设$\{w(s, t); s\ge 0, t\ge 0\}$是定义在概率空间$(\Omega, {\cal F}, P)$上的两参数Brown运动. 对这一过程轨道性质的研究已有许多深刻结果, 参见文献[1-3, 5]. 本文中, 我们也对两参数Brown运动Csörg\H{o}-Révész型增量的泛函极限问题进行了研究, 得到了一种局部泛函重对数律. 在文中, 我们设${\cal C} = \{f; f:[0, 1]^2\to {{\Bbb R}}, f\;\rm{连续}\}$, 赋予一致范数$\|f\|: = \mathop{\sup}\limits_{(x, y)\in[0, 1]^2}| f(x, y)|$. 记${\cal C}_0: = \{f \in {\cal C}; f(0, t) = f(s, 0) = 0\}$, ${\cal H} = \{f \in {\cal C}_0; f\ \rm{绝对连续, }\ \|f\|_{\mathcal H}^2 = \int _0^1\int_0^1 |\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}|^2{\rm d}x{\rm d}y < +\infty\}$, 设函数$I: {\cal C}_0\to [0, \infty]$, 定义如下

本文中, 设$a_u: (0, 1)\to (0, 1)$是非减连续函数, 满足

(i) $a_u\leq u, \rm{对任何} u\in(0, 1)$, $\rm{并且}\lim\limits_{u\to0}a_u = 0$;

(ii) $\frac{u}{a_u}$非增;

(iii) $\lim\limits_{u\to 0}\frac{\log(u/a_u)}{\log\log u^{-1}} = \frac{r}{2}$, $r$为非负常数. \\ 对$0\le s\le u-a_u, 0\leq t\leq u-a_u$, $(x, y)\in [0, 1]^2$, $\Delta(s, t, a_ux, a_uy)$记下面轨道

设$\ell_u = \log\frac{u^2\log u^{-1}}{{a_u^2}}$, $\beta_u = (2{a_u^2}{\ell_u})^{-\frac{1}{2}}$. 定义$Y_{s, t, u}(x, y) = \beta_u\Delta(s, t, a_ux, a_uy)$. 令

本文主要结果陈述如下:

定理 1.1  若条件(i)–(iii)成立, 那么我们有

且对任意的$f\in K_b$, 有

为证明我们的结果, 需要下面的引理.

引理 2.1^{[3, 引理2.1]}  对任何闭集$F\subset {\cal C}_0$, 有

对任何开集$G\subset {\cal C}_0$, 有

引理 2.2^{[3, 引理2.2]}  对任何$0<a, b\le 1$和闭集$F\subset {\cal C}_0$, 有

引理 2.3  设$f\in {\cal H}$, $f^*(\cdot, \cdot) = f(\lambda\cdot, \lambda'\cdot)$, $\lambda, \lambda'<1$, 那么

证  设$f(s, t) = \int^s_0\int^t_0g(u, v){\rm d}_u{\rm d}_v, 0\le s, t\le 1$且$\|f\|_{{\cal H}}^2 = \int^1_0\int^1_0g^2(u, v){\rm d}_u{\rm d}_v$. 我们有

引理2.3证毕.

引理 2.4^{[4, 引理4]}  设$\{\xi_n\}_{n\ge 1}$为随机变量序列. 若$\lim\limits_{n\to \infty}P\{\xi_n\ge \xi_0\} = 0$, 则存在子列$\{\xi_{n_k}\}$, 使得${ }\limsup_{k\to \infty}\xi_{n_k}\le \xi_0, \; a.s.$, 因此${ }\liminf_{n\to \infty}\xi_n\le \xi_0, \; a.s.$.

(1.1)式的证明分三种情形完成:

(Ⅰ) $0<r<\infty$, (Ⅱ) $r = 0$, (Ⅲ) $r = \infty$.

情形(Ⅰ)$0<r<\infty$.

引理 3.1  若条件$\rm(i)–(iii)$成立, 则存在$u_n^{-1} = e^{e^n}$, 使得

证  设$A = \{g: \inf\limits_{f\in K_b}\|g-f\|\ge \varepsilon\}$, 则$A$是闭集, 存在任意小的$\delta>0$, 使得$\inf\limits_{g\in A}I(g)>\frac{1}{2}b^2(r)+\delta$. 为了简单, 我们设$\frac{a_{u_n}}{u_n-a_{u_{n+1}}+a_{u_n}} = p$, 由引理2.2, 对$n$足够大, 我们有

在(3.2)式中, 若$1-b^2(r)-\delta\leq 0$, 则我们有

否则, 若$1-b^2(r)-\delta> 0$, 由条件(iii), 对任意小的$\mu>0$, 我们有

故

取$\delta<\frac{1}{r+1}$, $\mu\le\frac{1}{2}\frac{(r+1)^2\delta}{1-\delta(r+1)}$, 使得$(\delta-\frac{1}{r+1})\mu+(r+1)\delta>0$, 我们有

从而(3.1)式获证. 由引理3.1和引理2.4, 得到(1.1)式.

情形(Ⅱ) $r = 0$.

类似情形(Ⅰ)的证明, 结论显然成立.

情形(Ⅲ) $r = \infty$.

当$r = \infty$时, $b = 1$, 此时$K_b = \{f\in{\cal C}_0;2I(f)\leq 1\}$. 为证(1.1)式, 只需证明下面的引理.

引理3.2  若条件(i)–(iii)成立, 设$u_n = \frac{1}{\theta^n}, \theta>1$, 我们有

证  设$A_1 = \{g: \|g-K_b\|\ge \varepsilon\}$, 则$A_1$是闭集, 存在$\delta'>0$, 使得$\inf\limits_{g\in A_1}I(g)> \frac{1}{2}+\delta'$.为了简单, 我们设$\frac{a_{u_n}}{u_n-a_{u_{n+1}}+a_{u_n}} = p$,

由Borel-Cantelli引理, 结束引理3.2的证明.

由引理3.2和引理2.4, 得到(1.1)式.

(1.2)式的证明分三种情形完成：

(Ⅰ') $0<r<\infty$, (Ⅱ') $r = 0$, (Ⅲ$'$) $r = \infty$.

情形(Ⅰ')$0<r<\infty$

(1.2)式的证明由下面引理完成.

引理 3.3  如果条件(i)–(iii)成立, 那么对任何$f\in K_b$, 存在子列$\{a_{u_n} = \theta^{-n}; \theta>1,$$n\ge 1\}$, 使得

证  设$s_i = ia_{u_{n}}, t_j = ja_{u_{n}}, i, j = 0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot, k_n = [\frac{b_{u_{n+1}}}{a_{u_{n}}}]-1$. 我们有

其中$B = \{g; \|g-f\|<\varepsilon\}$. 由于$2\inf\limits_{g\in B}I(g)<b^2$, 故存在任意小的$\delta_0>0$, 使得$2\inf\limits_{g\in B}I(g)<b^2-2\delta_0$. 对$n$足够大, 由大偏差(引理), 我们有

因此, 有

由条件(iii), 对任意小的$\mu'>0$, 我们有

故有

在(3.11)式中, 可以取适当的$\mu'$, 使$(r+1)\delta_0-(\delta_0+\frac{1}{r+1})\mu'>0$.

由条件(iii), 对任意小的$\eta'>0$, 我们有

因此

于是得到

故

从而引理3.3得证.

引理 3.4  若条件(i)–(iii)成立, 则对任何$f\in K_b$, 我们有

证  设$u_n$如引理3.3中定义. 对$u\in(u_{n+1}, u_n]$, 注意到

我们有

注意到

由引理2.3, 我们有

令$\theta\to 1$, 由(3.15)–(3.17)式和引理3.3, 我们得到(3.14)式. 从而(1.2)式获证.

情形(Ⅱ') $r = 0$

类似情形(Ⅰ')的证明, 结论显然成立.

情形(Ⅲ')$r = \infty$

当$r = \infty$时, $b = 1$, 此时$K_b = \{f\in{\cal C}_0;2I(f)\leq 1\}$. 为证(2)式, 只需证明下面的引理.

引理 3.5  如果条件$\rm(i)–(iii)$成立, 那么对任何$f\in K_b$, 存在子列$\{u_n, n\ge 1\}$, 使得

证  因为$\lim\limits_{u\to 0}\frac{\log\frac{u}{a_u}}{\log\log u^{-1}} = \infty$, 故存在递减子列$\{u_n, n\ge 1\}$使得$\frac{u_n}{a_{u_n}} = n^{d}$. 设$s_i = ia_{u_{n}},$$t_j = ja_{u_{n}}, i, j = 0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot$, $k_n = [\frac{u_{n+1}}{a_{u_{n}}}]-1$, $h(n) = \frac{\log\frac{u_n}{a_{u_n}}}{\log\log u_n^{-1}} = \frac{\log n^{d}}{\log\log u_n^{-1}}$. 我们有$u_n^{-1} = \exp(n^{\frac{d}{h(n)}})$且$h(n)\to \infty$, $n\to \infty$. 而且, 对任意小的$\alpha>0$, $\frac{n^\alpha}{\log u_n^{-1}}\to \infty$, $1\le \frac{u_n}{u_{n+1}} = \exp\{(n+1)^{\frac{d}{h(n+1)}}- n^{\frac{d}{h(n)}}\}\le\exp(n^{\frac{d}{h(n)}-1})\to 1, (n\to \infty)$. 对$n$足够大, 我们有

其中$B_1 = \{g; \|g-f\|<\varepsilon\}$. 因为$2\inf\limits_{g\in B_1}I(g)<1$, 选$\delta''>0$, 使得$\mu_0: = 2\inf\limits_{g\in B_1}I(g)+2\delta''<1$. 对$n$足够大, 由大偏差

因此

若选适当的$d$, 那么

由Borel-Cantelli引理

至此, 引理3.5获证.

由引理3.5, 类似于引理3.4的证明, 可以得到(1.2)式.