星体的Bonnesen-型不等式

星体的Bonnesen-型不等式

张增乐^,

^{重庆文理学院重庆市高校群与图的理论及应用重点实验室重庆 402160}

Bonnesen-Style Inequalities for Star Bodies

Zhang Zengle^,

^{Chongqing Key Laboratory of Group & Graph Theories and Applications, Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing 402160}

收稿日期: 2020-10-22

基金资助:

重庆市自然科学基金. cstc2020jcyj-msxmX0779
重庆市教委科学技术研究项目. KJQN201901312

Received: 2020-10-22

Fund supported:

the NSF of Chongqing. cstc2020jcyj-msxmX0779
the Science and Technology Research Program of Chongqing Municipal Education Commission. KJQN201901312

作者简介 About authors

张增乐,E-mail:zhangzengle128@163.com , E-mail：zhangzengle128@163.com

Abstract

Motivated by works of Lutwak and Petty[25-26, 37], a new star body associated with a given convex body $K$ is constructed. The isoperimetric inequality for ${\cal G}K$ and the reverse Bonnesen-style inequalities for K are established.

Keywords： isoperimetric inequality ; Bonnesen-style isoperimetric Inequality ; Differential affine isoperimetric inequality ; Star body

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本文引用格式

张增乐. 星体的Bonnesen-型不等式. 数学物理学报[J], 2021, 41(5): 1249-1262 doi:

Zhang Zengle. Bonnesen-Style Inequalities for Star Bodies. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(5): 1249-1262 doi:

1 引言

对于平面上周长固定的域, 经典等周问题是问什么域所围成的面积达到最大. 以下的等周不等式给出了经典等周问题的解:

$\begin{eqnarray} L^2-4\pi A \ge 0, \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 $A$ 是平面域 $K$ 的面积, $L$ 是 $K$ 的周长, 且等号成立当且仅当 $K$ 为圆盘.

经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55].

设 $K$ 为欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的凸体(含非空内点的紧凸集), ${\cal K}^n$ 表示 ${{\Bbb R}} ^n$ 中所有凸体构成的集合. 若凸体 $K$ 的边界 $\partial K$ 具有正高斯曲率, 则称 $K$ 为卵形域.设 $B_n = \{x\in {{\Bbb R}} ^n: \|x\| \le 1\}$ 表示欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的单位球, 其边界为 ${S}^{n-1} = \{x\in {{\Bbb R}} ^n: \|x\| = 1\}$ . 单位球 $B_n$ 的体积与表面积分别为

$\begin{eqnarray} V(B_n) = \omega_n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)}\quad\mbox{和}\quadS(B_n) = n\omega_n = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}} {\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}, \end{eqnarray}$

(1.2)

其中 $\Gamma(\cdot)$ 为Gamma函数.

于1939年, Schmidt^[44] 证明了以下高维情形的等周不等式:设 $K$ 是欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中体积为 $V(K)$ , 表面积为 $S(K)$ 的域. 则

$\begin{eqnarray} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\geq 0, \end{eqnarray}$

(1.3)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

几何量

$\begin{equation} \Delta_n(K) = S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1} \end{equation}$

(1.4)

被称为关于 $K$ 的等周亏格, 该几何量刻画了域 $K$ 与半径为 $\big(\frac{S(K)}{n\omega_n}\big)^{\frac{1}{n-1}}$ 的球的差别程度.

考虑等周不等式的如下加强形式

$\begin{equation} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\ge B_K, \end{equation}$

(1.5)

其中 $B_K$ 为非负几何不变量, $B_K$ 为零当且仅当 $K$ 为球, 该不等式被称为Bonnesen -型不等式.于1920年, Bonnesen^[4] 证明了一系列如下形式的不等式

$\begin{equation} % L^2-4\pi A \ge B_K, \end{equation}$

(1.6)

其中 $K$ 为欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^2$ 上的域.

在欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^2$ 上, 近来有大量的平面几何不变量 $B_K$ 被发现, 但是对于高维情形 $(n\ge3)$ 的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量 $B_K$ , 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56].

设 ${\cal F}^n$ 是 ${{\Bbb R}} ^n$ 中具有正连续高斯曲率边界的凸体所构成的集合, 即 ${{\Bbb R}} ^n$ 中卵形域所构成的集合.设 $K\in{\cal F}^n$ , 则关于 $K$ 的微分仿射表面积^[25] 定义为

$\begin{eqnarray} \Omega(K) = \int_{S^{n-1}}g_K(u)^{\frac{-n}{n+1}}{\rm d}u, \end{eqnarray}$

(1.7)

其中 $g_K(u)$ 是边界 $\partial K$ 上外法向量为 $u$ 的点处的高斯曲率.

微分仿射表面积 $\Omega(K)$ 是保体积仿射变换下的几何不变量, 它是仿射微分几何中十分重要的概念.在仿射微分几何中, 以下的微分仿射等周不等式^[37]是一个十分经典的结果:设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{equation} \Omega(K)^{n+1}\le n^{n+1}\omega_n^2V(K)^{n-1}, \end{equation}$

(1.8)

等号成立当且仅当 $K$ 为椭球.

微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体 $K\in{\cal F}^n$ 中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于 $2, 3$ 维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到 $n$ 维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积, $L_p$ 仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57].

设 $K\in{\cal F}^n$ . 由高斯曲率 $g_K(\cdot)$ 的正 $n+1$ 阶齐次性, 即

$\begin{equation} g_K(\lambda u) = \lambda^{n+1}g_K(u), \quad \lambda > 0. \end{equation}$

(1.9)

我们可定义如下星体 $K^{\star}$ :

$\begin{equation} \rho_{K^{\star}}(u) = g_K(u)^{\frac{-1}{n+1}}. \end{equation}$

(1.10)

从而

$nV(K^{\star}) = \Omega(K).$

由于仿射等周不等式(1.8) 可被改写为

$\begin{equation} V(K^{\star})\le V(E^\star), \end{equation}$

(1.11)

其中 $E$ 是体积为 $V(E) = V(K)$ 的椭球.

因此, 仿射等周不等式(1.11) 说明了在所有给定体积的凸体 $K\in{\cal F}^n$ 中, 椭球的星体 $E^\star$ 具有最大的体积. 受此观点的启发, 自然有以下等周问题:设 $K\in{\cal F}^n$ , $B$ 是表面积为 $S(B) = S(K)$ 的球. 是否存在一类与 $K$ 高斯曲率有关的体 $\widetilde{K}$ 使得

$\begin{eqnarray} V(\widetilde{K})\ge V(\widetilde{B})\quad \mbox{或} \quad V(\widetilde{K})\le V(\widetilde{B}), \end{eqnarray}$

(1.12)

等号成立当且仅当 $K$ 为球?

在本文中, 我们将介绍一类与原凸体 $K$ 高斯曲率相关的星体 ${\cal G}K$ (参见定义 ), 并得到关于 ${\cal G}K$ 的等周不等式

$\begin{eqnarray} V({\cal G}K)\ge V({\cal G}B), \end{eqnarray}$

(1.13)

其中 $B$ 是体积为 $S(B) = S(K)$ 的球.基于所得的等周不等式, 在第5节中, 我们将建立关于凸体 $K$ 的逆Bonnesen -型不等式.

2 预备知识

本章节将介绍欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中凸体理论方面的概念与性质. 更多凸体方面的相关知识可参见文献[10, 45].

若对于任意两点 $x, \ y\in K$ , 两点的连线 $[x, y]$ 仍然包含在 $K$ 中, 即

$\lambda x+(1-\lambda)y\in K, \quad 0\le \lambda \le 1,$

则称 $K$ 是凸的.含非空内点的凸集称为凸体. ${\cal K}^n$ 表示 ${{\Bbb R}} ^n$ 中所有凸体所构成的集合, ${\cal K}_0^n$ 表示 ${{\Bbb R}} ^n$ 中包含原点的凸体所构成的集合.关于凸体 $K\in {\cal K}^n$ 的支持函数 $h_K: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$ 定义为

$h_K(x) = \max\{x\cdot y: y\in K\}.$

支持函数是具有 $1$ 阶齐次性的凸函数. 特别地, 若 $K\in {\cal K}_0^n$ , $x$ 取为单位向量 $u\in S^{n-1}$ , 支持函数 $h_K(u)$ 即是支撑超平面到原点的距离.

设 $K, L\in {\cal K}^n$ , $t\in{{\Bbb R}}$ , 则两凸体 $K$ 与 $L$ 的Minkowski加法定义为

$K+L = \{x+y: x\in K, y\in L\},$

$K$ 的数乘定义为

$t K = \{t x: x\in K\}.$

若存在 $t>0$ 与 $x\in {{\Bbb R}} ^n$ 使得 $K = x+tL$ , 则称 $K$ 与 $L$ 位似.

$K$ 的体积为

$\begin{eqnarray} V(K) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}h_K(u){\rm d}S(K, u), \end{eqnarray}$

(2.1)

其中 $S(K, u)$ 为 $K$ 的表面积测度. 关于 $K_1, \cdots, K_n$ 的混合体积为

$\begin{eqnarray} V(K_1, \cdots, K_n) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}h_{K_n}(u){\rm d}S(K_1, \cdots, K_{n-1};u), \end{eqnarray}$

(2.2)

其中 $S(K_1, \cdots, K_{n-1};u)$ 是一个正Borel测度, 称为是 $K_1, \cdots, K_{n-1}$ 的混合表面积测度.

对于凸体 $K$ 与 $L$ ,

$V_i(K, L) = V(\underbrace{K, \cdots, K}_{n-i}, \underbrace{L, \cdots, L}_i)$

表示 $K$ 与 $L$ 的混合体积, 其中 $K$ 出现 $n-i$ 次, $L$ 出现 $i$ 次. 从而有以下Minkowski不等式

$\begin{equation} V_1(K, L)^n\ge V(K)^{n-1}V(L), \end{equation}$

(2.3)

等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 位似.

对于欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的集合 $K$ , 若所有通过 $x\in K$ 的直线与 $K$ 相交成一个线段, 则称 $K$ 是关于点 $x\in K$ 的星集. 设 $K$ 是关于原点的紧星集, 其径向函数定义为

$\rho_K(x) = \max\{\lambda\geq0: \lambda\cdot x\in K\}.$

径向函数具有 $-1$ 阶齐次性, 即

$\begin{eqnarray} \rho_K(tx) = t^{-1}\rho_K(x), \quad t>0. \end{eqnarray}$

(2.4)

设 $GL(n)$ 为 ${{\Bbb R}} ^n$ 中所有可逆线性变换所构成的集合, 对于 $\phi\in GL(n)$ ,

$\begin{eqnarray} \rho_{\phi K}(x) = \rho_K(\phi^{-1}x), \end{eqnarray}$

(2.5)

其中 $\phi^{-1}$ 表示 $\phi$ 的逆. 取 $u\in S^{n-1}$ , 径向函数 $\rho_K(u)$ 是边界点 $\rho_K(u)u$ 到原点的距离.若径向函数关于 $u$ 是连续的, 则称 $K$ 为星体.本文采用 ${\cal S}_0^n$ 表示欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中关于原点的星体所构成的集合.若 $K, \ L \in {\cal S}_0^n$ , 则有

$\begin{equation} \rho_K\le \rho_L \ \mbox{当且仅当} \ K \subset L. \end{equation}$

(2.6)

$K\in {\cal S}_0^n$ 的体积是

$\begin{equation} V(K) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^n{\rm d}u. \end{equation}$

(2.7)

设 $K$ 为欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的子集. 其极体 $K^\ast$ 定义为

$\begin{equation} K^\ast = \{x\in{{\Bbb R}} ^n: x\cdot y\le 1, \; y\in K\}. \end{equation}$

(2.8)

根据极体的定义, 对于 $t>0$ , 有

$\begin{equation} (tK)^\ast = \frac{1}{t}K^\ast. \end{equation}$

(2.9)

若 $K$ 是包含原点在内点的凸体, 则

$\begin{equation} \rho_{K^\ast}(u) = \frac{1}{h_K(u)}. \end{equation}$

(2.10)

设 $SL(n) = \{\phi: \phi\in GL(n)\ \mbox{且}\ \det \phi = \pm 1\}$ , 若 $\phi\in SL(n)$ , 有

$\begin{equation} (\phi K)^\ast = \phi^{-t}K^\ast. \end{equation}$

(2.11)

若 $K\in {\cal F}^n$ , 其中 ${\cal F}^n$ 表示具有正连续高斯曲率边界的凸体所构成的集合.设 $\nu:\partial K\rightarrow S^{n-1}$ 为高斯映射, 记 $u = \nu(x)$ .则边界 $\partial K$ 上点 $x$ 处的面积微元与边界 $S^{n-1}$ 上 $\nu(x)$ 的面积微元有以下关系

$\begin{equation} g_K(u){\rm d}S(x) = {\rm d}u, \end{equation}$

(2.12)

其中 $g_K(u)$ 是 $\partial K$ 上点 $x$ 的高斯曲率.

设 $\phi\in SL(n)$ , 高斯曲率 $g_K(u)$ 有如下结果^[26]:

$\begin{equation} g_{\phi K}(u) = g_{K}(\phi^t u), \end{equation}$

(2.13)

其中 $\phi^t$ 表示 $\phi$ 的转置.

设 $K$ 是欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中具有 $C^2$ 边界 $\partial K$ 的凸体. 对于 $x\in \partial K$ , 设 $T_x\partial K$ 是点 $x$ 处的切空间.取 $x$ 处的正交标架 $\{e_1, \cdots, e_n\}$ 使得 $\{e_1, \cdots, e_{n-1}\}$ 是切空间 $T_x\partial K$ 的基, $e_n$ 正交于 $T_x\partial K$ . 从而关于超曲面的基本方程^[52] 是

$\begin{eqnarray} {\rm d}x& = &\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\omega_ie_i, \end{eqnarray}$

(2.14)

$\begin{eqnarray} {\rm d}e_i& = &\sum\limits_{j = 1}^{n-1}\omega_{ij}e_j+\omega_{in}e_n, \quad \omega_{ij}+\omega_{ji} = 0, \end{eqnarray}$

(2.15)

$\begin{eqnarray} {\rm d}e_n& = &-\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\omega_{in}e_i, \end{eqnarray}$

(2.16)

其中

$\omega_{in} = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}b_{ij}\omega_j, \quad b_{ij} = b_{ji}.$

矩阵 $(b_{ij})$ 的特征值即是超曲面 $\partial K$ 的主曲率 $\kappa_1, \cdots, \kappa_{n-1}$ .

超曲面 $\partial K$ 的支持函数定义为

$h_{\partial K}(x) = h_K(\nu(x)) = x\cdot \nu(x), \quad x\in \partial K.$

微分 ${\rm d}h$ 为

${\rm d}h_{\partial K} = \sum\limits_{i = 1}^{n-1}h_i\omega_{in},$

其中 $h_i = x\cdot e_i$ . 则

${\rm d}h_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_j\omega_{ij}+\omega_i-h\omega_{in}.$

设 $(c_{ij})$ 为 $(b_{ij})$ 的逆. 则

$\omega_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}c_{ij}\omega_{jn},$

因此

$(c_{ij}) = (h_{ij}+h\delta_{ij}),$

其中 $(h_{ij})$ 表示关于第三基本形式的Hessian矩阵, 其定义为

${\rm d}h_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_j\omega_{ij}+\sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_{ij}\omega_{jn}.$

由此, 高斯曲率满足

$\begin{equation} \frac{1}{g_K} = \det(h_{ij}+h\delta_{ij}). \end{equation}$

(2.17)

主曲率倒数的和满足

$\begin{equation} \frac{1}{\kappa_1}+\cdots+\frac{1}{\kappa_{n-1}} = \Delta h+(n-1)h, \end{equation}$

(2.18)

上式被称为是Minkowski恒等式, 其中 $\Delta$ 是关于第三基本形式的Laplacian算子.

3 高斯曲率星体

设 $K\in{\cal F}^n$ , $g_K(u)$ 是边界上 $\partial K$ 外法向量为 $u$ 的点 $p\in \partial K$ 的高斯曲率.定义函数 $f: \ \partial K \rightarrow {{\Bbb R}} ^n$

$f(p) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1} u,$

其中 $u$ 是 $\partial K$ 在 $p$ 处的外法向量.

设 $K\in{\cal F}^n$ , 高斯曲率星体 ${\cal G} K$ 定义如下:

定义3.1 设 $K\in {\cal F}^n$ .关于 $K$ 的高斯曲率星体是

$\begin{equation} {\cal G} K = \{\lambda x\in {{\Bbb R}} ^n: \, 0\le \lambda\le 1, \ x\in f(\partial K)\}, \end{equation}$

(3.1)

其中 $f(\partial K)$ 表示 $\partial K$ 在映射 $f$ 下的像.

高斯曲率星体 ${\cal G} K$ 与星体 $K^\star$ 具有以下性质:

引理3.1 设 $K\in {\cal F}^n$ , ${\cal G} K$ 为关于 $K$ 的高斯曲率星体及 $K^{\star}$ 表示由(1.10)式所定义的星体. 则

(1) ${\cal G} K$ 的径向函数为

$\rho_{{\cal G} K}(x) = g_K(x)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(x)^{\frac{-2}{n-1}},$

其中 $B_n$ 表示 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的单位球. 特别地, 对于 $u\in S^{n-1}$ ,

$\rho_{{\cal G} K}(u) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1};$

(2) $K$ 为球当且仅当 ${\cal G} K$ 为球 $;$

(3) 设 $t>0$ , $x\in {{\Bbb R}} ^n$ , 则 $(x+tK)^\star = t^{\frac{n-1}{n+1}}K^{\star}$ 及 ${\cal G} (x+tK) = t{\cal G} K.$

证 (1) 根据 ${\cal G} K$ 的定义, 有

$\rho_{{\cal G} K}(u) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1}.$

设 $x\in{{\Bbb R}} ^n\backslash\{0\}$ , 存在 $\lambda>0$ 与 $u\in S^{n-1}$ 使得 $x = \lambda u$ .由径向函数的 $-1$ 阶齐次性及(1.9) 式, 有

$\begin{eqnarray*} \rho_{{\cal G} K}(x)& = &\rho_{{\cal G} K}(\lambda u) = \lambda^{-1}g_K(u)^{\frac{-1}{n-1}} = \lambda^{-1}g_K(u)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(u)^{\frac{-2}{n-1}}\\& = &g_K(\lambda u)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(\lambda u)^{\frac{-2}{n-1}} = g_K(x)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(x)^{\frac{-2}{n-1}}. \end{eqnarray*}$

(2) 设 $K = tB_n$ 且 $t>0$ , 则 $tB_n$ 的高斯曲率为 $g_{tB_n}(u) = \frac{1}{t^{n-1}}$ , 因此 $\rho_{{\cal G} tB_n}(u) = t$ , 从而 ${\cal G} K = tB_n$ . 反过来, 若 ${\cal G} K = tB_n$ , 则 $\rho_{{\cal G}K}(u) = t = g_K^{\frac{-1}{n-1}},$ 故 $K = tB_n$ .

(3) 由曲率的平移不变性可知 ${\cal G} K$ 与 $K^{\star}$ 具有平移不变性, 即

${\cal G} (x+K) = {\cal G} K, \quad (x+K)^\star = K^{\star}.$

由于

$\begin{equation} g_{t K}(u)^{-1} = \frac{{\rm d}S(t K, u)}{{\rm d}u} = t^{n-1}g_K(u)^{-1}, \end{equation}$

(3.2)

从而 $(tK)^\star = t^{\frac{n-1}{n+1}}K^{\star}$ 及 ${\cal G} (tK) = t{\cal G} K$ .

设 $GL(n)$ 表示一般线性变换群. 则有以下结果:

引理3.2 设 $K\in {\cal F}^n$ , $\phi\in GL(n)$ , 则

$\begin{eqnarray} (\phi K)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (K^{\star}). \end{eqnarray}$

(3.3)

证设 $\phi\in GL(n)$ , 则存在 $\psi\in SL(n)$ 与 $t\in{{\Bbb R}}$ 使得 $\phi = t\psi$ . 则

$t = |\det\phi|^{\frac{1}{n}}.$

由(3.2), (2.13) 与(2.5) 式, 得

$\begin{eqnarray*} \rho_{(\phi K)^\star}(u)& = &\rho_{(t\psi K)^\star}(u) = t^{\frac{n-1}{n+1}}g_{\psi K}(u)^{\frac{-1}{n+1}} = t^{\frac{n-1}{n+1}}g_{K}(\psi^t u)^{\frac{-1}{n+1}}\\& = &t^{\frac{n-1}{n+1}}\rho_{K^{\star}}(\psi^t u) = t^{\frac{n-1}{n+1}}\rho_{\psi^{-t} K^{\star}}(u) = t^{\frac{2n}{n+1}}\rho_{\phi^{-t} K^{\star}}(u)\\& = &|\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\rho_{\phi^{-t} K^{\star}}(u). \end{eqnarray*}$

因此, (3.3) 式成立.

若 $E$ 是 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的椭球, 则 $E^\star$ 仍是 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的椭球.

引理3.3 设 $E$ 为欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中中心在原点的椭球, 则

$\begin{equation} E^\star = \bigg(\frac{V(E)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{2}{n+1}}E^\ast. \end{equation}$

(3.4)

特别地, 若 $V(E) = \omega_n$ , 则

$\begin{equation} E^\star = E^\ast. \end{equation}$

(3.5)

证设 $E$ 为中心在原点的椭球, 则存在 $\phi\in GL(n)$ 使得 $E = \phi B_n$ . 故

$V(E) = |\det\phi|\omega_n.$

由(3.3) 与(2.11)式, 有

$\begin{eqnarray*} E^\star& = &(\phi B_n)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (B_n)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (B_n)\\& = &|\det\phi|^{\frac{2}{n+1}} (\phi B_n)^\ast = \bigg(\frac{V(E)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{2}{n+1}}E^\ast. \end{eqnarray*}$

引理3.3得证.

设 $B_K$ 表示体积为 $V(B_K) = V(K)$ 的球, 则仿射等周不等式(1.8) 可改写为

$\begin{eqnarray} V(K^\star)\le V(B_K^\star). \end{eqnarray}$

(3.6)

设 $E$ 表示体积为 $V(E) = V(B_K)$ 的椭球, 则 $V(E^\ast) = V(B_K^\ast)$ , 再根据引理3.3, 有

$\begin{eqnarray*} V(B_K^\star) = \left(\frac{V(B_K)}{\omega_n}\right)^{\frac{2n}{n+1}}V(B_K^\ast) = \left(\frac{V(E)}{\omega_n}\right)^{\frac{2n}{n+1}}V(E^\ast) = V(E^\star). \end{eqnarray*}$

因此仿射等周不等式(1.8) 可被改写为:设 $K\in{\cal F}^n$ , $K^{\star}$ 表示径向函数为 $\rho_{K^{\star}}(u) = g_K(u)^{\frac{-1}{n+1}}$ 的星体, 则

$\begin{equation} V(K^\star)\le V(E^\star), \end{equation}$

(3.7)

等号成立当且仅当 $K$ 为椭球.

4 关于 ${\cal G}K$ 的等周不等式

定理4.1 设 $K\in{\cal F}^n$ , $B$ 是表面积为 $S(B) = S(K)$ 的球. 则

$\begin{eqnarray} V({\cal G} K)\ge V({\cal G}B), \end{eqnarray}$

(4.1)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证由星体 ${\cal G} K$ 径向函数的定义, (2.7) 与(2.12) 式, 有

$\begin{eqnarray*} V({\cal G} K)\nonumber & = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u)^n{\rm d}u\\\nonumber& = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u)\rho_{{\cal G} K}(u)^{n-1}{\rm d}u\\& = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u) \label{V(lambdak)}. \end{eqnarray*}$

由Hölder不等式, 有

$\begin{eqnarray*} &&(n\omega_n)^\frac{1}{n}\bigg(\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u) \bigg)^\frac{n-1}{n}\\&& = \bigg(\int_{S^{n-1}}g_K(u){\rm d}S(K, u)\bigg)^\frac{1}{n}\bigg(\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u)\bigg)^\frac{{n-1}}{n}\\&&\geq \int_{S^{n-1}}g_K(u)^{\frac{1}{n}}\rho_{{\cal G} K}(u)^{\frac{n-1}{n}}{\rm d}S(K, u) \\&& = S(K), \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{equation} n^n\omega_nV({\cal G} K)^{n-1} \geqS(K)^n. \end{equation}$

(4.2)

根据Hölder不等式等号成立的条件, 我们有 $\partial K$ 的高斯曲率为常数, 故等号成立当且仅当 $K$ 为球.

对于半径为 $r$ 的球, 其体积为 $V(rB_n) = \omega_nr^n$ , 则式(4.2) 可被改写为

$\begin{eqnarray} V({\cal G} K)\geq V(rB_n), \quad r = \left(\frac{S(K)}{n\omega_n}\right)^{\frac{1}{n-1}}. \end{eqnarray}$

(4.3)

由引理3.1中的(2) 与(3), 有

$V(r B_n) = V(r{\cal G}B_n) = V({\cal G}(rB_n)).$

$K$ 与 $rB_n$ 表面积为

$S(rB_n) = n\omega_nr^{n-1} = S(K),$

即 $K$ 与 $rB_n$ 具有共同的表面积.

等周不等式(4.1) 描述了表面积相等的凸体 $K\in{\cal F}^n$ 中, ${\cal G}B$ 具有最小的体积.再根据经典的等周不等式(1.3), 可直接有以下结果:

推论4.1 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{equation} V({\cal G} K) \geq V(K), \end{equation}$

(4.4)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证由(4.3) 式与经典的等周不等式(1.3), 有

$\begin{eqnarray} V({\cal G} K) \geq V(rB_n)\geq V(K), \end{eqnarray}$

(4.5)

每个等号成立当且仅当 $K$ 为球.

推论4.2 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{equation} S({\cal G} K) \geq S(K), \end{equation}$

(4.6)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证由经典等周不等式(1.3) 与(4.2) 式, 有

$S({\cal G} K)^n\ge n^n\omega_nV({\cal G} K)^{n-1}\ge S(K)^n,$

每个等号成立当且仅当 $K$ 为球.

由以上推论, 若 ${\cal G} K = K$ , 直接可得:

推论4.3 设 $K\in{\cal F}^n$ . 若 ${\cal G} K = K$ , 则 $K$ 为球.

设 $K\in{\cal F}^n$ , $E$ 为椭球, 且 $K\subset E$ , Winternitz^[3]证明了 $\Omega(K)\le\Omega(E)$ .由定理4.1, 我们可得高斯曲率星体 ${\cal G} K$ 的单调性.

定理4.2 设 $K\in{\cal F}^n$ . 若 $B\subset K$ , 则

$\begin{eqnarray} V({\cal G} B)\le V({\cal G} K), \end{eqnarray}$

(4.7)

等号成立当且仅当 $K = B$ .

证首先注意到 $S(B)\le S(K)$ .设球 $B^\prime$ 的表面积为 $S(B^\prime) = S(K)$ , 若 $S(K)<S(B)$ , 由等周不等式(1.3), 有

$V(K)\le V(B^\prime)<V(B).$

这与包含关系 $B\subset K$ 矛盾. 因此 $S(B)\le S(K)$ .根据定理4.1, 有

$V(rB_n)\le V({\cal G} K).$

因为 $S(B)\le S(K) = S(rB_n)$ , 有

$V({\cal G} B) = V(B)\le V(rB_n)\le V({\cal G} K).$

第一个不等式等号成立当且仅当 $B = rB_n$ .第二个不等式等号成立当且仅当 $K$ 为球. 因此(4.7) 式成立当且仅当 $K = B$ .

定理4.3 设 $K_i\in {\cal F}^n$ , 若对于 $u\in S^{n-1}$ , 有

$\begin{equation} {\rm d}S(K_1, u)\leq {\rm d}S(K_2, u), \end{equation}$

(4.8)

则

$\begin{equation} V({\cal G} K_1)\le V({\cal G} K_2), \end{equation}$

(4.9)

等号成立当且仅当 $K_1$ 与 $K_2$ 互为平移.

证由不等式(4.8) 与(2.12), 有

$\frac{1}{g_{K_1}}\le\frac{1}{g_{K_2}},$

由(2.6) 式, 有

${\cal G} K_1\subset {\cal G} K_2.$

故有(4.9) 式成立.

若不等式(4.9) 等号成立, 则对于 $u\in S^{n-1}$ , 有

$\begin{eqnarray} {\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot). \end{eqnarray}$

(4.10)

若结论不成立, 由高斯曲率的连续性, 对于一些 $u\in S^{n-1}$ , 有

$\frac{1}{g_{K_1}}<\frac{1}{g_{K_2}}.$

因此 ${\cal G} K_1$ 与 ${\cal G} K_2$ 的必定是严格包含关系, 故 $V({\cal G}K_1)<V({\cal G} K_2)$ , 这与 $V({\cal G}K_1) = V({\cal G} K_2)$ 矛盾. 若 ${\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot)$ , 由Minkowski不等式(2.3), (2.2) 与 ${\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot)$ , 有

$\begin{eqnarray*} V(K_1)^{n-1}\le \frac{V_1(K_1, K_2)^n}{V(K_2)} = V(K_2)^{n-1}\le \frac{V_1(K_2, K_1)^n}{V(K_1)} = V(K_1)^{n-1}. \end{eqnarray*}$

根据Minkowski不等式等号成立条件与 $V(K_1) = V(K_2)$ , 有 $K_1$ 与 $K_2$ 互为平移.

5 ${{\Bbb R}} ^n$ 中逆Bonnesen -型不等式

等周不等式(1.3) 可被改写为

$\begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^n\ge\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^{n-1}, \quad t>0. \end{eqnarray}$

(5.1)

从而有如下形式的Bonnesen -型不等式

$\begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^n-\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^{n-1}\ge B_K^\prime, \end{eqnarray}$

(5.2)

或

$\begin{equation} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^\frac{1}{n-1}-\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^\frac{{1}}{n}\ge B_K^{\prime\prime}. \end{equation}$

(5.3)

张高勇^{[50, 53]}得到以下情形的Bonnesen -型不等式.

命题5.1 设 $K$ 为欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的凸体. 则

$S(K)^{\frac{n}{n-1}}-(n^n\omega_n)^\frac{1}{n-1}V(K)\ge(n\omega_n)^{\frac{n}{n-1}}\bigg[\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}}-r\bigg]^n,$

$M(K)^{\frac{n}{n-1}}-\bigg(\frac{2^nV(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}\ge\bigg(\frac{2V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{n}{n-1}}\bigg[\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{-\frac{1}{n}}-R^{-1}\bigg]^n,$

其中 $r$ 与 $R$ 分别表示 $K$ 的最大内切圆半径与最小外切圆半径, $M(K)$ 为 $K$ 的平均宽度.

本节考虑以下逆Bonnesen -型不等式:

$\begin{equation} \Delta_n(K)\le U_K, \end{equation}$

(5.4)

其中 $U_K$ 是关于 $K$ 的几何不变量, 等号成立当且仅当 $K$ 为球.

设 $K$ 是平面上面积为 $A$ , 周长为 $L$ 的卵形域, $\rho$ 为 $\partial K$ 的曲率半径. 设 $\rho_m$ 与 $\rho_M$ 分别为 $\rho$ 的最小值与最大值. Bottema^[6]证明了以下逆Bonnesen -型不等式:

$\begin{eqnarray} L^2-4\pi A\le\pi^2(\rho_M-\rho_m)^2, \end{eqnarray}$

(5.5)

等号成立当且仅当 $K$ 为圆盘.

对于平面上的卵形域, 周家足、张高勇、潘生亮、Bottema、Pleijel、Howard等数学家建立了平面上的逆Bonnesen -型不等式, 参见文献[6, 11, 16, 34, 38, 48, 55-56].

对于欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^n$ 中的域, 由定理4.1, 我们得到以下逆Bonnesen -型等周不等式.

定理5.1 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \le\frac{n(V({\cal G}K)-V(K))}{S(K)}, \end{eqnarray}$

(5.6)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证经典的等周不等式等价于

$\begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}\geq\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \geq\frac{nV(K)}{S(K)}. \end{eqnarray}$

(5.7)

根据定理4.1, 有

$\begin{eqnarray} \frac{nV({\cal G}K)}{S(K)}\ge\bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}. \end{eqnarray}$

(5.8)

由不等式(5.7) 与(5.8), 有

$\begin{eqnarray*} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \le\frac{nV({\cal G}K)}{S(K)}-\frac{nV(K)}{S(K)}. \end{eqnarray*}$

由不等式(5.7) 与(5.8) 等号成立条件, 有(5.6) 式等号成立当且仅当 $K$ 为球.

以下引理将给出 $\Delta h_K(u)$ 在 $K$ 边界上积分的一个下界估计.

引理5.1 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{eqnarray} \int_{S^{n-1}}\Delta h_K(u){\rm d}S(K, u)\ge n(n-1)(V({\cal G} K)-V(K)), \end{eqnarray}$

(5.9)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证由Minkowski恒等式(2.18), 算术几何平均不等式, (2.12) 与(2.7) 式, 有

$\begin{eqnarray*} \int_{S^{n-1}} (\Delta h_K(u) +(n-1)h_K(u)) {\rm d}S(K, u)& = &\int_{S^{n-1}}\frac{1}{\kappa_1}+\cdots+\frac{1}{\kappa_{n-1}}{\rm d}S(K, u)\\&\geq& (n-1)\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G} K}(u){\rm d}S(K, u)\\& = &(n-1)\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G} K}^n(u){\rm d}u \\& = &n(n-1)V({\cal G} K). \end{eqnarray*}$

再由(2.1) 式, 有

$\begin{eqnarray} \int_{S^{n-1}} \Delta h_K(u){\rm d}S(K, u)+n(n-1)V(K)\geq n(n-1)V({\cal G}K), \end{eqnarray}$

(5.10)

等号成立当且仅当算术几何平均不等式等号成立, 即 $\frac{1}{\kappa_1} = \cdots = \frac{1}{\kappa_{n-1}}$ . 因此 $K$ 为球.

由引理5.1, 我们有以下逆Bonnesen -型不等式.

推论5.1 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}}\le\frac{1}{(n-1)S(K)}\int_{S^{n-1}}\Delta h_K(u){\rm d}S(K, u), \end{eqnarray}$

(5.11)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

由微分仿射等周不等式, 将给出以下逆Bonnesen -型不等式.

定理5.2 设 $K\in{\cal F}^n$ , 则

$\begin{eqnarray} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\len^n\left(\omega_n V({\cal G}K)^{n-1}-\frac{V(K^{\star})^{n+1}}{\omega_n}\right), \end{eqnarray}$

(5.12)

等号成立当且仅当 $K$ 为球.

证关于高斯曲率星体的等周不等式(4.1) 可改写为

$S(K)^n \le n^n\omega_n V({\cal G}K)^{n-1},$

再由仿射等周不等式

$\omega_n^2V(K)^{n-1}\ge V(K^{\star})^{n+1},$

可直接得不等式(5.12).

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从积分几何的观点看几何不等式

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URL [本文引用: 2]

Zhou

J Z

, Ren

D L

Geometric inequalities: From integral geometry point of view

Acta Math Sci, 2010, 30 (5): 1322- 1339

URL [本文引用: 2]

[57]

Zhu

, Li

, Zhou

Isoperimetric inequalities for L_p geominimal surface area

Glasgow Math J, 2011, 53 (3): 717- 726

DOI:10.1017/S0017089511000292 [本文引用: 1]

Problemes isopérimétriques et espaces de Sobolev

1976

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

A generalization of the isoperimetric inequality

1971

1923

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

... 仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

... 设

$K\in{\cal F}^n$

$E$

为椭球, 且

$K\subset E$

, Winternitz^[3]证明了

$\Omega(K)\le\Omega(E)$

.由定理4.1, 我们可得高斯曲率星体

${\cal G} K$

的单调性. ...

über eine Versch?rfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfl?che nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe K?rper

1921

... 其中

$B_K$

为非负几何不变量,

$B_K$

为零当且仅当

$K$

为球, 该不等式被称为Bonnesen -型不等式.于1920年, Bonnesen^[4] 证明了一系列如下形式的不等式 ...

The log-Brunn-Minkowski inequality

2012

Eine obere Grenze für das isoperimetrische Defizit ebener Kurven

1933

... 设

$K$

是平面上面积为

$A$

, 周长为

$L$

的卵形域,

$\rho$

为

$\partial K$

的曲率半径. 设

$\rho_m$

与

$\rho_M$

分别为

$\rho$

的最小值与最大值. Bottema^[6]证明了以下逆Bonnesen -型不等式: ...

... 对于平面上的卵形域, 周家足、张高勇、潘生亮、Bottema、Pleijel、Howard等数学家建立了平面上的逆Bonnesen -型不等式, 参见文献[6, 11, 16, 34, 38, 48, 55-56]. ...

2013

The perimeter inequality under Steiner symmetrization: cases of equality

2005

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

The sharp quantitative isoperimetric inequality

2008

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

1995

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

... 本章节将介绍欧氏空间

${{\Bbb R}} ^n$

中凸体理论方面的概念与性质. 更多凸体方面的相关知识可参见文献[10, 45]. ...

Steiner polynomials, Wulff flows, and some new isoperimetric inequalities for convex plane curves

1999

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

General L_p affine isoperimetric inequalities

2009

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Die isoperimetrische Ungleichung im Raum

1948

2013

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

1952

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

The sharp Sobolev inequality and the Banchoff-Pohl inequality on surfaces

1998

Isoperimetic inequalities for two-dimensional Riemannian manifolds with boundary

1961

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

Curvature relations and affine surface area for a general convex body and its polar

1996

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Bonnesen-type inequalities for surfaces of constant curvature

2007

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

1997

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

1998

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Dual mixed volumes

1975

On the Blaschke-Santaló inequality

1985

On some affine isoperimetric inequalities

1986

Mixed affine surface area

1987

... 受Lutwak与Petty工作[25-26, 37]的启发，该文构造了关于给定凸体

$K$ 的一类新型星体

${\cal G}K$

，建立了关于

${\cal G}K$

的等周不等式，并由此给出关于凸体K的逆Bonnesen-型等周不等式. ...

... Motivated by works of Lutwak and Petty[25-26, 37], a new star body

${\cal G}K$

associated with a given convex body

$K$ is constructed. The isoperimetric inequality for

${\cal G}K$

and the reverse Bonnesen-style inequalities for K are established. ...

... 设

${\cal F}^n$

是

${{\Bbb R}} ^n$

中具有正连续高斯曲率边界的凸体所构成的集合, 即

${{\Bbb R}} ^n$

中卵形域所构成的集合.设

$K\in{\cal F}^n$

, 则关于

$K$

的微分仿射表面积^[25] 定义为 ...

Extended affine surface area

1991

... 受Lutwak与Petty工作[25-26, 37]的启发，该文构造了关于给定凸体

$K$ 的一类新型星体

${\cal G}K$

，建立了关于

${\cal G}K$

的等周不等式，并由此给出关于凸体K的逆Bonnesen-型等周不等式. ...

... Motivated by works of Lutwak and Petty[25-26, 37], a new star body

${\cal G}K$

associated with a given convex body

$K$ is constructed. The isoperimetric inequality for

${\cal G}K$

and the reverse Bonnesen-style inequalities for K are established. ...

... 设

$\phi\in SL(n)$

, 高斯曲率

$g_K(u)$

有如下结果^[26]: ...

The Brunn-Minkowski-Firey theory I. Mixed volumes and the Minkowski problem

1993

The Brunn-Minkowski-Firey theory II: Affine and geominimal surface areas

1996

L_p affine isoperimetric inequalities

2000

Sharp affine L_p Sobolev inequalities

2002

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Compact hypersurfaces: the Alexandrov theorem for higher order mean curvature

1991

The isoperimetric inequality

1978

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

Bonnesen-style isoperimetric inequalities

1979

Stability of a reverse isoperimetric inequality

2009

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Geominimal surface area

1974

Affine isoperimetric problems

1985

... 受Lutwak与Petty工作[25-26, 37]的启发，该文构造了关于给定凸体

$K$ 的一类新型星体

${\cal G}K$

，建立了关于

${\cal G}K$

的等周不等式，并由此给出关于凸体K的逆Bonnesen-型等周不等式. ...

... Motivated by works of Lutwak and Petty[25-26, 37], a new star body

${\cal G}K$

associated with a given convex body

$K$ is constructed. The isoperimetric inequality for

${\cal G}K$

and the reverse Bonnesen-style inequalities for K are established. ...

... 微分仿射表面积

$\Omega(K)$

是保体积仿射变换下的几何不变量, 它是仿射微分几何中十分重要的概念.在仿射微分几何中, 以下的微分仿射等周不等式^[37]是一个十分经典的结果:设

$K\in{\cal F}^n$

, 则 ...

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

... -37, 46-47, 49, 57]. ...

On konvexa kurvor

1955

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

1994

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

Un invariante afin para los cuerpos convexos del espacio de n dimensiones

1949

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

Integral formulas in Crofton's style on the sphere and some inequalities referring to spherical curves

1942

2004

Integral geometry on surfaces of constant negative curvature

1943

über die isoperimetrische Aufgabe imn-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung

1939

... 于1939年, Schmidt^[44] 证明了以下高维情形的等周不等式:设

$K$

是欧氏空间

${{\Bbb R}} ^n$

中体积为

$V(K)$

, 表面积为

$S(K)$

的域. 则 ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

2014

... 本章节将介绍欧氏空间

${{\Bbb R}} ^n$

中凸体理论方面的概念与性质. 更多凸体方面的相关知识可参见文献[10, 45]. ...

1962

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

New L_p affine isperimetric inequalities

2008

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

On Bonnesen-type inequalities for a surface of constant curvature

2015

Inequalities for general mixed affine surface areas

2012

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

... 张高勇^{[50, 53]}得到以下情形的Bonnesen -型不等式. ...

The affine Sobolev inequality

1999

A lecture on Integral Geometry

2010

... 设

$K$

是欧氏空间

${{\Bbb R}} ^n$

中具有

$C^2$

边界

$\partial K$

的凸体. 对于

$x\in \partial K$

, 设

$T_x\partial K$

是点

$x$

处的切空间.取

$x$

处的正交标架

$\{e_1, \cdots, e_n\}$

使得

$\{e_1, \cdots, e_{n-1}\}$

是切空间

$T_x\partial K$

的基,

$e_n$

正交于

$T_x\partial K$

. 从而关于超曲面的基本方程^[52] 是 ...

... 张高勇^{[50, 53]}得到以下情形的Bonnesen -型不等式. ...

凸体与星体混合的等周不等式

2019

凸体与星体混合的等周不等式

2019

平面Bonnesen -型不等式

2007

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

平面Bonnesen -型不等式

2007

... 经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55]. ...

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

从积分几何的观点看几何不等式

2010

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

从积分几何的观点看几何不等式

2010

... 在欧氏平面

${{\Bbb R}} ^2$

上, 近来有大量的平面几何不变量

$B_K$

被发现, 但是对于高维情形

$(n\ge3)$

的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量

$B_K$

, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56]. ...

Isoperimetric inequalities for L_p geominimal surface area

2011

... 微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体

$K\in{\cal F}^n$

中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于

$2, 3$

维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到

$n$

维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积,

$L_p$

仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57]. ...

${\cal G}K$ 的等周不等式

${{\Bbb R}} ^n$ 中逆Bonnesen -型不等式

参考文献

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