众所周知, 最优化问题对偶性研究的一个重要方面是刻画其对偶形式的Farkas引理, 它在非线性规划问题、图论、集合包含等各个研究领域有着十分广泛的应用价值. 近些年得到了国内外学者的广泛关注, 并在凸优化问题、DC优化问题、半无限优化问题等各个方面取得了许多十分有意义的结果, 如文献[1-12]及其相关文献.

作为最优化问题的一个重要模型, 分式优化问题的研究具有十分重要的理论意义和应用价值. 然而, 据我们所知, 目前关于分式优化问题的Farkas引理的结论却很少. 借助凸优化问题共轭对偶的方法, Bot等人^[2]研究了带有有限多个凸约束系统的分式优化问题的Farkas引理. 随后张向辉和程曹宗^[6]刻画了带有有限多个凸约束系统的分式DC优化问题的Farkas引理. 在局部凸空间中, 借助共轭函数的上图技巧所引入的闭性条件, 孙祥凯与柴毅等人^[8]刻画了带有锥约束系统的分式DC优化问题的Farkas引理. 最近, 在相关函数不是下半连续以及约束集不是闭集的情形下, 通过引入一类新的正则性条件, 方东辉和刘伟玲^[10]刻画了一类带有复合函数的分式优化问题的Farkas引理, 推广和改进了文献[2, 6, 8]的相关结论. 在相关函数和约束集不具备任何拓扑结构的前提下, 借助共轭函数上图所引入的新的正则性条件, 孙祥凯等人^[12]刻画了一类分式优化问题的Farkas引理.

受上述文献启发, 本文考虑如下分式优化问题

$ \begin{eqnarray*} ({\rm P}) \; \; \; \; \; \; \inf\limits_{x\in A} \; \frac{f_1(x)-f_2(x)}{g_1(x)-g_2(x)}, \end{eqnarray*} $

其中约束集$ A: = \{x\in C, h(x)\in-S\} $, $ X $和$ Y $为两个分离的局部凸拓扑向量空间, $ C\subseteq X $是非空凸集, $ S\subseteq Y $是非空闭凸锥, $ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2}: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }: = {{\Bbb R}} \cup\{\pm\infty\} $ 均为真凸函数, $ h: X\rightarrow Y^{\bullet}: = Y\cup\{\infty_{Y}\} $是真$ S $ -凸函数. 值得注意是, 凸优化问题、分式优化问题以及DC优化问题均可作为优化模型(P)的特例.

本文的大致框架如下: 首先借助Dinkelbach方法^[13]将分式优化问题(P)转化为一类DC优化模型. 随后在相关函数不是下半连续, 约束集合不是闭集的情形下, 利用共轭函数的上图性质, 引入一类新的正则性条件, 研究该DC优化问题与其对偶问题之间的对偶关系, 从而用其刻画该分式优化问题的一些新的Farkas引理. 本文的结论推广和改进了文献[2, 6, 8, 12]的结论.

若无特殊说明, 本文总是假设$ X $为分离的局部凸拓扑向量空间, $ X^{*} $为$ X $的对偶空间, 并且赋予弱星拓扑$ \omega^*(X^*, X) $. $ \langle x^{*}, x \rangle $为连续线性泛函$ x^{*}\in X^{*} $在$ x\in X $ 处的取值. 给定一个非空集合$ C\subseteq X $, $ C $的指示函数$ \delta_{C} $定义为

$ \delta_C(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, &\text{若}\ x\in C, \\ +\infty, &\text{否则. } \end{array} \right . $

假定$ f: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $为广义实值函数. 函数$ f $的有效域、上图以及共轭函数分别定义为

$ \text{dom }f = \{x\in X:f(x)<+\infty\}, $

$ \text{epi }{f} = \{(x, r)\in X\times {{\Bbb R}} :f(x)\leq r\} $

和

$ f^{*}(x^{*}) = \mathop{{\rm sup}}\limits_{x\in X}\{\langle x^{*}, x \rangle-f(x)\}. $

若函数$ f $的有效域非空, 则称函数$ f $是真函数.若函数$ f $的上图为凸集, 则称函数$ f $是凸函数. 若函数$ f $的上图为闭集, 则称函数$ f $是下半连续的. 若$ -f $ 为凸函数, 则称函数$ f $为凹函数. $ f $的下包络$ \text{cl }{f}: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $定义为

$ \text{epi}({\text{cl }{f}}) = \text{cl}({\text{epi }{f}}), $

其拓扑闭包由乘积拓扑定义. 由文献[14]有

$ f^{*} = (\text{cl }{f})^{*}. $

若$ \text{cl }{f} $是真凸函数, 则由文献[14]有

$ f^{**} = \text{cl }{f}. $

另一方面, 假设$ Y $为另一个局部凸拓扑向量空间, $ Y^{*} $为$ Y $的对偶空间, 并赋予其弱星拓扑$ w^{*}(Y^{*}, Y) $. 设非空闭凸锥$ S\subseteq Y $. $ Y $在$ S $上的偏序关系"$ \leq_S $"定义为

$ y_{1}\leq_S\ y_{2}\Leftrightarrow y_{2}-y_{1}\in S, \ \forall y_{1}, y_{2}\in Y. $

设$ Y^{\bullet} = Y\cup \{\infty_{Y}\} $, 其中$ \infty_{Y}\notin Y $为在偏序关系“$ \leq_S $”下的最大元. 定义$ Y^{\bullet} $上的运算

$ y+(\infty_{Y}) = (\infty_{Y})+y, \ t (\infty_{Y}) = \infty_{Y}, \forall y\in Y, \ t\geq 0. $

设$ h: X\rightarrow Y^{\bullet} $是广义向量函数. 函数$ h $的有效域和$ S $ -上图分别定义为

$ \text{dom }h = \{x\in X:h(x)\in Y\}, $

$ \text{epi}_{S}\ {h} = \{(x, y)\in X\times Y:y\in h(x)+S\}. $

类似的, 若函数$ h $的有效域非空, 则称函数$ h $是真函数. 若函数$ h $的$ S $ -上图为闭集, 则称函数$ h $ 是$ S $ -上图闭的. 若对任意$ x, y\in X, \ t\in [0, 1], $ 有

$ h(t x+(1-t) y)\leq_S t h(x)+(1-t) h(y), $

则称函数$ h $是$ S $ -凸函数. 设$ S^{*} = \{y^{*}\in Y^{*}: \langle y^{*}, y\rangle \geq 0, \forall y\in S\} $为$ S $的正对偶锥, $ \lambda \in S^{*}, $ 函数$ (\lambda h): X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $ 定义为

$ (\lambda h)(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \langle \lambda, h(x)\rangle, & \text{ 若}\ x\in\text{dom }h, \\ +\infty, &\text{ 否则. } \end{array} \right. $

显然, 函数$ h $是$ S $ -凸的当且仅当对任意$ \lambda\in S^{*} $, $ (\lambda h) $是凸的.

关于广义实值函数以及向量值函数的更多详细性质可参见文献[14-15].

引理2.1^[14]  设$ I $为指标集, $ \{f_{i}: i\in I\} $为一族函数. 则

(ⅰ) $ {\rm epi}(\sup\limits_{i\in I}{f_{i}}) = \bigcap\limits_{i\in I}{\rm epi }{f}_{i}. $

(ⅱ) $ (\inf\limits_{i\in I}{f_{i}})^{*} = \sup\limits_{i\in I}{f_{i}^{*}}; $ 因此, $ {\rm epi}(\inf\limits_{i\in I}{f_{i}})^{*} = \bigcap\limits_{i\in I}{\rm epi }{f}_{i}^{*}. $

设$ p\in X^{*}, $ 则$ p $可看作$ X $上的函数$ p(x): = \langle p, x\rangle $, $ \forall x\in X. $ 因此, 对任意$ \alpha\in {{\Bbb R}} $以及任意函数$ \phi: X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }, $ 有

(2.1) $ \begin{equation} (\phi+p+\alpha)^{*}(x^{*}) = \phi^{*}(x^{*}-p)-\alpha, \ \forall x^{*}\in X^{*} \end{equation} $

和

(2.2) $ \begin{equation} \text{epi}(\phi+p+\alpha)^{*} = \text{epi}{\phi^{*}}+(p, -\alpha). \end{equation} $

如上所述, 本文考虑如下分式优化问题

$ ({\rm P}) \; \; \; \; \; \; \inf\limits_{x\in A} \; \frac{f_1(x)-f_2(x)}{g_1(x)-g_2(x)}, $

其中$ A: = \{x\in C, h(x)\in -S\}. $ 本文中总是假设$ g_{1}(x)-g_{2}(x)\geq 0 $. 为刻画(P) 的一些新的Farkas引理, 利用Dinkelbach方法^[13]将(P)转化为如下优化问题

$ \begin{eqnarray*} ({\rm P}_{\mu}) \; \; \; \; \; \; \mathop{\text{inf}}\limits_{x\in A} \; \{f_{1}(x)-f_{2}(x)-\mu g_{1}(x)+\mu g_{2}(x)\}, \end{eqnarray*} $

其中$ \mu\in {{\Bbb R}}. $

为简便起见, 本文若无特殊说明, 优化问题(P)的最优值记为$ {\rm val}(P) $. 其它优化问题的最优值类似标记. 下面引理给出了(P)与(P$ _{\mu}) $最优值之间的一个等价关系.

引理3.1   不等式$ {\rm val}(P)\geq\mu $成立的充分必要条件是不等式$ {\rm val}(P_{\mu})\geq0. $

接下来需要建立(P$ _{\mu}) $与其对偶问题的对偶关系, 从而得到(P)的一些新的Farkas引理. 因为(P$ _\mu) $的目标函数由$ \mu $ 的符号确定, 即当$ \mu\geq 0 $时, (P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}-\mu g_{1} $与$ f_{2}-\mu g_{2} $ 这两个凸函数的差; 当$ \mu < 0 $ 时, (P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}+\mu g_{2} $ 与$ f_{2}+\mu g_{1} $这两个凸函数的差. 为此, 本文分以下两种情形对(P$ _\mu) $展开讨论.

若$ \mu\geq0 $, 则(P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}-\mu g_{1} $与$ f_{2}-\mu g_{2} $这两个凸函数的差. 因此我们可以借助DC优化问题的对偶方法建立(P$ _\mu) $的对偶问题. 类似于文献[12, 16]方法, 易知, 其Fenchel-Lagrange对偶问题$ (D_{\mu}) $为

$ \begin{eqnarray*} &&\inf\limits_{x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}}\max\limits_{ y^{*}\in{\rm dom}f_{1}^{*}, \lambda\in S^{*}, \atop z^{*}\in{\rm dom}(-g_{1})^{*}, p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} } \Big\{(f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})\\ &&-\mu(-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*}) -\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\Big\}. \end{eqnarray*} $

为了得到(P)的Farkas引理, 需要引进一类新的正则性条件. 为此首先定义如下刻画集.

$ \Lambda: = \mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}} \left(\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup} \limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}- \Big(x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})\Big)\right). $

注3.1 (ⅰ) 假设$ \overline{f}: = f_{1}-{\rm cl }\; (f_{2}-\mu g_{2}). $ 若$ {\rm cl }\; (f_{2}-\mu g_{2}) $是真函数, 则$ \overline{f} $是真函数. 由引理2.1, $ \rm(2.1) $式和$ \rm(2.2) $式, 以及结合文献[7, 引理3.1]的方法, 可得

$ \Lambda = {\rm epi}{(\overline{f})^{*}}+\mu{\rm epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}. $

又易得

$ {\rm epi}{(\overline{f})^{*}}+\mu{\rm epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}\subseteq{\rm epi}{(\overline{f}+\mu(-g_{1})+\delta_{A})^{*}}. $

因此, 若$ f_{2}-\mu g_{2} $是下半连续的, 则

(3.1) $ \begin{eqnarray} \Lambda\subseteq{\rm epi}{(f_{1}-f_{2}-\mu g_{1}+\mu g_{2} +\delta_{A})^{*}}. \end{eqnarray} $

(ⅱ) 若$ \mu = 0, $ 则集合$ \Lambda $可退化为文献[7, Section 5]中的刻画集$ K_1 $, 即

$ \Lambda = \mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}{f_{2}^{*}}}\left({\rm epi}{f_{1}^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}-\left(x^{*}, f_{2}^{*}(x^{*})\right)\right). $

下面命题描述了集合$ \Lambda $和$ (D_{\mu}) $之间的关系.

命题3.1  设$ \mu\geq0 $和$ \alpha\in{{\Bbb R}}. $ 则$ (0, \alpha)\in\Lambda $ 当且仅当$ {\rm val}(D_{\mu})\geq -\alpha, $ 和对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in {\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu(-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq -\alpha. $

证   $ (\Rightarrow): \ $设$ (0, \alpha)\in\Lambda. $ 则对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 有

$ (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})+\alpha)\in\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}. $

故存在$ \lambda\in S^{*}, (y^{*} $, $ \alpha_{1})\in\text{epi}{f_{1}^{*}} $, $ (z^{*}, \alpha_{2})\in\text{epi}{(-g_{1})^{*}} $, $ (p^{*}, \alpha_{3})\in\text{epi}{(\lambda h)^{*}} $以及$ (q^{*}, \alpha_{4})\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}}, $ 使得

$ (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})+\alpha) = (y^{*}, \alpha_{1})+\mu (z^{*}, \alpha_{2})+(p^{*}, \alpha_{3})+(q^{*}, \alpha_{4}), $

即

(3.2) $ \begin{equation} x^{*} = y^{*}+\mu z^{*}+p^{*}+q^{*} , \end{equation} $

(3.3) $ \begin{equation} (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})+\alpha = \alpha_{1}+\mu\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4} . \end{equation} $

又因为$ f_{1}^{*}(y^{*})\leq\alpha_{1} $, $ (-g_{1})^{*}(z^{*})\leq\alpha_{2} $, $ (\lambda h)^{*}(p^{*})\leq\alpha_{3} $以及$ \delta_{C}^{*}(q^{*})\leq\alpha_{4} $, 从而由(3.2)和(3.3)式可知

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})+\alpha\geq f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})+(\lambda h)^{*}(p^{*})+\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*}). $

因此

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq -\alpha. $

$ (\Leftarrow): $假设$ \text{val}(D_{\mu})\geq -\alpha, $ 以及对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in\text{dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in \text{dom}(-g_{1})^{*} $ 以及$ p^{*}\in \text{dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq -\alpha. $

从而

$ \delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\leq(f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})+\alpha, $

即

(3.4) $ \begin{equation} (x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})+\alpha)\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}}. \end{equation} $

又易知

(3.5) $ \begin{equation} 0 = y^{*}+\mu z^{*}+p^{*}+(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})-x^{*}, \end{equation} $

以及

(3.6) $ \begin{eqnarray} \alpha& = &f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})+(\lambda h)^{*}(p^{*})+\Big((f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})\\ & &-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})+\alpha\Big)-(f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}). \end{eqnarray} $

从而由(3.4), (3.5)以及(3.6)式有

$ (0, \alpha)\in\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}-(x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})). $

由$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $的任意性可知

$ (0, \alpha)\in\mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}{(f_{2}- \mu g_{2})^{*}}}\Big(\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}-(x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}))\Big). $

命题得证.

借助(3.1)式, 本文引入如下正则性条件.

定义3.1  设$ \mu\geq0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $当且仅当

$ {\rm epi}{(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}} = \Lambda. $

注3.2   若$ \mu = 0, $ 则新的正则性条件$ NRC $退化为文献[7, 定义5.1(ⅲ)]的闭性条件$ (CC)_1 $, 即

$ {\rm epi}{(f_{1}-f_{2}+\delta_{A})^{*}} = \mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}{f_{2}^{*}}}\left({\rm epi}{f_{1}^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}-(x^{*}, f_{2}^{*}(x^{*}))\right). $

下述命题借助新的正则性条件$ NRC $, 刻画(P$ _\mu) $ 与$ (D_{\mu}) $之间的对偶关系.

命题3.2  设$ \mu\geq 0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 则$ {\rm val}(P_{\mu}) = {\rm val}(D_{\mu}). $

证   假设存在$ \alpha\in{{\Bbb R}}, $ 使得

$ \text{val}(P_{\mu})<-\alpha<\text{val}(D_{\mu}). $

由命题3.1可知$ (0, \alpha)\in\Lambda. $ 又因为$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $ 满足新的正则性条件$ NRC $, 所以

$ (0, \alpha)\in\text{epi}{(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}}. $

从而有

$ (f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}(0)\leq\alpha. $

又因为

(3.7) $ \begin{eqnarray} \text{val}{(P_{\mu})} & = &\mathop{\text{inf}}\limits_{x\in X}\{f_{1}(x)-f_{2}(x)+\mu(-g_{1})(x)-\mu(-g_{2})(x)+\delta_{A}\}{} \\ & = &-(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}(0). \end{eqnarray} $

故$ \text{val}(P_{\mu})\geq-\alpha, $ 与假设矛盾. 因此$ \text{val}(P_{\mu})\geq\text{val}(D_{\mu}). $

下证$ \text{val}(D_{\mu})\geq\text{val}(P_{\mu}). $ 若$ \text{val}(P_{\mu}) = -\infty, $ 显然成立. 现假设$ \text{val}(P_{\mu}) = -\alpha\in{{\Bbb R}}, $ 有

$ (0, \alpha)\in\text{epi}{(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}}. $

由(3.7)式以及$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $可知

$ (0, \alpha)\in\Lambda. $

从而由命题3.1可知$ \text{val}(D_{\mu})\geq -\alpha. $ 因此$ \text{val}(D_{\mu})\geq\text{val}(P_{\mu}). $ 故$ \text{val}(P_{\mu}) = \text{val}(D_{\mu}). $ 证毕.

借助命题3.2以及正则性条件$ NRC $, 给出(P) 的Farkas引理刻画.

定理3.1  设$ \mu\geq0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 则以下命题等价:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)}\geq\mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $, 有

$ (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}))\in{\rm epi}{f_{1}^{*}}+\mu{\rm epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}; $

(ⅲ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}{(f_{2}-\mu g_{2})^{*}}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu(-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

证   $ \text{(i)}\Rightarrow \text{(ii)} $: 假设$ \text{(i)} $成立. 则对任意$ x\in A $, 有

$ f_{1}(x)-f_{2}(x)\geq\mu(g_{1}(x)-g_{2}(x)), $

即

$ (f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})(x)\geq0. $

从而

$ (0, 0)\in\text{epi}{(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}}. $

又由$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $, 可得

$ (0, 0)\in\mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}{(f_{2}-\mu g_{2})^{*}}}\Big(\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}-(x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}))\Big). $

故对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*} $, 有

$ (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*}))\in\text{epi}{f_{1}^{*}}+\mu\text{epi}{(-g_{1})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}. $

因此$ (\text{ii}) $成立.

$ \text{(ii)}\Rightarrow \text{(iii)} $: 假设$ \text{(ii)} $成立.对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ (y^{*}, \alpha_{1})\in\text{epi}{f_{1}^{*}} $, $ (z^{*}, \alpha_{2})\in\text{epi}{(-g_{1})^{*}} $, $ (p^{*}, \alpha_{3})\in\text{epi}{(\lambda h)^{*}} $以及$ (q^{*}, \alpha_{4})\in\text{epi}{\delta_{C}^{*}} $, 使得

(3.8) $ \begin{eqnarray} (x^{*}, (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})) = (y^{*}, \alpha_{1})+\mu (z^{*}, \alpha_{2})+(p^{*}, \alpha_{3})+(q^{*}, \alpha_{4}). \end{eqnarray} $

又因为$ f_{1}^{*}(y^{*})\leq\alpha_{1} $, $ (-g_{1})^{*}(z^{*})\leq\alpha_{2} $, $ (\lambda h)^{*}(p^{*})\leq\alpha_{3} $, 以及$ \delta_{C}^{*}(q^{*})\leq\alpha_{4} $, 所以由$ (3.8) $式可知

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

故$ \text{(iii)} $成立.

$ \text{(iii)}\Rightarrow \text{(i)} $: 对任意$ x^{*}\in\text{dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in\text{dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in \text{dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in \text{dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu (-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

可推出

$ \text{val}(D_{\mu})\geq0. $

又由命题3.2可得

$ \text{val}(P_{\mu})\geq0. $

故$ \text{val}(P)\geq\mu $. 定理得证.

注3.3  文献[8, 定理3.3]在函数$ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2} $ 为下半连续的, 集合$ C $ 为闭集, 以及函数$ h $ 为$ S $ -上图闭的情形下, 借助闭性条件得到了类似于定理$ {\rm 3.1} $的结果. 显然, 定理$ {\rm 3.1} $推广和改进了[8, 定理3.3]的结果.

借助定理3.1, 可得以下择一性定理.

推论3.1  设$ \mu\geq0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC $. 则以下命题不能同时成立:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)} < \mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}-\mu g_{2})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in {\rm dom}(-g_{1})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}-\mu g_{2})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})-\mu(-g_{1})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}-\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

若$ \mu $为负数, 则(P$ _\mu) $的目标函数可以看作$ f_{1}+\mu g_{2} $与$ f_{2}+\mu g_{1} $这两个凸函数的差. 类似的, 其Fenchel-Lagrange对偶问题$ (D'_{\mu}) $为

$ \begin{eqnarray*} &&\inf\limits_{x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_1)^{*}} \max\limits_{ y^{*}\in{\rm dom}f_1^{*}, \lambda\in S^{*}, \atop z^{*}\in{\rm dom}(-g_{_2})^{*}, p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} } \Big\{(f_{2}+\mu g_1)^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*}) \\ &&+\mu (-g_{2})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}+\mu z^{*}-p^{*})\Big\}. \end{eqnarray*} $

类似的, 为得到(P)的Farkas引理, 需要引进一类新的正则性条件$ NRC_{1} $. 对此首先引入刻画集$ \Lambda_{1} $.

$ \Lambda_{1}: = \mathop{\bigcap}\limits_{x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}}\Big(\text{epi}{f_{1}^{*}}-\mu\text{epi}{ (-g_{2})^{*}}+\mathop{\bigcup}\limits_{\lambda\in S^{*}}\text{epi}{(\lambda h)^{*}}+\text{epi}{\delta_{C}^{*}}-\big(x^{*}, (f_{2}+\mu g_{1})^{*}(x^{*})\big)\Big). $

类似于命题3.1, 易得下述关于刻画集$ \Lambda_{1} $与$ (D'_{\mu}) $之间的关系.

命题3.3  设$ \mu < 0 $和$ \alpha\in{{\Bbb R}}. $ 则$ (0, \alpha)\in\Lambda_{1} $当且仅当$ {\rm val}(D'_{\mu})\geq -\alpha, $ 和对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}+\mu g_{1})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{2})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}+\mu z^{*}-p^{*})\geq -\alpha. $

类似于定义3.1, 我们引入如下正则性条件.

定义3.2  设$ \mu < 0. $$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $ 满足新的正则性条件$ NRC_{1} $当且仅当

$ {\rm epi}{(f_{1}-f_{2}+\mu(-g_{1})-\mu(-g_{2})+\delta_{A})^{*}} = \Lambda_{1}. $

类似于命题3.2, 定理3.1以及推论3.1, 易得下述结论.

命题3.4  设$ \mu < 0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $, 则$ {\rm val}(P_{\mu}) = {\rm val}(D'_{\mu}). $

定理3.2  设$ \mu < 0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $, 则以下命题等价:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)}\geq\mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 有

$ (x^{*}, (f_{2}+\mu g_{1})^{*}(x^{*}))\in{\rm epi}{f_{1}^{*}}-\mu{\rm epi}{ (-g_{2})^{*}}+\mathop{\bigcup} \limits_{\lambda\in S^{*}}{\rm epi}{(\lambda h)^{*}}+{\rm epi}{\delta_{C}^{*}}; $

(ⅲ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}+\mu g_{1})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{2})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}+\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

注3.4  类似的, 文献[8, 定理3.7]亦是在函数$ f_{1}, f_{2}, -g_{1}, -g_{2} $为下半连续的, 集合$ C $为闭集, 以及函数$ h $为$ S $ -上图闭的情形下, 借助闭性条件得到了类似于定理$ 3.2 $的结果. 因此, 定理$ 3.2 $ 也推广和改进了文献[8]中定理3.7的结果.

推论3.2  设$ \mu < 0. $ 若$ (f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, \delta_{C}, h) $满足新的正则性条件$ NRC_{1} $. 则以下命题不能同时成立:

(ⅰ) $ x\in C, \ h(x)\in -S\Longrightarrow\frac{f_{1}(x)-f_{2}(x)}{g_{1}(x)-g_{2}(x)} < \mu; $

(ⅱ) 对任意$ x^{*}\in{\rm dom}(f_{2}+\mu g_{1})^{*}, $ 存在$ \lambda\in S^{*} $, $ y^{*}\in{\rm dom}{f_{1}^{*}} $, $ z^{*}\in{\rm dom} (-g_{2})^{*} $以及$ p^{*}\in{\rm dom}(\lambda h)^{*} $, 使得

$ (f_{2}+\mu g_{1})^{*}(x^{*})-f_{1}^{*}(y^{*})+\mu (-g_{2})^{*}(z^{*})-(\lambda h)^{*}(p^{*})-\delta_{C}^{*}(x^{*}-y^{*}+\mu z^{*}-p^{*})\geq0. $

注3.5  若$ f_{2}(x) = g_{2}(x) = 0 $, 则(P) 退化为文献[12]的分式优化问题. 故当$ \mu\geq0 $ 时, (P$ _\mu) $的目标函数$ f_{1}-\mu g_{1} $ 是凸函数, 定义$ 3.1 $ 退化为文献[12]中定义3.3, 定理$ 3.1 $退化为文献[12]中定理3.6; 当$ \mu < 0 $ 时, (P$ _\mu) $ 的目标函数可以看作$ f_{1} $与$ \mu g_{1} $这两个凸函数的差, 定义$ 3.2 $退化为文献[12]中定义3.12, 定理$ 3.2 $ 退化为文献[12]中定理3.15. 因此, 本文推广和改进了文献[12]的相关结果.