数学物理学报, 2021, 41(4): 954-967 doi:

论文

具有广义核的多线性平方算子与交换子的加权估计

陈晓莉,, 陈冬香,, 朱红燕

Weighted Estimates for Some Multilinear Square Operator and Commutator with Generalized Kernel

Chen Xiaoli,, Chen Dongxiang,, Zhu Hongyan

收稿日期: 2020-03-27  

基金资助: 国家自然科学基金.  11971209
国家自然科学基金.  11961032
江西省自然科学基金.  20192BAB201003

Received: 2020-03-27  

Fund supported: the NSFC.  11971209
the NSFC.  11961032
the NSF of Jiangxi Province.  20192BAB201003

作者简介 About authors

陈晓莉,E-mail:littleli_chen@163.com , E-mail:littleli_chen@163.com

陈冬香,E-mail:chendx020@163.com , E-mail:chendx020@163.com

Abstract

In this paper, the authors investigate some multilinear square operator with generalized kernel. They prove that the multilinear square operator $T$ is bounded from $(L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m))$ into $L^{p}(\nu_{\omega})$, where $\frac{1}{p_1}+ \cdots+\frac{1}{p_m}=\frac{1}{p}, \nu_{\omega}=\prod\limits_{i=1}^m\omega_i^{\frac{p_i}{p}} $, the authors proved the commutator $T_{\sum b}$, generalized by multilinear square operator $T$ and BMO function, is also bounded from$(L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m))$ into $L^{p}(\nu_{\omega})$上. Finally, the authors also prove the multilinear square operator $T$ is bounded from $L^\infty\times\cdots\times L^{\infty}$ into $BMO$. Some known results are improved.

Keywords: Generalized integral kernel ; Multilinear square operator ; Sharp maximal function ; Commutator ; Weight

PDF (354KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

陈晓莉, 陈冬香, 朱红燕. 具有广义核的多线性平方算子与交换子的加权估计. 数学物理学报[J], 2021, 41(4): 954-967 doi:

Chen Xiaoli, Chen Dongxiang, Zhu Hongyan. Weighted Estimates for Some Multilinear Square Operator and Commutator with Generalized Kernel. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(4): 954-967 doi:

1 引言和主要结果

众所周知, 经典的多线性Calderón-Zygmund理论始于Coifman和Meyer的工作[1-3]. 自Lacey和Thiele[12-13]在双线性Hilbert变换取得突破性进展后, Grafakos和Torres在文献[9]和[10]中系统的研究了多线性Calderón-Zygmund理论.Kenig和Stein[11]研究了多线性分数次积分算子. 此后, 越来越多的数学家投身于这一领域的研究并取得了丰硕的成果.

$ m $是自然数, $ K(y_0, y_1, \cdots, y_m) $是定义在$ ({{\Bbb R}}^{n})^{m+1} $上远离对角线$ y_0 = y_1 = \cdots = y_m $的函数, 定义多线性算子$ T $

$ \begin{eqnarray} T(f_1, \cdots, f_m)(x) = \int_{R^{mn}}K(x, y_1, \cdots, y_m)\prod\limits_{j = 1}^mf_j(y_j){\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m, \end{eqnarray} $

其中$ f_j, j = 1, \cdots, m $是具有紧支撑集的函数且$ x\not\in\bigcap\limits_{j = 1}^m {\rm supp} f_j $.

特别地, 称$ K(x, y_1, \cdots, y_m) $$ m $ -线性Calderón-Zygmund核, 如果它满足如下条件.

(ⅰ) 尺寸条件: 对于所有的$ ({{\Bbb R}}^n)^{m+1} $中远离对角线的点$ (y_0, y_1, \cdots, y_m) $, 存在$ C>0 $使得

$ \begin{eqnarray} |K(y_0, y_1, \cdots, y_m)|\le\frac{C}{(\sum\limits_{k, \ell = 0}^m|y_k-y_{\ell}|)^{mn}}; \end{eqnarray} $

(ⅱ) 光滑条件: 存在$ \varepsilon>0 $, 当$ 0\le j\le m $$ |y_j-y'_j|\le \frac12\max\limits_{0\le k\le m}\{|y_k-y_j|\} $, 有

$ \begin{eqnarray} |K(y_0, y_1, \cdots, y_j, \cdots, y_m)-K(y_0, y_1, \cdots, y'_j, \cdots, y_m)|\le\frac{C|y_j-y'_j|^\varepsilon}{(\sum\limits_{k, \ell = 0}^m|y_k-y_{\ell}|)^{mn+\varepsilon}}. \end{eqnarray} $

称与$ m $ -线性Calderón-Zygmund核$ K $相关的多线性算子$ T $为多线性Calderón-Zygmund算子, 如果$ T $满足下列条件中之一

(ⅰ) 当$ r>1 $时, $ T $$ L^{r_1, 1}\times\cdots\times L^{r_m, 1} $$ L^{r, \infty} $上的有界算子;

(ⅱ) 当$ r = 1 $时, $ T $$ L^{r_1, 1}\times\cdots\times L^{r_m, 1} $$ L^{1} $上的有界算子.

近来, Lu和Zhang[18]引进了$ \omega $型多线性Calderón-Zygmund核且得到了这类多线性奇异积分算子的有界性. 设$ \omega(t) $是定义在$ {{\Bbb R}} _+ $上的非负非减的函数.称定义在$ ({{\Bbb R}} ^n)^{m+1} $上远离对角线$ y_0 = y_1 = \cdots = y_m $的局部可积函数$ K(y_0, y_1, \cdots, y_m) $$ \omega $$ m $ -线性Calderón-Zygmund核, 如果它满足尺寸条件(1.2)和

$ \begin{eqnarray} &&|K(y_0, \cdots, y_j, \cdots, y_m)-K(y_0, \cdots, y'_j, \cdots, y_m)|\\ &\le& \frac{C}{(|y_0-y_1|+\cdots+|y_0-y_m|)^{mn}}\omega\bigg(\frac{|y_j-y'_j|}{|y_0-y_1|+\cdots+|y_0-y_m|}\bigg), \end{eqnarray} $

其中$ 1\le j\le m $$ |y_j-y'_j|\le \frac12\max\limits_{1\le j\le m}\{|y_0-y_j|\} $. 显然当$ \omega(t) = t^\varepsilon $时, $ \omega $ -型$ m $ -线性算子$ T $就是标准的多线性Calderón-Zygmund算子.

$ K(y_0, \cdots, y_m) $$ m $ -线性广义核, 如果$ K(y_0, \cdots, y_m) $满足条件(1.2)和如下积分条件: 对任意$ k_1, \cdots, k_m\in{\mathbb N}_{+} $, 存在$ C_{k_i}, i = 1, \cdots, m $, 使得

$ \begin{eqnarray} &&\bigg(\int_{2^{k_m}|x-x'|\le|y_m-x|<2^{k_m+1}|x-x'|}\cdots\int_{2^{k_1}|x-x'|\le|y_1-x|<2^{k_1+1}|x-x'|}\\ &&|K(x, y_1, \cdots, y_m)-K(x', y_1, \cdots, y_m)|^q{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m\bigg)^{\frac{1}{q}}\\ &\le& C|x-x'|^{-\frac{mn}{q'}}\prod\limits_{i = 1}^m C_{k_i}2^{-\frac{nk_i}{q'}}, \end{eqnarray} $

其中$ 1/q+1/q' = 1 $$ 1<q<\infty $. 称核函数满足条件(1.2)和(1.5)的多线奇异积分算子$ T $为具有广义核的多线性Calderón-Zygmund算子. Lin在文献[14]得到了具有广义核的多线性Calderón-Zygmund算子在乘积加权Lebesgue空间上的有界性, 同时Lin在文献[14]中也指出当$ C_{k_i} = \omega(2^{-k_i})^{\frac1{m}} $时, (1.5)式就是(1.4)式.

设局部可积函数$ \vec{b} = (b_1, \cdots, b_m) $, 由多线性Calderón-Zygmund算子$ T $和函数$ \vec{b} $生成的$ m $ -线性交换子$ T_{\Sigma\vec{b}} $

$ \begin{equation} T_{\Sigma\vec{b}}(f_1, \cdots , f_m)(x) = \sum\limits_{j = 1}^mT_{b_j}^j(f_1, \cdots , f_m)(x), \end{equation} $

其中

Pérez和Torres在文献[19]中证明了当$ \vec{b}\in BMO^m $时, $ m $ -线性交换子$ T_{\Sigma\vec{b}} $$ L^{p_1}(\omega)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega) $$ L^{p}(\omega) $上有界的, 其中$ 1<p_1, \cdots , p_m<\infty $$ 1/p = 1/p_1+\cdots+1/p_m $.后来, Lerner等在文献[16]证明了当$ \vec{\omega}\in A_{\vec{P}} $时, $ m $ -线性交换子$ T_{\Sigma\vec{b}} $$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $$ L^p(\nu_{\vec{\omega}}) $上有界的, 其中$ 1<p_1, \cdots, p_m<\infty $$ 1/p = 1/p_1+\cdots+1/p_m $. 2017年, Lin和Xiao证明了具有广义核的$ m $ -线性Calderón-Zygmund算子也是$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $$ L^p(\nu_{\vec{\omega}}) $上有界的, 推广了文献[19]和[16]的结果.

20世纪80年代, Fabes, Jerison和Kenig研究了多线性Littlewood-Paley $ g $函数且发现多线性Littlewood-Paley型估计在偏微分和其他领域中具有重要的应用[5-7]. 此后涌现了越来越多的有关多线性Littlewood-Paley型算子的有界性结果[17, 21-22]. Xue和Yan[21]给出了如下的核定义.

定义1.1  CZ$ I $ -型积分光滑条件

(ⅰ) 设$ K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t}) $是定义在$ ({{\Bbb R}} ^{n})^{m+1} $上远离对角线$ x = y_1 = \cdots = y_m $的局部可积函数, 存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn}}, \end{equation} $

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)-K_t(z, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A|x-z|^{\varepsilon}}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn+\varepsilon}}, \end{equation} $

其中$ |x-z|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\} $;

(ⅱ)

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)-K_t(z, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A|y_j-y'_j|^{\varepsilon}}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn+\varepsilon}}, \end{equation} $

其中$ |y_j-y'_j|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\} $.

定义与$ K $相关的多线性平方算子$ T $

$ \begin{equation} T(\vec{f})(x) = \bigg(\int_0^\infty|\int_{{{\Bbb R}} ^{nm}}K_t(x, y_1, \cdots, y_m)f_1(y_1)\cdots f_m(y_m){\rm d}\vec{y}|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac12}, \end{equation} $

其中$ \vec{f} = (f_1, \cdots, f_m)\in (S({{\Bbb R}} ^n))^m $$ x\not\in\bigcap\limits_{j = 1}^m{\rm supp} f_j $. Xue和Yan证明了多线性平方算子$ T $$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $$ L^{p}(\nu_{\omega}) $上有界, 其中$ \nu_{\omega} = \prod\limits_{i = 1}^m\omega_i^{\frac{p}{p_i}} $$ \frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m} = \frac1{p} $. 随后, Si和薛[20]改进了文献[21]中的结果, 他们多形性平方算子$ T $的核函数的由CZ$ I $ -型积分光滑条件核降低为一类$ \omega $ - 型积分核.

定义1.2  $ \omega $ -型积分条件

(ⅰ) 设$ K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t}) $是定义在$ ({{\Bbb R}} ^{n})^{m+1} $上远离对角线$ x = y_1 = \cdots = y_m $的局部可积函数, 存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn}}, \end{equation} $

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)-K_t(z, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le \frac{A}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn}}\omega\bigg(\frac{|x-z|}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)}\bigg), \end{equation} $

其中$ |x-z|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\} $;

(ⅱ)

$ \begin{equation} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)-K_t(z, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn}}\omega\bigg(\frac{|y_j-y'_j|}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)}\bigg), \end{equation} $

其中$ |y_j-y'_j|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\} $.

Si和xue证明了当$ \omega(t)\in Dini(1) $时, 具有$ \omega(t) $ -型积分核的多线性平方算子也是$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $$ L^{p}(\nu_{\omega}) $上有界.下面我们介绍一类广义积分核条件:

定义1.3  (H$ _1) $: 设$ K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t}) $是定义在$ (R^{n})^{m+1} $上远离对角线$ x = y_1 = \cdots = y_m $的局部可积函数, 存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{eqnarray} \bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{1}{2}} \le\frac{A}{(\sum\limits_{k = 1}^m|x-y_k|)^{mn}}, \end{eqnarray} $

(H$ _2): $$ k_1, \cdots, k_m\in{\mathbb N}_{+} $, 存在$ C_{k_i}(i = 1, \cdots, m) $, 使得

$ \begin{eqnarray} &&\bigg(\int_{2^{k_m}|x-x'|\le|y_m-x|<2^{k_m+1}|x-x'|}\cdots\int_{2^{k_1}|x-x'|\le|y_1-x|<2^{k_1+1}|x-x'|}\\ &&\bigg(\int_0^\infty|K_t(x, y_1, \cdots, y_m)-K_t(x', y_1, \cdots, y_m)|^2\frac{{\rm d}t}{\rm t}\bigg)^{\frac{q}{2}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m\bigg)^{\frac{1}{q}}\\ &\le & C|x-x'|^{-\frac{mn}{q'}}\prod\limits_{i = 1}^mC_{k_i}2^{-\frac{nk_i}{q'}}, \end{eqnarray} $

其中$ 1/q+1/q' = 1 $$ 1<q<\infty $.称满足条件(H$ _1) $和(H$ _2) $$ K_t $为广义积分核.称广义积分核$ K_t $相关的多线性平方算子$ T $为具有广义核的多线性平方算子.

显然, 当$ C_{k_i} = \omega(2^{k_i})^{\frac1{m}} $, 广义积分核函数满足Si和Xue定义的$ \omega $型积分条件.受文献[15, 21]和[20]的启发, 我们将研究具有广义积分核的多线性平方算子在乘积Lebesgue空间上的加权有界性及其交换子的加权有界性.

我们首先得到了多线性平方算子的加权Lebesgue空间上的乘积估计.

定理1.1  设$ m\geq2, T $是定义(1.10)式中的多线性平方算子.对于$ i = 1, \cdots, m $, 核满足条件(H$ _{1}) $和(H$ _{2}) $$ \sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty $.假设$ 1\le r_1, \cdots, r_m\le q' $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m} $$ T $是从$ L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m} $连续映射到$ L^{r, \infty} $.则对于任意$ q'<p_1, \cdots, p_m<\infty $$ \frac{1}{p} = \frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m} $, 则$ T $$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $连续映射到$ L^{p}(\omega) $. 其中$ (\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1/q'}, \cdots, A_{p_m/q'}) $, $ \omega = \prod\limits_{j = 1}^m\omega_j^{\frac{p}{p_j}} $.

接下来研究的是多线性平方算子$ T $$ (L^\infty\times\cdots\times L^\infty, BMO) $有界性.

定理1.2  设$ m\geq2, T $是(1.10)式中的多线性平方算子.对于$ i = 1, \cdots, m $, 核满足条件(H$ _{1}) $和(H$ _{2}) $$ \sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty $. 假设$ 1\le r_1, \cdots, r_m\le q' $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m} $$ T $是从$ L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m} $连续映射到$ L^{r, \infty} $.$ T $是从$ L^{\infty}\times\cdots\times L^{\infty} $连续映射到$ BMO $.

下面定理讨论的是平方算子的交换子的加权范数不等式.

定理1.3  设$ m\geq2, T $是(1.6)式中的多线性平方算子的交换子.对于$ i = 1, \cdots, m $, 核满足条件(H$ _{1}) $和(H$ _{2}) $$ \sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty $.假设$ 1\le r_1, \cdots, r_m\le q' $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m} $$ T $是从$ L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m} $连续映射到$ L^{r, \infty} $.$ \vec{b}\in BMO^m $, 对于任意$ q'<p_1, \cdots, p_m<\infty $$ \frac{1}{p} = \frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m} $, $ T_{\sum \vec{b}} $$ L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m) $连续映射到$ L^{p}(\omega) $.其中$ (\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1/q'}, \cdots, A_{p_m/q'}) $, $ \omega = \prod\limits_{j = 1}^m\omega_j^{\frac{p}{p_j}} $.

注1.1   根据前面核函数的讨论, 定理1.1改进了文献[21]和[20]中的强型加权估计.事实上, 定理1.3也改进核函数条件为CZ$ I $ -型积分光滑条件的多线性平方函数的$ m $ -线性交换子在乘积Lebesgue空间的加权估计结论.

2 预备知识与主要引理

首先介绍一簇Muckenhoupt权$ \omega\in A_p $$ 1<p<\infty $.$ 1<p<\infty $, 如果对任意$ B\subset {{\Bbb R}} ^n $, 存在常数$ C $使得

则称权函数$ \omega\in A_p $; 如果存在常数$ C $, 使得

则称权函数$ \omega\in A_1 $; 并且定义$ A_\infty = \bigcup\limits_{1\leq p<\infty}A_p. $更多权函数的性质参见文献[8].

现在回顾经典的Hardy-Littlewood中心极大函数$ M $和sharp极大函数$ M^{\sharp} $的定义

其中$ f_Q = \frac{1}{|Q|}\int_Q f(y){\rm d}y $, $ Q $$ {{\Bbb R}} ^n $中的球.

接下给出另一些极大算子的定义, 对$ \delta>0 $, 定义

根据文献[8]可知, $ M $$ L^p(\omega) $有界当且仅当$ \omega\in A_p. $$ {\cal M}_r $$ L^p(\omega) $有界当且仅当$ \omega\in A_p. $

引理2.1(Kolmogorov不等式)[8]  设$ 0<p<q<\infty, $存在常数$ C = C_{p, q} $, 使得对任意的可测函数$ f $, 有

引理2.2[8]  (ⅰ) 对$ 1\leq p<q\leq\infty, A_p\subset A_q; $

(ⅱ) 若$ \omega\in A_1, $$ 0\leq\theta\leq1, $$ \omega^\theta\in A_1; $

(ⅲ) 对$ 1<p<\infty, \omega\in A_p $当且仅当$ \omega^{1-p^{\prime}}\in A_{p^{\prime}}. $

下面的引理是由Fefferman和Stein在文献[4]所得到的.

引理2.3[4]  设$ 0<p, \delta<\infty $$ \omega\in A_\infty({{\Bbb R}} ^n). $则存在常数$ C>0, $使得

对任意的光滑函数$ f $, 不等式左边部分是有限的.

引理2.4[8]  对$ (\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1}, \cdots, A_{p_m}) $, $ 1\le p_1, \cdots, p_m<\infty $$ 0<\theta_1, \cdots, \theta_m<1 $, 使得$ \theta_1+\cdots+\theta_m = 1 $, 有$ \omega_1^{\theta_1}\cdots\omega_m^{\theta_m}\in A_{\max\{p_1, \cdots, p_m\}} $.

3 带广义核的多线性平方算子在加权Lebesgue空间上的有界性

在证明带广义核的多线性平方算子在加权Lebesgue空间上的有界性之前,下面先介绍多线性平方算子的sharp极大函数的估计.

引理3.1  设$ m\geq2, T $是定义(1.10)中的多线性平方算子.对于$ i = 1, \cdots, m $, 核满足条件(H$ _1) $和(H$ _2) $$ \sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty $.假设$ 1\le r_1, \cdots, r_m\le q' $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m} $$ T $是从$ L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m} $$ L^{r, \infty} $的连续映射.若$ 0< \delta < \min \{1, \frac{q}{m}\} $, 有

  取以$ x_Q $为中心和边长为$ r_{Q} $的方体$ Q = Q(x_Q, r_{Q}) $.$ \lambda_i = (b_i)_{Q^*}, i = 1, 2 $.$ f_i $做如下分解

其中$ Q^\ast = 16Q. $对于$ 0 <\delta< \frac{q}m $,选取$ z_0\in 3Q\backslash 2Q $, 有

其中$ \vec{\alpha} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m) $$ (\alpha_1, \cdots, \alpha_m)\ne (\infty, \cdots, \infty) $.

由引理2.1和多线性平方算子$ T $$ (L^{r_1}\times\cdots\times L^{r_m}, L^{r, \infty}) $上的有界性, 可得

先估计$ II $.假设$ \alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty $$ \alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0 $. 根据Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$ z\in Q $$ y_1, \cdots, y_m\in (16Q)^c $, 有$ |y_j-z_0|\ge 2|z-z_0| $$ r_B\le|z-z_0|\le 4r_B $.运用Hölder不等式, Minkowski不等式得

最后结合$ I, II $$ III $的估计, 则引理证毕.

下面利用多线性平方算子的sharp极大函数估计证明定理1.1.

定理1.1的证明  由引理2.4知$ \omega\in A_{\max\{p_1/q, \cdots, p_m/q\}}\subset A_{\infty} $. 选取$ 0<\delta<\frac1{m} $, 利用引理2.3和引理3.1得

证明完毕.

4 带广义核的多线性平方算子在$ (L^\infty\times\cdots\times L^\infty, BMO) $空间上的有界性

定理1.2的证明  设$ f_1, \cdots, f_m\in L^\infty $.对任意球$ B(x_0, r) $, 将$ f_j $分解为

则可得

利用Hölder不等式和多线性平方算子$ T $$ (L^{p_1}\times \cdots\times L^{p_m}, L^p) $上的有界性得

现在估计$ D_2 $. 假设$ \alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty $$ \alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0 $.利用Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$ z\in B $$ y_1, \cdots, y_m\in (2Q)^c $, 有$ |y_j-z_0|\ge 2|z-z_0| $. 根据Minkowski不等式, 则有

定理1.2证明完毕.

5 多线性平方算子的m-次线性交换子在加权Lebesgue空间上的有界性

在证明定理1.3之前, 下面先介绍多线性平方算子交换子的中心极大函数的估计.

引理5.1  设$ m\geq2, T $是定义(1.10)中的多线性平方算子.对于$ i = 1, \cdots, m $, 核满足条件(H$ _1) $和(H$ _2) $$ \sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty $. 假设$ 1\le r_1, \cdots, r_m\le q' $$ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m} $$ T $是从$ L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m} $连续映射到$ L^{r, \infty} $.$ 0<\delta<\min\{1, \frac{q}{m}\}, \delta<\epsilon<\infty, \vec{b}\in BMO^m $$ q'<s<\infty $, 则对所有紧支集可测函数$ \vec{f} = (f_1, \cdots, f_m) $, 有

  固定$ x_Q $为中心和边长为$ r_{Q} $的方体$ Q = Q(x_Q, r_{Q}) $.为了简化计算, 仅考虑$ m = 2 $的情形.令$ \lambda_i = (b_i)_{Q^*} $, 将$ f_i $分解成为

其中$ Q^\ast = 16Q. $选取$ z_0\in 3Q\backslash 2Q $, 有

其中$ \vec{\alpha} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m) $.由于$ 0<\delta<\frac{1}{m} $$ \delta<\epsilon<\infty $, 存在$ 1<t<\min\{\frac{\epsilon}{\delta}, \frac{\delta}{1-\delta}\} $.则有$ \delta t<\epsilon $$ \delta t'>1 $.利用Hölder不等式可得

由于$ q'<s<\infty $, 记$ u = \frac{s}{q'} $, 则$ 1<t<\infty $. 根据$ 0<\delta<r<\infty $和引理 得

先估计$ II $, 假设$ \alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty $$ \alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0 $.运用Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$ z\in Q $$ y_1, \cdots, y_m\in (16Q)^c $, 则有$ |y_j-z_0|\ge 2|z-z_0| $$ r_Q\le|z-z_0|\le 4r_Q $.$ \frac{1}{q}+\frac{1}{uq'}+\frac{1}{u'q'} = 1 $, 利用Hölder不等式, Minkowski不等式可得

结合$ I, II $$ III $的估计, 引理证毕.

最后可以利用多线性平方算子交换子的sharp极大函数的点态估计证明定理1.3.

定理1.3的证明  选取$ \delta $$ \epsilon $满足$ 0<\delta<\epsilon<\frac{1}{m} $. 利用引理5.1和引理2.3, 可得

证明完毕.

参考文献

Coifman R R , Meyer Y .

Au-delá des opérateurs pseudo-différentiels

Asterisque, 1978, 57, 1- 185

[本文引用: 1]

Coifman R R , Meyer Y .

Commutateurs díntégrales singuliéres et opérateurs multilinéaires

Ann Inst Fourier Grenoble, 1978, 28, 177- 202

DOI:10.5802/aif.708     

Coifman R R , Meyer Y .

On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals

Trans Amer Math Soc, 1975, 212, 315- 331

DOI:10.1090/S0002-9947-1975-0380244-8      [本文引用: 1]

Fefferman C , Stein E .

Some maximal inequalities

Amer J Math, 1971, 93, 107- 115

DOI:10.2307/2373450      [本文引用: 2]

Fabes E B , Jerison D , Kenig C .

Multilinear Littlewood-Paley estimates with applications to partial differential equations

Proc Natl Acad Sci, 1982, 79, 5746- 5750

DOI:10.1073/pnas.79.18.5746      [本文引用: 1]

Fabes E B , Jerison D , Kenig C .

Necessary and sufficient conditions for absolute continuity of elliptic harmonic measure

Ann Math, 1984, 119, 121- 141

DOI:10.2307/2006966     

Fabes E B , Jerison D , Kenig C .

Multilinear square functions and partial differential equations

Amer J Math, 1985, 107, 1325- 1368

DOI:10.2307/2374409      [本文引用: 1]

Garía-Cuerva J, Rubio de Francia J L. Weighted Norm Inequalities and Related Topics. Amsterdam: North-Holland, 1985

[本文引用: 5]

Grafakos L , Torres R .

Multilinear Calderón-Zygmund theory

Adv Math, 2002, 165, 124- 164

DOI:10.1006/aima.2001.2028      [本文引用: 1]

Grafakos L , Torres R .

Maximal operator and weighted norm inequalities for multilinear singular integrals

Indiana Univ Math J, 2002, 51 (5): 1261- 1276

DOI:10.1512/iumj.2002.51.2114      [本文引用: 1]

Kenig C , Stein E M .

Multilinear estimates and fractional integration

Math Res Lett, 1999, 6, 1- 15

DOI:10.4310/MRL.1999.v6.n1.a1      [本文引用: 1]

Lacey M , Thiele C .

$L^p$ estimates on the bilinear Hilbert transform for $2\le p<\infty$

Ann Math, 1997, 146, 693- 724

DOI:10.2307/2952458      [本文引用: 1]

Lacey M , Thiele C .

On Calderón's conjecture

Ann Math, 1999, 149, 475- 496

DOI:10.2307/120971      [本文引用: 1]

Lin Y .

Endpoint estimates for multilinear singular integral operators

Georgian Math J, 2016, 23, 559- 570

DOI:10.1515/gmj-2016-0038      [本文引用: 2]

Lin Y , Xiao Y .

Multilinear singular integral operators with generalized kernels and their multilinear commutators

Acta Mathematica Sinica, 2017, 33, 1443- 1462

DOI:10.1007/s10114-017-7051-0      [本文引用: 1]

Lerner A K , Ombrosi S , Pérez C , et al.

New maximal functions and multiple weight for the multilinear Caldeón-Zygmund theory

Advances in Math, 2009, 220, 1222- 1264

DOI:10.1016/j.aim.2008.10.014      [本文引用: 2]

Li W , Xue Q , Yabuta K .

Weighted version of Carleson measure and multilinear Fourier multiplier

Forum Math, 2015, 27 (2): 787- 805

URL     [本文引用: 1]

Lu G , Zhang P .

Multilinear Calderón-Zygmund operator with kernels of Dinis type and applications

Nonlinear Anal TMA, 2014, 107, 92- 117

DOI:10.1016/j.na.2014.05.005      [本文引用: 1]

Pérez C , Torres R H .

Sharp maximal function estimates for multilinear singular integrals

Contemp Math, 2003, 320, 323- 331

URL     [本文引用: 2]

Si Z, Xue Q. Multilinear Square Functions with Kernels of Diniś Type. Journal Function Space, 2016, Article ID: 4876146

[本文引用: 3]

Xue Q , Yan J .

On multilinear square function and its applications to multilinear Littlewood-Paley operators with non-convolution type kernels

J Math Anal Appl, 2015, 422, 1342- 1362

DOI:10.1016/j.jmaa.2014.09.039      [本文引用: 5]

Yabuta K .

A multilinearization of Littlewood-Paley's $g$-function and Carleson measures

Tohoku Math J, 1982, 34, 251- 275

URL     [本文引用: 1]

/