设$q>1$, 记${{\mathbb R}} _{+} = (0, +\infty)$, 则有如下著名的Hardy-Littlewood-Pólya不等式

对所有的$f \in L^q({{\mathbb R}} _{+})$成立, 且(1.1)式中的常数因子$\frac{q^2}{q-1}$是最佳的^[2]. 这里$L^q({{\mathbb R}} _{+})$为${{\mathbb R}} _{+}$上的Lebesgue空间, 即

我们可以用算子的语言来重述Hardy-Littlewood-Pólya不等式. 定义由Hardy-Littlewood-Pólya核$\frac{1}{\max\{x, y\}}$诱导的算子$T$如下

于是$T$是自$L^q({{\mathbb R}} _+)$到$L^q({{\mathbb R}} _+)$上的有界算子且该算子的范数$\|T\| = \frac{q^2}{q-1}$. 这里

在文献[1]中, Fu等引入和研究了一个由Hardy-Littlewood-Pólya核诱导的$p$进制积分算子, 并建立了具有最佳常数因子的$p$进制Hardy-Littlewood-Pólya不等式. 最近, 我们在文献[4]和[5]中, 引入并研究了一类由对称$-1$齐次核诱导的$p$进制积分算子, 得到了这类算子的范数表达式. 作为应用, 我们建立了一些新的$p$进制Hardy-Littlewood-Pólya型不等式.

本文的主要目的是进一步推广文献[4]和[5]的相关结果. 我们研究了更一般的由$-\lambda$齐次核诱导的$p$进制积分算子. 在一定的限制条件下, 我们证明了此类算子是$p$进制加权Lebesgue空间之间的有界算子, 同时给出了该类算子的精确范数估计. 最后我们还说明了给定的限制条件在一定意义下是必要的.

在叙述本文的主要结果前, 我们先回顾$p$进制域与$p$进制分析的若干定义与记号, 详见文献[6]或[7]. 设$p$为一个素数并记${\mathbb Q}_p$为$p$进制数形成的数域. 我们知道${\mathbb Q}_p$是有理数域在非阿基米德$p$进制模$|\cdot |_p$下的完备化. $p$进制模定义为: (I) $|0|_p = 0$; (II)当$x$是非零的有理数, $x$可表示为$x = p^{\gamma} \frac{m}{n}$, 这里$\gamma \in {\mathbb Z}$, $m \in {\mathbb Z}$, $n \in {\mathbb Z}$, 且$m$和$n$都不被$p$整除, 则我们定义$|x|_p = p^{-\gamma}$.

任意$p$进制数$x\in {\mathbb Q}_p$都可唯一正则地表示为

这里$a_j$为整数且$0\leq a_j \leq p-1, a_0 \neq 0$. 由于$|a_j p^j|_p = p^{-j}$, 因此序列(1.2)在$p$进制模下是收敛的. 由以上定义我们有

且若$|x|_{p}\neq |y|_{p}$, 则$|x+y|_{p} = \max\{|x|_p, |y|_p\}$.

本文我们记${\mathbb Q}_p^{*} = {\mathbb Q}_p \backslash \{0\}$且用

表示中心在点$a\in {\mathbb Q}_{p}$处半径为$p^{\gamma}$的球, 同时记

我们将用$B_{\gamma}$和$S_{\gamma}$分别简记$B_{\gamma} (0)$和$S_{\gamma}(0)$.

注意到${\mathbb Q}_p$是局部紧的Hausdorff空间, 由测度理论知${\mathbb Q}_p$上存在Haar测度. ${\mathbb Q}_p$上的Haar测度是平移不变的, 且它在忽略一个常数因子的情况下是唯一的. 本文我们采用${\mathbb Q}_p$上规范化的的Haar测度${\rm d}x$, 即${\rm d}x$满足

这里$|{\bf E}|_H$表示${\mathbb Q}_p$上可测集${\bf E}$的Haar测度. 于是

下面我们来定义${\mathbb Q}_p^{*}$上的加权Lebesgue空间. 设$q>1$, $\theta(x)$为${\mathbb Q}_p^{*}$上的非负可测函数, 我们定义${\mathbb Q}_p^{*}$上的加权Lebesgue空间$L_{\theta}^q({\mathbb Q}_p^{*})$为

设$\lambda>0$, 我们考虑${{\mathbb R}} _{+}\times {{\mathbb R}} _{+}$上非负的$-\lambda$齐次核$H_{\lambda}(x, y)$, 即对于任意$x>0, y>0, t>0$, $H_{\lambda}(x, y)$满足$H_{\lambda}(tx, ty) = t^{-\lambda}H_{\lambda}(x, y)\geq 0$. 令

下面我们叙述本文的主要结果.

定理1.1  设$p$为一个素数, $q>1$. 设$\lambda_1\in {{\mathbb R}} , \lambda_2\in {{\mathbb R}}$满足$\lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda$. 我们假设

记$\theta_1(x) = |x|_{p}^{q\lambda_1-1}$, $\overline{\theta}_1(x) = |x|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}$, 定义$p$进制积分算子${\bf H}^p$为

则${\bf H}^p$是自$L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$到$L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$上的有界线性算子, 且$\|{\bf H}^p\| = C_p(\lambda_1, \lambda_2).$这里

定理1.2  在定理$\rm 1.1$的条件和记号下, 并假定对于任意$x, y \in {{\mathbb R}} _{+}$, 有$H_{\lambda}(x, y)>0$. 令$q'$是$q$的共轭指数, 即$\frac{1}{q}+\frac{1}{q'} = 1$. 并记$\theta_2(x) = |x|_{p}^{q'\lambda_2-1}$. 若$f, g\geq 0$, $f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})$, $g\in L_{{\theta}_2}^{q'}({\mathbb Q}_p^{*})$, 且$||f||_{q, {\theta}_1}>0, ||g||_{q', {\theta}_2}>0$. 则有如下等价不等式

这里常数因子$C_p(\lambda_1, \lambda_2)$是最佳的.

注1.1  定理$\rm 1.2$中, 我们假定对于任意$x, y \in {{\mathbb R}} _{+}$核$H_{\lambda}$取正值, 只是为了证明的方便, 这一条件并非本质的. 实际上, 正如我们将在第四节看到的, 当核$H$不满足这一条件时, 定理$1.2$仍然可以成立.

在定理1.1的记号下, 我们定义

在定义(2.1)中, 令$y = xt$, 则由${\rm d}y = |x|_p{\rm d}t$有

同时我们令

运用以上类似的计算有

下面我们开始证明定理1.1. 对于$f \in L_{\theta_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})$, 由Hölder不等式及(2.2)与(2.3)式, 对于$y \in {\mathbb Q}_p^{*}$, 我们有

于是

这就证明了${\bf H}^p$是自$L_{\theta_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$到$L_{\overline{\theta}}^q({\mathbb Q}_p^{*})$上的有界算子. 进一步地, $||{\bf H}^p||\leq C_{p}(\lambda_1, \lambda_2).$

接下来我们证明$||{\bf H}^p|| = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2).$令$\varepsilon = p^{-N}, N\in{\mathbb N}$, 则$|\varepsilon|_p = p^{N}$. 置

易得

以及

从而

因此

我们记

于是

这里$\chi_{{\bf E}_N}$是关于集合${\bf E}_N$的特征函数.

容易看到对于$t \in {\mathbb Q}_p^{*}$有

及$(\varepsilon^{\varepsilon})^{\frac{1}{q}}\rightarrow 1, \: N\rightarrow \infty.$所以, 由Fatou引理及(2.4)式, 有

因此$||{\bf H}^p|| = C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)$. 定理1.1证毕.

运用Hölder不等式我们有

若(3.1)式取等号, 则存在不全为$0$的两个数$C_1$和$C_2$使得

详见文献[3]. 从而

于是存在常数$C$, 使得

不妨假设$C_1\neq0$, 于是$C\neq 0$且

进而计算得到$\|f\|_{q, \theta_1} = \infty$, 这矛盾于$f\in L_{\theta_1}^{q}({{\mathbb Q}_p^{*}})$. 所以(3.1)只能取严格不等号. 这样由(2.2), (2.3) 及(3.1) 式知(1.3) 式成立.

下面我们证明(1.3) 式和(1.4)式相互等价. 置

运用证明定理1.1的方法, 我们可以证明$\overline{g} \in L_{\theta_2}^{q'}({\mathbb Q}_p^{*})$. 又注意到$||f||_{q, \theta_1}>0$, 易见$\|\overline{g}\|_{q', \theta_2}>0$. 从而由(1.3)式得

进而

这样就证明了(1.3)式蕴含(1.4)式.

另一方面假设(1.4) 式成立, 再由Hölder不等式, 我们有

从而可由(1.4)式得到(1.3)式. 即说明(1.3)式等价于(1.4)式. 由定理1.1知(1.4)式中的常数因子$C_{p}(\lambda_1, \lambda_2)$是最佳的, 结合(1.3)式与(1.4)式的等价性知(1.3)式中的常数因子也是最佳的. 这样就完成了定理1.2的证明.

(1) 我们考虑如下核

这里我们约定$:0^0 = 1$, 并限制$\lambda_1<1, \lambda_2<1$. 这时计算得到

当$\alpha = \beta = 0$, 核(4.1)退化为Hardy-Littlewood-Pólya型核$\frac{1}{\max\{x, y\}^{\lambda}}\: (\lambda>0)$, 于是由定理1.1有

对所有的$f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})$成立, 这里常数因子

是最佳的. 文献[1]建立了一个等价于(4.2)式当$\lambda$取$1$时的不等式, 因此我们的结果是文献[1]中相关结果的推广. 同时我们还建立了一些新的$p$进制不等式, 例如: 当$\beta = 1$, 这时计算得

由定理1.1有

对所有的$f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})$成立, 这里常数因子$C_p^{[2]}(\lambda_1, \lambda_2)$是最佳的.

注4.1  当$\beta \neq 0$时, 核$H_{\alpha, \beta, \gamma}$在${{\mathbb R}} _{+}\times{{\mathbb R}} _{+}$的对角形上取$0$值, 由定理$1.2$的证明不难看到, 这时定理$1.2$仍然成立.

(2) 我们再定义

并假设$\lambda_1<1, \lambda_2<1$, 于是有

于是由定理1.1有

对所有的$f\in L_{{\theta}_1}^{q}({\mathbb Q}_p^{*})$成立, 这里常数因子$C_p^{[3]}(\lambda_1, \lambda_2)$也是最佳的.

(3) 对于文献[4]和[5]中列举的若干对称$-1$齐次核, 我们可以构造相应的$-\lambda$齐次核, 然后根据具体的新核, 对$\lambda_1, \lambda_2$附加若干限制, 使其满足定理1.1的条件, 这样由本文的结果, 我们可以得到很多新的$p$进制不等式. 这些结果可作为我们文献[4]和[5]工作的推广, 同时它们也丰富了我们对$p$进制不等式理论的理解.

(4) 最后我们说明定理1.1中的条件$\lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda$在一定意义下是必要的. 我们将其归纳为如下结论.

定理4.1  设$p$为一个素数, $q>1$. 假定对于任意$x, y \in {{\mathbb R}} _{+}$, 有$H_{\lambda}(x, y)>0$. 设$\lambda_1\in {{\mathbb R}} , \lambda_2\in {{\mathbb R}}$. 我们还假设

记$\theta_1(x) = |x|_{p}^{q\lambda_1-1}$, $\overline{\theta}_1(x) = |x|_{p}^{q(1-\lambda_2)-1}$, 定义$p$进制积分算子${\mathfrak H}^p$为

则${\mathfrak H}^p$是自$L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$到$L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$上的有界算子的充要条件是$\lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda$.

证  我们先证明充分性. 当$\lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda$时, 容易看到这时有

根据定理1.1的证明知定理4.1充分性成立.

下面证明必要性. 记$\delta = \lambda_1+\lambda_2+\lambda-2$, 我们将运用反证法证明, 当${\mathfrak H}^p$是自$L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$到$L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$上的有界算子时, 有$\delta = 0$.

先假设$\delta<0$, 令$\varepsilon>0$, 并置

于是

从而

因${\mathfrak H}^p: L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) \rightarrow L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$是有界的, 于是存在数$C_1>0$, 使得

易见, 当$\varepsilon<-q\delta$时, 有$\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(-q\delta-\varepsilon)} = +\infty.$于是知式(4.3)是一个矛盾, 因此$\delta$不可能小于0.

接下来我们假设$\delta>0$. 同样令$\varepsilon>0$. 置

于是

从而

由${\mathfrak H}^p: L_{{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*}) \rightarrow L_{\overline{\theta}_1}^q({\mathbb Q}_p^{*})$是有界的, 则存在数$C_2>0$, 使得

但当$\varepsilon<q\delta$时, 有$\sum\limits_{\gamma = 0}^{\infty}p^{\gamma(q\delta-\varepsilon)} = +\infty.$这说明式(4.4)也是一个矛盾, 因此$\delta$也不可能大于0. 所以只能有$\delta = 0.$即$\lambda_1+\lambda_2 = 2-\lambda$. 定理4.1证毕.