关于偏微分方程(或偏微分方程组)的空间性质的研究在许多文献中已经成为了一个有趣的话题. 这种兴趣主要是更好的理解在弹性力学和热量方程中普遍存在的Saint-Venant原理^[1]. 早期的研究成果集中在椭圆方程上, 后来又被推广到了热量方程等抛物方程上^[2-7]. 通常的做法是首先定义一个柱体

$ R = \{(x_1, x_2, x_3)|(x_1, x_2)\in D, \ x_3\geq0\}, $

其中$ D $是坐标平面$ x_1Ox_2 $上一个有界充分光滑的区域. 当轴向变量趋于无穷大时, 证明解是指数式衰减的. 而且希望得到更加精确的能量衰减率. 例如: 文献[7] 证明了在瞬态问题中, 端部效应在任意时刻的空间衰减速度都与稳态情况下的衰减速度相同, 甚至更快.

然而, 空间衰减性研究必须假设方程组的解满足在远离有限端的无穷远处趋近于零或一个瞬态的层流的先验假设. 受此局限, 自从上世纪90年代以来, 空间衰减性研究研究逐步被Phragmén-Lindelöf型二择性研究所取代. 经典的二择一定理不必假设方程组的解在无限端趋近于零, 而是证明方程组的解随距有限端的距离的增大要么呈指数式(代数式)增长要么呈指数式(代数式)衰减, 关于二择一定理的详细论述可以参见文献[8-10]. 更多关于二择性研究的成果见文献[11-14].

在本文中, 我们关注定义在球体外部区域上的Ⅲ型热弹性方程. 设半径为$ r_0 $的球体外部区域记为$ \Omega(r_0) $, 即

$ \Omega(r_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|x^2_1+x^2_2+x^2_3\geq r^2_0, \ r_0\geq R_0\}, $

其中$ R_0 $是一个大于零的常数, $ B(r_0) $是一个三维的球体, 即

$ B(r_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|x^2_1+x^2_2+x^2_3 = r^2_0, \ r_0\geq R_0\}. $

本文的研究和文献相比有几处不同. 第一, 我们致力于证明方程的解随半径而不是随空间变量的Phragmén-Lindelöf型二择性. 这类研究虽少但是已经得到了关注. 文献[15]考虑了几类偏微分方程, 证明了在特定的条件下解随距坐标原点的距离(即半径)要么指数式增长要么指数式衰减. 但是我们的模型要比文献[15]复杂的多, 因此我们的研究更具一般化. 其次, 我们在"能量"中设置了一个任意大于零的参数, 只要取该参数充分大, 就可以得到足够精确的衰减率. 第三, 利用衰减估计的结果, 我们研究解对系数的连续依赖性. 据我们所知, 文献中大多数文章关注的是各种偏微分方程在有界区域或半无穷柱体区域上的连续依赖性^[16-21], 还没有文献关注定义在球体外部区域上偏微分方程的连续依赖性.

基于热流是由不同的本构假设, 人们分别提出了三种类型的热弹性方程. 上世纪末, 用熵相等代替通常的熵不等式, 文献[22-23]提出了Ⅲ型热弹性理论. Ⅲ型热弹性方程可以写为

(2.1) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}_{tt}-\mu\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}-(\mu+\lambda)\nabla({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}})+\beta\nabla\theta = 0, \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in \Omega(R_0) \times (0, T), \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} \theta_{tt}-\kappa\Delta\theta-\delta\Delta\theta_t+\beta {\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}_{tt} = 0, \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in \Omega(R_0) \times (0, T), \end{equation} $

其中$ \mu, \lambda, \kappa, \delta $是大于零的常数, $ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}} = (u_1, u_2, u_3), \theta $分别表示位移矢量和温差. 为了理解这些新理论及其应用, 人们开始从物理和数学的角度来研究. Zhang和Zuazua^[24]分析了系统(2.1)和(2.2)解的长时间行为. 在适当的条件下, 这个条件可以用几何光学来描述, 他们证明了系统的能量是指数衰减的. 然而, 对于二维空间中的区域, 光滑解的能量以多项式速率衰减. 文献[25]建立了一个关于多维Ⅲ型热弹性系统(2.1)和(2.2)解的记忆型结果的边界稳定性.

系统(2.1)和(2.2)具有以下初边值条件

(2.3) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}(x_1, x_2, x_3, 0) = {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in\Omega(R_0), \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} \theta(x_1, x_2, x_3, 0) = \theta_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in \Omega(R_0), \end{equation} $

(2.5) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}(x_1, x_2, x_3, t) = {{{\mathit{\boldsymbol{ g }}}}}(x_1, x_2, x_3, t), \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in B(R_0)\times (0, T), \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} \theta(x_1, x_2, x_3, t) = h(x_1, x_2, x_3, t), \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in B(R_0)\times (0, T), \end{equation} $

其中$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{ g }}}}}(x_1, x_2, x_3, t) $和$ h(x_1, x_2, x_3, t) $是给定的已知函数.

为了计算方便, 我们首先对方程(2.1)–(2.6)进行化简. 为此, 令$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{w }}}}} = (w_1, w_2, w_3) $表示速度域, 即

$ {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{ u }}}}}_t. $

由方程(2.1)以及初始条件(2.3)和(2.4), 可得$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{ w}}}}}_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0 $.

接下来对方程(2.1)关于$ t $求导, 可得

(2.7) $ \begin{eqnarray} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{tt}-\mu\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}-(\mu+\lambda)\nabla({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}})+\beta\nabla\theta_t = 0. \end{eqnarray} $

方程(2.2)可以写为

(2.8) $ \begin{eqnarray} \theta_{tt}-\kappa\Delta\theta-\delta\Delta\theta_t+\beta {\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{t} = 0. \end{eqnarray} $

初边值条件(2.4)–(2.6)可以转化为

(2.9) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}(x_1, x_2, x_3, 0) = {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in\ \Omega(R_0), \end{equation} $

(2.10) $ \begin{equation} \theta(x_1, x_2, x_3, 0) = \theta_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in \Omega(R_0), \end{equation} $

(2.11) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}(x_1, x_2, x_3, t) = {{{\mathit{\boldsymbol{ g }}}}}_t(x_1, x_2, x_3, t), \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in B(R_0)\times (0, T), \end{equation} $

(2.12) $ \begin{equation} \theta(x_1, x_2, x_3, t) = h(x_1, x_2, x_3, t), \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in B(R_0)\times (0, T). \end{equation} $

为了得到本文的主要结果, 我们引入一个辅助函数

(2.13) $ \begin{eqnarray} {\cal F}_1(r, t)& = &\mu\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}(\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}\cdot\nabla){{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}{\rm d}A{\rm d}\eta +(\mu+\lambda)\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}({\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}){{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_\eta\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &&-\beta\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &\doteq& I_1+I_2+I_3, \end{eqnarray} $

其中$ \tau $是一个大于零的任意常数.

利用散度定理和方程(2.7), 可得

(2.14) $ \begin{eqnarray} {\cal F}_1(r, t)& = &{\cal F}_1(r_0, t)+\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{t}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &&-\beta\int_0^t\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

再设

(2.15) $ \begin{equation} {\cal F}_2(r, t) = \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}\Big[\kappa\theta_\eta\nabla\theta\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r} +\delta\theta_\eta\nabla\theta_\eta\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta \doteq I_4+I_5, \end{equation} $

与(2.14)式的计算类似, 利用方程(2.8)可得

(2.16) $ \begin{eqnarray} {\cal F}_2(r, t)& = &{\cal F}_2(r_0, t)+\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}[\theta_{t}^2+\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau \eta}[\theta_{\eta}^2+\kappa|\nabla\theta|^2+2|\nabla\theta_\eta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &&+\beta\int_0^t\int_{r_0}^r\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta, \end{eqnarray} $

其中$ R_0\leq r_0\leq r $.

现定义

$ {\cal F}(r, t) = {\cal F}_1(r, t)+{\cal F}_2(r, t), $

则由(2.14)式和(2.16)式可得

(2.17) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)& = &\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{B(r)}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{t}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+\theta_{t}^2 +\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+\theta_{\eta}^2+\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\eta\\ && +\delta\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

若

$ \lim\limits_{r\rightarrow \infty}{\cal F}(r, t) = 0, $

则由(2.17)式可得

(2.18) $ \begin{eqnarray} -{\cal F}(r, t)& = &\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{\Omega(r)}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{t}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+\theta_{t}^2 +\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{\Omega(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2+\theta_{\eta}^2+\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ && +\delta\int_0^t\int_{\Omega(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

结合(2.13)式, (2.15)式和(2.18)式对$ {\cal F}(r, t) $进行分析, 可以得到以下定理.

定理 2.1    设$ \textbf{w} $和$ \theta $是初边值问题(2.7)–(2.12)的解. 如果存在$ r_0 $使得$ {\cal F}(r_0, t)\geq0 $, 则能量随$ r\rightarrow \infty $指数式增长, 即

(2.19) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{\Omega(r)/\Omega(r_0)}[\textbf{w}_{t}^2+\mu|\nabla\textbf{w}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{w}|^2+\theta_{t}^2 +\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{\Omega(r)/\Omega(r_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\textbf{w}_{\eta}^2+\mu|\nabla\textbf{w}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{w}|^2+\theta_{\eta}^2+\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ && +\delta\int_0^t\int_{\Omega(r)/\Omega(r_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\geq {\cal F}(r_0, t)[{\rm e}^{M\tau(r-r_0)}-1], \end{eqnarray} $

其中$ M $是一个大于零的常数, $ {\cal F}(r_0, t) = {\cal F}_1(r_0, t)+{\cal F}_2(r_0, t) $以及$ {\cal F}_1(r_0, t), \ {\cal F}_2(r_0, t) $的定义分别见(2.13)式和(2.15)式. 否则, 能量随$ r\rightarrow \infty $指数式衰减, 即

(2.20) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_r^\infty\int_{B(\xi)}[\textbf{w}_{t}^2+\mu|\nabla\textbf{w}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{w}|^2+\theta_{t}^2 +\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\textbf{w}_{\eta}^2+\mu|\nabla\textbf{w}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{w}|^2+\theta_{\eta}^2+\kappa|\nabla\theta|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ && +\delta\int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\leq[-{\cal F}(R_0, t)]{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)}. \end{eqnarray} $

证    利用Hölder不等式和Young不等式, 可得

(2.21) $ \begin{eqnarray} |I_1|&\leq&\mu\Big(\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{\sqrt{\mu}}{\tau}\Big(\int_0^t\int_{B(r)}\mu\tau {\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}\tau {\rm e}^{-\tau\eta}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{\sqrt{\mu}}{2\tau}\int_0^t\int_{B(r)}\tau {\rm e}^{-\tau\eta}(\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}|^2 +{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}^2){\rm d}A{\rm d}\eta\\ &\leq&\frac{\sqrt{\mu}}{\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)]. \end{eqnarray} $

类似地, 有

(2.22) $ \begin{eqnarray} |I_2|&\leq&(\mu+\lambda)\Big(\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}({\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}})^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2} \\ &\leq&\frac{\sqrt{\mu+\lambda}}{\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \end{eqnarray} $

(2.23) $ \begin{eqnarray} |I_3|&\leq&\beta\Big(\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2} \\ &\leq&\frac{\beta}{\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \end{eqnarray} $

(2.24) $ \begin{eqnarray} |I_4|&\leq&\kappa\Big(\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2} \\ &\leq&\frac{\sqrt{\kappa}}{\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \end{eqnarray} $

(2.25) $ \begin{eqnarray} |I_5|&\leq&\delta\Big(\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}\theta_\eta^2{\rm d}A{\rm d}\eta \int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{\sqrt{\delta}}{\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)]. \end{eqnarray} $

把(2.21)式, (2.22)式和(2.23)式代入到(2.13), 再把(2.24)式和(2.25) 式代入到(2.15)式, 然后结合$ {\cal F}(r, t) $的定义可得

(2.26) $ \begin{eqnarray} |{\cal F}(r, t)|\leq\frac{1}{M\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \ r\geq R_0, \end{eqnarray} $

其中$ \frac{1}{M} = \max\{\sqrt{\mu+\lambda}, \ \beta, \ \sqrt{\delta}, \ \sqrt{\kappa}\} $.

如果存在$ r_0\geq R_0 $, 使得$ {\cal F}(r_0, t)\geq0 $, 由(2.17)式可知$ \frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)\geq0 $, 所以

$ {\cal F}(r, t)\geq{\cal F}(r_0, t)\geq0, \ r\geq r_0. $

于是(2.26)式可以写为

$ {\cal F}(r, t)\leq\frac{1}{M\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \ r\geq r_0\nonumber $

即

(2.27) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial r}\Big\{{\cal F}(r, t){\rm e}^{-M\tau r}\Big\}\geq0, \ r\geq r_0. \end{equation} $

对(2.27)式从$ r_0 $到$ r $积分, 可得

(2.28) $ \begin{eqnarray} {\cal F}(r, t)\geq{\cal F}(r_0, t){\rm e}^{M\tau(r-r_0)}, \ r\geq r_0. \end{eqnarray} $

对(2.17)式从$ r_0 $到$ r $积分, 再结合(2.28)式即可得到(2.19)式.

如果不存在$ r_0\geq R_0 $, 使得$ {\cal F}(r_0, t)\geq0 $, 即对任意的$ r\geq R_0 $, 都有$ {\cal F}(r, t)<0 $. 在这种情形下, 由(2.26)式可得

$ -{\cal F}(r, t)\leq\frac{1}{M\tau}[\frac{\partial}{\partial r}{\cal F}(r, t)], \ r\geq R_0, \nonumber $

即

(2.29) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial r}\Big\{{\cal F}(r, t){\rm e}^{M\tau r}\Big\}\geq0, \ r\geq R_0. \end{equation} $

对(2.29)式从$ R_0 $到$ r $积分, 可得

(2.30) $ \begin{eqnarray} -{\cal F}(r, t)\leq[-{\cal F}(R_0, t)]{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)}, \ r\geq R_0. \end{eqnarray} $

结合(2.18)式即可证明(2.20)式. 证毕.

注 2.1    在研究定义在柱体$ R $上的空间衰减性时^[3-4], 通常可以证明能量表达式满足

$ -E(z, t)\leq[-E(0, t)]{\rm e}^{-cz}, c>0. $

为了使得衰减结果有意义, 必须给出全能量$ -E(0, t) $的上界. 在本文中, 则不必给出$ -{\cal F}(R_0, t) $的上界. 由(2.13)式和(2.15)式再利用边界条件可得

(2.31) $ \begin{eqnarray} -{\cal F}(R_0, t)& = &-\mu\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}(\frac{\textbf{x}}{R_0}\cdot\nabla)\textbf{g}_\eta\textbf{g}_{\eta\eta}{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &&-(\mu+\lambda)\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}({\rm div}\textbf{g})_\eta\textbf{g}_{\eta\eta}\cdot\frac{\textbf{x}}{R_0}{\rm d}A{\rm d}\eta+\beta\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}h_\eta\textbf{g}_{\eta\eta}\cdot\frac{\textbf{x}}{r}{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &&-\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}\Big[\kappa h_\eta\nabla h\cdot\frac{\textbf{x}}{R_0} +\delta h_\eta\nabla h_\eta\cdot\frac{\textbf{x}}{R_0}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &\leq&\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\mu||\nabla\textbf{g}_\eta||\textbf{g}_{\eta\eta}| +(\mu+\lambda)|({\rm div}\textbf{g})_\eta||\textbf{g}_{\eta\eta}|+\beta |h_\eta||\textbf{g}_{\eta\eta}|]{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &&+\int_0^t\int_{B(R_0)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\kappa |h_\eta||\nabla h|+\delta |h_\eta||\nabla h_\eta|]{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

注 2.2    由定理2.1可知, 方程(2.7)–(2.12)的解的增长率/衰减率与$ \tau $相关, 而$ \tau $是一个任意的大于零的常数, 所以我们可以得到比文献[3-4, 8-9]更加精确的衰减率.

注 2.3    与柱体区域上的研究类似^[4-6], 如果对方程的解远离原点的无穷远处满足一定的先验假设(例如$ \textbf{w}, \nabla\textbf{w}, \theta = o(1), (r\rightarrow \infty) $), 则(2.20)式一定成立. 下一节的连续依赖性研究正是建立在解指数式衰减的情形下展开的.

在数学模型建立、模拟、计算和简化的过程中不可避免的会出微小的误差, 所以有必要考虑这些误差对方程组解的影响. 早期的连续依赖性研究主要集中在初始条件上, 后来被推广到了对方程组系数的研究上, 并在学术上赢得了一个名字---结构稳定性^[26]. 大多数成果主要研究有界区域上的各种偏微分方程的连续依赖性, 本文计划把在有界区域上取得的成果推广到一个无界区域上去.

我们注意到$ \nabla\cdot{{\rm{\mathit{\boldsymbol{w }}}}} $和$ \nabla\theta $也满足方程(2.7)和方程(2.8), 即

(3.1) $ \begin{equation} \nabla\cdot{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{tt}-\mu\Delta \nabla\cdot{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}-(\mu+\lambda)\Delta({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}})+\beta\Delta\theta_t = 0, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \nabla\theta_{tt}-\kappa\Delta\nabla\theta-\delta\Delta\nabla\theta_t+\beta \nabla{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{t} = 0. \end{equation} $

由(3.1) 式和(3.2)式可得

(3.3) $ \begin{equation} \int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\nabla\theta_{\eta\eta}-\kappa\Delta\nabla\theta-\delta\Delta\nabla\theta_\eta+\beta \nabla({\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{\eta})]\nabla\theta_{\eta}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta = 0, \end{equation} $

(3.4) $ \begin{equation} \int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\nabla\cdot{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_{tt}-\mu\Delta \nabla\cdot{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}-(\mu+\lambda)\Delta({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}})+\beta\Delta\theta_t]\nabla\cdot{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta = 0. \end{equation} $

采取和定理2.1类似的计算方法, 由(3.3)式和(3.4)式, 我们可以得到以下引理.

引理 3.1    假设$ \textbf{w}, \theta $是初边值问题(2.7)–(2.12)的解. 若对任意的$ r\geq R_0 $, 都有$ {\cal F}(r, t)<0 $, 则

(3.5) $ \begin{eqnarray} \delta\int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\Delta\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\leq[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)}, \end{eqnarray} $

其中$ -\widetilde{{\cal F}}(R_0, t) $是和$ -{\cal F}(R_0, t) $类似的函数, 只需把(2.31)式中的$ \textbf{w}, \theta $分别由$ \nabla\cdot\textbf{w}, \nabla\theta $代替即可.

接下来, 我们来推导解的连续依赖性.

设$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{w }}}}}, \theta $和$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}^*, \theta^* $是方程(2.7)–(2.12)分别对应于$ \delta = \delta_1 $和$ \delta = \delta_2 $的解. 令

$ {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}} = {{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}-{{{\mathit{\boldsymbol{ w }}}}}^*, \quad \Sigma = \theta-\theta^*, \quad \widetilde{\delta} = \delta_1-\delta_2, $

所以$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}, \Sigma $满足

(3.6) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{tt}-\mu\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}-(\mu+\lambda)\nabla({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}})+\beta\nabla\Sigma_\eta = 0, \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in\Omega(R_0)\times (0, T), \end{equation} $

(3.7) $ \begin{equation} \Sigma_{tt}-\kappa\Delta\Sigma-\widetilde{\delta}\Delta\theta_t-\delta_2\Delta\Sigma_t+\beta {\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{t} = 0, \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in\Omega(R_0)\times (0, T), \end{equation} $

(3.8) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}(x_1, x_2, x_3, 0) = {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in \Omega(R_0), \end{equation} $

(3.9) $ \begin{equation} \Sigma(x_1, x_2, x_3, 0) = \Sigma_t(x_1, x_2, x_3, 0) = 0, \ {{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}\in \Omega(R_0), \end{equation} $

(3.10) $ \begin{equation} {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}(x_1, x_2, x_3, t) = \textbf{0}, \ \Sigma(x_1, x_2, x_3, t) = 0, \ ({{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}, t)\in B(R_0)\times (0, T). \end{equation} $

我们可以得到以下定理.

定理 3.1    假设$ \textbf{v}, \Sigma $是初边值问题(3.6)–(3.10)的解. 若对任意的$ r\geq R_0 $, 都有$ {\cal F}(r, t)<0 $, 则方程(2.7)–(2.12)的解连续依赖于系数$ \delta $, 即

$ \textbf{w}\rightarrow \textbf{w}^*, \theta\rightarrow \theta^*, \ \rm {当} \ \delta_1\rightarrow \delta_2. $

具体地, 有

(3.11) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}[\textbf{v}_{t}^2+\mu|\nabla\textbf{v}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{v}|^2+\Sigma_{t}^2 +\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\textbf{v}_{\eta}^2+\mu|\nabla\textbf{v}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}\textbf{v}|^2+\Sigma_{\eta}^2+\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ & & +\delta_2\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\Sigma_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &\leq &\frac{2\widetilde{\delta}^2}{\tau\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]{\rm e}^{-\frac{M\tau(r-R_0)}{2}}[2-{\rm e}^{-\frac{M\tau(r-R_0)}{2}}]. \end{eqnarray} $

证    在方程(3.6)上乘以$ {{\rm{\mathit{\boldsymbol{v }}}}}_t $, 方程(3.7)上乘以$ \Sigma_\eta $并在$ \Omega(r)\times (0, t) $积分, 可得

(3.12) $ \begin{equation} \int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta\eta}-\mu\Delta {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}-(\mu+\lambda)\nabla({\rm div} {{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}})+\beta\nabla\Sigma_\eta ]{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta = 0, \end{equation} $

(3.13) $ \begin{equation} \int_0^t\int_r^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[\Sigma_{\eta\eta}-\kappa\Delta\Sigma-\widetilde{\delta}\Delta\theta_\eta-\delta_2\Delta\Sigma_\eta+\beta {\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta}]\Sigma_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta = 0. \end{equation} $

若令

(3.14) $ \begin{eqnarray} E(r, t)& = &\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}[{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{t}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+\Sigma_{t}^2 +\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+\Sigma_{\eta}^2+\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ && +\delta_2\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\Sigma_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta, \end{eqnarray} $

则

(3.15) $ \begin{eqnarray} -\frac{\partial}{\partial r}E(r, t)& = &\frac{1}{2}{\rm e}^{-\tau t}\int_{B(r)}[{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{t}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+\Sigma_{t}^2 +\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A\\ &&+\frac{1}{2}\tau\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}[{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta}^2+\mu|\nabla{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2 +(\mu+\lambda)|{\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}|^2+\Sigma_{\eta}^2+\kappa|\nabla\Sigma|^2]{\rm d}A {\rm d}\eta\\ && +\delta_2\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\nabla\Sigma_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

由(3.12)式和(3.13)式, 可得

(3.16) $ \begin{eqnarray} E(r, t)& = &\widetilde{\delta}\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}\Delta\theta_\eta\Sigma_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\ &&-\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\omega\eta}\Big[\mu(\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}\cdot\nabla){{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta} +(\mu+\lambda)({\rm div}{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}){{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta}\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r} -\beta\Sigma_\eta{{{\mathit{\boldsymbol{ v }}}}}_{\eta}\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &&-\int_0^t\int_{B(r)}{\rm e}^{-\omega\eta}\Big[\kappa\nabla\Sigma\Sigma_\eta\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}+\delta_2\nabla\Sigma\Sigma_\eta\cdot\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{ x }}}}}}{r}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta\\ &\doteq& J_1+J_2+J_3. \end{eqnarray} $

利用Hölder不等式, Young不等式和引理, 可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} J_1 &\leq&|\widetilde{\delta}|\Big[\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}|\Delta\theta_\eta|^2{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta \int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}\Sigma^2_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{\widetilde{\delta}^2}{\tau\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)} +\frac{1}{4}\tau\int_0^t\int_{r}^\infty\int_{B(\xi)}{\rm e}^{-\tau\eta}\Sigma^2_\eta {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta. \end{eqnarray} $

类似地

(3.18) $ \begin{equation} J_2\leq\frac{1}{\tau}\max\{\sqrt{\mu+\lambda}, \beta\}[-\frac{\partial}{\partial r}E(r, t)], \end{equation} $

(3.19) $ \begin{equation} J_3\leq\frac{1}{\tau}\max\{\sqrt{\kappa}, \sqrt{\delta_2}\}[-\frac{\partial}{\partial r}E(r, t)]. \end{equation} $

把(3.17)–(3.19)式代入到(3.16)式, 可得

(3.20) $ \begin{eqnarray} E(r, t)\leq\frac{2\widetilde{\delta}^2}{\tau\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)}+\frac{2}{M\tau}[-\frac{\partial}{\partial r}E(r, t)]. \end{eqnarray} $

由(3.20)式可得

(3.21) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r}\Big\{E(r, t){\rm e}^{\frac{M\tau r}{2}}\Big\}\leq\frac{\widetilde{\delta}^2}{M\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]{\rm e}^{-\frac{M\tau}{2}r+M\tau R_0}. \end{eqnarray} $

对(3.21)式从$ R_0 $到$ r $积分, 可得

(3.22) $ \begin{eqnarray} E(r, t)\leq E(R_0, t){\rm e}^{-\frac{M\tau(r-R_0)}{2}}+\frac{2\widetilde{\delta}^2}{\tau\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)][{\rm e}^{-\frac{M\tau(r-R_0)}{2}}-{\rm e}^{-M\tau(r-R_0)}]. \end{eqnarray} $

在(3.15)式中取$ r = R_0 $并利用(3.8)–(3.10)式可知$ -\frac{\partial}{\partial r}E(R_0, t) = 0. $因此, 在(3.20)式中取$ r = R_0 $可得

(3.23) $ \begin{eqnarray} E(R_0, t)\leq\frac{2\widetilde{\delta}^2}{\tau\delta_1}[-\widetilde{{\cal F}}(R_0, t)]. \end{eqnarray} $

把(3.23)式代入到(3.22)式并结合(3.14)式即可完成定理3.1的证明. 证毕.

注 3.1    定理3.1不仅表明解对系数$ \delta $的连续依赖性, 而且再次表明解随半径的指数式衰减.

注 3.2    我们注意到Payne和Song^[27]考虑了低温下的热量方程

$ k_1\textbf{u}_t = -\textbf{u}-k_2\nabla T+k_3\Delta \textbf{u}+k_4\nabla({\rm div}\textbf{u}), \ (\textbf{x}, t)\in R\times(0, T) $

耦合了能量平衡方程

$ k_5T_t = {\rm div}\textbf{u}, \ (\textbf{x}, t)\in R\times(0, T), $

其中$ k_i(i = 1, 2, \cdots , 5)>0 $. Song和Yoon^[28]增加了耗散项

$ k_5T_t = {\rm div}\textbf{u}+\Delta T, \ (\textbf{x}, t)\in R\times(0, T). $

他们都得到了解的空间二择性以及解对系数在半无穷柱体$ R $上的连续依赖性. 显然, 如果文献[27-28] 中的模型定义在区域$ \Omega(R_0) $上, 本文的方法和结果仍然是成立的.

注 3.3    利用本文的方法, 也可以得到解对方程组中其他系数甚至边界条件的连续依赖性.

注 3.4    事实上, 如果球体$ B(R_0) $由椭球体来代替, 则定理2.1和定理3.1仍然是成立的. 椭球体可定义为

$ \widetilde{B}(R_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_1^2}{b^2}+\frac{x_1^2}{c^2} = R^2_0, \ a, b, c>0\}. $

球体外部区域可以定义为

$ \widetilde{\Omega}(R_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_1^2}{b^2}+\frac{x_1^2}{c^2}\geq R^2_0, \ a, b, c>0\}. $

注 3.5    更进一步, 定义

$ \overline{B}(R_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|f(x_1, x_2, x_3) = R^2_0\} $

其中$ f(x_1, x_2, x_3) = R_0 $是三维空间中的一个有界凸区域的光滑边界曲面. 再定义

$ \overline{\Omega}(R_0) = \{(x_1, x_2, x_3)|f(x_1, x_2, x_3)\geq R^2_0\}. $

如果本文中的区域$ B(R_0) $和$ \Omega(R_0) $分别由区域$ \overline{B}(R_0) $和$ \overline{\Omega}(R_0) $代替, 则定理2.1和定理3.1仍然是成立的.

本文考虑了定义在三维球体外部区域上的Ⅲ型热弹性方程, 获得了解的二择一结果. 本文的贡献是把文献中的结果进行了无穷区域上, 目前这类文章还比较少. 另一方面, 这类研究还可以进一步向非线性方程组(Boussinesq方程组, Brinkman方程组等)展开. 据我们所知, 目前还没有出现定义在球体外部区域上的非线性方程组的研究结果, 这也是接下来我们考虑的一个方向.