该文将讨论一类$ p $-Laplace方程特征值问题, 并且刻画方程解的渐近行为, 方程如下

(1.1) $ \begin{equation} -\Delta_{p}u+V(x)\left|u\right|^{p-2}u = \mu\left|u\right|^{p-2}u+a\left|u\right|^{s-2}u, \ x \in{{\Bbb R}} ^{n}, \end{equation} $

这里$ p \in \left(1, 2\right], \ n \ge 2, \ s = p+\frac{p^{2}}{n}, \ a \ge 0, \ \mu \in{{\Bbb R}} , $位势$ V\left(x\right)\ge0 $满足下面一般的强制性条件, 即

(1.2) $ \begin{equation} V\left(x\right)\in C\left({{\Bbb R}} ^{n}, {{\Bbb R}} ^{+}\right), \ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{n}}V\left(x\right) = 0\ \mbox{及} \lim\limits_{\left|x\right|\rightarrow \infty}V\left(x\right) = \infty. \end{equation} $

根据经典的变分方法, 为了得到方程(1.1) 的解, 可以通过求解如下约束极小化问题

(1.3) $ \begin{equation} e_{a} = \inf\bigg\{E_a\left(u\right):u \in {\cal H}\ \mbox{且}\ \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left|u\right|^{p} {\rm d}x = 1\bigg\}, \end{equation} $

其中空间$ {\cal H} $定义如下

$ {\cal H} = \bigg \{u \in W^{1, p}\left({{\Bbb R}} ^{n}\right): \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V\left(x\right)\left|u\right|^{p} {\rm d}x < \infty\bigg\}, $

$ \| u \|_{{\cal H}} = \bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}(\left|\nabla u\right|^{p}+V\left(x\right)\left|u\right|^{p}) {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}, $

能量泛函$ E_{a}(\cdot) $定义如下

(1.4) $ \begin{eqnarray} E_a\left(u\right)& = &\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left(\left|\nabla u\right|^{p}+V\left(x\right)\left|u\right|^{p}\right) {\rm d}x-\frac{pa}{s}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left|u\right|^{s} {\rm d}x\\& = & \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left(\left|\nabla u\right|^{p}+V\left(x\right)\left|u\right|^{p}\right) {\rm d}x-\frac{na}{n+p}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left|u\right|^{s} {\rm d}x, \ u \in {\cal H}. \end{eqnarray} $

由拉格朗日乘子原理可知, 对于适当的拉格朗日乘子$ \mu \in {{\Bbb R}} $, 问题(1.3) 的可达元也是$ p $-Laplace特征值问题(1.1) 的弱解.

当$ p = 2 $且$ n = 2 $时, 方程(1.1) 实际上就变为与冷原子物理中的Bose-Einstein (BEC) 凝聚现象相关的Gross-Pitaevskii (GP) 方程, 参数$ a > 0 $表示冷原子之间相互吸引作用的强度, 更多关于BEC相关的物理背景, 见文献[2, 4-8]及其参考文献.

对GP方程的研究已有相当丰富的结果, 特别地, Guo等^[4]在$ V\left(x\right) $满足(1.2) 式的条件下, 讨论了方程(1.1) 解的存在性. 更进一步, 为了获得方程(1.1) 解的渐近行为, Guo等^[4]研究了$ V(x) $具有有限个孤立零点的问题, 即对任意的$ x \in {{\Bbb R}} ^{2} $, 有

(1.5) $ \begin{equation} V(x) = h(x)\prod\limits_{i = 1}^{m}\left|x-x_{i}\right|^{q_{i}}, \ \mbox{其中}\ x_{i} \neq x_{j}, \ \mbox{若}\ i \neq j, \ \mbox{且}\ 0 < C \le h(x) \le \frac{1}{C}. \end{equation} $

在(1.5) 式的条件假设下, 当参数$ a $趋于某个门槛值时, 文献[4]证明了方程(1.1) 的解在位势$ V(x) $最为平坦的最小值点处集中. 在此基础上, 文献[6]考虑了位势$ V(x) $具有无穷多个零点的问题, 即对任意的$ x \in {{\Bbb R}} ^{2}, \ A > 0 $, 令

(1.6) $ \begin{equation} V(x) = (|x|-A)^2. \end{equation} $

在条件(1.6) 下, 当参数$ a $趋于某个门槛值时, 文献[6]证明了方程(1.1) 的解在集合$ \{x \in {{\Bbb R}} ^{2}: |x| = A\} $中的某个点处集中, 并且发生爆破. 由于圆环有非常好的对称性, 其上的点在几何上难以区分, 故对这类位势难以得到爆破点的进一步信息. 因此, 为了获得解的爆破点的更为具体的信息, Guo等^[8]对位势$ V(x) $提出了如下假设, 即

(1.7) $ \begin{equation} V(x) = \left(\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{c^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{d^{2}}}-1\right)^{2}, \ \mbox{其中}\ c > d > 0, \ (x_{1}, x_{2})\in{{\Bbb R}} ^2. \end{equation} $

在条件(1.7) 下, 当参数$ a $趋于某个门槛值时, 文献[8]证明了方程(1.1) 的解在位势$ V(x) $底部椭圆的长轴端点之一处集中.

当$ 1 < p \le 2, \ n \ge 2 $时, 谷龙江等在文献[11]中考虑了$ V(x) = \left|x\right|^2 $的情况, 文献[11]首先证明了方程对应的约束极小化问题(1.3) 可解当且仅当

(1.8) $ \begin{equation} 0 \leq a < a_{\ast} \ \mbox{且}\ a_{\ast} = \left(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\left|Q_{p}\right|^{p}{\rm d}x\right)^{\frac{p}{n}}, \end{equation} $

其中$ Q_{p}\left( x \right) $是下面极限方程的唯一正解$ (1 < p \le 2) $, 有

(1.9) $ \begin{equation} -\Delta_{p}u+\frac{p}{n}\left|u\right|^{p-2}u = \left|u\right|^{s-2}u, \ u\in W^{1, p}({{\Bbb R}} ^{n}). \end{equation} $

然后还证明了当$ a $趋于$ a_{\ast} $时, 问题(1.3) 的可达元会在$ x = 0 $处集中. 后来, 在文献[3]中, Gu等将文献[11]的相关结论推广到了$ 1 < p < n $的情况, 此时方程(1.9) 是否有唯一解尚不清楚, 文献[3]通过新的思路, 避免了文献[11]中定义$ a_{\ast} $时对方程(1.9) 解唯一性的依赖, 并且给出了问题(1.3) 可达元的存在性条件. 此外, 在一般强制性条件(1.2) 下, 当参数$ a $趋于$ a_{\ast} $时, Gu等^[3]还证明了问题(1.3) 的可达元必定在位势$ V(x) $的极小值点处爆破, 其主要结果回顾如下.

定理1.1^{[3, Theorem 1.2]}  设$ 1 < p < n $, 且$ V(x) $满足条件(1.2), 对任意的$ a \in ( 0, a_{*} ) $, 令$ u_{a} \ge 0 $是问题(1.3) 相应的极小可达元, 则

(i)

(1.10) $ \begin{equation} \mbox{当}\ a \nearrow a_{*}\ \mbox{时}, \ \varepsilon_{a} \triangleq \left( \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\nabla u_{a}|^{p} {\rm d}x\right)^{-\frac{1}{p}} \to 0. \end{equation} $

(ii) 设$ \overline{z}_{a}\ \mbox{是}\ u_{a} $的某个全局最大值点, 则

(1.11) $ \begin{equation} \lim\limits_{a \nearrow a_{*}}\mbox{dist}(\overline{z}_{a}, {\cal A}) = 0, \end{equation} $

其中$ {\cal A} = \{x \in {{\Bbb R}} ^{n}, V(x) = 0\}. $

(iii) 对于满足当$ k \to \infty $时$ {a_{k}}\nearrow a_{*} $的任意序列$ \{a_{k}\} $, 在子列的意义下, 我们仍记为$ \{a_{k}\} $, 有

(1.12) $ \begin{equation} \lim\limits_{k \to \infty}\varepsilon_{a_{k}}^{\frac{n}{p}}u_{a_{k}}(\varepsilon_{a_{k}}x+\overline{z}_{a_k}) = \frac{Q_{p}(x)}{a_{*}^{n/p^{2}}}\ \mbox{在}\ W^{1, p}\left({{\Bbb R}} ^{n}\right)\ \mbox{中成立}, \end{equation} $

其中$ \overline{z}_{a_{k}} $是$ u_{a_{k}} $的某个全局极大值点, 且$ \lim\limits_{k \to \infty}\overline{z}_{a_k} = z_{0}\in{\cal A}. $

此外, 若位势具有有限个孤立零点, 即(1.5) 式满足, Gu等^[3]还证明了方程(1.1) 的解在位势最为平坦的零点处爆破.

注意到, 当$ p = 2 $时, 文献[4]中相关结果的证明依赖于方程(1.9) 基态解的唯一性性质. 当$ 1 < p \le 2 $时, 由文献[1, 9, 12-14]知, 方程(1.9) 存在唯一的正的径向对称基态解. 但是当$ 2 < p < n $时, 方程(1.9) 的基态解的唯一性和对称性是不知道的. Gu等^[3]通过采用新的证明方法, 避免了方程(1.9) 基态解唯一性尚不清楚的困难, 将文献[4]中关于问题(1.3) 的结果由$ p = 2 $情形推广到了$ 1 < p < n $情形.

受文献[3-4, 8]的启发, 该文的主要目的是将文献[8]在$ p = 2 $时的结果推广到$ 1 < p < n $. 为此, 我们对位势$ V(x) $做如下假设

(1.13) $ \begin{equation} V(x) = \left(\sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}}-1\right)^{2}, \ x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in {{\Bbb R}} ^{n}, \end{equation} $

其中, $ a_{i} \in {{\Bbb R}} $, 且满足$ a_{1} > a_{2} \geq \dots \geq a_{n} $. 此时, 位势的底部为一个椭球面.

令

(1.14) $ \begin{equation} f(x) = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}}. \end{equation} $

记

(1.15) $ \begin{equation} Z: = \{(a_{1}, \ 0, \dots, \ 0), (-a_{1}, \ 0, \dots, \ 0)\} \end{equation} $

为位势底部椭球的长轴的端点集合.

由于该文的证明方法需要用到方程(1.9) 基态解的对称性这一性质, 而当$ 2 < p < n $时, 方程(1.9) 基态解的对称性并不清楚, 而文献[3]避开唯一性的方法也不适用该文, 故该文只讨论$ 1 < p \leq 2 $的情形. 该文结论如下.

定理1.2   设$ 1 < p \le 2, \ \mbox{且} \ V(x) $满足(1.13) 式, 对任意的$ a \in (0, a_{*}) $, 令$ u_{a} $为问题(1.3) 相应的极小可达元, 则

(i)

(1.16) $ \begin{equation} \lim\limits_{a \nearrow a_{*}}\frac{e_{a}}{\left(a_{*}-a\right)^{\frac{2}{p+2}}} = \frac{p+2}{2a_{*}}\lambda^{p}, \end{equation} $

其中$ \lambda $定义如下

(1.17) $ \begin{equation} \lambda = \left(\frac{2}{npa_{*}^{\frac{n-p}{p}}a_{1}^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x|^{2}Q_{p}^{p}(x) {\rm d}x\right)^{\frac{1}{p+2}}. \end{equation} $

(ii) 对于满足当$ k \to \infty $时$ {a_{k}} \nearrow a_{*} $的任意序列$ \{a_{k}\} $, 一定存在子列, 我们仍记为$ \{a_{k}\} $, 使得在$ W^{1, p}({{\Bbb R}} ^{n}) $中下面极限成立

(1.18) $ \begin{equation} \lim\limits_{k \to \infty}(a_{*}-a_{k})^{\frac{n}{(2+p)p}}u_{a_{k}}((a_{*}-a_{k})^{\frac{1}{2+p}}x+x_{a_{k}}) = \frac{(\lambda)^{\frac{n}{p}}Q_{p}(\lambda x)}{a_{*}^{n/p^{2}}}, \end{equation} $

其中$ x_{a_k} $是$ u_{a_k} $的某个全局极大值点. 此外, 当$ k \to \infty $时, 有

(1.19) $ \begin{equation} x_{a_k} \to x_0\in Z, \end{equation} $

并且

(1.20) $ \begin{equation} \lim\limits_{k \to \infty} \frac{f(x_{a_k})-1}{(a_*-a_k)^{\frac{1}{2+p}}} = 0, \ \mbox{其中}\ f(\cdot)\ \mbox{由}\ (1.14)\ \mbox{所定义}. \end{equation} $

注1.1  从定理$ \rm1.2(ii) $可以看出, 当$ a_{k} \nearrow a_{*} $时, 方程(1.1) 的解必定在集合$ Z $中的某个点处发生爆破.

这一部分我们首先给出几个预备引理, 这些引理将被用来证明该文的主要定理. 首先回顾一下文献[3, 引理2.1] 中关于Gagliardo-Nirenberg不等式的相关结果.

设$ p \in (1, 2], \ s = p+\frac{p^2}{n} $, $ a_{\ast} $由(1.8) 式所定义, 那么, 对任意的$ u \in W^{1, p}({{\Bbb R}} ^{n}) $, 有

(2.1) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|u|^{s}{\rm d}x\le\frac{n+p}{na_*}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\nabla u|^{p}{\rm d}x \cdot \Big(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|u|^{p}{\rm d}x\Big)^{\frac{p}{n}}, \end{equation} $

其中等号成立的条件是当且仅当$ u(x) = c_{1}Q_{p}(c_{2}x), \ \mbox{其中} \ c_{1}, c_{2} \in {{\Bbb R}} \setminus\{0\} \ \mbox{为适当常数}, $$ Q_{p}(x) $是方程(1.9) 的唯一正的径向对称基态解. 此外, 由Pohozaev恒等式^[10]可知

(2.2) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|Q_{p}|^{s} {\rm d}x = \left(1+\frac{p}{n}\right)\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\nabla Q_{p}|^{p} {\rm d}x = \left(1+\frac{p}{n}\right)\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|Q_{p}|^{p} {\rm d}x. \end{equation} $

更进一步, 由文献[13]知, 当$ |x| $充分大时, 存在$ \delta > 0 $, 使得

(2.3) $ \begin{equation} |Q_{p}(x)| \le e^{-\delta \left|x\right|}. \end{equation} $

根据$ Q_{p}(x) $的径向对称性, 我们有下面几个引理.

引理2.1  设$ a_{1} \in {{\Bbb R}} , \mbox{且} \ V(x), \ f(x) {和} Z $分别满足(1.13)–(1.15) 式, 如果$ z \in {{\Bbb R}} ^{n} $满足$ V(z) = 0 $, 那么

(2.4) $ \begin{equation} |\nabla f(z)|^{2} \ge \frac{1}{a_{1}^{2}}, \end{equation} $

上式中的等号成立当且仅当$ z \in Z $时.

证   取$ z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in {{\Bbb R}} ^{n} $满足$ V(z) = 0 $, 由条件(1.13) 和(1.14) 可知$ f(z) = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{z_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}} = 1 $, 以及

$ \nabla f(z) = \left(\frac{x_1}{a_{1}^{2}}, \frac{x_2}{a_{2}^{2}}, \dots, \frac{x_n}{a_{n}^{2}}\right). $

因为$ a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n} $, 所以由上式可得

$ \begin{eqnarray*} |\nabla f(z)|^2& = &\frac{z_1^2}{a_1^4}+\frac{z_2^2}{a_2^4}+\dots+\frac{z_n^2}{a_n^4}{\nonumber\\}\\& = & \frac{1}{a_1^2}+\frac{z_2^2}{a_2^2}(\frac{1}{a_2^2}-\frac{1}{a_1^2})+\dots+\frac{z_n^2}{a_n^2}(\frac{1}{a_n^2}-\frac{1}{a_1^2}){\nonumber\\}\\&\ge& \frac{1}{a_1^2}, \end{eqnarray*} $

其中等号成立当且仅当$ z \in Z $. 故该引理得证.

引理2.2  设$ p \in (1, 2] $, 且$ W^{1, p}\left({{\Bbb R}} ^{n}\right) $中的函数$ Q(x) $满足如下条件

(i) $ Q(x) $是正函数, 且为径向对称函数, 即$ x \in {{\Bbb R}} ^{n}, \ Q(x) = Q(|x|) $.

(ii) $ Q(x) $在无穷远处是呈指数衰减的, 即存在$ \delta > 0, \ \rho > 0 $, 使得当$ |x| > \rho > 0 $时,

$ |Q(x)| \le e^{-\delta \left|x\right|}. $

那么对于任意的$ y = (y_1, y_{2}, \dots, y_n) \in {{\Bbb R}} ^{n} $, 有

(2.5) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}(y\cdot x)Q^{p}(x) {\rm d}x = 0\ \mbox{及}\ \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y\cdot x|^{2}Q^{p}(x){\rm d}x = \frac{|y|^2}{n}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x|^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x. \end{equation} $

证   首先, 当$ n = 1 $或$ 2 $时, (2.5) 显然成立. 当$ n \ge 3 $时, 令

(2.6) $ \begin{equation} 0 < r \in {{\Bbb R}} , \ \mbox{若}\ 1 \le i\le n-2, \ 0 \le \theta_i \le \pi;\ 0 \le \theta_{n-1} \le 2\pi. \end{equation} $

在条件(2.6) 下, 我们对$ x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in {{\Bbb R}} ^{n} $使用下面的极坐标变换

(2.7) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}x_1 & = r\cos\theta_1, \\x_2 & = r\sin\theta_1\cos\theta_2, \\\vdots\\x_{n-1} & = r\sin\theta_1\sin\theta_2\dots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}, \\x_{n} & = r\sin\theta_1\sin\theta_2\dots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}.{\nonumber\\}\end{array}\right. \end{equation} $

注意到, 对于任意的$ n \ge 1 $, 等式(2.8) 成立, 即

(2.8) $ \begin{equation} \int_0^{\pi}\sin^{n}\theta\cos\theta {\rm d}\theta = 0. \end{equation} $

因为$ Q(x) $是径向对称的, 从而由(2.8) 可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}(y\cdot x)Q^{p}(x) {\rm d}x& = & \int_0^{\infty}Q^{p}(r)r^{n}{\rm d}r\int_0^{\pi}\cdots\int_0^{2\pi}\sin^{n-2}\theta_{1}\sin^{n-3}\theta_{2}\dots\sin\theta_{n-2}\\&& \cdot(y_{1}\cos\theta_{1}+\dots+y_n\sin\theta_1\dots\sin\theta_{n-1}){\rm d}\theta_{1}\dots {\rm d}\theta_{n-1}\\& = & 0. \end{eqnarray*} $

此外, 我们对坐标系做旋转变换, 即将坐标系旋转$ \theta' $度, 使得将点$ y $旋转到点$ y' = (|y|, 0, \dots, 0) $, 则由$ Q(x) $的径向对称性可得

(2.9) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y\cdot x|^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y' \cdot x|^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y|^{2}x_{1}^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x. \end{equation} $

类似计算(2.9) 式的方法, 我们进一步可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y\cdot x|^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y|^{2}x_{i}^{2}Q^{p}(x) {\rm d}x, \ i = 2, \ 3, \ \dots, \ n. \end{eqnarray*} $

于是可以推出

(2.10) $ \begin{equation} n\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y\cdot x|^{2}Q^{p} {\rm d}x = |y|^2\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x|^{2}Q^{p} {\rm d}x, {\nonumber\\} \end{equation} $

即(2.5) 式得证.

然后, 下面我们将给出极小能量$ e_a $的上界估计.

引理2.3  设$ p \in (1, 2], \ a > 0, \ Q_{p}(x) $是方程(1.9) 正的唯一的径向对称解, 那么$ e_a $有下面的上界估计

(2.11) $ \begin{equation} \limsup\limits_{a \nearrow a_{*}}\frac{e_{a}}{\left(a_{*}-a\right)^{\frac{2}{p+2}}} \le \frac{p+2}{2a_{*}}\lambda^{p}, \end{equation} $

其中$ a_{*} $由(1.8) 式定义, $ \lambda $由(1.17) 式所给出.

证   对任意的$ \tau > 0 $及$ y_0 \in Z $, 令

$ \begin{eqnarray*} u_\tau(x) = \frac{\tau^{\frac{n}{p}}}{a_{*}^{\frac{n}{p^2}}}Q_{p}(\tau(x-y_0)), \end{eqnarray*} $

那么$ \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|u_{\tau}|^{p} {\rm d}x = 1 $, 且由(2.2) 式可得

(2.12) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\nabla u_\tau|^{p} {\rm d}x = \tau^{p} \quad \mbox{及} \quad \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|u_\tau|^{s} {\rm d}x = \left(1+\frac{p}{n}\right)\frac{\tau^p}{a_*}. \end{equation} $

此外, 根据(1.13), (1.14), (2.4) 及(2.5) 式, 有

(2.13) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\tau \to \infty}\tau^2\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(x)|u_{\tau}|^{p} {\rm d}x & = &\lim\limits_{\tau \to \infty}\frac{\tau^n}{a_{*}^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\Big(\frac{f(x)-f(y_0)}{1/\tau} \Big)^{2}Q_{p}^{p}(\tau(x-y_0)) {\rm d}x\\ & = & \lim\limits_{\tau \to \infty}\frac{1}{a_{*}^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\Big(\frac{f({y/\tau}+y_0)-f(y_0)}{1/\tau} \Big)^{2}Q_{p}^{p}(y) {\rm d}y\\& = &\frac{1}{a_{*}^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\nabla f(y_{0})\cdot y|^{2}Q_{p}^{p}(y) {\rm d}y\\& = &\frac{|\nabla f(y_0)|^2}{na_{*}^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y|^{2}Q_{p}^{p}(y) {\rm d}y\\& = &\frac{1}{na_{1}^{2}a_{*}^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|y|^{2}Q_{p}^{p}(y) {\rm d}y. \end{eqnarray} $

于是由(2.12) 式及$ e_a $的定义有

(2.14) $ \begin{eqnarray} e_{a} \le E_{a}(u_\tau) & = & \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}(|\nabla u_\tau|^{p}+V(x)|u_\tau|^{p}) {\rm d}x - \frac{na}{n+p}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|u_\tau|^{s} {\rm d}x\\& = &\tau^{p}-\frac{na}{n+p}\left(1+\frac{p}{n}\right)\frac{\tau^p}{a_*} + \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(x)|u_\tau|^{p} {\rm d}x\\& = &\tau^{p}\left(1-\frac{a}{a_*}\right) + \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(x)|u_\tau|^{p} {\rm d}x. \end{eqnarray} $

根据$ \lambda $的定义, 我们可以令$ \tau = \frac{\lambda}{(a_*-a)^{\frac{1}{p+2}}} $, 则$ {(a_*-a)^{\frac{2}{p+2}}} = \frac{\lambda^2}{\tau^2} $, 从而由(2.11) 式可得下面的估计

(2.15) $ \begin{eqnarray} \limsup\limits_{a \nearrow a_{*}}\frac{e_{a}(u)}{\left(a_{*}-a\right)^{\frac{2}{p+2}}} \le \frac{\lambda^p}{a_*}+\frac{p\lambda^p}{2a_*} = \frac{p+2}{2a_{*}}\lambda^{p}. \end{eqnarray} $

因此, (2.11) 式得证.

(i) 引理2.3说明了$ \limsup\limits_{a \nearrow a_{*}}{e_{a}(u)}/{\left(a_{*}-a\right)^{\frac{2}{p+2}}} $存在上界, 为了证明(1.16) 式, 我们还需要证明$ \liminf\limits_{a \nearrow a_{*}}{e_{a}(u)}/{\left(a_{*}-a\right)^{\frac{2}{p+2}}} $存在下界, 且上界等于下界.

对任意的$ a \in (0, a_*) $, 设$ u_a $为问题(1.3) 的一个非负极小可达元. 由定理 可知, 对于任意的序列$ \{a_{k}\}\subset(0, a_*) $, 这里$ k \to \infty $时, $ {a_{k}} \nearrow a_{*} $, 那么问题(1.3) 的非负可达元$ u_{a_k} $存在极大值点$ x_{a_k} $, 使得

(3.1) $ \begin{equation} \mbox{当}\ k \to \infty\ \mbox{时}, \ x_{a_k} \to x_0, \ \mbox{且}\ V(x_0) = 0. \end{equation} $

根据(1.10) 式中$ \varepsilon_a $的定义, 我们设

(3.2) $ \begin{equation} w_{a_k} : = \varepsilon_{a_k}^{\frac{n}{p}}u_{a_k}(\varepsilon_{a_k}x + x_{a_k}), \end{equation} $

(3.3) $ \begin{equation} \mu_k : = \frac{1}{\varepsilon_{a_k}^2}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(\varepsilon_{a_k}x + x_{a_k})w_{a_k}^{p}(x) {\rm d}x = \frac{1}{\varepsilon_{a_k}^2}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(x)u_{a_{k}}^{p}(x){\rm d}x. \end{equation} $

那么, 根据Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式(2.1), 有

(3.4) $ \begin{eqnarray} e_{a_k} = E_{a_k}(u_{a_k}) &\ge& \varepsilon_{a_k}^{-p}\left(1-\frac{a_{k}}{a_*}\right) + \varepsilon_{a_k}^{2}\mu_k\\ &\ge &\left(\frac{p+2}{2a_*}\right)^{\frac{2}{p+2}}(a_*-a_{k})^{\frac{2}{p+2}}\left(\frac{2+p}{p}\mu_k\right)^{\frac{p}{p+2}}. \end{eqnarray} $

然后, 我们断言序列$ \Big\{\frac{f\left(x_{a_{k}}\right)-f(x_{0})}{\varepsilon_{a_{k}}}\Big\} $是有界序列. 否则, 若序列$ \Big\{\frac{f\left(x_{a_{k}}\right) - f(x_{0})}{\varepsilon_{a_{k}}}\Big\} $是无界的, 那么存在序列$ \{a_k\} $的一个子序列, 我们仍记为$ \{a_k\} $, 使得

(3.5) $ \begin{equation} \mbox{当}\ k \to \infty\ \mbox{时}, \ \frac{|f(x_{a_k})-f(x_0)|}{\varepsilon_{a_k}}\to + \infty. \end{equation} $

那么对于任意的实数$ M > 0 $, 由(1.13), (1.14), (1.18), (3.2) 式以及Fatou引理可得

(3.6) $ \begin{eqnarray} \liminf\limits_{k \to \infty}\mu_k & = &\liminf\limits_{k \to \infty}\frac{1}{\varepsilon_{a_k}^2}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}V(\varepsilon_{a_k}x + x_{a_k})w_{a_k}^{p}(x) {\rm d}x\\ & = &\liminf\limits_{k \to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\Big(\frac{f(\varepsilon_{a_k}x + x_{a_k}) - f(x_{a_k})}{\varepsilon_{a_k}} + \frac{f(x_{a_k}) - f(x_0)}{\varepsilon_{a_k}}\Big)^{2}w_{a_k}^{p}(x){\rm d}x\\ &\ge &\frac{1}{a_*^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\Big( x\cdot\nabla f(x_0) + \lim\limits_{k \to \infty}\frac{f(x_{a_k}) - f(x_0)}{\varepsilon_{a_k}}\Big)^{2}Q_{p}^{p}(x) {\rm d}x\\ &\ge& M. \end{eqnarray} $

因此, 结合(3.4) 和(3.6) 式, 可知对任意$ M > 0 $, 有

(3.7) $ \begin{equation} \liminf\limits_{k \to \infty}\frac{e_{a_k}}{\left(a_{*}-a_{k}\right)^{\frac{2}{p+2}}} \ge \left(\frac{p+2}{2a_*}\right)^{\frac{2}{p+2}}\left(\frac{2+p}{2}M\right)^{\frac{p}{p+2}}. \end{equation} $

(3.7) 式显然与(2.11) 式相矛盾. 所以序列$ \Big\{\frac{f\left(x_{a_{k}}\right) - f(x_{0})}{\varepsilon_{a_{k}}}\Big\} $是有界序列, 即存在序列$ \{a_k\} $的子序列, 我们依然记为$ \{a_k\} $和某个$ n_0 \in {{\Bbb R}} $, 使得

(3.8) $ \begin{equation} \mbox{当}\ k \to \infty\ \mbox{时}, \ \frac{f(x_{a_k}) - f(x_0)}{\varepsilon_{a_k}} \to n_0. \end{equation} $

因为$ Q_{p}(x) $是径向对称的, 所以根据(1.12)式, (2.3) 式, 引理2.1–2.2及Fatou引理, 有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \liminf\limits_{k \to \infty}\mu_k &\ge &\frac{1}{a_*^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}(x\cdot\nabla f(x_0) + n_0)^{2}Q_{p}^{p} {\rm d}x\\ &\ge &\frac{1}{a_*^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x\cdot\nabla f(x_0)|^{2}Q_{p}^{p} {\rm d}x\\ & = & \frac{|\nabla f(x_0)|^2}{na_*^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x|^{2}Q_{p}^{p} {\rm d}x\\ &\ge &\frac{1}{na_1^{2}a_*^{\frac{n}{p}}}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|x|^{2}Q_{p}^{p} {\rm d}x\\ & = &\frac{p}{2a_{*}}\lambda^{p+2}, \end{eqnarray} $

其中$ \lambda $由(1.17) 式所定义. 然后, 结合(3.4) 式和(3.9) 式可知

(3.10) $ \begin{equation} \liminf\limits_{k \to \infty}\frac{e_{a_k}}{\left(a_{*}-a_{k}\right)^{\frac{2}{p+2}}} \ge \left(\frac{p+2}{2a_*}\right)^{\frac{2}{p+2}}\left(\frac{2+p}{p}\liminf\limits_{k \to \infty}\mu_k\right)^{\frac{p}{p+2}} \ge \frac{p+2}{2a_*}\lambda^{p}. \end{equation} $

最后由(3.10) 式和(2.11) 式可以推出

(3.11) $ \begin{equation} \liminf\limits_{k \to \infty}\frac{e_{a_k}}{\left(a_{*}-a_{k}\right)^{\frac{2}{p+2}}} = \frac{p+2}{2a_*}\lambda^{p}. \end{equation} $

因为(3.11)式中的序列$ \{a_k\}\subset(0, a_*) $是任意选取的序列, 所以(1.16) 式成立, 即本文中定理1.2 (i) 的结论.

(ii) 对任意的$ a \in (0, a_*) $, 设$ u_a $为问题(1.3) 的一个非负极小可达元. 我们断言下式成立, 即

(3.12) $ \begin{equation} \lim\limits_{a \nearrow a_*}\frac{(a_{*}-a)^{\frac{1}{p+2}}}{\varepsilon_a} = \lambda, \end{equation} $

其中$ \lambda $由(1.17) 式所定义. 事实上, 若(3.12) 式不成立, 那么存在序列$ \{a_k\}\subset(0, a_*) $, 满足当$ k \to \infty $时, $ a_{k} \nearrow a_* $. 使得

(3.13) $ \begin{equation} \lim\limits_{k \to \infty}\frac{(a_{*}-a_k)^{\frac{1}{p+2}}}{\varepsilon_{a_k}} = r \in {{\Bbb R}} ^{+}\setminus\{\lambda\}. \end{equation} $

故根据(3.4) 式可以推出

(3.14) $ \begin{eqnarray} e_{a_k} &\ge &\varepsilon_{a_k}^{-p}\left(1 - \frac{a}{a_*}\right)+\varepsilon_{a_k}^{2}\mu_k\\ & = &\frac{(a_*-a_k)^{\frac{2}{p + 2}}}{a_{\ast}}\left(\frac{(a_{*}-a_k)^{\frac{1}{p + 2}}}{\varepsilon_{a_k}}\right)^{p}+(a_*-a_k)^{\frac{2}{p + 2}}\mu_k \left(\frac{(a_{*}-a_k)^{\frac{1}{p+2}}}{\varepsilon_{a_k}}\right)^{-2}. \end{eqnarray} $

根据(3.14) 式可知, 若$ r = 0 $或者$ r = +\infty $, 则$ \lim\limits_{k \to \infty}\frac{e_{a_k}}{\left(a_{*}-a_{k}\right)^{\frac{2}{p+2}}} = +\infty $, 这显然与(3.11) 式矛盾. 若$ r \in (0, +\infty)\setminus \{\lambda\} $, 则

(3.15) $ \begin{equation} \liminf\limits_{k \to \infty}\frac{e_{a_k}}{\left(a_{*}-a_{k}\right)^{\frac{2}{p+2}}} \ge \frac{r^p}{a_*} + \liminf\limits_{k \to \infty}\frac{\mu_k}{r^2} > \frac{p+2}{2a_*}\lambda^{p}, \end{equation} $

这也与(3.11) 式矛盾. 综上可知

(3.16) $ \begin{equation} \lim\limits_{k \to \infty}\frac{(a_{*} - a_{k})^{\frac{1}{p + 2}}}{\varepsilon_{a_k}} = \lambda, \end{equation} $

即(3.12) 式成立. 结合(1.12) 式和(3.16) 式, 则(1.18) 式成立.

最后, 从(3.10) 和(3.11) 式可得

(3.17) $ \begin{equation} \liminf\limits_{k \to \infty}\mu_k = \frac{p}{2a_{*}}\lambda^{p+2}, \end{equation} $

故(3.9)式中所有的不等号均为等号. 然而, (3.9) 式中第二个不等号是等号的条件是当且仅当$ n_0 = 0 $, 且由引理2.1知, (3.9) 式中最后一个不等号是等号的条件是当且仅当$ x_0 \in Z $. 因此, 由(3.1) 和(3.8) 式可以推出(1.19) 和(1.20) 式成立. 至此, 定理1.2证毕.