令$ T>0 $, $ L>0 $, $ \Omega: = (0, L) $及$ \Omega_T: = \Omega\times (0, T) $. 本文考虑一类带有一阶导数项耦合的线性Korteweg-de Vires (KdV) 方程组

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t+ u_{xxx}+ \left(M_1(x)u\right)_{x}+k_1v_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ v_t+ v_{xxx}+\left(M_2(x)v\right)_{x}+k_2u_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ u(0, t) = g_1(t), \ u(L, t) = g_2(t), \ u_x(L, t) = g_3(t), &t\in (0, T), \\ v(0, t) = h_1(t), \ v(L, t) = h_2(t), \ v_x(L, t) = h_3(t), &t\in (0, T), \\ u(x, 0) = u_0(x), \quad v(x, 0) = v_0(x), &x\in\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中常数$ k_1 $, $ k_2\in {{\Bbb R}} $表示色散系数, 仅依赖于$ x\in\Omega $的输运系数$ M_1(x) $, $ M_2(x) $表示相应线性波的速度.

方程组(1.1) 可以看作是包含两个耦合长波的KdV方程组^[13]

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t+ \lambda_1u_{xxx}+ \alpha_1 u u_x+\delta u_x+k_1v_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ v_t+\lambda_2 v_{xxx}+\alpha_2 v v_x-\delta v_x+k_2u_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T \end{array}\right. \end{eqnarray} $

的线性化形式. 这个方程组是用以描述分层流体中两个长重力内波的强相互作用. 对于更多的物理细节, 参见文献[12, 16].

本文的目的是研究方程组(1.1) 中输运系数的反演问题. 更确切地说, 令$ \omega\subset \Omega $是$ \Omega $的一个适当子区域, $ t_0 $是某给定时刻, 本文希望通过下列测量数据

(1.3) $ \begin{eqnarray} v|_{\omega_T}\quad {\rm{及}}\quad (u, v)(x, t_0), \quad x\in\Omega, \ \ t_0 = \frac{T}{2} \end{eqnarray} $

来确定$ M_1(x) $和$ M_2(x) $.

注 1.1   实际上, 只要对势函数$ \varphi $作微小修改, 我们就可用满足$ 0<t^*_0<T $的任意时刻$ t^*_0 $替换$ t_0 = \frac{T}{2} $. 比如, 若选取势函数为$ \varphi(x, t) = \frac{e^{\lambda d(x)}-e^{2\lambda\|d\|_{C(\overline \Omega)}}}{(t-T_1)(T_2-t)} $, 其中$ 0\leq T_1<T_2\leq T $, 那么$ t_0 $就可以选为$ \frac{T_1+T_2}{2} $.

卡勒曼估计是证明反问题稳定性的重要工具, 其是一类与微分算子相关的带权能量估计. 卡勒曼估计有着许多重要应用, 如唯一延拓性问题^[29-30], 微分系统的控制理论及稳定化^{[17, 20, 31]}, 系数反演问题的稳定性^{[3-5, 21-23, 27, 32, 34-35]}等. 最近, 卡勒曼估计被应用于构造系数反演问题的全局收敛数值方法, 这在实际中有着非常重要的应用, 参见文献[24-25].

关于经典KdV方程的卡勒曼估计, 文献[9, 11, 15, 28] 中证明了不同边界条件下的卡勒曼估计. 文献[8] 中证明了一类更为精巧的依赖于色散系数的卡勒曼估计. 然后, 该卡勒曼估计被应用于讨论线性KdV方程的一致零控问题. 这些文章大部分都是研究单个KdV方程的边界控制. 因此所用的卡勒曼估计都与边界积分项相关. 文献[7] 证明了单个KdV方程在齐次边界$ u(0, t) = u(L, t) = u_x(L, t) = 0 $下带有局部积分项的卡勒曼估计. 另外, 文献[14] 中证明了一类随机KdV方程的卡勒曼估计.

涉及KdV方程的反问题的文章很少. 文献[1] 中得到了一类由边界数据确定主部项系数的反演问题的Lipschitz稳定性. 在更复杂的边界条件下, 文献[10]中证明了一个类似反问题的稳定性, 不同的是文中使用的是部分边界测量数据及某时刻的全空间测量数据. 最近, 文献[26] 中构造了一个Tikhonov正则化泛函的极小化问题来处理KdV方程的输运系数反问题. 作者证明了该Tikhonov泛函的Fréchet可导性以及Fréchet导数的Lipschitz连续性. 然而, 还没有文章研究过耦合KdV方程组的系数反演问题.

本文的主要目的是证明仅利用$ v $的内部测量数据同时反演两个输运系数$ M_1(x) $, $ M_2(x) $的Lipschitz稳定性. 为此, 我们不得不将$ u $和$ v $的卡勒曼估计结合起来, 然后应用方程之间的耦合消除$ u $的局部积分项. 因为方程组相互耦合的是一阶项, 为消去卡勒曼估计中$ u $的局部项, 我们需要得到一个包含局部项$ \int_{\varpi_T}|u_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t $的卡勒曼估计, 其中$ \varpi\subset\omega $, $ \varphi $是卡勒曼估计中的势函数. 然而, 由于缺乏$ u $在边界$ \partial\varpi $上的齐次Dirichlet边界条件, 我们无法得到下面的估计

$ \begin{eqnarray*} \int_{\varpi_T}\sigma_1|u|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\leq C\int_{\omega_T}\sigma_2|u_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t, \quad \varpi\subset\omega, \end{eqnarray*} $

其中$ \sigma_1 $和$ \sigma_2 $是适当的函数. 基于此, 我们转而研究$ (u_x, v_x) $满足的方程组的卡勒曼估计. 此方程组附加的是非齐次的Neumann边界条件. 更确切地说, 我们考虑下面$ (\xi, \eta) $满足的耦合KdV方程组

(1.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \xi_t+ \xi_{xxx}+(M_1(x)\xi)_x+k_1\eta_x = f_1, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \eta_t+ \eta_{xxx}+(M_2(x)\eta)_{x}+k_2\xi_x = f_2, &(x, t)\in \Omega_T, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

带有非齐次的Neumann边界条件

(1.5) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll}\xi(L, t) = 0, \ \xi_{xx}(0, t) = \theta_1(t), \ \xi_{xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \eta(L, t) = 0, \ \eta_{xx}(0, t) = \theta_2(t), \ \eta_{xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T).\end{array}\right. \end{eqnarray} $

为处理我们的反问题, 我们需要证明问题(1.4)–(1.5) 的卡勒曼估计. 值得注意的是, 涉及带有Neumann边界条件的KdV方程组的零控问题及反问题的文章较少. 据我们所知, 文献[6] 是讨论带有Neumann边界条件$ u_x(L, t) = u_{xx}(0, t) = u_{xx}(L, t) = 0 $的KdV方程的边界控制的唯一一篇文章.

现在我们给出定理1.1中所需的条件.

(A1)   $ \omega\subset\Omega $是含在$ \Omega $内端点$ x = L $的某个领域, 即$ \omega = (L_0, L) $, 其中$ 0<L_0<L $;

(A2)   $ (u, v), (\tilde u, \tilde v)\in C^{2}([0, T];W^{2, \infty}(\Omega))\cap C([0, T];H^4(\Omega)) $;

(A3)   存在充分小的正常数$ \epsilon_0 $, 使得$ M_2(x) = \tilde M_2(x) $, $ x\in(L-\epsilon_0, L) $.

注 1.2   在方程组(1.4)–(1.5) 的卡勒曼估计的证明中, 我们需要消除边界项$ \xi_x|_{x = L} $, $ \eta_x|_{x = L} $. 条件(A1) 是用于克服$ \xi_x, \eta_x $在$ x = L $处边界条件的缺失. 更确切地说, 我们将应用$ \omega $上的局部积分项及其他全局积分项来控制这些边界项.

注 1.3   条件(A2) 是关于$ u $和$ v $的先验界, 这可以通过提升$ g_1, g_2, g_3, h_1, h_2, h_3 $及初始数据$ u_0, v_0 $的光滑性而得到. 类似的条件在讨论微分方程系数反问题中是经常引入的.

注 1.4   条件(A3) 意味着我们事先已知$ M_2 $在边界$ x = L $处的先验信息, 其将被应用于消除$ u $在$ \omega $上的局部测量.

另外, 对于正常数$ a_i, b_i, c_i, d_i\ (i = 1, 2) $及充分小的常数$ \epsilon_1>0 $, 我们定义$ M_1 $, $ M_2 $的容许集$ {\cal M} $

$ \begin{eqnarray*} {\cal M} = \Big\{ M_1, M_2\in C^2(\overline\Omega): &&M_1(0) = a_1, \ M_1(L) = b_1, M_{1, x}(0) = c_1, \ M_{1, x}(L) = d_1, \\ &&M_2(0) = a_2, \ M_2(L) = b_2, M_{2, x}(0) = c_2, \ M_{2, x}(L) = d_2, \\ && |(u, v)[M_1, M_2](x, t_0)(x-x_0)|\geq \epsilon_1, \ x\in\Omega\Big\}, \end{eqnarray*} $

其中$ (u, v)[M_1, M_2] $是方程组(1.1) 对应于$ (M_1, M_2) $的解.

注 1.5   类似于文献[2, 33], 引入$ \epsilon_1>0 $是为了将一阶微分算子的卡勒曼估计应用于$ M_1 $和$ M_2 $, 详见引理4.1. 然而, 由于缺乏KdV方程的极值原理, 我们不知道如何附加适当的条件能够保证$ \epsilon_1 $的存在性.

现在我们给出本文的主要结果, 其为利用观测数据(1.3) 反演输运系数$ M_1, M_2 $的Lipschitz稳定性.

定理 1.1   设$ (M_1, M_2), (\tilde M_1, {\tilde M}_2)\in {\cal M} $, $ k_2\neq 0 $及条件(A1)–(A3) 成立. 则存在正常数$ C = C(x_0, \Omega, T, \epsilon_1, \|M_1\|_{C^2(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^2(\overline\Omega)}, k_1, k_2) $, 使得

(1.6) $ \begin{eqnarray} & &\|{ M}_1-{\tilde M}_1\|_{H^2(\Omega)}+\|{ M}_2-{\tilde M}_2\|_{H^2(\Omega)}\\ &\leq & C\|v-\tilde v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega))}+\|(u-\tilde u)(\cdot, t_0)\|_{H^4(\Omega)}+\|(v-\tilde v)(\cdot, t_0)\|_{H^4(\Omega)}, \end{eqnarray} $

其中$ (u, v) $和$ (\tilde u, \tilde v) $是方程组(1.1) 分别对应于$ (M_1, M_2) $和$ ({\tilde M}_1, \tilde M_2) $的两个解.

注 1.6   值得注意的是, 定理1.1中的稳定性没有用到$ u $在$ \omega_T $上的测量数据. 实际上, 我们将应用方程组的耦合关系消除$ u $在$ \omega_T $上的测量.

注 1.7   为了将KdV方程的解延拓至$ (-T, 0) $, 在文献[1] 中作者不得不引入对初始数据及输运系数的对称性假设, 即$ M_1(x) = M_1(L-x), M_2(x) = M_2(L-x) $及$ u_{0, xxx}(x) = u_{0, xxx}(L-x) $, $ v_{0, xxx}(x) = v_{0, xxx}(L-x) $, $ x\in\Omega $. 这意味着文献[1] 中仅仅确定了一半区间$ [0, \frac{L}{2}] $上的未知函数. 本文在附加$ t_0 $时刻的测量下消除了这种对称性假设.

本文的其余部分安排如下: 在第2节, 我们给出了耦合KdV方程组(1.1) 的解的适定性. 第3节证明这类耦合KdV方程组的仅包含一个局部积分项的卡勒曼估计. 最后, 在第4节中我们证明输运系数反演问题的Lipschitz稳定性, 即定理1.1.

本节我们将证明下面带有一阶项耦合的线性KdV方程组的解的适定性

(2.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t+ u_{xxx}+ \left(M_1(x)u\right)_{x}+k_1v_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ v_t+ v_{xxx}+\left(M_2(x)v\right)_{x}+k_2u_x = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ u(0, t) = g_1(t), \ u(L, t) = g_2(t), \ u_{x}(L, t) = g_3(t), &t\in (0, T), \\ v(0, t) = h_1(t), \ v(L, t) = h_2(t), \ v_{x}(L, t) = h_3(t), &t\in (0, T), \\ u(x, 0) = u_0(x), \ v(x, 0) = v_0(x), &x\in\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

首先, 我们引入函数变换将边界齐次化. 令

$ g(x, t) = \frac{g_1-g_2+g_3 L}{L^2}x^2-\frac{2g_1-2g_2+g_3L}{L}x+g_1(t), $

$ h(x, t) = \frac{h_1-h_2+h_3 L}{L^2}x^2-\frac{2h_1-2h_2+h_3L}{L}x+h_1(t) $

及

$ \begin{eqnarray*} \varrho(x, t) = u(x, t)-g(x, t), \quad \vartheta(x, t) = v(x, t)-h(x, t). \end{eqnarray*} $

那么方程组(2.1) 可变形为

(2.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \varrho_t+ \varrho_{xxx}+ \left(M_1(x)\varrho\right)_{x}+k_1\vartheta_x = F, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \vartheta_t+\vartheta_{xxx}+\left(M_2(x)\vartheta\right)_{x}+k_2\varrho_x = G, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \varrho(0, t) = \varrho(L, t) = \varrho_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \vartheta(0, t) = \vartheta(L, t) = \vartheta_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \varrho(x, 0) = \varrho_0(x), \quad \vartheta(x, 0) = \vartheta_0(x), &x\in\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} F(x, t) = -g_t(x, t)-(M_1(x)g(x, t))_x-k_1h_x(x, t), \\ G(x, t) = -h_t(x, t)-(M_2(x)h(x, t))_x-k_2g_x(x, t), \\ \varrho_0(x) = u_0(x)-g(x, 0), \quad \vartheta_0(x) = v_0(x)-h(x, 0).\end{array}\right. \end{eqnarray*} $

下面我们先证明方程组(2.2) 在适当的Sobolev空间中解的存在性和唯一性. 由此, 我们立刻可以推知方程组(2.1) 的适定性.

为简便计, 令

$ {{\cal X}}_T = \left(L^\infty(0, T;L^2(\Omega))\cap L^2(0, T;H^1(\Omega))\right)^2, $

其范数定义为

$ \begin{eqnarray*} \|(\varrho, \vartheta)\|_{{{\cal X}}_T} = \|\varrho\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}+\|\varrho\|_{L^2(0, T;H^1(\Omega))}+\|\vartheta\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}+\|\vartheta\|_{L^2(0, T;H^1(\Omega))}. \end{eqnarray*} $

引理 2.1   设$ M_1, M_2\in C^{1}(\overline\Omega) $, $ F, G\in L^2(\Omega_T) $及$ \varrho_0, \vartheta_0\in L^2(\Omega) $. 则方程组(2.2) 存在唯一解$ (\varrho, \vartheta)\in {{\cal X}}_T $, 且成立以下估计

(2.3) $ \begin{eqnarray} \|(\varrho, \vartheta)\|_{{{\cal X}}_T}\leq C\left(\|F\|_{L^2(\Omega_T)}+\|G\|_{L^2(\Omega_T)}+\|\varrho_0\|_{L^2(\Omega)}+\|\vartheta_0\|_{L^2(\Omega)}\right), \end{eqnarray} $

其中$ C $是依赖于$ \Omega, T, \|M_1\|_{C^{1}(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^{1}(\overline\Omega)} $及$ k_1, k_2 $的常数.

证  我们应用不动点方法证明方程组(2.2) 的解的存在性和唯一性. 为此, 定义函数集

$ \begin{eqnarray*} {{\cal B}}_{R} = \left\{(\hat \varrho, \hat \vartheta)\in {{\cal X}}_T:\ \|(\hat \varrho, \hat \vartheta)\|_{{{\cal X}}_T}\leq R, \ \hat \varrho(x, 0) = \varrho_0(x), \ \hat \vartheta(x, 0) = \vartheta_0(x)\right\}. \end{eqnarray*} $

令$ (\hat\varrho, \hat\vartheta)\in {{\cal B}}_R $. 考虑

(2.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \varrho_t+ \varrho_{xxx} = -\left(M_1(x)\hat\varrho\right)_{x}-k_1\hat\vartheta_x+F, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \vartheta_t+\vartheta_{xxx} = -(M_2(x)\hat\vartheta)_{x}-k_2\hat\varrho_x+G, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \varrho(0, t) = \varrho(L, t) = \varrho_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \vartheta(0, t) = \vartheta(L, t) = \vartheta_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \varrho(x, 0) = \varrho_0(x), \ \ \vartheta(x, 0) = \vartheta_0(x), &x\in\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

注意到算子$ {\cal A}[z]: = -z_{xxx} $及其伴随算子在$ D({\cal A}) = \{ z\in H^3(\Omega): \ z(0) = z(L) = z_x(L) = 0\} $上都是耗散的. 对于$ -\left(M_1(x)\hat\varrho\right)_{x}-k_1\hat\vartheta_x+F, -(M_2(x)\hat\vartheta)_{x}-k_2\hat\varrho_x+G\in L^2(\Omega_T) $及$ \varrho_0, \vartheta_0\in L^2(\Omega) $, 由标准的算子半群理论, 我们可得方程组(2.4) 存在唯一解$ (\varrho, \vartheta)\in \left(L^\infty(0, T;L^2(\Omega))\right)^2 $. 另外, 由标准的能量估计可知$ (\varrho, \vartheta)\in \left(L^2(0, T;H^1(\Omega))\right)^2 $, 于是$ (\varrho, \vartheta)\in {\cal X}_T $. 从而, 由(2.4) 式定义的解映射

(2.5) $ \begin{equation} S: {\cal B}_R\rightarrow {\cal X}_T, \quad (\hat \varrho, \hat \vartheta)\mapsto (\varrho, \vartheta) \end{equation} $

是有意义的.

现在我们证明当$ T $充分小时, $ S $是$ {\cal B}_R $到$ {\cal B}_R $的映到, 即

(2.6) $ \begin{eqnarray} \|(\varrho, \vartheta)\|_{{\cal X}_T}\leq R. \end{eqnarray} $

用$ (x+L)\varrho, (x+L)\vartheta $分别乘以$ \varrho $, $ \vartheta $的方程, 在$ \Omega_t: = \Omega\times(0, t) $上积分, 并利用Young不等式, 我们得到

(2.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\int_\Omega (x+L)\left(|\varrho(x, t)|^2+|\vartheta(x, t)|^2\right){\rm d}x+\frac{3}{2}\int_{\Omega_t}(|\varrho_x(x, s)|^2+|\vartheta_x(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s\\ & = &\frac{1}{2}\int_\Omega (x+L)\left(|\varrho_0(x)|^2+|\vartheta_0(x)|^2\right){\rm d}x-\frac{L}{2}\int_0^t (|\varrho_x(0, s)|^2+|\vartheta_x(0, s)|^2){\rm d}x\\ &&+\int_{\Omega_t}\left(M_1(x) \hat\varrho(x, s)+k_1 \hat\vartheta(x, s)\right)\left((x+L)\varrho_x(x, s)+\varrho(x, s)\right){\rm d}x{\rm d}s\\ &&+\int_{\Omega_t}\left(M_2(x)\hat\vartheta(x, s)+k_2 \hat\varrho(x, s)\right)\left((x+L)\vartheta_x(x, s)+\vartheta(x, s)\right){\rm d}x{\rm d}s\\ &&+\int_{\Omega_t}(x+L)(F(x, s)\varrho(x, s)+G(x, s)\vartheta(x, s)){\rm d}x{\rm d}s\\ &\leq & C\int_\Omega\left(|\varrho_0(x)|^2+|\vartheta_0(x)|^2\right){\rm d}x+\epsilon\int_{\Omega_t}(|\varrho_x(x, s)|^2+|\vartheta_x(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s\\ &&+C(\epsilon)\int_{\Omega_t}(|\hat \varrho(x, s)|^2+|\hat \vartheta(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s+C\int_{\Omega_t}\left(|F(x, s)|^2+|G(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s\\ &&+C\int_{\Omega_t} (x+L)\left(|\varrho(x, s)|^2+|\vartheta(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s, \end{eqnarray} $

其蕴含着当$ \epsilon $充分小时, 成立

(2.8) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega \left(|\varrho(x, t)|^2+|\vartheta(x, t)|^2\right){\rm d}x+\int_{\Omega_t}(|\varrho_x(x, s)|^2+|\vartheta_x(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s\\ &\leq& C\int_{\Omega_t} \left(|\varrho(x, s)|^2+|\vartheta(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s+C\int_\Omega\left(|\varrho_0(x)|^2+|\vartheta_0(x)|^2\right){\rm d}x\\ &&+C\int_{\Omega_t}(|\hat \varrho(x, s)|^2+|\hat \vartheta(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s+C\int_{\Omega_t}\left(|F(x, s)|^2+|G(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s. \end{eqnarray} $

进一步, 可得

(2.9) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega\left(|\varrho(x, t)|^2+|\vartheta(x, t)|^2\right){\rm d}x+\int_{\Omega_t}(|\varrho_x(x, s)|^2+|\vartheta_x(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s\\ &\leq & C\int_{\Omega_t}\left(|\varrho(x, s)|^2+|\vartheta(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s+CT\left(\|\hat \varrho\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}^2+\|\hat \vartheta\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}^2\right)\\ &&+C\left(\|\varrho_0\|^2_{L^2(\Omega)}+\|\vartheta_0\|^2_{L^2(\Omega)}+\|F\|^2_{L^2(\Omega_T)}+\|G\|^2_{L^2(\Omega_T)}\right), \quad t\in (0, T). \end{eqnarray} $

然后, 应用Gronwall不等式可得

(2.10) $ \begin{eqnarray} \|(\varrho, \vartheta)\|_{{\cal X}_T}\leq C\left(\|\varrho_0\|_{L^2(\Omega)}+\|\vartheta_0\|_{L^2(\Omega)}+\|F\|_{L^2(\Omega_T)}+\|G\|_{L^2(\Omega_T)}+T^{\frac{1}{2}}R\right)e^{CT}. \end{eqnarray} $

现在我们取

(2.11) $ \begin{eqnarray} R = 2C\left(\|\varrho_0\|_{L^2(\Omega)}+\|\vartheta_0\|_{L^2(\Omega)}+\|F\|_{L^2(\Omega_T)}+\|G\|_{L^2(\Omega_T)}\right), \end{eqnarray} $

则存在充分小的$ T_0 $, 使得(2.6) 式对于所有满足$ 0<T\leq T_0 $的$ T $成立.

另一方面, 设$ (\hat \varrho_1, \hat \vartheta_1), (\hat \varrho_2, \hat \vartheta_2)\in {\cal B}_R $, 定义$ (\varrho_1, \vartheta_1) = S(\hat \varrho_1, \hat \vartheta_1) $及$ (\varrho_2, \vartheta_2) = S(\hat \varrho_2, \hat \vartheta_2) $. 考虑

(2.12) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} (\varrho_1-\varrho_2)_t+ (\varrho_1-\varrho_2)_{xxx} = -\left(M_1(x)(\hat\varrho_1-\hat \varrho_2)\right)_{x}-k_1(\hat\vartheta_1-\hat\vartheta_2)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ (\vartheta_1-\vartheta_2)_t+ (\vartheta_1-\vartheta_2)_{xxx} = -(M_2(x)(\hat\vartheta_1-\hat\vartheta_2))_{x}-k_2(\hat\varrho_1-\hat\varrho_2)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ (\varrho_1-\varrho_2)(0, t) = (\varrho_1-\varrho_2)(L, t) = (\varrho_1-\varrho_2)_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ (\vartheta_1-\vartheta_2)(0, t) = (\vartheta_1-\vartheta_2)(L, t) = (\vartheta_1-\vartheta_2)_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ (\varrho_1-\varrho_2)(x, 0) = 0, \ \ (\vartheta_1-\vartheta_2)(x, 0) = 0, &x\in\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

类似于(2.9) 式的计算, 我们有

(2.13) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega \left(|(\varrho_1-\varrho_2)(x, t)|^2+|(\vartheta_1-\vartheta_2)(x, t)|^2\right){\rm d}x\\ &&+\int_{\Omega_t}(|(\varrho_1-\varrho_2)_x(x, s)|^2+|(\vartheta_1-\vartheta_2)_x(x, s)|^2){\rm d}x{\rm d}s\\ &\leq & C\int_{\Omega_t}\left(|(\varrho_1-\varrho_2)(x, s)|^2+|(\vartheta_1-\vartheta_2)(x, s)|^2\right){\rm d}x{\rm d}s\\ &&+CT\left(\|\hat \varrho_1-\hat \varrho_2\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}^2+\|\hat \vartheta_1-\hat \vartheta_2\|_{L^\infty(0, T;L^2(\Omega))}^2\right). \end{eqnarray} $

再次应用Gronwall不等式, 可得

(2.14) $ \begin{equation} \|(\varrho_1-\varrho_2, \vartheta_1-\vartheta_2)\|_{{\cal X}_T} \leq CT^{\frac{1}{2}}e^{CT} \|(\hat \varrho_1-\hat\varrho_2, \hat\vartheta_1-\hat\vartheta_2)\|_{{\cal X}_T} \leq \frac{1}{2}\|(\hat \varrho_1-\hat\varrho_2, \hat\vartheta_1-\hat\vartheta_2)\|_{{\cal X}_T} \end{equation} $

对于所有满足$ T\leq T_0 $的$ T $成立, 这里$ T_0 $满足$ CT_0^{\frac{1}{2}}e^{CT_0}\leq \frac{1}{2} $.

从而当$ T\leq T_0 $时, $ S $是$ {\cal B}_R $上的压缩映像. 由Banach不动点定理可得方程组(2.2) 存在唯一解$ (\varrho, \vartheta)\in {\cal X}_{T_0} $. 因为$ T_0 $仅仅依赖于$ \Omega, T, M_1, M_2 $和$ k_1, k_2 $, 而与$ F, G $和$ \varrho_0, \vartheta_0 $无关, 所以重复上述过程有限次, 对于任意的$ T $, 我们可以得到方程组(2.2) 在$ (0, T) $上存在唯一的全局解.

最后, 利用(2.8)式($ \varrho, \vartheta $替换$ \hat \varrho, \hat \vartheta $) 及Gronwall不等式可得(2.3)式. 证毕.

由引理2.1, 结合$ (\varrho, \vartheta) $与$ (u, v) $之间的联系, 我们即可得到方程组(2.1) 的解的适定性.

定理 2.2   设$ M_1, M_2\in C^{1}(\overline\Omega) $, $ g_1, g_2, g_3, h_1, h_2, h_3\in H^1(0, T) $及$ u_0, v_0\in L^2(\Omega) $. 则方程组(2.1) 存在唯一解$ (u, v)\in {\cal X}_T $, 且成立以下估计

(2.15) $ \begin{eqnarray} \|(u, v)\|_{{\cal X}_T}\leq &&C\left(\|g_1\|_{H^1(0, T)}+\|g_2\|_{H^1(0, T)}+\|g_3\|_{H^1(0, T)}+\|h_1\|_{H^1(0, T)}\right.\\ &&+\|h_2\|_{H^1(0, T)}+\|h_3\|_{H^1(0, T)}+\left.\|u_0\|_{L^2(\Omega)}+\|v_0\|_{L^2(\Omega)}\right), \end{eqnarray} $

其中$ C $是依赖于$ \Omega, T, \|M_1\|_{C^{1}(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^{1}(\overline\Omega)} $和$ k_1, k_2 $的常数.

考虑耦合KdV方程组

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} p_t+ p_{xxx}+(M_1(x)p)_x+k_1q_x = f_1, &(x, t)\in \Omega_T, \\ q_t+ q_{xxx}+(M_2(x)q)_{x}+k_2p_x = f_2, &(x, t)\in \Omega_T, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其满足边界条件

(3.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}p(0, t) = p(L, t) = p_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ q(0, t) = q(L, t) = q_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T).\end{array}\right. \end{equation} $

本节我们将证明方程组(3.1) 仅带有$ q $局部观测的卡勒曼估计. 这是证明我们反问题稳定性的关键步骤. 为了消除$ p $的局部积分项, 我们不得不转而研究$ (p_x, q_x) $满足的带有非齐次Neumann边界条件耦合KdV方程组的卡勒曼估计. 我们将结合$ p $的卡勒曼估计和$ (p_x, q_x) $的卡勒曼估计来证明我们需要的卡勒曼估计.

为构造我们的卡勒曼估计, 我们引入一些记号. 令$ d(x) = (x-x_0)^2 $, 其中$ x_0\in (-\infty, -\frac{1}{2}) $是某一固定点. 显然, 函数$ d $满足

$ d_x(0)>0, \quad d_x(L)>0\quad{\rm{和}}\quad d_x(x)>1, \quad x\in\Omega. $

选择这样的$ d $是为了处理Neumann边界条件带来的困难.

进一步, 我们定义

(3.3) $ \begin{equation} \varphi(x, t) = \frac{e^{\lambda d(x)}-e^{2\lambda\|d\|_{C(\overline{\Omega})}}}{t(T-t)}, \quad\phi(x, t) = \frac{e^{\lambda d(x)}}{t(T-t)}, \end{equation} $

其中$ \lambda $是一个充分大的正参数.

我们还需引入截断函数$ \rho_i\in C^2(\overline\Omega) $$ (1\leq i\leq 4) $满足$ 0\leq \rho_i(x)\leq 1 $, $ x\in\Omega $及

(3.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \rho_i(x) = 1, &x\in \omega^{(i)}, \\ \rho_i(x) = 0, &x\in \overline\Omega\setminus \omega^{(i+1)}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ \omega^{(i)}\subset \Omega $满足

$ \begin{eqnarray*} \omega^{(i)}\subset\omega^{(i+1)}, \quad \omega^{(4)}\subset(L-\epsilon_0, L), \quad\omega^{(5)} = \omega\quad {\rm{和}}\quad L\in \partial\omega^{(i)}, \ 1\leq i\leq 4. \end{eqnarray*} $

本节的主要结果是方程组(3.1)–(3.2) 的仅带有$ q $局部积分项的卡勒曼估计.

定理 3.1   设$ f_1, f_2\in H^1(Q_T) $满足$ f_1(L, t) = f_2(L, t) = 0 $, $ t\in (0, T) $及$ f_2(x, t) = 0 $, $ (x, t)\in(L-\epsilon_0, L)\times (0, T) $, 且$ M_1, M_2\in C^{2}(\overline\Omega) $, $ k_2\neq 0 $. 则存在正常数$ \lambda_0 = \lambda_0(x_0, \Omega, T, $$ \|M_1\|_{C^2(\overline\Omega)}, $$ \|M_2\|_{C^2(\overline\Omega)}, k_1, k_2) $, $ s_0 = s_0(\lambda, x_0, \Omega, T, $$ \|M_1\|_{C^2(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^2(\overline\Omega)}, k_1, k_2) $及$ C = C(\lambda, $$ x_0, \Omega, T, \|M_1\|_{C^2(\overline\Omega)}, $$ \|M_2\|_{C^2(\overline\Omega)} $, $ k_1, k_2) $, 使得

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&{{\cal I}}(p_x)+{{\cal I}}(q_x)+s{{\cal I}}(p)+s{{\cal I}}(q)+{\cal B} (p_x)|_{x = 0}+{\cal B} (q_x)|_{x = 0}\\ &\leq& C\int_{\Omega_T}s\phi(|f_1|^2+|f_{1, x}|^2+|f_2|^2+|f_{2, x}|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+Cs^{35}e^{Cs}\|q\|^2_{L^2(\omega_T)} \end{eqnarray} $

对于所有的$ \lambda\geq \lambda_0 $, $ s\geq s_0 $和所有满足(3.1)–(3.2) 的$ p, q\in L^2(0, T;H^3(\Omega)) $都成立, 其中

$ {{\cal I}}(p) = \int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|p_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|p|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t, $

$ {{\cal B}}(p) = \int_0^Ts^3\lambda^3\phi^3|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}t+\int_0^Ts^5\lambda^5\phi^5|p|^2e^{2s\varphi}{\rm d}t. $

本节研究满足非齐次Neumann边界条件

(3.6) $ \begin{eqnarray} y(L, t) = 0, \ y_{xx}(0, t) = \theta(t), \ y_{xx}(L, t) = 0, \quad t\in (0, T) \end{eqnarray} $

的KdV算子

(3.7) $ \begin{equation} {\cal L}[y]: = y_t+ y_{xxx}, \quad (x, t)\in\Omega_T \end{equation} $

的卡勒曼估计.

引理 3.2   设$ \theta\in L^2(0, T) $. 则存在正常数$ \lambda_1 = \lambda_1(x_0, \Omega, T) $, $ s_1 = s_1(\lambda, x_0, \Omega, T) $及$ C = C(x_0, \Omega, T) $, 使得

(3.8) $ \begin{eqnarray} {{\cal I}}(y)+{{\cal B}}(y)|_{x = 0} & \leq& C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi|{\cal L}[y]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C\int_0^T(s\lambda\phi|\theta|^2e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9|y|^2 e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \end{eqnarray} $

对于所有的$ \lambda\geq \lambda_1 $, $ s\geq s_1 $和所有满足(3.6)–(3.7) 式的$ y\in L^2(0, T;H^2(\Omega)) $都成立.

证  令

(3.9) $ \begin{equation} Y(x, t) = e^{s\varphi(x, t)}y(x, t), \quad (x, t)\in \Omega_T. \end{equation} $

直接计算$ {\cal L}[y] $, 可得

(3.10) $ \begin{equation} e^{s\varphi}{\cal L}[y]+{\mathcal R}[Y] = {\mathcal L}_1[Y]+{\mathcal L}_2[Y], \end{equation} $

其中

$ {\mathcal L}_1[Y] = -3s\varphi_xY_{xx}-3s\varphi_{xx}Y_x-s^3\varphi_x^3Y, $

$ {\mathcal L}_2[Y] = Y_t+Y_{xxx}+3s^2\varphi_x^2Y_x, $

$ {\mathcal R}[Y] = s(\varphi_t+\varphi_{xxx})Y-3s^2\varphi_x\varphi_{xx}Y. $

由$ \varphi $的定义, 显然可得

(3.11) $ \begin{equation} \varphi|_{t = 0} = \varphi|_{t = T} = 0. \end{equation} $

另外, 由(3.10) 式得

(3.12) $ \begin{equation} \|{\mathcal L}_1[Y]\|^2_{L^2(\Omega_T)}+\|{\mathcal L}_2[Y]\|^2_{L^2(\Omega_T)}+2({\cal L}_1[Y], {\cal L}_2[Y]) = \|e^{s\varphi}{\cal L}[y]+{\mathcal R}[Y]\|_{L^2(\Omega_T)}^2. \end{equation} $

记

(3.13) $ \begin{equation} ({\cal L}_1[Y], {\cal L}_2[Y]) = \sum\limits_{i = 1}^3\sum\limits_{j = 1}^3I_{ij}, \end{equation} $

其中$ I_{ij} $表示$ {\cal L}_1[Y] $中第$ i $项与$ {\cal L}_2[Y] $中第$ j $项之间的内积. 类似于文献[7], 应用分部积分公式, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&I_{11} = 3\int_{\Omega_T}s\varphi_{xx}Y_xY_t{\rm d}x{\rm d}t-\frac{3}{2}\int_{\Omega_T}s\varphi_{xt}|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t-3\int_0^T\left[s\varphi_xY_xY_t\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \\ &&I_{12} = \frac{3}{2}\int_{\Omega_T} s\varphi_{xx}|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t-\frac{3}{2}\int_{0}^T\left[s\varphi_x|Y_{xx}|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \\ &&I_{13} = \frac{27}{2}\int_{\Omega_T}s^3\varphi_x^2\varphi_{xx}|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t-\frac{9}{2}\int_{0}^T\left[s^3\varphi_x^3|Y_x|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t.\\ &&I_{21} = -3\int_{\Omega_T} s\varphi_{xx}Y_xY_t{\rm d}x{\rm d}t.\\ &&I_{22} = 3\int_{\Omega_T}s\varphi_{xx}|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t-\frac{3}{2}\int_{\Omega_T}s\varphi_{xxxx}|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t-3\int_{0}^T\left[s\varphi_{xx}Y_xY_{xx}\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ &&{\qquad}{\quad} +\frac{3}{2}\int_{0}^T\left[s\varphi_{xxx}|Y_x|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \\ &&I_{23} = -9\int_{\Omega_T}s^3\varphi_x^2\varphi_{xx}|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t. \\ &&I_{31} = \frac{3}{2}\int_{\Omega_T}s^3\varphi_x^2\varphi_{xt}|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t. \\ &&I_{32} = -\frac{9}{2}\int_{\Omega_T} s^3\varphi_x^2\varphi_{xx}|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t+\frac{3}{2}\int_{\Omega_T}s^3\left(\varphi_x^2\varphi_{xx}\right)_{xx}|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t\\ &&{\qquad}{\quad} -\int_{0}^T\left[s^3\varphi_{x}^3YY_{xx}\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t +\frac{1}{2}\int_{0}^T\left[s^3\varphi_{x}^3|Y_x|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ &&{\qquad}{\quad} +3\int_{0}^T\left[s^3\varphi_{x}^2\varphi_{xx}YY_x\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t -\frac{3}{2}\int_0^T\left[s^3\left(\varphi_x^2\varphi_{xx}\right)_x|Y|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \\ &&I_{33} = \frac{15}{2}\int_{\Omega_T}s^5\varphi_x^4\varphi_{xx}|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t-\frac{3}{2}\int_{0}^T\left[s^5\varphi_{x}^5|Y|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray*} $

我们将上述所有项分为三部分: $ L(Y) $, $ N(Y) $和$ B(Y) $, 即

(3.14) $ \begin{eqnarray} ({\cal L}_1[Y], {\cal L}_2[Y]) = L(Y)+N(Y)+B(Y), \end{eqnarray} $

其中

$ L(Y) = I^1_{12}+I_{13}^1+I_{22}^1+I_{23}+I_{32}^1+I_{33}^1, $

$ N(Y) = I_{11}^1+I_{11}^2+I_{21}+I_{22}^2+I_{31}+I_{32}^2, $

$ B(Y) = I_{11}^3+I_{12}^2+I_{13}^2+I_{22}^3+I_{22}^4+I_{32}^3+I_{32}^4+I_{32}^5+I_{32}^6+I_{33}^2, $

这里$ I_{ij}^k $是$ I_{ij} $表达式中的第$ k $项.

下面我们通过估计$ L(Y) $, $ N(Y) $和$ B(Y) $中的所有项来寻求$ ({\cal L}_1[Y], {\cal L}_2[Y]) $的正下界. 由$ \varphi $的定义得

(3.15) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} \varphi_x = \lambda d_x \phi, \quad \varphi_{xx} = \left(\lambda^2d_x^2+\lambda d_{xx}\right)\phi, \quad |\varphi_t|\leq Ce^{C\lambda}\phi^2, \\ |\varphi_{xxx}|+|\varphi_{xxxx}|\leq C\lambda^4\phi, \quad |\varphi_{xt}|\leq C\lambda\phi^2.\end{array}\right. \end{eqnarray} $

然后, 利用(3.15) 式和$ d_x>1 $, $ d_{xx}>0 $, 我们得到下面关于$ L(Y) $和$ N(Y) $的估计

(3.16) $ \begin{eqnarray} L(Y)& = &\frac{9}{2}\int_{\Omega_T}s\varphi_{xx}|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t+\frac{15}{2}\int_{\Omega_T}s^5\varphi_x^4\varphi_{xx}|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t\\ &\geq &\frac{9}{2}\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t+\frac{15}{2}\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray} $

及

(3.17) $ \begin{equation} N(Y)\geq -C\int_{{\Omega_T}}\left(s\lambda\phi^2|Y_x|^2+s^3\lambda^6\phi^4|Y|^2\right){\rm d}x{\rm d}t. \end{equation} $

为吸收(3.17) 式右端的第一项, 我们利用分部积分得到

$ \begin{eqnarray*} &&2\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t\nonumber\\ & = &-2\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3 YY_{xx}{\rm d}x-2\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4(\phi^3)_xYY_x{\rm d}x{\rm d}t+2\int_0^T[s^3\lambda^4\phi^3YY_x]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\nonumber\\ &\leq &\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t+2\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t\nonumber\\ &&+2\int_0^T[s^3\lambda^4\phi^3YY_x]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t, \end{eqnarray*} $

这蕴含着

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|Y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq&\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|Y_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t+2\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|Y|^2{\rm d}x{\rm d}t+2\int_0^T[s^3\lambda^4\phi^3YY_x]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

于是, 结合(3.16)–(3.18) 式及$ y = Ye^{-s\varphi} $, 我们得到对于充分大的$ s $和$ \lambda $, 成立

(3.19) $ \begin{eqnarray} L(Y)+N(Y) &\geq &\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|y|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&-C\sum\limits_{x = \hat x}\int_0^T(s^2\lambda^4\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}+s^4\lambda^6\phi^5|y|^2e^{2s\varphi})|_{\hat x = 0, L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

现在我们估计边界项$ B(Y) $. 首先, 因为$ d_x(0)>0 $和$ d_x(L)>0 $, 所以我们有

(3.20) $ \begin{eqnarray} I_{12}^2+I_{13}^2+I_{32}^4+I_{33}^2 & = & \int_0^T\left[-\frac{3}{2}s\varphi_x|Y_{xx}|^2-4s^3\varphi_x^3|Y_x|^2-\frac{3}{2}s^5\varphi_x^5|Y|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ &\geq & \int_0^T\left.\left(\frac{3}{2}s|\varphi_x||Y_{xx}|^2+4s^3|\varphi_x|^3|Y_x|^2+\frac{3}{2}s^5|\varphi_x|^5|Y|^2\right)\right|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&-C\int_0^T\left(s|\varphi_x||Y_{xx}|^2+s^3|\varphi_x|^3|Y_x|^2+s^5|\varphi_x|^5|Y|^2\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

利用Hölder不等式, 我们得到

(3.21) $ \begin{eqnarray} I_{22}^3\geq -C\sum\limits_{\hat x = 0, L}\int_0^T \left(|\varphi_x||Y_{xx}|^2{\rm d}t+s^2|\varphi_x|^3|Y_{x}|^2\right)|_{x = \hat x}{\rm d}t, \end{eqnarray} $

(3.22) $ \begin{eqnarray} I_{32}^3 \geq-\frac{1}{2}\sum\limits_{\hat x = 0, L}\int_{0}^T(s|\varphi_{x}||Y_{xx}|^2+s^5|\varphi_x|^5|Y|^2)|_{x = \hat x}{\rm d}t \end{eqnarray} $

及

(3.23) $ \begin{equation} I_{22}^4+I_{32}^5+I_{32}^6\geq -C\sum\limits_{\hat x = 0, L}\int_{0}^T (s^2|\varphi_x|^3|Y_x|^2+s^4|\varphi_x|^5|Y|^2)|_{x = \hat x}{\rm d}t. \end{equation} $

这里我们应用了$ |\varphi_{xx}|\leq C|\varphi_x|^2 $, $ |\varphi_{xxx}|\leq C|\varphi_x|^3 $和$ |\left(\varphi_x^2\varphi_{xx}\right)_x|\leq C|\varphi_x|^5 $.

直接计算, 可得

(3.24) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} Y|_{x = 0, L} = (ye^{s\varphi})|_{x = 0, L}, \quad Y_x|_{x = 0, L} = (y_xe^{s\varphi}+s\varphi_xye^{s\varphi})|_{ x = 0, L}, \\ Y_{xx}|_{x = 0, L} = (y_{xx}e^{s\varphi}+2s\varphi_xy_xe^{s\varphi}+(s\varphi_{xx}+s^2\varphi_x^2)ye^{s\varphi})|_{ x = 0, L}. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

利用(3.20)–(3.24) 式和Neumann边界条件(3.6), 有

(3.25) $ \begin{eqnarray} B(Y)-I_{11}^3&\geq &\int_0^T\left(s|\varphi_x||Y_{xx}|^2+s^3|\varphi_x|^3|Y_x|^2+s^5|\varphi_x|^5|Y|^2\right)|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&-C\int_0^T\left(s|\varphi_x||Y_{xx}|^2+s^3|\varphi_x|^3|Y_x|^2+s^5|\varphi_x|^5|Y|^2\right)|_{x = L}{\rm d}t\\ &\geq &\frac{1}{4}\int_0^T\left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}+s^5\lambda^5\phi^5|y|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&-C\int_0^T \left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

对于$ I_{11}^3 $, 由(3.6) 和(3.24) 式得

(3.26) $ \begin{eqnarray} I_{11}^3& = &-3\int_0^T\left[s\varphi_x(y_x+s\varphi_x y)(y_t+s\varphi_t y)e^{2s\varphi}\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ & = &\int_0^T\left(-\frac{3}{2}s^2\left(\varphi_x^2e^{2s\varphi}\right)_t|y|^2+3s^2\varphi_x\varphi_tyy_xe^{2s\varphi}+3s^3\varphi_x^2\varphi_t |y|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&+\int_0^T(3s\varphi_xy_xy_t e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t\\ &\geq &-Ce^{C\lambda}\int_0^t \left(s^3\lambda^2\phi^4|y|^2e^{2s\varphi}\right)|_{ x = 0}{\rm d}t-Ce^{C\lambda}\int_0^t \left(s\phi^2|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{ x = 0}{\rm d}t\\ &&+3\int_0^T\left(s\varphi_xy_xy_t e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

另一方面, 用$ (s\varphi_x e^{2s\varphi})|_{x = 0}y_{xx} $乘以方程(3.7) 并应用分部积分, 我们有

(3.27) $ \begin{eqnarray} &&-\int_0^T\left[(s\varphi_x e^{2s\varphi})|_{x = 0}y_xy_t\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ & = &-\int_{\Omega_T}(s\varphi_xe^{2s\varphi})|_{x = 0}y_{xt}y_x{\rm d}x{\rm d}t-\int_{\Omega_T}(s\varphi_xe^{2s\varphi})|_{x = 0}y_{xx}(-y_{xxx}+{{\cal L}}[y]){\rm d}x{\rm d}t\\ & = &\frac{1}{2}\int_{\Omega_T}\left((s\varphi_xe^{2s\varphi})|_{x = 0}\right)_t|y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t+\frac{1}{2}\int_{0}^T\left[(s\varphi_xe^{2s\varphi})|_{x = 0}|y_{xx}|^2\right]_{x = 0}^{x = L}{\rm d}t\\ &&-\int_{\Omega_T}(s\varphi_xe^{2s\varphi})|_{x = 0}y_{xx}{{\cal L}}[y]{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

因为在$ \Omega $上有$ d(0)\leq d(x) $, 那么在$ \Omega_T $上我们有$ \phi|_{x = 0}\leq \phi $, $ \varphi|_{x = 0}\leq \varphi $. 结合(3.6) 式, 我们进一步有

(3.28) $ \begin{eqnarray} \int_0^T\left(s\varphi_xy_xy_t e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t &\geq &-Ce^{C\lambda}\int_{\Omega_T}s^2\lambda\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t -C\int_0^T\left(s\lambda\phi|\theta|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t \\ &&-C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi|y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t-C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi |{\mathcal L}[y]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

因此, 结合(3.25), (3.26) 和(3.28)式, 可得到当$ s\geq e^{C\lambda} $时, 成立以下关于$ B(Y) $的估计

(3.29) $ \begin{eqnarray} B(Y) &\geq&\frac{1}{8}\int_0^T\left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}+s^5\lambda^5\phi^5|y|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t-C\int_0^T \left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t\\ &&-C\int_0^T\left(s\lambda\phi|\theta|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t-C\int_{\Omega_T}s^3\lambda\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&-C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi|y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t-C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi |{\mathcal L}[y]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

从(3.19) 和(3.29) 式可得对于满足$ s\geq \max\{\lambda^2, e^{c\lambda}\} $的充分大的$ \lambda $和$ s $, 有

(3.30) $ \begin{eqnarray} 2({\cal L}_1[Y], {\cal L}_2[Y]) &\geq &\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \\ &&+\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|y|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\!+\!\frac{1}{8}\int_0^T \left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\!+\!s^5\lambda^5\phi^5|y|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t \\ &&-C\int_0^T\left(s\lambda\phi|\theta|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t -C\int_0^T \left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t{}\\ &&-C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi |{\mathcal L}[y]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

将(3.30) 式代入(3.12) 式, 并应用

(3.31) $ \begin{eqnarray} |{\cal R}[Y]|\leq C\left(se^{C\lambda} \phi^2+s\lambda^3\phi+s^2\lambda^3\phi^2\right)|y|e^{s\varphi}, \end{eqnarray} $

我们得到

(3.32) $ \begin{eqnarray} {{\cal I}}(y) +{\cal B} (y)|_{x = 0} &\leq & C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi|{\cal L}[y]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C\int_0^T\left(s\lambda\phi|\theta|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&+C\int_0^T \left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

现在估计(3.32) 右端的最后一项. 应用分部积分和Young不等式, 我们有

(3.33) $ \begin{eqnarray} & &\int_0^T\left(s^3\lambda^3\rho_1\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t\\ & = &2\int_{\Omega_T}s^3\lambda^3\rho_1\phi^3y_xy_{xx}e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^3\left(\rho_1\phi^3e^{2s\varphi}\right)_x |y_x|^2{\rm d}x{\rm d}t\\ & \leq & \epsilon\int_{\Omega_T}s\lambda^2\phi |y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C(\epsilon)\int_{\omega^{(2)}_T}s^5\lambda^4\phi^5 |y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray} $

其中$ \epsilon $是任意正常数. 另一方面, 对任意正常数$ \epsilon>0 $, 成立

(3.34) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\omega^{(2)}_T}s^5\lambda^4\phi^5 |y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\leq\int_{\omega^{(3)}_T} s^5\lambda^4\phi^5\rho_2 |y_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & = & -\int_{\omega^{(3)}_T} s^5\lambda^4\phi^5\rho_2yy_{xx}e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t-\int_{\omega^{(3)}_T} s^5\lambda^4\left(\phi^5\rho_2e^{2s\varphi}\right)_xyy_{x}{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq &\epsilon \int_{\Omega_T}s\lambda^2\phi |y_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\epsilon \int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3 |y_{x}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t +C(\epsilon)\int_{\omega^{(3)}_T}s^9\lambda^6\phi^9 |y|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. {}\\ \end{eqnarray} $

由(3.33) 和(3.34) 式得

(3.35) $ \begin{equation} \int_0^T\left(s^3\lambda^3\phi^3|y_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t \leq \epsilon{{\cal I}}(y)+C(\epsilon)\int_{\omega^{(3)}_T}s^9\lambda^6\phi^9 |y|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{equation} $

最后, 结合(3.32) 和(3.35) 式, 并选择$ \epsilon $充分小以吸收(3.35) 式右端的第一项, 我们得到(3.8)式. 证毕.

注 3.1   文献[7] 中证明了以下方程组

(3.36) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll}-v_t-\xi(x, t)v_x-v_{xxx} = 0, &(x, t)\in \Omega_T, \\ v(0, t) = v(L, t) = u_x(0, t) = 0, & t\in (0, T) \end{array}\right. \end{eqnarray} $

的带有局部项的卡勒曼估计

(3.37) $ \begin{eqnarray} & &\int_{{\Omega_T}}s\tilde\varphi|v_{xx}|^2e^{2s\tilde\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\tilde \varphi^3|v_x|^2e^{2s\tilde\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^5\tilde\varphi^5|v|^2e^{2s\tilde\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq&\int_{\omega_T}\left(s\tilde\varphi|v_{xx}|^2+s^3\tilde \varphi^3|v_x|^2+s^5\tilde\varphi^5|v|^2\right)e^{2s\tilde\varphi}{\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray} $

其中$ \tilde\varphi $是一个适当的势函数. 然而, 我们不能直接应用这个估计来证明引理3.2. 一方面因为我们讨论的方程组的边界条件与(3.36) 式中的边界条件不同. 另一方面, 为研究我们的反问题, 我们不得不证明一个非齐次KdV方程的卡勒曼估计, 这使得我们无法应用类似于文献[7]或^[15]的方法来消除$ y_{xx} $的局部项.

我们现在来证明带有Neumann边界的耦合KdV方程组的卡勒曼估计. 考虑

(3.38) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \xi_{t}+ \xi_{xxx}+(M_1(x)\xi)_{x}+k_1\eta_{x} = f_1, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \eta_{t}+ \eta_{xxx}+(M_2(x)\eta)_{x}+k_2\xi_{x} = f_2, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \xi(L, t) = 0, \ \xi_{xx}(0, t) = \theta_1(t), \ \xi_{xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \eta(L, t) = 0, \ \eta_{xx}(0, t) = \theta_2(t), \ \eta_{xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T).\end{array}\right. \end{eqnarray} $

引理 3.3   设$ f_1, f_2\in L^2(Q_T) $, $ \theta_1, \theta_2\in L^2(0, T) $, $ M_1, M_2\in C^{1}(\overline\Omega) $. 则存在正常数$ \lambda_2 = \lambda_2(x_0, \Omega, T, \|M_1\|_{C^1(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^1(\overline\Omega)}, k_1, k_2) $, $ s_2 = s_2(\lambda, x_0, \Omega, T, \|M_1\|_{C^1(\overline\Omega)} $, $ \|M_2\|_{C^1(\overline\Omega)}, k_1, k_2) $及$ C = C(\lambda, x_0, \Omega, T, \|M_1\|_{C^1(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^1(\overline\Omega)}, $$ k_1, k_2) $, 使得

(3.39) $ \begin{eqnarray} &&{{\cal I}}(\xi)+{{\cal I}}(\eta)+{\cal B} (\xi)|_{x = 0}+{\cal B} (\eta)|_{x = 0}\\ &\leq &C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi(|f_1|^2+|f_2|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C\int_0^T(s\lambda\phi(|\theta_1|^2+|\theta_2|^2)e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9(|\xi|^2+|\eta|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \end{eqnarray} $

对于所有的$ \lambda\geq \lambda_2 $, $ s\geq s_2 $和所有满足(3.38) 式的$ \xi, \eta\in L^2(0, T;H^2(\Omega)) $成立.

证  对$ (\xi, \eta) $应用引理3.2, 可得对所有的$ \lambda\geq \lambda_1 $, $ s\geq s_1 $, 有

(3.40) $ \begin{eqnarray} {{\cal I}}(\xi)+{{\cal B}}(\xi)|_{x = 0} &\leq& C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi\left(|\xi_{x}|^2+|\eta_{x}|^2+|f_1|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+C\int_0^T(s\lambda\phi|\theta_1|^2e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9|\xi|^2 e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \end{eqnarray} $

及

(3.41) $ \begin{eqnarray} {{\cal I}}(\eta)+{{\cal B}}(\eta)|_{x = 0} &\leq& C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi\left(|\eta_{x}|^2+|\xi_{x}|^2+|f_2|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+C\int_0^T(s\lambda\phi|\theta_2|^2e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9|\eta|^2 e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

然后将(3.40) 式和(3.41) 式相加, 并选择$ s $充分大来吸收关于$ \xi_{x}, \eta_{x} $的全局积分项, 我们得到(3.39) 式. 证毕.

为证明定理3.1, 我们需要下面的引理.

引理 3.4   存在正常数$ \lambda_3 = \lambda_3(x_0, \Omega, T) $, $ s_3 = s_3(\lambda, x_0, \Omega, T) $及$ C = C(x_0, \Omega, T) $, 使得

(3.42) $ \begin{eqnarray} {{\cal I}}(z)\leq C\int_{\Omega_T}|{\cal L}[z]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+Cs^{-1}{\cal I} (z_x) \end{eqnarray} $

对于所有的$ \lambda\geq \lambda_3 $, $ s\geq s_3 $和所有满足

(3.43) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll}{\cal L}[z]: = z_t+ z_{xxx}, &(x, t)\in\Omega_T, \\ z(0, t) = z(L, t) = z_x(L) = 0, & t\in (0, T) \end{array} \right. \end{eqnarray} $

的$ z\in L^2(0, T;H^3(\Omega)) $都成立.

证  为简单记, 这里我们沿用引理3.2中的记号. 令$ Z = ze^{s\varphi} $. 因为估计式(3.19) 不涉及边界条件, 所以(3.19) 式对于$ Z $仍然成立, 即

(3.44) $ \begin{eqnarray} L(Z)+N(Z) & \geq & \int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|z_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|z|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & &-C\sum\limits_{x = \hat x}\int_0^T(s^2\lambda^4\phi^3|z_x|^2e^{2s\varphi}+s^4\lambda^6\phi^5|z|^2e^{2s\varphi})|_{\hat x = 0, L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

对于$ B(Z)-I_{11}^3 $, 应用$ z(0, t) = z(L, t) = z_x(L, t) = 0 $, 我们有

(3.45) $ \begin{eqnarray} B(Z)-I_{11}^3&\geq &\int_0^T\left(s|\varphi_x||Z_{xx}|^2+s^3|\varphi_x|^3|Z_x|^2+s^5|\varphi_x|^5|Z|^2\right)|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&-C\int_0^T\left(s|\varphi_x||Z_{xx}|^2+s^3|\varphi_x|^3|Z_x|^2+s^5|\varphi_x|^5|Z|^2\right)|_{x = L}{\rm d}t\\ &\geq &\int_0^T\left(s^3\lambda^3\phi^3|z_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t-C\int_0^T \left(s\lambda\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

另外, 由$ Z(0, t) = Z_x(L, t) = 0 $可得$ I_{11}^3 = 0 $. 因此, 我们得到以下关于$ B(Z) $的估计

(3.46) $ \begin{eqnarray} B(Z)\geq \int_0^T\left(s^3\lambda^3\phi^3|z_x|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = 0}{\rm d}t-C\int_0^T \left(s\lambda\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

然后, 将(3.44) 和(3.46) 式代入$ ({\cal L}_1[Z], {\cal L}_2[Z]) = L(Z)+N(Z)+B(Z) $, 可得

(3.47) $ \begin{eqnarray} ({\cal L}_1[Z], {\cal L}_2[Z]) &\geq &\int_{{\Omega_T}}s\lambda^2\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t +\int_{\Omega_T}s^3\lambda^4\phi^3|z_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \\ &&+\int_{\Omega_T}s^5\lambda^6\phi^5|z|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t-C\int_{0}^T\left(s\lambda\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

由(3.47) 式及

(3.48) $ \begin{eqnarray} \|{\mathcal L}_1[Z]\|^2_{L^2(\Omega_T)}+\|{\mathcal L}_2[Z]\|^2_{L^2(\Omega_T)}+2({\cal L}_1[Z], {\cal L}_2[Z]) = \|e^{s\varphi}{\cal L}[z]+{\mathcal R}[Z]\|_{L^2(\Omega_T)}^2, \end{eqnarray} $

我们得到

(3.49) $ \begin{equation} {{\cal I}}(z)\leq C\int_{\Omega_T}|{\cal L}[z]|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C\int_{0}^T\left(s\lambda\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t. \end{equation} $

另一方面, 应用分部积分和Young不等式, 我们有

(3.50) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^T\left(s\lambda\rho_1\phi|z_{xx}|^2e^{2s\varphi}\right)|_{x = L}{\rm d}t & = &2\int_{\Omega_T}s\lambda\rho_1\phi z_{xx}z_{xxx}e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s\lambda\left(\rho_1\phi e^{2s\varphi}\right)_x |z_{xx}|^2{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq& Cs^{-1}{\cal I} (z_x). \end{eqnarray} $

最后, 通过(3.49) 和(3.50) 式, 我们立即可到(3.42) 式. 证毕.

现在我们证明定理3.1.

定理 3.1的证明   应用(3.1), (3.2) 和$ f(L, t) = 0 $, 可知$ (p_x, q_x) $满足

(3.51) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} p_{x, t}+ p_{x, xxx}+(M_1(x)p)_{xx}+k_1q_{xx} = f_{1, x}, &(x, t)\in \Omega_T, \\ q_{x, t}+ q_{x, xxx}+(M_2(x)q)_{xx}+k_2p_{xx} = f_{2, x}, &(x, t)\in \Omega_T, \\ p_{x}(L, t) = 0, \ p_{x, xx}(0, t) = \theta_1(t), \ p_{x, xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ q_{x}(L, t) = 0, \ q_{x, xx}(0, t) = \theta_2(t), \ q_{x, xx}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中

$ \theta_1(t) = -M_1(0)p_x(0, t)-k_1q_x(0, t)+f(0, t), \quad \theta_2(t) = -M_2(0)q_x(0, t)-k_2p_x(0, t). $

然后对$ (p_x, q_x) $应用引理3.3, 可得对于所有$ \lambda\geq\lambda_2 $和$ s\geq s_2 $, 成立

(3.52) $ \begin{eqnarray} &&{{\cal I}}(p_x)+{{\cal I}}(q_x)+{\cal B} (p_x)|_{x = 0}+{\cal B} (q_x)|_{x = 0}\\ &\leq &C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi(|f_{1, x}|^2+|f_{2, x}|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+C\int_0^T(s\lambda\phi(|p_x|^2+|q_x|^2+|f_1|^2+|f_2|^2)e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t\\ &&+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9(|p_x|^2+|q_x|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

另一方面, 由引理3.4, 可得对于所有$ \lambda\geq \lambda_3 $和$ s\geq s_3 $, 成立

(3.53) $ \begin{equation} {{\cal I}}(p)+{{\cal I}}(q) \leq C\int_{\Omega_T}(|p|^2+|p_x|^2+|q|^2+|q_x|^2+|f_1|^2+|f_2|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+Cs^{-1}({\cal I} (p_x)+{\cal I} (q_x)). \end{equation} $

此外, 注意到$ \phi|_{x = 0}\leq \phi $, $ \varphi|_{x = 0}\leq \varphi $, 我们有

(3.54) $ \begin{eqnarray} \int_0^T(s\lambda\phi(|f_1|^2+|f_2|^2)e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t & = &\int_0^T(s\lambda\phi e^{2s\varphi})|_{x = 0}{\rm d}t\left(\left|\int_\Omega f_{1, x} dx\right|^2+\left|\int_\Omega f_{2, x} dx\right|^2\right)\\ &\leq& \int_0^T(s\lambda\phi e^{2s\varphi})|_{x = 0}\int_{\Omega}(|f_{1, x}|^2+|f_{2, x}|^2){\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq &C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi(|f_{1, x}|^2+|f_{2, x}|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

因此, 从(3.52)–(3.54)式可得

(3.55) $ \begin{eqnarray} &&{{\cal I}}(p_x)+{{\cal I}}(q_x)+s{\cal I} (p)+s{\cal I} (q)+{\cal B} (p_x)|_{x = 0}+{\cal B} (q_x)|_{x = 0}\\ &\leq &C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi(|f_1|^2+|f_{1, x}|^2+|f_2|^2+|f_{2, x}|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+C\int_{{\omega^{(3)}_T}}s^9\lambda^6\phi^9(|p_x|^2+|q_x|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

现在我们消除(3.55) 式右端关于$ p_x $的局部积分项. 显然, 在$ (L-\epsilon_0, L)\times (0, T) $上$ f_2 = 0 $. 由$ \omega^{(4)}_T\subset (L-\epsilon_0, L)\times (0, T) $可得$ \rho_3 f_2 = 0 $. 然后, 用$ s^9\lambda^6\rho_3\phi^9 p_xe^{2s\varphi} $乘以$ q $并应用分部积分, 我们得到

(3.56) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{\Omega}_T}k_2s^9\lambda^6\rho_3\phi^9|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & = &\int_{\Omega_T} s^9\lambda^6\rho_3\phi^9 p_x\left(-q_t-q_{xxx}-(M_2(x)q)_x+f_2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t{}\\ & = &\int_{\Omega_T} s^9\lambda^6\rho_3\phi^9 p q_{xt}e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T} s^9\lambda^6 p q_{t}\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_x{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6\rho_3\phi^9p_{xx}q_{xx}e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t+\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 p_{x}q_{xx}\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_x{\rm d}x{\rm d}t\\ & &-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6\rho_3\phi^9 p_x(M_2(x)q)_x e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t{}\\ & = &-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6\rho_3\phi^9(p_t+p_{xxx})q_xe^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 pq_x\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_t{\rm d}x{\rm d}t\\ &&-2\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 p_{xx}q_x\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_x{\rm d}x{\rm d}t-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 p_xq_x\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_{xx}{\rm d}x{\rm d}t {}\\ &&-\int_{\Omega_T} s^9\lambda^6 p_t q\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_x{\rm d}x{\rm d}t-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 pq\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_{xt}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&-\int_{\Omega_T}s^9\lambda^6 p_x(M_2(x)q)_x \rho_3\phi^9 e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

结合

$ \left\{\begin{array}{l} |s^9\lambda^6\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_t|\leq C s^{10}\lambda^6e^{C\lambda}\rho_3\phi^{11}e^{2s\varphi}, \\ |s^9\lambda^6\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_x|\leq Cs^{10}\lambda^7(|\rho_{3, x}|+\rho_3)\phi^{10}e^{2s\varphi}, \\ |s^9\lambda^6\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_{xx}|\leq Cs^{11}\lambda^8(|\rho_{3, {xx}}|+|\rho_{3, x}|+\rho_3)\phi^{11}e^{2s\varphi}, \\ |s^9\lambda^6\left(\rho_3\phi^9e^{2s\varphi}\right)_{xt}|\leq Cs^{11}e^{C\lambda}(|\rho_{3, x}|+\rho_3)\phi^{12}e^{2s\varphi} \end{array}\right. $

和Young不等式, 我们进一步得到对于所有的$ \epsilon>0 $, 有

(3.57) $ \begin{eqnarray} \int_{\omega^{(3)}_T}s^9\lambda^6\phi^9|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t&\leq &\int_{{\Omega}_T}s^9\lambda^6\rho_3\phi^9|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & \leq & \epsilon{{\cal I}}(p_x)+{\cal I} (p)+\epsilon\int_{\Omega_T} s\phi|p_t|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & &+ C(\epsilon, \lambda)\int_{\omega^{(4)}_T}s^{19}\phi^{21}\left(|q_x|^2+|q|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

另外, 由$ p $的方程, 我们有

(3.58) $ \begin{equation} \int_{\Omega_T}s\phi|p_t|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\leq {\cal I} (p_x)+{\cal I}(q_x)+C\int_{\Omega_T} s\phi |f|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{equation} $

将(3.58) 式代入(3.57) 式得到

(3.59) $ \begin{eqnarray} \int_{\omega^{(3)}_T}s^9\lambda^6\phi^9|p_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t &\leq & 2\epsilon{{\cal I}}(p_x)+\epsilon{\cal I} (q_x)+{\cal I} (p)+C\int_{\Omega_T} s\phi |f|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+ C(\epsilon, \lambda)\int_{\omega^{(4)}_T}s^{19}\phi^{21}\left(|q_x|^2+|q|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

因此, 从(3.55) 和(3.59) 式我们推知

(3.60) $ \begin{eqnarray} &&{{\cal I}}(p_x)+{{\cal I}}(q_x)+s{\cal I} (p)+s{\cal I} (q)+{\cal B} (p_x)|_{x = 0}+{\cal B} (q_x)|_{x = 0}\\ &\leq &C\int_{\Omega_T}s\lambda\phi(|f_1|^2+|f_{1, x}|^2+|f_2|^2+|f_{2, x}|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+C(\lambda)\int_{{\omega^{(4)}_T}}s^{19}\phi^{21}(|q|^2+|q_x|^2)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

类似于(3.34)式, 对于$ q_x $的局部积分项, 我们有下面的估计

(3.61) $ \begin{equation} \int_{\omega^{(4)}_T}s^{19}\phi^{21} |q_x|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t \leq \epsilon {\cal I} (q_x)+C(\epsilon, \lambda) \int_{\omega_T}s^{35}\phi^{39} |q|^2e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{equation} $

最后, 将(3.61) 式代入(3.60) 式并取$ \epsilon $充分小, 我们得到(3.5) 式. 定理3.1证毕.

本节将证明我们反问题的Lipschitz稳定性, 即定理1.1. 证明的过程基于文献[19] 的方法, 这种方法最初由Bukhgeim和Klibanov在文献[5]中提出, 也可参见文献[1, 32]. 以下我们固定$ \lambda $是满足定理3.1中的约束的正常数, 并用$ C $表示依赖于$ x_0, \Omega, T, \|M_1\|_{C^2(\overline\Omega)}, \|M_2\|_{C^2(\overline\Omega)} $, $ \epsilon_1 $及$ \lambda $, 但不依赖于$ s $的正常数.

我们引入一个引理, 其是关于一阶偏微分算子

(4.1) $ \begin{eqnarray} {\cal N} [\zeta] = A(x)\zeta_x(x)+B(x)\zeta(x), \quad x\in\Omega \end{eqnarray} $

的卡勒曼估计, 其中$ A, B\in W^{1, \infty}(\Omega) $.

引理 4.1   设

(4.2) $ \begin{eqnarray} |A(x)(x-x_0)|>0, \quad x\in\Omega, \end{eqnarray} $

则存在正常数$ \lambda_4 = \lambda_4(x_0, \Omega, \|A\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}, $$ \|B\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}) $, $ s_4 = s_4(\lambda, x_0 $, $ \Omega $, $ \|A\|_{W^{1, \infty}(\Omega)} $, $ \|B\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}) $及$ C = C(\lambda, x_0, \Omega, \|A\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}, $$ \|B\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}) $, 使得

(4.3) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega s^2 |\zeta|^2e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\leq C \int_\Omega |{\cal N} [\zeta](x)|^2e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x \end{eqnarray} $

和

(4.4) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega s^2 |\zeta_x|^2e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\leq C \int_\Omega\left( |{\cal N} [\zeta]|^2+|({\cal N} [\zeta])_x|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x \end{eqnarray} $

对于所有的$ \lambda\geq \lambda_4 $, $ s\geq s_4 $和所有满足$ \zeta(0) = \zeta(L) = 0, \zeta_x(0) = \zeta_x(L) = 0 $的$ \zeta\in H^2(\Omega) $都成立.

此引理的证明可以参见文献[2, 18].

定理 1.1的证明   为简单记, 令

$ \overline u(x, t) = u(x, t)-\tilde u(x, t), \quad \overline v(x, t) = v(x, t)-\tilde v(x, t), \quad (x, t)\in \Omega_T, $

$ {\overline M}_1(x) = M_1(x)-{\tilde M}_1(x), \quad {\overline M}_2(x) = M_2(x)-{\tilde M}_2(x), \quad x\in\Omega. $

那么$ (\overline u, \overline v) $满足

(4.5) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \overline u_{t}+ \overline u_{xxx}+ \left(M_1(x)\overline u\right)_{x}+k_1\overline v_{x} = -({\overline M}_1(x)\tilde u)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \overline v_{t}+ \overline v_{xxx}+ \left(M_2(x)\overline v\right)_{x}+k_2\overline u_{x} = -({\overline M}_2(x)\tilde v)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ \overline u (0, t) = \overline u(L, t) = \overline u_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ \overline v(0, t) = \overline v(L, t) = \overline v_{x}(L, t) = 0, &t\in (0, T). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

现在我们考虑$ (p_i, q_i): = (\partial_t^i\overline u, \partial_t^i\overline v) $$ (i = 0, 1, 2) $满足的方程组

(4.6) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} p_{i, t}+ p_{i, xxx}+ \left(M_1(x)p_i\right)_{x}+k_1q_{i, x} = -({\overline M}_1(x)\partial_t^i\tilde u)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ q_{i, t}+ q_{i, xxx}+ \left(M_2(x)q_i\right)_{x}+k_2p_{i, x} = -({\overline M}_2(x)\partial_t^i\tilde v)_x, &(x, t)\in \Omega_T, \\ p_i(0, t) = p_{i}(L, t) = p_{i, x}(L, t) = 0, &t\in (0, T), \\ {q_i}(0, t) = q_{i}(L, t) = q_{i, x}(L, t) = 0, &t\in (0, T). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

注意到$ \overline M_i(L) = \overline M_{i, x}(L) = 0 $$ (i = 1, 2) $及$ \overline M_{2}(x) = 0 $, $ x\in(L-\epsilon_0, L) $. 然后应用定理3.1, 我们有

(4.7) $ \begin{eqnarray} & &{\cal I} (\overline u_{xt})+{\cal I} ( {\overline u}_{xtt})+s{\cal I} ( {\overline u}_{t})+s{\cal I} ( {\overline u}_{tt})+{\cal I} (\overline v_x)+{\cal I} ( {\overline v}_{xt})\\ &\leq & C\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}s\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+ |{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t {}\\ &&+Cs^{35}e^{Cs}\|\overline v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega_T))}^2. \end{eqnarray} $

另一方面, 由(4.5) 式的第一个方程得

(4.8) $ \begin{eqnarray} -{\overline M}_{1, x}(x){\tilde u}(x, t_0)-{\overline M}_{1}(x){\tilde u}_x(x, t_0) = \zeta(x), \quad x\in\Omega, \end{eqnarray} $

这里

$ \zeta(x) = {\overline u}_{t}(x, t_0)+ {\overline u}_{xxx}(x, t_0)+ \left(M_1(x)\overline u (x, t_0)\right)_{x}+k_1{\overline v}_{x}(x, t_0). $

利用$ {\overline M}_{1}(x) = 0 $和$ x = 0, L $处$ {\overline M}_{1, x}(x) = 0 $及

$ |{\tilde u}(x, t_0)(x-x_0)|>0, \quad x\in\Omega, $

我们可以应用引理4.1得到

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}s^2\left(|{\overline M}_{1, x}(x)|^2+|{\overline M}_{1}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{\Omega}\left(|{\overline u}_{xt}(x, t_0)|^2+|{\overline u}_{t}(x, t_0)|^2+|\overline v_{xx}(x_0, t)|^2+|\overline v_x(x_0, t)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &&+Ce^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

另外, 由

(4.10) $ \begin{eqnarray} -{\overline M}_{1, xx}(x){\tilde u}(x, t_0) = \zeta_x(x)+2{\overline M}_{1, x}(x){\tilde u}_x(x, t_0)+{\overline M}_1(x){\tilde u}_{xx}(x, t_0), \quad x\in\Omega \end{eqnarray} $

可得

(4.11) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}|{\overline M}_{1, xx}(x)|^2e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{\Omega}\left(|{\overline M}_{1, x}(x)|^2+|{\overline M}_{1}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x+C\int_{\Omega}\left(|{\overline u}_{xt}(x, t_0)|^2+|{\overline v}_{xx}(x, t_0)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &&+Ce^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

从而, 由(4.9) 和(4.11) 式, 我们有

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\left(s|{\overline M}_{1, xx}(x)|^2+s^2|{\overline M}_{1, x}(x)|^2+s^2|{\overline M}_{1}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq& C\int_{\Omega}\left(s\left(|{\overline u}_{xt}(x, t_0)|^2+|\overline v_{xx}(x_0, t)|^2\right)+\left(|{\overline u}_{t}(x, t_0)|^2+|\overline v_{x}(x_0, t)|^2\right)\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &&+Cse^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

另外

(4.13) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}|{\overline u}_{xt}(x, t_0)|^2e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x& = &\int_0^{t_0}\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_{\Omega}|{\overline u}_{xt}(x, t)|^2e^{2s\varphi(x, t)}{\rm d}x\right){\rm d}t\\ &\leq & \int_{\Omega_T}2\left(|{\overline u}_{xt}||{\overline u}_{xtt}|+s|\varphi_t|| {\overline u}_{xt}|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq & C\int_{\Omega_T}\left(s|{\overline u}_{xt}|^2+|{\overline u}_{xtt}|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

类似于(4.13) 式的计算, 我们可以得到关于$ \overline v_{xx}, \overline u_t $和$ \overline v_x $的同样的估计. 然后由(4.7), (4.12) 和(4.13) 式, 我们得到

(4.14) $ \begin{eqnarray} & &\int_{\Omega}s\left(|{\overline M}_{1, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{1, x}(x)|^2+|{\overline M}_{1}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq&{\cal I} (\overline u_{xt})+{\cal I} ( {\overline u}_{xtt})+{\cal I} ( {\overline u}_{t})+{\cal I} ( {\overline u}_{tt})+{\cal I} (\overline v_x)+{\cal I} ( {\overline v}_{xt})+Cse^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}\\ & \leq &C\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}s\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & &+Cs^{35}e^{Cs}\|\overline v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega_T))}^2+Cse^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

类似地, 我们有

(4.15) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}s\left(|{\overline M}_{2, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{2, x}(x)|^2+|{\overline M}_{2}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq &C\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}s\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ &&+Cs^{35}e^{Cs}\|\overline v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega_T))}^2+Cse^{Cs}\|{\overline v}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

然后将(4.14) 和(4.15) 式相加得到

(4.16) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega}s\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_{i}(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\\ &\leq &C\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}s\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & &+Cs^{35}e^{Cs}\|\overline v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega_T))}^2+Cse^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}+Cse^{Cs}\|{\overline v}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

令$ D: = \frac{4}{T^2} \min\limits_{(x, t)\in\Omega_T}\frac{e^{2\lambda\|d\|_{C(\overline \Omega)}}-e^{\lambda d(x)}}{t(T-t)}>0 $. 当$ s\rightarrow \infty $时, 我们有

(4.17) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{x\in\Omega}\left|\int_0^T e^{2s(\varphi(x, t)-\varphi(x, t_0))}{\rm d}t\right|\leq \int_0^T e^{-2sD\left(t-\frac{T}{2}\right)^2}{\rm d}t\leq \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2sD t^2}{\rm d}t = o(1). \end{eqnarray} $

然后对于充分小的$ \epsilon>0 $, 如果我们选择$ s $充分大, 可得

(4.18) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi}{\rm d}x{\rm d}t\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega}\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x\int_0^T e^{2s(\varphi(x, t)-\varphi(x, t_0))}{\rm d}t\\ &\leq &\epsilon \sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega}\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

由(4.16) 和(4.18) 式, 我们得到

(4.19) $ \begin{eqnarray} &&(s- \epsilon C s)\sum\limits_{i = 1}^2\int_{\Omega_T}\left(|{\overline M}_{i, xx}(x)|^2+|{\overline M}_{i, x}(x)|^2+|{\overline M}_i(x)|^2\right)e^{2s\varphi(x, t_0)}{\rm d}x{\rm d}t\\ &\leq& Cs^{35}e^{Cs}\|\overline v\|_{H^2(0, T;L^2(\omega_T))}^2+Cse^{Cs}\|{\overline u}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}+Cse^{Cs}\|{\overline v}(\cdot, t_0)\|^2_{H^4(\Omega)}. \end{eqnarray} $

如果我们选择$ \epsilon $充分小, 由(4.19) 式立刻可得(1.6) 式. 定理1.1证毕.