一类广义的十次Freud-型权函数

一类广义的十次Freud-型权函数

王丹^,¹, 朱孟坤^,², YangChen^,¹, 王晓丽^,²

A Generalised Decic Freud-Type Weight

Wang Dan^,¹, Zhu Mengkun^,², Yang Chen^,¹, Wang Xiaoli^,²

通讯作者: 朱孟坤, E-mail: zmk@qlu.edu.cn

收稿日期: 2020-08-4

基金资助:

澳门科学技术发展基金.  FDCT023/2017/A1
澳门大学基金.  MYRG2018-00125FST
国家自然科学基金.  11801292
广东省自然科学基金.  2021A1515010361

Received: 2020-08-4

Fund supported:

the Macau Science and Technology Development Fund.  FDCT023/2017/A1
the Universidade de Macau.  MYRG2018-00125FST
the NSFC.  11801292
the NSF of Guangdong Province.  2021A1515010361

作者简介 About authors

王丹,E-mail:bohewan@126.com , E-mail：bohewan@126.com

YangChen,E-mail:yayangchen@um.edu.mo , E-mail：yayangchen@um.edu.mo

王晓丽,E-mail:wxlspu@qlu.edu.cn , E-mail：wxlspu@qlu.edu.cn

Abstract

In this paper, the authors focus on a generalised decic Freud-type weight function

$w(x;t, \alpha)=|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}, t, x\in\mathbb{R}, \alpha>-1,$

and study the properties of the orthogonal polynomials with respect to this weight. The difference-differential equations of their associated recurrence coefficients are derived; meanwhile, the authors also find the asymptotic behavior of recurrence coefficients via above mentioned equations. What's more, the authors discuss the Hankel determinant in regard to this weight as

$n\rightarrow\infty$

, and calculate the smallest eigenvalues of large Hankel matrices generated by this weight when

$\alpha=t=0$

Keywords： Orthogonal Polynomials ; Recurrence coefficients ; Hankel determinant ; Smallest eigenvalue

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本文引用格式

王丹, 朱孟坤, YangChen, 王晓丽. 一类广义的十次Freud-型权函数. 数学物理学报[J], 2021, 41(4): 921-935 doi:

Wang Dan, Zhu Mengkun, Yang Chen, Wang Xiaoli. A Generalised Decic Freud-Type Weight. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(4): 921-935 doi:

1 引言

正交多项式是在19世纪末由Chebyshev对连分式的研究发展起来的. 随后有越来越多的数学家, Szegö, Bernstein, Akhiezer, Ismail等等, 对它进行研究. 正交多项式有很多有用的性质, 并且广泛应用于数学及数学物理中, 例如近似理论, 随机过程, 随机矩阵. 自20世纪60年代, Géza Freud开始研究正交于实数域 ${{\mathbb R}}$ 上的指数型权函数 ${\rm e}^{-| x|^m}$ , 其中 $m$ 属于自然数集 $\mathbb{N}$ , 的正交多项式 $P_n(x)$ 以及相关的循环系数 $\beta_n$ 的渐近行为. 此类最高次项系数为1的(亦称首一的)正交多项式符合递推关系

$\begin{eqnarray*} xP_n(x) = P_{n+1}(x)+\beta_nP_{n-1}(x). \end{eqnarray*}$

上式中的循环系数 $\beta_n$ 和Painlevé方程的解有关, 这也是研究正交多项式的一个重要方面. 在应用数学, 计算数学以及物理中, 经常遇到的问题是将上述递推关系中的循环系数 $\beta_n$ 与权函数的性质联系起来. 这些关系可以转化为特殊的循环系数性质. 相当多的理论研究^[1-3]已经涉及了正交性质和循环系数的关系.

Freud^[4]给出了关于权函数 $|x|^{\rho}{\rm e}^{-|x|^m}$ , $\rho>-1$ , $m>0$ 的循环系数 $\beta_n$ 的一个猜想

$\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{n^{\frac{2}{m}}} = \bigg(\frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{m}{2}\right)}{\Gamma(m+1)}\bigg)^{\frac{2}{m}}, \end{equation}$

(1.1)

并证明了当 $m = 2, \; 4, \; 6$ 时猜想成立, 于是大胆猜测对于任意的正偶数 $m$ , (1.1) 式都成立. 这个猜想在1985年被Magnus^[5]证明. 随后, Lubinsky^[6]又给出了一个更广义的证明.

关于Freud - 型权函数 ${w}(x;t) = {\rm e}^{-x^4+tx^2}, \; \; t, x\in{{\mathbb R}} ,$ Magnus^[7]指出循环系数 $\beta_n$ 所满足的非线性离散方程 $\beta_n(\beta_{n-1}+\beta_n+\beta_{n+1})+2t\beta_n = n,$ 正是一个离散的二阶Painlevé方程. 后来, Clarkson^[8-9]又研究了一个更为广义的Freud - 型权函数

${w}(x;t, \lambda) = |x|^{2\lambda+1}{\rm e}^{-x^4+tx^2}, \; \; t, \; x\in{{\mathbb R}} , \; \; \lambda>-1,$

它所对应的循环系数 $\beta_n$ 还可以用含有抛物柱面函数的Wronskian行列式表示. 最近, 王丹等^[19]又讨论了一类六次的Freud - 型权函数

${w}(x;t, \lambda) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^6+tx^2}, \; \; x, \; t\in{{\mathbb R}} , \; \; \alpha>-1.$

朱孟坤等在文献[27]中构造了一类介于高斯权函数和四次Freud - 型权函数之间的权函数

${w}(x;s, \alpha, N) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-N\left[x^2+s\left(x^4-x^2\right)\right]}, \; x\in{{\mathbb R}} , \; \; \alpha>-1, \; \; s\in[0, 1], \; \; N>0,$

得到相关的循环系数满足第一类离散的Painlevé方程, 并讨论了该方程的解. 另外, 这篇文章中建立了正交于该权函数的多项式与一类双合流的Heun方程的关系. 这对正交多项式与Heun方程的交叉研究提供了一个思路. 更多关于Freud - 型权函数的研究, 可参考文献[10-13, 15].

设 $\{P_n(x)\}$ 为最高次项系数和次数分别为1 (亦称首一的)和 $n$ 的多项式, 并且正交于一个十次的Freud - 型权函数

$\begin{equation} {w}(x;t, \alpha) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}, \; \; t, \; x\in{{\mathbb R}} , \; \alpha>-1. \end{equation}$

(1.2)

根据正交条件, 可知

$\begin{equation} \int_{{{\mathbb R}} }P_m(x)P_n(x){w}(x;t, \alpha){\rm d}x = h_n(t, \alpha)\delta_{(m, n)}, \end{equation}$

(1.3)

这里, $h_n(t, \alpha)>0$ , $\delta_{(m, n)}$ 是指克罗内克 $\delta$ 函数, 即

$\delta_{(m, n)} = \left\{ \begin{array}{ll} 0&, \; \; m\neq n, \\ 1&, \; \; m = n. \end{array} \right.$

对正交于Freud - 型权函数(1.2)的多项式而言, 它们的三项循环递推关系式是

$\begin{equation} xP_n(x) = P_{n+1}(x)+\beta_nP_{n-1}(x), \; \; n = 0, \; 1, \; 2, \cdots, \end{equation}$

(1.4)

其中

$\begin{equation} \beta_n(t, \alpha) = \frac{1}{h_{n-1}(t, \alpha)}\int_{{{\mathbb R}} }xP_{n-1}(x)P_n(x){w}(x;t, \alpha){\rm d}x; \end{equation}$

(1.5)

且 $h_n$ 表示 $P_n$ 的 $L^2$ -范数的平方. 当 $n = 0$ 或 $1$ 时, 规定

$\beta_0(t, \alpha)P_{-1}(x) = 0, {\quad} P_0(x) = 1.$

另外, $P_n(x)$ 的展开式^[10]为 $P_{2k}(z) = z^{2k}+{\cal P}(2k; t)z^{2k-2}+\dots+P_{2k}(0)$ 和

$\begin{eqnarray*} P_{2k+1}(z)& = &z^{2k+1}+{\cal P}(2k+1;t)z^{2k-1}+\dots+Cz\\ & = &z\Big(z^{2k}+{\cal P}(2k+1;t)z^{2k-2}+\dots+C\Big). \end{eqnarray*}$

将(1.4) 式带入(1.5) 式, 可以得到 $\beta_n(t, \alpha)$ 的另外一种表述

$\begin{equation} \beta_n(t, \alpha) = \frac{h_n(t, \alpha)}{h_{n-1}(t, \alpha)}. \end{equation}$

(1.6)

关于十次Freud - 型权函数(1.2) 的矩定义为

$\begin{equation} \mu_k(t, \alpha) = \int_{{{\mathbb R}} }x^k|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x, \; \; k = 0, \; 1, 2, \cdots, \end{equation}$

(1.7)

它所决定的Hankel行列式记为 $D_n(t, \alpha)$ . 根据正交多项式的广义定理^{[14, 16-18]}, $D_n (t, \alpha)$ 还有两种表现形式

$\begin{equation} D_n(t, \alpha) = \det\Big(\mu_{j+k}(t, \alpha)\Big)_{j, k = 0}^{n-1} = \prod\limits_{j = 0}^{n-1}h_j(t, \alpha), \; \; n\geq 1, \end{equation}$

(1.8)

这里 $D_0 = 1$ , $D_{-1} = 0$ . 此外, $\beta_n(t, \alpha)$ 也可以用 $D_n(t, \alpha)$ 表示^[12]

$\begin{equation} \beta_n(t, \alpha) = \frac{D_{n+1}(t, \alpha)D_{n-1}(t, \alpha)}{D_n^2(t, \alpha)}. \end{equation}$

(1.9)

近年来, 较大病态Hankel矩阵的最小特征值的渐近行为成为一个研究热点, 具体内容可参考文献[28-38], 当 $\alpha = t = 0$ 时, (1.7) 式所决定的Hankel矩阵的最小特征值在本文中也有讨论.

Hankel矩阵是随机矩阵中最基本的研究对象之一. 其行列式可以代表一个特定随机矩阵的配分函数, 或者可以代表一个随机变量与系综相关的母函数, 亦或者与最大特征值的分布有关. 在给定一个权函数的前提下, 最大或最小特征值的研究又可以提供有关Hankel矩阵非常有用的信息.

在本文第2、3节, 我们将分别给出权函数(1.2)所对应的循环系数 $\beta_n$ 的行列式表示, 和它所符合的一个非线性离散方程. 基于第3节结果, 我们在第四部分给出了 $\beta_n$ 的一个近似值. 作为第2–4节的应用, 我们在第5、6节分别得到了其所对应的Hankel行列式满足的一个方程, 和当 $t = \alpha = 0$ 时, 得到对应Hankel矩阵的最小特征值的渐近行为.

2 循环系数的行列式表达

定义两个新的Hankel行列式

$\begin{eqnarray} \widehat{D}_n(t, \alpha) = \det\Big(\mu_{2j+2k}(t, \alpha)\Big)_{j, k = 0}^{n-1} = \left|\begin{array}{ccccc} \mu_0(t, \alpha) &\mu_2(t, \alpha)& \cdots&\mu_{2n-2}(t, \alpha) \\ \mu_2(t, \alpha) & \mu_4(t, \alpha) & \cdots &\mu_{2n}(t, \alpha)\\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\ \mu_{2n-2}(t, \alpha)&\mu_{2n}(t, \alpha)&\cdots &\mu_{4n-4}(t, \alpha) \end{array}\right| \end{eqnarray}$

(2.1)

和

$\begin{eqnarray} \widetilde{D}_n(t, \alpha) = \det\Big(\mu_{2j+2k+2}(t, \alpha)\Big)_{j, k = 0}^{n-1} = \left|\begin{array}{ccccc} \mu_2(t, \alpha) &\mu_4(t, \alpha)& \cdots&\mu_{2n}(t, \alpha) \\ \mu_4(t, \alpha) & \mu_6(t, \alpha) & \cdots &\mu_{2n+2}(t, \alpha)\\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\ \mu_{2n}(t, \alpha)&\mu_{2n+2}(t, \alpha)&\cdots &\mu_{4n-2}(t, \alpha) \end{array}\right|, \end{eqnarray}$

(2.2)

它们和(1.8)式可以建立起这样的联系

$\begin{equation} D_{2n}(t, \alpha) = \widehat{D}_n(t, \alpha)\widetilde{D}_n(t, \alpha), \; \; \; D_{2n+1}(t, \alpha) = \widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widetilde{D}_n(t, \alpha). \end{equation}$

(2.3)

与此同时, Freud -型权函数(1.2)作为定义在实数范围内恒正的对称函数, 所以 $\widehat{D}_n(t, \alpha)$ 和 $\widetilde{D}_n(t, \alpha)$ 还可用Wronskian行列式表示.

引理2.1 设 $W(\psi_1, \psi_2, \cdots, \psi_n)$ 是Wronskian行列式, 对于Freud - 型权函数(1.2),

$\begin{equation} \widehat{D}_n(t, \alpha) = W\bigg(\mu_0(t, \alpha), \frac{{\rm d}\mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t}, \cdots, \frac{{\rm d}^{n-1}\mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t^{n-1}}\bigg) \end{equation}$

(2.4)

和

$\begin{equation} \widetilde{D}_n(t, \alpha) = W\bigg(\frac{{\rm d}\mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t}, \frac{{\rm d}^2 \mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t^2}, \cdots, \frac{{\rm d}^{n}\mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t^{n}}\bigg) \end{equation}$

(2.5)

成立.

证对于任一个非负整数 $k$ , 有

$\frac{{\rm d}^k\mu_0(t, \alpha)}{{\rm d}t^k} = \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}t^k}\int_{{{\mathbb R}} } {w}(x;t, \alpha){\rm d}x = \int_{{{\mathbb R}} }x^{2k}|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x = \mu_{2k}(t, \alpha),$

再结合 $\widehat{D}_n(t, \alpha)$ 和 $\widetilde{D}_n(t, \alpha)$ 的定义(2.1) 和(2.2), 即可得证(2.4) 和(2.5)式.

注2.1

$\mu_{2k+1}(t, \alpha) = 0.$

借助Mathematica软件, 我们可以用超几何函数 ${}_1F_4(a_1; b_1, b_2, b_3, b_4; z)$ 表示0 -阶矩

$\begin{eqnarray} \mu_0(t, \alpha)& = &\int_{{{\mathbb R}} }|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x = 2\int_0^{\infty}|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x\\ & = &\frac{1}{5}\Gamma\Big(\frac{1+\alpha}{10}\Big)\; _1\textbf{F}_4\Big(\frac{1+\alpha}{10};\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5};\frac{t^5}{5^5}\Big) \\ && +\frac{t}{5}\Gamma\Big(\frac{3+\alpha}{10}\Big)\; _1\textbf{F}_4\Big(\frac{3+\alpha}{10};\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{6}{5};\frac{t^5}{5^5}\Big)\\ &&+\frac{t^2}{10}\Gamma\Big(\frac{5+\alpha}{10}\Big)\; _1\textbf{F}_4\Big(\frac{5+\alpha}{10};\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{7}{5};\frac{t^5}{5^5}\Big) \\ && +\frac{t^3}{30}\Gamma\Big(\frac{7+\alpha}{10}\Big)\; _1\textbf{F}_4\Big(\frac{7+\alpha}{10};\frac{4}{5}, \frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5};\frac{t^5}{5^5}\Big)\\ & &+\frac{t^4}{120}\Gamma\Big(\frac{9+\alpha}{10}\Big)\; _1\textbf{F}_4\Big(\frac{9+\alpha}{10};\frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5};\frac{t^5}{5^5}\Big). \end{eqnarray}$

(2.6)

图 1

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图 1 左图是当 $\alpha = -\frac{1}{3}, 0, \frac{3}{2}$ 和 $3$ 时, $\mu_0(t, \alpha)$ 图像; 右图是当 $t = -4, 0, \frac{1}{2}$ 和 $1$ 时, $\mu_0(t, \alpha)$ 图像

引理2.2 关于Freud - 型权函数(1.2)的Hankel行列式 $\widetilde{D}_n(t, \alpha)$ 和 $\widehat{D}_n(t, \alpha)$ 具有如下关系

$\begin{equation} \widetilde{D}_n(t, \alpha) = \widehat{D}_n(t, \alpha+2). \end{equation}$

(2.7)

证 $\forall m\in [0, 2n-2]$ , 有

$\begin{eqnarray*} \mu_{2m+2}(t, \alpha)& = &\int_{{{\mathbb R}} }x^{2m+2}|x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x = 2\int_0^{\infty}x^{2m+2+\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x\\ & = &2\int_0^{\infty}x^{2m}|x|^{\alpha+2}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x = \int_{{{\mathbb R}} }x^{2m}|x|^{\alpha+2}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2}{\rm d}x\\ & = &\mu_{2m}(t, \alpha+2), \end{eqnarray*}$

对照(2.1) 和(2.2) 式, 即可得证(2.7)式.

定理2.1 正交于Freud - 型权函数(1.2)的首一的正交多项式 $P_n(x)$ 满足

$\begin{equation} P_{n+1}(x) = xP_n(x)-\beta_n(t, \alpha)P_{n-1}(x), \end{equation}$

(2.8)

这里

$\begin{equation} \beta_{2n}(t, \alpha) = \frac{\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widehat{D}_{n-1}(t, \alpha+2)}{\widehat{D}_n(t, \alpha)\widehat{D}_n(t, \alpha+2)} = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\ln\frac{\widehat{D}_n(t, \alpha+2)}{\widehat{D}_n(t, \alpha)}, \end{equation}$

(2.9)

$\begin{equation} \beta_{2n+1}(t, \alpha) = \frac{\widehat{D}_{n}(t, \alpha)\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha+2)}{\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widehat{D}_n(t, \alpha+2)} = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\ln\frac{\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)}{\widehat{D}_n(t, \alpha+2)}, \end{equation}$

(2.10)

并且 $P_0(x) = 1$ , $\beta_0(t, \alpha)P_{-1}(x) = 0$ .

证根据(1.9)和(2.3)式, 有

$\beta_{2n}(t, \alpha) = \frac{\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widetilde{D}_{n-1}(t, \alpha)}{\widetilde{D}_{n}(t, \alpha)\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}{, }$

用引理2.2, 代换上式的 $\widetilde{D}_{n-1}(t, \alpha)$ 和 $\widetilde{D}_n(t, \alpha)$ , 可得

$\beta_{2n}(t, \alpha) = \frac{\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widehat{D}_{n-1}(t, \alpha+2)}{\widehat{D}_{n}(t, \alpha+2)\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}{.}$

另一方面, Vein和Dale^[20]已经证明

$\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)\widetilde{D}_{n-1}(t, \alpha) = \widehat{D}_{n}(t, \alpha)\frac{{\rm d}\widetilde{D}_{n+1}(t, \alpha)}{{\rm d}t}-\widetilde{D}_{n}(t, \alpha)\frac{{\rm d}\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}{{\rm d}t},$

那么 $\beta_{2n}(t, \alpha)$ 也可写成

$\beta_{2n}(t, \alpha) = \frac{1}{\widetilde{D}_{n}(t, \alpha)}\frac{{\rm d}\widetilde{D}_{n} (t, \alpha)}{{\rm d}t}-\frac{1}{\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}\frac{{\rm d}\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}{{\rm d}t} = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\ln\frac{\widetilde{D}_{n}(t, \alpha)}{\widehat{D}_{n}(t, \alpha)},$

再结合引理2.2, 可得

$\beta_{2n}(t, \alpha) = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\ln\frac{\widehat{D}_{n}(t, \alpha+2)}{\widehat{D}_{n}(t, \alpha)}.$

至此, 得证(2.9)式. 同理可得(2.10)式.

图 2

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图 2 当 $\alpha\equiv 1, t = -4, -\frac{1}{2}, 0$ 或 $2$ , $n = 2, 3, 4$ 或 $5$ 时, $P_n(x;t, \alpha)$ 图像

图 3

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图 3 当 $\alpha\equiv 1, t = -4, -\frac{1}{2}, 0$ 或 $2$ 时, $P_n(x;t, \alpha)$ 图像, $n = 2, 3, 4$ 或 $5$

注2.2 $\beta_0(t, \alpha) = 0$ , $\beta_1(t, \alpha) = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\ln\mu_0(t, \alpha)$ .

3 循环系数满足的差分方程

定理3.1 对于(1.4) 式中的循环系数 $\beta_n(t, \alpha)$ 符合如下的非线性离散方程

$\begin{eqnarray} & &10\beta_n\Big(\beta_{n-4}\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}+\beta_{n-3}^2\beta_{n-2}\beta_{n-1}+2\beta_{n-3}\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}+\beta_{n-2}^3\beta_{n-1} \\ &&+2\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}^2+3\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}^2+3\beta_{n-2}\beta_{n-1}^3+\beta_{n-1}^4 +2\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_n\\ &&+2\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}\beta_{n}+6\beta_{n-2}\beta_{n-1}^2\beta_{n} +4\beta_{n-1}^3\beta_{n}+3\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n}^2+6\beta_{n-1}^2\beta_{n}^2 \\ &&+4\beta_{n-1}\beta_n^3+\beta_n^4+\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1} +\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}\beta_{n+1}+2\beta_{n-2}\beta_{n-1}^2\beta_{n+1}\\ & &+\beta_{n-1}^3\beta_{n+1}+4\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n}\beta_{n+1} +6\beta_{n-1}^2\beta_{n}\beta_{n+1}+9\beta_{n-1}\beta_{n}^2\beta_{n+1}+4\beta_{n}^3\beta_{n+1}\\ &&+\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2+\beta_{n-1}^2\beta_{n+1}^2+6\beta_{n-1} \beta_{n}\beta_{n+1}^2+6\beta_{n}^2\beta_{n+1}^2+\beta_{n-1}\beta_{n+1}^3 +4\beta_{n}\beta_{n+1}^3\\ & &+\beta_{n+1}^4+\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+2}+\beta_{n-1}^2\beta_{n+1}\beta_{n+2} +3\beta_{n-1}\beta_n\beta_{n+1}\beta_{n+2}+2\beta_{n}^2\beta_{n+1}\beta_{n+2} \\ & &+\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}+4\beta_{n}\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}+2\beta_{n+1}^3\beta_{n+2} +\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}^2+\beta_{n-1}\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+3} \\ & & +\beta_{n}^2\beta_{n+1}\beta_{n+3}+\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2\beta_{n+3} +2\beta_{n}\beta_{n+1}^2\beta_{n+3}+\beta_{n+1}^3\beta_{n+3} +\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}\\ & &+3\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3} +3\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}\beta_{n+3}+2\beta_{n+1}\beta_{n+2}^2\beta_{n+3}+\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+3}^2 \\ && +\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+3}^2+\beta_{n+1}^2\beta_{n+3}^2+2\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}^2 +\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}\beta_{n+4}\Big)-2t\beta_{n}\\ & = &n+\frac{\alpha}{2}-\frac{(-1)^n\alpha}{2}. \end{eqnarray}$

(3.1)

证为了方便起见, 记

${w}(x) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}+tx^2} = |x|^{\alpha}{w}_0(x) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-v(x)}, \; \; x, t\in{{\mathbb R}} , \; \; \alpha>-1,$

这里 ${w}_0(x) = {\rm e}^{-x^{10}+tx^2}, \; v(x) = x^{10}-tx^2.$ 反复应用(1.4)式, 可以得到

$\begin{eqnarray} x^5P_n(x)& = &P_{n+5}(x)+\beta_{n+4}P_{n+3}(x)+(P_{n+3}(x)+\beta_{n+2}P_{n+1}(x))(\beta_n+\beta_{n+1}+\beta_{n+2}+\beta_{n+3})\\ & &+(P_{n+1}(x)+\beta_nP_{n-1}(x))(\beta_n\beta_{n-1}+\beta_n^2+2\beta_n\beta_{n+1}+\beta_{n+1}^2+\beta_{n+1}\beta_{n+2})\\ &&+(P_{n-1}(x)+\beta_{n-2}P_{n-3}(x))\beta_{n-1}\beta_n(\beta_{n-2}+\beta_{n-1}+\beta_n+\beta_{n+1})\\ & &+(P_{n-3}(x)+\beta_{n-4}P_{n-5}(x))\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_n, \end{eqnarray}$

(3.2)

$\begin{eqnarray} x^4P_{n-1}(x) & = &P_{n+3}(x)+\beta_{n+2}P_{n+1}(x)+(P_{n+1}(x)+\beta_{n}P_{n-1}(x))(\beta_n+\beta_{n+1}+\beta_{n-1})\\ &&+(P_{n-1}(x)+\beta_{n-2}P_{n-3}(x))\beta_{n-1}(\beta_{n-2}+\beta_{n-1}+\beta_{n})\\ &&+(P_{n-3}(x)+\beta_{n-4}P_{n-5}(x))\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}. \end{eqnarray}$

(3.3)

将(3.2) 和(3.3) 式带入到如下的积分计算中, 并结合(1.3) 式, 我们得到

$\begin{eqnarray} &&\int_{{{\mathbb R}} }\Big(P_n(x)P_{n-1}(x)|x|^{\alpha}\Big)^{\prime}{w}_0(x){\rm d}x \\ & = &P_n(x)P_{n-1}(x){w}(x)\mid_{-\infty}^{+\infty} -\int_{{{\mathbb R}} }P_n(x)P_{n-1}(x)|x|^{\alpha}{\rm d}{w}_0(x)\\ & = &\int_{{{\mathbb R}} }P_{n-1}(x)P_n(x){w}(x)(10x^9-2tx){\rm d}x\\ & = &10\int_{{{\mathbb R}} }(x^5P_n(x))(x^4P_{n-1}(x)){w}(x){\rm d}x-2t\int_{{{\mathbb R}} }xP_{n-1}(x)P_n(x){w}(x){\rm d}x\\ & = &10\beta_n\Big[\beta_{n-4}\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}+\beta_{n-3}^2\beta_{n-2}\beta_{n-1} +2\beta_{n-3}\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}+\beta_{n-2}^3\beta_{n-1}\\ & &+2\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}^2+3\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}^2+3\beta_{n-2}\beta_{n-1}^3 +\beta_{n-1}^4+2\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_n\\ &&+2\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}\beta_{n}+6\beta_{n-2}\beta_{n-1}^2\beta_{n}+4\beta_{n-1}^3\beta_{n} +3\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n}^2+6\beta_{n-1}^2\beta_{n}^2+4\beta_{n-1}\beta_n^3\\ &&+\beta_n^4+\beta_{n-3}\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1}+\beta_{n-2}^2\beta_{n-1}\beta_{n+1}+2\beta_{n-2} \beta_{n-1}^2\beta_{n+1}+\beta_{n-1}^3\beta_{n+1}\\ &&+4\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n}\beta_{n+1}+6\beta_{n-1}^2\beta_{n}\beta_{n+1}+9\beta_{n-1} \beta_{n}^2\beta_{n+1}+4\beta_{n}^3\beta_{n+1}+\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2\\ &&+\beta_{n-1}^2\beta_{n+1}^2+6\beta_{n-1}\beta_{n}\beta_{n+1}^2+6\beta_{n}^2\beta_{n+1}^2 +\beta_{n-1}\beta_{n+1}^3+4\beta_{n}\beta_{n+1}^3+\beta_{n+1}^4\\ & &+\beta_{n-2}\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+2}+\beta_{n-1}^2\beta_{n+1}\beta_{n+2}+3 \beta_{n-1}\beta_n\beta_{n+1}\beta_{n+2}+2\beta_{n}^2\beta_{n+1}\beta_{n+2}\\ &&+\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}+4\beta_{n}\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}+2\beta_{n+1}^3 \beta_{n+2}+\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}^2+\beta_{n-1}\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+3}\\ &&+\beta_{n}^2\beta_{n+1}\beta_{n+3}+\beta_{n-1}\beta_{n+1}^2\beta_{n+3}+2\beta_{n}\beta_{n+1}^2 \beta_{n+3}+\beta_{n+1}^3\beta_{n+3}+\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}\\ &&+3\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}+3\beta_{n+1}^2\beta_{n+2}\beta_{n+3} +2\beta_{n+1}\beta_{n+2}^2\beta_{n+3}+\beta_{n-1}\beta_{n+1}\beta_{n+3}^2\\ &&+\beta_{n}\beta_{n+1}\beta_{n+3}^2+\beta_{n+1}^2\beta_{n+3}^2+2\beta_{n+1}\beta_{n+2} \beta_{n+3}^2+\beta_{n+1}\beta_{n+2}\beta_{n+3}\beta_{n+4}\Big]h_{n-1}\\ &&-2t\beta_{n}h_{n-1}. \end{eqnarray}$

(3.4)

另一方面

$\begin{eqnarray} & &\int_{{{\mathbb R}} }\Big(P_n(x)P_{n-1}(x)|x|^{\alpha}\Big)^{\prime}{w}_0(x){\rm d}x\\ & = &\int_{{{\mathbb R}} }P_n^{\prime}(x)P_{n-1}(x){w}(x){\rm d}x+\int_{{{\mathbb R}} }P_n(x)P_{n-1}^{\prime}(x){w}(x){\rm d}x+\alpha\int_{{{\mathbb R}} }\frac{P_n(x)P_{n-1}(x)}{x}{w}(x){\rm d}x\\ & = &n h_{n-1}+\alpha h_{n-1}\Delta_n, \end{eqnarray}$

(3.5)

这里 $\Delta_n = \frac{1-(-1)^n}{2}$ , 理由是: 当 $n$ 是奇数时, $\frac{P_n(x)}{x}$ 是 $n-1$ 次多项式; 当 $n$ 是偶数时, $\frac{P_{n-1}(x)}{x}$ 是 $n-2$ 次多项式^[21]. 合并(3.4)和(3.5)式, 同时约去 $h_{n-1}$ , 结果得证.

注3.1 方程(3.1)是一个八阶差分方程, 属于离散的Painlevé I方程族, 可参考文献[22]. 类似地, 我们可称该方程为 $d_8{ P}_{I}$ .

4 循环系数的近似值

利用Freud^[4]中的结论, 关于权函数 ${w}(x;0, \alpha) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}}$ 的循环系数 $\beta_n$ 的渐近行为可表示为

$\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{\sqrt[5]{n}} = \bigg(\frac{\Gamma(5)\Gamma(6)}{\Gamma(11)}\bigg)^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1260}}, \end{equation}$

(4.1)

于是, 可以得到关于权函数(1.2)的循环系数 $\beta_n(t, \alpha)$ 的近似值.

图 4

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图 4 当 $\alpha\equiv 1, t = -4, -\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ 或 $5$ , $\beta_n(t, \alpha)$ 图像

定理4.1 对于(1.4) 式中的循环系数 $\beta_n(t, \alpha)$ , 有

$\bullet$ 当 $n$ 是偶数时

$\begin{eqnarray} \beta_n(t, \alpha)& = &\frac{n^{\frac{1}{5}}}{\phi}+\frac{\phi^3t}{3150n^{\frac{3}{5}}}-\frac{152+37\phi^5\alpha}{29925\phi n^{\frac{4}{5}}}-\frac{\phi^7 t^2}{9922500n^{\frac{7}{5}}}+\frac{(2888-4773\phi^5\alpha)\phi^3 t}{895505625n^{\frac{8}{5}}}\\ & &+\frac{1056355312+21866464\phi^5\alpha+11317\phi^{10}\alpha^2}{14328090000\phi n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.2)

$\bullet$ 当 $n$ 是奇数时

$\begin{eqnarray} \beta_n(t, \alpha)& = &\frac{n^{\frac{1}{5}}}{\phi}+\frac{\phi^3t}{3150n^{\frac{3}{5}}}-\frac{608-167\phi^5\alpha}{119700\phi n^{\frac{4}{5}}}-\frac{\phi^7 t^2}{9922500n^{\frac{7}{5}}}+\frac{(23104+37101\phi^5\alpha)\phi^3 t}{7164045000n^{\frac{8}{5}}}\\ & &+\frac{1056355312-21820256\phi^5\alpha-653\phi^{10}\alpha^2}{14328090000\phi n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.3)

这里, $\phi = \sqrt[5]{1260}$ .

证通过观察(3.1) 式, $(-1)^n$ 取决于 $n$ 是奇数或偶数. 于是, 不妨令

$\begin{equation} \beta_n = \left\{ \begin{array}{ll} u_n&, \; \; {{ n }是偶数{, }} \\ v_n&, \; \; {{ n }是奇数{, }} \end{array} \right. \end{equation}$

(4.4)

这里通过(4.1)式, 可知

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{\sqrt[5]{n}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1260}}, \; \; \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{v_n}{\sqrt[5]{n}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1260}}.$

这就意味着, $u_n$ 和 $v_n$ 也满足(3.1) 式, 分别是

$\begin{eqnarray} & &10u_n[u_{n-4}v_{n-3}u_{n-2}v_{n-1}+v_{n-3}^2u_{n-2}v_{n-1}+2v_{n-3}u_{n-2}^2v_{n-1}+u_{n-2}^3v_{n-1} +2v_{n-3}u_{n-2}v_{n-1}^2\\ & &+3u_{n-2}^2v_{n-1}^2+3u_{n-2}v_{n-1}^3+v_{n-1}^4+2v_{n-3}u_{n-2}v_{n-1}u_n+2u_{n-2}^2v_{n-1}u_{n}+6u_{n-2}v_{n-1}^2u_{n}\\ & &+4v_{n-1}^3u_{n}+3u_{n-2}v_{n-1}u_{n}^2+6v_{n-1}^2u_{n}^2+4v_{n-1}u_n^3+u_n^4+v_{n-3}u_{n-2}v_{n-1}v_{n+1}\\ & &+u_{n-2}^2v_{n-1}v_{n+1}+2u_{n-2}v_{n-1}^2v_{n+1}+v_{n-1}^3v_{n+1}+4u_{n-2}v_{n-1}u_{n}v_{n+1}+6v_{n-1}^2u_{n}v_{n+1}\\ &&+9v_{n-1}u_{n}^2v_{n+1}+4u_{n}^3v_{n+1}+u_{n-2}v_{n-1}v_{n+1}^2+v_{n-1}^2v_{n+1}^2+6v_{n-1}u_{n}v_{n+1}^2+6u_{n}^2v_{n+1}^2\\ &&+v_{n-1}v_{n+1}^3+4u_{n}v_{n+1}^3+v_{n+1}^4+u_{n-2}v_{n-1}v_{n+1}u_{n+2}+v_{n-1}^2v_{n+1}u_{n+2}+3v_{n-1}u_nv_{n+1}u_{n+2}\\ &&+2u_{n}^2v_{n+1}u_{n+2}+v_{n-1}v_{n+1}^2u_{n+2}+4u_{n}v_{n+1}^2u_{n+2}+2v_{n+1}^3u_{n+2}+v_{n+1}^2u_{n+2}^2\\ &&+v_{n-1}u_{n}v_{n+1}v_{n+3}+u_{n}^2v_{n+1}v_{n+3}+v_{n-1}v_{n+1}^2v_{n+3}+2u_{n}v_{n+1}^2v_{n+3}+v_{n+1}^3v_{n+3}\\ &&+v_{n-1}v_{n+1}u_{n+2}v_{n+3}+3u_{n}v_{n+1}u_{n+2}v_{n+3}+3v_{n+1}^2u_{n+2}v_{n+3}+2v_{n+1}u_{n+2}^2v_{n+3}\\ &&+v_{n-1}v_{n+1}v_{n+3}^2+u_{n}v_{n+1}v_{n+3}^2+v_{n+1}^2v_{n+3}^2+2v_{n+1}u_{n+2}v_{n+3}^2+v_{n+1}u_{n+2}v_{n+3}u_{n+4}]\\ &&-2tu_{n} = n \end{eqnarray}$

(4.5)

和

$\begin{eqnarray} & &10v_n[v_{n-4}u_{n-3}v_{n-2}u_{n-1}+u_{n-3}^2v_{n-2}u_{n-1}+2u_{n-3}v_{n-2}^2u_{n-1}+v_{n-2}^3u_{n-1} +2u_{n-3}v_{n-2}u_{n-1}^2\\ &&+3v_{n-2}^2u_{n-1}^2+3v_{n-2}u_{n-1}^3+u_{n-1}^4+2u_{n-3}v_{n-2}u_{n-1}v_n+2v_{n-2}^2u_{n-1}v_{n}+6v_{n-2}u_{n-1}^2v_{n}\\ &&+4u_{n-1}^3v_{n}+3v_{n-2}u_{n-1}v_{n}^2+6u_{n-1}^2v_{n}^2+4u_{n-1}v_n^3+v_n^4+u_{n-3}v_{n-2}u_{n-1}u_{n+1}\\ & &+v_{n-2}^2u_{n-1}u_{n+1}+2v_{n-2}u_{n-1}^2u_{n+1}+u_{n-1}^3u_{n+1}+4v_{n-2}u_{n-1}v_{n}u_{n+1}+6u_{n-1}^2v_{n}u_{n+1}\\ & &+9u_{n-1}v_{n}^2u_{n+1}+4v_{n}^3u_{n+1}+v_{n-2}u_{n-1}u_{n+1}^2+u_{n-1}^2u_{n+1}^2+6u_{n-1}v_{n}u_{n+1}^2+6v_{n}^2u_{n+1}^2\\ & &+u_{n-1}u_{n+1}^3+4v_{n}u_{n+1}^3+u_{n+1}^4+v_{n-2}u_{n-1}u_{n+1}v_{n+2}+u_{n-1}^2u_{n+1}v_{n+2}+3u_{n-1}v_nu_{n+1}v_{n+2}\\ & &+2v_{n}^2u_{n+1}v_{n+2}+u_{n-1}u_{n+1}^2v_{n+2}+4v_{n}u_{n+1}^2v_{n+2}+2u_{n+1}^3v_{n+2}+u_{n+1}^2v_{n+2}^2\\ & &+u_{n-1}v_{n}u_{n+1}u_{n+3}+v_{n}^2u_{n+1}u_{n+3}+u_{n-1}u_{n+1}^2u_{n+3}+2v_{n}u_{n+1}^2u_{n+3}+u_{n+1}^3u_{n+3}\\ & &+u_{n-1}u_{n+1}v_{n+2}u_{n+3}+3v_{n}u_{n+1}v_{n+2}u_{n+3}+3u_{n+1}^2v_{n+2}u_{n+3}+2u_{n+1}v_{n+2}^2u_{n+3}\\ & &+u_{n-1}u_{n+1}u_{n+3}^2+v_{n}u_{n+1}u_{n+3}^2+u_{n+1}^2u_{n+3}^2+2u_{n+1}v_{n+2}u_{n+3}^2+u_{n+1}v_{n+2}u_{n+3}v_{n+4}]\\ & &-2tv_{n} = n+\alpha. \end{eqnarray}$

(4.6)

设存在常数 $a_j$ 和 $b_j$ , $j = 0, 1, 2, \cdots, 9$ , 使得^{[8-9, 27]}

$\begin{equation} u_n = \frac{\sqrt[5]{n}}{\sqrt[5]{1260}}+\sum\limits_{j = 0}^{9}\frac{a_j}{n^{\frac{j}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \; \; \; v_n = \frac{\sqrt[5]{n}}{\sqrt[5]{1260}} +\sum\limits_{j = 0}^{9}\frac{b_j}{n^{\frac{j}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}). \end{equation}$

(4.7)

进而

$\begin{eqnarray} u_{n\pm 4}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+a_0+\frac{a_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{a_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{a_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{a_4\pm\frac{4}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{a_5}{n} +\frac{a_6\mp\frac{4a_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{a_7\mp\frac{8a_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{a_8\mp\frac{12a_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{a_9\mp\frac{16a_4}{5}-\frac{32}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.8)

$\begin{eqnarray} v_{n\pm 4}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+b_0+\frac{b_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{b_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{b_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{b_4\pm\frac{4}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{b_5}{n} +\frac{b_6\mp\frac{4b_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{b_7\mp\frac{8b_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{b_8\mp\frac{12b_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{b_9\mp\frac{16b_4}{5}-\frac{32}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.9)

$\begin{eqnarray} u_{n\pm 3}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+a_0+\frac{a_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{a_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{a_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{a_4\pm\frac{3}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{a_5}{n} +\frac{a_6\mp\frac{3a_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{a_7\mp\frac{6a_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{a_8\mp\frac{9a_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{a_9\mp\frac{12a_4}{5}-\frac{8}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.10)

$\begin{eqnarray} v_{n\pm 3}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+b_0+\frac{b_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{b_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{b_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{b_4\pm\frac{3}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{b_5}{n} +\frac{b_6\mp\frac{3b_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{b_7\mp\frac{6b_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{b_8\mp\frac{9b_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{b_9\mp\frac{12b_4}{5}-\frac{8}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.11)

$\begin{eqnarray} u_{n\pm 2}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+a_0+\frac{a_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{a_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{a_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{a_4\pm\frac{2}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{a_5}{n} +\frac{a_6\mp\frac{2a_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{a_7\mp\frac{4a_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{a_8\mp\frac{6a_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{a_9\mp\frac{8a_4}{5}-\frac{8}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.12)

$\begin{eqnarray} v_{n\pm 2}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+b_0+\frac{b_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{b_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{b_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{b_4\pm\frac{2}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{b_5}{n} +\frac{b_6\mp\frac{2b_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{b_7\mp\frac{4b_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{b_8\mp\frac{6b_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{b_9\mp\frac{8b_4}{5}-\frac{8}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.13)

$\begin{eqnarray} u_{n\pm 1}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+a_0+\frac{a_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{a_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{a_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{a_4\pm\frac{1}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{a_5}{n} +\frac{a_6\mp\frac{a_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{a_7\mp\frac{2a_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{a_8\mp\frac{3a_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{a_9\mp\frac{4a_4}{5}-\frac{2}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.14)

$\begin{eqnarray} v_{n\pm 1}& = &\frac{\sqrt[5]{n}}{\phi}+b_0+\frac{b_1}{\sqrt[5]{n}}+\frac{b_2}{n^{\frac{2}{5}}}+\frac{b_3}{n^{\frac{3}{5}}}+\frac{b_4\pm\frac{1}{5\phi}}{n^{\frac{4}{5}}}+\frac{b_5}{n} +\frac{b_6\mp\frac{b_1}{5}}{n^{\frac{6}{5}}}+\frac{b_7\mp\frac{2b_2}{5}}{n^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{b_8\mp\frac{3b_3}{5}}{n^{\frac{8}{5}}}+\frac{b_9\mp\frac{4b_4}{5}-\frac{2}{25\phi}}{n^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}(n^{-2}), \end{eqnarray}$

(4.15)

这里 $\phi = \sqrt[5]{1260}$ . 将(4.7)–(4.15) 式代入(4.5) 式和(4.6)式, 可以计算出

$a_0 = b_0 = 0, \; \; a_1 = b_1 = 0, \; \; a_2 = b_2 = 0, \; \; a_3 = b_3 = \frac{\phi^3 t}{3150}, \; \; a_4 = \frac{-37\phi^5\alpha-152}{29925\phi},$

$b_4 = \frac{167\phi^5\alpha-608}{119700\phi}, \; \; \; a_5 = b_5 = a_6 = b_6 = 0, \; \; \; a_7 = b_7 = -\frac{\phi^7 t^2}{9922500},$

$a_8 = \frac{(2888-4773\phi^5\alpha)\phi^3 t}{895505625}, \; \; \; b_8 = \frac{(23104+37101\phi^5\alpha)\phi^3 t}{7164045000},$

$a_9 = \frac{11317\phi^{10}\alpha^2+21866464\phi^5\alpha+1056355312}{14328090000\phi},$

$b_9 = \frac{-653\phi^{10}\alpha^2-21820256\phi^5\alpha+1056355312}{14328090000\phi}.$

定理4.1得证.

图 5

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图 5 当 $t\equiv 1, \alpha = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$ 或 $5$ 时, $\beta_n(t, \alpha)$ 图像

5 Hankel行列式满足的方程

定理5.1 关于Freud - 型权函数(1.2), 当 $n\rightarrow \infty$ 时, 对应的Hankel行列式满足关系式

$\begin{equation} D_{2n+1} = {\rm e}^{\Theta_n{+C}}D_{2n}, \end{equation}$

(5.1)

这里, $C$ 为任意常数,

$\begin{eqnarray*} \Theta_n& = &\frac{2^{\frac{4}{5}}tn^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}}+\frac{t^2}{5\times 3^{\frac{4}{5}}\times 70^{\frac{2}{5}}n^{\frac{3}{5}}}+\frac{(299+315\alpha)t}{3150\times 3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}n^{\frac{4}{5}}}-\frac{2^{\frac{2}{5}}t^3}{225\times 3^{\frac{1}{5}}\times {35}^{\frac{3}{5}}n^{\frac{7}{5}}}\nonumber\\ & &-\frac{(945\alpha+913)t^2}{31500\times 3^{\frac{4}{5}}\times 70^{\frac{2}{5}}n^{\frac{8}{5}}} +\frac{(264533850\alpha^2-313931205\alpha+16010711)t}{895505625\times 3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}n^{\frac{9}{5}}} +{\cal O}\left(n^{-2}\right). \end{eqnarray*}$

证在(2.9) 和(2.10) 式的两边同时进行积分, 可得

$\begin{equation} \int\beta_{2n}(t, \alpha){\rm d}t = \ln\widehat{D}_n(t, \alpha+2)-\ln\widehat{D}(t, \alpha){+C_1} \end{equation}$

(5.2)

和

$\begin{equation} \int\beta_{2n+1}(t, \alpha){\rm d}t = \ln\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha+2)-\ln\widehat{D}(t, \alpha+2){+C_2}. \end{equation}$

(5.3)

联立(5.2) 和(5.3) 式, 并且在消去 $\ln\widehat{D}_n(t, \alpha+2)$ 的同时, 应用(2.3) 式, 可得

$\begin{equation} \int(\beta_{2n}(t, \alpha)+\beta_{2n+1}(t, \alpha)){\rm d}t = \ln\widehat{D}_{n+1}(t, \alpha)-\ln\widehat{D}_n(t, \alpha){+C_3} = \ln\frac{D_{2n+1}(t, \alpha)}{D_{2n}(t, \alpha)}{+C_3}, \end{equation}$

(5.4)

其中 $C_1-C_3$ 为任意常数. 又根据(4.2) 和(4.3) 式, 有

$\begin{eqnarray} \beta_{2n}(t, \alpha)& = &\frac{n^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}}+\frac{t}{5\times 3^{\frac{4}{5}}\times 70^{\frac{2}{5}}n^{\frac{3}{5}}}-\frac{t^2}{75\times 3^{\frac{1}{5}}\times 70^{\frac{3}{5}}n^{\frac{7}{5}}}-\frac{(38+11655\alpha)2^{\frac{4}{5}}}{29925\times 3^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}n^{\frac{4}{5}}}\\ & &-\frac{2^{\frac{8}{5}}(1503495\alpha-722)\times 3^{\frac{1}{5}}\times 35^{\frac{3}{5}}t}{298501875n^{\frac{8}{5}}}+\frac{1122929325\alpha^2+1721984040\alpha+66022207}{3582022500\times 3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}n^{\frac{9}{5}}} \\ && +{\cal O}\left((2n)^{-2}\right), \end{eqnarray}$

(5.5)

$\begin{eqnarray} \beta_{2n+1}(t, \alpha)& = &\frac{(2n+1)^{\frac{1}{5}}}{6^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}}+\frac{2^{\frac{1}{5}}t}{5\times 3^{\frac{4}{5}}\times 35^{\frac{2}{5}}(2n+1)^{\frac{3}{5}}}-\frac{2^{\frac{4}{5}}t^2}{75\times 3^{\frac{1}{5}}\times 35^{\frac{3}{5}}(2n+1)^{\frac{7}{5}}}\\ & &+\frac{52605\alpha-152}{29925\times 6^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}(2n+1)^{\frac{4}{5}}} +\frac{2^{\frac{1}{5}}(11686815\alpha+5776)t}{2842875\times 3^{\frac{4}{5}}\times 35^{\frac{2}{5}}(2n+1)^{\frac{8}{5}}}\\ & &-\frac{64793925\alpha^2+1718345160\alpha-66022207}{895505625\times 6^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}(2n+1)^{\frac{9}{5}}}+{\cal O}\left((2n+1)^{-2}\right), \end{eqnarray}$

(5.6)

将(5.5) 和(5.6) 式代入(5.4) 式, 并且进行积分运算, 可得

$\begin{eqnarray*} \ln\frac{D_{2n+1}(t, \alpha)}{D_{2n}(t, \alpha)} & = &\frac{2^{\frac{4}{5}}tn^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{2}{5}}\times 35^{\frac{1}{5}}}+\frac{t^2}{5\times 3^{\frac{4}{5}}\times 70^{\frac{2}{5}}n^{\frac{3}{5}}}+\frac{(299+315\alpha)t}{3150\times 3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}n^{\frac{4}{5}}}-\frac{2^{\frac{2}{5}}t^3}{225\times 3^{\frac{1}{5}}\times {35}^{\frac{3}{5}}n^{\frac{7}{5}}}\nonumber\\ &&-\frac{(945\alpha+913)t^2}{31500\times 3^{\frac{4}{5}}\times 70^{\frac{2}{5}}n^{\frac{8}{5}}} +\frac{(264533850\alpha^2-313931205\alpha+16010711)t}{895505625\times 3^{\frac{2}{5}}\times 70^{\frac{1}{5}}n^{\frac{9}{5}}}\nonumber\\ & &+{\cal O}\left(n^{-2}\right){+C}, \end{eqnarray*}$

$C$ 为常数, 定理5.1得证.

6 Hankel矩阵的最小特征值

在这一节, 我们讨论由权函数

$\begin{equation} {w}_{E}(x) = {\rm e}^{-x^{10}}, \; \; \; \; x\in{{\mathbb R}} \end{equation}$

(6.1)

生成的Hankel矩阵的最小特征值在 $n\rightarrow \infty$ 时的渐近行为. 显然, 这个权函数是(1.2) 式当 $t = \alpha = 0$ 时的特例. 该节要用到的方法, 可参见文献[23, 31]. 它可被用于求任意一个指数型权函数 ${\rm e}^{-2Q(x)}$ 生成的Hankel矩阵的最小特征值在高维时的渐近行为, 这里 $Q(x)$ 是偶函数并且所符合的条件请参阅文献[31]. 对于函数(6.1)而言, $Q(x) = \frac{1}{2}x^{10}$ . 根据平衡测度以及Mhaskar-Rakhmanor-Saff数字 $a_n$ (参见文献[23, 31]), 循环系数 $\beta_n$ 的近似值可以表出, 这里 $a_n$ 是方程 $n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$ 唯一的正根. 除此之外, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\beta_n$ 和 $a_n$ 的关系式^[23]是

$\begin{equation} a_n^2 = 4\beta_n. \end{equation}$

(6.2)

接下来, 我们给出本文关于最小特征值的结论.

定理6.1 关于权函数(6.1), 它的最大Hankel矩阵所对应的最小特征值可以表示成

$\begin{equation} \lambda_n\simeq\frac{n^{\frac{9}{20}}}{{\cal K}^{\frac{1}{2}}}\exp\left(-\frac{525n^{\frac{1}{10}}}{864{\cal K}^9}+\frac{25n^{\frac{3}{10}}}{84{\cal K}^7}-\frac{3n^{\frac{1}{2}}}{10{\cal K}^5} +\frac{10n^{\frac{7}{10}}}{21{\cal K}^3}-\frac{20n^{\frac{9}{10}}}{9{\cal K}}\right), \end{equation}$

(6.3)

这里 ${\cal K} = \left(\frac{256}{315}\right)^{\frac{1}{10}}$ .

证不妨令 $v_E(x) = -\ln{w}_E(x) = x^{10}$ , 则 $v_E^{\prime}(x) = 10x^9$ . 对于函数(6.1), 根据库仑流体方法^[24-26]及其补充条件 $\int_a^b\frac{xv^{\prime}(x)}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}{\rm d}x = 2\pi n$ 可知

$2\pi n = \int_{-b_E}^{b_E}\frac{10x^{10}}{\sqrt{b_E^2-x^2}}{\rm d}x = 20\int_0^{b_E}\frac{x^{10}}{\sqrt{b_E^2-x^2}}{\rm d}x = 20b_E^{10}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}\theta {\rm d}\theta = \frac{315\pi}{128}b_E^{10},$

于是

$b_E^2\simeq \left(\frac{256n}{315}\right)^{\frac{1}{5}}.$

从而^[24], 有

$\begin{eqnarray} \beta_n\simeq\left(\frac{b_E-a_E}{4}\right)^2 = \frac{b_E^2}{4} = \left(\frac{n}{1260}\right)^{\frac{1}{5}}, \; \; \; n\rightarrow \infty, \end{eqnarray}$

(6.4)

这个结果也对应了(4.1)式. 将(6.4) 式应用于(6.2)式, 有

$a_n = \left(\frac{256n}{315}\right)^{\frac{1}{10}} = {\cal K}n^{\frac{1}{10}},$

这里 ${\cal K} = \left(\frac{256}{315}\right)^{\frac{1}{10}}$ .

基于Chen和Lubinsky的理论^[31], 同时利用 $\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 在 $x = 0$ 处的麦克劳林展开式

$\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}x^{2k+1}, \; \; \; |x|\leq 1,$

可以计算出最小特征值 $\lambda_n$ 如下

$\begin{eqnarray*} \lambda_n&\simeq& \sqrt{\frac{n}{a_n}}\exp\Big(-2\int_0^n\ln\Big(\frac{1}{a_s}+\sqrt{1+\frac{1}{a_s^2}}\Big){\rm d}s\Big)\nonumber\\ & = &\sqrt{\frac{n}{a_n}}\exp\Big(-2\int_0^n\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}a_s^{-2k-1}{\rm d}s\Big)\nonumber\\ & = &\frac{n^{\frac{9}{20}}}{{\cal K}^{\frac{1}{2}}}\exp\Big(-2\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}\int_0^n{\cal K}^{-2k-1}s^{\frac{-2k-1}{10}}{\rm d}s\Big)\nonumber\\ & = &\frac{n^{\frac{9}{20}}}{{\cal K}^{\frac{1}{2}}}\exp\Big(-2n\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}\frac{10a_n^{-2k-1}}{9-2k}\Big)\nonumber\\ &\simeq &\frac{n^{\frac{9}{20}}}{{\cal K}^{\frac{1}{2}}}\exp\Big(-2n\Big(\frac{10}{9{\cal K}n^{\frac{1}{10}}}-\frac{5}{21{\cal K}^3n^{\frac{3}{10}}} +\frac{3}{20{\cal K}^5n^{\frac{1}{2}}}-\frac{25}{168{\cal K}^7n^{\frac{7}{10}}}+\frac{175}{576{\cal K}^9n^{\frac{9}{10}}}+{\cal O}(n^{-1})\Big)\Big)\nonumber\\ &\simeq &\frac{n^{\frac{9}{20}}}{{\cal K}^{\frac{1}{2}}}\exp\Big(-\frac{175n^{\frac{1}{10}}}{288{\cal K}^9}+\frac{25n^{\frac{3}{10}}}{84{\cal K}^7}-\frac{3n^{\frac{1}{2}}}{10{\cal K}^5} +\frac{10n^{\frac{7}{10}}}{21{\cal K}^3}-\frac{20n^{\frac{9}{10}}}{9{\cal K}}\Big). \end{eqnarray*}$

定理6.1得证.

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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1978

... 上式中的循环系数

$\beta_n$

和Painlevé方程的解有关, 这也是研究正交多项式的一个重要方面. 在应用数学, 计算数学以及物理中, 经常遇到的问题是将上述递推关系中的循环系数

$\beta_n$

与权函数的性质联系起来. 这些关系可以转化为特殊的循环系数性质. 相当多的理论研究^[1-3]已经涉及了正交性质和循环系数的关系. ...

1971

1987

... 上式中的循环系数

$\beta_n$

和Painlevé方程的解有关, 这也是研究正交多项式的一个重要方面. 在应用数学, 计算数学以及物理中, 经常遇到的问题是将上述递推关系中的循环系数

$\beta_n$

与权函数的性质联系起来. 这些关系可以转化为特殊的循环系数性质. 相当多的理论研究^[1-3]已经涉及了正交性质和循环系数的关系. ...

On the coefficients in the recursion formulae of orthogonal polynomials

1976

... Freud^[4]给出了关于权函数

$|x|^{\rho}{\rm e}^{-|x|^m}$

$\rho>-1$

$m>0$

的循环系数

$\beta_n$

的一个猜想 ...

... 利用Freud^[4]中的结论, 关于权函数

${w}(x;0, \alpha) = |x|^{\alpha}{\rm e}^{-x^{10}}$

的循环系数

$\beta_n$

的渐近行为可表示为 ...

... 并证明了当

$m = 2, \; 4, \; 6$

时猜想成立, 于是大胆猜测对于任意的正偶数

$m$

, (1.1) 式都成立. 这个猜想在1985年被Magnus^[5]证明. 随后, Lubinsky^[6]又给出了一个更广义的证明. ...

A proof of Freud's conjecture for exponential weights

1988

... 并证明了当

$m = 2, \; 4, \; 6$

时猜想成立, 于是大胆猜测对于任意的正偶数

$m$

, (1.1) 式都成立. 这个猜想在1985年被Magnus^[5]证明. 随后, Lubinsky^[6]又给出了一个更广义的证明. ...

On Freud's equations for the exponential weights

1986

... 关于Freud - 型权函数

${w}(x;t) = {\rm e}^{-x^4+tx^2}, \; \; t, x\in{{\mathbb R}} ,$

Magnus^[7]指出循环系数

$\beta_n$

所满足的非线性离散方程

$\beta_n(\beta_{n-1}+\beta_n+\beta_{n+1})+2t\beta_n = n,$

正是一个离散的二阶Painlevé方程. 后来, Clarkson^[8-9]又研究了一个更为广义的Freud - 型权函数 ...

A generalized Freud weight

2016

... 关于Freud - 型权函数

${w}(x;t) = {\rm e}^{-x^4+tx^2}, \; \; t, x\in{{\mathbb R}} ,$

Magnus^[7]指出循环系数

$\beta_n$

所满足的非线性离散方程

$\beta_n(\beta_{n-1}+\beta_n+\beta_{n+1})+2t\beta_n = n,$

正是一个离散的二阶Painlevé方程. 后来, Clarkson^[8-9]又研究了一个更为广义的Freud - 型权函数 ...

... 设存在常数

$a_j$

和

$b_j$

$j = 0, 1, 2, \cdots, 9$

, 使得^{[8-9, 27]} ...

Properties of generalized Freud polynomials

2018

... 关于Freud - 型权函数

${w}(x;t) = {\rm e}^{-x^4+tx^2}, \; \; t, x\in{{\mathbb R}} ,$

Magnus^[7]指出循环系数

$\beta_n$

所满足的非线性离散方程

$\beta_n(\beta_{n-1}+\beta_n+\beta_{n+1})+2t\beta_n = n,$

正是一个离散的二阶Painlevé方程. 后来, Clarkson^[8-9]又研究了一个更为广义的Freud - 型权函数 ...

... 设存在常数

$a_j$

和

$b_j$

$j = 0, 1, 2, \cdots, 9$

, 使得^{[8-9, 27]} ...

Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials: Riemann-Hilbert problem, and universality in the matrix model

1999

... 得到相关的循环系数满足第一类离散的Painlevé方程, 并讨论了该方程的解. 另外, 这篇文章中建立了正交于该权函数的多项式与一类双合流的Heun方程的关系. 这对正交多项式与Heun方程的交叉研究提供了一个思路. 更多关于Freud - 型权函数的研究, 可参考文献[10-13, 15]. ...

... 另外,

$P_n(x)$

的展开式^[10]为

$P_{2k}(z) = z^{2k}+{\cal P}(2k; t)z^{2k-2}+\dots+P_{2k}(0)$

和 ...

Double scaling limit in the random matrix model: the Riemann-Hilbert approach

2003

The relationship between semiclassical Laguerre polynomials and the fourth Painlevé equation

2014

... 这里

$D_0 = 1$

$D_{-1} = 0$

. 此外,

$\beta_n(t, \alpha)$

也可以用

$D_n(t, \alpha)$

表示^[12] ...

2001

The largest eigenvalue distribution of the Laguerre unitary ensemble

2017

... 它所决定的Hankel行列式记为

$D_n(t, \alpha)$

. 根据正交多项式的广义定理^{[14, 16-18]},

$D_n (t, \alpha)$

还有两种表现形式 ...

Global asymptotics of orthogonal polynomials associated with

$|x|^{2\alpha}{\rm e}^{-Q(x)}$

2010

Estimates of the orthogonal polynomials with weight

$\exp(-x^m)$

$m$

an even positive integer

1986

... 它所决定的Hankel行列式记为

$D_n(t, \alpha)$

. 根据正交多项式的广义定理^{[14, 16-18]},

$D_n (t, \alpha)$

还有两种表现形式 ...

Orthogonal polynomials and their derivatives I

1984

Orthogonal polynomials with discontinuous weights

2005

... 它所决定的Hankel行列式记为

$D_n(t, \alpha)$

. 根据正交多项式的广义定理^{[14, 16-18]},

$D_n (t, \alpha)$

还有两种表现形式 ...

On semi-classical orthogonal polynomials associated with a Freud - type weight

2020

... 它所对应的循环系数

$\beta_n$

还可以用含有抛物柱面函数的Wronskian行列式表示. 最近, 王丹等^[19]又讨论了一类六次的Freud - 型权函数 ...

1999

... 另一方面, Vein和Dale^[20]已经证明 ...

... 这里

$\Delta_n = \frac{1-(-1)^n}{2}$

, 理由是: 当

$n$

是奇数时,

$\frac{P_n(x)}{x}$

是

$n-1$

次多项式; 当

$n$

是偶数时,

$\frac{P_{n-1}(x)}{x}$

是

$n-2$

次多项式^[21]. 合并(3.4)和(3.5)式, 同时约去

$h_{n-1}$

, 结果得证. ...

The discrete first, second and thirty-fourth Painlevé hierarchies

1999

... 注3.1 方程(3.1)是一个八阶差分方程, 属于离散的Painlevé I方程族, 可参考文献[22]. 类似地, 我们可称该方程为

$d_8{ P}_{I}$

. ...

Asymptotics of recurrence coefficients for orthonormal polynomials on the line-Magnus method revisited

2004

... 生成的Hankel矩阵的最小特征值在

$n\rightarrow \infty$

时的渐近行为. 显然, 这个权函数是(1.2) 式当

$t = \alpha = 0$

时的特例. 该节要用到的方法, 可参见文献[23, 31]. 它可被用于求任意一个指数型权函数

${\rm e}^{-2Q(x)}$

生成的Hankel矩阵的最小特征值在高维时的渐近行为, 这里

$Q(x)$

是偶函数并且所符合的条件请参阅文献[31]. 对于函数(6.1)而言,

$Q(x) = \frac{1}{2}x^{10}$

. 根据平衡测度以及Mhaskar-Rakhmanor-Saff数字

$a_n$

(参见文献[23, 31]), 循环系数

$\beta_n$

的近似值可以表出, 这里

$a_n$

是方程

$n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$

唯一的正根. 除此之外, 当

$n\rightarrow \infty$

时,

$\beta_n$

和

$a_n$

的关系式^[23]是 ...

... (参见文献[23, 31]), 循环系数

$\beta_n$

的近似值可以表出, 这里

$a_n$

是方程

$n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$

唯一的正根. 除此之外, 当

$n\rightarrow \infty$

时,

$\beta_n$

和

$a_n$

的关系式^[23]是 ...

... [23]是 ...

Thermodynamic relations of the Hermitian matrix ensembles

1997

... 证不妨令

$v_E(x) = -\ln{w}_E(x) = x^{10}$

, 则

$v_E^{\prime}(x) = 10x^9$

. 对于函数(6.1), 根据库仑流体方法^[24-26]及其补充条件

$\int_a^b\frac{xv^{\prime}(x)}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}{\rm d}x = 2\pi n$

可知 ...

... 从而^[24], 有 ...

On the linear statistics of Hermitian random matrices

1998

Coulomb fluid, Painlevé transcendents and the information theory of MIMO systems

2012

... 证不妨令

$v_E(x) = -\ln{w}_E(x) = x^{10}$

, 则

$v_E^{\prime}(x) = 10x^9$

. 对于函数(6.1), 根据库仑流体方法^[24-26]及其补充条件

$\int_a^b\frac{xv^{\prime}(x)}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}{\rm d}x = 2\pi n$

可知 ...

On properties of a deformed Freud weight

2019

... 朱孟坤等在文献[27]中构造了一类介于高斯权函数和四次Freud - 型权函数之间的权函数 ...

... 设存在常数

$a_j$

和

$b_j$

$j = 0, 1, 2, \cdots, 9$

, 使得^{[8-9, 27]} ...

Small eigenvalues of large Hankel matrices: The indeterminate case

2002

... 近年来, 较大病态Hankel矩阵的最小特征值的渐近行为成为一个研究热点, 具体内容可参考文献[28-38], 当

$\alpha = t = 0$

时, (1.7) 式所决定的Hankel矩阵的最小特征值在本文中也有讨论. ...

The smallest eigenvalue of Hankel matrices

2011

Small eigenvalues of large Hankel matrices

1999

Smallest eigenvalues of Hankel matrices for exponential weights

2004

... 生成的Hankel矩阵的最小特征值在

$n\rightarrow \infty$

时的渐近行为. 显然, 这个权函数是(1.2) 式当

$t = \alpha = 0$

时的特例. 该节要用到的方法, 可参见文献[23, 31]. 它可被用于求任意一个指数型权函数

${\rm e}^{-2Q(x)}$

生成的Hankel矩阵的最小特征值在高维时的渐近行为, 这里

$Q(x)$

是偶函数并且所符合的条件请参阅文献[31]. 对于函数(6.1)而言,

$Q(x) = \frac{1}{2}x^{10}$

. 根据平衡测度以及Mhaskar-Rakhmanor-Saff数字

$a_n$

(参见文献[23, 31]), 循环系数

$\beta_n$

的近似值可以表出, 这里

$a_n$

是方程

$n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$

唯一的正根. 除此之外, 当

$n\rightarrow \infty$

时,

$\beta_n$

和

$a_n$

的关系式^[23]是 ...

... 是偶函数并且所符合的条件请参阅文献[31]. 对于函数(6.1)而言,

$Q(x) = \frac{1}{2}x^{10}$

. 根据平衡测度以及Mhaskar-Rakhmanor-Saff数字

$a_n$

(参见文献[23, 31]), 循环系数

$\beta_n$

的近似值可以表出, 这里

$a_n$

是方程

$n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$

唯一的正根. 除此之外, 当

$n\rightarrow \infty$

时,

$\beta_n$

和

$a_n$

的关系式^[23]是 ...

... , 31]), 循环系数

$\beta_n$

的近似值可以表出, 这里

$a_n$

是方程

$n = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{a_ntQ^{\prime}(a_nt)}{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}t$

唯一的正根. 除此之外, 当

$n\rightarrow \infty$

时,

$\beta_n$

和

$a_n$

的关系式^[23]是 ...

... 基于Chen和Lubinsky的理论^[31], 同时利用

$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

在

$x = 0$

处的麦克劳林展开式 ...

Computing the smallest eigenvalue of large ill-conditioned Hankel matrices

2015

On some Hermitian forms associated with two given curves of the complex plane

1936

Small eigenvalues of large Hankel matrices

1966

The smallest eigenvalue of large Hankel matrices

2018

The smallest eigenvalue of large Hankel matrices generated by a deformed Laguerre weight

2019

Smallest eigenvalue of large Hankel matrices at critical point: Comparing conjecture with parallelised computation

2019

The smallest eigenvalue of large Hankel matrices generated by a singularly perturbed Laguerre weight

2020

... 近年来, 较大病态Hankel矩阵的最小特征值的渐近行为成为一个研究热点, 具体内容可参考文献[28-38], 当

$\alpha = t = 0$

时, (1.7) 式所决定的Hankel矩阵的最小特征值在本文中也有讨论. ...

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