设$ X $, $ Y $, $ Z $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^\ast $, $ Y^\ast $, $ Z^\ast $分别表示$ X $, $ Y $, $ Z $的共轭空间且$ Y $和$ Z $分别在闭凸锥$ K\subseteq Y $和$ S\subseteq Z $下有序. 记$ Y^\bullet: = Y\cup \{\infty_Y\} $, $ Z^\bullet: = Z\cup \{\infty_Z\} $, 其中$ \infty_Y $, $ \infty_Z $分别表示$ Y $和$ Z $中关于偏序关系$ \leq_K $, $ \leq_S $下的最大元. 设$ f:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}}: = {{\Bbb R}}\cup\{+\infty\} $是真凸函数, $ h:X\to Z^\bullet $是真$ S $ -凸函数, $ C $是$ X $中的非空凸子集. 许多学者研究了如下经典的锥约束优化问题

(1.1) $ \begin{equation} \label{eq00-1} (P_1)\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f(x)\\ \mathrm{s.t.}&x\in C, h(x)\in-S, \nonumber \end{array} \end{equation} $

利用内点条件, 闭性条件和上图类条件等, 建立了锥约束优化问题的强对偶, 全对偶, Farkas引理, KKT类最优性条件等系列结论^[1-5].

由于许多的优化问题, 例如凸优化问题, 极小极大值问题, 最佳一致逼近问题等, 都可以看作复合优化问题的特例, 因此复合优化问题的相关研究受到了学者们的高度重视^[6-10]. 特别地, 许多学者考虑了下面的复合优化问题

$ (P_2)\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f_{1}(f_{2}(x))\\ \mathrm{s.t.}&x\in C, h(x)\in-S, \end{array} $

其中$ f_2:X\rightarrow Y^{\bullet} $是真$ K $ -凸函数, $ f_1:Y^{\bullet}\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $是真凸$ K $ -增函数, 满足$ f_{1}(\infty_{Y}) = +\infty $. 例如, 文献[6]在函数具有连续性, 集合是闭集的情形下, 利用闭性条件等价刻画了问题$ (P_2) $与其对偶问题之间的稳定强对偶和稳定Farkas引理; 文献[8]利用共轭函数的上图性质, 给出了问题$ (P_2) $与其Lagrange对偶问题之间的弱对偶, 零对偶及强对偶成立的充分和必要条件. 文献[10]利用次微分性质, 建立了问题$ (P_2) $的最优性条件和对应的Lagrange函数的鞍点定理.

由于DC优化问题无论在理论研究还是在应用方面都比经典的凸优化问题更具普遍性, 而且很多实际问题都可以转化为DC优化问题, 因而DC优化问题引起了学者们的广泛关注^[11-17]. 特别地, 许多学者研究了如下DC锥约束优化问题

$ \begin{eqnarray*} (P_3)\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f(x)-g(x)\\ \mathrm{s.t.}& x\in C, \ h(x)\in -S, \\ \end{array} \nonumber \end{eqnarray*} $

其中$ g:X\rightarrow {{\Bbb R}} $是真凸函数. 例如, 文献[11]建立了问题$ (P_3) $的Toland-Fenchel-Lagrange强对偶及Farkas引理; 文献[12]在函数具有连续性, 集合是闭集的情形下, 利用闭性条件等价刻画了问题$ (P_3) $的Farkas引理; 近年来, 文献[13-16]研究了带复合函数的DC锥优化问题

$ \begin{eqnarray*} (P_4)\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f_{1}(f_{2}(x))-g(x)\\ \mathrm{s.t.}&x\in C, h(x)\in-S, \end{array} \end{eqnarray*} $

建立了上述问题的弱对偶, 强对偶, 零对偶, 全对偶和最优性条件成立的充分和必要条件. 进一步, 文献[17]考虑了一类更具一般性的带复合函数的DC锥约束优化问题

$ \begin{eqnarray*} ({P})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f_{1}(f_{2}(x))-g_{1}(g_{2}(x))\\ \mathrm{s.t.}&x\in C, h(x)\in-S, \end{array} \end{eqnarray*} $

其中$ g_1:Z\rightarrow \overline{{{{\Bbb R}}}} $是真凸$ S $ - 增函数, $ g_2:X\rightarrow Z $是真$ S $ -凸函数. 通过引进新的约束规范条件, 等价刻画了问题$ (P) $及其对偶问题之间的弱对偶, 强对偶.

受上述文献的启发, 本文主要研究问题$ (P) $的KKT类最优性条件和鞍点特征刻画. 在函数不一定下半连续, 集合不一定是闭集的条件下, 利用函数的次微分性质, 引进约束规范条件, 建立了DC复合优化问题最优解的特征刻画和对应的Lagrange函数的鞍点定理, 推广和改进了前人的相关结论.

设$ X $, $ Y $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^{*} $和$ Y^{*} $分别是$ X $和$ Y $的共轭空间, 分别赋予弱$ ^{*} $拓扑$ \omega^{*}(X^{*}, X) $和$ \omega^{*}(Y^{*}, Y) $. $ \langle x^\ast, x\rangle $表示泛函$ x^\ast\in X^\ast $在点$ x\in X $的值, 即$ \langle x^\ast, x\rangle $ = $ x^\ast(x) $. 设$ S $是$ Y $中的闭凸锥, $ Y $是$ S $所定义的序空间. 对于$ Y $中的偏序$ \le_S $, 定义$ Y $中的最大元为$ \infty_Y $. 记$ Y^\bullet = Y\cup\{\infty_Y\} $. 对$ X $的子集$ Z $, $ \hbox{cl}Z $和$ {\rm cone}Z $分别表示$ Z $的闭包及凸锥包. 进一步, 若$ Z $是$ X $的凸子集, $ Z^\oplus $表示$ Z $的对偶锥, 即

$ Z^\oplus: = \{x^{*}\in X^{*}:\langle x^{*}, z\rangle\ge 0, \mathrm{ \forall }z\in Z\}. $

$ N_Z(z_0) $表示$ Z $在$ z_0 $点的法锥, 定义为

$ N_Z(z_0): = \{x^\ast\in X^\ast:\langle x^\ast, z-z_0\rangle \le 0, \ \ \forall z\in Z\}. $

令$ \delta_Z $表示$ Z $的示性函数, 定义为

$ \delta_Z(x): = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad & x\in Z, \\ +\infty, \quad & x\in X\setminus Z.\end{array} \right. $

设$ f:X\to \overline{{\Bbb R}} $是真凸函数, 分别定义$ f $的有效定义域, 次微分, 共轭函数为

$ {\rm dom}\, f: = \{x\in X:f(x)<+\infty\}, $

$ \partial f(x): = \{x^*\in X^*:\;\; f(x)+\langle x^*, y-x\rangle\le f(y), \mathrm{ \forall }y\in X\}, $

$ f^{\ast}(x^{\ast}): = \sup\{\langle x^{\ast}, x\rangle-f(x):x\in X\} , \forall x^{\ast}\in X^{\ast}. $

特别地, 由定义有

(2.1) $ \begin{equation} N_{Z}(x) = \partial\delta_{Z}(x), \quad \forall x\in Z. \end{equation} $

由文献[18, 定理2.3.1和定理2.4.2 (iii)] 知, Young-Fenchel不等式和Young等式成立, 即

(2.2) $ \begin{equation} f(x)+f^\ast(x^\ast)\ge \langle x^\ast, x \rangle, \quad { \mathrm{ \forall } }(x, x^\ast)\in X\times X^\ast, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} f(x)+f^*(x^*) = \langle x^*, x\rangle \Longleftrightarrow x^*\in \partial f(x) . \end{equation} $

进一步, 设$ h:X\to \overline{{\Bbb R}} $是真凸函数且满足$ {\rm{dom}}\, f\cap {\rm{dom}}\, h\neq \emptyset $, 则

(2.4) $ \begin{equation} \partial f(a)+\partial h(a)\subseteq \partial (f+h)(a), \quad { \forall a\in {\rm{dom}}\, f\cap {\rm{dom}}\, h }. \end{equation} $

设函数$ g:Y\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $, 对任意的$ y_1, y_2\in Y $, 若当$ y_1\leq_S y_2 $时有$ g(y_1)\leq g(y_2) $, 则称$ g $是$ S $ -增函数. 定义函数$ h:X\rightarrow Y^{\bullet} $的定义域为$ {\rm{dom}}h: = \{x\in X: h(x)\in Y\}. $若$ {\rm{dom}}\, h\neq \emptyset $, 则称$ h $是真函数. 若对任意的$ x_1, x_2\in X $和$ t\in [0, 1] $, 有

$ h(tx_1+(1-t)x_2)\leq_S t h(x_1)+(1-t)h(x_2), $

则称$ h $是$ S $ -凸函数. 对任意的$ \lambda\in S^\oplus $, 定义$ (\lambda h)(\cdot): X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $为

$ \label{fex}(\lambda h)(x): = \left\{\begin{array}{ll} \langle\lambda, h(x)\rangle, \ &\mathrm{当 }x\in {\rm{dom}}\, h, \\ +\infty, \ &\mathrm{其他}. \end{array}\right. $

显然, $ h $是$ S $ -凸函数当且仅当对任意的$ \lambda\in S^{\oplus} $, $ \lambda h $是凸函数.

设$ \phi:X\rightarrow \mathbb{R}\cup \{\pm\infty\} $是一个实值延拓函数, $ x_{0}\in {\rm{dom}\phi} $且满足$ |\phi(x_{0})|<\infty $. 定义函数$ \phi $在$ x_{0} $点的Fréchet次微分为

$ \widehat{\partial}\phi(x_{0}): = \bigg\{x^{*}\in X^{*}:\; \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\inf \frac{\phi(x)-\phi(x_{0})-\langle x^{*}, x-x_{0}\rangle}{\|x-x_{0}\|}\geq 0\bigg\}. $

由文献[19]的定理3.1可得

(2.5) $ \begin{equation} \widehat{\partial}(\phi_{1}-\phi_{2})(x_{0})\subseteq \bigcap\limits_{u^{*}\in \widehat{\partial}\phi_{2}(x_{0})}(\widehat{\partial}\phi_{1}(x_{0})-u^{*}), \end{equation} $

其中$ \phi_{1}, \phi_{2} $是真凸函数. 下面的引理引自于[18]中的定理2.8.10.

引理2.1  令$ g:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $是真凸函数, $ \varphi:{\rm{dom} \varphi}\subseteq X\rightarrow Z^\bullet $是真$ S $ -凸函数, $ f:Z\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $是真凸$ S $ -增函数. 若存在$ x_{0}\in{\rm{dom}}g\cap\varphi^{-1}({\rm{dom}}f) $使得$ f $在点$ \varphi(x_{0}) $处连续, 则

$ \partial(f\circ \varphi+g)(x) = \bigcup\limits_{\mu\in\partial f(\varphi(x))}\partial(\mu \varphi+g)(x). $

设$ X $, $ Y $, $ Z $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ C $是$ X $中的非空凸子集, $ K $和$ S $分别为$ Y $和$ Z $中的闭凸锥, $ h:X\to Z^\bullet $是真$ S $ -凸函数, $ f_1:Y^{\bullet}\rightarrow \overline{{{\Bbb R}}} $是真凸$ K $ -增函数, $ f_2:X\rightarrow Y^\bullet $是真$ K $ - 凸函数, $ g_1:Z\rightarrow \overline{{{{\Bbb R}}}} $是真凸$ S $ -增函数, $ g_2:X\rightarrow Z^{\bullet} $是真$ S $ -凸函数. 本文主要研究如下带锥约束的DC复合优化问题

$ ({P})\quad\quad\quad \begin{array}{ll} \mathrm{inf }&f_{1}({f_{2}}(x))-g_{1}({g_{2}}(x))\\ \mathrm{s.t.}&x\in C, h(x)\in-S. \end{array} $

设$ A $表示问题$ ({P}) $的解集, 即$ A: = \{x\in C:\;h(x)\in -S\}. $为刻画问题$ (P) $的KKT类最优性条件, 我们引入以下的约束规范条件, 详见文献[15].

定义3.1  设$ x_0\in A\cap f_{2}^{-1}({\rm{dom}} f_{1}) $, 若

(3.1) $ \begin{equation} \partial(f_1\circ f_2+\delta_{A})(x_{0})\subseteq\bigcup\limits_{\mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0}))} \partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+\bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}\atop (\lambda h)(x_{0}) = 0 }\partial(\lambda h)(x_{0}), \end{equation} $

则称系统$ \{f_1, f_2, \delta_{C};\lambda h:\lambda\in S^{\oplus}\} $在$ x_{0} $点满足$ (CBCQ) $条件.

定理3.1  设$ x_{0}\in A\cap f_{2}^{-1}({\rm{dom}} f_{1})\cap g_{2}^{-1}({\rm{dom}} g_{1}) $, 且系统$ \{f_1, f_2, \delta_{C};\lambda h:\lambda\in S^{\oplus}\} $在$ x_0 $点满足$ (CBCQ) $条件. 若$ x_{0} $是问题$ ({P}) $的最优解, 则对任意$ x^{*}\in \partial (g_{1}\circ g_{2})(x_{0}), $存在$ \mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0})) $和$ \lambda \in S^{\oplus} $, 使得$ (\lambda h)(x_{0}) = 0 $且

(3.2) $ \begin{equation} x^{*}\in \partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+\partial(\lambda h)(x_{0}). \end{equation} $

进一步, 若存在$ y_{0}\in X $使得$ g_{1} $在$ g_{2}(y_{0}) $点连续, 则存在$ y^{*}\in \partial g_{1}(g_{2}(x_{0})), $使得

(3.3) $ \begin{equation} \partial(y^{*}g_{2})(x_{0})\subseteq\bigcup\limits_{\mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0}))} \partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+\bigcup\limits_{ \lambda\in S^{\oplus}\atop (\lambda h)(x_{0}) = 0 }\partial(\lambda h)(x_{0}). \end{equation} $

证  设$ x_{0} $是问题$ ({P}) $的最优解, 由Fréchet次微分的定义可得

$ 0\in\widehat{\partial}(f_{1}\circ{f_{2}}-g_{1}\circ{g_{2}}+\delta_{A})(x_0). $

故由(2.5)式可得

$ 0\in \bigcap\limits_{x^{*}\in \partial(g_{1}\circ{g_{2}})(x_{0})}(\partial(f_{1}\circ{f_{2}}+\delta_{A})(x_{0})-x^{*}). $

于是对任意的$ x^{*}\in \partial (g_{1}\circ g_{2})(x_{0}) $有

$ x^{*}\in \partial(f_{1}\circ{f_{2}}+\delta_{A})(x_{0}). $

从而由系统$ \{f_1, f_2, \delta_{C};\lambda h:\lambda\in S^{\oplus}\} $在$ x_{0} $点满足$ (CBCQ) $条件可知, 存在$ \mu\in \partial f_{1}(f_{2}(x_{0})), \lambda \in S^{\oplus} $使得$ (\lambda h)(x_{0}) = 0 $且(3.2)式成立.

进一步, 若存在$ y_{0}\in X $使得$ g_{1} $在$ g_{2}(y_{0}) $点连续, 则由引理2.1可得

$ \partial(g_{1}\circ g_{2})(x_{0}) = \bigcup\limits_{y^{*}\in\partial g_{1}(g_{2}(x_{0}))}\partial(y^{*} g_{2})(x_{0}), $

又由前面的证明可知

$ \partial (g_{1}\circ g_{2})(x_{0})\subseteq\bigcup\limits_{\mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0}))} \partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+ \bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}\atop (\lambda h)(x_{0}) = 0 }\partial(\lambda h)(x_{0}), $

因此存在$ y^{*}\in \partial g_{1}(g_{2}(x_{0})), $使得(3.3)式成立.

注3.1  当$ g_{2} $为单位算子时, 本文研究的问题$ (P) $转化为文献[15]的问题$ ({{P_{g}}}) $, 定理3.1的结论即为文献[15]的定理4.1中(ⅰ)推(ⅱ)的结论, 因此本文的定理3.1推广了文献[15]中定理4.1的相关结论.

下面考虑问题$ ({P}) $的鞍点刻画. 对任意给定的$ \omega\in{\rm{dom}}g_{1}^{*} $, 定义问题$ ({P}) $的Lagrange函数$ L_{\omega}:C\times S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*}\to \overline{{\Bbb R}} $为

$ \begin{eqnarray*} L_{\omega}(x, \lambda, \mu) = g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x)-f_{1}^{*}(\mu)+ (\mu f_{2})(x)+(\lambda h)(x), \nonumber\\ \forall (x, \lambda, \mu)\in C\times S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*}. \end{eqnarray*} $

设$ x_{0}\in A\cap f_{2}^{-1}({\rm{dom}}f_{1})\cap g_{2}^{-1}({\rm{dom}} g_{1}), (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times{\rm{dom}} f_{1}^{*}, $若对任意的$ (x, \lambda, \mu)\in C\times S^{\oplus}\times {\rm{dom}}f_{1}^{*} $有

(3.4) $ \begin{equation} L_{\omega}(x_{0}, \lambda, \mu)\leq L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu)\leq L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar{\mu}), \end{equation} $

则称$ (x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) $是Lagrange函数$ L_{\omega} $的鞍点. 进一步, 定义问题$ ({P}) $的Lagrange对偶问题为

(3.5) $ \begin{equation} \label{S3} ({D})\quad\quad \begin{array}{ll} &\inf\limits _{ \omega\in {\rm{dom}} g_{1}^{*}} \sup\limits _{ { \lambda\in S^\oplus}\atop {\mu \in{\rm{dom}}f^{*}_{1}} }\inf\limits_{x\in C}L_{\omega}(x, \lambda, \mu) , \nonumber \end{array} \end{equation} $

并对任意的$ {\omega}\in{\rm{dom}}g_{1}^{*}, $定义问题$ (D) $的子问题为

(3.6) $ \begin{equation} ({ D}^{\omega})\quad\quad \begin{array}{ll} &\sup\limits _{ \lambda\in S^\oplus\atop {\mu \in{\rm{dom}}f^{*}_{1}} }\inf\limits_{x\in C}L_{\omega}(x, \lambda, \mu) . \nonumber \end{array} \end{equation} $

令$ v({P}), v({D}) $和$ v({D}^{\omega}) $分别表示问题$ ({P}) $, $ ({D}) $和$ ({D}^{\omega}) $的最优值, $ S({P}) $, $ S({D}^{\omega}) $分别表示问题$ ({P}) $, $ ({D}^{\omega}) $的最优解集.

命题3.1  若$ g_{1} $为下半连续函数, 则问题$ ({P}) $与问题$ ({D}) $之间的弱对偶成立, 即$ v(P)\geq v(D) $.

证  若$ v({D}) = -\infty $, 则结论自然成立. 任取$ r\in {{\Bbb R}} $满足$ v({D})\geq -r $, 则对任意的$ {\omega}\in{\rm{dom}}g_{1}^{*} $和$ \epsilon>0 $, 存在$ (\lambda, \mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}}f_{1}^{*} $使得

$ g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x)-f_{1}^{*}(\mu)+(\mu f_{2})(x)+(\lambda h)(x)+\delta_{C}(x)\geq -r-\epsilon, \forall x\in X, $

即

(3.7) $ \begin{eqnarray} (\omega g_{2})(x)-g_{1}^{*}(\omega)&\leq&-f_{1}^{*}(\mu)+(\mu f_{2})(x)+(\lambda h)(x)+\delta_{C}(x)+r+\epsilon, \forall x\in X. \end{eqnarray} $

由Young-Fenchel不等式可知

(3.8) $ \begin{equation} -f_{1}^{*}(\mu)+(\mu f_{2})(x)\leq f_{1}(f_{2}(x)) , \forall x\in X. \end{equation} $

注意到对任意的$ x\in X $, $ \delta_{C}(x)+(\lambda h)(x)\leq \delta_{A}(x) $. 故由(3.7)式和(3.8)式可知, 对任意的$ {\omega}\in{\rm{dom}}g_{1}^{*} $有

$ (\omega g_{2})(x)-g_{1}^{*}(\omega)\leq f_{1}(f_{2}(x))+\delta_{A}(x)+r+\epsilon, \forall x\in X. $

从而

$ f_{1}(f_{2}(x))+\delta_{A}(x)+r+\epsilon\geq\mathop{\mathrm sup}\limits _{\omega\in {\rm{dom}} g_{1}^{*}} \{(\omega g_{2})(x)-g_{1}^{*}(\omega)\} = g_{1}^{**}(g_{2}(x)), \forall x\in X. $

又$ g_{1} $为下半连续函数, 因此

$ f_{1}(f_{2}(x))+\delta_{A}(x)+r+\epsilon\geq g_{1}^{**}(g_{2}(x)) = g_{1}(g_{2}(x)), \forall x\in X, $

即

$ f_{1}(f_{2}(x))-g_{1}(g_{2}(x))\geq -r-\epsilon, \forall x\in A. $

因此$ v({P})\geq -r-\epsilon $. 从而由$ r $和$ \epsilon $的任意性知$ v({P})\geq v(D) $, 即问题$ ({P}) $与问题$ ({D}) $之间的弱对偶成立.

定理3.2  设$ x_{0}\in A\cap f_{2}^{-1}({\rm{dom}} f_{1})\cap g_{2}^{-1}({\rm{dom}} g_{1}) $且$ g_{1} $为下半连续函数, 则对任意$ (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*} $, 以及满足$ v({D}) = v({D}^{\omega}) $的$ {\omega}\in \partial g_{1}(g_{2}(x_0)) $, 下面命题等价

(ⅰ) $ x_{0}\times(\bar\lambda, \bar\mu)\in S({P})\times S({D}^{\omega}) $且$ v({P}) = v({D}) $.

(ⅱ) $ f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0})) = L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

(ⅲ) $ f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0}))\le L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

(ⅳ) $ (x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) $是Lagrange函数$ L_{\omega} $的一个鞍点.

证  设$ {\omega}\in \partial g_{1}(g_{2}(x_0)) $满足$ v({D}) = v({D}^{\omega}) $.

(ⅰ)$ \Rightarrow $(ⅱ). 令$ (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*} $使得(ⅰ)成立, 则

(3.9) $ \begin{equation} f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0})) = v({P}) = v({D}^{\omega}) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu)\leq L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu). \end{equation} $

由Young-Fenchel不等式可知

$ \begin{eqnarray*} -f_{1}^{*}(\bar\mu)+(\bar\mu f_{2})(x_{0})\leq f_{1}(f_{2}(x_{0})). \end{eqnarray*} $

又$ \omega\in \partial g_{1}(g_{2}(x_0)), $则

(3.10) $ \begin{equation} g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x_{0}) = -g_{1}(g_{2}(x_0)). \end{equation} $

从而

$ \begin{eqnarray*} L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x_{0})-f_{1}^{*}(\bar\mu)+(\bar\mu f_{2})(x_{0})+(\bar\lambda h)(x_{0})\nonumber \leq f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0})). \end{eqnarray*} $

因此(3.9)式的不等号变为等号, 即结论(ⅱ)成立.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅰ). 令$ (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*} $使得(ⅱ)成立, 则

(3.11) $ \begin{equation} v({P})\leq f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0})) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu)\leq v({D}^{\omega}). \end{equation} $

又$ g_{1} $为下半连续函数, 则由命题3.1可知问题$ ({P}) $和问题$ ({D}) $之间的弱对偶成立, 因此$ v({P})\geq v({D}) = v({D}^{\omega}), $从而(3.9)式的不等号全变为等号, 故结论(ⅰ)成立.

(ⅱ)$ \Leftrightarrow $(ⅲ). 由于问题$ ({P}) $和问题$ ({D}) $之间的弱对偶成立, 因此

$ f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0}))\geq v({P})\geq v({D}) = v({D}^{\omega})\geq\inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

因此(ⅱ)与(ⅲ)等价.

(ⅱ)$ \Rightarrow $(ⅳ). 令$ (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*} $使得(ⅱ)成立, 则由前面的证明可得结论(ⅰ)成立, 故对任意的$ (x, \lambda, \mu)\in C\times S^{\oplus}\times {\rm{dom}}f_{1}^{*} $有

$ L_{\omega}(x_{0}, \lambda, \mu)\leq v({D}^{\omega}) = L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar{\mu})\leq L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar{\mu}), $

即结论(ⅳ)成立.

(ⅳ)$ \Rightarrow $(ⅱ). 设$ (x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) $是$ L_{\omega} $的鞍点, 则对任意的$ x\in C $有$ L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu)\leq L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar{\mu}), $即

$ L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

另一方面, 任取$ \mu \in \partial(f_{1}(f_{2}(x_{0})), \lambda\in S^{\oplus} $满足$ (\lambda h)(x_{0}) = 0, $则由结论(ⅳ)及(3.10)式可得,

$ \begin{eqnarray*} f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(g_{2}(x_{0})) & = &f_{1}(f_{2}(x_{0}))+ g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x_{0})\nonumber\\& = & (\mu f_{2})(x_{0})-f_{1}^{*}(\mu)+(\lambda h)(x_{0})+ g_{1}^{*}(\omega)-(\omega g_{2})(x_{0}) \\& = &L_{\omega}(x_{0}, \lambda, \mu) \\&\leq&L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu). \end{eqnarray*} $

因此结论(ⅲ)成立, 从而由(ⅱ)与(ⅲ)的等价性可得结论(ⅱ)成立. 证毕.

当$ g_{2} $为单位算子时, 问题$ ({P}) $的Lagrange函数$ L_{\omega} $和Lagrange对偶问题$ (D) $分别转化为

(3.12) $ \begin{eqnarray*} \overline L_{\omega}(x, \lambda, \mu) = g_{1}^{*}(\omega)-\langle\omega, x\rangle-f_{1}^{*}(\mu)+(\mu f_{2})(x)+(\lambda h)(x), \nonumber\\ \forall (x, \lambda, \mu)\in C\times S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*}, \end{eqnarray*} $

(3.13) $ \begin{equation} ( \overline{D})\quad\quad \begin{array}{ll} &\inf\limits _{ { \omega\in {\rm{dom}} g_{1}^{*}}\atop } \sup\limits _{ { \lambda\in S^\oplus}\atop {\mu \in{\rm{dom}}f^{*}_{1}} }\inf\limits_{x\in C} \overline L_{\omega}(x, \lambda, \mu). \nonumber \end{array} \end{equation} $

令$ \omega\in {\rm{dom}} g_{1}^{*} $, 定义$ ( \overline{D}) $的子问题为

$ \begin{equation} ( \overline{D}^\omega)\quad\quad \begin{array}{ll} &\sup\limits _{ { \lambda\in S^\oplus}\atop {\mu \in{\rm{dom}}f^{*}_{1}} }\inf\limits_{x\in C} \overline L_{\omega}(x, \lambda, \mu). \nonumber \end{array} \end{equation} $

则由定理3.2可知以下推论成立.

推论3.1  设$ x_{0}\in A\cap f_{2}^{-1}({\rm{dom}} f_{1})\cap ({\rm{dom}} g_{1}) $且$ g_{1} $为下半连续函数, 则对任意$ (\bar\lambda, \bar\mu)\in S^{\oplus}\times {\rm{dom}} f_{1}^{*} $, 以及满足$ v({\overline D}) = v({\overline D}^{\omega}) $的$ {\omega}\in \partial g_{1}(x_0) $, 下面命题等价

(ⅰ) $ x_{0}\times(\bar\lambda, \bar\mu)\in S({P})\times S({\overline D}^{\omega}) $且$ v({P}) = v({\overline D}) $.

(ⅱ) $ f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(x_{0}) = \overline L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} \overline L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

(ⅲ) $ f_{1}(f_{2}(x_{0}))-g_{1}(x_{0})\le \overline L_{\omega}(x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) = \inf\limits_{x\in C} \overline L_{\omega}(x, \bar\lambda, \bar\mu). $

(ⅳ) $ (x_{0}, \bar\lambda, \bar\mu) $是Lagrange函数$ \overline L_{\omega} $的一个鞍点.

注3.2  注意到, 推论3.1即为文献[15]中的定理5.1, 因此本文的定理3.2推广了文献[15]中的相关结论.

例3.1  设$ X = Y = Z = C: = {{\Bbb R}} $, $ K = S: = [0, +\infty) $, $ f_{2} $和$ g_{2} $为$ {{\Bbb R}} $中的单位算子, $ g_1 = h: = \delta_{(-\infty, 0]} $且对任意的$ x\in{{\Bbb R}}, $

$ \begin{eqnarray*} f_1(x): = \left\{\begin{array}{ll} 0, &\mathrm{ \; }x<0, \\ 1, &\mathrm{ \; }x = 0, \\ +\infty, & \mathrm{\; }x>0. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

则$ f_1 $是真凸$ K $ -增函数, $ f_2 $是真$ K $ -凸函数, $ g_1 $是真凸$ S $ -增函数, $ g_2 $和$ h $是真$ S $ -凸函数. 易知$ A: = \{x\in{{\Bbb R}}:h(x)\in -S\} = (-\infty, 0] $, $ S(P) = (-\infty, 0) $, $ f_1\circ f_2-g_1\circ g_2+\delta_{A} = f_1 $. 任取$ x_{0}\in S(P), $则有$ \partial (f_{1}\circ f_{2}+\delta_{A})(x_{0}) = \{0\} $且

$ \bigcup\limits_{\mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0}))}\partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+ \bigcup\limits_{\lambda\in S^{\oplus}\atop (\lambda h)(x_{0}) = 0 }\partial(\lambda h)(x_{0}) = \{0\}. $

因此系统$ \{f_1, f_2, \delta_{C};\lambda h:\lambda\in S^{\oplus}\} $在$ x_{0} $点满足($ CBCQ $)条件. 同时, 由函数$ g_{1} $和$ g_{2} $的定义可知$ \partial(g_{1}\circ g_{2})(x_{0}) = \{0\} $. 故

$ \partial(g_{1}\circ g_{2})(x_{0}) = \bigcup\limits_{\mu\in\partial f_{1}(f_{2}(x_{0}))} \partial(\mu f_{2})(x_{0})+N_{C}(x_{0})+\bigcup\limits_{ \lambda\in S^{\oplus}\atop (\lambda h)(x_{0}) = 0 }\partial(\lambda h)(x_{0}). $

因此定理3.1的结论成立. 进一步, 由共轭函数的定义可得$ g_1^{*} = f_{1}^{*} = \delta_{[0, +\infty)} $. 显然, 当$ \mu\in {\rm{dom}} f_{1}^{*} = [0, +\infty), \omega\in \partial g_{1}(g_{2}(x_{0})) = \{0\} $时, $ L_{\omega}(x, \lambda, \mu) = \mu x+\lambda\delta_{(-\infty, 0]}(x), $而问题$ (D) $和$ ({ D^{\omega}}) $均转化为

$ \sup\limits_{\lambda, \mu\ge 0}\inf\limits_{x\in {{\Bbb R}}}\{\mu x+\lambda\delta_{(-\infty, 0]}(x)\}. $

因此, $ S({ D}^{\omega}) = [0, +\infty)\times\{0\} $, $ v({ D}) = v({ D^{\omega}}) = 0 $. 此时容易验证定理3.2的四个命题等价, 因此定理3.2成立.