假设本文引入的所有随机过程和随机变量都定义在完备概率空间$ (\Omega, \ {\cal F}, \ \{{\cal F}_{t}\}_{t\geq 0}, \ {\Bbb P}) $上. 在没有控制时的盈余过程$ \{X(t);\ t\geq 0\} $由扩散风险模型描述, 即

(1.1) $ \begin{eqnarray} {\rm d}X(t) = \mu {\rm d}t+\sigma {\rm d}W(t), \end{eqnarray} $

其中$ \mu, \sigma>0 $, $ X(0) = x\geq 0 $是初始盈余, $ \{W(t);\ t\geq 0\} $是一个标准布朗运动. 关于该模型的介绍可以参看Asmussen和Taksar^[1].

在模型(1.1)中考虑比例再保险和分红策略, 所以控制策略$ \pi $定义为一个二维随机过程$ \{a_\pi(t), L_\pi(t)\} $, 其中$ 0\leq a_\pi(t)\leq 1 $表示$ t $时刻自留风险的比例, $ L_\pi(t) $是一个非负、非降的右连续过程, 表示到$ t $时刻累积分红额. 记$ \Pi $表示所有控制策略的集合. 本文考虑便宜再保费情形, 由Jgaard和Taksar^[2]可知, 引入控制策略$ \pi $后的盈余过程$ \{X^\pi (t);\ t\geq 0\} $可描述为$ {\rm d}X^\pi(t) = \mu a_\pi(t){\rm d}t+\sigma a_\pi(t){\rm d}W(t)-{\rm d}L_\pi(t), $$ X^\pi(0) = x-L_\pi(0) $.

最优分红问题是保险精算中的重要研究问题, 起源于De Finetti^[3]对离散时间风险模型最优分红策略的研究, 之后被很多学者在更为贴近实际的模型中加以研究, Avanzi^[4], Albrecher和Thonhauser^[5]从不同角度对分红问题进行综述. 近年来, 最优分红问题仍然是国内外精算研究者们关心的热点问题. Thonhauser和Albrecher^[6]在经典风险模型和扩散风险模型中考虑带破产终值情况下最优分红问题. Albrecher和Thonhauser^[7]在经典风险模型中研究了随机时间区间最优分红问题. Liang和Young^[8]在扩散风险模型中研究带破产终值情况下最优再保险和分红联合策略. Zhao等^[9]在对偶模型中研究随机时间区间最优分红和注资联合策略. Chen和Yuen^[10]研究了存在两个再保险人情形的最优再保险和分红联合策略. Albrecher等^[11]研究了存在两个保险公司相互合作情况下最优二维分红问题. Giorgio和Patrick^[12]研究了考虑注资情况下有限时间区间最优分红注资联合策略. 更多的相关研究可参看文献[13-19].

本文受文献[6-7]启发, 在扩散风险模型中研究随机时间区间最优分红和再保险问题. 本文假设随机时间$ T $服从均值为$ \frac{1}{\lambda} $指数分布, 与$ \{W(t);\ t\geq 0\} $独立. 在实际应用中, 公司往往会受到一些随机因素的影响而终止运营, 虽然没有破产, 但不得不转让给别人. 文献[7]中假设在$ T $时刻如果没有破产, 将此时刻的公司盈余全部用于分红, 而本文假设$ T $时刻公司会有一个非负常数价值$ Q $. 如果破产先于$ T $到来, 借用文献[6]的思想, 假设在破产时刻, 公司也存在一个非负常数价值$ P $. 所以在控制策略$ \pi $下的回报函数$ V_{\pi}(x) $定义为未来分红现值与停止运营时(终止或破产)公司价值现值之和的期望, 即

$ V_{\pi}(x) = E_{x}\Big{[}\int_{0}^{\tau_{\pi}\wedge{T}}e^{-\delta t}{\rm d}L_\pi(t)+e^{-\delta T}QI_{\{\tau_{\pi}>T\}}+e^{-\delta \tau_{\pi}}PI_{\{\tau_{\pi}\leq T}\}\Big{]}, $

其中$ E_{x}[\cdot] $表示相应于初始盈余为$ x $的数学期望, $ \delta $表示折现率, $ I_{} $为示性函数. 我们的目的是要得到最大化的回报函数$ V(x) $, 即

$ V(x) = \mathop {\sup }\limits_{\pi\in\Pi}V_{\pi}(x). $

相应的最优策略记为$ \pi^{*} $. 类似于文献[7]的讨论, 可以得到

$ V_{\pi}(x) = E_{x}\Big{[}\int_{0}^{\tau_{\pi}}e^{-(\lambda+\delta) t}{\rm d}L_\pi(t)+e^{-(\lambda+\delta)\tau_{\pi}}P\Big{]}+E_{x}\Big{[}\int_{0}^{\tau_{\pi}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)t} {\rm d}t\Big{]}. $

本文结构安排如下, 第2节根据$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q $的取值情况分别构造最优策略, 并给出$ V(x) $的显式表达式. 第3节给出一个数值例子.

若$ V(x) $是$ (0, \infty) $上二阶连续可微函数, 利用标准的随机控制理论技巧, 可以得到$ V(x) $满足的HJB方程

(2.1) $ \begin{eqnarray} \max\Big \{1-V'(x), \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}V(x)\Big\} = 0, \end{eqnarray} $

其中$ {\cal A}_{a}V(x) = \frac{a^{2}\sigma^{2}}{2}V''(x)+a\mu V'(x)-[\lambda+\delta]V(x)+\lambda Q $, $ V(0) = P $.

注2.1  $ V(x) $在$ x = 0 $处未必连续, 因为当初始盈余为$ {\rm d}x $时, 有两种情况可以选择, 一是自留任意正的风险导致破产得到$ P $; 二是自留$ 0 $风险直到$ T $时刻得到$ Q $, 现值的期望为$ QE[e^{-\delta T}] = \frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q $, 所以有

(2.2) $ \begin{eqnarray} V(0+) = \max \Big\{P, \frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q\Big\}, \end{eqnarray} $

即当$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\geq 0 $时, $ V(x) $在$ x = 0 $处连续; 当$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q<0 $时, $ V(x) $在$ x = 0 $处不连续.

为了得到$ V(x) $和构造相应的最优策略, 我们先给出验证性定理.

定理2.1  若$ f(x) $为$ (0, \infty) $上递增、二阶连续可微的凹函数, 满足如下条件: $ f'(x)\geq1, $$ f(0+)\geq \max \{P, \frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q\} $, 且对任意$ a\in[0, 1] $, 有$ {\cal A}_{a}f(x)\leq0 $, 则$ f(x)\geq V(x), x\in(0, \infty) $.

证  对任意$ \pi\in\Pi $, 令$ {\cal T} = \{s:L_{\pi}(s-)\neq L_{\pi}(s)\} $, $ \widetilde{L}_{\pi}(t) = \sum\limits_{s\in{\cal T}, s\leq t}(L_{\pi}(s)-L_{\pi}(s-)) $表示$ L_{\pi}(t) $的不连续部分, $ \overline{L}_{\pi}(t) = L_{\pi}(t)-\widetilde{L}_{\pi}(t) $表示$ L_{\pi}(t) $的连续部分, 对$ 0<\varepsilon<x $, 定义$ \tau_{\pi, \varepsilon} = \inf \{t:X^{\pi}(t)\leq \varepsilon\} $, 由广义伊藤公式可得

$ \begin{eqnarray*} &&e^{-(\lambda+\delta)(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon})}f(X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}))\\ & = &f(x)+\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\cal A}_{a_{\pi}(s)}f(X^{\pi}(s)){\rm d}s +\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}\sigma a_{\pi}(s)f'(X^{\pi}(s)){\rm d}W(s)\\ &&-\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s-\int_{0}^{t\wedge\tau_ {\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}f'(X^{\pi}(s)){\rm d}L_{\pi}(s)\\ &&+\sum\limits_{s\in{\cal T}, s\leq t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}[f(X^{\pi}(s))-f(X^{\pi}(s-))-f'(X^{\pi}(s))(X^{\pi}(s)-X^{\pi}(s-))]\\ & = &f(x)+\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\cal A}_{a_{\pi}(s)}f(X^{\pi}(s)){\rm d}s \\ &&+\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}\sigma a_{\pi}(s)f'(X^{\pi}(s)){\rm d}W(s)-\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s\\ &&-\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}f'(X^{\pi}(s)){\rm d}\overline{L}_{\pi}(s)\\ &&+\sum\limits_{s\in{\cal T}, s\leq t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}[f(X^{\pi}(s))-f(X^{\pi}(s-))]. \end{eqnarray*} $

由于$ f(x) $为凹函数, 所以$ f'(x) $单调递减, 从而在$ (0, t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}] $上有$ 1\leq f'(x)\leq f'(\varepsilon) $, 所以有$ E_{x}\big{[}\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}\sigma a_{\pi}(s)f'(X^{\pi}(s)){\rm d}W(s)\big{]} = 0 $. 因为$ f'(x)\geq 1 $, 所以$ f(X^{\pi}(s))-f(X^{\pi}(s-))\leq -[L_{\pi}(s)-L_{\pi}(s-)] $. 对上式两边求数学期望$ E_{x} $, 利用$ {\cal A}_{a}f(x)\leq0 $, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} f(x)&\geq &E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}L_{\pi}(s)\bigg{]} +E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s\bigg{]}{} \\ &&+E_{x}\bigg{[}e^{-(\lambda+\delta)(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon})}f(X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon}))\bigg{]}, \end{eqnarray} $

由$ f(x) $的凹性知, 存在$ \alpha>0, \ \beta>0 $使得$ f(x)\leq \alpha x+\beta $, 从而

$ \begin{eqnarray*} e^{-(\lambda+\delta)(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon})}f(X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon})) &\leq &\alpha X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi, \varepsilon})+\beta\\ &\leq &\gamma (1+X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi})+\varepsilon)\leq \gamma(2+X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi})), \end{eqnarray*} $

其中$ \gamma>0 $为不依赖于$ \varepsilon $的常数. 又因为

$ \begin{eqnarray*} E[X^{\pi}(t\wedge\tau_{\pi})] = x+E\bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi}}\mu a_\pi(t){\rm d}t+\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi}}\sigma a_\pi(t){\rm d}W(t)-\int_{0}^{t\wedge\tau_{\pi}}{\rm d}L_\pi(t)\bigg]\leq x+\mu t, \end{eqnarray*} $

所以(2.3)式右边第三项被一个期望有限的正随机变量控制. 在(2.3)式中令$ t\rightarrow \infty $, 得到

(2.4) $ \begin{eqnarray} f(x)&\geq &E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}L_{\pi}(s)\bigg{]}+E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi, \varepsilon}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s\bigg{]}{} \\ &&+E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)\tau_{\pi, \varepsilon}}f(X^{\pi}(\tau_{\pi, \varepsilon}))\big{]}, \end{eqnarray} $

在(2.4)式中令$ \varepsilon\rightarrow 0 $, 注意到$ f(X^{\pi}(\tau_{\pi, \varepsilon}))\geq P $, 得到$ f(x)\geq V_{\pi}(x) $, 对$ \pi\in\Pi $取上确界即得$ f(x)\geq V(x) $. 证毕.

为了确定初值条件, 假设$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q> 0 $, 此时$ V(0+) = P $. 首先考虑这样一种策略: 将初始盈余全部用于分红, 然后破产立即发生; 如果该策略为最优的, 我们期望$ f(x) = x+P $能够满足方程(2.1), 即只需$ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}f(x)\leq 0 $, 等价于$ a\mu-(\lambda+\delta)(x+P)+\lambda Q\leq 0 $对一切$ x\in[0, \infty) $, $ a\in[0, 1] $成立, 可以猜测该策略为最优的条件为$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\geq \mu $.

定理2.2  若$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\geq \mu $, 则$ V(x) = x+P $, 相应的最优策略为将初始盈余全部用于分红.

证  易见$ f(x) = x+P $满足定理2.1的条件, 所以有$ V(x)\leq x+P $; 又由于$ f(x) = x+P $为某策略(将初始盈余全部用于分红, 然后破产)的回报函数, 故有$ V(x)\geq x+P $; 从而有$ V(x) = x+P $. 证毕.

我们尝试着寻找方程(2.1)和(2.2)的$ (0, \infty) $上递增的、二阶连续可微的凹解$ f(x) $. 令$ b_1 = \sup \{x:f'(x)>1, x\geq 0\} $ (约定: $ \sup \{\emptyset\} = 0 $). 由于再保险往往是用来防止破产的, 所以我们猜测当盈余低于$ b_0 $时开始寻求再保险. 定理2.2事实上属于$ b_1 = 0 $的情形. 下面我们继续考虑$ b_1>b_0 = 0 $和$ b_{1}>b_{0}>0 $两种情形.

$ \boldsymbol{b_1>b_0 = 0} $.

对于此情形, 令$ a(x) $为(2.1)中达到最大时$ a $的值, 则$ a(x)\equiv 1 $. 当$ 0<x<b_{1} $时, $ f'(x)>1 $, 由方程(2.1)有

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\sigma^{2}}{2}f''(x)+\mu f'(x)-(\lambda+\delta)f(x)+\lambda Q = 0, \end{equation} $

从而有

(2.6) $ \begin{equation} f(x) = B_1e^{r_1x}+B_2e^{r_2x}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, \end{equation} $

其中$ B_1, B_2 $为常数, $ r_1, r_2(r_1>0>r_2) $为方程

(2.7) $ \begin{equation} \frac{\sigma^{2}}{2}r^{2}+\mu r-(\lambda+\delta) = 0 \end{equation} $

两根, 即$ r_{1, 2} = \frac{-\mu\pm\sqrt{\mu^{2}+2\sigma^{2}(\lambda+\delta)}}{\sigma^{2}} $.

当$ x\geq b_1 $时, $ f'(x) = 1 $, 由$ f(x) $的连续性知

(2.8) $ \begin{equation} f(x) = x-b_1+f(b_1). \end{equation} $

由于$ f(x) $是二阶可微函数, 所以由(2.8)式知$ f'(b_1) = 1, f''(b_1) = 0 $, 由(2.5)式可知$ f(b_1) = \frac{\mu+\lambda Q}{\lambda+\delta} $, 再根据$ f(0+) = P $和(2.6)式有

(2.9) $ \begin{equation} B_1r_1e^{r_1b_1}+B_2r_2e^{r_2b_1} = 1, \end{equation} $

(2.10) $ \begin{equation} B_1r_1^{2}e^{r_1b_1}+B_2r_2^{2}e^{r_2b_1} = 0, \end{equation} $

(2.11) $ \begin{equation} B_1+B_2 = P-\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q. \end{equation} $

由(2.9)和(2.10)式可得

(2.12) $ \begin{eqnarray} B_1 = -\frac{r_2}{r_1(r_1-r_2)}e^{-r_1b_1}, B_2 = \frac{r_1}{r_2(r_1-r_2)}e^{-r_2b_1}. \end{eqnarray} $

将(2.12)式中$ B_1, B_2 $的表达式代入(2.11)式得到

(2.13) $ \begin{eqnarray} -\frac{r_2}{r_1(r_1-r_2)}e^{-r_1b_1}+\frac{r_1}{r_2(r_1-r_2)}e^{-r_2b_1} = P-\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q. \end{eqnarray} $

令$ h(x) = -\frac{r_2}{r_1(r_1-r_2)}e^{-r_1x}+\frac{r_1}{r_2(r_1-r_2)}e^{-r_2x} $, 则$ h'(x)<0 $, $ h(0) = \frac{\mu}{\lambda+\delta} $, 为使(2.13)式中$ b_1>0 $, 需要条件$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q<\mu $.

由$ b_0 = 0 $可知, $ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}V(x) $中上确界在$ a = 1 $时达到, 所以当$ 0<x\leq b_1 $时, 应有

(2.14) $ \begin{eqnarray} -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)}\geq 1. \end{eqnarray} $

将(2.6)式中$ f(x) $的表达式代入(2.14)式, 并使用(2.12)式中$ B_1, B_2 $的表达式, 得到$ e^{(r_1-r_2)(x-b_1)}\geq -\frac{r_1}{r_2} $对任意$ 0< x\leq b_1 $成立, 这等价于$ e^{-(r_1-r_2)b_1}\geq -\frac{r_1}{r_2}. $结合(2.12)式, 得到$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\geq (\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)} $.

当$ x\geq b_1 $时, 有$ f'(x) = 1 $且$ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}f(x) = \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}\{-\mu(1-a)-(\lambda+\delta)(x-b_1)\}\leq 0 $. 综合上面的讨论得到下面的定理2.3.

定理2.3  若$ (\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)}\leq(\lambda+\delta)P-\lambda Q<\mu $, 则

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} { } B_1e^{r_1x}+B_2e^{r_2x}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, {\quad} & x\leq b_1, \\ { } x-b_1+\frac{\mu+\lambda Q}{\lambda+\delta}, & x>b_1 \end{array}\right. $

是方程(2.1)和(2.2)的$ (0, \infty) $上递增的、二阶连续可微的凹解, 其中$ B_1, B_2 $由(2.12)式给出, $ b_1 $由(2.13)式给出.

$ \boldsymbol{b_{1}>b_{0}>0} $.

此情形下

$ a(x) = \left\{\begin{array}{ll} { } -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)}, {\quad} & x\leq b_{0}, \\ 1, & x> b_{0}. \end{array}\right. $

类似于前面的讨论, 我们得到, 当$ x\in[b_0, b_1) $时

$ f(x) = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, $

其中$ C_1, C_2 $为常数, $ r_1, r_2 $同(2.7)式. 当$ x\geq b_1 $时

$ f(x) = x-b_1+\frac{\mu+\lambda Q}{\lambda+\delta}. $

由于$ f(x) $为凹函数, 所以当$ x\in(0, b_0) $时, $ f'(x)>1 $, 从而$ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}f(x) = 0 $, $ {\cal A}_{a}f(x) $的最大值在$ a(x) = -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)} $处达到, 所以有

(2.15) $ \begin{eqnarray} -\frac{\mu^{2} f'^{2}(x)}{2\sigma^{2}f''(x)}-(\lambda+\delta)f(x)+\lambda Q = 0. \end{eqnarray} $

采取文献[2]中方法, 由于$ f(x) $是一个凹函数, 所以存在函数$ g(z):R\rightarrow [0, \infty) $使得$ f'(g(z)) = e^{-z} $, 从而$ f''(g(z))g'(z) = -e^{-z} $. 在(2.15)式中令$ x = g(z) $有

(2.16) $ \begin{eqnarray} \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}}e^{-z}g'(z)-(\lambda+\delta)f(g(z))+\lambda Q = 0. \end{eqnarray} $

对(2.16)式两边同时求导, 有$ g''(z)-kg'(z) = 0, $其中$ k = 1+\frac{2\sigma^{2}(\lambda+\delta)}{\mu^{2}} $, 从而$ g(z) = D_1+D_2e^{kz} $, 其中$ D_1, D_2 $为常数. 结合初值条件$ f(0+) = P $可得

(2.17) $ \begin{eqnarray} f(x) = \int_{0}^{x}e^{-g^{-1}(y)}{\rm d}y+P = \frac{k}{k-1}D_2^{\frac{1}{k}}[(x-D_1)^{1-\frac{1}{k}}-(-D_1)^{1-\frac{1}{k}}]+P. \end{eqnarray} $

将(2.17)式代入(2.15)式可得

(2.18) $ \begin{eqnarray} (\lambda+\delta+\frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}})D_2^{\frac{1}{k}}(-D_1)^{1-\frac{1}{k}} = (\lambda+\delta)P-\lambda Q. \end{eqnarray} $

在边界点$ b_0 $处应满足$ -\frac{\mu f'(b_0-)}{\sigma^{2}f''(b_0-)} = 1 $, 即

(2.19) $ \begin{eqnarray} b_0 = D_1+\frac{\sigma^{2}}{\mu k}. \end{eqnarray} $

由$ f(x) $在$ b_0, b_1 $两点的二阶可微性可得

(2.20) $ \begin{equation} C_1r_1e^{r_1b_1}+C_2r_2e^{r_2b_1} = 1, \end{equation} $

(2.21) $ \begin{equation} C_1r_1^{2}e^{r_1b_1}+C_2r_2^{2}e^{r_2b_1} = 0, \end{equation} $

(2.22) $ \begin{equation} C_1r_1e^{r_1b_0}+C_2r_2e^{r_2b_0} = D_2^{\frac{1}{k}}(b_0-D_1)^{-\frac{1}{k}} = D_2^{\frac{1}{k}}(\frac{\mu k}{\sigma^{2}})^{\frac{1}{k}}, \end{equation} $

(2.23) $ \begin{equation} C_1r_1^{2}e^{r_1b_0}+C_2r_2^{2}e^{r_2b_0} = -\frac{1}{k}D_2^{\frac{1}{k}}(b_0-D_1)^{-1-\frac{1}{k}} = -\frac{1}{k}D_2^{\frac{1}{k}}(\frac{\mu k}{\sigma^{2}})^{1+\frac{1}{k}}. \end{equation} $

由(2.20)和(2.21)式可得

(2.24) $ \begin{eqnarray} C_1 = -\frac{r_2}{r_1(r_1-r_2)}e^{-r_1b_1}, C_2 = \frac{r_1}{r_2(r_1-r_2)}e^{-r_2b_1}. \end{eqnarray} $

将(2.24)式代入(2.22)和(2.23)式得到

(2.25) $ \begin{equation} b_1-b_0 = \frac{\log (-\frac{r_2}{r_1})}{r_1-r_2}, \end{equation} $

(2.26) $ \begin{equation} D_2 = \frac{\sigma^{2}}{\mu k}(\frac{2r_1}{r_1-r_2})^{k}(-\frac{r_2}{r_1})^{-\frac{kr_2}{r_1-r_2}}. \end{equation} $

因为$ b_0>0 $, 由(2.18)和(2.19)式知$ -\frac{\sigma^{2}}{\mu k}< D_1\leq0 $, 所以方程(2.18)关于$ D_1 $有解的条件是$ 0\leq(\lambda+\delta)P-\lambda Q<(\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)} $, 并得到解为

(2.27) $ \begin{equation} D_1 = -\frac{\sigma^{2}}{k}\mu^{-\frac{2k-1}{k-1}}[(\lambda+\delta)P-\lambda Q]^{\frac{k}{k-1}}(\frac{r_1-r_2}{r_1})^{\frac{k}{k-1}}(-\frac{r_2}{r_1})^{\frac{kr_2}{(k-1)(r_1-r_2)}}. \end{equation} $

由(2.19)和(2.25)式知

(2.28) $ \begin{equation} b_0 = \frac{\sigma^{2}}{\mu k}-\frac{\sigma^{2}}{k}\mu^{-\frac{2k-1}{k-1}}[(\lambda+\delta)P-\lambda Q]^{\frac{k}{k-1}}(\frac{r_1-r_2}{r_1})^{\frac{k}{k-1}}(-\frac{r_2}{r_1})^{\frac{kr_2}{(k-1)(r_1-r_2)}}, \end{equation} $

(2.29) $ \begin{equation} b_1 = \frac{\log (-\frac{r_2}{r_1})}{r_1-r_2}+\frac{\sigma^{2}}{\mu k}-\frac{\sigma^{2}}{k}\mu^{-\frac{2k-1}{k-1}}[(\lambda+\delta)P-\lambda Q]^{\frac{k}{k-1}}(\frac{r_1-r_2}{r_1})^{\frac{k}{k-1}}(-\frac{r_2}{r_1})^{\frac{kr_2}{(k-1)(r_1-r_2)}}. \end{equation} $

定理2.4  若$ 0<(\lambda+\delta)P-\lambda Q<(\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)} $, 则

$ \begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{k}{k-1}D_2^{\frac{1}{k}}[(x-D_1)^{1-\frac{1}{k}}-(-D_1)^{1-\frac{1}{k}}]+P, {\quad} & 0\leq x\leq b_0, \\ { } C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, & b_0< x\leq b_1 \\ { } x-b_1+\frac{\mu+\lambda Q}{\lambda+\delta}, & x>b_1 \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

是方程(2.1)和(2.2)的$ (0, \infty) $上递增的、二阶连续可微的凹解, 其中$ \{b_0, b_1, C_1, C_2, D_1, D_2\} $这6个参数由(2.24)和(2.26)-(2.29)式给出.

证  首先由$ D_2>0, \ k>1 $, $ C_1>0 $, $ C_2<0 $以及$ f(x) $的构造知$ f(x) $是单调递增函数. 其次证明$ f(x) $是凹函数. 显然$ f(x) $在$ (0, b_0) $和$ (b_1, \infty) $上是凹函数. 由$ f(x) $的二阶连续可微性构造, 只需说明$ f(x) $在$ (b_0, b_1) $上是凹函数即可. 事实上, 当$ x\in(b_0, b_1) $时, 有

$ f''(x) = C_1r_1^{2}e^{r_1x}+C_2r_2^{2}e^{r_2x}<C_1r_1^{2}e^{r_1b_1}+C_2r_2^{2}e^{r_2b_1} = 0. $

所以当$ x\in(0, b_1) $时, $ f'(x)>f'(b_1) = 1 $. 由于当$ x\in (b_1, \infty) $时, $ f'(x) = 1 $, 所以最后还需证明, 当$ x\in(0, b_0) $时, $ -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)}\leq 1 $; 当$ x\in(b_0, b_1) $时, $ -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)}> 1 $; 当$ x\in (b_1, \infty) $时, $ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}f(x)< 0 $.

当$ x\in(0, b_0) $时

$ -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)} = \frac{\mu}{\sigma^{2}}k(x-D_1)< \frac{\mu}{\sigma^{2}}k(b_0-D_1) = 1; $

当$ x\in(b_0, b_1) $时, $ -\frac{\mu f'(x)}{\sigma^{2}f''(x)}> 1 $等价于

$ h(x) = -\frac{r_2(\mu+\sigma^{2}r_1)}{r_1-r_2}e^{r_1(x-b_1)}+\frac{r_1(\mu+\sigma^{2}r_2)}{r_1-r_2}e^{r_2(x-b_1)}>0. $

利用(2.25)式可得$ h(b_0) = 0 $. 由于$ \mu+\sigma^{2}r_2<0 $, 所以$ h'(x)>0 $, 从而$ h(x)>h(b_0) = 0 $.

当$ x\in (b_1, \infty) $时, 有$ \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}{\cal A}_{a}f(x) = \mathop {\sup }\limits_{a\in[0, 1]}\{-\mu(1-a)-(\lambda+\delta)(x-b_1)\}< 0. $

定理2.4证毕.

注2.2  $ b_{0}\geq b_{1}>0 $这种情形是不可能发生的, 否则在$ x = b_0 $处有$ f'(b_0) = 1, \ f''(b_0) = 0 $, 而根据前面的讨论, 应该有$ -\frac{\mu f'(b_0)}{\sigma^{2}f''(b_0)} = 1 $, 矛盾.

若$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\leq0 $, 边界条件应改为$ f(0+) = \frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q $. 由注2.1的讨论知, 当$ x\rightarrow0 $时, 应有$ a(x)\rightarrow 0 $, 我们猜测只会出现$ b_{1}>b_{0}>0 $这种情形. 类似的讨论可得下面的定理.

定理2.5  若$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\leq0 $, 则

$ \begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{ll} P, & x = 0, \\ { } \frac{k}{k-1}D_2^{\frac{1}{k}}x^{1-\frac{1}{k}}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, & 0< x\leq b_0, \\ { } C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\frac{\lambda}{\lambda+\delta}Q, {\quad} & b_0< x\leq b_1, \\ { } x-b_1+\frac{\mu+\lambda Q}{\lambda+\delta}, & x>b_1 \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

是方程(2.1)和(2.2)的$ (0, \infty) $上递增的、二阶连续可微的凹解. 其中$ b_0 = \frac{\sigma^{2}}{\mu k} $, $ b_1 = \frac{\log (-\frac{r_2}{r_1})}{r_1-r_2}+\frac{\sigma^{2}}{\mu k} $, $ C_1, C_2 $和$ D_2 $由(2.24)和(2.26)式给出.

定义策略$ \pi^{*} $如下

$ X^{\pi^{*}}(t) = x+\int_{0}^{t}\mu a_{\pi^{*}}(t){\rm d}t+\int_{0}^{t}\sigma a_{\pi^{*}}(t){\rm d}W(t)-L_{\pi^{*}}(t), $

$ X^{\pi^{*}}(t)\leq b_1, \ t\geq0, \; \; \; \; \int_{0}^{\infty}I_{\{X^{\pi^{*}}(t)<b_1\}}{\rm d}L_{\pi^{*}}(t) = 0, $

其中: (1)当$ (\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)}\leq(\lambda+\delta)P-\lambda Q<\mu $时, $ a_{\pi^{*}}(t)\equiv1 $, $ b_1 $由定理2.3给出; (2)当$ 0<(\lambda+\delta)P-\lambda Q<(\lambda+\delta)[-\frac{r_1}{r_2}]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)} $时, 有

$ a_{\pi^{*}}(t) = \left\{\begin{array}{ll} { } -\frac{\mu f'(X^{\pi^{*}}(t))}{\sigma^{2}f''(X^{\pi^{*}}(t))}, {\quad} & x\leq b_0, \\ 1, & x> b_0, \end{array}\right. $

$ f(x), \ b_0, \ b_1 $由定理2.4给出; (3)当$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q\leq0 $时, 有

$ a_{\pi^{*}}(t) = \left\{\begin{array}{ll} { } -\frac{\mu f'(X^{\pi^{*}}(t))}{\sigma^{2}f''(X^{\pi^{*}}(t))}, {\quad} & x\leq b_0, \\ 1, & x> b_0, \end{array}\right. $

$ f(x), \ b_0, \ b_1 $由定理2.5给出.

定理2.6  $ V(x) = f(x) = V_{\pi^{*}}(x). $

证  用$ \pi^{*} $代替定理2.1中的$ \pi $, 注意到$ {\cal A}_{a_{\pi^{*}}(s)}f(X^{\pi^{*}}(s)) = 0 $, (2.4) 式成为一个等式, 即

(2.30) $ \begin{eqnarray} f(x)& = &E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}L_{\pi^{*}}(s)\bigg{]}+E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s\bigg{]}{} \\ &&+E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}}f(X^{\pi^{*}}(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}))\big{]}. \end{eqnarray} $

因为在$ \{\tau_{\pi^{*}}<\infty\} $上, 当$ \varepsilon\rightarrow 0 $时, $ \tau_{\pi^{*}, \varepsilon}\rightarrow \tau_{\pi^{*}} $, $ X^{\pi^{*}}(\tau_{\pi^{*}}) = 0 $且$ f(0) = P $, 所以当$ \varepsilon\rightarrow 0 $时, 我们有

$ E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon})}f(X^{\pi^{*}}(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}))I_{\{\tau_{\pi^{*}}<\infty\}}\big{]}\rightarrow E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)\tau_{\pi^{*}}}PI_{\{\tau_{\pi^{*}}<\infty\}}\big{]}. $

因为在$ \{\tau_{\pi^{*}} = \infty\} $上, 当$ \varepsilon\rightarrow 0 $时, $ \tau_{\pi^{*}, \varepsilon}\rightarrow \infty $, 所以当$ \varepsilon\rightarrow 0 $时, 有

$ 0\leq E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon})}f(X^{\pi^{*}}(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon}))I_{\{\tau_{\pi^{*}} = \infty\}}\big{]}\leq E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)(\tau_{\pi^{*}, \varepsilon})}f(\varepsilon)I_{\{\tau_{\pi^{*}} = \infty\}}\big{]}\rightarrow 0. $

在(2.30)式中令$ \varepsilon\rightarrow 0 $, 有$ \tau_{\pi^{*}, \varepsilon}\uparrow\tau_{\pi^{*}} $, 从而

$ \begin{eqnarray*} f(x)& = &E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi^{*}}}e^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}L_{\pi^{*}}(s)\bigg{]} +E_{x}\bigg{[}\int_{0}^{\tau_{\pi^{*}}}\lambda Qe^{-(\lambda+\delta)s}{\rm d}s\bigg{]}\\ &&+E_{x}\big{[}e^{-(\lambda+\delta)\tau_{\pi^{*}}}PI_{\{\tau_{\pi^{*}}<\infty\}}\big{]}\\ & = &V_{\pi^{*}}(x). \end{eqnarray*} $

定理2.6证毕.

本节我们给出一个数值例子. 令$ \frac{\sigma^{2}}{2} = 0.8, \ \mu = 3, \ \lambda = 0.01, \ \delta = 0.1 $, 则

$ (\lambda+\delta)\Big[-\frac{r_1}{r_2}\Big]^{\frac{r_2}{r_1-r_2}}\frac{r_1+r_2}{r_2(r_1-r_2)} = 2.843174. $

若$ P = 40, Q = 50 $, 则$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q = 3.9>\mu = 3, $由定理2.2和2.6知

$ V(x) = x+40, \ x\geq 0. $

若$ P = 30, Q = 40 $, 则$ 2.843174<(\lambda+\delta)P-\lambda Q = 2.9<3 $, 则由定理2.3和2.6知

$ V(x) = \left\{\begin{array}{ll} \begin{array}{rl}26.43036356e^{0.03631499x}-0.06672719e^{-3.78631499x}&\\ +3.63636364, &\end{array} & 0\leq x\leq 0.86646615, \\ x+30.04262476, & x>0.86646615. \end{array}\right. $

若$ P = 25, Q = 35 $, 则$ 0<(\lambda+\delta)P-\lambda Q = 2.4<2.843174 $, 则由定理2.4和2.6知

$ \begin{eqnarray*} V(x) = \left\{\begin{array}{ll} \begin{array}{rl}26.50412309[(x+0.00569016)^{0.03763901}&\\ -0.82319954]+25, &\end{array} & 0\leq x\leq 0.50756903, \\ \begin{array}{ll}25.62071237e^{0.03631499x}&\\ -1.71040785e^{ -3.78631499x}+3.18181818, &\end{array} & 0.50756903< x\leq 1.72320274, \\ x+28.73134271, & x>1.72320274. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

若$ P = 10, Q = 120 $, 则$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q = -0.1<0 $, 则由定理2.5和2.6知

$ \begin{eqnarray*} V(x) = \left\{\begin{array}{ll} 10, & x = 0, \\ 26.50412309x^{ 0.03763901}+10.90909091, & 0< x\leq 0.5132592, \\ \begin{array}{ll}25.6154186e^{0.03631499x}&\\-1.74765798e^{-3.78631499235474x}+10.90909091, &\end{array} & 0.5132592< x\leq 1.7288929, \\ x+36.45292528, & x>1.7288929. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

从上面四种情形可以看出, 当$ (\lambda+\delta)P-\lambda Q $越小时, $ T $时刻的公司价值相对破产价值来说, 重要性越高, 所以障碍分红策略的参数也越大, 以达到延迟破产的效果.