积分几何起源于几何概率, 其发展也始终与几何概率紧密相连. 最早利用积分学的方法解决的几何概率问题是经典的蒲丰投针问题: 设在平面上有一组平行线, 其行距都等于$d$, 把一根长度为$l(l<d)$的针随机地投上去, 则这根针和一条直线相交的概率为$\frac{2l}{\pi d}$. 蒲丰投针问题不仅是最早的一个几何概率问题, 也是一个最具有代表性、影响最大的几何概率问题. 其优美性和吸引力历时两个多世纪经久不衰. 特别是积分几何的出现, 使人们得以从全新的角度对这类问题予以洞察. 近年来, 经典的蒲丰投针问题得到了较为广泛的推广与研究, 参见文献[1-9]. 但这些推广仅限于2维和3维空间.文献[10-11] 将几何概率问题的研究推广到了$n$维空间, 其中文献[11] 主要针对线性空间偶的情形.对于有三个以上的线性子空间组成的线性空间束, 仅仅给出了三维空间中的一个特例: 在三维空间中, 三个和凸体$K$相交的平面的公共点在$K$内的概率是

其中, $V$为$K$的体积, $M$为$K$的边界曲面$\partial K$的平均曲率积分. 特别地, 当$K$为半径为$R$的球体$B$时, $V = \frac{4}{3}\pi {{\Bbb R}} ^3, M = \int_{\partial B}\frac{k_1+k_2}{2}{\rm d}s = 4\pi R$, 概率为$\frac{\pi^2}{48}$.

本文的主要的工作是将(1.1)式推广到${{\Bbb R}} ^n$中, 即研究${{\Bbb R}} ^n$中的线性子空间束与凸体相交的几何概率.

定义2.1   设$K$为${{\Bbb R}} ^n$中的点集, 若对于任意的$x, y\in K$都有$\lambda x+(1+\lambda)y \in K (0\leq \lambda \leq 1)$, 则称$K$为${{\Bbb R}} ^n$中的凸集.

定义2.2   具有非空内点的紧凸集称为凸体. 凸体$K$的边界$\partial K$称为凸曲面.设${\cal C}^n$表示${{\Bbb R}} ^n$中所有凸集的集合, ${\cal K} ^n$表示${{\Bbb R}} ^n$中所有凸体的集合. 对于$K \in {\cal K}^n$, $V(K)$表示它的体积.

定义2.3   设$L_{r_{i}}$为${{\Bbb R}} ^n$中$r_i$维线性子空间, 则称$(L_{r_{i}}, L_{r_{j}})$为${{\Bbb R}} ^n$中的线性子空间偶, 称$(L_{r_{i}}, L_{r_{2}}, \cdots , L_{r_{k}})$为线性子空间束, 称$(L_{r_{i}}\cap L_{r_{2}} \cdots \cap L_{r_{k}})$为线性子空间束的交, 其中$k\geq3$.

定义2.4   如果$L_{r_{i}}\cap K \neq \varnothing, (i = 1, 2, \cdots , k)$, 则称线性子空间束$(L_{r_{i}}, L_{r_{2}}, \cdots , L_{r_{k}})$与$K$相交.特别地, 若$r_1 = r_2 = \cdots r_k = n-1$, 则称$(L_{r_{i}}, L_{r_{2}}, \cdots , L_{r_{k}})$为超平面束.

定义2.5  ^[12-13]设$n\in N, x \in {{\Bbb R}} ^n_+ = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n)|x_i \in [0, +\infty), 1\leq i \leq n\}$, 则称

为$k$阶初等对称函数, 并补充规定$e_0(x) = e_0(x_1, x_2, \cdots , x_n) = 1$.

第$1$阶初等对称函数$e_1(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \sum\limits_{i = 1}^{n}x_i$; 第$2$阶初等对称函数$e_2(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \sum\limits_{1\leq i<j \leq n }^{n}x_ix_j$.

定义2.6  ^{[9, 11, 14-16]}设$\Sigma$为${{\Bbb R}} ^n$中的$C^2$类超曲面, $k_1, k_2, \cdots , k_n$是$\Sigma$的$n-1$个主曲率函数, 则$\Sigma$的第$r$个平均曲率积分可用这$n-1$个主曲率的初等对称函数定义为

其中, ${\rm d}\sigma$表示$\Sigma$的面积元.另外, 补充规定, $M_0(\Sigma) = F$ (即$\Sigma$的面积).

设$\Sigma$为${{\Bbb R}} ^n$中半径为的$R$的球面, 其主曲率为$k_1 = k_2 = \frac{1}R$, 则$\Sigma$的$3$个平均曲率积分分别为

注2.1   ${{\Bbb R}} ^3$中曲面的第$1$个平均曲率积分即通常微分几何中所指的平均曲率积分$M$, 即$M_1(\Sigma) = M$, 因此文中出现的$M_1(\Sigma)$将以$M$替代.

设$K \in {\cal C}^n$, 若$\partial K \in C^2$, 则平均曲率积分与均质积分有如下关系^{[9, 11, 14-18]}, 即Cauchy公式

注2.2   均质积分$W_r(K)$对于任意$K \in {\cal C}^n$都有定义, 而平均曲率积分$M_r(\partial K)$则要求$\partial K \in C^2$, 因此可以借助Cauchy公式, 对任意的$K \in {\cal C}^n$给出平均曲率积分的定义.当$\partial K \in C^2$时, 此定义与前述定义一致.

注2.3   为简单起见, 把凸体$K$的边界曲面$\partial K$的平均曲率积分简称为$K$的平均曲率积分.

下面给出几种特殊凸体的平均曲率积分.

当凸体$K$是棱长为$a_i\ (i = 1, 2, \cdots, n)$的长方体$C$时, 其平均曲率积分为

当凸体$K$是棱长为$a$的正方体$C_e$时, 其平均曲率积分为

当凸体$K$是半径为$R$的球体$B$时, 其平均曲率积分为

设$L_{r[O]}$是${\mathbb{R}} ^n$中过定点$O$的$r$维平面, 则$L_{r[O]}$的总测度, 即Grassmann流形$G_{r, n-r}$的体积为^{[9, 11]}

式中$O_i = \frac{2\pi ^{\frac{i+1}{2}}}{\Gamma(\frac{i+1}{2})}$是$i$维单位球面的表面积, 且有$(i-1)O_i = 2\pi O_{i-2}$.

设$L_{n-r[O]}$是${{\Bbb R}} ^n$中过定点$O$且垂直于$L_{r[O]}$的$n-r$维平面, 则由密度公式${\rm d}L_{r[O]} = {\rm d}L_{n-r[O]}$得

本章主要介绍本文所得出的结论, 共6个定理, 3个推论.其中, 定理3.1和定理3.2给出线性子空间束与凸体相交时的相关测度; 定理3.3是本文的核心结论, 它给出线性子空间束的交与固定凸体相交的几何概率; 取定理3.3中的线性子空间束为特殊的子空间束-超平面束, 便得到定理3.4, 即超平面束与凸体相交的几何概率; 推论3.1–3.3分别给出当定理3.4中的凸体分别为正方体、长方体、球体时的几何概率的具体结果; 定理3.5讨论了超平面束与球体相交时所得的几何概率序列的单调性; 定理3.6描述了推论3.1–3.3所得的三个结果的大小关系.

定理 3.1  设$K \in {\cal K}^n$, $(L_p, L_q, L_s)$为${{\Bbb R}} ^n$中与$K$相交的线性子空间束, 且维数满足$p+q\geq n$, 则此线性子空间束的交与$K$相交的测度$m_1$为

(1) 当$p+q\geq n+1$时,

1) 当$p+q+s\geq 2n+1$时,

2) 当$p+q+s = 2n$时,

3) 当$p+q+s<2n$时,

(2) 当$p+q = n$时,

其中$T^n_i = \frac{O_{n-2}O_{n-3}\cdots O_{n-i-1}}{(n-i)O_{i-1}O_{i-2}\cdots O_{0}}$.

定理 3.2   设$K \in {\cal K}^n$, $(L_p, L_q, L_s)$为${{\Bbb R}} ^n$中的线性子空间束, 且维数满足$p+q\geq n$, 则此线性子空间束与$K$相交的测度$m_2$为

由定理3.1、3.2可得出定理3.3.

定理 3.3   设$K \in {\cal K}^n$, $(L_p, L_q, L_s)$为${{\Bbb R}} ^n$中与$K$相交的线性子空间束, 且维数满足$p+q\geq n$, 则此线性子空间束的交与$K$相交的概率$p_n(K)$为

(1) 当$p+q\geq n+1$时,

1) 当$p+q+s\geq 2n+1$时,

2) 当$p+q+s = 2n$时,

3) 当$p+q+s<2n$时,

(2) 当$p+q = n$时,

特别地, 当$p = q = s = 2, n = 3$时, 根据(3.7)式可得, 在三维空间中, 三个和$K$相交的平面的公共点落在$K$内的概率为

这与(1.1)式吻合.

在定理3.3中, 取$p = q = s = n-1$, 可得出定理3.4.

定理 3.4   设$K \in {\cal K}^n$, $(L_{n-1}, G_{n-1}, H_{n-1})$为${{\Bbb R}} ^n$中与$K$相交的超平面束, 则此超平面束的交与$K$相交的概率$p_n(K)$为

当$K$为一些特殊凸体时, 将对应的平均曲率积分代入(3.10)式, 可得到推论3.1–3.3.

推论 3.1   设$C_e$是${\cal K}^n$中棱长为$a$的正方体, $(L_{n-1}, G_{n-1}, H_{n-1})$为${{\Bbb R}} ^n$中与$C_e$相交的超平面束, 则此超平面束的交与$C_e$相交的概率$p_n(C_e)$为

推论 3.2   设$C$是${\cal K}^n$中棱长为$a_i, (i = 1, 2, \cdots, n)$的长方体, $(L_{n-1}, G_{n-1}, H_{n-1})$为${{\Bbb R}} ^n$中与$C$相交的超平面束, 则此超平面束的交与$C$相交的概率$p_n(C)$为

推论 3.3   设$B$是${\cal K}^n$中半径为$R$的球体, $(L_{n-1}, G_{n-1}, H_{n-1})$为${{\Bbb R}} ^n$中与$B$相交的超平面束, 则此超平面束的交与$B$相交的概率$p_n(B)$为

推论3.1–3.3所得的三个几何概率$p_n(C_e)$、$p_n(C)$、$p_n(B)$具有以下性质:

定理 3.5   $p_n(C_e)$与$p_n(B)$均关于维数$n$严格单调递增且收敛于常数$\frac{\pi}{6}$.

定理 3.6   当维数$n$固定时, $p_n(C_e)$、$p_n(C)$、$p_n(B)$具有以下大小关系:

定理3.1的证明需要用到引理4.1–4.5.

引理 4.1^{[9, 11]}  设$K \in {\cal K}^n, L_p, L_q$为${{\Bbb R}} ^n$中与$K$相交的两个线性子空间, 且维数满足$p+q\geq n$, 则$L_p\cap L_q$与$K$相交的测度为

(1) 当$p+q\geq n+1$时,

(2) 当$p+q = n$时,

引理 4.2^{[9, 11]}   设$K^r$为$r$维平面$L_r\subset {{\Bbb R}} ^n$中的凸体, 并假定其边界$\partial K^r$二次可微, 当把$\partial K^r$视为$L_r$中的凸曲面时, 以$M^{(r)}_q(\partial K^r)$表示其平均曲率积分.当把$K^r$视为${{\Bbb R}} ^n(r<n)$中的平坦凸体时, $\partial K^r$的平均曲率积分则以$M^{(n)}_q(\partial K^r)$记之, 其中, $q = 0, 1, \cdots, r-1$. 二者关系如下:

(1) 当$q\geq n-r$时,

(2) 当$q = n-r-1$时,

其中$V_r(K^r)$为$K^r$的$r$维体积;

(3) 当$q<n-r-1$时,

引理 4.3^{[9, 11]}   平均曲率积分$M^{(r)}_q(\partial (L_r\cap K))$在集$\{L_r:L_r\cap K\neq \varnothing\}$上的积分为

引理 4.4   设$L_r$为${{\Bbb R}} ^n$中$r$维平面, $\sigma_r(L_r\cap K)$表示$L_r\cap K$的$r$维体积, 则有积分公式

证   设$p = L_r\cap L_{n-r[O]}, {\rm d}\sigma_{n-r}$为$L_{n-r[O]}$在$p$点的体积元, 则有密度公式

对上式两边积分得

将(2.8)式代入上式, 引理$4.4$得证.

下面证明定理3.1.

证   $L_p\cap L_q\cap L_s$与$K$相交的测度为

下面分两种情况计算内层积分.

(1) 当$p+q\geq n+1$时, 由引理$4.1$得

下面分三种情况计算积分$\int_{L_s\cap K\neq\varnothing}M^{(s)}_{p+q+s-2n-1}(\partial K^s){\rm d}L_s$.

1) 当$p+q+s\geq 2n+1$时, 即$p+q-n-1\geq n-s$, 由$(\label(4.3)$式得

由引理$4.3$得

将(4.9)–(4.11)式代入(4.8)式, (3.1)式得证.

2) 当$p+q+s = 2n$时, 即$p+q-n-1 = n-s-1$, 由(4.4)式得

由引理$4.4$得

将(4.9)、(4.12)和(4.13)式代入(4.8)式, (3.3)式得证.

3) 当$p+q+s<2n$时, 即$p+q-n-1<n-s-1$, 由(4.5)式得

将(4.9)和(4.14)式代入(4.8)式, (3.2)式得证.

(2) 当$p+q = n$时, 由引理$4.1$得

其中$V(L_s\cap K)$表示$L_s\cap K$的$s$维体积, 这与$\sigma_s(L_s\cap K)$表示的意义相同, 因此有

将(4.13)、(4.15)和(4.16)式代入(4.8)式, (3.4)式得证.

定理3.1得证.

定理3.2的证明需要用到引理4.5.

引理 4.5^{[9, 11]}   设$K\in {\cal K}^n$, $L_r$为${{\Bbb R}} ^n$中$r$维平面, 则$L_r$与$K$相交的测度为

下面证明定理3.2.

证   由引理4.5得

证毕.

证   $p_n(C_e)$显然收敛于$\frac{\pi}{6}$, 因此定理3.5只需证明以下三个结论:

(1) $p_n(C_e)$关于维数$n$严格单调递增;

(2) $p_n(B)$关于维数$n$严格单调递增;

(3) $\lim \limits_{n\rightarrow \infty}p_n(B) = \frac{\pi}{6}$.

(1) 证明$p_n(C_e)$严格单调递增.

当$n = 3$时, $p_{4}(C_e) = \frac{\pi}{16}>\frac{\pi}{27} = p_3(C_e)$;

当$n\geq4$时, 因为

所以$p_{n+1}(C_e)>p_n(C_e)$.

综上, 对任意$n\geq3$, 都有$p_n(C_e)$关于维数$n$严格单调递增.

(2) 证明$p_n(B)$严格单调递增.

当$n = 3$时, $p_3(B) = \frac{\pi^2}{48}<\frac{8}{27} = p_4(B);$

当$n\geq4$时, 因为

所以

由不等式^[19-20]

得

整理得

两边取对数得

所以

这样就证明了序列$f_n$是关于维数$n$严格单调递增的. 又因为$p_n(B) = \frac{\pi}{3}e^{f_{n-1}}$, 所以当$n\geq4$时, $p_n(B)$关于维数$n$严格单调递增.

综上, 对于任意的$n\geq3$, 都有$p_n(B)$关于维数$n$严格单调递增.

(3) 证明$\lim \limits_{n\rightarrow \infty}p_n(B) = \frac{\pi}{6}$.

这里需要用到著名的Wallis's公式^[19]

(1) 当$n = 2m$时, 由Wallis's公式可得偶子列的极限为

(2) 当$n = 2m+1$时, 由Wallis's公式可得奇子列的极限为

综上可知, $\lim \limits_{n\rightarrow \infty}p_n(B) = \frac{\pi}{6}$. 定理3.5得证.

定理3.6描述的是三种特殊凸体: 长方体、正方体、球体所对应的几何概率的大小关系, 本节将分两步进行证明.首先根据均值不等式, 讨论长方体与正方体的情形, 然后根据文献[19] 中的两个不等式讨论正方体与球体的情形.

证   (1) 首先证明$p_n(C)\leq p_n(C_e)$.

(i) 当$n = 3$时, 由$a_1, a_2, a_3>0$可得

所以

(ii) 当$n\geq4$时, 令$A = \sum\limits_{i = 1}^na^3_i, B = \sum\limits_{i\neq j}^na_ia^2_j, C = \sum\limits_{1\leq i<j\leq n}^na_ia_ja_k$, 由$a_i, a_j, a_k>0$得

将以上三个不等式相加并两边作和, 得

即$(n-2)B\geq6C,$所以

又因为

所以

将以上不等式两边作和可得

即

由(4.18)–(4.19)式得

所以

所以

上式子中当且仅当$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$时等号成立.

综上, 对于任意的$n\geq3$都有$p_n(C)\leq p_n(C_e)$.

(2) 证明$p_n(C_e)< p_n(B)$. 这里需要用到以下两个不等式^[19]

1) 当$n = 3$时, $p_3(C_e) = \frac{\pi}{27}<\frac{\pi^2}{48} = p_3(B)$;

2) 当$n\geq4$时, 令

(i) 当$n = 2m$时, 由(4.20)式得

(ii) 当$n = 2m+1$时, 由(4.21)式得

所以, 对于任意的$n\geq4$都有$h_n>1$, 即$p_n(C)<p_n(C_e)$.

综上可知, 对于任意的$n\geq3$都有$p_n(C)< p_n(C_e)$,

因此, 对于任意的$n\geq3$都有$p_n(C)\leq p_n(C)< p_n(C_e)$.定理3.6得证.

本文虽然仅讨论由三个线性子空间组成的线性子空间束与凸体相交的几何概率问题, 但却给出了一种求解此类问题的方法.比如, 可以进一步讨论由$h$个线性子空间组成的线性子空间束与凸体相交的几何概率问题.另外, 本文仅讨论了超平面束与特殊凸体相交时所得的几何概率的单调性、收敛性以及大小关系, 任意维的线性子空间束与一些特殊凸体相交的几何概率的性质并未讨论.这些问题有待于进一步研究.