda}^{2}\|\nabla\overline{u}\|_{2}^2+b\widetilde{\lambda}^{4}\|\nabla \overline{u}\|_{2}^4-\widetilde{\lambda}^{4}\|\overline{u}\|_{4}^4\\ & = & a\widetilde{\lambda}^{2}\|\nabla\overline{u}\|_{2}^2+b\widetilde{\lambda}^{4}\|\nabla \overline{u}\|_{2}^4-\widetilde{\lambda}^{4}S^{4}\|\nabla\overline{u}\|_{2}^4\\ & = & \widetilde{\lambda}^{2}\|\nabla\overline{u}\|_{2}^2[a-(S^4-b)\widetilde{\lambda}^{2}\|\nabla\overline{u}\|_{2}^2]\\ & = & 0, \end{eqnarray*} $

这意味着$ \widetilde{\lambda}\overline{u}\in{\cal N} $. 因此, $ {\cal N}\ne\emptyset $.

一旦$ {\cal N} $非空, 如下三个引理可以通过文献[11] 中当$ 3<q<2^*-1 $时的相似理论来推导, 因此具体证明略去.

引理 4.2   令$ q = 3<2^*-1 $且$ b<S^{4} $. 则位势井$ W $的井深$ d $是正的.

引理 4.3   令$ q = 3<2^*-1 $且$ b<S^{4} $.设$ u(x, t) $是当$ 0<J(u_0)<d $时问题(1.6) 的一个弱解并且$ T $是解的最大存在时间. 令$ \delta_{1}<1<\delta_{2} $是方程$ d(\delta) = J(u_0) $的两个根.

$ \rm(i) $若$ I(u_{0})>0 $, 则对任意$ \delta_{1}<1<\delta_{2} $及任意$ 0<t<T $, 都有$ u(x, t)\in W_\delta $.

$ \rm(ii) $若$ I(u_{0})<0 $, 则对任意$ \delta_{1}<1<\delta_{2} $和任意$ 0<t<T $, 都有$ u(x, t)\in V_\delta $.

引理 4.4   令$ q = 3<2^*-1 $, $ b<S^{4} $, $ u\in H_0^1(\Omega) $且$ r(\delta) = \frac{\sqrt{\delta a}}{S^2} $. 则有

$ \rm(i) $若$ 0\leq \|\nabla u\|_2\leq r(\delta) $, 则$ I_\delta(u)\geq0 $.

$ \rm(ii) $若$ I_\delta(u)<0 $, 则$ \|\nabla u\|_2>r(\delta) $.

$ \rm(iii) $若$ I_\delta(u) = 0 $, 则$ \|\nabla u\|_2 = 0 $或$ \|\nabla u\|_2\geq r(\delta) $.

接下来, 我们证明当$ q = 3<2^{*}-1 $且$ b< S^{4} $时, 在适当的初值条件下, 问题(1.6) 既有全局解又有有限时刻爆破解. 全局解的存在性证明(定理4.2) 与文献[11] 中定理3.1类似, 兹从略.

定理 4.2   设$ q = 3<2^{*}-1 $, $ b< S^{4} $且$ u_{0}\in H_0^1(\Omega) $. 若$ J(u_{0})<d $并且$ I(u_{0})>0 $, 则问题(1.6) 有全局弱解$ u\in L^{\infty}(0, \infty;H_0^1(\Omega)) $, $ u_t\in L^{2}(0, \infty;L^2(\Omega)) $并且对任意$ 0\leq t<\infty $有$ u(t)\in W $. 此外, $ \|u(\cdot, t)\|_2^{2}\leq\|u_0\|_2^2 {\rm e}^{{-2a\lambda_{1}(1-\delta_{1})t}} $. 这里$ \delta_{1}\in(0, 1) $已经在引理4.3中给出.

定理 4.3   设$ q = 3<2^{*}-1 $, $ b< S^{4} $, 令$ u(x, t) $是问题(1.6) 的一个弱解且$ u_{0}\in H_0^1(\Omega) $. 若$ J(u_{0})\leq d $且$ I(u_{0})<0 $, 则$ u(x, t) $在有限时刻$ T $爆破.

证   假设$ u(x, t) $全局存在, 则对任意$ t\geq0 $, $ G(t) = \int_0^t\|u\|_2^2{\rm d}\tau $是良定义的. 取导数可得

(4.3) $ \begin{eqnarray} G^{\prime}(t) = \|u\|_2^2, \end{eqnarray} $

并且

(4.4) $ \begin{eqnarray} G^{\prime\prime}(t) = 2(u_t, u) = -2\left(a\|\nabla u\|_2^2+b\|\nabla u\|_2^4-\|u\|_4^4\right) = -2I(u). \end{eqnarray} $

经直接计算

(4.5) $ \begin{eqnarray} J(u) = \frac{a}{4}\|\nabla u\|_2^2+\frac{1}{4}I(u). \end{eqnarray} $

由引理2.1, (4.4) 和(4.5)式, 我们得到

$ G^{\prime\prime}(t) = 2a\|\nabla u\|_2^2-8J(u)\geq 2a\lambda_1 G^{\prime}(t)+8\int_0^t\|u_\tau\|_2^2{\rm d}\tau-8J(u_0). $

注意到

$ \left(G^{\prime}(t)\right)^2 = 4\left(\int_0^t\int_\Omega u_\tau u{\rm d}x{\rm d}\tau\right)^2+2\|u_0\|_2^2G^{\prime}(t)-\|u_0\|_2^4. $

应用Cauchy-Schwarz不等式, 则有

(4.6) $ \begin{eqnarray} G^{\prime\prime}(t)G(t)-2\left(G^{\prime}(t)\right)^2 \geq 2a\lambda_1G^{\prime}(t)G(t)-8J(u_0)G(t)-4\|u_0\|_2^2G^{\prime}(t). \end{eqnarray} $

为完成证明, 我们考虑如下三种情形.

情形Ⅰ   $ J(u_0)\leq0 $. (4.6) 式说明

$ G^{\prime\prime}(t)G(t)-2\left(G^{\prime}(t)\right)^2\geq 2a\lambda_1G^{\prime}(t)G(t)-4\|u_0\|_2^2G^{\prime}(t). $

因为$ I(u_0)<0 $, 我们可以证明对任意$ t>0 $有$ I(u)<0 $. 则由(4.4) 式可得对任意$ t\geq0 $, $ G^{\prime\prime}(t)>0 $. 又由于$ G^{\prime}(0)\geq0 $, 则存在$ t_0\geq0 $使得$ G^{\prime}(t_0)>0 $. 因此

$ G(t)\geq G^{\prime}(t_0)(t-t_0). $

所以对充分大的$ t $, 有

(4.7) $ \begin{equation} a\lambda_1G(t)>2\|u_0\|_2^2. \end{equation} $

则对充分大的$ t $, 有

(4.8) $ \begin{equation} G^{\prime\prime}(t)G(t)-2\left(G^{\prime}(t)\right)^2>0. \end{equation} $

情形Ⅱ   $ 0<J(u_0)<d $. 根据引理4.3 (ii) 可知对任意$ t\geq0 $有$ u(t)\in V_\delta $并且$ \delta_1<\delta<\delta_2 $. 进一步, 由引理4.4 (ii) 则有对任意$ t\geq0 $, $ I_{\delta_2}(u)\leq0 $且$ \|\nabla u\|_2^2\geq r(\delta_2) $. 因此

$ G^{\prime\prime}(t) = -2I(u) = 2a(\delta_2-1)\|\nabla u\|_2^2+2b(\delta_2-1)\|\nabla u\|_2^4-2I_{\delta_2}(u)\geq2a(\delta_2-1)r^2(\delta_2). $

所以对充分大的$ t $, 我们有

$ a\lambda_1G(t)>4\|u_0\|_2^2\quad\mbox{及}\quad aG^{\prime}(t)>8J(u_0). $

故(4.8) 式对充分大的$ t $仍然成立.

情形Ⅲ   $ J(u_{0}) = d $且$ I(u_{0})<0 $. 因为$ J(u) $和$ I(u) $关于$ t $连续, 存在$ t_0>0 $使得对任意$ 0<t\leq t_0 $有$ J(u(x, t))>0, I(u(x, t))<0 $. 此外, 由$ (u_t, u) = -I(u)>0 $, 可得对任意$ 0<t\leq t_0 $, $ u_t\ne0 $. 回忆引理2.1, 则有$ J(u(t_0))<d $. 因此, 选取$ t = t_0 $作为初始时刻并应用与情形Ⅱ相似的理论, 我们仍然可以说明对充分大的$ t $, (4.8) 式成立.

余下部分的证明可以根据文献[12, 17, 20] 中标准的凸理论完成.定理4.3证毕.

注 4.1   结合第$ 4 $节与文献[11] 中的结果我们可以看出$ q = 3 $在某种意义上是问题(1.6) 的解全局存在和有限时刻爆破的临界指数. 更具体地, 当$ q<3 $时, 问题(0.6) 的所有弱解全局存在. 当$ q = 3 $时, 如果$ b>0 $充分大, 那么问题(1.6) 的所有弱解全局存在, 然而, 如果$ b>0 $充分小, 那么问题(1.6) 既存在全局解又存在有限时刻爆破解(这依赖于初值). 当$ q>3 $时, 对于不同的初值, 问题(1.6) 也存在全局解和有限时刻爆破解.

注 4.2   尽管从初始能量的角度出发, Kirchhoff问题(1.6)与下面的半线性抛物问题的爆破条件类似^{[7, 11, 15, 19]}. 值得指出的是, 这两个问题的临界爆破指数十分地不同. 众所周知, 问题(4.9) 的临界爆破指数是$ q = 1 $, 即当$ q\leq1 $时, 问题(4.9) 的所有解全局存在, 然而, 当$ q>1 $时, 对于不同的初值, 问题(4.9) 存在全局解和有限时刻爆破解. 但是根据注4.1我们可以看出Kirchhoff问题(1.6) 的临界爆破指数是$ q = 3 $. 这显然是由非局部项$ b\int_\Omega |\nabla u|^{2} {\rm d}x\Delta u $引起的.

(4.9) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\Delta u = |u|^{q-1}u, \qquad &x\in\Omega, 0<t<T, \\ u(x, t) = 0, \qquad &x\in\partial\Omega, 0<t<T, \\ u(x, 0) = u_0(x), \qquad &x\in\Omega \end{array}\right. \end{eqnarray} $