设$ q>1 $, 记$ {{\mathbb R}} _{+} = (0, +\infty) $, 则有如下著名的Hardy-Littlewood-Pólya不等式

(1.1) $ \begin{equation} \left[\int_{0}^\infty \left|\int_{0}^\infty\frac{f(y)}{\max\{x, y\}}{\rm d}y\right|^q {\rm d}x\right]^{\frac{1}{q}}\leq \frac{q^2}{q-1} \left[\int_{0}^\infty |f(x)|^q{\rm d}x\right]^{\frac{1}{q}} \end{equation} $

对所有的$ f \in L^q({{\mathbb R}} _{+}) $成立, 且(1.1)式中的常数因子$ \frac{q^2}{q-1} $是最佳的^[2]. 这里$ L^q({{\mathbb R}} _{+}) $为$ {{\mathbb R}} _{+} $上的Lebesgue空间, 即

$ L^q({{\mathbb R}} _{+}) = \bigg\{f: \|f\|_q = \left[\int_{0}^\infty |f(x)|^q{\rm d}x\right]^{\frac{1}{q}}<\infty\bigg\}. $

我们可以用算子的语言来重述Hardy-Littlewood-Pólya不等式. 定义由Hardy-Littlewood-Pólya核$ \frac{1}{\max\{x, y\}} $诱导的算子$ T $如下

$ (Tf)(x): = \int_{0}^{\infty} \frac{f(y)}{\max\{x, y\}}{\rm d}y, \: f \in L^q({{\mathbb R}} _{+}), \: x\in {{\mathbb R}} _{+}. $

于是$ T $是自$ L^q({{\mathbb R}} _+) $到$ L^q({{\mathbb R}} _+) $上的有界算子且该算子的范数$ \|T\| = \frac{q^2}{q-1} $. 这里

$ \|T\|: = \sup\limits_{f(\neq 0)\in L^q({{\mathbb R}} _{+})} \frac{\|Tf\|_{q}}{\|f\|_{q}}. $

在文献[1]中, Fu等引入和研究了一个由Hardy-Littlewood-Pólya核诱导的$ p $进制积分算子, 并建立了具有最佳常数因子的$ p $进制Hardy-Littlewood-Pólya不等式. 最近, 我们在文献[4]和[5]中, 引入并研究了一类由对称$ -1 $齐次核诱导的$ p $进制积分算子, 得到了这类算子的范数表达式. 作为应用, 我们建立了一些新的$ p $进制Hardy-Littlewood-Pólya型不等式.

本文的主要目的是进一步推广文献[4]和[5]的相关结果. 我们研究了更一般的由$ -\lambda $齐次核诱导的$ p $进制积分算子. 在一定的限制条件下, 我们证明了此类算子是$ p $进制加权Lebesgue空间之间的有界算子, 同时给出了该类算子的精确范数估计. 最后我们还说明了给定的限制条件在一定意义下是必要的.

在叙述本文的主要结果前, 我们先回顾$ p $进制域与$ p $进制分析的若干定义与记号, 详见文献[6]或[7]. 设$ p $为一个素数并记$ {\mathbb Q}_p $为$ p $进制数形成的数域. 我们知道$ {\mathbb Q}_p $是有理数域在非阿基米德$ p $进制模$ |\cdot |_p $下的完备化. $ p $进制模定义为: (I) $ |0|_p = 0 $; (II)当$ x $是非零的有理数, $ x $可表示为$ x = p^{\gamma} \frac{m}{n} $, 这里$ \gamma \in {\mathbb Z} $, $ m \in {\mathbb Z} $, $ n \in {\mathbb Z} $, 且$ m $和$ n $都不被$ p $整除, 则我们定义$ |x|_p = p^{-\gamma} $.

任意$ p $进制数$ x\in {\mathbb Q}_p $都可唯一正则地表示为

(1.2) $ \begin{equation} x = p^{\gamma} \sum\limits_{j = 0}^{\infty} a_{j}p^j, \quad \gamma = \gamma(x) \in {\mathbb Z}, \end{equation} $

这里$ a_j $为整数且$ 0\leq a_j \leq p-1, a_0 \neq 0 $. 由于$ |a_j p^j|_p = p^{-j} $, 因此序列(1.2)在$ p $进制模下是收敛的. 由以上定义我们有

$ |xy|_{p} = |x|_{p} |y|_{p}, \: |x+y|_{p} \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}, $

且若$ |x|_{p}\neq |y|_{p} $, 则$ |x+y|_{p} = \max\{|x|_p, |y|_p\} $.

本文我们记$ {\mathbb Q}_p^{*} = {\mathbb Q}_p \backslash \{0\} $且用

$ B_{\gamma}(a) = \{x\in {\mathbb Q}_{p}: |x-a|_p \leq p^{\gamma}\} $

表示中心在点$ a\in {\mathbb Q}_{p} $处半径为$ p^{\gamma} $的球, 同时记

$ S_{\gamma}(a) = \{x\in {\mathbb Q}_{p}: |x-a|_p = p^{\gamma}\} = B_{\gamma}(a)\backslash B_{\gamma-1}(a). $

我们将用$ B_{\gamma} $和$ S_{\gamma} $分别简记$ B_{\gamma} (0) $和$ S_{\gamma}(0) $.

注意到$ {\mathbb Q}_p $是局部紧的Hausdorff空间, 由测度理论知$ {\mathbb Q}_p $上存在Haar测度. $ {\mathbb Q}_p $上的Haar测度是平移不变的, 且它在忽略一个常数因子的情况下是唯一的. 本文我们采用$ {\mathbb Q}_p $上规范化的的Haar测度$ {\rm d}x $, 即$ {\rm d}x $满足

$ \begin{eqnarray*} \int_{B_{0}}{\rm d}x = |B_{0}|_H = 1, \end{eqnarray*} $

这里$ |{\bf E}|_H $表示$ {\mathbb Q}_p $上可测集$ {\bf E} $的Haar测度. 于是

$ \int_{B_{\gamma}}{\rm d}x = |B_{\gamma}|_H = p^{\gamma}, \; \; \int_{S_{\gamma}}{\rm d}x = |S_{\gamma}|_H = p^{\gamma}(1-p^{-1}). $

下面我们来定义$ {\mathbb Q}_p^{*} $上的加权Lebesgue空间. 设$ q>1 $, $ \theta(x) $为$ {\mathbb Q}_p^{*} $上的非负可测函数, 我们定义$ {\mathbb Q}_p^{*} $上的加权Lebesgue空间$ L_{\theta}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $为

$L_{\theta}^q({\mathbb Q}_p^{*}): = \bigg\{f(x): ||f||_{q, \theta}: = \bigg[\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |f(x)|^q \theta(x) {\rm d} x \bigg]^{\frac{1}{q}}<\infty\bigg \}. $

设$ \lambda>0 $, 我们考虑$ {{\mathbb R}} _{+}\times {{\mathbb R}} _{+} $上非负的$ -\lambda $齐次核$ H_{\lambda}(x, y) $, 即对于任意$ x>0, y>0, t>0 $, $ H_{\lambda}(x, y) $满足$ H_{\lambda}(tx, ty) = t^{-\lambda}H_{\lambda}(x, y)\geq 0 $. 令

$ {\cal H}(x, y) = H_{\lambda}(|x|_p, |y|_p), \: (x, y) \in {\mathbb Q}_p^{*} \times {\mathbb Q}_p^{*}. $

下面我们叙述本文的主要结果.

定理1.1  设$ p $为一个素数, $ q>1 $. 设$ \lambda_1\in {{\mathbb R}} , \lambda_2\in {{\mathbb R}} $满足$ \lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda $. 我们假设

$ 0<C_p(\lambda_1, \lambda_2): = (1-p^{-1})\left[H_{\lambda}(1, 1)+\sum\limits_{\gamma = 1}^{\infty}\left[H_{\lambda}(1, p^{\gamma})p^{(1-\lambda_2)\gamma}+H_{\lambda}(p^{\gamma}, 1)p^{(1-\lambda_1)\gamma}\right]\right]<\infty. $

记$ \theta_1(x) = |x|_{p}^{q\lambda_1-1} $, $ \overline{\theta}_1(x) = |x|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} $, 定义$ p $进制积分算子$ {\bf H}^p $为

$ ({\bf H}^pf)(y): = \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x, \: f\in L_{\theta_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}), \: y\in {\mathbb Q}_p^{*}. $

则$ {\bf H}^p $是自$ L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $到$ L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $上的有界线性算子, 且$ \|{\bf H}^p\| = C_p(\lambda_1, \lambda_2). $这里

$ \|{\bf H}^p\|: = \sup\limits_{f(\neq 0)\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})} \frac{\|{\bf H}^pf\|_{q, {\overline{\theta}_1}}}{||f||_{q, {\theta}_1}}. $

定理1.2  在定理$ \rm 1.1 $的条件和记号下, 并假定对于任意$ x, y \in {{\mathbb R}} _{+} $, 有$ H_{\lambda}(x, y)>0 $. 令$ q' $是$ q $的共轭指数, 即$ \frac{1}{q}+\frac{1}{q'} = 1 $. 并记$ \theta_2(x) = |x|_{p}^{q'\lambda_2-1} $. 若$ f, g\geq 0 $, $ f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*}) $, $ g\in L_{{\theta}_2}^{q'}({\mathbb Q}_p^{*}) $, 且$ ||f||_{q, {\theta}_1}>0, ||g||_{q', {\theta}_2}>0 $. 则有如下等价不等式

(1.3) $ \begin{eqnarray} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x)g(y){\rm d}x{\rm d}y <C_p(\lambda_1, \lambda_2)||f||_{q, {\theta}_1}||g||_{q', {\theta}_2}, \end{eqnarray} $

(1.4) $ \begin{equation} \bigg[\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} \bigg(\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x){\rm d}x \bigg)^q {\rm d}y \bigg ]^{\frac{1}{q}} <C_p(\lambda_1, \lambda_2) ||f||_{q, {\theta}_1}, \end{equation} $

这里常数因子$ C_p(\lambda_1, \lambda_2) $是最佳的.

注1.1  定理$ \rm 1.2 $中, 我们假定对于任意$ x, y \in {{\mathbb R}} _{+} $核$ H_{\lambda} $取正值, 只是为了证明的方便, 这一条件并非本质的. 实际上, 正如我们将在第四节看到的, 当核$ H $不满足这一条件时, 定理$ 1.2 $仍然可以成立.

在定理1.1的记号下, 我们定义

(2.1) $ \begin{equation} W_1(\lambda_1, \lambda_2; x): = \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) \cdot \frac{|x|_{p}^{(q-1)\lambda_1}}{|y|_{p}^{\lambda_2}}\, {\rm d}y, \: x \in {\mathbb Q}_p^{*}. \end{equation} $

在定义(2.1)中, 令$ y = xt $, 则由$ {\rm d}y = |x|_p{\rm d}t $有

(2.2) $ \begin{eqnarray} W_1(\lambda_1, \lambda_2; x)& = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, xt) \cdot \frac{|x|_{p}^{(q-1)\lambda_1}}{|xt|_{p}^{\lambda_2}}\, {\rm d}t \\ & = & |x|_{p}^{q\lambda_1-1} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} H_{\lambda}(1, |t|_p) \cdot \frac{1}{|t|_{p}^{\lambda_2}}{\rm d}t \nonumber\\ & = &|x|_{p}^{q\lambda_1-1} \sum\limits_{-\infty <\gamma <\infty}\int_{S_\gamma}H_{\lambda}(1, |t|_p) \cdot \frac{1}{|t|_{p}^{\lambda_2}}\, {\rm d}t \\ & = & |x|_{p}^{q\lambda_1-1}(1-p^{-1})\sum\limits_{-\infty <\gamma <\infty} H_{\lambda}(1, p^{\gamma})\cdot {p}^{-\lambda_2\gamma} \cdot p^{\gamma} \\ & = & C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)|x|_{p}^{q\lambda_1-1}. \end{eqnarray} $

同时我们令

$ W_2(\lambda_1, \lambda_2; y): = \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}{\cal H}(x, y) \cdot \frac{|y|_{p}^{(q'-1)\lambda_2}}{|x|_{p}^{\lambda_1}}\, {\rm d}x, \: y\in {\mathbb Q}_p^{*}. $

运用以上类似的计算有

(2.3) $ \begin{equation} W_2(\lambda_1, \lambda_2;y) = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)|y|_{p}^{q'\lambda_2-1}. \end{equation} $

下面我们开始证明定理1.1. 对于$ f \in L_{\theta_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*}) $, 由Hölder不等式及(2.2)与(2.3)式, 对于$ y \in {\mathbb Q}_p^{*} $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \label{g1} \left |\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x \right | &\leq&\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \left\{[{\cal H}(x, y)]^{\frac{1}{q}} \frac{|x|_p^{\frac{\lambda_1}{q'}}} {|y|_p^{\frac{\lambda_2}{q}}}|f(x)|\right\} \left\{[ {\cal H}(x, y)]^{\frac{1}{q'}} \frac{|y|_p^{\frac{\lambda_2}{q}}} {|x|_p^{\frac{\lambda_1}{q'}}}\right\}{\rm d}x \\ &\leq &[W_2(\lambda_1, \lambda_2; y)]^{\frac{1}{q'}}\left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)\frac{|x|_p^{(q-1)\lambda_1}} {|y|_p^{\lambda_2}}|f(x)|^q \, {\rm d}x\right\}^{\frac{1}{q}} \\ & = &[C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)]^{\frac{1}{q'}} |y|_{p}^{\lambda_2-\frac{1}{q'}}\left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)\frac{|x|_p^{(q-1)\lambda_1}} {|y|_p^{\lambda_2}}|f(x)|^q \, {\rm d}x\right\}^{\frac{1}{q}}. \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray*} ||{\bf H}^pf||_{q, \overline{\theta}_1}& = &\left\{\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{q(1-\lambda_2)-1}\left |\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x \right |^q{\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\leq &[C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)]^{\frac{1}{q'}} \left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}{\cal H}(x, y) \cdot \frac{|x|_{p}^{(q-1)\lambda_1}}{|y|_{p}^{\lambda_2}}|f(x)|^q \, {\rm d}x{\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q}} \\ & = &[C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)]^{\frac{1}{q'}} \left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}W_{1}(\lambda_1, \lambda_2;x)|f(x)|^q \, {\rm d}x\right\}^{\frac{1}{q}}\\ & = &C_p(\lambda_1, \lambda_2) \|f\|_{q, \theta_1}. \end{eqnarray*} $

这就证明了$ {\bf H}^p $是自$ L_{\theta_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $到$ L_{\overline{\theta}}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $上的有界算子. 进一步地, $ ||{\bf H}^p||\leq C_{p}(\lambda_1, \lambda_2). $

接下来我们证明$ ||{\bf H}^p|| = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2). $令$ \varepsilon = p^{-N}, N\in{\mathbb N} $, 则$ |\varepsilon|_p = p^{N} $. 置

$ f_\varepsilon(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \; &\text{当} \; 0<|x|_p <1; \\ |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}, \; &\text{当} \; |x|_p \geq 1.\\ \end{array}\right. $

易得

$ \|f_\varepsilon\|_{q, \theta_1}^{q} = \int_{|x|_p \geq 1}|x|_{p}^{-1-\varepsilon}{\rm d}x = \frac{1-p^{-1}}{1-p^{-\varepsilon}} , $

以及

$ {\bf H}^p f_\varepsilon = \int_{|x|_p \geq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x. $

从而

$ \begin{eqnarray*} \|{\bf H}^p f_\varepsilon\|_{q, \overline{\theta}_1} ^q& = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{q(1-\lambda_2)-1}\left (\int_{|x|_p \geq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x\right )^q{\rm d}y\\ & = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{-1-\varepsilon}\left (\int_{|t|_p \geq \frac{1}{|y|_p}}H_{\lambda}(1, |t|_p) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q {\rm d}y \\ &\geq &\int_{|y|_p \geq |\varepsilon|_p} |y|_p^{-1-\varepsilon}\left (\int_{|t|_p \geq \frac{1}{|\varepsilon|_p}}H_{\lambda}(1, |t|_p) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q{\rm d}y \\ & = & \frac{(1-p^{-1})\varepsilon^{\varepsilon}}{1-p^{-\varepsilon}}\left(\int_{|t|_p \geq \frac{1}{|\varepsilon|_p}}H_{\lambda}(1, |t|_p) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q. \end{eqnarray*} $

因此

(2.4) $ \begin{eqnarray} \|{\bf H}^p\| \geq \frac{||{\bf H}^pf_\varepsilon ||_{q, \overline{\theta}_1}}{\|f_\varepsilon\|_{q, \theta_1}}\geq(\varepsilon^{\varepsilon})^{\frac{1}{q}} \int_{|t|_p \geq \frac{1}{|\varepsilon|_p}}H_{\lambda}(1, |t|_p) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

我们记

$ {\bf E}_{N} = \bigg\{t\in {\mathbb Q}_p^{*}: |t|_p \geq \frac{1}{|\varepsilon|_p} \bigg\} = \bigg\{t\in {\mathbb Q}_p^{*}: |t|_p \geq \frac{1}{p^N}\bigg\}. $

于是

$ \begin{eqnarray} \int_{|t|_p \geq \frac{1}{|\varepsilon|_p}}H_{\lambda}(1, |t|_p) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t = \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}H_{\lambda}(1, |t|_p)\chi_{{\bf E}_N}(t) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{1}{qp^N}}{\rm d}t, \end{eqnarray} $

这里$ \chi_{{\bf E}_N} $是关于集合$ {\bf E}_N $的特征函数.

容易看到对于$ t \in {\mathbb Q}_p^{*} $有

$ \begin{eqnarray} H_{\lambda}(1, |t|_p)\chi_{E_N}(t) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{1}{qp^N}}\rightarrow H_{\lambda}(1, |t|_p)|t|_{p}^{-\lambda_1}, \: N\rightarrow \infty \end{eqnarray} $

及$ (\varepsilon^{\varepsilon})^{\frac{1}{q}}\rightarrow 1, \: N\rightarrow \infty. $所以, 由Fatou引理及(2.4)式, 有

$ \|{\bf H}^p\|\geq \int_{{\mathbb Q}_{p}^{*}} H_{\lambda}(1, |t|_p)|t|_{p}^{-\lambda_1}\, {\rm d}t = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2), $

因此$ ||{\bf H}^p|| = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2) $. 定理1.1证毕.

运用Hölder不等式我们有

(3.1) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x)g(y){\rm d}x{\rm d}y\\ & = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}{\cal H}(x, y) \left[ \frac{|x|_p^{\frac{\lambda_1}{q'}}} {|y|_p^{\frac{\lambda_2}{q}}}\cdot f(x)\right] \left[ \frac{|x|_p^{{\frac{\lambda_2}{q}}}} {|y|_p^\frac{\lambda_1}{q'}}\cdot g(y)\right]{\rm d}x{\rm d}y \\ &\leq &\left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) \cdot \frac{|x|_p^{(q-1)\lambda_1}} {|y|_p^{\lambda_2}}\cdot f^q(x) \, {\rm d}x{\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q}} \\ & & \times \left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}{\cal H}(x, y)\cdot \frac{|y|_p^{(q'-1)\lambda_2}} {|x|_p^{\lambda_1}}\cdot g^{q'}(y) \, {\rm d}x{\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q'}} \\ & = &\left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} W_{1}(\lambda_1, \lambda_2; x)f^q(x) \, {\rm d}x\right\}^{\frac{1}{q}} \left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} W_{2}(\lambda_1, \lambda_2; y)g^{q'}(y) \, {\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q'}}. \end{eqnarray} $

若(3.1)式取等号, 则存在不全为$ 0 $的两个数$ C_1 $和$ C_2 $使得

$ C_1 \cdot \frac{|x|_p^{(q-1)\lambda_1}} {|y|_p^{\lambda_2}} \cdot f^q(x) = C_2\cdot \frac{|y|_p^{(q'-1)\lambda_2}} {|x|_p^{\lambda_1}}\cdot g^{q'}(y), \: \text{a.e. 于}\text{ } {{\mathbb Q}_p^{*} \times {\mathbb Q}_p^{*}}, $

详见文献[3]. 从而

$ C_1 |x|_p^{q\lambda_1}f^q(x) = C_2|y|_p^{q'\lambda_2}g^{q'}(y), \: \text{a.e. 于}\text{ } {{\mathbb Q}_p^{*} \times {\mathbb Q}_p^{*}}. $

于是存在常数$ C $, 使得

$ C_1 |x|_p^{q\lambda_1}f^q(x) = C, \:\text{a.e. 于} \text{ } {\mathbb Q}_p^{*}, \; \; \: C_2|y|_p^{q'\lambda_2}g^q(y) = C, \: \text{a.e. 于} \text{ } {\mathbb Q}_p^{*} . $

不妨假设$ C_1\neq0 $, 于是$ C\neq 0 $且

$ f^{q}(x) = \frac{C}{C_1 |x|_{p}^{q\lambda_1}}, \: \text{a.e. 于} \text{ } {\mathbb Q}_p^{*}. $

进而计算得到$ \|f\|_{q, \theta_1} = \infty $, 这矛盾于$ f\in L_{\theta_1}^{q}({{\mathbb Q}_p^{*}}) $. 所以(3.1)只能取严格不等号. 这样由(2.2), (2.3) 及(3.1) 式知(1.3) 式成立.

下面我们证明(1.3) 式和(1.4)式相互等价. 置

$ \begin{eqnarray*} \overline{g}(y) = |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}\left(\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x\right)^{q-1}, \:y \in {\mathbb Q}_p^{*}. \end{eqnarray*} $

运用证明定理1.1的方法, 我们可以证明$ \overline{g} \in L_{\theta_2}^{q'}({\mathbb Q}_p^{*}) $. 又注意到$ ||f||_{q, \theta_1}>0 $, 易见$ \|\overline{g}\|_{q', \theta_2}>0 $. 从而由(1.3)式得

$ \begin{eqnarray*} 0<\|\overline{g}\|_{q', \theta_2}^{q'} & = & \int_{{\mathbb Q}_p^{*}}\left[ |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}\left(\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x){\rm d}x\right)^{q-1}\right]^{q'}|y|_{p}^{q'\lambda_2-1}\, {\rm d}y\\ & = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x)\overline{g}(y){\rm d}x{\rm d}y < C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)\|f\|_{q, \theta_1}\|\overline{g}\|_{q', \theta_2}. \end{eqnarray*} $

进而

(3.2) $\begin{equation} \left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}\left(\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x){\rm d}x\right)^{q} \, {\rm d}y\right\}^{\frac{1}{q}} = \|\overline{g}\|_{q', \theta_2}^{q'-1} \nonumber <C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)\|f\|_{q, \theta_1}. \end{equation}$

这样就证明了(1.3)式蕴含(1.4)式.

另一方面假设(1.4) 式成立, 再由Hölder不等式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x)g(y){\rm d}x{\rm d}y \\ & = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \left[|y|_p^{\frac{1}{q'}-\lambda_2}\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y) f(x){\rm d}x\right]\left[|y|_p^{\lambda_2-\frac{1}{q'}}g(y) \right]{\rm d}y\nonumber \\ &\leq &\left\{ \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}\left(\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x\right)^{q}\, {\rm d}y \right\}^{\frac{1}{q}}\|g\|_{q', \theta_2}. \nonumber \end{eqnarray*} $

从而可由(1.4)式得到(1.3)式. 即说明(1.3)式等价于(1.4)式. 由定理1.1知(1.4)式中的常数因子$ C_{p}(\lambda_1, \lambda_2) $是最佳的, 结合(1.3)式与(1.4)式的等价性知(1.3)式中的常数因子也是最佳的. 这样就完成了定理1.2的证明.

(1) 我们考虑如下核

(4.1) $ \begin{equation} H_{\alpha, \beta, \lambda}(x, y): = \frac{\min\{x, y\}^{\alpha}|\ln(\frac{y}{x})|^{\beta}}{\max\{x, y\}^{\alpha+\lambda}}, \: \alpha\geq 0, \beta\geq 0, \lambda>0. \end{equation} $

这里我们约定$ :0^0 = 1 $, 并限制$ \lambda_1<1, \lambda_2<1 $. 这时计算得到

$ C_p(\lambda_1, \lambda_2) = (1-p^{-1})\left[1+\sum\limits_{\gamma = 1}^{\infty}\frac{(\gamma\ln p)^{\beta}}{p^{\gamma (\alpha+\lambda)}}\cdot[p^{(1-\lambda_1)\gamma}+p^{(1-\lambda_2)\gamma})]\right]. $

当$ \alpha = \beta = 0 $, 核(4.1)退化为Hardy-Littlewood-Pólya型核$ \frac{1}{\max\{x, y\}^{\lambda}}\: (\lambda>0) $, 于是由定理1.1有

(4.2) $ \begin{equation} \left[\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} \left|\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \frac{f(x)}{\max\{|x|_p, |y|_p\}^{\lambda}} {\rm d}x \right|^q {\rm d}y \right ]^{\frac{1}{q}} \leq C_p^{[1]}(\lambda_1, \lambda_2) ||f||_{q, {\theta}_1} \end{equation} $

对所有的$ f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*}) $成立, 这里常数因子

$ C_p^{[1]}(\lambda_1, \lambda_2) = (1-p^{-1}) \left[1+\frac{1} {p^{1-\lambda_1}-1}+ \frac{1} {p^{1-\lambda_2}-1}\right] $

是最佳的. 文献[1]建立了一个等价于(4.2)式当$ \lambda $取$ 1 $时的不等式, 因此我们的结果是文献[1]中相关结果的推广. 同时我们还建立了一些新的$ p $进制不等式, 例如: 当$ \beta = 1 $, 这时计算得

$ C_p(\lambda_1, \lambda_2) = C_p^{[2]}(\lambda_1, \lambda_2): = [(1-p^{-1})\ln p]\cdot \left[1+\frac{p^{\alpha+1-\lambda_1}} {(p^{\alpha+1-\lambda_1}-1)^2}+\frac{p^{\alpha+1-\lambda_2}} {(p^{\alpha+1-\lambda_2}-1)^2}\right]. $

由定理1.1有

$ \begin{eqnarray*} \left[\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} \left|\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \frac{{\min\{|x|_p, |y|_p\}^{\alpha}}|\ln\frac{|x|_p}{|y|_p}|}{\max\{|x|_p, |y|_p\}^{\alpha+\lambda}}f(x){\rm d}x \right|^q {\rm d}y \right ]^{\frac{1}{q}} \leq C_p^{[2]}(\lambda_1, \lambda_2) ||f||_{q, {\theta}_1} \end{eqnarray*} $

对所有的$ f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*}) $成立, 这里常数因子$ C_p^{[2]}(\lambda_1, \lambda_2) $是最佳的.

注4.1  当$ \beta \neq 0 $时, 核$ H_{\alpha, \beta, \gamma} $在$ {{\mathbb R}} _{+}\times{{\mathbb R}} _{+} $的对角形上取$ 0 $值, 由定理$ 1.2 $的证明不难看到, 这时定理$ 1.2 $仍然成立.

(2) 我们再定义

$ H_{\alpha, \lambda}(x, y) = \frac{\min\{\frac{x}{y}, \frac{y}{x}\}^{\alpha}}{\max\{x, y\}^{\lambda}}, \: \alpha\geq 0, \: \lambda>0. $

并假设$ \lambda_1<1, \lambda_2<1 $, 于是有

$ \begin{eqnarray*} C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)& = &C_{p}^{[3]}(\lambda_1, \lambda_2): = (1-p^{-1})\left[1+\sum\limits_{\gamma = 1}^{\infty}\frac{1}{p^{\gamma(\alpha+\lambda)}} \left[p^{(1-\lambda_2)\gamma}+p^{(1-\lambda_1)\gamma}\right]\right]\\ & = & (1-p^{-1}) \left[1+\frac{1} {p^{\alpha+1-\lambda_1}-1}+ \frac{1} {p^{\alpha+1-\lambda_2}-1}\right]. \end{eqnarray*} $

于是由定理1.1有

$ \begin{eqnarray*} \left[\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} \left|\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} \frac{\min\{\frac{|x|_p}{|y|_p}, \frac{|y|_p}{|x|_p}\}^{\alpha}}{\max\{|x|_p, |y|_p\}^{\lambda}}f(x){\rm d}x \right|^q {\rm d}y \right ]^{\frac{1}{q}} \leq C_p^{[3]}(\lambda_1, \lambda_2) ||f||_{q, {\theta}_1} \end{eqnarray*} $

对所有的$ f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*}) $成立, 这里常数因子$ C_p^{[3]}(\lambda_1, \lambda_2) $也是最佳的.

(3) 对于文献[4]和[5]中列举的若干对称$ -1 $齐次核, 我们可以构造相应的$ -\lambda $齐次核, 然后根据具体的新核, 对$ \lambda_1, \lambda_2 $附加若干限制, 使其满足定理1.1的条件, 这样由本文的结果, 我们可以得到很多新的$ p $进制不等式. 这些结果可作为我们文献[4]和[5]工作的推广, 同时它们也丰富了我们对$ p $进制不等式理论的理解.

(4) 最后我们说明定理1.1中的条件$ \lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda $在一定意义下是必要的. 我们将其归纳为如下结论.

定理4.1  设$ p $为一个素数, $ q>1 $. 假定对于任意$ x, y \in {{\mathbb R}} _{+} $, 有$ H_{\lambda}(x, y)>0 $. 设$ \lambda_1\in {{\mathbb R}} , \lambda_2\in {{\mathbb R}} $. 我们还假设

$ 0<V_{p}(\lambda, \lambda_1): = (1-p^{-1})\left[H_{\lambda}(1, 1)+\sum\limits_{\gamma = 1}^{\infty}\left[H_{\lambda}(p^{\gamma}, 1)p^{(1-\lambda_1)\gamma}+H_{\lambda}(1, p^{\gamma})p^{(\lambda_1-1+\lambda)\gamma}\right]\right]<\infty. $

记$ \theta_1(x) = |x|_{p}^{q\lambda_1-1} $, $ \overline{\theta}_1(x) = |x|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1} $, 定义$ p $进制积分算子$ {\mathfrak H}^p $为

$ \begin{eqnarray*} ({\mathfrak H}^pf)(y): = \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} {\cal H}(x, y)f(x){\rm d}x, \: f\in L_{\theta_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}), \: y\in {\mathbb Q}_p^{*}, \end{eqnarray*} $

则$ {\mathfrak H}^p $是自$ L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $到$ L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $上的有界算子的充要条件是$ \lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda $.

证  我们先证明充分性. 当$ \lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda $时, 容易看到这时有

$ 0<C_p(\lambda_1, \lambda_2) = V_p(\lambda, \lambda_1)<\infty. $

根据定理1.1的证明知定理4.1充分性成立.

下面证明必要性. 记$ \delta = \lambda_1+\lambda_2+\lambda-2 $, 我们将运用反证法证明, 当$ {\mathfrak H}^p $是自$ L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $到$ L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $上的有界算子时, 有$ \delta = 0 $.

先假设$ \delta<0 $, 令$ \varepsilon>0 $, 并置

$ {f}^{[1]}_\varepsilon(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0, \; &\text{当} \; 0<|x|_p <1; \\ |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}, \; &\text{当} \; |x|_p \geq 1.\\ \end{array}\right. $

于是

$ \|f_\varepsilon^{[1]}\|_{q, \theta_1}^{q} = \frac{1-p^{-1}}{1-p^{-\varepsilon}} \: {\text{以及}}\:\: {\mathfrak H}^p f_{\varepsilon}^{[1]} = \int_{|x|_p \geq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x. $

从而

$ \begin{eqnarray*} \|{\mathfrak H}^p f_\varepsilon^{[1]}\|_{q, \overline{\theta}_1} ^q & = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{q(1-\lambda_2)-1}\left (\int_{|x|_p \geq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x\right )^q{\rm d}y \\ & = & \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{-1-\varepsilon-q\delta}\left (\int_{|t|_p \geq \frac{1}{|y|_p}}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q {\rm d}y \\ &\geq &\int_{|y|_p \geq 1} |y|_p^{-1-\varepsilon-q\delta}\left (\int_{|t|_p \geq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q{\rm d}y\\ & = &(1-p^{-1})\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(-q\delta-\varepsilon)}\left(\int_{|t|_p \geq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q. \end{eqnarray*} $

因$ {\mathfrak H}^p: L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) \rightarrow L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $是有界的, 于是存在数$ C_1>0 $, 使得

(4.3) $ \begin{equation} C_1\geq\frac{||{\mathfrak H}^pf_\varepsilon^{[1]} ||_{q, \overline{\theta}_1}^q}{\|f_\varepsilon^{[1]}\|_{q, \theta_1}^q}\geq (1-p^{-1})\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(-q\delta-\varepsilon)}\left(\int_{|t|_p \geq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1-\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q. \end{equation} $

易见, 当$ \varepsilon<-q\delta $时, 有$ \sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(-q\delta-\varepsilon)} = +\infty. $于是知式(4.3)是一个矛盾, 因此$ \delta $不可能小于0.

接下来我们假设$ \delta>0 $. 同样令$ \varepsilon>0 $. 置

$ f_{\varepsilon}^{[2]}(x) = \left\{\begin{array}{ll}|x|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}, \; &\text{当} \; 0<|x|_p \leq 1; \\ 0, \; &\text{当} \; |x|_p > 1.\\ \end{array}\right. $

于是

$ \|f_\varepsilon^{[2]}\|_{q, \theta_1}^{q} = \frac{1-p^{-1}}{1-p^{-\varepsilon}} \: {\text{以及}}\:\:{\mathfrak H}^p f_{\varepsilon}^{[2]} = \int_{0<|x|_p \leq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x. $

从而

$ \begin{eqnarray*} \|{\mathfrak H}^p f_\varepsilon^{[2]}\|_{q, \overline{\theta}_1} ^q& = &\int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{q(1-\lambda_2)-1}\left (\int_{0<|x|_p \leq 1}{\cal H}(x, y) |x|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}x\right )^q{\rm d}y\\ & = & \int_{{\mathbb Q}_p^{*}} |y|_p^{-1+\varepsilon-q\delta}\left (\int_{0<|t|_p \leq \frac{1}{|y|_p}}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q {\rm d}y\\ & \geq &\int_{0<|y|_p \leq 1} |y|_p^{-1+\varepsilon-q\delta}\left (\int_{0<|t|_p \leq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q{\rm d}y \\ & = &(1-p^{-1})\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(q\delta-\varepsilon)}\left(\int_{0<|t|_p \leq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q. \end{eqnarray*} $

由$ {\mathfrak H}^p: L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) \rightarrow L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) $是有界的, 则存在数$ C_2>0 $, 使得

(4.4) $ \begin{equation} C_2\geq\frac{||{\mathfrak H}^pf_\varepsilon^{[2]}||_{q, \overline{\theta}_1}^q}{\|f_\varepsilon^{[2]}\|_{q, \theta_1}^q}\geq (1-p^{-1})\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(q\delta-\varepsilon)}\left(\int_{0<|t|_p \leq 1}H_{\lambda}(|t|_p, 1) |t|_{p}^{-\lambda_1+\frac{\varepsilon}{q}}{\rm d}t\right )^q. \end{equation} $

但当$ \varepsilon<q\delta $时, 有$ \sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(q\delta-\varepsilon)} = +\infty. $这说明式(4.4)也是一个矛盾, 因此$ \delta $也不可能大于0. 所以只能有$ \delta = 0. $即$ \lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda $. 定理4.1证毕.