量子游荡作为经典随机游荡概念的量子化版本, 最早由Aharonov等人于1993年提出^[1], 它是构成量子算法的有力工具^[2-3]. 量子游荡包括连续时间量子游荡和离散时间量子游荡. 连续时间量子游荡最早于1998年由Farhi和Gutmann提出^[4]; 离散时间量子游荡最早于2001年由Watrous提出^[5]. 其中, 线性、格上、环上和高维空间上的离散时间量子游荡受到了广泛关注^[6]. 作为数学模型, 学者们主要研究其基础性质, 包括概率分布、平稳测度、对称性、命中时间、周期性、渐进性等^[7-12].

近年来, 学者们也关注了非齐次量子游荡, 主要有交替式量子游荡、时间非齐次量子游荡和空间非齐次量子游荡. 这些模型主要特点是系统演化酉算子会随时间或空间变化而变化. 2009年, N.Linden等人最早引入非齐次量子游荡模型, 将硬币演化算子设为与状态和空间有关的量, 由此推导出有界性等相关性质^[13]. 2010年, Shikano等人引入一维格上自对偶非齐次量子游荡, 研究其局域性和分形(霍夫斯塔特蝴蝶)^[14]. 对于交替式量子游荡, 2017年Rousseva等人研究以相同角度顺时针和逆时针进行交替旋转的非齐次量子游荡, 并使用相位法近似计算游荡概率^[15]. 对于空间非齐次量子游荡, 2013年Konno等人研究空间非齐次量子游荡并提出平均时间极限、弱极限和平稳等三类测度^[16]; 2019年韩琦提出空间非齐次三态量子游荡的平稳测度^[17]. 对于时间非齐次量子游荡, 2013年Machida讨论时间非齐次二态量子游荡的几种极限概率分布^[18].

该文针对时间非齐次二态量子游荡分析其演化过程, 建立相应的数学模型, 通过归纳硬币演化序列给出位置概率分布的计算表达式, 运用谱理论分析系统量子态的演化过程, 从随机微分方程角度引出时间非齐次二态量子游荡的伊藤引理和伊藤公式, 并对公式进行矩阵分解和解释.

定义2.1  设一个量子系统的状态空间为${\cal H} = {\cal H}_C\otimes{\cal H}_P$, 其中${\cal H}_C = span\{|0\rangle, |1\rangle\}$表示为硬币状态空间, ${\cal H}_P = span\{|x\rangle: x\in {\Bbb Z}\}$表示为位置状态空间, 系统的酉算子为$\boldsymbol{ U }_t = \boldsymbol{ S }\cdot(\boldsymbol{ C }_{t}\otimes \boldsymbol{ I }), t = 1, 2, \cdots, N$, 其中$\boldsymbol{ C }_{t} = \left( \begin{array}{ccc} a_{t} & b_{t} \\ c_{t} & d_{t} \\ \end{array} \right)$为硬币演化算子; $\boldsymbol{ S } = \sum\limits_{x\in{\Bbb Z}} [|0\rangle\langle 0|\otimes|x-1\rangle\langle x|+|1\rangle\langle 1|\otimes|x+1\rangle\langle x|]$为移位算子, 称该系统为时间非齐次二态量子游荡.

该文简称时间非齐次二态量子游荡为非齐次量子游荡. 如果硬币演化算子不会随着时间或者空间改变而变化, 则称为齐次量子游荡.

将硬币演化算子$\boldsymbol{ C }_t$分解为$\boldsymbol{ C }_{t} = \boldsymbol{ P }_{t}+\boldsymbol{ Q }_t$, 其中$\boldsymbol{ P }_{t} = \left( \begin{array}{ccc} a_{t} & b_{t} \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$表示为向左演化算子; $\boldsymbol{ Q }_{t} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 \\ c_{t} & d_{t} \\ \end{array} \right)$表示向右演化算子. 如果硬币演化算子定义为$\boldsymbol{ C }_{t} = \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta_{t} & \sin\theta_{t} \\ \sin\theta_{t} & -\cos\theta_{t} \\ \end{array} \right)$, 则称为硬币翻转算子, 其中$\theta_{t}\in[0, 2\pi]$为翻转角度. 该文采用硬币翻转算子作为硬币演化算子. 设系统的量子初态为$|\psi_{0}\rangle$, 将酉算子$\boldsymbol{ U }_1, \boldsymbol{ U }_2, \cdots, \boldsymbol{ U }_t$依次作用在$|\psi_0\rangle$上, 得到$t$次演化后的量子态

该式给出了系统经过$t$次演化后的量子态表达式, 它与次数$t$有关. 其中, $|\psi_{t}(x)\rangle = \psi^L_{t}(x)|0\rangle+\psi^R_{t}(x)|1\rangle, x\in{\Bbb Z}$. 由于$|\psi_{t}(x)\rangle$与位置$x$有关, 故称它为关于位置$x$的状态波函数, 其中概率振幅$\psi^L_{t}(x)$和$\psi^R_{t}(x)$分别计算如下

给定函数$f_j:{\Bbb Z}\rightarrow {\Bbb C}$, 定义离散傅里叶变换为$\hat{f}_t:[-\pi, \pi]\rightarrow {\Bbb C}$使得

其中${\rm i}$是虚根, $s\in[-\pi, \pi]$, $j\in{\Bbb Z}$; 同时定义离散傅里叶逆变换为

对系统经过$t$次演化后处于位置$x$的状态波函数$|\psi_{t}(x)\rangle$分别做离散傅里叶变换和逆变换, 记为

函数$\widehat{\psi}_{t}(\xi)$与$\widehat{\psi}_{t-1}(\xi)$的关系为

其中$\boldsymbol{ C }_t(\xi) = \left( \begin{array}{ccc} {\rm e}^{-{\rm i}\xi} & 0 \\ 0 & {\rm e}^{{\rm i}\xi} \\ \end{array} \right)\boldsymbol{ C }_{t}$. 于是, 系统经过$t$次演化后得到

非齐次量子游荡经过$N$次演化后的位置集合记为$B_{N} = \{-N, -N+1, \cdots, N-1, N\}$. 基于位置集合构造笛卡尔积$\Omega_N = B^{N+1}_N = \{-N, -N+1, \cdots, N-1, N\}^{N+1}$.

定义3.1   任取一个向量$\omega = (\omega(0), \omega(1), \cdots, \omega(N))\in \Omega_N$, 其中分量$\omega(0), \omega(1), \cdots,$$\omega(N)$分别表示系统在$t = 0, 1, \cdots, N$时刻所处的位置, 其中令$\omega(0) = 0$, 则称该向量为一条位置路径.

定义3.2   称$v = \nabla\omega = (v(1), v(2), \cdots, v(N)) = (\omega(1)-\omega(0), \omega(2)-\omega(1), \cdots, \omega(N) -\omega(N-1))$为一条移动路径.

在该定义中, $\omega(t)-\omega(t-1)\in\{-1, 1\}(t = 1, 2, \cdots, N)$表示系统所经历的前后位置差, 反映移动的方向. 当$v(t) = -1$时, 表示系统在第$t$时刻向左移动一个位置; 当$v(t) = 1$时, 表示系统在第$t$时刻向右移动一个位置. 因而, 可以用$v$表示移动的方向序列.

设$u = (u(1), u(2), \cdots, u(N)) = (I_{\{1\}}(v(1)), I_{\{1\}}(v(2)), \cdots, I_{\{1\}}(v(N)))$, 其中分量$I_{\{1\}}$$(x)$表示集合$\{1\}$的示性函数. 当$v(t) = 1$时$u(t) = 1$; 当$v(t) = -1$时$u(t) = 0$. 记$v_i$为系统在时刻$t = N$上所选择的第$i$条移动路径, 其中

定义3.3  设$\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{i}(t)}\in\{\boldsymbol{ P }_t, \boldsymbol{ Q }_t\}, t = 1, 2, \cdots, N$, 称

为一条硬币演化序列.

定义3.3中, $\boldsymbol{ P }_{N}^{-v_{i}(t)}+\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{i}(t)} = \boldsymbol{ C }_t, t = 1, \cdots, N$. 用硬币演化序列$\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{i}}$表示系统经过$N$次演化后达到的位置为$\sum\limits_{t = 1}^Nv_{i}(t)$. 硬币演化序列与移动路径是一一对应的, 记所有硬币演化序列为${\cal P}_N$, 称为$N$级路径集, 每个元素简称为路径.

在上述定义基础上, 非齐次量子游荡的酉算子也可以表示为

经过$N$次演化后非齐次量子游荡的位置概率分布有以下两个计算表达式

(3.3)式是将$N$个酉算子$\boldsymbol{ U }_t$依次作用在量子初态上, 得到量子终态后进行量子测量计算出系统处于每个位置的概率. (3.4)式是利用傅里叶变换将概率分布的计算转化为积分计算问题. 在第5节中, 将提出伊藤公式对$\prod\limits^N_{t = 1}\boldsymbol{ C }_t({\xi})$进行分解计算. 系统到达某个位置是由一系列具有共同特征的硬币演化序列叠加作用在量子初态上得到的, 它包括具有相同的向左、向右演化算子个数. 基于此, 下面对硬币演化序列进行归纳计算, 由此给出位置概率分布的计算公式.

定义3.4  任意给定非齐次量子游荡的一条路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v}\in{\cal P}_N$, 将同类型向左和向右演化算子进行归纳划分, 称之为对$\boldsymbol{ P }_{N}^{v}$的一种分块, 用$|\boldsymbol{ P }_{N}^{v}|$表示路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v}$的分块数.

令$\nabla^2\omega = (\nabla\omega(1)-\nabla\omega(0), \nabla\omega(2) -\nabla\omega(1), \cdots , \nabla\omega(n)-\nabla\omega(n-1))^T, \nabla\omega(0) = 0.$

引理3.1  任意给定非齐次量子游荡的一条路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = \boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)} \cdots \boldsymbol{ P }_{N}^{v(2)} \boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)}\in{\cal P}_N$, 则有

其中$s = \sum\limits_{t = 1}^N\delta(\nabla^2\omega(t))$, $\delta(\cdot)$表示示性函数, $tr(\cdot)$表示矩阵的迹.

证  路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v}$可分为4类. 下面将对每一类路径进行归纳计算, 其中记$l$为每条路径中所包含的向右演化算子个数.

(1) $\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = {\cal P}_m{\cal Q}_{m}{\cal P}_{m-1}{\cal Q}_{n-1}\cdots {\cal P}_1{\cal Q}_{1}\in{\cal P}_N$.

该类型将路径划分为$2m$块, 每一块均含有若干个向左演化算子或向右演化算子, 记${\cal P}_i{\cal Q}_{i} = \prod\limits_{t = 1}^{s_i}\boldsymbol{ P }_t\prod\limits_{t = 1}^{r_i}\boldsymbol{ Q }_t, s_i, r_i\in{\Bbb Z^+}, i = 1, 2, \cdots, m$. 按先后顺序, $\boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)} = \boldsymbol{ P }_N, \boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)} = \boldsymbol{ Q }_1$. 经过归纳计算得到如下式子

(2) $\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = {\cal Q}_{m+1}{\cal P}_m{\cal Q}_{m}{\cal P}_{m-1}{\cal Q}_{m-1}\cdots {\cal P}_1{\cal Q}_{1}\in{\cal P}_N$.

该类型将路径划分为$2m+1$块, 每一块均含有若干个向左演化算子或向右演化算子, 记${\cal Q}_{m+1} = \prod\limits_{t = 1}^{r_{m+1}}\boldsymbol{ Q }_t, {\cal P}_i{\cal Q}_{i} = \prod\limits_{t = 1}^{s_i}\boldsymbol{ P }_t\prod\limits_{t = 1}^{r_i}\boldsymbol{ Q }_t, s_i, r_i\in{\Bbb Z^+}, i = 1, 2, \cdots, m$. 按先后顺序, $\boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)} = \boldsymbol{ Q }_N,$$\boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)} = \boldsymbol{ Q }_1$. 经过归纳计算得到如下式子

(3) $\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = {\cal Q}_{m}{\cal P}_{m}{\cal Q}_{m-1}{\cal P}_{m-1}\cdots {\cal Q}_{1}{\cal P}_{1}\in{\cal P}_N$.

该类型将路径划分为$2m$块, 每一块均含有若干个向左演化算子或向右演化算子${\cal Q}_{i}{\cal P}_i = \prod\limits_{t = 1}^{r_i}\boldsymbol{ Q }_t\prod\limits_{t = 1}^{s_i}\boldsymbol{ P }_t, s_i, r_i\in{\Bbb Z^+}, i = 1, 2, \cdots, m$. 按先后顺序, $\boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)} = \boldsymbol{ Q }_N,$$\boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)} = \boldsymbol{ P }_1$. 经过归纳计算得到如下式子

(4) $\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = {\cal P}_{m+1}{\cal Q}_{m}{\cal P}_{m} {\cal Q}_{m-1}{\cal P}_{m-1} \cdots{\cal Q}_{1}{\cal P}_{1}\in{\cal P}_N$.

该类型将路径划分为$2m+1$块, 每一块均含有若干个向左演化算子或向右演化算子${\cal P}_{m+1} = \prod\limits_{t = 1}^{s_{m+1}}\boldsymbol{ P }_t, {\cal Q}_{i}{\cal P}_i = \prod\limits_{t = 1}^{r_i}\boldsymbol{ Q }_t\prod\limits_{t = 1}^{s_i}\boldsymbol{ P }_t, s_i, r_i\in{\Bbb Z^+}, i = 1, 2, \cdots, m$. 按先后顺序, $\boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)} = \boldsymbol{ P }_N,$$\boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)} = \boldsymbol{ P }_1$. 经过归纳计算得到如下式子

由于到达同个位置的路径会具有相同向左或向右演化算子个数, 因此对式子(3.6)–(3.9)均去除符号$(-1)^{l}$使每个式子符号变为$(-1)^{m}$, 这对位置概率分布计算不会产生影响. 进一步, 对(3.6)–(3.9)式归纳化简如下

其中$s = \sum\limits_{t = 1}^N\delta(\nabla^2\omega(t))$.证毕.

推论3.1  任意给定齐次量子游荡的一条路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v} = \boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)}\cdots\boldsymbol{ P }_{N}^{v(2)} \boldsymbol{ P }_{N}^{v(1)}\in{\cal P}_N$, 则有

其中$s = \lfloor\frac{\sum\limits_{t = 1}^N\delta(\nabla^2\omega(t))}{2}\rfloor$.

定理3.1  给定非齐次量子游荡的一个量子初态$|\psi_0\rangle = |\psi_0(0)\rangle\otimes|0\rangle$, ${\cal P}_{N, k}$是含有$k$个向左演化算子的$N$级路径子集, 该集合元素个数为$C^k_N$, $X$是位置随机变量, 则系统处于位置$x = N-2k$的概率为

证  给定非齐次量子游荡的一个量子初态$|\psi_0\rangle$, 系统经过$N$次演化后所处的位置取值范围为$\{-N, -N+2, \cdots, N-2, N\}$, 量子态演化为$|\psi_N\rangle$, 展开为

因而, 量子系统位于位置$N-2k$的概率计算为

其中$\boldsymbol{ P }_{N, k}^{v_i}\in {\cal P}_{N, k}$. 证毕.

利用该定理可推出齐次量子游荡的位置概率分布. 令

考虑一类超几何级数${_2F}_1(a, b;c;z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{a^{(k)}b^{(k)}}{c^{(k)}}\frac{z^k}{k!}$, 并令$H(\alpha, \beta, \gamma) = {_2F}_1(\alpha+1-k, \beta+1-l;$$\gamma+1;-\tan^2\theta)(-\tan^2\theta)$, $k_1 = (k-1)H(1, 0, 1), k_2 = (l-1)H(0, 1, 1), k_3 = H(0, 0, 0)$.

推论3.2  给定齐次量子游荡的一个量子初态$|\psi_0\rangle$, 位置$x$的对应的路径具有$k$个向左演化算子和$l$个向右演化算子, 则系统处于位置$x$的概率为

证  根据定理3.1, 系统处于位置$x$的概率为

其中到达位置$x$的路径数共有${C^k_N}$条, 式子中$k$表示路径$\boldsymbol{ P }_{N, k}^{v_i}$包含了$k$个向右演化算子$\boldsymbol{ Q }_{t}$.

同时, 对于齐次量子游荡, 根据推论3.1可知其路径只与分块数$s$和首尾向左或向右演化算子$\boldsymbol{ P }_{N}^{v(N)}, \boldsymbol{ P }_{1}^{v(1)}$有关. 这意味着相同分块数、相同的首尾向左或向右演化算子的两条路径$\boldsymbol{ P }_{N}^{v_1}, \boldsymbol{ P }_{N}^{v_2}$均有$\|\boldsymbol{ P }_{N}^{v_1}|\psi_0\rangle\|^2 = \|\boldsymbol{ P }_{N}^{v_2}|\psi_0\rangle\|^2.$不妨称这样两条路径是等效的. 故按等效划分, 则有

其中$M_s$表示分块数为$s$的路径个数. 进一步, 利用超几何级数计算可得

因而

证毕.

定义4.1  称$\tilde{\psi}_{t}(\xi) = (0\cdots 0 \widehat{\psi}_{t}(\xi)^T(-t) \cdots \widehat{\psi}_{t}(\xi)^T(0) \cdots \widehat{\psi}_{t}(\xi)^T(t) 0\cdots 0)^T$为一个完全状态波函数, $T$为转置运算, $t = 0, 1, \cdots, N$.

当$t = 0$时, 称$\tilde{\psi}_{0}(\xi) = (0\cdots0 \widehat{\psi}_{0}(\xi)^T(0) 0\cdots0)^T$为一个初始完全状态波函数. 所有完全状态波函数组成的集合对于向量的普通加法和数乘运算构成数域${\Bbb C}^2$上一个有限维线性空间$V_{4N+2}$. 取该线性空间的一组基为$\tilde{\varepsilon}_0(-N), \tilde{\varepsilon}_1(-N), \tilde{\varepsilon}_0(-N+1), \tilde{\varepsilon}_1(-N+1), \cdots, \tilde{\varepsilon}_0(N), \tilde{\varepsilon}_1(N)$, 其中$\tilde{\varepsilon}_0(x) = (0, \cdots, 0, \widehat{\varepsilon}_0(\xi)^T(x), 0, \cdots, 0)^T, \tilde{\varepsilon}_1(x) = (0, \cdots, 0, \widehat{\varepsilon}_1(\xi)^T(x), 0, \cdots, 0)^T, \widehat{\varepsilon}_0(\xi)(x) = (1, 0)^T, \widehat{\varepsilon}_1(\xi)(x) = (0, 1)^T, x\in\{-N, -N+1, \cdots, N\}$. 任取一个向量$\tilde{\psi}_t(\xi)\in V_{4N+2}$, 则该向量可以表示为$\tilde{\psi}_t(\xi) = (\widehat{\psi}_t(\xi)(x)) = \sum\limits_{x = -N}^{N}(\widehat{\psi}_t^L(\xi) \tilde{\varepsilon}_0(x) +\widehat{\psi}_t^R(\xi)\tilde{\varepsilon}_1(x)),$其中$0\leq\|\widehat{\psi}_t(\xi)(x)\|\leq 1, t = 0, 1, \cdots, N.$

$\tilde{\psi}_{t}(\xi)$与$\tilde{\psi}_{t-1}(\xi)$关系为

(4.1)式用矩阵表示为$\tilde{\psi}_{t}(\xi) = \tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)\tilde{\psi}_{t-1}(\xi), t = 0, 1, \cdots, N$, 其中

定义4.2   称$\widetilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$是一个完全硬币翻转算子.

运用算子$\widetilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$, 有$\tilde{\psi}_{t}(\xi) = \tilde{\boldsymbol{ C }}^t(\xi)\tilde{\psi}_{0}(\xi)$, 当$\xi = 0$时, 有$\tilde{\psi}_{t}(0) = \tilde{\boldsymbol{ C }}^t(0)\tilde{\psi}_{0}(0)$.

定义4.3   定义完全硬币翻转算子$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱值$\lambda$为$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)\hat{\psi}_t(\xi) = \lambda\hat{\psi}_t(\xi), \hat{\psi}_t(\xi)\in V_{4N+2}$; 称所有$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱值组成的集合$\sigma(\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi))$为$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱; 定义$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱半径为

性质4.1  完全硬币翻转算子的谱是闭的单位圆盘, 即$r(\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi))\leq 1$.

证  设$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$是作用在$V_{4N+2}$上的一个有界线性算子, $t$为系统演化次数, $t = 0, 1, \cdots, N$. $\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱值表示为$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)\tilde{\psi}_t(\xi) = \lambda\tilde{\psi}_t(\xi), \tilde{\psi}_t(\xi)\in V_{4N+2}$. 记$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的第$x$行为$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)(x)$, 则有

将该式子展开

对位置$x$累加得到

经化简有

所以有

其中$x = 1-t, 2-t, \cdots, t-1$.

对于任意的$x\in[-t, t]$, 有$0\leq \|\hat{\psi}_t(\xi)(x)\|\leq 1$, 所以存在$[-t, t]$的子集$X$使得$\forall x\in X$, 有$\|\hat{\psi}_t(\xi)(x)\|\neq 0$. 因而有$|{\rm e}^{-{\rm i}\xi}\boldsymbol{ P }_t+{\rm e}^{{\rm i}\xi}Q_t-\lambda\boldsymbol{ I }| = 0, |{\rm e}^{-{\rm i}\xi}\boldsymbol{ P }_t-\lambda\boldsymbol{ I }| = 0, |{\rm e}^{{\rm i}\xi}\boldsymbol{ Q }_{t}-\lambda\boldsymbol{ I }| = 0$. 计算解得$\lambda^2+{\rm e}^{{\rm i}\xi}\cos\theta_t\lambda = 0, \lambda^2-{\rm e}^{-{\rm i}\xi}\cos\theta_{t}\lambda = 0, \lambda^2+({\rm e}^{{\rm i}\xi}-{\rm e}^{-{\rm i}\xi})\cos\theta_t\lambda-1 = 0$. 得到谱值为$0, -{\rm e}^{{\rm i}\xi}\cos\theta_t; 0, {\rm e}^{-{\rm i}\xi}\cos\theta_{t}; -{\rm i}(\sin(\xi)\cos\theta_t\pm\sqrt{1 - \sin^2(\xi)\cos^2\theta_t}i)\triangleq (-{\rm i}){\rm e}^{\pm {\rm i}\eta_t}$, 其中$\eta_t = \arccos(\sin(\xi)\cos(\theta_t))$. 因而有$\max|\lambda_{1, 2}| = 1$. 所以$r(\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)) = 1$. 证毕.

性质4.1给出完全硬币翻转算子$\tilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$的谱值和谱半径. 其中, 谱值为

同时, 对谱向量讨论如下.

(1) 当谱值$\lambda = (-{\rm i}){\rm e}^{\pm {\rm i}\eta_t}$时, 谱向量为

其中

(2) 当谱值$\lambda = -{\rm e}^{{\rm i}\xi}\cos\theta_t, {\rm e}^{-{\rm i}\xi}\cos\theta_t$时, 谱向量为

(3) 当谱值$\lambda = 0$时, 谱向量为

其中$\cos\theta a +\sin\theta b = 0, \sin\theta c-\cos\theta d = 0.$

定义5.1^[19]  设随机过程$\{X(t), t\geq 0\}$满足

则称它为一个伊藤过程, 称(5.1)式为伊藤随机微分方程.

伊藤过程也称为扩散过程. 在该定义中, $X(t)$表示位移随机变量, ${\rm d}(X(t)) = X(t)-X(t-1)$表示位移增量, $\mu(t, X(t))$是漂移率, $\mu(t, X(t)){\rm d}t$表示每单位时间内的漂移量, $\sigma^2(t, X(t))$表示方差率, ${\rm d}W_t$表示噪声服从标准布朗过程, $\sigma(t, X(t)){\rm d}W_t$表示噪声引起的随机波动量.

引理5.1  设$X(t)$是一个伊藤过程, 给定一个具有二阶连续可微的二元函数$Y(t) = f(t, X(t))\in C^2([0, \infty])$, 则随机过程$Y(t) = f(t, X(t))$满足

该引理称为伊藤引理. 其中, $\frac{\partial f(t, X(t))}{\partial t}+\mu(t, X(t))\frac{\partial f(t, X(t))}{\partial x}$$+\frac{\sigma^2(t, X(t))}{2}\frac{\partial^2 f(t, X(t))}{\partial x^2}$表示漂移率, $(\sigma(t, X(t))\frac{\partial f(t, X(t))}{\partial x})^2$表示方差率. 文献[19-21]研究了齐次量子游荡的伊藤引理和伊藤公式, 下面给出非齐次量子游荡的伊藤公式.

定理5.1

其中$\prod\limits^N_{t = 1}\boldsymbol{ C }_t = \sum\limits^{2^N-1}_{k = 0}\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}}$, $\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}} = \prod\limits_{t = 1}^{N}\boldsymbol{ P }_{t}^{v_{k}(t)}$.

证  首先, 取$X(t) = \omega_k(t)$表示第$k$条位置路径在$t$时刻的位置. 令

根据(5.2)式, 位移增量为

漂移率为

方差率为

其中

将上式代入(5.2)式, 得到

对$t = 0, 1, \cdots, N-1$进行累加, 则有

对该式子两边同时乘以$\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}}$并对$k = 0, 1, \cdots, 2^N-1$进行累加, 则有

化简得到

所以结论成立. 证毕.

定理5.1从随机微分方程角度出发推导出非齐次量子游荡的伊藤公式, 给出$\prod\limits^N_{t = 1}\boldsymbol{ C }_t({\xi})$的分解式. 当$\boldsymbol{ C }_i = \boldsymbol{ C }_j, i, j = 1, 2, \cdots, N$时, 即系统是齐次量子游荡, 定理5.1的结论与文献[19]的结论是一致的. 不过与文献[19-21]一样, 伊藤公式(5.3)不但表达式复杂以致难以计算和应用, 而且缺乏数学或物理上的含义. 为此, 下面对伊藤公式进行化简和解释.

首先, 对$\prod\limits^N_{t = 1}\boldsymbol{ C }_t({\xi})$化简如下:

其中$\boldsymbol{ C }_0 = ({\rm e}^{{\rm i}\xi(0)}, 0, \cdots, 0)^T, \boldsymbol{ C }_{1} = ({\rm e}^{{\rm i}\xi\nabla\omega_k(0)}, {\rm e}^{{\rm i}\xi\nabla\omega_k(1)}, \cdots, {\rm e}^{{\rm i}\xi\nabla\omega_k(N-1)})^T, \boldsymbol{ C }_{-1} = ({\rm e}^{{\rm i}\xi(0)}, {\rm e}^{{\rm i}\xi(0)},$$\cdots, {\rm e}^{{\rm i}\xi(0)})^T, {\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k} = ({\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k(0)}, {\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k(1)}, \cdots, {\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k(N-1)})^T$.

其次, 使用完全硬币翻转算子$\widetilde{\boldsymbol{ C }}(\xi)$对(5.4)式进行矩阵改写. 完全硬币翻转算子$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N(\xi)$可分解为

其中$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi) = \sum\limits_{t = 1}^N\widetilde{\boldsymbol{ C }}^{N-t}(0)\widetilde{\boldsymbol{ C }}^t(\xi), \widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\rightarrow }(\xi) = \sum\limits_{t = 1}^N\widetilde{\boldsymbol{ C }}^{N-t}(\xi)\widetilde{\boldsymbol{ C }}^t(0)$.

引理5.2  在伊藤公式中, 式子$\prod\limits^N_{t = 1}\boldsymbol{ C }_t({\xi})$、$\sum\limits^{2^N-1}_{k = 0}\boldsymbol{ C }^T_0{\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k}\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}}$、$\sum\limits^{2^N-1}_{k = 0}\boldsymbol{ C }^T_1{\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k}\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}}$和$\sum\limits^{2^N-1}_{k = 0}\boldsymbol{ C }_{-1}^T{\rm e}^{{\rm i}\xi\omega_k}$$\boldsymbol{ P }_{N}^{v_{k}}$分别对应于完全硬币翻转算子的$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N(\xi)$、$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N(0)$、$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi)$和$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\rightarrow }(\xi)$.

经过化简后, 伊藤公式(5.5)作用在初始完成状态波函数$\widetilde{\psi}_0(\xi)$上就相应改写为

该式不但表达式简洁, 而且分解式具有一定数学含义. 解释如下

(1) $\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N(0)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$, 表示未演化前系统处于位置$x$的初始信息;

(2) $\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$, 表示系统在演化过程中所有移入到位置$x$的路径信息. 这体现在式子$\sum\limits_{t' = 0}^{N-1}\sum\limits_{k = 0}^{2^N-1}{\rm e}^{{\rm i}\xi(\omega_k(t') +\nabla\omega_k(t'))}\boldsymbol{ P }_N^{v_{k}}\hat{\psi}_0(\xi)$中的$\omega_k(t')+\nabla\omega_k(t')$, 它表示从当前位置开始向前移入一个单位. 在图论角度来看, 可以用下式计算它的入度$\delta^2_+(x)$

其中$\widetilde{\boldsymbol{ E }}^N_{\leftarrow}(\xi)$是将$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi)$中$\boldsymbol{ P }_t, \boldsymbol{ Q }_t$替换为单位矩阵$\boldsymbol{ E }$;

(3) $\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\rightarrow }(\xi)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$, 表示系统在演化过程中所有从位置$x$移出的路径信息. 这体现在式子$\sum\limits_{t' = 0}^{N-1}\sum\limits_{k = 0}^{2^N-1}{\rm e}^{{\rm i}\xi(\omega_k(t') -\nabla\omega_k(t'))}\boldsymbol{ P }_N^{v_{k}}\hat{\psi}_0(\xi)$中的$\omega_k(t')-\nabla\omega_k(t')$, 它表示从当前位置开始向后移出一个单位. 在图论角度来看, 可以用下式计算它的出度$\delta^2_-(x)$

其中$\widetilde{\boldsymbol{ E }}^N_{\rightarrow }(\xi)$是将$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi)$中$\boldsymbol{ P }_t, \boldsymbol{ Q }_t$替换为单位矩阵$\boldsymbol{ E }$.

例5.1  考虑一个非齐次量子游荡, 量子初态为$\hat{\psi}_0(\xi)(0) = |\psi_0\rangle$, 初始完全状态波函数为

取$N = 3$, 令$\boldsymbol{ C }_t = \boldsymbol{ P }_t+\boldsymbol{ Q }_t, t = 1, 2, 3$, 分别计算$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N(0)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$、$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\leftarrow}(\xi)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$和$\widetilde{\boldsymbol{ C }}^N_{\rightarrow }(\xi)\widetilde{\psi}_0(\xi)(x)$如下.

(1)

(2)

其中, $\delta^2_+(-3) = 1, \delta^2_+(-1) = 5, \delta^2_+(1) = 5, \delta^2_+(3) = 1$. 结果表明在系统演化过程中分别有$1$条、$5$条、$5$条、$1$条路径移入位置$-3, -1, 1, 3$.

(3)

其中, $\delta^2_-(-3) = 0, \delta^2_-(-1) = 2, \delta^2_-(1) = 2, \delta^2_-(3) = 0$. 结果表明在系统演化过程中分别有$0$条、$2$条、$2$条、$0$条路径移出位置$-3, -1, 1, 3$.