数学物理学报, 2021, 41(3): 827-836 doi:

论文

一类带DC函数的分式优化的Farkas引理刻画

冯欣怡,, 孙祥凯,

Characterizations of Farkas Lemmas for a Class of Fractional Optimization with DC Functions

Feng Xinyi,, Sun Xiangkai,

通讯作者: 孙祥凯,E-mail: sxkcqu@163.com

收稿日期: 2020-06-14  

基金资助: 重庆市自然科学基金.  cstc2020jcyj-msxmX0016
重庆市重点实验室开放课题.  KFJJ2019097
重庆工商大学科研团队项目.  ZDPTTD201908
重庆市巴渝学者青年学者项目

Received: 2020-06-14  

Fund supported: the NSF of Chongqing.  cstc2020jcyj-msxmX0016
the Open Research Platform of CTBU.  KFJJ2019097
the Project of CTBU.  ZDPTTD201908
the Education Committee Project Foundation of Chongqing for Bayu Young Scholar

作者简介 About authors

冯欣怡,E-mail:1518684363@qq.com , E-mail:1518684363@qq.com

Abstract

This paper deals with some new Farkas lemmas for a class of constraint fractional optimization with DC functions(the difference of convex functions). Following the idea due to Dinkelbach, we first associate the fractional optimization with a DC optimization problem. Then, by using the epigraph technique of the conjugate function, we introduce some new regularity conditions and establish the duality between the DC optimization problem and its Fenchel-Lagrange dual problem. Finally, we obtain some new Farkas lemmas for the fractional optimization problem. Furthermore, we also show that the results obtained in this paper extend and improve the corresponding results in the literature.

Keywords: Fractional optimization ; Regularity conditions ; Farkas lemmas

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本文引用格式

冯欣怡, 孙祥凯. 一类带DC函数的分式优化的Farkas引理刻画. 数学物理学报[J], 2021, 41(3): 827-836 doi:

Feng Xinyi, Sun Xiangkai. Characterizations of Farkas Lemmas for a Class of Fractional Optimization with DC Functions. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(3): 827-836 doi:

1 引言

众所周知, 最优化问题对偶性研究的一个重要方面是刻画其对偶形式的Farkas引理, 它在非线性规划问题、图论、集合包含等各个研究领域有着十分广泛的应用价值. 近些年得到了国内外学者的广泛关注, 并在凸优化问题、DC优化问题、半无限优化问题等各个方面取得了许多十分有意义的结果, 如文献[1-12]及其相关文献.

作为最优化问题的一个重要模型, 分式优化问题的研究具有十分重要的理论意义和应用价值. 然而, 据我们所知, 目前关于分式优化问题的Farkas引理的结论却很少. 借助凸优化问题共轭对偶的方法, Bot等人[2]研究了带有有限多个凸约束系统的分式优化问题的Farkas引理. 随后张向辉和程曹宗[6]刻画了带有有限多个凸约束系统的分式DC优化问题的Farkas引理. 在局部凸空间中, 借助共轭函数的上图技巧所引入的闭性条件, 孙祥凯与柴毅等人[8]刻画了带有锥约束系统的分式DC优化问题的Farkas引理. 最近, 在相关函数不是下半连续以及约束集不是闭集的情形下, 通过引入一类新的正则性条件, 方东辉和刘伟玲[10]刻画了一类带有复合函数的分式优化问题的Farkas引理, 推广和改进了文献[2, 6, 8]的相关结论. 在相关函数和约束集不具备任何拓扑结构的前提下, 借助共轭函数上图所引入的新的正则性条件, 孙祥凯等人[12]刻画了一类分式优化问题的Farkas引理.

受上述文献启发, 本文考虑如下分式优化问题

其中约束集$ A: = \{x\in C, h(x)\in-S\} $, $ X $$ Y $为两个分离的局部凸拓扑向量空间, $ C\subseteq X $是非空凸集, $ S\subseteq Y $是非空闭凸锥, $ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2}: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }: = {{\Bbb R}} \cup\{\pm\infty\} $ 均为真凸函数, $ h: X\rightarrow Y^{\bullet}: = Y\cup\{\infty_{Y}\} $是真$ S $ -凸函数. 值得注意是, 凸优化问题、分式优化问题以及DC优化问题均可作为优化模型(P)的特例.

本文的大致框架如下: 首先借助Dinkelbach方法[13]将分式优化问题(P)转化为一类DC优化模型. 随后在相关函数不是下半连续, 约束集合不是闭集的情形下, 利用共轭函数的上图性质, 引入一类新的正则性条件, 研究该DC优化问题与其对偶问题之间的对偶关系, 从而用其刻画该分式优化问题的一些新的Farkas引理. 本文的结论推广和改进了文献[2, 6, 8, 12]的结论.

2 预备知识

若无特殊说明, 本文总是假设$ X $为分离的局部凸拓扑向量空间, $ X^{*} $$ X $的对偶空间, 并且赋予弱星拓扑$ \omega^*(X^*, X) $. $ \langle x^{*}, x \rangle $为连续线性泛函$ x^{*}\in X^{*} $$ x\in X $ 处的取值. 给定一个非空集合$ C\subseteq X $, $ C $的指示函数$ \delta_{C} $定义为

假定$ f: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $为广义实值函数. 函数$ f $的有效域、上图以及共轭函数分别定义为

若函数$ f $的有效域非空, 则称函数$ f $是真函数.若函数$ f $的上图为凸集, 则称函数$ f $是凸函数. 若函数$ f $的上图为闭集, 则称函数$ f $是下半连续的. 若$ -f $ 为凸函数, 则称函数$ f $为凹函数. $ f $的下包络$ \text{cl }{f}: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $定义为

其拓扑闭包由乘积拓扑定义. 由文献[14]有

$ \text{cl }{f} $是真凸函数, 则由文献[14]有

另一方面, 假设$ Y $为另一个局部凸拓扑向量空间, $ Y^{*} $$ Y $的对偶空间, 并赋予其弱星拓扑$ w^{*}(Y^{*}, Y) $. 设非空闭凸锥$ S\subseteq Y $. $ Y $$ S $上的偏序关系"$ \leq_S $"定义为

$ Y^{\bullet} = Y\cup \{\infty_{Y}\} $, 其中$ \infty_{Y}\notin Y $为在偏序关系“$ \leq_S $”下的最大元. 定义$ Y^{\bullet} $上的运算

$ h: X\rightarrow Y^{\bullet} $是广义向量函数. 函数$ h $的有效域和$ S $ -上图分别定义为

类似的, 若函数$ h $的有效域非空, 则称函数$ h $是真函数. 若函数$ h $$ S $ -上图为闭集, 则称函数$ h $$ S $ -上图闭的. 若对任意$ x, y\in X, \ t\in [0, 1], $

则称函数$ h $$ S $ -凸函数. 设$ S^{*} = \{y^{*}\in Y^{*}: \langle y^{*}, y\rangle \geq 0, \forall y\in S\} $$ S $的正对偶锥, $ \lambda \in S^{*}, $ 函数$ (\lambda h): X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $ 定义为

显然, 函数$ h $$ S $ -凸的当且仅当对任意$ \lambda\in S^{*} $, $ (\lambda h) $是凸的.

关于广义实值函数以及向量值函数的更多详细性质可参见文献[14-15].

引理2.1[14]  设$ I $为指标集, $ \{f_{i}: i\in I\} $为一族函数. 则

(ⅰ) $ {\rm epi}(\sup\limits_{i\in I}{f_{i}}) = \bigcap\limits_{i\in I}{\rm epi }{f}_{i}. $

(ⅱ) $ (\inf\limits_{i\in I}{f_{i}})^{*} = \sup\limits_{i\in I}{f_{i}^{*}}; $ 因此, $ {\rm epi}(\inf\limits_{i\in I}{f_{i}})^{*} = \bigcap\limits_{i\in I}{\rm epi }{f}_{i}^{*}. $

$ p\in X^{*}, $$ p $可看作$ X $上的函数$ p(x): = \langle p, x\rangle $, $ \forall x\in X. $ 因此, 对任意$ \alpha\in {{\Bbb R}} $以及任意函数$ \phi: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }, $

$ \begin{equation} (\phi+p+\alpha)^{*}(x^{*}) = \phi^{*}(x^{*}-p)-\alpha, \ \forall x^{*}\in X^{*} \end{equation} $

$ \begin{equation} \text{epi}(\phi+p+\alpha)^{*} = \text{epi}{\phi^{*}}+(p, -\alpha). \end{equation} $

3 正则性条件和Farkas引理

如上所述, 本文考虑如下分式优化问题

其中$ A: = \{x\in C, h(x)\in -S\}. $ 本文中总是假设$ g_{1}(x)-g_{2}(x)\geq 0 $. 为刻画(P) 的一些新的Farkas引理, 利用Dinkelbach方法[13]将(P)转化为如下优化问题

其中$ \mu\in {{\Bbb R}}. $

为简便起见, 本文若无特殊说明, 优化问题(P)的最优值记为$ {\rm val}(P) $. 其它优化问题的最优值类似标记. 下面引理给出了(P)与(P$ _{\mu}) $最优值之间的一个等价关系.

引理3.1   不等式$ {\rm val}(P)\geq\mu $成立的充分必要条件是不等式$ {\rm val}(P_{\mu})\geq0. $

接下来需要建立(P$ _{\mu}) $与其对偶问题的对偶关系, 从而得到(P)的一些新的Farkas引理. 因为(P$ _\mu) $的目标函数由$ \mu $ 的符号确定, 即当$ \mu\geq 0 $时, (P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}-\mu g_{1} $$ f_{2}-\mu g_{2} $ 这两个凸函数的差; 当$ \mu < 0 $ 时, (P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}+\mu g_{2} $$ f_{2}+\mu g_{1} $这两个凸函数的差. 为此, 本文分以下两种情形对(P$ _\mu) $展开讨论.

3.1 参数$ \mu $为非负数情形

$ \mu\geq0 $, 则(P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}-\mu g_{1} $$ f_{2}-\mu g_{2} $这两个凸函数的差. 因此我们可以借助DC优化问题的对偶方法建立(P$ _\mu) $的对偶问题. 类似于文献[12, 16]方法, 易知, 其Fenchel-Lagrange对偶问题$ (D_{\mu}) $

为了得到(P)的Farkas引理, 需要引进一类新的正则性条件. 为此首先定义如下刻画集.

注3.1 (ⅰ) 假设$ \overline{f}: = f_{1}-{\rm cl }\; (f_{2}-\mu g_{2}). $$ {\rm cl }\; (f_{2}-\mu g_{2}) $是真函数, 则$ \overline{f} $是真函数. 由引理2.1, $ \rm(2.1) $式和$ \rm(2.2) $式, 以及结合文献[7, 引理3.1]的方法, 可得

又易得

因此, 若$ f_{2}-\mu g_{2} $是下半连续的, 则

$ \begin{eqnarray} \Lambda\subseteq{\rm epi}{(f_{1}-f_{2}-\mu g_{1}+\mu g_{2} +\delta_{A})^{*}}. \end{eqnarray} $

(ⅱ) 若$ \mu = 0, $ 则集合$ \Lambda $可退化为文献[7, Section 5]中的刻画集$ K_1 $, 即

下面命题描述了集合$ \Lambda $$ (D_{\mu}) $之间的关系.

命题3.1  设$ \mu\geq0 $$ \alpha\in{{\Bbb R}}. $$ (0, \alpha)\in\Lambda $ 当且仅当$ {\rm val}(D_{\mu})\geq -\alpha, $ 和对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in {\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

   $ (\Rightarrow): \ $$ (0, \alpha)\in\Lambda. $ 则对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $

故存在$ \lambda\in S^{*}, (y^{*} $, $ \alpha_{1})\in\text{epi}{f_{1}^{*}} $, $ (z^{*}, \alpha_{2})\in\text{epi}{(-g_{1})^{*}} $, $ (p^{*}, \alpha_{3})\in\text{epi}{(\lambda h)^{*}} $以及$ (q^{*}, \alpha_{4})\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}}, $ 使得

$ \begin{equation} x^{*} = y^{*}+\mu z^{*}+p^{*}+q^{*} , \end{equation} $

$ \begin{equation} (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})+\alpha = \alpha_{1}+\mu\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} . \end{equation} $

又因为$ f_{1}^{*}(y^{*})\leq\alpha_{1} $, $ (-g_{1})^{*}(z^{*})\leq\alpha_{2} $, $ (\lambda h)^{*}(p^{*})\leq\alpha_{3} $以及$ \delta_{C}^{*}(q^{*})\leq\alpha_{4} $, 从而由(3.2)和(3.3)式可知

因此

$ (\Leftarrow): $假设$ \text{val}(D_{\mu})\geq -\alpha, $ 以及对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in\text{dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in \text{dom}(-g_{1})^{*} $ 以及$ p^{*}\in \text{dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

从而

$ \begin{equation} (x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})+\alpha)\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}}. \end{equation} $

又易知

$ \begin{equation} 0 = y^{*}+\mu z^{*}+p^{*}+(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})-x^{*}, \end{equation} $

以及

$ \begin{eqnarray} \alpha& = &f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})+(\lambda h)^{*}(p^{*})+\Big((f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})\\ & &-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})+\alpha\Big)-(f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}). \end{eqnarray} $

从而由(3.4), (3.5)以及(3.6)式有

$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $的任意性可知

命题得证.

借助(3.1)式, 本文引入如下正则性条件.

定义3.1  设$ \mu\geq0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $当且仅当

注3.2   若$ \mu = 0, $ 则新的正则性条件$ NRC $退化为文献[7, 定义5.1(ⅲ)]的闭性条件$ (CC)_1 $, 即

下述命题借助新的正则性条件$ NRC $, 刻画(P$ _\mu) $$ (D_{\mu}) $之间的对偶关系.

命题3.2  设$ \mu\geq 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 则$ {\rm val}(P_{\mu}) = {\rm val}(D_{\mu}). $

   假设存在$ \alpha\in{{\Bbb R}}, $ 使得

由命题3.1可知$ (0, \alpha)\in\Lambda. $ 又因为$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $ 满足新的正则性条件$ NRC $, 所以

从而有

又因为

$ \begin{eqnarray} \text{val}{(P_{\mu})} & = &\mathop{\text{inf}}\limits_{x\in X}\{f_{1}(x)-f_{2}(x)+\mu(-g_{1})(x)-\mu(-g_{2})(x)+\delta_{A}\}{} \\ & = &-(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}(0). \end{eqnarray} $

$ \text{val}(P_{\mu})\geq-\alpha, $ 与假设矛盾. 因此$ \text{val}(P_{\mu})\geq\text{val}(D_{\mu}). $

下证$ \text{val}(D_{\mu})\geq\text{val}(P_{\mu}). $$ \text{val}(P_{\mu}) = -\infty, $ 显然成立. 现假设$ \text{val}(P_{\mu}) = -\alpha\in{{\Bbb R}}, $

由(3.7)式以及$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $可知

从而由命题3.1可知$ \text{val}(D_{\mu})\geq -\alpha. $ 因此$ \text{val}(D_{\mu})\geq\text{val}(P_{\mu}). $$ \text{val}(P_{\mu}) = \text{val}(D_{\mu}). $ 证毕.

借助命题3.2以及正则性条件$ NRC $, 给出(P) 的Farkas引理刻画.

定理3.1  设$ \mu\geq0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 则以下命题等价:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)}\geq\mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $, 有

(ⅲ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}{(f_{2}-\mu g_{2})^{*}}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

   $ \text{(i)}\Rightarrow \text{(ii)} $: 假设$ \text{(i)} $成立. 则对任意$ x\in A $, 有

从而

又由$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 可得

故对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $, 有

因此$ (\text{ii}) $成立.

$ \text{(ii)}\Rightarrow \text{(iii)} $: 假设$ \text{(ii)} $成立.对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ (y^{*}, \alpha_{1})\in\text{epi}{f_{1}^{*}} $, $ (z^{*}, \alpha_{2})\in\text{epi}{(-g_{1})^{*}} $, $ (p^{*}, \alpha_{3})\in\text{epi}{(\lambda h)^{*}} $以及$ (q^{*}, \alpha_{4})\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}} $, 使得

$ \begin{eqnarray} (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})) = (y^{*}, \alpha_{1})+\mu (z^{*}, \alpha_{2})+(p^{*}, \alpha_{3})+(q^{*}, \alpha_{4}). \end{eqnarray} $

又因为$ f_{1}^{*}(y^{*})\leq\alpha_{1} $, $ (-g_{1})^{*}(z^{*})\leq\alpha_{2} $, $ (\lambda h)^{*}(p^{*})\leq\alpha_{3} $, 以及$ \delta_{C}^{*}(q^{*})\leq\alpha_{4} $, 所以由$ (3.8) $式可知

$ \text{(iii)} $成立.

$ \text{(iii)}\Rightarrow \text{(i)} $: 对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in\text{dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in \text{dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in \text{dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

可推出

又由命题3.2可得

$ \text{val}(P)\geq\mu $. 定理得证.

注3.3  文献[8, 定理3.3]在函数$ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2} $ 为下半连续的, 集合$ C $ 为闭集, 以及函数$ h $$ S $ -上图闭的情形下, 借助闭性条件得到了类似于定理$ {\rm 3.1} $的结果. 显然, 定理$ {\rm 3.1} $推广和改进了[8, 定理3.3]的结果.

借助定理3.1, 可得以下择一性定理.

推论3.1  设$ \mu\geq0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $. 则以下命题不能同时成立:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)} < \mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in {\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

3.2 参数$ \mu $为负数情形

$ \mu $为负数, 则(P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}+\mu g_{2} $$ f_{2}+\mu g_{1} $这两个凸函数的差. 类似的, 其Fenchel-Lagrange对偶问题$ (D'_{\mu}) $

类似的, 为得到(P)的Farkas引理, 需要引进一类新的正则性条件$ NRC_{1} $. 对此首先引入刻画集$ \Lambda_{1} $.

类似于命题3.1, 易得下述关于刻画集$ \Lambda_{1} $$ (D'_{\mu}) $之间的关系.

命题3.3  设$ \mu < 0 $$ \alpha\in{{\Bbb R}}. $$ (0, \alpha)\in\Lambda_{1} $当且仅当$ {\rm val}(D'_{\mu})\geq -\alpha, $ 和对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

类似于定义3.1, 我们引入如下正则性条件.

定义3.2  设$ \mu < 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $ 满足新的正则性条件$ NRC_{1} $当且仅当

类似于命题3.2, 定理3.1以及推论3.1, 易得下述结论.

命题3.4  设$ \mu < 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $, 则$ {\rm val}(P_{\mu}) = {\rm val}(D'_{\mu}). $

定理3.2  设$ \mu < 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $, 则以下命题等价:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)}\geq\mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $

(ⅲ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

注3.4  类似的, 文献[8, 定理3.7]亦是在函数$ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2} $为下半连续的, 集合$ C $为闭集, 以及函数$ h $$ S $ -上图闭的情形下, 借助闭性条件得到了类似于定理$ 3.2 $的结果. 因此, 定理$ 3.2 $ 也推广和改进了文献[8]中定理3.7的结果.

推论3.2  设$ \mu < 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $. 则以下命题不能同时成立:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)} < \mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

注3.5  若$ f_{2}(x) = g_{2}(x) = 0 $, 则(P) 退化为文献[12]的分式优化问题. 故当$ \mu\geq0 $ 时, (P$ _\mu) $的目标函数$ f_{1}-\mu g_{1} $ 是凸函数, 定义$ 3.1 $ 退化为文献[12]中定义3.3, 定理$ 3.1 $退化为文献[12]中定理3.6; 当$ \mu < 0 $ 时, (P$ _\mu) $ 的目标函数可以看作$ f_{1} $$ \mu g_{1} $这两个凸函数的差, 定义$ 3.2 $退化为文献[12]中定义3.12, 定理$ 3.2 $ 退化为文献[12]中定理3.15. 因此, 本文推广和改进了文献[12]的相关结果.

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