考虑以下静态狄拉克方程

(1.1) $ \begin{equation} -{\rm i}\sum\limits_{k = 1}^3\alpha_k\partial_k u+a\beta u+V(x)u = H_u(x, u), \end{equation} $

这里$ x = (x_1, x_2, x_3)\in {\Bbb R}^3 $, $ \partial_k = \partial/\partial x_k $, $ a>0 $为一常数, $ \alpha_k $与$ \beta $为如下泡利-狄拉克矩阵

$ \beta = \left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & -I \end{array} \right), \quad \alpha_k = \left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_k \\ \sigma_k & 0 \end{array} \right), \quad k = 1, \, 2, \, 3, $

其中

$ \sigma_1 = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \quad \sigma_2 = \left(\begin{array}{cc} 0 & -{\rm i} \\ {\rm i} & 0 \end{array} \right), \quad \sigma_3 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right). $

当人们研究如下非线性狄拉克方程

(1.2) $ \begin{equation} -{\rm i}\hbar\partial_t \psi = {\rm i}c\hbar\sum\limits_{k = 1}^3\alpha_k\partial_k \psi-mc^2\beta\psi-M(x)\psi+F_\psi(x, \psi) \end{equation} $

的驻波解时就会出现上述这样的方程, 而该非线性狄拉克方程刻画了量子电动力学中的自相互作用并被有效地应用于原子、核和引力物理学中^[1]. 若$ F(x, e^{{\rm i}\theta}\psi) = F(x, \psi) $对任意$ \theta\in [0, 2\pi] $都成立, 则方程(1.2)的一个驻波解是一个形为$ \psi(t, x) = e^{\frac{{\rm i}\mu t}{\hbar}}u(x) $的解. 容易验证$ \psi(t, x) $为方程(1.2)的解当且仅当$ u(x) $为方程(1.1)在$ a = mc/\hbar $, $ V(x) = M(x)/(c\hbar)+\mu I_4/\hbar $且$ H(x, u) = F(x, u)/(c\hbar) $时的解. 为了记号的简洁, 记

$ \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3), \quad \alpha\cdot \nabla = \sum\limits_{k = 1}^3\alpha_k\partial_k, $

并将方程(1.1)重写为

(1.3) $ \begin{equation} -{\rm i}\alpha\cdot \nabla u+a\beta u+V(x)u = H_u(x, u). \end{equation} $

在过去的三十年间, 自文献[2]开拓性的工作后，有许多文章运用变分方法研究了静态狄拉克方程(1.3)解的存在与多重性, 例如, 文献[3-17] 以及其中的参考文献. 在此值得指出的是, 所有这些文章中得到的解都属于$ L^2({\Bbb R}^3, {\Bbb C}^4) $. 然而, 若位势和非线性项关于$ x $是周期的, 则人们也可以研究其周期解的存在与多重性. 自然地, 方程(1.3)的一个周期解被称为方程(1.2)的一个周期驻波解. 在文献[18]关于这一问题的首次工作之后, 在最近几年里也有几篇文章专注于方程(1.3)周期解的存在与多重性的研究, 例如文献[19-22]. 注意到, 这些文章总要求函数$ H(x, u) $关于$ u $在无穷远处满足各种形式的增长性条件, 而这些条件对相关的结果来讲是非常关键的. 更具体地说, 文献[18, 20, 22]研究了超二次或次二次的情形, 文献[21]处理了渐进二次的情形, 而文献[19]则专注于凹凸情形的研究.

受文献[18-19]的启发, 该文将在无需函数$ H(x, u) $关于$ u $在无穷远处的任何条件假设的情形下来研究方程(1.3)无穷多周期解的存在性.

以下总记$ v\cdot w $为$ v $与$ w $在$ {\Bbb C}^4 $或$ {\Bbb C} $中的点积. 在给出文中主要结果之前, 需引入如下假设.

(V$ _0 $) $ V\in C({\Bbb R}^3, {\Bbb R}) $并且$ V(x) $关于每个$ x_k $ ($ k = 1, \, 2, \, 3 $)是$ 1 $ -周期的.

(H$ _1 $) $ H\in C^1({\Bbb R}^3\times B_\delta(0), {\Bbb R}) $, 其中$ B_\delta(0): = \{u\in {\Bbb C}^4\mid |u|< \delta\} $, 并且$ H(x, u) $关于$ u $是偶的且关于每个$ x_k $ ($ k = 1, \, 2, \, 3 $)是$ 1 $ -周期的.

(H$ _2^{\pm} $) $ \lim\limits_{|u|\to 0}H(x, u)/|u|^2 = \pm\infty $关于$ x\in Q = [0, 1]\times[0, 1]\times[0, 1] $一致地成立.

(H$ _3^{\pm} $) 对任意$ (x, u)\in Q\times (B_\delta(0)\setminus \{0\} $), 都有$ \pm (2H(x, u)-H_u(x, u)\cdot u)>0 $.

称方程(1.3)的解$ u $是周期的, 若对任意$ z\in {\Bbb Z}^3 $, 都有$ u(x+z) = u(z) $. 若$ u $是方程(1.3)的一个满足$ \|u\|_{L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4)}<\delta $的周期解, 则记其能量为

(1.4) $ \begin{equation} {\it\Phi}(u) = \int_Q\Big[\frac{1}{2}(-{\rm i}\alpha\cdot\nabla u+a\beta u+V(x)u)\cdot u-H(x, u)\Big]{\rm d}x. \end{equation} $

以下是文中的主要结果.

定理 1.1}    假设(V$ _0 $), (H$ _1 $)以及(H$ _2^+ $) (相应地, (H$ _2^- $))成立, 则方程(1.3)具有一列非平凡周期解{$ u_k $}使得$ 0\geq {\it\Phi}(u_k)\to 0 $ (相应地, $ 0\leq {\it\Phi}(u_k)\to 0 $), 并且在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $和$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中都有$ u_k\to 0 $.

定理 1.2}    假设(V$ _0 $), (H$ _1 $), (H$ _2^+ $)以及(H$ _3^+ $) (相应地, (H$ _2^- $)以及(H$ _3^- $))成立, 则方程(3)具有一列非平凡周期解{$ u_k $}使得$ 0>{\it\Phi}(u_k)\to 0 $ (相应地, $ 0< {\it\Phi}(u_k)\to 0 $), 并且在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $和$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中都有$ u_k\to 0 $.

注 1.1    定理1.1和1.2只需要函数$ H(x, u) $关于$ u $在原点附近有定义. 事实上, 这些结果在某种意义上表明了方程(1.3)一列非平凡的小能量周期解的存在性是一种局部现象. 这与之前提到的参考文献形成鲜明对比, 因为那些文献中总要求$ H(x, u) $关于$ u $在无穷远处满足各种形式的增长性条件. 据作者所知, 目前尚未有文献涉及方程(1.3)在这种情形下的无穷多周期解的问题.

注 1.2    事实上, 定理1.2还从根本上改进了已有文献中的相关结果. 例如, 与文献[18]中的定理1.4和1.5相比, 函数$ H(x, u) $关于$ u $在原点附近的条件(H$ _1 $), (H$ _2^+ $)以及(H$ _3^+ $)要比那里的条件(G$ _4 $), (G$ _5 $)$ ^{\prime} $以及(G$ _7 $)弱得多. 此外, 容易看出文献[19]中定理1.1的(ii)和定理1.3也都能被这里的定理1.2所涵盖.

有许多函数满足定理1.2的条件但不满足文献[18]中定理1.4和1.5的相应条件. 例如, 令

$ H(x, u) = \left\{\begin{array}{ll} \xi(x)|u|^2\ln |u|, & x\in {\Bbb R}^3, \, u\in {\Bbb C}^4\ \rm{ 且 }\ 0<|u|< e^{-1}, \\ 0, & x\in {\Bbb R}^3\ \rm{ 且 }\ u = 0\in {\Bbb C}^4, \end{array}\right. $

其中$ \xi \in C^1({\Bbb R}^3, {\Bbb R}) $非负且关于每个$ x_k $ ($ k = 1, \, 2, \, 3 $)是1 -周期的. 容易验证在取$ \delta = e^{-1} $时$ H(x, u) $满足假设(H$ _1 $), (H$ _2^+ $)以及(H$ _3^+ $). 然而, 它显然不满足文献[18]中定理1.4和1.5的条件(G$ _7 $).

为了建立问题的变分框架, 需要引入合适的变分空间. 对每个$ p\in [1, \infty] $, 令$ L_{T}^p(Q): = \{u\in L_{{\rm loc}}^p({\Bbb R}^3, {\Bbb C}^4)\mid u(x+\hat{e}_i) = u(x) \rm{ a.e., }i = 1, 2, 3\} $, 其中$ \hat{e}_1 = (1, 0, 0) $, $ \hat{e}_2 = (0, 1, 0) $, $ \hat{e}_3 = (0, 0, 1) $. 以下总记$ (\cdot, \cdot)_2 $为$ L_{T}^2(Q) $上的通常$ L^2 $ -内积, 且对每个$ p\in [1, \infty] $, 记$ \|\cdot\|_p $为$ L_{T}^p(Q) $上通常的$ L^p $ -范数. 记$ {\cal A}_0 = -{\rm i}\alpha\cdot \nabla+a\beta $和$ {\cal A}_V = {\cal A}_0+V $为$ L_{T}^2(Q) $上的自伴算子, 其定义域为

$ {\mathfrak D}({\cal A}_V) = {\mathfrak D}({\cal A}_0) = H_{T}^1(Q): = \{u\in H_{{\rm loc}}^1({\Bbb R}^3, {\Bbb C}^4)\mid u(x+\hat{e}_i) = u(x) \rm{ a.e., }i = 1, 2, 3\}. $

众所周知, $ {\cal A}^2_0 $只有有限重的特征值且可以排列如下

$ a^2<\lambda_1\leq \lambda_2\leq \lambda_3\leq \cdots \to +\infty. $

由自伴算子的谱理论可知, $ {\cal A}_0 $也只有特征值$ \pm\mu_j = \pm\sqrt{\lambda_j} $, $ j\in {\Bbb N}^+ $. 因为$ H_{T}^1(Q) $能紧嵌入$ L_{T}^2(Q) $中, 并且乘积算子$ V $在$ L_{T}^2(Q) $上是有界的, 所以由Weyl定理可知, $ {\cal A}_V $的谱由有限重的特征值所构成且其非零的那些特征值可排列如下(按重数计算)

$ \cdots \leq \nu_{-3}\leq \nu_{-2}\leq \nu_{-1}<0<\nu_1\leq \nu_2\leq \nu_3\leq \cdots, $

其中当$ j\to +\infty $时$ \nu_{\pm j}\to \pm\infty $. 设$ \{e_j\}_{ j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}} $为那些非零特征值相应的正交特征函数系. 令

$ L^+: = \overline{\rm{span}\{e_j\mid j>0\}}, \quad L^-: = \overline{\rm{span}\{e_j\mid j<0\}} $

且当$ 0 $是$ {\cal A}_V $的特征值时记$ L^0: = \ker({\cal A}_V) $, 这里的闭包是关于$ L_{T}^2(Q) $中通常的范数$ \|\cdot\|_2 $所取的. 注意到$ L^0 $至多是有限维的, 并且$ {\cal A}_V $在$ L^+ $和$ L^- $上分别是正定的和负定的, 从而有如下正交分解

$ L_{T}^2(Q) = L^+\oplus L^0\oplus L^-. $

对每个$ u\in L_{T}^2(Q) $, 令$ u = u^++u^0+u^- $为使得$ u^0\in L^0 $且$ u^{\pm}\in L^{\pm} $的唯一分解式, 这里$ u^{\pm} = \sum\limits_{\pm j>0}a_je_j $, 其中$ \{a_j\}_{ j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}}\subset {\Bbb C} $是它们关于$ \{e_j\}_{ j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}} $的傅里叶系数.

令$ E = {\mathfrak D}(|{\cal A}_V|^{\frac{1}{2}})\subset L_{T}^2(Q) $, 则在$ E $上赋予如下内积时它成为一个Hilbert空间.

$ (u, v): = \sum\limits_{j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}}|\nu_j|a_j\cdot b_j+(u^0, v^0)_2, $

其中$ u = u^++u^0+u^- = u^0+\sum\limits_{ j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}}a_je_j $, $ v = v^++v^0+v^- = v^0+\sum\limits_{ j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}}b_je_j $, 并且此时诱导的范数为

$ \|u\|^2 = \sum\limits_{j\in {\Bbb Z}\setminus \{0\}}|\nu_j||a_j|^2+\|u^0\|_2^2. $

令

$ E^+ = \overline{\rm{span}\{e_j\mid j>0\}}, \quad E^- = \overline{\rm{span}\{e_j\mid j<0\}} $

且$ E^0 = L^0 = \ker({\cal A}_V) $, 这里的闭包是关于$ E $中诱导的范数$ \|\cdot\| $所取的. 于是有分解式

(2.1) $ \begin{equation} E = E^+\oplus E^0\oplus E^-, \end{equation} $

且该分解关于两个内积$ (\cdot, \cdot) $和$ (\cdot, \cdot)_2 $都是正交的. 相应地, 每个$ u\in E $都具有唯一的分解式

$ u = u^++u^0+u^-, $

其中$ u^0\in E^0 $, $ u^\pm\in E^\pm $. 自此, $ (E, \, \|\cdot\|) $即为文中问题的变分空间并记$ E^* $为其对偶空间, 而$ E^* $上的算子范数则记为$ \|\cdot\|_{E^*} $.

运用文献[6, 11]中类似的插值技巧以及Sobolev嵌入定理, 立即可得如下引理.

引理 2.1    $ E = H^{1/2}(Q, {\Bbb C}^4) $且范数等价, 因而对每个$ p\in [1, 3) $, $ E $能紧嵌入$ L_{T}^p(Q) $中, 并且$ E $能连续嵌入$ L_{T}^3(Q) $中. 特别地, 对每个$ p\in [1, 3] $, 存在$ \tau_p>0 $使得对任意$ u\in E $, 都有

(2.2) $ \begin{equation} \|u\|_p\le \tau_p\|u\|. \end{equation} $

因为方程(1.3)中的函数$ H(x, u) $关于$ u $仅在原点附近有定义, 所以需要对其进行修改和延拓使其成为一个新的全局有定义的函数$ \widetilde{H} $, 从而才能建立问题的变分泛函. 为此, 选定$ \widetilde{H}\in C^1({\Bbb R}^3\times {\Bbb C}^4, {\Bbb R}) $使得$ \widetilde{H}(x, u) $关于$ u $是偶的且关于每个$ x_k $ ($ k = 1, \, 2, \, 3 $)是1 -周期的, 对任意$ (x, u)\in {\Bbb R}^3\times B_\delta(0) $都有$ \widetilde{H}(x, u) = H(x, u) $, 并且对任意$ (x, u)\in {\Bbb R}^3\times ({\Bbb C}^4\setminus B_{2\delta}(0)) $都有$ \widetilde{H}(x, u) = 0 $, 其中$ B_{2\delta}(0): = \{u\in {\Bbb C}^4\mid |u|< 2\delta\} $, 于是存在常数$ c_1, c_2>0 $使得对于任意$ (x, u)\in Q\times {\Bbb C}^4 $, 都有

(2.3) $ \begin{equation} \big|\widetilde{H}_u(x, u)\big|\le c_1 \end{equation} $

以及

(2.4) $ \begin{equation} \big|\widetilde{H}(x, u)\big|\le c_2. \end{equation} $

事实上, 还有以下结果.

引理 2.2    假设$ \widetilde{H}\in C^1({\Bbb R}^3\times {\Bbb C}^4, {\Bbb R}) $为上述给定的函数, 那么定义在$ E $上的如下泛函

(2.5) $ \begin{equation} {\it\Psi}(u): = \int_Q\widetilde{H}(x, u){\rm d}x \end{equation} $

是弱连续的. 此外, $ {\it\Psi}\in C^1(E, {\Bbb R}) $, $ {\it\Psi}':E\to E^* $是全连续的且

(2.6) $ \begin{equation} \langle{\it\Psi}'(u), v\rangle = \int_Q\widetilde{H}_u(x, u)\cdot v{\rm d}x, \end{equation} $

其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle:E^*\times E \to {\Bbb R} $为对偶作用.

证    首先, 由式(2.4)和引理2.1可知, 通过式(2.5)所给的泛函$ {\it\Psi} $在$ E $上是良好定义的. 现设在$ E $中$ u_n\rightharpoonup u $, 于是由引理2.1可知在$ L_{T}^1(Q) $中$ u_n\to u $. 如有需要过渡到一个子列, 可设在$ Q $中几乎处处有$ u_n\to u $. 由式(2.4) 和Lebesgue控制收敛定理可知, 下式成立.

$ \begin{eqnarray*} |{\it\Psi}(u_n)-{\it\Psi}(u)|& = &\left|\int_Q\left(\widetilde{H}(x, u_n)-\widetilde{H}(x, u)\right){\rm d}x\right|\\[5pt] &\leq&\int_Q\left|\widetilde{H}(x, u_n)-\widetilde{H}(x, u)\right|{\rm d}x\to 0. \end{eqnarray*} $

因此, $ {\it\Psi} $是弱连续的.

接下来证明$ {\it\Psi} $在$ E $上是Gâteaux可微的. 对任意给定的$ u\in E $, 定义一个相关的线性算子$ {\cal J}(u):E\to {\Bbb R} $如下

(2.7) $ \begin{equation} \langle{\cal J}(u), v\rangle = \int_Q\widetilde{H}_u(x, u)\cdot v{\rm d}x \end{equation} $

对任何$ v\in E $成立. 由式(2.3)和引理2.1可知

(2.8) $ \begin{equation} |\langle{\cal J}(u), v\rangle|\leq \int_Q\left|\widetilde{H}_u(x, u)\right||v|{\rm d}x\leq c_1\|v\|_1\leq c_1\tau_1\|v\| \end{equation} $

对任何$ v\in E $成立, 其中$ \tau_1 $是式(2.2)所给的常数. 这意味着$ {\cal J}(u) $是良好定义的并且是有界的. 现在对于任意$ u, v\in E $, 结合式(2.3), (2.5)和(2.7), 中值定理以及Lebesgue控制收敛定理, 可得

(2.9) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{t\to 0} \frac{{\it\Psi}(u+tv)-{\it\Psi}(u)}{t}& = &\lim\limits_{t\to 0}\int_Q\widetilde{H}_u(x, u+\theta(x)tv)\cdot v{\rm d}x{} \\ & = &\int_Q\widetilde{H}_u(x, u)\cdot v{\rm d}x = \langle{\cal J}(u), v\rangle, \end{eqnarray} $

其中$ \theta(x)\in [0, 1] $依赖于$ u, v, t $. 这表明$ {\it\Psi} $在$ E $上是Gâteaux可微的且$ {\it\Psi} $在$ u $处的Gâteaux导数即为$ {\cal J}(u) $.

最后, 为了证得$ {\it\Psi}\in C^1(E, {\Bbb R}) $, $ {\it\Psi}':E\to E^* $是全连续的以及式(2.6)成立, 只需证明$ {\cal J}:E\to E^* $是全连续的. 为此, 设在$ E $中$ u_n\rightharpoonup u $, 则由引理2.1知, 在$ L_{T}^1(Q) $中$ u_n\to u $. 如有需要过渡到一个子列, 可设在$ Q $中几乎处处有$ u_n\to u $. 由式(2.4)和Lebesgue控制收敛定理可知

(2.10) $ \begin{equation} \int_Q\left|\widetilde{H}(x, u_n)-\widetilde{H}(x, u)\right|^2{\rm d}x\to 0. \end{equation} $

结合式(2.10), Hölder不等式以及引理2.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} \left\|{\cal J}(u_n)-{\cal J}(u)\right\|_{E^*} & = &\sup\limits_{\|v\| = 1}\left|\langle{\cal J}(u_n)-{\cal J}(u), v\rangle\right|{\nonumber} \\ & = &\sup\limits_{\|v\| = 1}\left|\int_Q\left(\widetilde{H}_u(x, u_n)-\widetilde{H}_u(x, u)\right)\cdot v{\rm d}x\right|\\ &\leq & \sup\limits_{\|v\| = 1}\left(\int_Q\left|\widetilde{H}_u(x, u_n)-\widetilde{H}_u(x, u)\right|{\rm d}x\right)^{1/2}\|v\|_2\\ &\leq & \tau_2\left(\int_Q\left|\widetilde{H}_u(x, u_n)-\widetilde{H}_u(x, u)\right|{\rm d}x\right)^{1/2}\to 0, \end{eqnarray*} $

其中$ \tau_2 $是式(2.2)所给的常数. 这表明$ {\cal J}:E\to E^* $是全连续的. 证毕.

有了以上这些准备, 考虑以下由方程(1.3)修改后的静态狄拉克方程

(2.11) $ \begin{equation} -{\rm i}\alpha\cdot \nabla u+a\beta u+V(x)u = \widetilde{H}_u(t, u), \end{equation} $

并定义$ E $上相应的泛函为

(2.12) $ \begin{eqnarray} {\it\Phi}(u)& = &\frac{1}{2}\big(\|u^+\|^2-\|u^-\|^2\big)-{\it\Psi}(u){} \\ & = &\frac{1}{2}\big(\|u^+\|^2-\|u^-\|^2\big)-\int_Q\widetilde{H}(x, u){\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ u = u^++u^0+u^-\in E $使得$ u^\pm\in E^\pm $且$ u^0\in E^0 $. 结合引理2.2以及泛函$ {\it\Phi} $在式(2.12)中的形式, 可知$ {\it\Phi}\in C^1(E, {\Bbb R}) $且

(2.13) $ \begin{eqnarray} \langle{\it\Phi}'(u), v\rangle& = &(u^+, v^+)-(u^-, v^-)-\langle{\it\Psi}'(u), v\rangle{} \\ & = &(u^+, v^+)-(u^-, v^-)-\int_Q\widetilde{H}_u(x, u)\cdot v{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ u = u^++u^0+u^-, \, v = v^++v^0+v^-\in E $使得$ u^0, \, v^0\in E^0 $且$ u^\pm, \, v^\pm\in E^\pm $. 此外, $ {\it\Phi} $在$ E $中的非平凡临界点都是方程(2.11)的周期解. 特别地, $ {\it\Phi} $的任一满足$ \|u\|_\infty<\delta $的非平凡临界点$ u $也是方程(1.3)的周期解.

下节主要运用在文献[23]中所建立的如下抽象临界点定理来研究$ {\it\Phi} $在$ E $中的临界点. 在给出该定理之前, 这里先回顾一下亏格的概念.

设$ E $是一个Banach空间且$ A $为$ E $的一个子集. 称$ A $为对称的, 若$ u\in A $蕴含$ -u\in A $. 记$ \Gamma $为$ E $中所有不含$ 0 $的闭对称子集所构成的集族. 对任意的$ A\in \Gamma $, 定义$ A $的亏格$ \gamma(A) $为使得存在从$ A $到$ {\Bbb R}^m\setminus\{0\} $的奇连续映射的最小的整数$ m $. 若不存在这样的整数$ m $, 则定义$ \gamma(A) = \infty $. 此外, 规定$ \gamma(\phi) = 0 $.

定理 2.1^{[23, Theorem 1.2]}    设$ E $是一个$ \rm Banach $空间, $ \{E_n\}_{n = 0}^{\infty} $是$ E $的一列无穷维闭子空间使得$ E_0\subset E_1\subset E_2\subset\cdots $, $ E_0 $在$ E_n $中的余维数$ d_n $有限且$ E = \overline{\bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}E_n} $, 并且$ {\it\Phi}\in C^1(E, {\Bbb R}) $. 假设$ {\it\Phi} $是偶的且关于$ \{E_n\}_{n = 0}^{\infty} $满足$ {\rm (PS)}^* $条件, $ {\it\Phi}|_{E_0} $下有界且满足$ \rm(PS) $条件, 并且$ {\it\Phi}(0) = 0 $. 若存在$ n_0>0 $使得对任意$ k\in {\Bbb N} $, 存在$ \epsilon_k>0 $, $ \rho_k>0 $满足$ \rho_k\to 0 $, 以及对称子集$ A_k\subset \{u\in E\mid\|u\| = \rho_k\} $使得$ \gamma(E_n\cap A_k) = d_n+k $且对所有的$ n\geq n_0 $都有$ { }\sup_{E_n\cap A_k}{\it\Phi}<-\epsilon_k $, 则以下结论至少有一个成立.

(i) 存在一列临界点$ \{u_k\} $使得对所有$ k\in {\Bbb N} $都有$ {\it\Phi}(u_k)<0 $, 并且当$ k\to \infty $时, $ \|u_k\|\to 0 $.

(ii) 存在$ r>0 $使得对任意$ 0<b<r $都存在临界点$ u $满足$ \|u\| = b $且$ {\it\Phi}(u) = 0 $.

注 2.1    这里称$ {\it\Phi}\in C^1(E, {\Bbb R}) $关于$ \{E_n\}_{n = 0}^{\infty} $满足$ {\rm (PS)}^* $条件, 若任意点列$ \{u_{n_j}\}\subset E $只要满足$ n_j\to \infty $, $ u_{n_j}\in E_{n_j} $, $ \{{\it\Phi}(u_{n_j})\} $有界且$ ({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j})\to 0 $就有子列收敛于$ {\it\Phi} $的一个临界点. 然而, 从文献[23]中定理1.2的证明可知, 要求$ {\it\Phi} $关于$ \{E_n\}_{n = 0}^{\infty} $满足$ {\rm (PS)}^* $条件的假设可以减弱为任意有界点列$ \{u_{n_j}\}\subset E $只要满足$ n_j\to \infty $, $ u_{n_j}\in E_{n_j} $, $ \{{\it\Phi}(u_{n_j})\} $有界且$ ({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j})\to 0 $就有子列收敛于$ {\it\Phi} $的一个临界点. 实际上, 下节将要用到这一事实.

本节将在假设(H$ _2^+ $)和(H$ _3^+ $)成立的情形下来证明定理1.1和1.2. 另外一种情形则可通过考虑$ E $上的泛函$ -\it\Phi $来类似处理.

设$ E = E^+\oplus E^0\oplus E^- $为式(2.1)中所给的分解式, 其中$ E^0 $是有限维的. 令

$ E_0 = E^+, \quad E_1 = E^+\oplus E^0 $

且

(3.1) $ \begin{equation} E_n = E_1\oplus {\rm{span}} \{e_{-1}, e_{-2}, \cdots, e_{-n+1}\}, \quad n = 2, 3, \cdots, \end{equation} $

则$ \{E_n\}_{n = 0}^{\infty} $是$ E $的一列无穷维闭子空间使得$ E_0\subset E_1\subset E_2\subset\cdots $, 对每个$ n\in {\Bbb N} $, $ E_0 $在$ E_n $中的余维数$ d_n = \dim E^0+n-1 $, 并且$ E = \overline{\bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}E_n} $.

在以下的这些引理中将验证由式(2.12)所定义的$ E $上的泛函$ \it\Phi $满足定理2.1的主要假设条件.

引理 3.1    假设$ \rm(V< _0 $, ${\rm(H _1 )}$以及$ \rm(H< _2^+ $成立, 则$ {\it\Phi}|_{E_0} $下有界且满足$ \rm(PS) $条件.

证    因为$ E_0 = E^+ $, 于是由式(2.4)和(2.12)可知

(3.2) $ \begin{equation} {\it\Phi}(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2-\int_Q\widetilde{H}(x, u){\rm d}x\ge \frac{1}{2}\|u\|^2-c_2 \end{equation} $

对所有$ u\in E_0 $都成立. 这表明$ {\it\Phi}|_{E_0} $下有界. 设$ \{u_n\}_{n\in {\Bbb N}}\subset E_0 $为$ {\it\Phi}|_{E_0} $的一个(PS) -列, 即, 当$ n\to \infty $时, 有

(3.3) $ \begin{equation} |{\it\Phi}(u_n)|\le D_0\rm{ 且 }{\it\Phi}|_{E_0}'(u_n)\to 0, \end{equation} $

其中$ D_0>0 $为某个常数. 结合式(3.2)和(3.3)可知, 对任意$ n\in {\Bbb N} $, 都有

$ D_0 \ge \frac{1}{2}\|u_n\|^2-c_2. $

这蕴含$ \{u_n\}_{n\in {\Bbb N}} $在$ E $中有界. 因此, 存在子列$ \{u_{n_k}\}_{k\in {\Bbb N}} $使得当$ k\to \infty $时,

(3.4) $ \begin{equation} u_{n_k}\rightharpoonup u_0 \end{equation} $

对某个$ u_0\in E_0 $成立. 再次注意到$ E_0 = E^+ $并运用式(2.13), 对任意$ k\in {\Bbb N} $, 可得

$ \begin{eqnarray*} \big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_{n_k}), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0& = &\langle{\it\Phi}'(u_{n_k}), u_{n_k}-u_0\rangle\\ & = &(u_{n_k}, u_{n_k}-u_0)-\langle{\it\Psi}'(u_{n_k}), u_{n_k}-u_0\rangle \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} \big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_0), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0& = &\langle{\it\Phi}'(u_0), u_{n_k}-u_0\rangle\\ & = &(u_0, u_{n_k}-u_0)-\langle{\it\Psi}'(u_0), u_{n_k}-u_0\rangle, \end{eqnarray*} $

其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle_0 : E_0^*\times E_0\to {\Bbb R} $记$ E_0 $与对偶空间$ E_0^* $的对偶作用. 从而, 对任意$ k\in {\Bbb N} $, 都有

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|u_{n_k}-u_0\|^2& = &\big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_{n_k}), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0- \big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_0), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0{} \\ &&+\langle{\it\Psi}'(u_{n_k})-{\it\Psi}'(u_0), u_{n_k}-u_0\rangle. \end{eqnarray} $

根据式(3.3)和(3.4), 当$ k\to \infty $时, 有

(3.6) $ \begin{equation} \big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_{n_k}), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0 -\big\langle({\it\Phi}|_{E_0})'(u_0), u_{n_k}-u_0\big\rangle_0\to 0. \end{equation} $

此外, 由引理2.2和式(3.4)可知, 在$ E^* $中$ {\it\Psi}'(u_{n_k})\to {\it\Psi}'(u_0) $, 因此有

(3.7) $ \begin{equation} \langle{\it\Psi}'(u_{n_k})-{\it\Psi}'(u_0), u_{n_k}-u_0\rangle\to 0. \end{equation} $

结合式(3.5)–(3.7)可知, 当$ k\to \infty $时, 有

$ \|u_{n_k}-u_0\|\to 0, $

故$ {\it\Phi}|_{E_0} $满足(PS)条件.证毕.

引理 3.2    假设$ \rm(V< _0 ) $, ${\rm(H _1 )}$以及$ \rm(H< _2^+ ) $成立, 则任意有界点列$ \{u_{n_j}\}\subset E $只要满足$ n_j\to \infty $, $ u_{n_j}\in E_{n_j} $, $ \{{\it\Phi}(u_{n_j})\} $有界且$ ({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j})\to 0 $就有子列收敛于$ {\it\Phi} $的一个临界点.

证    设$ \{u_{n_j}\}\subset E $为一有界点列使得$ n_j\to \infty $, $ u_{n_j}\in E_{n_j} $且$ ({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j})\to 0 $. 注意到$ E^0 $是有限维的. 因而, 如有需要过渡到一个子列, 可设

(3.8) $ \begin{equation} u_{n_j}\rightharpoonup u, \;u_{n_j}^\pm\rightharpoonup u^\pm \ ={ 且 }\ u_{n_j}^0\to u^0 \end{equation} $

对某个$ u = u^++u^0+u^-\in E $成立. 对任意$ n\in {\Bbb N} $, 记$ P_n:E\to E_n $为投影算子, $ E_n^* $为$ E_n $的对偶空间, 并记$ \langle\cdot, \cdot\rangle_n : E_n^*\times E_n\to {\Bbb R} $为相应的对偶作用. 显然, 由定义有

(3.9) $ \begin{equation} \big\|P_{n_j}u^–u^-\big\|\to 0. \end{equation} $

根据式(2.13), 有

$ \begin{eqnarray*} &&\big\langle({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j}), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle_n\\ & = &-\big(u_{n_j}^-, u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big)-\big\langle({\it\Psi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j}), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle_n\\ & = &-\big(u_{n_j}^-, u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big)-\big\langle{\it\Psi}'(u_{n_j}), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} \big\langle{\it\Phi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle& = &-\big(u^-, u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big)-\big\langle{\it\Psi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle\\ & = &-\big(P_{n_j}u^-, u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big)-\big\langle{\it\Psi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle. \end{eqnarray*} $

从而有

(3.10) $ \begin{eqnarray} \|u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\|^2& = &\big\langle{\it\Phi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle- \big\langle({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j}), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle_n{} \\ &&-\big\langle{\it\Psi}'(u_{n_j})-{\it\Psi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle. \end{eqnarray} $

根据式(3.8)和(3.9), 又有

$ u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\rightharpoonup 0, $

因此

(3.11) $ \begin{equation} \big\langle{\it\Phi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle\to 0. \end{equation} $

由于$ ({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j})\to 0 $且$ \{u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\} $在$ E $中有界, 于是有

(3.12) $ \begin{equation} \big\langle({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j}), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle_n\to 0. \end{equation} $

此外, 根据引理2.2, 又有

(3.13) $ \begin{equation} \big\langle{\it\Psi}'(u_{n_j})-{\it\Psi}'(u), u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\rangle\to 0. \end{equation} $

结合式(3.10)–(3.13), 可得

(3.14) $ \begin{equation} \big\|u_{n_j}^–P_{n_j}u^-\big\|\to 0. \end{equation} $

这与式(3.9)一起蕴含了

(3.15) $ \begin{equation} \|u_{n_j}^–u^-\|\to 0. \end{equation} $

运用类似的证明方法也可得

(3.16) $ \begin{equation} \|u_{n_j}^+-u^+\|\to 0. \end{equation} $

结合式(3.8), (3.15)和(3.16)可知, 在$ E $中$ u_{n_j}\to u $. 此外, 由定义有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \big\langle{\it\Phi}'(u_{n_j}), v\big\rangle& = &\big\langle{\it\Phi}'(u_{n_j}), P_{n_j}v\big\rangle+ \big\langle{\it\Phi}'(u_{n_j}), v-P_{n_j}v\big\rangle{} \\ & = &\big\langle({\it\Phi}|_{E_{n_j}})'(u_{n_j}), P_{n_j}v\big\rangle_n+\big\langle{\it\Phi}'(u_{n_j}), v-P_{n_j}v\big\rangle \end{eqnarray} $

对任意$ v\in E $都成立. 注意到在$ E $中$ v-P_{n_j}v\to 0 $并在式(3.17)两边同取极限, 可得

$ \big\langle{\it\Phi}'(u), v\big\rangle = 0 $

对任意$ v\in E $都成立. 这表明$ u $是$ {\it\Phi} $的一个临界点. 证毕.

引理 3.3     假设$ \rm(V< _0 ) $, ${\rm(H _1)} $以及$ \rm(H< _2^+ )$ 成立, 则存在两列正数$ \{\epsilon_k\}_{k\in {\Bbb N}} $和$ \{\rho_k\}_{k\in {\Bbb N}} $满足当$ k\to \infty $时, $ \rho_k\to 0 $, 以及一列对称子集$ \{A_k\}_{k\in {\Bbb N}} $ of $ E $满足$ A_k\subset \{u\in E\mid\|u\| = \rho_k\} $, 使得对任意$ n, k\in {\Bbb N} $, 都有$ \gamma(E_n\cap A_k) = d_n+k $且$ { } \sup_{E_n\cap A_k}{\it\Phi}<-\epsilon_k $.

证    对每个$ k\in {\Bbb N} $, 令$ F_k: = \rm{span} \{e_1, e_2, \cdots, e_k\} $. 因为$ F_k\oplus E^0 $是有限维的, 所以存在$ M_k>0 $使得对任意$ u\in F_k\oplus E^0 $, 都有

(3.18) $ \begin{equation} M_k\|u\|_2^2\geq \|u\|^2. \end{equation} $

根据假设(H$ _2^+ $)以及$ \widetilde{H} $的选取, 存在依赖于$ M_k $的$ C_k\geq k $使得

(3.19) $ \begin{equation} \widetilde{H}(x, u)\geq M_k|u|^2-C_k|u|^3 \end{equation} $

对任意$ (x, u)\in Q\times {\Bbb C}^4 $都成立. 结合式(2.2), (2.12), (3.18)和(3.19), 可知对任意$ u\in F_k\oplus E^0\oplus E^- $, 都有

(3.20) $ \begin{eqnarray} {\it\Phi}(u)&\leq & \frac{1}{2}\|u^+\|^2-\frac{1}{2}\|u^-\|^2-M_k\int_Q|u|^2{\rm d}x+C_k\int_Q|u|^3{\rm d}x{} \\ &\leq & \frac{1}{2}\|u^++u^0\|^2-\frac{1}{2}\|u^-\|^2-M_k\|u^++u^0\|_2^2+C_k\|u\|_3^3{} \\ &\leq & \frac{1}{2}\|u^++u^0\|^2-\frac{1}{2}\|u^-\|^2-\|u^++u^0\|^2+C_k\tau_3^3\|u\|^3{} \\ &\leq &-\frac{1}{2}\|u\|^2+C_k\tau_3^3\|u\|^3, \end{eqnarray} $

其中$ \tau_3 $是式(2.2)中所给的常数. 这里用到了式(2.1)所给的$ E $的分解关于两个内积$ (\cdot, \cdot) $和$ (\cdot, \cdot)_2 $都是正交的这一事实. 令

$ \rho_k: = \frac{1}{4C_k\tau_3^3}, \quad \epsilon_k: = \frac{\rho_k^2}{8} \rm{ 且 } A_k: = \{u\in F_k\oplus E^0\oplus E^-\mid \|u\| = \rho_k\}. $

由于$ C_k\geq k $, 于是当$ k\to \infty $时, $ \rho_k \to 0 $. 结合式(3.1)和(3.20)可知, 对任意$ n, k\in {\Bbb N} $, 都有

$ \gamma(E_n\cap A_k) = d_n+k \rm{ 且} \sup\limits_{E_n\cap A_k}{\it\Phi}<-\epsilon_k. $

证毕.

为了证明文中主要结果, 还需要如下技术性的引理.

引理 3.4     假设${\rm(V _0)} $和${\rm(H _1 )}$成立. 若$ \{u_k\}\subset E $是方程(2.11)的一列周期解使得在$ E $中$ u_k\to 0 $, 则在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $和$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中都有$ u_k\to 0 $.

证     由于对任意$ (x, u)\in {\Bbb R}^3\times ({\Bbb C}^4\setminus B_{2\delta}(0)) $, 都有$ \widetilde{H}_u(x, u) = 0 $, 因而由文献[19]中命题2.5的证明可知, 存在某个$ p_0>3 $使得$ \{u_k\} $在$ W^{1, p_0}(Q, {\Bbb C}^4) $中有界. 注意到$ W^{1, p_0}(Q, {\Bbb C}^4) $能紧嵌入$ E = H^{1/2}(Q, {\Bbb C}^4) $中并且在$ E $中$ u_k\to 0 $, 于是$ \{u_k\} $在$ W^{1, p_0}(Q, {\Bbb C}^4) $中的任一弱收敛子列的极限必为$ 0 $. 由于$ W^{1, p_0}(Q, {\Bbb C}^4) $也能紧嵌入$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $中, 因此, 在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $中$ u_k\to 0 $. 另一方面, 因为$ u_k $是方程(2.11)的解, 所以由Lebesgue控制收敛定理可知, 当$ k\to \infty $时, 有

(3.21) $ \begin{equation} \|{\cal A}_0 u_k\|_2^2 = \int_Q \left|\widetilde{H}_u(x, u_k)-a\beta u_k-V(x)u_k\right|^2{\rm d}x\to 0. \end{equation} $

注意到, 对任意$ u\in H_{T}^1(Q) $, 都有

$ \|{\cal A}_0 u\|_2^2 = ({\cal A}_0 u, {\cal A}_0 u)_2 = \int_Q \left(|\nabla u|^2+a^2|u|^2\right){\rm d}x, $

于是由式(3.21)可知, 在$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中也有$ u_k\to 0 $. 证毕.

现在可以给出文中主要结果的证明了.

定理1.1的证明    首先注意到(2.12)所定义的泛函$ {\it\Phi} $在$ E $上是偶的且$ {\it\Phi}(0) = 0 $. 引理3.1–3.3以及注2.1保证定理2.1余下的假设条件对$ {\it\Phi} $也成立. 因此, 由定理2.1可知, 存在一列非平凡临界点$ \{u_k\} $使得$ {\it\Phi}(u_k)\leq 0 $对所有$ k\in {\Bbb N} $都成立并且在$ E $中, 当$ k\to \infty $时有$ u_k\to 0 $. 从而, $ \{u_k\} $是方程(2.11)的一列非平凡周期解满足$ 0\geq {\it\Phi}(u_k)\to 0 $并且在$ E $中$ u_k\to 0 $. 进一步, 由引理3.4可知, 在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $和$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中都有$ u_k\to 0 $. 因此, 当$ k $充分大时, 每个$ u_k $也是方程(1.3)的非平凡周期解.

定理1.2的证明    由定理1.1可知, 方程(1.3)有一列非平凡周期解$ \rm\{ u_k \} $使得对任意$ k\in {\Bbb N} $都有$ {\it\Phi}'(u_k) = 0 $且$ \|u_k\|_\infty<\delta $, $ 0\geq {\it\Phi}(u_k)\to 0 $, 并且在$ L^{\infty}(Q, {\Bbb C}^4) $和$ H^1(Q, {\Bbb C}^4) $中都有$ u_k\to 0 $. 结合(H$ _3^+ $), 式(2.12)–(2.13)以及$ \widetilde{H} $的选取可知, 对任意$ k\in {\Bbb N} $, 都有

$ 2{\it\Phi}(u_k) = 2{\it\Phi}(u_k)-\langle{\it\Phi}'(u_k), u_k\rangle = \int_Q\big(H_u(x, u_k)\cdot u_k-2H(x, u_k)\big){\rm d}x<0. $

这就完成了定理1.2的证明.