众所周知, 经典的多线性Calderón-Zygmund理论始于Coifman和Meyer的工作^[1-3]. 自Lacey和Thiele^[12-13]在双线性Hilbert变换取得突破性进展后, Grafakos和Torres在文献[9]和[10]中系统的研究了多线性Calderón-Zygmund理论.Kenig和Stein^[11]研究了多线性分数次积分算子. 此后, 越来越多的数学家投身于这一领域的研究并取得了丰硕的成果.

设$m$是自然数, $K(y_0, y_1, \cdots, y_m)$是定义在$({{\Bbb R}}^{n})^{m+1}$上远离对角线$y_0 = y_1 = \cdots = y_m$的函数, 定义多线性算子$T$为

其中$f_j, j = 1, \cdots, m$是具有紧支撑集的函数且$x\not\in\bigcap\limits_{j = 1}^m {\rm supp} f_j$.

特别地, 称$K(x, y_1, \cdots, y_m)$为$m$ -线性Calderón-Zygmund核, 如果它满足如下条件.

(ⅰ) 尺寸条件: 对于所有的$({{\Bbb R}}^n)^{m+1}$中远离对角线的点$(y_0, y_1, \cdots, y_m)$, 存在$C>0$使得

(ⅱ) 光滑条件: 存在$\varepsilon>0$, 当$0\le j\le m$且$|y_j-y'_j|\le \frac12\max\limits_{0\le k\le m}\{|y_k-y_j|\}$, 有

称与$m$ -线性Calderón-Zygmund核$K$相关的多线性算子$T$为多线性Calderón-Zygmund算子, 如果$T$满足下列条件中之一

(ⅰ) 当$r>1$时, $T$是$L^{r_1, 1}\times\cdots\times L^{r_m, 1}$到$L^{r, \infty}$上的有界算子;

(ⅱ) 当$r = 1$时, $T$是$L^{r_1, 1}\times\cdots\times L^{r_m, 1}$到$L^{1}$上的有界算子.

近来, Lu和Zhang^[18]引进了$\omega$型多线性Calderón-Zygmund核且得到了这类多线性奇异积分算子的有界性. 设$\omega(t)$是定义在${{\Bbb R}} _+$上的非负非减的函数.称定义在$({{\Bbb R}} ^n)^{m+1}$上远离对角线$y_0 = y_1 = \cdots = y_m$的局部可积函数$K(y_0, y_1, \cdots, y_m)$为$\omega$型$m$ -线性Calderón-Zygmund核, 如果它满足尺寸条件(1.2)和

其中$1\le j\le m$和$|y_j-y'_j|\le \frac12\max\limits_{1\le j\le m}\{|y_0-y_j|\}$. 显然当$\omega(t) = t^\varepsilon$时, $\omega$ -型$m$ -线性算子$T$就是标准的多线性Calderón-Zygmund算子.

称$K(y_0, \cdots, y_m)$为$m$ -线性广义核, 如果$K(y_0, \cdots, y_m)$满足条件(1.2)和如下积分条件: 对任意$k_1, \cdots, k_m\in{\mathbb N}_{+}$, 存在$C_{k_i}, i = 1, \cdots, m$, 使得

其中$1/q+1/q' = 1$和$1<q<\infty$. 称核函数满足条件(1.2)和(1.5)的多线奇异积分算子$T$为具有广义核的多线性Calderón-Zygmund算子. Lin在文献[14]得到了具有广义核的多线性Calderón-Zygmund算子在乘积加权Lebesgue空间上的有界性, 同时Lin在文献[14]中也指出当$C_{k_i} = \omega(2^{-k_i})^{\frac1{m}}$时, (1.5)式就是(1.4)式.

设局部可积函数$\vec{b} = (b_1, \cdots, b_m)$, 由多线性Calderón-Zygmund算子$T$和函数$\vec{b}$生成的$m$ -线性交换子$T_{\Sigma\vec{b}}$为

其中

Pérez和Torres在文献[19]中证明了当$\vec{b}\in BMO^m$时, $m$ -线性交换子$T_{\Sigma\vec{b}}$是$L^{p_1}(\omega)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega)$到$L^{p}(\omega)$上有界的, 其中$1<p_1, \cdots , p_m<\infty$和$1/p = 1/p_1+\cdots+1/p_m$.后来, Lerner等在文献[16]证明了当$\vec{\omega}\in A_{\vec{P}}$时, $m$ -线性交换子$T_{\Sigma\vec{b}}$是$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$到$L^p(\nu_{\vec{\omega}})$上有界的, 其中$1<p_1, \cdots, p_m<\infty$且$1/p = 1/p_1+\cdots+1/p_m$. 2017年, Lin和Xiao证明了具有广义核的$m$ -线性Calderón-Zygmund算子也是$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$到$L^p(\nu_{\vec{\omega}})$上有界的, 推广了文献[19]和[16]的结果.

20世纪80年代, Fabes, Jerison和Kenig研究了多线性Littlewood-Paley $g$函数且发现多线性Littlewood-Paley型估计在偏微分和其他领域中具有重要的应用^[5-7]. 此后涌现了越来越多的有关多线性Littlewood-Paley型算子的有界性结果^{[17, 21-22]}. Xue和Yan^[21]给出了如下的核定义.

定义1.1  CZ$I$ -型积分光滑条件

(ⅰ) 设$K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t})$是定义在$({{\Bbb R}} ^{n})^{m+1}$上远离对角线$x = y_1 = \cdots = y_m$的局部可积函数, 存在常数$C>0$使得

其中$|x-z|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\}$;

(ⅱ)

其中$|y_j-y'_j|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\}$.

定义与$K$相关的多线性平方算子$T$为

其中$\vec{f} = (f_1, \cdots, f_m)\in (S({{\Bbb R}} ^n))^m$和$x\not\in\bigcap\limits_{j = 1}^m{\rm supp} f_j$. Xue和Yan证明了多线性平方算子$T$是$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$到$L^{p}(\nu_{\omega})$上有界, 其中$\nu_{\omega} = \prod\limits_{i = 1}^m\omega_i^{\frac{p}{p_i}}$且$\frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m} = \frac1{p}$. 随后, Si和薛^[20]改进了文献[21]中的结果, 他们多形性平方算子$T$的核函数的由CZ$I$ -型积分光滑条件核降低为一类$\omega$ - 型积分核.

定义1.2  $\omega$ -型积分条件

(ⅰ) 设$K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t})$是定义在$({{\Bbb R}} ^{n})^{m+1}$上远离对角线$x = y_1 = \cdots = y_m$的局部可积函数, 存在常数$C>0$使得

其中$|x-z|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\}$;

(ⅱ)

其中$|y_j-y'_j|\le\frac12\max\limits_{j = 1}^m\{|x-y_j|\}$.

Si和xue证明了当$\omega(t)\in Dini(1)$时, 具有$\omega(t)$ -型积分核的多线性平方算子也是$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$到$L^{p}(\nu_{\omega})$上有界.下面我们介绍一类广义积分核条件:

定义1.3  (H$_1)$: 设$K_t(x, y_1, \cdot, y_m) = t^{-mn}K(\frac{x}{t}, \frac{y_1}{t}, \cdots, \frac{y_m}{t})$是定义在$(R^{n})^{m+1}$上远离对角线$x = y_1 = \cdots = y_m$的局部可积函数, 存在常数$C>0$使得

(H$_2):$设$k_1, \cdots, k_m\in{\mathbb N}_{+}$, 存在$C_{k_i}(i = 1, \cdots, m)$, 使得

其中$1/q+1/q' = 1$和$1<q<\infty$.称满足条件(H$_1)$和(H$_2)$的$K_t$为广义积分核.称广义积分核$K_t$相关的多线性平方算子$T$为具有广义核的多线性平方算子.

显然, 当$C_{k_i} = \omega(2^{k_i})^{\frac1{m}}$, 广义积分核函数满足Si和Xue定义的$\omega$型积分条件.受文献[15, 21]和[20]的启发, 我们将研究具有广义积分核的多线性平方算子在乘积Lebesgue空间上的加权有界性及其交换子的加权有界性.

我们首先得到了多线性平方算子的加权Lebesgue空间上的乘积估计.

定理1.1  设$m\geq2, T$是定义(1.10)式中的多线性平方算子.对于$i = 1, \cdots, m$, 核满足条件(H$_{1})$和(H$_{2})$且$\sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty$.假设$1\le r_1, \cdots, r_m\le q'$且$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m}$和$T$是从$L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m}$连续映射到$L^{r, \infty}$.则对于任意$q'<p_1, \cdots, p_m<\infty$且$\frac{1}{p} = \frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m}$, 则$T$从$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$连续映射到$L^{p}(\omega)$. 其中$(\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1/q'}, \cdots, A_{p_m/q'})$, $\omega = \prod\limits_{j = 1}^m\omega_j^{\frac{p}{p_j}}$.

接下来研究的是多线性平方算子$T$的$(L^\infty\times\cdots\times L^\infty, BMO)$有界性.

定理1.2  设$m\geq2, T$是(1.10)式中的多线性平方算子.对于$i = 1, \cdots, m$, 核满足条件(H$_{1})$和(H$_{2})$且$\sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty$. 假设$1\le r_1, \cdots, r_m\le q'$且$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m}$和$T$是从$L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m}$连续映射到$L^{r, \infty}$.则$T$是从$L^{\infty}\times\cdots\times L^{\infty}$连续映射到$BMO$.

下面定理讨论的是平方算子的交换子的加权范数不等式.

定理1.3  设$m\geq2, T$是(1.6)式中的多线性平方算子的交换子.对于$i = 1, \cdots, m$, 核满足条件(H$_{1})$和(H$_{2})$且$\sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty$.假设$1\le r_1, \cdots, r_m\le q'$且$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m}$和$T$是从$L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m}$连续映射到$L^{r, \infty}$.若$\vec{b}\in BMO^m$, 对于任意$q'<p_1, \cdots, p_m<\infty$且$\frac{1}{p} = \frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_m}$, $T_{\sum \vec{b}}$从$L^{p_1}(\omega_1)\times\cdots\times L^{p_m}(\omega_m)$连续映射到$L^{p}(\omega)$.其中$(\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1/q'}, \cdots, A_{p_m/q'})$, $\omega = \prod\limits_{j = 1}^m\omega_j^{\frac{p}{p_j}}$.

注1.1   根据前面核函数的讨论, 定理1.1改进了文献[21]和[20]中的强型加权估计.事实上, 定理1.3也改进核函数条件为CZ$I$ -型积分光滑条件的多线性平方函数的$m$ -线性交换子在乘积Lebesgue空间的加权估计结论.

首先介绍一簇Muckenhoupt权$\omega\in A_p$且$1<p<\infty$. 设$1<p<\infty$, 如果对任意$B\subset {{\Bbb R}} ^n$, 存在常数$C$使得

则称权函数$\omega\in A_p$; 如果存在常数$C$, 使得

则称权函数$\omega\in A_1$; 并且定义$A_\infty = \bigcup\limits_{1\leq p<\infty}A_p.$更多权函数的性质参见文献[8].

现在回顾经典的Hardy-Littlewood中心极大函数$M$和sharp极大函数$M^{\sharp}$的定义

和

其中$f_Q = \frac{1}{|Q|}\int_Q f(y){\rm d}y$, $Q$为${{\Bbb R}} ^n$中的球.

接下给出另一些极大算子的定义, 对$\delta>0$, 定义

和

根据文献[8]可知, $M$是$L^p(\omega)$有界当且仅当$\omega\in A_p.$${\cal M}_r$在$L^p(\omega)$有界当且仅当$\omega\in A_p.$

引理2.1(Kolmogorov不等式)^[8]  设$0<p<q<\infty,$存在常数$C = C_{p, q}$, 使得对任意的可测函数$f$, 有

引理2.2^[8]  (ⅰ) 对$1\leq p<q\leq\infty, A_p\subset A_q;$

(ⅱ) 若$\omega\in A_1,$对$0\leq\theta\leq1,$有$\omega^\theta\in A_1;$

(ⅲ) 对$1<p<\infty, \omega\in A_p$当且仅当$\omega^{1-p^{\prime}}\in A_{p^{\prime}}.$

下面的引理是由Fefferman和Stein在文献[4]所得到的.

引理2.3^[4]  设$0<p, \delta<\infty$且$\omega\in A_\infty({{\Bbb R}} ^n).$则存在常数$C>0,$使得

对任意的光滑函数$f$, 不等式左边部分是有限的.

引理2.4^[8]  对$(\omega_1, \cdots, \omega_m)\in (A_{p_1}, \cdots, A_{p_m})$, $1\le p_1, \cdots, p_m<\infty$和$0<\theta_1, \cdots, \theta_m<1$, 使得$\theta_1+\cdots+\theta_m = 1$, 有$\omega_1^{\theta_1}\cdots\omega_m^{\theta_m}\in A_{\max\{p_1, \cdots, p_m\}}$.

在证明带广义核的多线性平方算子在加权Lebesgue空间上的有界性之前，下面先介绍多线性平方算子的sharp极大函数的估计.

引理3.1  设$m\geq2, T$是定义(1.10)中的多线性平方算子.对于$i = 1, \cdots, m$, 核满足条件(H$_1)$和(H$_2)$且$\sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty$.假设$1\le r_1, \cdots, r_m\le q'$且$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m}$和$T$是从$L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m}$到$L^{r, \infty}$的连续映射.若$0< \delta < \min \{1, \frac{q}{m}\}$, 有

证  取以$x_Q$为中心和边长为$r_{Q}$的方体$Q = Q(x_Q, r_{Q})$. 设$\lambda_i = (b_i)_{Q^*}, i = 1, 2$. 将$f_i$做如下分解

其中$Q^\ast = 16Q.$对于$0 <\delta< \frac{q}m$，选取$z_0\in 3Q\backslash 2Q$, 有

其中$\vec{\alpha} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$和$(\alpha_1, \cdots, \alpha_m)\ne (\infty, \cdots, \infty)$.

由引理2.1和多线性平方算子$T$在$(L^{r_1}\times\cdots\times L^{r_m}, L^{r, \infty})$上的有界性, 可得

先估计$II$.假设$\alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty$和$\alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0$. 根据Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$z\in Q$和$y_1, \cdots, y_m\in (16Q)^c$, 有$|y_j-z_0|\ge 2|z-z_0|$和$r_B\le|z-z_0|\le 4r_B$.运用Hölder不等式, Minkowski不等式得

最后结合$I, II$和$III$的估计, 则引理证毕.

下面利用多线性平方算子的sharp极大函数估计证明定理1.1.

定理1.1的证明  由引理2.4知$\omega\in A_{\max\{p_1/q, \cdots, p_m/q\}}\subset A_{\infty}$. 选取$0<\delta<\frac1{m}$, 利用引理2.3和引理3.1得

证明完毕.

定理1.2的证明  设$f_1, \cdots, f_m\in L^\infty$.对任意球$B(x_0, r)$, 将$f_j$分解为

则可得

利用Hölder不等式和多线性平方算子$T$在$(L^{p_1}\times \cdots\times L^{p_m}, L^p)$上的有界性得

现在估计$D_2$. 假设$\alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty$和$\alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0$.利用Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$z\in B$和$y_1, \cdots, y_m\in (2Q)^c$, 有$|y_j-z_0|\ge 2|z-z_0|$. 根据Minkowski不等式, 则有

定理1.2证明完毕.

在证明定理1.3之前, 下面先介绍多线性平方算子交换子的中心极大函数的估计.

引理5.1  设$m\geq2, T$是定义(1.10)中的多线性平方算子.对于$i = 1, \cdots, m$, 核满足条件(H$_1)$和(H$_2)$且$\sum\limits_{k_i = 1}^\infty C_{k_i}<\infty$. 假设$1\le r_1, \cdots, r_m\le q'$且$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1}+\cdots+\frac{1}{r_m}$和$T$是从$L^{r_1}\times \cdots\times L^{r_m}$连续映射到$L^{r, \infty}$.若$0<\delta<\min\{1, \frac{q}{m}\}, \delta<\epsilon<\infty, \vec{b}\in BMO^m$和$q'<s<\infty$, 则对所有紧支集可测函数$\vec{f} = (f_1, \cdots, f_m)$, 有

证  固定$x_Q$为中心和边长为$r_{Q}$的方体$Q = Q(x_Q, r_{Q})$.为了简化计算, 仅考虑$m = 2$的情形.令$\lambda_i = (b_i)_{Q^*}$, 将$f_i$分解成为

其中$Q^\ast = 16Q.$选取$z_0\in 3Q\backslash 2Q$, 有

则

其中$\vec{\alpha} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_m)$.由于$0<\delta<\frac{1}{m}$和$\delta<\epsilon<\infty$, 存在$1<t<\min\{\frac{\epsilon}{\delta}, \frac{\delta}{1-\delta}\}$.则有$\delta t<\epsilon$和$\delta t'>1$.利用Hölder不等式可得

由于$q'<s<\infty$, 记$u = \frac{s}{q'}$, 则$1<t<\infty$. 根据$0<\delta<r<\infty$和引理 得

先估计$II$, 假设$\alpha_1 = \cdots = \alpha_l = \infty$和$\alpha_{l+1} = \cdots = \alpha_{\infty} = 0$.运用Hölder不等式, Minkowski不等式得

对于$z\in Q$和$y_1, \cdots, y_m\in (16Q)^c$, 则有$|y_j-z_0|\ge 2|z-z_0|$和$r_Q\le|z-z_0|\le 4r_Q$. 记$\frac{1}{q}+\frac{1}{uq'}+\frac{1}{u'q'} = 1$, 利用Hölder不等式, Minkowski不等式可得

结合$I, II$和$III$的估计, 引理证毕.

最后可以利用多线性平方算子交换子的sharp极大函数的点态估计证明定理1.3.

定理1.3的证明  选取$\delta$和$\epsilon$满足$0<\delta<\epsilon<\frac{1}{m}$. 利用引理5.1和引理2.3, 可得

证明完毕.