本文主要考虑无阻尼不可压缩Oldroyd-B模型, 具有如下形式

其中矢量$u = (u_{1}, u_{2}, \cdot\cdot \cdot, u_{n})$是速度, 标量${p}$是流体的压力. $\tau = \tau_{i, j}$是应力张量的非牛顿部分, 这里可以看作是一个对称矩阵. $D(u) = \frac{1}{2} \big( \nabla u + (\nabla u)^{T} \big)$是$\nabla u$的对称部分, $F$是一个给定的双线性形式

$b$是属于$[-1, 1]$中的一个参数, $\Omega(u) = \frac{1}{2} \big( \nabla u - (\nabla u)^{T} \big)$是$\nabla u$的反对称部分.

上述Oldroyd-B模型呈现的是一个典型的不服从牛顿定律（流体的应力张量与速度梯度是线性关系）的本构关系, 这种非牛顿性质可能起源于某些流体的记忆性. 关于Oldroyd-B型粘弹性流体流动的公式最先是由Oldroyd引入^[16], 并在文献[2] 中得到了广泛的讨论. 在文献[14] 中, 可以找到方程(0.1) 的推导过程, 这里我们将不再阐述.

关于Oldroyd-B模型的数学理论已经取得了很多非常著名的结论^{[3-11, 13-16, 18-20]}. 本文中, 我们主要介绍无阻尼机制的不可压Oldroyd-B模型的一些重要结果. 事实上, 当忽略应力张量方程中的阻尼项时, 方程(0.1) 则简化为抛物线-双曲系统. 由于$\tau$的光滑效应较差, 从而导致我们很难直接建立方程的整体解. 幸运地是, 通过利用系统(0.1) 的良好结构, 能够建立一些关于$\tau$的隐藏耗散. 在这些分析的基础之上, Zhu^[19]通过构造时间加权能量建立了方程(0.1) 在${{\Bbb R}}^3$中的整体小解. Chen和Hao^[4]对此结论进行了推广, 建立了小初值情形下, 无阻尼的不可压Oldroyd-B模型(0.1) 在临界Besov空间中的整体适定性. 在文献[18] 中, 本人第二作者进一步将文献[4] 中的结果推广到允许高振荡初始速度的临界$L^p$型空间中.

记

这里$j_{0}$是一个大于等于$0$的正整数.

在文献[18] 中, 本人第二作者已经建立了如下定理.

定理 1.1^[18]   设$n\geq 2$, $2\leq p \leq \min(4, {2n}/({n-2}))$, 特别地, 当$n = 2$时, $p\not = 4$. 对任意$(u_0^\ell, \tau_0^\ell)\in \dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}({{\Bbb R}}^n)$, $u_0^h\in \dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}({{\Bbb R}}^n)$, $\tau_0^h\in \dot{B}_{p, 1}^{\frac np}({{\Bbb R}}^n)$且${\rm{div}}\; u_0 = 0$. 若存在正常数$c_0$, 使得

则对任意$T>0$, 系统(1.1) 拥有唯一整体解$(u, \tau)$

特别地, 存在常数$C = C(p, n)$使得

其中

由于关于$\tau$的方程中没有耗散, 所以经典的傅里叶分解技术将不再适用此种情况. 因此寻找能够准确描述方程(1.1) 解的大时间行为的方法是我们的主要目的. 事实上, 利用线性系统的谱分析可能是有效的, 结合文献[12, 17] 中所提及的新的能量方法, 我们建立了关于解的最优衰减速率. 考虑系统(1.1) 的线性部分, 不难发现$u$和${\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau$满足以下阻尼波动方程

因此, 我们只能期望得到$u$的衰减和${\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau$的衰减.

本文我们得到了如下的衰减结果.

定理 1.2   设$(u, \tau)$是定理1.1中陈述的关于系统(1.1) 的整体小解, 若初值满足$(u_0, \tau_0)\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n)(1-\frac n2<s<\frac np)$. 则对任意$p\leq q\leq\infty$, $\frac nq-\frac np-s<\alpha \leq\frac nq-1$, 有下列结论

注 1.1   特别地, 当$p = q = 2$, 结合不等式(1.2) 可得

这与线性部分的结论是一致的, 因此我们得到的衰减率在某种意义上来说是最优的.

本小节首先给出一些关于Littlewood-Paley理论的相关基本知识. 其次, 回顾了一些相关引理等.

定义 2.1   设$\varphi$是${{\Bbb R}}$上的一个光滑函数, 其支集包含在$[\frac34, \frac83]$中, 同时满足

对任意的$u\in{\cal S}'$ (缓增分布函数空间), 定义如下齐次Littlewood-Paley算子和低频截断

设$p\in[1, +\infty]$, $s\in{{\Bbb R}}$, $u\in{\cal S}'({{\Bbb R}}^n)$. 定义如下${\rm{Besov}}$范数

这里齐次${\rm{Besov}}$空间$\dot{B}_{p, 1}^s\stackrel{{\rm def}}{ = }\big\{u\in{\cal S}'_h({{\Bbb R}}^n), \big| \|u\|_{\dot{B}_{p, 1}^s}<\infty\big\}$, 其中$u\in {\cal S}'_h({{\Bbb R}}^n)$表示$u\in {\cal S}'({{\Bbb R}}^n)$且$\lim\limits_{j\to -\infty}\|\dot{S}_ju\|_{L^\infty} = 0$ (详细介绍可参见文献[1, 定义1.26]).

在本文中, 取固定整数$j_{0}$ (其值主要依赖与主定理的证明), 将$u$分解为低频和高频两个部分, 记作

下面我们主要陈述一些关于Besov空间的经典引理.

引理2.1   $\bullet$设$1\le p\le \infty$, $s_1, \ s_2\in {{\Bbb R}}$且$s_1>s_2$, 对任意$u\in\dot{B}^{s_1}_{p, 1}\cap\dot{B}^{s_2}_{p, 1}({{\Bbb R}}^n)$, 有如下结论

$\bullet$当$s_1\neq s_2$且$\theta\in(0, 1)$时, $\left[\dot{B}_{p, 1}^{s_1}, \dot{B}_{p, 1}^{s_2}\right]_{\theta} = \dot{B}_{p, 1}^{\theta s_1+(1-\theta)s_2}$.

$\bullet$对任意m阶$(m\in{{\Bbb Z}})$齐次光滑函数$A\in{{\Bbb R}}^n\backslash\{0\}$, 若$D\in\dot{B}^{s}_{p, 1}$, 则$A(D)\in\dot{B}^{s-m}_{p, 1}$.

下面我们继续定义Chemin-Lerner空间^[1], 这是对空间${L^\lambda_{T}(\dot{B}_{p, 1}^s({\mathbb R}^n))}$的细化.

定义 2.2   设$(\lambda, p) \in [1, +\infty]^2$, $T \in (0, +\infty]$. 定义${\widetilde{L}^\lambda_{T}(\dot{B}_{p, 1}^s({\mathbb R}^n))}$为$C([0, T ];{\cal S}({\mathbb R}^n))$的完备空间, 且其范数如下

下面关于Besov空间的估计对主定理的证明有着很重要的作用.

引理 2.2  ^[17]设$1\leq p, q\leq \infty$, $s_1\leq \frac{n}{q}$, $s_2\leq n\min\{\frac1p, \frac1q\}$, $s_1+s_2>n\max\{0, \frac1p +\frac1q -1\}$. 对任意$(u, v)\in\dot{B}_{q, 1}^{s_1}({\mathbb R} ^n)\times\dot{B}_{p, 1}^{s_2}({\mathbb R} ^n)$, 则有如下结论

本小节主要利用文献[12, 17] 中的能量方法对定理1.2进行证明. 首先对系统(1.1) 关于$u$和$\tau$的两个方程作用投影算子${\mathbb P}$, 则可得

记

不难发现方程(3.1) 则化简为如下系统

上述系统(3.2) 类似于非线性可压缩的Navier-Stokes方程. 根据文献[18] 中第三部分的证明和文献[17] 中引理4.1及引理4.2的证明可得

这里我们省略了(3.3) 式的详细推导过程.

另一方面, 结合定理1.1的结论(参见文献[18]), 可得

故(3.3) 式化简为

在(3.5) 式的基础上, 我们想要利用插值不等式建立一个Lyapunov型不等式. 结合(3.4) 式和引理2.1, 对于$u$的高频部分, 对任意$\beta>1$显然能够得到

因此, 建立Lyapunov型不等式, 只需要控制$\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}$和$\big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}\big)^{\eta}(\eta>1)$即可. 这个过程可以从插值不等式中得到, 这意味着我们必须提供一个低阶估计, 例如: $\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}(-s<\frac n2-1)$. 然而, 只有应力张量$( {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau)$的不可压缩部分具有耗散, 而整个$\tau$本身是没有耗散的. 因此, 在耦合项$u\cdot \nabla \tau$和$F(\tau, \nabla u)$的限制下, 我们无法直接建立$\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}$的控制估计. 为了克服这个困难, 我们引入$\|(u, \tau)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}$并对其进行控制估计. 这里我们需要对初值给出更强的条件要求$(u_0, \tau_0)\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n)$而不是$(u_0, {\phi}_0)^\ell\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n).$

为了做到这一点, 对系统(1.1) 的前两个方程作用$\dot{\Delta}_j$算子, 则其满足下列方程

将上述方程分别与$\dot{\Delta}_ju, \dot{\Delta}_j\tau$在${{\Bbb R}}^n$中做$L^2$内积, 结合如下事实

则可获得估计式

进一步上式可化简为

对(3.7) 式关于时间在$[0, t]$上积分, 并同乘$2^{-js}$, 对$j\in{{\Bbb Z}}$求和可得

对任意$-\frac np\le s<\frac np$, 由本文引理2.2和文献[1] 中的引理2.100, (3.8) 式右手边的非线性项有如下控制估计

将上述两估计式代入(3.8) 式可得

结合定理1.1中${\mathcal X}(t)$的定义不难推出

因此, 对任意$-\frac np\le s<\frac np$, $t \ge 0$, 采用Gronwall不等式处理(3.9) 式可得

这里$C_0 > 0$是依赖于$\|(u_0, \tau_0)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}$和${\mathcal X}_0$的常数.

当$s>1-\frac n2$时, 利用引理2.1中的Besov插值不等式可得

结合(3.10) 式, 上式可化简为

令(3.6) 式中的$\beta = {\frac{1}{1-\theta_{1}}}>1$, 有

将(3.11) 式和(3.12) 式代入(3.5) 式估计可得

直接求解这个微分不等式, 可得

此外, 利用引理2.1, 进一步可得

对任意$\frac np-\frac n2-s<\gamma<\frac np-1,$利用插值不等式有

将(3.10) 式与(3.13) 式相结合, 则有

根据$\gamma$的范围$\frac np-\frac n2-s<\gamma<\frac np-1,$发现

结合上式和(3.14) 式, 可得如下控制

结合嵌入关系$\dot{B}^{0}_{p, 1}({{\Bbb R}}^n)\hookrightarrow L^p({{\Bbb R}}^n)$, 可导出

对任意$p\leq q\leq\infty$, $\frac nq-\frac np-s<\alpha \leq\frac nq-1$, 采用Gagliardo-Nirenberg型插值不等式(参见文献[1, 第2章]), 令

即可获得

定理1.2证毕.