本文主要考虑无阻尼不可压缩Oldroyd-B模型, 具有如下形式

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} &\partial_t\tau + u\cdot \nabla \tau + F(\tau, \nabla u) = D (u), \\ &\partial_t u+ u\cdot\nabla u-\Delta u+\nabla{p} = {\rm{div}}\; \tau, \\ &{\rm{div}}\; u = 0, \\ &(u, \tau)|_{t = 0} = (u_0, \tau_0), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中矢量$ u = (u_{1}, u_{2}, \cdot\cdot \cdot, u_{n}) $是速度, 标量$ {p} $是流体的压力. $ \tau = \tau_{i, j} $是应力张量的非牛顿部分, 这里可以看作是一个对称矩阵. $ D(u) = \frac{1}{2} \big( \nabla u + (\nabla u)^{T} \big) $是$ \nabla u $的对称部分, $ F $是一个给定的双线性形式

$ F(\tau, \nabla u) = \tau \Omega(u) - \Omega(u) \tau + b(D(u) \tau + \tau D(u)), $

$ b $是属于$ [-1, 1] $中的一个参数, $ \Omega(u) = \frac{1}{2} \big( \nabla u - (\nabla u)^{T} \big) $是$ \nabla u $的反对称部分.

上述Oldroyd-B模型呈现的是一个典型的不服从牛顿定律（流体的应力张量与速度梯度是线性关系）的本构关系, 这种非牛顿性质可能起源于某些流体的记忆性. 关于Oldroyd-B型粘弹性流体流动的公式最先是由Oldroyd引入^[16], 并在文献[2] 中得到了广泛的讨论. 在文献[14] 中, 可以找到方程(0.1) 的推导过程, 这里我们将不再阐述.

关于Oldroyd-B模型的数学理论已经取得了很多非常著名的结论^{[3-11, 13-16, 18-20]}. 本文中, 我们主要介绍无阻尼机制的不可压Oldroyd-B模型的一些重要结果. 事实上, 当忽略应力张量方程中的阻尼项时, 方程(0.1) 则简化为抛物线-双曲系统. 由于$ \tau $的光滑效应较差, 从而导致我们很难直接建立方程的整体解. 幸运地是, 通过利用系统(0.1) 的良好结构, 能够建立一些关于$ \tau $的隐藏耗散. 在这些分析的基础之上, Zhu^[19]通过构造时间加权能量建立了方程(0.1) 在$ {{\Bbb R}}^3 $中的整体小解. Chen和Hao^[4]对此结论进行了推广, 建立了小初值情形下, 无阻尼的不可压Oldroyd-B模型(0.1) 在临界Besov空间中的整体适定性. 在文献[18] 中, 本人第二作者进一步将文献[4] 中的结果推广到允许高振荡初始速度的临界$ L^p $型空间中.

记

$ {\mathbb P} = {\cal I}-{\cal Q}\stackrel{{\rm def}}{ = }{\cal I}-\nabla\Delta^{-1}{\rm{div}}\;;\quad f^\ell\stackrel{{\rm def}}{ = }\dot{S}_{j_0+1}f;\quad f^h\stackrel{{\rm def}}{ = }f-f^\ell; $

这里$ j_{0} $是一个大于等于$ 0 $的正整数.

在文献[18] 中, 本人第二作者已经建立了如下定理.

定理 1.1^[18]   设$ n\geq 2 $, $ 2\leq p \leq \min(4, {2n}/({n-2})) $, 特别地, 当$ n = 2 $时, $ p\not = 4 $. 对任意$ (u_0^\ell, \tau_0^\ell)\in \dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}({{\Bbb R}}^n) $, $ u_0^h\in \dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}({{\Bbb R}}^n) $, $ \tau_0^h\in \dot{B}_{p, 1}^{\frac np}({{\Bbb R}}^n) $且$ {\rm{div}}\; u_0 = 0 $. 若存在正常数$ c_0 $, 使得

$ {\mathcal X}_{0} \stackrel{{\rm def}}{ = }\|(u_0, \tau_0)\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac {n}{2}-1}}+ \|u_0\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|\tau_0\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\leq c_0, $

则对任意$ T>0 $, 系统(1.1) 拥有唯一整体解$ (u, \tau) $

$ u^\ell\in C_b([0, T );{\dot{B}}_{2, 1}^{\frac {n}{2}-1}({{\Bbb R}}^n))\cap L^{1} ([0, T];{\dot{B}}_{2, 1}^{\frac n2+1}({{\Bbb R}}^n)), $

$ \tau^\ell\in C_b([0, T );\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}({{\Bbb R}}^n)), \quad(\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau)^\ell\in L^{1} ([0, T];{\dot{B}}_{2, 1}^{\frac n2+1}({{\Bbb R}}^n)), $

$ u^h\in C_b([0, T );{\dot{B}}_{p, 1}^{\frac {n}{p}-1}({{\Bbb R}}^n))\cap L^{1} ([0, T];{\dot{B}}_{p, 1}^{\frac np+1}({{\Bbb R}}^n)), $

$ \tau^h\in C_b([0, T );\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}({{\Bbb R}}^n)), \quad (\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau)^h\in L^{1} ([0, T];{\dot{B}}_{p, 1}^{\frac np}({{\Bbb R}}^n)). $

特别地, 存在常数$ C = C(p, n) $使得

$ {\mathcal X}(t)\leq C {\mathcal X}_{0}, $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&{\mathcal X}(t)\stackrel{{\rm def}}{ = }\|(u, \tau)\|^\ell_{\widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}_{2, 1}^{\frac{n}{2}-1})} +\|u\|^h_{\widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{n}{p}-1})} +\|\tau\|^h_{\widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{n}{p}})}+\|u\|^h_{L^1_t(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{n}{p}+1})} \\ &&{\qquad}{\qquad}+\|(u, (\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau))\|^\ell_{L^1_t(\dot{B}_{2, 1}^{\frac{n}{2}+1})}+\|\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau\|^h_{L^1_t(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{n}{p}})}. \end{eqnarray*} $

由于关于$ \tau $的方程中没有耗散, 所以经典的傅里叶分解技术将不再适用此种情况. 因此寻找能够准确描述方程(1.1) 解的大时间行为的方法是我们的主要目的. 事实上, 利用线性系统的谱分析可能是有效的, 结合文献[12, 17] 中所提及的新的能量方法, 我们建立了关于解的最优衰减速率. 考虑系统(1.1) 的线性部分, 不难发现$ u $和$ {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau $满足以下阻尼波动方程

$ W_{tt}-\Delta W_{t}-\frac12\Delta W = 0. $

因此, 我们只能期望得到$ u $的衰减和$ {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau $的衰减.

本文我们得到了如下的衰减结果.

定理 1.2   设$ (u, \tau) $是定理1.1中陈述的关于系统(1.1) 的整体小解, 若初值满足$ (u_0, \tau_0)\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n)(1-\frac n2<s<\frac np) $. 则对任意$ p\leq q\leq\infty $, $ \frac nq-\frac np-s<\alpha \leq\frac nq-1 $, 有下列结论

(1.2) $ \begin{eqnarray} \big\|\Lambda^{\alpha}(u, \Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau)\big\|_{L^{q}} \le C (1+t)^{-\frac n4-\frac {(\alpha+s)q-n}{2q}}. \end{eqnarray} $

注 1.1   特别地, 当$ p = q = 2 $, 结合不等式(1.2) 可得

$ \begin{eqnarray*} \big\|\Lambda^{\alpha}(u, \Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau)\big\|_{L^{2}} \le C (1+t)^{-\frac s2-\frac {\alpha}{2}}, \end{eqnarray*} $

这与线性部分的结论是一致的, 因此我们得到的衰减率在某种意义上来说是最优的.

本小节首先给出一些关于Littlewood-Paley理论的相关基本知识. 其次, 回顾了一些相关引理等.

定义 2.1   设$ \varphi $是$ {{\Bbb R}} $上的一个光滑函数, 其支集包含在$ [\frac34, \frac83] $中, 同时满足

$ \forall \tau>0\, , \ \sum\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}\varphi(2^{-j}\tau) = 1, \quad \chi(\tau)\stackrel{{\rm def}}{ = } 1 - \sum\limits_{j\geq 0}\varphi(2^{-j}\tau) \in {\mathcal D}([0, 4/3]). $

对任意的$ u\in{\cal S}' $ (缓增分布函数空间), 定义如下齐次Littlewood-Paley算子和低频截断

$ {\dot \Delta_j} u = {\mathcal F}^{-1}(\varphi(2^{-j}|\xi|)\widehat{u}); $

$ \dot{S}_ju = {\mathcal F}^{-1}(\chi(2^{-j}|\xi|)\widehat{u}). $

设$ p\in[1, +\infty] $, $ s\in{{\Bbb R}} $, $ u\in{\cal S}'({{\Bbb R}}^n) $. 定义如下$ {\rm{Besov}} $范数

$ \|u\|_{{\dot{B}^s_{p, 1}}}\stackrel{{\rm def}}{ = }\big\|\big(2^{js}\|{\dot \Delta_j} u\|_{L^{p}}\big)_j\bigr\|_{\ell ^{1}({\mathop{\mathbb Z\kern 0pt}\nolimits})}, $

这里齐次$ {\rm{Besov}} $空间$ \dot{B}_{p, 1}^s\stackrel{{\rm def}}{ = }\big\{u\in{\cal S}'_h({{\Bbb R}}^n), \big| \|u\|_{\dot{B}_{p, 1}^s}<\infty\big\} $, 其中$ u\in {\cal S}'_h({{\Bbb R}}^n) $表示$ u\in {\cal S}'({{\Bbb R}}^n) $且$ \lim\limits_{j\to -\infty}\|\dot{S}_ju\|_{L^\infty} = 0 $ (详细介绍可参见文献[1, 定义1.26]).

在本文中, 取固定整数$ j_{0} $ (其值主要依赖与主定理的证明), 将$ u $分解为低频和高频两个部分, 记作

$ \left\| u\right\| _{\dot{B}_{p, 1}^{s}}^{\ell} \stackrel{{\rm def}}{ = } \sum\limits_{j\leq j_{0}}2^{js}\| \dot{\Delta}_{j}u\|_{L^{p}} \ \ \rm{和} \ \ \|u\|_{\dot{B}_{p, 1}^{s}}^{h}\stackrel{{\rm def}}{ = } \sum\limits_{j\geq j_{0}-1}2^{js}\| \dot{\Delta}_{j}u\| _{L^{p}}. $

下面我们主要陈述一些关于Besov空间的经典引理.

引理2.1   $ \bullet $设$ 1\le p\le \infty $, $ s_1, \ s_2\in {{\Bbb R}} $且$ s_1>s_2 $, 对任意$ u\in\dot{B}^{s_1}_{p, 1}\cap\dot{B}^{s_2}_{p, 1}({{\Bbb R}}^n) $, 有如下结论

$ \|u^\ell\|_{\dot{B}^{s_1}_{p, 1}}\le C\| u^\ell\|_{\dot{B}^{s_2}_{p, 1}}, \quad \|u^h\|_{\dot{B}^{s_2}_{p, 1}}\le C\| u^h\|_{\dot{B}^{s_1}_{p, 1}}. $

$ \bullet $当$ s_1\neq s_2 $且$ \theta\in(0, 1) $时, $ \left[\dot{B}_{p, 1}^{s_1}, \dot{B}_{p, 1}^{s_2}\right]_{\theta} = \dot{B}_{p, 1}^{\theta s_1+(1-\theta)s_2} $.

$ \bullet $对任意m阶$ (m\in{{\Bbb Z}}) $齐次光滑函数$ A\in{{\Bbb R}}^n\backslash\{0\} $, 若$ D\in\dot{B}^{s}_{p, 1} $, 则$ A(D)\in\dot{B}^{s-m}_{p, 1} $.

下面我们继续定义Chemin-Lerner空间^[1], 这是对空间$ {L^\lambda_{T}(\dot{B}_{p, 1}^s({\mathbb R}^n))} $的细化.

定义 2.2   设$ (\lambda, p) \in [1, +\infty]^2 $, $ T \in (0, +\infty] $. 定义$ {\widetilde{L}^\lambda_{T}(\dot{B}_{p, 1}^s({\mathbb R}^n))} $为$ C([0, T ];{\cal S}({\mathbb R}^n)) $的完备空间, 且其范数如下

$ \|f\|_{\widetilde{L}^\lambda_{T}(\dot{B}_{p, 1}^s)} = \sum\limits_{j\in {\mathbb Z}}2^{js} \bigg(\int_0^T\|\dot{\Delta}_jf(t)\|_{L^p}^\lambda {\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{\lambda}}<\infty. $

下面关于Besov空间的估计对主定理的证明有着很重要的作用.

引理 2.2  ^[17]设$ 1\leq p, q\leq \infty $, $ s_1\leq \frac{n}{q} $, $ s_2\leq n\min\{\frac1p, \frac1q\} $, $ s_1+s_2>n\max\{0, \frac1p +\frac1q -1\} $. 对任意$ (u, v)\in\dot{B}_{q, 1}^{s_1}({\mathbb R} ^n)\times\dot{B}_{p, 1}^{s_2}({\mathbb R} ^n) $, 则有如下结论

$ \|uv\|_{\dot{B}_{p, 1}^{s_1+s_2 -\frac{n}{q}}}\le C \|u\|_{\dot{B}_{q, 1}^{s_1}}\|v\|_{\dot{B}_{p, 1}^{s_2}}. $

本小节主要利用文献[12, 17] 中的能量方法对定理1.2进行证明. 首先对系统(1.1) 关于$ u $和$ \tau $的两个方程作用投影算子$ {\mathbb P} $, 则可得

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + {\mathbb P} (u\cdot \nabla u)-\Delta u- {\mathbb P} {\rm{div}}\; \tau = 0, \\ \partial_t {\mathbb P} {\rm{div}}\; \tau+ {\mathbb P} {\rm{div}}\;(u\cdot \nabla \tau) -\Delta u+ {\mathbb P} {\rm{div}}\;(F(\tau, \nabla u)) = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

记

$ {\phi}\stackrel{{\rm def}}{ = }\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau, \quad \hbox{其中}\quad\Lambda\stackrel{{\rm def}}{ = }\sqrt{-\Delta}. $

不难发现方程(3.1) 则化简为如下系统

(3.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \partial_t u + u\cdot \nabla u-\Delta u-\Lambda {\phi} = -[ {\mathbb P} , u\cdot \nabla] u, \\ \partial_t {\phi}+ u\cdot \nabla{\phi}+\Lambda u = - [\Lambda^{-1} {\mathbb P}{\rm{div}}\;, u\cdot \nabla ]\tau-\Lambda^{-1} {\mathbb P} {\rm{div}}\;(F(\tau, \nabla u)) . \end{array}\right. \end{eqnarray} $

上述系统(3.2) 类似于非线性可压缩的Navier-Stokes方程. 根据文献[18] 中第三部分的证明和文献[17] 中引理4.1及引理4.2的证明可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big) +\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}} + \|u\|^h_{\dot B^{\frac np+1}_{p, 1}}+ \|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}} \\ &\le &C\big(\|(u, \tau)\|^\ell_{\dot B^{\frac n2-1}_{2, 1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|\tau\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\big)\big(\| (u, {\phi})\|^\ell_{\dot B^{\frac n2+1}_{2, 1}} +\|u\|^h_{\dot B^{\frac np+1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big). \end{eqnarray} $

这里我们省略了(3.3) 式的详细推导过程.

另一方面, 结合定理1.1的结论(参见文献[18]), 可得

(3.4) $ \begin{equation} \|(u, \tau)\|^\ell_{\dot B^{\frac n2-1}_{2, 1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|\tau\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}} \le {\mathcal X}(t)\le{\cal X}_{0}\ll 1, \quad \forall t\geq0. \end{equation} $

故(3.3) 式化简为

(3.5) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big) +\frac12\big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}} + \|u\|^h_{\dot B^{\frac np+1}_{p, 1}}+ \|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big)\le 0. \end{equation} $

在(3.5) 式的基础上, 我们想要利用插值不等式建立一个Lyapunov型不等式. 结合(3.4) 式和引理2.1, 对于$ u $的高频部分, 对任意$ \beta>1 $显然能够得到

(3.6) $ \begin{eqnarray} \|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}}\ge C\big(\|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}}\big)^{\beta}, \quad\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\ge C\big(\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\big)^{\beta}. \end{eqnarray} $

因此, 建立Lyapunov型不等式, 只需要控制$ \|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}} $和$ \big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}\big)^{\eta}(\eta>1) $即可. 这个过程可以从插值不等式中得到, 这意味着我们必须提供一个低阶估计, 例如: $ \|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}(-s<\frac n2-1) $. 然而, 只有应力张量$ ( {\mathbb P}{\rm{div}}\;\tau) $的不可压缩部分具有耗散, 而整个$ \tau $本身是没有耗散的. 因此, 在耦合项$ u\cdot \nabla \tau $和$ F(\tau, \nabla u) $的限制下, 我们无法直接建立$ \|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}} $的控制估计. 为了克服这个困难, 我们引入$ \|(u, \tau)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}} $并对其进行控制估计. 这里我们需要对初值给出更强的条件要求$ (u_0, \tau_0)\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n) $而不是$ (u_0, {\phi}_0)^\ell\in{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}({{\Bbb R}}^n). $

为了做到这一点, 对系统(1.1) 的前两个方程作用$ \dot{\Delta}_j $算子, 则其满足下列方程

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} &\partial_t \dot{\Delta}_ju+ u\cdot\nabla \dot{\Delta}_ju+{\dot \Delta_j}\nabla{p}-\Delta \dot{\Delta}_ju-\dot{\Delta}_j{\rm{div}}\; \tau = [u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j]u, \nonumber\\ & \partial_t \dot{\Delta}_j\tau+ u\cdot \nabla \dot{\Delta}_j\tau +\dot{\Delta}_j F(\tau, \nabla u) - \dot{\Delta}_jD (u) = [u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j]\tau. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

将上述方程分别与$ \dot{\Delta}_ju, \dot{\Delta}_j\tau $在$ {{\Bbb R}}^n $中做$ L^2 $内积, 结合如下事实

$ \int_{{{\Bbb R}}^n}\dot{\Delta}_j{\rm{div}}\; \tau\cdot \dot{\Delta}_ju\ {\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}}^n} \dot{\Delta}_jD (u)\cdot \dot{\Delta}_j\tau \ {\rm d}x = 0, $

$ \int_{{{\Bbb R}}^n} u\cdot\nabla \dot{\Delta}_ju\cdot\dot{\Delta}_ju\ {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^n} \dot{\Delta}_j\nabla{p}\cdot\dot{\Delta}_ju\ {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^n} u\cdot\nabla \dot{\Delta}_j\tau\cdot\dot{\Delta}_j\tau\ {\rm d}x = 0, $

则可获得估计式

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\dot{\Delta}_ju\|_{L^2}^2+\|\dot{\Delta}_j\tau\|_{L^2}^2) &\le& C\|[u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j] u\|_{L^2}\|\dot{\Delta}_j u\|_{L^2} +C\|\dot{\Delta}_j F(\tau, \nabla u)\|_{L^2}\|\dot{\Delta}_j\tau\|_{L^2}\nonumber\\ &&+C\|[u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j] \tau\|_{L^2}\|\dot{\Delta}_j \tau\|_{L^2}, \end{eqnarray*} $

进一步上式可化简为

(3.7) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|(\dot{\Delta}_ju, \dot{\Delta}_j\tau)\|_{L^2} \le C\big(\|[u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j] u\|_{L^2} +\|[u\cdot\nabla, \dot{\Delta}_j] \tau\|_{L^2} +\|\dot{\Delta}_j F(\tau, \nabla u)\|_{L^2}\big). \end{eqnarray} $

对(3.7) 式关于时间在$ [0, t] $上积分, 并同乘$ 2^{-js} $, 对$ j\in{{\Bbb Z}} $求和可得

(3.8) $ \begin{eqnarray} \|(u, \tau)(t, \cdot)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}&\le&\|(u_0, \tau_0)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}+C\int_0^t\| F(\tau, \nabla u)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\ {\rm d}t'\\ &&+C\int_0^t(\sum\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}2^{-js}(\|[{\dot \Delta_j}, u\cdot\nabla] u\|_{L^2} +\|[{\dot \Delta_j}, u\cdot\nabla] \tau\|_{L^2}))\ {\rm d}t'. \end{eqnarray} $

对任意$ -\frac np\le s<\frac np $, 由本文引理2.2和文献[1] 中的引理2.100, (3.8) 式右手边的非线性项有如下控制估计

$ \begin{eqnarray*} \| F(\tau, \nabla u)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\le C\|\nabla u\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\|\tau\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}} &\le& C(\| u\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}+\| u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}})\|\tau\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}, \nonumber\\ \sum\limits_{j\in{{\Bbb Z}}}2^{-js}(\|[{\dot \Delta_j}, u\cdot\nabla] u\|_{L^2} +\|[{\dot \Delta_j}, u\cdot\nabla] \tau\|_{L^2}) &\le& C\|\nabla u\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\|u\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}+\|\nabla u\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\|\tau\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\nonumber\\ &\le& C(\| u\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}+\| u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}})\|(u, \tau)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}. \end{eqnarray*} $

将上述两估计式代入(3.8) 式可得

(3.9) $ \begin{eqnarray} \|(u, \tau)(t, \cdot)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\le\|(u_0, \tau_0)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}} +C\int_0^t(\| u\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}+\| u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}})\|(u, \tau)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\ {\rm d}t'. \end{eqnarray} $

结合定理1.1中$ {\mathcal X}(t) $的定义不难推出

$ \int_0^t(\| u\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}+\| u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}})\ {\rm d}t'\le{\mathcal X}_0. $

因此, 对任意$ -\frac np\le s<\frac np $, $ t \ge 0 $, 采用Gronwall不等式处理(3.9) 式可得

(3.10) $ \begin{eqnarray} \|(u, \tau)(t, \cdot)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\le C_0, \end{eqnarray} $

这里$ C_0 > 0 $是依赖于$ \|(u_0, \tau_0)\|_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}} $和$ {\mathcal X}_0 $的常数.

当$ s>1-\frac n2 $时, 利用引理2.1中的Besov插值不等式可得

$ \begin{eqnarray*} \|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}} &\le& C \big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\big)^{\theta_{1}}\big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}\big)^{1-\theta_{1}}\nonumber\\ &\le&C\big(\|( u, \tau)\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\big)^{\theta_{1}}\big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}\big)^{1-\theta_{1}}, \quad \theta_1 = \frac{4}{n+2s+2}\in(0, 1), \end{eqnarray*} $

结合(3.10) 式, 上式可化简为

(3.11) $ \begin{eqnarray} \|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2+1}}\ge C\big(\|( u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}\big)^{\frac{1}{1-\theta_{1}}}. \end{eqnarray} $

令(3.6) 式中的$ \beta = {\frac{1}{1-\theta_{1}}}>1 $, 有

(3.12) $ \begin{eqnarray} \|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np+1}}\ge C\big(\|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}}\big)^{\frac{1}{1-\theta_{1}}}, \quad\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\ge C\big(\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}}\big)^{\frac{1}{1-\theta_{1}}}. \end{eqnarray} $

将(3.11) 式和(3.12) 式代入(3.5) 式估计可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big)+\bar{c}\big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}}\big)^{\frac{ n+2s+2}{ n+2s-2}}\le 0. \end{eqnarray*} $

直接求解这个微分不等式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot B^{\frac np-1}_{p, 1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot B^{\frac np}_{p, 1}} &\le&C ({\mathcal X}_0^{-\frac{4}{n+2s-2}}+\frac{4\bar{c}}{n+2s-2}t)^{-\frac{n+2s-2}{4}}\\ &\le& C(1+t)^{-\frac{n+2s-2}{4}}. \end{eqnarray*} $

此外, 利用引理2.1, 进一步可得

(3.13) $ \begin{eqnarray} \|(u, {\phi})\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}}\le C(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}+\|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}})\le C(1+t)^{-\frac{n+2s-2}{4}}. \end{eqnarray} $

对任意$ \frac np-\frac n2-s<\gamma<\frac np-1, $利用插值不等式有

$ \begin{eqnarray*} \|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}} &\le& C\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\gamma+\frac n2-\frac np}}\\ &\le&C\big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{-s}}\big)^{\theta_{2}} \big(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{2, 1}^{\frac n2-1}}\big)^{1-\theta_{2}}, \quad \theta_{2} = \frac{\frac np -1-\gamma}{\frac n2-1+s}\in (0, 1), \end{eqnarray*} $

将(3.10) 式与(3.13) 式相结合, 则有

(3.14) $ \begin{eqnarray} \|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}} \le C(1+t)^{-\frac{(\frac n2+s-1)\theta_{2}}{2}} = C(1+t)^{-\frac{n}{2}(\frac 12-\frac 1p)-\frac{s+\gamma}{2}}. \end{eqnarray} $

根据$ \gamma $的范围$ \frac np-\frac n2-s<\gamma<\frac np-1, $发现

$ \|(u^h, {\phi}^h)\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}}\le C(\|u\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np-1}}+\|{\phi}\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac np}})\le C(1+t)^{-\frac{n+2s-2}{4}}, $

结合上式和(3.14) 式, 可得如下控制

$ \begin{eqnarray*} \|(u, {\phi})\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}} &\le&C(\|(u, {\phi})\|^\ell_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}}+\|(u, {\phi})\|^h_{\dot{B}_{p, 1}^{\gamma}})\nonumber\\ &\le& C(1+t)^{-\frac{n}{2}(\frac 12-\frac 1p)-\frac{s+\gamma}{2}}+C(1+t)^{-\frac{n+2s-2}{4}}\nonumber\\ &\le& C(1+t)^{-\frac{n}{2}(\frac 12-\frac 1p)-\frac{s+\gamma}{2}}. \end{eqnarray*} $

结合嵌入关系$ \dot{B}^{0}_{p, 1}({{\Bbb R}}^n)\hookrightarrow L^p({{\Bbb R}}^n) $, 可导出

$ \|\Lambda^{\gamma} (u, {\phi})\|_{L^p} \le C(1+t)^{-\frac{n}{2}(\frac 12-\frac 1p)-\frac{s+\gamma}{2}}. $

对任意$ p\leq q\leq\infty $, $ \frac nq-\frac np-s<\alpha \leq\frac nq-1 $, 采用Gagliardo-Nirenberg型插值不等式(参见文献[1, 第2章]), 令

$ k\theta_{3}+m(1-\theta_{3}) = \alpha+n\Bigl(\frac1p-\frac1q\Bigr), \quad m = \frac np-1, $

即可获得

$ \begin{eqnarray*} \|\Lambda^{\alpha}(u, {\phi})\|_{L^{q}}& \le &C\|\Lambda^{m}(u, {\phi})\|_{L^p}^{1-\theta_{3}}\|\Lambda^{k}(u, {\phi})\|^{\theta_{3}}_{L^p} \nonumber\\ & \le & C\Big\{(1+t)^{-\frac n2(\frac 12-\frac 1p)-\frac{m+s}{2}}\Big\}^{1-\theta_{3}} \Big\{(1+t)^{-\frac n2(\frac 12-\frac 1p)-\frac{k+s}{2}}\Big\}^{\theta_{3}} \nonumber\\ & = & C(1+t)^{-\frac n2(\frac 12-\frac 1q)-\frac {\alpha+s}{2}}. \end{eqnarray*} $

定理1.2证毕.