近年来, 谱负Lévy风险过程受到了许多学者的关注. Landriault等^[13]运用空间逼近的方法研究了谱负Lévy过程的占位时. Albrecher等^[2]研究了在Poisson到达时间进行离散观测的谱负Lévy过程的首达时的拉普拉斯变换. 受Landrianlt等^[12-13]的启发, Baurdoux等^[4]在谱负Lévy风险模型下给出了带有指数延迟的Parisian破产的Gerber-Shiu分布.

Parisian破产的概念最初来自于Parisian期权. 从Dassios和Wu^[7]以来, Parisian破产在保险精算学中引起了广泛的关注. 如果保险公司的盈余水平在一段连续的时间内一直低于一个我们给定的盈余水平, 我们就说Parisian破产发生了. Parisian破产有两种定义, 一种是固定时间的延迟(参见文献[6, 20, 23, 25]). 另一种是随机时间的延迟(参见文献[4, 8-9, 12-13]). Lkabous和Renaud^[19]将以上两种延迟进行了整合并称之为混合延迟. Li等^[14]基于混合观测体系重新定义了Parisian破产问题, 并且得到了Parisian破产概率的具体表达式及其极限形式. 最近, Lkabous^[17]将Li等^[14]的结果进行了推广并得到了一些其他的波动等式. 在此, 我们指出Li等^[14]只给出了破产概率的表达式, Lkabous^[17]只讨论了当$ a = 0 $时Parisian破产时间的拉普拉斯变换. 但是, 破产时盈余的拉普拉斯变换以及破产时间和破产时盈余的联合拉普拉斯变换还没有被讨论.

受上面这些文献的启发, 在本文中, 我们继续在谱负Lévy风险模型下研究基于混合观测体系的Parisian破产问题, 并且讨论破产时间和赤字的联合拉普拉斯变换. 本文结构如下: 在第2节中, 我们给出模型并简单的介绍谱负Lévy过程和尺度函数; 在第3节中, 给出主要结果及证明; 在第4节中, 给出一个例子.

在本文中, 我们考虑风险盈余过程$ X = \{X_t\}_{t\ge0}, $它是一个谱负Lévy过程. 我们假设$ X $不是一个从属过程并且满足正的安全附加条件, 即

$ {\Bbb E}[X_1] = {\psi}^{'}(0+)>0, $

其中

$ {\psi}(s) = \log{{\Bbb E}[e^{{s}{X_1}}]}, \; \; \; \; s\ge0 $

是过程$ X $的拉普拉斯指数. 在整篇文章中, 相应的概率测度用$ {\Bbb P}_x $表示, 期望用$ {\Bbb E}_x $表示. 特别地, 我们记$ {\Bbb P} = {\Bbb P}_0, $$ {\Bbb E} = {\Bbb E}_0. $

Li等^[14]首次基于混合观测体系讨论了Parisian破产问题. 在混合观测体系下, 我们首先以强度为$ \lambda>0 $的Poisson到达时间对风险盈余过程$ X $进行离散观测, 直到观测到过程的盈余水平是负的. 接下来我们在宽限期$ r>0 $内对过程进行连续观测. 如果盈余水平在宽限期内回到我们预先给定的健康水平$ a\ge0, $则我们继续以Poisson到达时间对风险盈余过程进行离散观测. 否则, 我们在宽限期结束时称Parisian破产发生. 我们用下面的图 1来更详细的解释基于混合观测体系的Parisian破产问题.

下面, 我们定义一些符号. 首先, 过程$ X $关于水平$ x\; {\in}\; {\Bbb R} $的首达时定义为

$ \begin{eqnarray*} {\tau}_x^+ = {\rm inf}\{t\ge0:X_t\; {\ge}\; x\}, \; \; \; \; {\tau}_x^- = {\rm inf}\{t\ge0:X_t<x\}. \end{eqnarray*} $

我们将首次观测到过程的盈余水平小于0的时间定义为

$ \begin{eqnarray*} T_0^{\lambda, -} = {\rm inf}\{T_i>0:X_{T_i}<0, i\; {\in}\; {\Bbb N}\}, \end{eqnarray*} $

其中$ T_i $是独立同分布的Poisson到达时间, 强度为$ \lambda>0. $我们将混合观测体系下的Parisian破产时间定义为

$ \begin{eqnarray*} {K}_{a, r}^{\lambda} = {\rm inf}\{t\; {\in}\; (T_n, {\tau}_a^+\circ{\theta}_{T_n}):\; X_{T_i}<0, \; t-T_n\; {\ge}\; r, \; {\forall}n\; {\in}\; {\Bbb N}\}, \end{eqnarray*} $

其中$ \theta $是马尔可夫推移算子并满足$ X_t\circ{\theta}_s = X_{s+t}. $当$ a = 0 $时, 我们记$ {K}_{r}^{\lambda} = {K}_{0, r}^{\lambda}. $此外, 我们由Li等^[14]知道, 当$ u\; {\in}\; {\Bbb R} $时, 有

(2.1) $ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb P}_x({\tau}_a^+<r) = \int_{0}^{r}{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{u, a, \lambda}(s){\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中

(2.2) $ \begin{eqnarray} g_{u, a, \lambda}(s) = \int_a^{\infty}\left[\frac{Z(u, {\Phi}_{\lambda}){\Phi}_{\lambda}}{\lambda}-W(u+z-a)\right]{\frac{z}{s}}{\Bbb P}({X_s}{\in}{\rm d}z). \end{eqnarray} $

尺度函数和势测度的发展推动了波动理论的发展, 这对于我们在谱负Lévy过程中研究一些与破产和分红有关的量有非常大的帮助. Kuznetsov^[10]对谱负Lévy过程的尺度函数的理论和应用作了最新的介绍. 下面, 我们给出一些尺度函数, 这对我们后面的讨论有非常重要的作用. 首先, 我们可以从Kuznetsov^[10]中知道, $ {\Phi}(q) $是方程$ \psi(\theta) = q $的最大的根, 也就是

$ {\Phi}(q) = {\rm sup}\{\theta\ge0: {\psi}(\theta) = q\}. $

在此, 我们指出$ {\Phi}(q) = 0 $当且仅当$ q = 0, $我们记$ \Phi = {\Phi}(0) $. 当$ q\ge0 $时, 谱负Lévy过程的尺度函数由它的拉普拉斯变换给出

(2.3) $ \begin{eqnarray} \int_0^{\infty}e^{-{\theta}y}W^{(q)}(y){\rm d}y = \frac{1}{{\psi}_q(\theta)}, \; \; \; \; \theta>{\Phi}(q), \end{eqnarray} $

其中$ {\psi}_q(\theta) = {\psi}(\theta)-q. $当$ x<0 $时, $ W^{(q)}(x) = 0. $尺度函数$ W^{(q)} $有很多很好的性质. 例如, 当$ x\geq0 $时, 它是连续的, 正的, 严格单调递增的, 并且对任意的$ x\; {\in}\; {\Bbb R}, $有

(2.4) $ \begin{eqnarray} {\lim\limits_{b \to \infty}}\frac{W^{(q)}(b+x)}{W^{(q)}(b)} = e^{{\Phi}(q)x}. \end{eqnarray} $

当$ q = 0 $时, 我们记$ W^{(0)} = W $, 且由文献[10], 有

(2.5) $ \begin{eqnarray} {\lim\limits_{x \to \infty}}W(x) = \frac{1}{{\psi}^{'}(0+)}. \end{eqnarray} $

Albrecher等^[2]定义了尺度函数

(2.6) $ \begin{eqnarray} Z^{(q)}(x, \theta) = \left\{ \begin{array}{ll} { } e^{{\theta}x}\left(1-{\psi}_q(\theta)\int_{0}^{x}e^{-{\theta}y}W^{(q)}(y){\rm d}y\right), \; &x\ge0, \\ e^{{\theta}x}, &x<0, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

这允许我们给出更一般的结论. 由Kyprianou^[11], 我们知道当$ \theta = 0 $时, 有

(2.7) $ \begin{eqnarray} Z^{(q)}(x) = Z^{(q)}(x, 0) = 1+q\int_{0}^{x}W^{(q)}(y){\rm d}y, \; \; \; \; x\; {\in}\; {\Bbb R}. \end{eqnarray} $

由(2.3)和(2.6) 式, 可以得到

(2.8) $ \begin{eqnarray} Z^{(q)}(x, \theta) = {\psi}_q(\theta)\int_{0}^{\infty}e^{-{\theta}y}W^{(q)}(x+y){\rm d}y, \; \; \; \; \; x\ge0, \; \; \theta>{\Phi}(q), \end{eqnarray} $

并且对任意的$ \theta>{\Phi}(q), $有

(2.9) $ \begin{eqnarray} {\lim\limits_{b \to \infty}}\frac{Z^{(q)}(b, \theta)}{W^{(q)}(b)} = \frac{{\psi}_q(\theta)}{\theta-{\Phi}(q)}. \end{eqnarray} $

为了简单起见, 当$ p $, $ p+q\ge0, $$ x\in{\Bbb R} $时, Loeffen等^[22]引入了尺度函数$ W_a^{(p, q)}(x) $

(2.10) $ \begin{eqnarray} W_a^{(p, q)}(x)& = &W^{(p)}(x)+q\int_{a}^{x}W^{(p+q)}(x-y)W^{(p)}(y){\rm d}y \\ & = &W^{(p+q)}(x)-q\int_{0}^{a}W^{(p+q)}(x-y)W^{(p)}(y){\rm d}y. \end{eqnarray} $

众所周知

(2.11) $ \begin{eqnarray} \int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_a^{(p, q)}(a+z){\rm d}z = \frac{Z^{(p)}(a, \theta)}{{\psi}_{p+q}(\theta)}, \; \; \; \; \; \theta>{\Phi}(p+q), \end{eqnarray} $

并且

(2.12) $ \begin{eqnarray} (s-(p+q))\int_{b}^{x}W^{(s)}(x-y)W_b^{(p, q)}(y){\rm d}y = W_b^{(p, s-p)}(x)-W_b^{(p, q)}(x). \end{eqnarray} $

Lkabous和Renaud^[19]定义了$ (r, s) $ -延迟尺度函数$ {\Lambda}^{(p)}(x;r, q) $

(2.13) $ \begin{eqnarray} {\Lambda}^{(p)}(x;r, q) = \int_{0}^{\infty}W_z^{(p+q, -q)}(x+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z), \end{eqnarray} $

它也可以被写为

(2.14) $ \begin{eqnarray} {\Lambda}^{(p)}(x;r, q) = \int_{0}^{\infty}W_x^{(p, q)}(x+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z). \end{eqnarray} $

当$ q = 0 $时, (2.14) 式简化为$ {\Lambda}^{(p)}(x;r, 0) = {\Lambda}^{(p)}(x, r), $其中

(2.15) $ \begin{eqnarray} {\Lambda}^{(p)}(x, r) = \int_{0}^{\infty}W^{(p)}(x+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z), \end{eqnarray} $

详见Loeffen等^[21], 并且我们记$ \Lambda = {\Lambda}^{(0)}. $

在这一章中, 我们讨论$ a = 0 $时破产时间和赤字的联合拉普拉斯变换以及$ a\geq0 $时破产时盈余的拉普拉斯变换.

定理3.1  当$ u\in{\Bbb R}, $$ a, \theta\ge0 $, 并且$ \lambda, r>0 $时, 有

(3.1) $ \begin{equation} {\Bbb E}_u[e^{{\theta}X_{{K}_{a, r}^{\lambda}}};K_{a, r}^{\lambda}<\infty] = J_{a, r, \lambda, \theta}(a)\frac{\int_0^r{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{u, a, \lambda}(s){\rm d}s} {1-\int_0^r{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{a, a, \lambda}(s){\rm d}s}+J_{a, r, \lambda, \theta}(u), \end{equation} $

其中

$ J_{a, r, \lambda, \theta}(u) = -\int_0^r{\lambda}e^{{\theta}a}f_{\lambda, \theta}(r-s)g_{u, a, \lambda}(s){\rm d}s-h_{r, \lambda, \theta}(u), $

$ f_{\lambda, \theta}(r-s) = \frac{\psi(\theta)}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(e^{{\psi}(\theta)(r-s)}-e^{{\lambda}(r-s)})+e^{{\lambda}(r-s)}, $

$ h_{r, \lambda, \theta}(u) = \frac{{\lambda}e^{{\psi}(\theta)r}}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(Z(u, \theta)-Z(u, {\Phi}_{\lambda})\frac{{{\psi}(\theta)}{\Phi}({\lambda})}{{\lambda}{\theta}}). $

注3.1  当$ \theta\rightarrow0 $时, 定理3.1和文献[14]中的定理4.1是一致的.

定理3.1的证明  对$ T_{0}^{\lambda, -} $取条件并运用强马氏性, 有

(3.2) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_u[e^{{\theta}X_{{K}_{a, r}^{\lambda}}};K_{a, r}^{\lambda}<\infty]& = &\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb P}_x({\tau}_a^+<r) {\Bbb E}_a[e^{{\theta}X_{{K}_{a, r}^{\lambda}}};{K}_{a, r}^{\lambda}<\infty] \\ &&+\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]. \end{eqnarray} $

在(3.2) 式中令$ u = a, $可以得到

(3.3) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_a[e^{{\theta}X_{{K}_{a, r}^{\lambda}}};{K}_{a, r}^{\lambda}<\infty] = \frac{\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_a(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty) {\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]} {1-\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_a(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb P}_x({\tau}_a^+<r)}. \end{eqnarray} $

将(3.3) 式代入(3.2) 式, 有

(3.4) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_u[e^{{\theta}X_{{K}_{a, r}^{\lambda}}};K_{a, r}^{\lambda}<\infty] & = &\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb P}_x({\tau}_a^+<r) \\ &&\times \frac{\int_{-\infty}^{0} {\Bbb P}_a(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty) {\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]} {1-\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_a(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb P}_x({\tau}_a^+<r)} \\ &&+\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]. \end{eqnarray} $

由(2.1) 式, 为了证明我们的结果, 我们只需计算

(3.5) $ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]. \end{eqnarray} $

一方面, 由文献[11], 有

(3.6) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}e^{-qt}{\Bbb P}_x(X_t{\in}{\rm d}y, t<{\tau}_a^+){\rm d}t = (e^{{\Phi}(q)(x-a)}W^{(q)}(a-y)-W^{(q)}(x-y)){\rm d}y. \end{eqnarray} $

由(2.3) 式, (3.6) 式以及Fubini定理很容易得到

(3.7) $ \begin{eqnarray} \int_0^{\infty}e^{{-\beta}r}{\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]{\rm d}r & = &\int_0^{\infty}e^{{-\beta}r}\int_{-\infty}^{a}e^{{\theta}y}{\Bbb P}_x({X_r}{\in}{\rm d}y, {\tau}_a^+>r){\rm d}r \\ & = &\int_{-\infty}^{a}e^{{\theta}y}\int_0^{\infty}e^{{-\beta}r}{\Bbb P}_x({X_r}{\in}{\rm d}y, {\tau}_a^+>r){\rm d}r \\ & = &\int_{-\infty}^{a}e^{{\theta}y}(e^{{\Phi}({\beta})(x-a)}W^{(\beta)}(a-y)-W^{(\beta)}(x-y)){\rm d}y \\ & = &\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}e^{{\Phi}({\beta})x}-\frac{1}{{\psi}(\theta)-\beta}e^{{\theta}x}. \end{eqnarray} $

当$ \beta>0 $时, 对(3.5) 式关于$ r $取拉普拉斯变换, 并且由(3.7) 式和Fubini定理可以得到

(3.8) $ \begin{eqnarray} && \int_0^{\infty}e^{{-\beta}r}\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_b};{\tau}_a^+>r]{\rm d}r \\ & = & \int_{-\infty}^{0}\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty)e^{{\Phi}({\beta})x} \\ && -\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty)e^{{\theta}x}. \end{eqnarray} $

由文献[20], 有

(3.9) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_u[e^{qX_{T_0^{\lambda, -}}};T_0^{\lambda, -}<\infty] = \frac{\lambda}{\lambda-{\psi}(q)}\left(Z(u, q)-Z(u, {\Phi}_{\lambda})\frac{{\psi(q)}{\Phi}_{\lambda}}{{\lambda}q}\right). \end{eqnarray} $

因此, 由(2.8) 式和(3.9) 式得

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\int_{-\infty}^{0}\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty)e^{{\Phi}({\beta})x} \\ & = &\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb E}_u[e^{{{\Phi}({\beta})}X_{T_0^{\lambda, -}}};T_0^{\lambda, -}<\infty] \\ & = &\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}\frac{\lambda}{\lambda-\beta} \bigg[Z(u, {\Phi}({\beta}))-Z(u, {\Phi}({\lambda}))\frac{{\beta}{{\Phi}({\lambda})}} {{\lambda}{{\Phi}({\beta})}}\bigg] \\& = &\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}\frac{{\lambda}{\beta}}{\lambda-\beta}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-{{\Phi}({\beta})}y}W(u+y){\rm d}y- \frac{Z(u, {\Phi}({\lambda})){{\Phi}({\lambda})}}{{\lambda}{{\Phi}({\beta})}}\right]. \end{eqnarray} $

当$ {\beta}>0, $$ {{\Phi}({\beta})}>0, $由(2.5) 式和分部积分, 有

(3.11) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}e^{-{{\Phi}({\beta})}y}W(u+y){\rm d}y = \frac{1}{{\Phi}({\beta})}W(u)+\frac{1}{{\Phi}({\beta})}\int_{0}^{\infty}e^{-{{\Phi}({\beta})}y}W'(u+y){\rm d}y. \end{eqnarray} $

结合(3.11) 式和(3.10) 式可以得到

(3.12) $ \begin{eqnarray} & &\int_{-\infty}^{0}\frac{e^{({\theta}-{\Phi}({\beta}))a}}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty)e^{{\Phi}({\beta})x} {}\\ & = &{\lambda}e^{{\theta}a} \bigg[\frac{{\psi}(\theta)}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(\frac{1}{\beta-{\psi}(\theta)}-\frac{1}{\beta-\lambda})+\frac{1}{\beta-\lambda}\bigg] \\ &&\times\bigg[\frac{e^{-{\Phi}({\beta})a}}{{\Phi}({\beta})}W(u) +\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-{\Phi}({\beta})(a+y)}}{{\Phi}({\beta})}W'(u+y){\rm d}y -\frac{Z(u, {\Phi}({\lambda})){\Phi}({\lambda})e^{-{\Phi}({\beta})a}}{{\lambda}{{\Phi}({\beta})}}\bigg]. \end{eqnarray} $

类似的, 有

(3.13) $ \begin{eqnarray} & &\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty)e^{{\theta}x} {}\\ & = &\frac{1}{\psi(\theta)-\beta}{\Bbb E}_u[e^{{\theta}X_{T_0^{\lambda, -}}};T_0^{\lambda, -}<\infty] \\ & = &\frac{1}{\beta-\psi(\theta)}\frac{\lambda}{{\psi}({\lambda})(\theta)}(Z(u, {\theta})-Z(u, {\Phi}({\lambda}))\frac{{\psi}(\theta){{\Phi}({\lambda})}}{{\lambda}{\theta}}). \end{eqnarray} $

将(3.12)和(3.13) 式代入(3.8) 式, 得到

(3.14) $ \begin{eqnarray} && \int_0^{\infty}e^{{-\beta}r}\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r]{\rm d}r \\ & = &{\lambda}e^{{\theta}a}\bigg[\frac{{\psi}(\theta)}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(\frac{1}{\beta-{\psi}(\theta)}-\frac{1}{\beta-\lambda})+\frac{1}{\beta-\lambda}\bigg] \\ &&\times \bigg[\frac{e^{-{\Phi}({\beta})a}}{{\Phi}({\beta})}W(u)+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-{\Phi}({\beta})(a+y)}}{{\Phi}({\beta})}W'(u+y){\rm d}y -\frac{Z(u, {\Phi}({\lambda})){\Phi}({\lambda})e^{-{\Phi}({\beta})a}}{{\lambda}{{\Phi}({\beta})}}\bigg] \\&&-\frac{1}{\beta-\psi(\theta)}\frac{\lambda}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(Z(u, {\theta})-Z(u, {\Phi}({\lambda}))\frac{{\psi}(\theta){{\Phi}({\lambda})}}{{\lambda}{\theta}}). \end{eqnarray} $

接下来我们讨论(3.14) 式的拉普拉斯逆变换. 当$ u\in{\Bbb R}, $$ a\ge0, $并且$ \beta, r, s>0 $时, 由文献[20] 中的结果, 有

(3.15) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\int_{a}^{\infty}\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r = \frac{e^{-{{\Phi}({\beta})}a}}{{\Phi}({\beta})}, \end{eqnarray} $

以及

(3.16) $ \begin{equation} \int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\int_{a}^{\infty}[W(u+z-a)-W(u)]\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-{{\Phi}({\beta})}(a+y)}}{{\Phi}({\beta})}W^{'}(u+y){\rm d}y. \end{equation} $

类似的

(3.17) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}e^{{\psi}(\theta)r}{\rm d}r = \frac{1}{\beta-\psi(\theta)}. \end{eqnarray} $

因此, 由(3.15) 式, (3.16) 式以及(3.17) 式, 有

(3.18) $ \begin{eqnarray} & &\int_{-\infty}^{0}{\Bbb P}_u(X_{T_0^{\lambda, -}}{\in}{\rm d}x, T_0^{\lambda, -}<\infty){\Bbb E}_x[e^{{\theta}X_r};{\tau}_a^+>r] \\ & = &-\int_{0}^{r}{\lambda}e^{{\theta}a}f_{\lambda, \theta}(r-s)g_{u, a, \lambda}(s){\rm d}s-h_{r, \lambda, \theta}(u) \\ & = &J_{a, r, \lambda, \theta}(u). \end{eqnarray} $

最后, 将(2.1) 式和(3.18) 式代入(3.4) 式就得到了(3.1) 式. 证毕.

接下来, 我们利用Lkabous^[17]中的定理3的结论和测度变换法讨论$ a = 0 $时破产时间和赤字的联合拉普拉斯变换.

定理3.2  当$ q, \theta\ge0 $, $ b, \lambda, r>0 $, 并且$ u\; {\leq}\; b $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}^{\lambda}+{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}};K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+] = \frac{\lambda{e^{-qr}}}{{\psi}_{q+\lambda}(\theta)}\left(\frac{S^{(q)}(u;r, \lambda)}{S^{(q)}(b;r, \lambda)}H^{(q, \theta)}(b;r) -H^{(q, \theta)}(u;r)\right), \end{eqnarray*} $

其中

$ S^{(q)}(u;r, \lambda) = e^{(q+\lambda)r}{Z_{q}(u, {\Phi}_{q+\lambda})}+{\Lambda}^{(q)}(u, r) -{\Lambda}^{(q)}(u;r, \lambda), $

$ H^{(q, \theta)}(u;r) = e^{{\psi(\theta)}r}Z_{q}(u, \theta) +{\Lambda}^{(q)}(u, r)-{\Lambda}^{(q)}(u;r, {\psi}_q(\theta)). $

证  由文献[11], 我们知道, 对任意的$ \theta\geq0, $过程

$ \begin{eqnarray*} \{e^{{{\theta}X_t-\psi(\theta)t}}:t\geq0\} \end{eqnarray*} $

是鞅. 对任意的$ \theta\geq0 $定义测度变换

$ \begin{eqnarray*} \left.\frac{{\rm d}{\Bbb P}^{\theta}}{{\rm d}{\Bbb P}}\right|_{{\cal F}_t} = e^{{\theta}X_t-\psi(\theta)t}. \end{eqnarray*} $

此外, 当$ (X, {\Bbb P}) $是一个谱负Lévy过程时, $ (X, {\Bbb P}^{\theta}) $仍然是谱负Lévy过程. 由测度变换, 我们有

(3.19) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}^{\lambda}+{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}}1_{\{K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+\}}] & = e^{{\theta}u}{\Bbb E}_u^{\theta}[e^{-{p}{K}_{r}^{\lambda}}1_{\{K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+\}}], \end{eqnarray} $

其中$ p = q-\psi(\theta), $$ {\Bbb E}_u^{\theta} $是在新的概率测度$ {\Bbb P}^{\theta} $下的期望. 定义在概率测度$ {\Bbb P}^{\theta} $下的尺度函数为带有下标$ \theta $的相应的尺度函数, 并且由Kyprianou^[11]可以知道, 当$ \theta\geq0, $$ q-\psi(\theta)\geq0 $时, 有

$ \psi_{\theta}(s) = \psi(\theta+s)-\psi(\theta), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Phi_{\theta}(s) = \Phi(s+\psi(\theta))-\theta, \; \; \; \; \; \; s\geq0, $

并且

$ W_{\theta}^{(p)}(x) = e^{-{\theta}x}W^{(p+\psi(\theta))}(x), \; \; \; \; \; \; \; \; Z_{\theta}^{(p)}(x) = 1+p\int_{0}^{x}W_{\theta}^{(p)}(y){\rm d}y. $

此外, 当$ x\geq0 $时, $ W^{(q)}(x) $和$ Z^{(q)}(x) $都可以被推广到$ q\; {\in}\; {\Bbb C}. $由文献[17], 有

$ {\Bbb E}_u[e^{-{p}{K}_{r}^{\lambda}}1_{\{K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+\}}] = \frac{{\lambda}e^{-pr}}{\lambda+p}\left(G^{(p)}(u, r)-\frac{{\Theta}^{(p)}(u;r, \lambda)}{{\Theta}^{(p)}(b;r, \lambda)}G^{(p)}(b, r)\right), $

其中

$ G^{(p)}(u, r) = Z^{(p)}(u)+\Lambda^{(p)}(u, r)-\Lambda^{(p)}(u;r, -p), $

$ {\Theta}^{(p)}(u;r, \lambda) = e^{(\lambda+p)r}Z^{(p)}(u, {\Phi}({\lambda+p}))-\Lambda^{(p)}(u, r)-\Lambda^{(p)}(u;r, \lambda). $

为了得到(3.19) 式的具体表达式, 我们需要得到

$ G^{(p)}_{\theta}(u, r) = Z^{(p)}_{\theta}(u)+\Lambda^{(p)}_{\theta}(u, r)-\Lambda^{(p)}_{\theta}(u;r, -p), $

$ {\Theta}^{(p)}_{\theta}(u;r, \lambda) = e^{(\lambda+p)r}Z^{(p)}_{\theta}(u, {\Phi}_{\theta}({\lambda+p})) -\Lambda^{(p)}_{\theta}(u, r)-\Lambda^{(p)}_{\theta}(u;r, \lambda) $

的具体表达式. 首先, 我们可以很容易得到

(3.20) $ \begin{eqnarray} Z^{(p)}_{\theta}(u) = e^{-{\theta}u}Z^{(q)}(u, \theta), \; \; \; \; \; \; \; \; Z^{(p)}_{\theta}(u, {\Phi}_{\theta}(\lambda+p)) = e^{-{\theta}u}Z^{(q)}(u, {\Phi}_{\lambda+q}). \end{eqnarray} $

而

$ \begin{eqnarray*} \Lambda^{(p)}_{\theta}(u;r, \lambda) & = &\int_0^{\infty}W_{x, \theta}^{(p, \lambda)}(u+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z) \\ & = &\int_0^{\infty}\left(W^{(p)}_{\theta}(u+z)+{\lambda}\int_{u}^{u+z}W^{(p+\lambda)}_{\theta}(u+z-y)W^{(p)}_{\theta}(y){\rm d}y\right)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z) \\ & = &e^{-{\theta}u}\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z). \end{eqnarray*} $

对$ \int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z) $关于$ r>0 $取拉普拉斯变换, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^{\infty}e^{-{\beta}r}\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r\\ & = &\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\int_0^{\infty}e^{-{\beta}r}\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r \\ & = &\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\int_0^{\infty}e^{-{\beta}r}{\Bbb P}^{\theta}({\tau}_z^+{\in}{\rm d}r){\rm d}z \\ & = &\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z){\Bbb E}^{\theta}[e^{-{\beta}{{\tau}_z^+}};{\tau}_z^+<\infty]{\rm d}z \\ & = &\int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)e^{-{\Phi}_{\theta}(\beta)z}{\rm d}z \\ & = &\int_0^{\infty}e^{-{\Phi}(\beta+\psi(\theta))z}W_x^{(q, \lambda)}(u+z){\rm d}z \\ & = &\frac{Z_q\left(u, {\Phi}(\beta+\psi(\theta))\right)}{\beta+\psi(\theta)-(q+\lambda)}, \end{eqnarray*} $

其中第一个和第四个等式中分别用到了Fubini定理和(2.11) 式, 第二个等式中用到了Kendall等式^[5],

(3.21) $ \begin{equation} {\Bbb P}({\tau}_z^+{\in}{\rm d}r){\rm d}z = z{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r, \; \; \; \; 0<x<\infty, \; \; 0<z<\infty. \end{equation} $

由文献[11] 中首达时$ x $的拉普拉斯变换

(3.22) $ \begin{equation} {{\Bbb E}}_u[e^{-q{{\tau}_x^+}};{\tau}_x^+<\infty] = e^{{\Phi}(q)(u-x)} \end{equation} $

得到了第四个等式. 与此同时

$ \begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}e^{-{\beta}r}\big(e^{-\psi(\theta)r}\Lambda^{(q)}(u;r, \lambda)\big){\rm d}r & = &\int_0^{\infty}e^{-{(\beta+\psi(\theta))}r}\int_0^{\infty}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r \\ & = &\int_0^{\infty}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)\int_0^{\infty}e^{-{(\beta+\psi(\theta))}r}{\Bbb P}({\tau}_z^+{\in}{\rm d}r){\rm d}z \\ & = &\int_0^{\infty}W_u^{(q, \lambda)}(u+z){\Bbb E}[e^{-{(\beta+\psi(\theta)){\tau}_z^+}};{\tau}_z^+<\infty]{\rm d}z \\ & = &\int_0^{\infty}W_u^{(q, \lambda)}(u+z)e^{-{\Phi}(\beta+\psi(\theta))z}{\rm d}z \\ & = &\frac{Z^{(q)}\left(u, {\Phi}(\beta+\psi(\theta))\right)}{\beta+\psi(\theta)-(q+\lambda)}. \end{eqnarray*} $

由拉普拉斯变换的唯一性, 可知

$ \int_0^{\infty}e^{-{\theta}z}W_u^{(q, \lambda)}(x+z)\frac{z}{r}{\Bbb P}^{\theta}(X_r{\in}{\rm d}z) = e^{-\psi(\theta)r}\Lambda^{(q)}(u;r, \lambda), $

换句话说, 也就是

(3.23) $ \begin{equation} \Lambda^{(p)}_{\theta}(u;r, \lambda) = e^{-{\theta}x}e^{-\psi(\theta)r}\Lambda^{(q)}(u;r, \lambda). \end{equation} $

将(3.20) 式和(3.23) 式代入(3.19) 式, 并结合$ p = q-\psi(\theta), $有

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}^{\lambda}+{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}};{K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+}] & = & e^{{\theta}u}{\Bbb E}_x^{\theta}[e^{-{p}{K}_{r}^{\lambda}};{K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+}] \\ & = &e^{{\theta}u}\frac{{\lambda}e^{-pr}}{\lambda+p} \left(G^{(p)}_{\theta}(u, r)-\frac{{\Theta}^{(p)}_{\theta}(u;r, \lambda)}{{\Theta}^{(p)}_{\theta}(b;r, \lambda)}G^{(p)}_{\theta}(b, r)\right) \\ & = &\frac{\lambda{e^{-qr}}}{{\psi}_{q+\lambda}(\theta)}\left(\frac{S^{(q)}(u;r, \lambda)}{S^{(q)}(b;r, \lambda)}H^{(q, \theta)}(b;r) -H^{(q, \theta)}(u;r)\right). \end{eqnarray*} $

定理3.2证毕.

推论3.1  当$ b\rightarrow \infty $时, 有

$ \label{eq:3.32}{\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}^{\lambda}+{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}};K_{r}^{\lambda}<\infty] = \frac{\lambda{e^{-qr}}}{{\psi}_{q+\lambda}(\theta)}\left(S^{(q)}(u;r, \lambda)\widetilde{H}^{(q, \theta)}(r, \lambda) -H^{(q, \theta)}(u;r)\right), $

其中

$ \widetilde{H}^{(q, \theta)}(r, \lambda) = \frac{e^{{\psi}(\theta)r}\frac{{\psi}_{q}(\theta)}{\theta-{\Phi}({q})} +\int_{0}^{\infty}\left(e^{{\Phi}({q})z}-Z^{(\psi(\theta))}(z, {\Phi}({q}))\right)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z)} {\frac{{\lambda}e^{(q+\lambda)r}}{({{\Phi}({q+\lambda})-{\Phi}({q})})}+ \int_{0}^{\infty}\left(e^{{\Phi}({q})(z)}-Z_{q+\lambda}(z, {\Phi}({q}))\right)\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z)}. $

注3.2  当$ \theta\rightarrow0 $时, 推论3.1中的拉普拉斯变换和文献[17] 中的$ (26) $式是一致的.

推论3.1的证明  我们首先注意到

(3.24) $ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{b\to+\infty}\frac{W_z^{(\psi(\theta), q-\psi(\theta))}(b+z)}{W^{(q)}(b)} \\ & = &\lim\limits_{b\to+\infty}\frac{W^{(q)}(b+z)}{W^{(q)}(b)}+{\psi}_q(\theta)\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{0}^{z}\frac{W^{(q)}(b+z-y)}{W^{(q)}(b)}W^{(\psi(\theta))}(y){\rm d}y \\ & = &e^{{\Phi}(q)z}+{\psi}_q(\theta)\int_{0}^{z}e^{{\Phi}(q)(z-y)}W^{(\psi(\theta))}(y){\rm d}y \\ & = &e^{{\Phi}(q)z}\left(1+{\psi}_q(\theta)\int_{0}^{z}e^{-{\Phi}(q)y}W^{(\psi(\theta))}(y){\rm d}y\right) \\ & = &Z^{(\psi(\theta))}(z, {\Phi}(q)). \end{eqnarray} $

由式(2.4) 式, (2.9) 式和(3.24) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{b\to+\infty}\frac{H^{(q, \theta)}(b, r)}{S^q(b;r, \lambda)} = \lim\limits_{b\to+\infty}\frac{H^{(q, \theta)}(b, r)/W_q(b)}{S^q(b;r, \lambda)/W_q(b)} = \widetilde{H}^{(q, \theta)}(r, \lambda). \end{eqnarray*} $

推论3.1证毕.

推论3.2  在定理$ \rm3.2 $中令$ \lambda\rightarrow \infty, $有

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}+{\theta}X_{{K}_{r}}};K_{r}<{\tau}_b^+] = e^{-qr}\left(H^{(q, \theta)}(u;r)-\frac{\Lambda^{(q)}(u, r)}{\Lambda^{(q)}(b, r)}H^{(q, \theta)}(b;r)\right) . \end{eqnarray*} $

证  由(3.17) 式, (2.14) 式以及Fubini定理可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\left(e^{(q+\lambda)r}Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))-{\Lambda}^{(q)}(b;r, \lambda)\right){\rm d}r \\ & = &\frac{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))}{\beta-(q+\lambda)}-\int_{0}^{\infty}W_b^{(q, \lambda)}(b+z)\int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\frac{z}{r}{\Bbb P}(X_r{\in}{\rm d}z){\rm d}r \\ & = &\frac{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))}{\beta-(q+\lambda)}-\int_{0}^{\infty}W_b^{(q, \lambda)}(b+z)\int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}{\Bbb P}({\tau}_z^+{\in}{\rm d}r){\rm d}z \\ & = &\frac{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))}{\beta-(q+\lambda)}-\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})z}W_b^{(q, \lambda)}(b+z){\rm d}z \\ & = &\frac{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))-Z^{(q)}(b, {\Phi}(\beta))}{\beta-(q+\lambda)}, \end{eqnarray*} $

其中$ \beta>q+\lambda, $$ {\Phi}({\beta})>{\Phi}({q+\lambda}), $在第二个和第三个等式中分别用到了(3.21) 式和(3.22) 式, 在最后一个等式中用到了(2.11) 式. 与此同时, 当$ {\lambda\to\infty} $时, 有$ {\beta\to\infty}, $$ {{\Phi}({\beta})\to\infty}, $$ {{\Phi}({q+\lambda})\to\infty}. $因此

$ \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\left(e^{(q+\lambda)r}Z_q(b, {\Phi}_{q+\lambda})-{\Lambda}^{(q)}(b;r, \lambda)\right){\rm d}r \\ & = & \lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))-Z^{(q)}(b, {\Phi}({\beta}))}{\beta-(q+\lambda)} \\ & = &\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y -(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y}{\beta-(q+\lambda)} \\ & = &-\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y} {\beta-(q+\lambda)}, \end{eqnarray*} $

其中第二个等式中用到了(2.8) 式. 由于$ {\Phi}({\beta})>{\Phi}({q+\lambda}) $, $ \beta>q+\lambda, $因此有

$ \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y} {\beta-(q+\lambda)} \\ &{\leq }& \lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y} {\beta-(q+\lambda)} \\ & = & \lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y = 0, \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y} {\beta-(q+\lambda)} \\ &{\geq}&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{(\beta-q)\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-{(\beta-q)}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y} {\beta-(q+\lambda)} \\ &{\geq}&\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({\beta})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y-\int_{0}^{\infty}e^{-{\Phi}({q+\lambda})y}W^{(q)}(b+y){\rm d}y \\ & = &0. \end{eqnarray*} $

所以, 可以得到

$ \lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-{\beta}r}\left(e^{(q+\lambda)r}Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))-{\Lambda}^{(q)}(b;r, \lambda)\right){\rm d}r = 0. $

由拉普拉斯变换的唯一性, 可知

$ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda\to\infty}\left(e^{(q+\lambda)r}Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))-{\Lambda}^{(q)}(b;r, \lambda)\right) = 0.\nonumber \end{equation} $

因此

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}+{\theta}X_{{K}_{r}}};K_{r}<{\tau}_b^+] \\ & = & \lim\limits_{\lambda\to\infty}{\Bbb E}_u[e^{-{q}{K}_{r}^{\lambda}+{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}};K_{r}^{\lambda}<{\tau}_b^+] \\ & = & \lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{{\lambda}e^{-qr}}{{\psi}_{q+\lambda}(\theta)}\left[\frac{e^{(q+\lambda)r}{Z^{(q)}(u, {\Phi}({q+\lambda}))}+{\Lambda}^{(q)}(u, r) -{\Lambda}^{(q)}(u;r, \lambda)} {e^{(q+\lambda)r}{Z^{(q)}(b, {\Phi}({q+\lambda}))}+{\Lambda}^{(q)}(b, r) -{\Lambda}^{(q)}(b;r, \lambda)}H^{(q, \theta)}(b;r) \! -\!H^{(q, \theta)}(u;r)\right] \\ & = &e^{-qr}\left(H^{(q, \theta)}(u;r)-\frac{\Lambda^{(q)}(u, r)}{\Lambda^{(q)}(b, r)}H^{(q, \theta)}(b;r)\right). \end{eqnarray*} $

推论3.2证毕.

本章在特殊的Lévy风险模型: Brownian风险模型下给出了Parisian破产时盈余的拉普拉斯变换. 令

$ X_t-x = {\mu}t+B_t, $

其中$ \mu>0, $$ \{B_t\}_{t\ge0} $是一个标准布朗运动. 为了简单起见, 我们假设$ a = 0. $显然易得$ \psi(\theta) = {\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2, $$ {\Phi}({\lambda}) = \sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}-\mu. $

下面, 我们计算破产时盈余的拉普拉斯变换. 由$ (2.3) $式和$ (2.8) $式可得

$ W(x) = \frac{1}{\mu}(1-e^{-2{\mu}x}), $

$ Z(x, \theta) = \frac{{\psi}(\theta)}{\mu}\bigg(\frac{1}{\theta}-\frac{e^{-2{\mu}x}}{\theta+2{\mu}}\bigg) , \; \; \; \; \theta>\Phi. $

由(2.2) 式, 有

$ g_{x, 0, \lambda}(s) = \frac{e^{-2{\mu}x}}{{\mu}s}\bigg[\int_{0}^{\infty}e^{-2{\mu}z}z{\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z)- \frac{{\Phi}({\lambda})}{{\Phi}({\lambda})+2{\mu}}\int_{0}^{\infty}z{\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z)\bigg]. $

由$ {\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z) = \frac{1}{\sqrt{2{\pi}s}}e^{-\frac{(z-{\mu}s)^2}{2s}}{\rm d}z, $化简可得

$ \int_{0}^{\infty}z{\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z) = \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{2{\pi}}}e^{-\frac{{\mu}^2s}{2}}+{\mu}s{{\cal N}}({\mu}\sqrt{s}), $

$ \int_{0}^{\infty}e^{-2{\mu}z}z{\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z) = \int_{0}^{\infty}z{\Bbb P}(X_s{\in}{\rm d}z)-{\mu}s, $

其中$ {\cal N}(\cdot) $是一个标准正态随机变量的累积分布函数. 因此

$ g_{x, 0, \lambda}(s) = {e^{-2{\mu}x}} \bigg[\frac{2}{\sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}+{\mu}} \bigg(\frac{1}{\sqrt{2{\pi}s}}e^{-\frac{{\mu}^2s}{2}}+{\mu}{{\cal N}}({\mu}\sqrt{s})\bigg)-1\bigg]. $

此外

$ f_{\lambda, \theta}(r-s) = \frac{{\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2}{{\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2-\lambda} (e^{({\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2)(r-s)}-e^{{\lambda}(r-s)})+e^{{\lambda}(r-s)}, $

$ h_{r, \lambda, \theta}(x) = \frac{{\lambda}e^{({\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2)r}}{{\mu}{\theta}+\frac{1}{2}{\theta}^2-\lambda} \left[-\frac{{\theta}e^{-2{\mu}x}}{2{\mu}}+(1+\frac{\theta}{2{\mu}})e^{-2{\mu}x}\frac{\sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}-\mu}{\sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}+\mu}\right]. $

通过一些计算, 我们得到

(4.1) $ \begin{equation} \int_{0}^{r}f_{\lambda, \theta}(r-s)\frac{e^{-\frac{{\mu}^2s}{2}}}{\sqrt{2{\pi}s}}{\rm d}s = \frac{2}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}\left(J_1(\psi(\theta);r, \mu)-J_1(\lambda;r, \mu)\right), \end{equation} $

(4.2) $ \begin{equation} \int_{0}^{r}f_{\lambda, \theta}(r-s){{\cal N}}({\mu}\sqrt{s}){\rm d}s = \frac{\mu}{{\psi}_{\lambda}(\theta)} \bigg[J_2(\psi(\theta);r, \mu)-J_2(\lambda;r, \mu)+\frac{1}{2}(e^{{\psi(\theta)}r}-e^{{\lambda}r})\bigg], \end{equation} $

(4.3) $ \begin{equation} \int_{0}^{r}f_{\lambda, \theta}(r-s){\rm d}s = \frac{1}{{\psi}_{\lambda}(\theta)}(e^{{\psi(\theta)}r}-e^{{\lambda}r}), \end{equation} $

其中

$ J_1(\lambda;r, \mu) = \frac{{\lambda}e^{{\lambda}r}}{\sqrt{{\mu}^2+2\lambda}}\left({{\cal N}}(\sqrt{r({\mu}^2+2\lambda)})-\frac{1}{2}\right), $

$ J_2(\lambda;r, \mu) = \frac{{\mu}^2{e^{{\lambda}r}}}{\sqrt{{\mu}^2+\lambda}}\left({{\cal N}}(\sqrt{{\mu}^2+{\lambda}r})-\frac{1}{2}\right). $

与此同时, 我们有

(4.4) $ \begin{eqnarray} {\lambda}\int_{0}^{r}e^{{\lambda}(r-s)}g_{x, 0, \lambda}(s){\rm d}s& = &e^{-2{\mu}x}(1-\frac{{\Phi}({\lambda})+\mu}{{\Phi}({\lambda})+2\mu}e^{{\lambda}r}) \\ && +\frac{e^{-2{\mu}x}}{{\Phi}({\lambda})+2\mu}[2J_1(\lambda;r, \mu)+{\mu}\left(J_2(\lambda;r, \mu)-{{\cal N}}({\mu}\sqrt{r})\right)]. \end{eqnarray} $

将(4.1) 式, (4.2) 式和(4.3) 式相加, 可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{r}f_{\lambda, \theta}(r-s)g_{x, 0, \lambda}(s){\rm d}s& = &\frac{e^{-2{\mu}x}({\Phi}({\lambda})+\mu)}{{{\psi}_{\lambda}(\theta)}({\Phi}({\lambda})+2\mu)}(e^{{\lambda}r}-e^{{\psi(\theta)}r}) \\ && +\frac{e^{-2{\mu}x}}{{{\psi}({\lambda})(\theta)}({\Phi}({\lambda})+2\mu)}[2\left(J_1(\psi(\theta);r, \mu)-J_1(\lambda;r, \mu)\right) \\&&+{\mu}\left(J_2(\psi(\theta);r, \mu) -J_2(\lambda;r, \mu)\right)]. \end{eqnarray*} $

因此, 我们有

(4.5) $ \begin{eqnarray} J_{0, r, \lambda, \theta}(x) & = &-\int_{0}^{r}f_{\lambda, \theta}(r-s)g_{x, 0, \lambda}(s){\rm d}s-h_{r, \lambda, \theta}(x) \\ & = &\frac{e^{-2{\mu}x}}{{{\psi}_{\lambda}(\theta)}}\left[\frac{({\Phi}({\lambda})+\mu)}{({\Phi}({\lambda})+2\mu)}(e^{{\psi(\theta)}r}-e^{{\lambda}r}) \! -\!{\lambda}e^{{\psi(\theta)}r} \left(-\frac{\theta}{2{\mu}}+(1+\frac{\theta}{2{\mu}})\frac{\sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}-\mu}{\sqrt{{\mu}^2+2{\lambda}}+\mu}\right)\right] \\ &&-\frac{e^{-2{\mu}x}}{{{\psi}_{\lambda}(\theta)}({\Phi}({\lambda})+2\mu)}[2\left(J_1(\psi(\theta);r, \mu) \!-\!J_1(\lambda;r, \mu)\right)+{\mu}\left(J_2(\psi(\theta);r, \mu) \!-\!J_2(\lambda;r, \mu)\right)].{}\\ \end{eqnarray} $

由定理3.1, 可得

$ {\Bbb E}_u[e^{{\theta}X_{{K}_{r}^{\lambda}}};K_{r}^{\lambda}<\infty] = J_{0, r, \lambda, \theta}(0)\frac{\int_0^r{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{x, 0, \lambda}(s){\rm d}s}{1-\int_0^r{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{0, 0, \lambda}(s){\rm d}s} + J_{0, r, \lambda, \theta}(u), $

其中$ \int_0^r{\lambda}e^{{\lambda}(r-s)}g_{x, 0, \lambda}(s){\rm d}s $和$ J_{0, r, \lambda, \theta}(u) $分别由(4.4) 式和(4.5) 式给出.