不变子空间和约化子空间问题一直是算子理论中的一个基本问题. 自上世纪中叶Beurling研究了Hardy空间上移位算子的格以后, 许多学者研究了在Bergman空间和Dirichlet空间上算子的不变子空间问题, 见文献[1-10]. 复平面$\mathbb C$上的单位圆盘记作${\Bbb D}$, $H({{\Bbb D}})$为其上的全纯函数构成的空间, 令${\cal D}$表示Dirichlet空间, ${\cal D}: = \{f\in H({\Bbb D}):\int_{\Bbb D}|f'(z)|^{2}{\rm d}A(z) <\infty,$$f(0) = 0\}$, ${\rm d}A$表示复平面上的面积测度, ${\rm d}A(z): = \frac{1}{\pi}{\rm d}x {\rm d}y = \frac{r}{\pi}{\rm d}r{\rm d}\theta.$其范数$\|f\|^2_{{\cal D}}: = \int_{\Bbb D}|f'(z)|^{2}{\rm d}A(z)$. 设$f, g\in{\cal D}$, $f(z) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_{k}z^{k}$, $g(z) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_{k}z^{k}$, 则$f(z)$与$g(z)$的内积为$\langle f, g\rangle = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}ka_{k}{\bar{b}_k}$.

算子的相似性有助于分析算子的结构, 故很多学者研究了算子的相似性, 见文献[11-13]. 设${\cal H}$是Hilbert空间, $A$、$B$分别是${\cal H}$上的有界线性算子, 若存在${\cal H}$上的有界可逆线性算子$T$使得$T^{-1}AT = B$, 则称$A$与$B$相似. 设$p(z) (n\geq 2)$是一个$n$次多项式, 即$p(z) = \sum\limits_{k = 0}^{n}d_{k}z^{k}$, 并且满足$\left| d_{1} \right|>\sum\limits_{k = 2}^{n}k\left| d_{k}\right|$. 定义${\cal D }$上带特定权的Volterra算子$(V_{p}f)(z): = \int_{0}^{z}p'(w)f(w){\rm d}w$, ${\cal D}$上乘法算子$M_{p(z)}f(z): = p(z)f(z)$, 微分算子$Dh: = \frac{{\rm d}h}{{\rm d}z}$. 定义算子$T_{1}$如下

定义空间

引理2.1  设$h\in S(\mathbb D)$, $p(z)$为满足上述条件的多项式, 则$\frac{Dh}{p'(z)}\in{\cal D }$.

证   设$h(z) = \sum\limits_{k = 2}^{\infty}a_{k}z^{k}$, 则$h'(z) = \sum\limits_{k = 2}^{\infty}ka_{k}z^{k-1}$,

由$Dh\in{\cal D}$, 即

注意到

即

由儒歇定理可知满足上述条件的多项式$p'(z)$在$\overline{{\Bbb D}}$内无零点, 从而$\frac{1}{|p'(z)|}$在${\Bbb D}$内上界是有限的. 于是

其中$C_{1}$, $C_{2}$为正常数. 易知, $\frac{Dh}{p'(z)}|_{z = 0} = 0$, 所以$\frac{Dh}{p'(z)}\in{\cal D}$. 证毕.

定义$S({\Bbb D})$的范数为

对$S({\Bbb D})$中任意向量$h_{1}$、$h_{2}$, 相应的内积定义为

定理2.1  设$p(z) (n\geq 2)$是一个$n$次多项式, 即$p(z) = \sum\limits_{k = 0}^{n}d_{k}z^{k}$, 并且满足$\left| d_{1} \right|>\sum\limits_{k = 2}^{n}k\left| d_{k}\right|$, $V_{p}$是在${\cal D}$上的带特定权的Volterra算子, 则以下结论成立:

$(1)$$V_{p}$的值域恰为$S({\Bbb D})$;

$(2)$$V_{p}$是从${\cal D}$到$S({\Bbb D})$上的有界同构, 其逆算子为$\frac{1}{p'}D$;

$(3)$$T_{1}$相似于$M_{p}$.

证   $(1)$一方面, 任取$f\in{\cal D}$, 设${h(z) = (V_{p}f)(z) = \int_{0}^{z}p'(w)f(w){\rm d}w}$, 则

其中$C_3$为正常数, 又$h(0) = 0$, $h'(0) = p'(z)f(z)|_{z = 0} = 0$, 因此$h(z)\in S({\Bbb D})$. 另一方面, 设$h\in S({\Bbb D})$, 下证存在$f\in{\cal D}$, 使得$V_{p}(f) = h$. 由引理2.1知, 只要令$f(z) = \frac{Dh}{p'(z)}$即可. 事实上

$(2)$首先, 证明$V_{p}$是${\cal D}$到$S({\Bbb D})$的有界算子. 设$f\in {\cal D }$, 则由(2.1) 式知

其中$C_4$为正常数. 所以, $V_{p}$是有界线性算子. 下证$V_{p}$是一一的, 设$f_{1}, f_{2}\in {\cal D}$, 满足

对等式两边求导数得, $f_{1}(z) = f_{2}(z)$. 从$V_{p}$的定义可得, 对任意$h\in S({\Bbb D})$有

且$\frac{1}{p'(z)}Dh(z) = f(z)\in {\cal D}$. 因此, $V_{p}$是从${\cal D}$到$S({\Bbb D})$上的双射, 而且$V_{p}^{-1} = \frac{1}{p'}D$.

$(3)$设$f\in{\cal D}$, $(V_{p}f)(z) = h(z)$, 注意到

把算子$V_{p}$作用到等式的两边, 得

所以, $V_{p}T_{1} = M_{p}V_{p}$, 即$V_{p}T_{1}V_{p}^{-1} = M_{p}$, 故$T_{1}$相似于$M_{p}$.

设${\cal X}$是Hilbert空间${\cal H}$的一个非平凡闭线性子空间, $T$是一个有界线性算子, 若$T({\cal X })\subseteq {\cal X}$, 则称${\cal X}$为$T$的不变子空间. 若${\cal X}^{\perp}$也是$T$的不变子空间, 则称${\cal X}$为$T$的约化子空间. 算子$T$的约化子空间${\cal X }$称为极小的, 如果它不真包含任何非零的约化子空间. 所有和算子$T$可交换的有界线性算子的全体称作$T$的换位子, 记作${\cal A}'(T)$, 即${\cal A }'(T): = \{P\in L({\cal H})|$$PT = TP\}$. 算子$P$满足即自伴又幂等, 则称$P$是投影算子. 算子的约化子空间是由其换位代数里的投影算子决定的(见文献[14]), 若$P_{{\cal X}}$是到${\cal X}$上的投影算子, 则${\cal X}$是$T$的约化子空间当且仅当$P_{{\cal X}}T = TP_{{\cal X}}$. 本部分将讨论当$p(z) = z^{n}$的情形, 其中$n\geq 2$, 此时定义算子$T_{2}$为

引理3.1  令${\cal D}$记Dirichlet空间, $P$是其上的有界算子, 则$P\in{\cal A}'(M_{z})$当且仅当$P$在${\cal D}$的规范正交基$\{ e_{k}(z) = \frac{z^{k}}{\gamma_{k}}\}_{k = 1}^{\infty}$下可表示为

其中$p_{jk}\in {\Bbb C} (j, k\geq 1)$, $\gamma_{k} = \sqrt{k}$. 若$P$是投影算子, 则$P\in{\cal A}'(M_{z})$当且仅当$P = I$或$0$.

证   由$M_{z}e_{k} = z\frac{z^{k}}{\gamma_{k}} = \frac{\gamma_{k+1}}{\gamma_{k}}e_{k+1}\nonumber$, 得$M_{z}$在${\cal D}$的这组规范正交基下的矩阵表示为

假设$P$在该组规范正交基下的矩阵表示为

其中$p_{ij} = <Pe_{j}, e_{i}>$. 由$M_{z}P = PM_{z}$, 得

于是, (3.1) 式成立. 反之, 如果$P$在上述规范正交基下有如(3.1) 式的矩阵表示, 易证$M_{z}P = PM_{z}$, 即$P\in{\cal A}'(M_{z})$. 进而, 如果$P$是一个投影算子当且仅当$P = {\rm diag}(p_{11}, p_{11}, \cdots , p_{11}, \cdots )$, 其中$p_{11} = 1$或$0$.

引理3.2   若${\cal H }_{j} = \overline{\rm span}\{e_{(k-1)n+j}:k\geq 1\} (j = 1, 2, \cdots , n)$, 则

$(1) \{e_{(k-1)n+j}\}_{k = 1}^{\infty}$是${\cal H}_{j}$的规范正交基;

$(2) \rm{ } {\cal D} = {\cal H}_{1}\oplus {\cal H}_{2} \oplus \cdots \oplus {\cal H}_{n}$;

$(3) \rm{ } {\cal H}_{j}$是$T_{2}$的约化子空间.

证   $(1)$, $(2)$显然. 下证$(3)$.

所以$T_{2}{\cal H}_{j}\subset {\cal H}_{j}$且

即${\cal H}_{j}$是$T_{2}$的约化子空间.

定理3.1  设$Q:{\cal D}\rightarrow {\cal D}$是一个投影算子, $T_{2j} = T_{2}|_{{\cal H}_j} (j = 1, 2, \cdots , n)$, 则

当且仅当$Q = {\rm diag}(Q_1, Q_2, \cdots , Q_{n})$, 其中$Q_{i} (i = 1, 2, \cdots , n)$为$I_{{\cal H}_i}$或$0$.

证   若$Q\in{\cal A}'({\rm diag }(T_{21}, T_{22}, \cdots , T_{2n}))$, 注意到${\cal D} = {\cal H}_{1}\bigoplus {\cal H}_{2}\bigoplus\cdots\bigoplus {\cal H}_{n}$, 则算子$Q$能分块为如下形式

其中$Q_{ij}: {\cal H}_{j}\rightarrow {\cal H}_{i} (i, j = 1, 2, \cdots , n)$. 由$Q\in{\cal A}'({\rm diag }(T_{21}, T_{22}, \cdots , T_{2n}))$得

假设$Q_{ij}$在${\cal H}_{j}$的规范正交基下的矩阵表示如下

其中$q_{t_{1}t_{2}}^{ij} = \langle Q_{ij}e_{(t_{2}-1)n+j}, e_{(t_{1}-1)n+i}\rangle (t_{1}, t_{2} = 1, 2, \cdots )$. 从(3.2) 式可知算子$T_{2j}$在${\cal H}_{j}$的这组规范正交基下的矩阵表示为

1) $i = j$. 从(3.3) 式, 得$Q_{jj}T_{2j} = T_{2j}Q_{jj} (j = 1, 2, \cdots, n)$. 由引理3.1可知$Q_{jj}$有形如(3.1)式的表示. 又$Q$是一个投影算子, 所以$Q_{jj} = Q_{jj}^{\ast}$. 于是得$Q_{jj} = q_{11}^{jj}I_{{\cal H }_j}$$(q_{11}^{jj}\in {\mathbb R})$.

2) $i\neq j$. 由(3.3) 式, 得$T_{2i}Q_{ij} = Q_{ij}T_{2j}$, 即

由此得

另一方面, 由(3.3) 式也有$T_{2j}Q_{ji} = Q_{ji}T_{2i}$. 类似对式$T_{2i}Q_{ij} = Q_{ij}T_{2j}$的处理, 得到

$Q$是${\cal D}$上的一个投影算子, 则$Q$是自伴的, 即$Q_{ij}^{\ast} = Q_{ji}$. 因此, $q_{l1}^{ij} = 0 (l = 2, 3, \cdots )$. 解方程组

得$q_{11}^{ij} = 0$. 因此, $Q_{ij} = 0$. $Q^{2} = Q$蕴含$Q = {\rm diag}(Q_1, Q_2, \cdots , Q_{n})$, 其中$Q_{i}(i = 1, 2, \cdots , n)$是$I_{{\cal H}_i}$或$0$. 反之, 若$Q = {\rm diag}(Q_1, Q_2, \cdots , Q_n)$, 其中$Q_{i} (i = 1, 2, \cdots , n)$是$I_{{\cal H}_i}$或$0$, 显然$Q\in{\cal A}'$(diag$(T_{21}, T_{22}, \cdots , T_{2n}))$.

定理3.2  在Dirichlet空间${\cal D }$中, 算子$T_{2}$有$2^{n}$个约化子空间, 极小约化子空间为${\cal H}_{1}, {\cal H}_{2}, \cdots , {\cal H}_{n}$.

证   设$Q:{\cal D}\rightarrow {\cal D }$是一个投影算子, 满足$QT_{2} = T_{2}Q$. 注意到$T_{2}|_{\cal D } = T_{21}\bigoplus T_{22} \bigoplus\cdots \bigoplus T_{2n}$. 因此

由定理3.1, 投影算子$Q = {\rm diag}(Q_1, Q_2, \cdots , Q_n)$, $Q_{i} (i = 1, 2, \cdots , n)$为$I_{{\cal H}_i}$或$0$. 由引理3.2得$T_{2}$的约化子空间为$c_{1}{\cal H}_{1}\bigoplus c_{2}{\cal H}_{2} \bigoplus \cdots \bigoplus c_{n}{\cal H}_{n}$, $c_{i} = 0$或$1$, $(i = 1, 2, \cdots , n)$, 即$T_{2}$有$2^{n}$个约化子空间, 极小约化子空间为${\cal H}_{1}, {\cal H}_{2}, \cdots , {\cal H}_{n}$.