近几十年来, 实验室空间^[1-3]和天体物理环境^[4]中非线性孤立波的研究重新引起了等离子体物理研究人员的兴趣, 因为它在等离子体激发^[5-6]过程中具有潜在的重要性.

通过流体动力方法研究天体物理相对论简并量子等离子体(ADRQP)介质中孤立波的性质, 已经开展了大量的理论工作^[6-9]. 据报道, 大多数关于ADRQP系统孤波动力学的理论工作都是在离子时间和长度尺度上考虑的^[10-11]. 一些研究人员考虑了在重离子或重元素核^[12-14]存在下非线性波(如孤波、冲击波等)的传播.

最近, Sultana和Schlickeiser^[15]考虑了三元ADRQP, 其包含未简并的冷移动重离子流(电荷$ z_he $和质量$ m_h $), 相对简并电子(电荷$ -e $和质量$ m_e) $)和非相对简并轻离子(电荷$ z_ie $和质量$ m_i $), 此处, $ z_h \ (z_i) $是重(轻)离子物质的电荷状态, $ e $是电子电荷的大小. 因此, 处于平衡状态的电荷中性条件为$ z_in_{i0}+z_hn_{h0} = n_{eo}, $其中$ n_{s0} $是等离子体$ s $的未扰动数密度, $ s = e, i, h $分别指电子、轻离子和重离子.

在本文中, 我们考虑无量纲的重离子声波, 其中惯性(恢复力)由重离子的质量密度(电子和轻离子的简并压力)提供, 满足下述方程

(1.1a) $ \frac{\partial n_h}{\partial t}+\frac{\partial (n_hu_h)}{\partial x} = 0, $

(1.1b) $ \frac{\partial u_h}{\partial t}+u_h\frac{\partial u_h}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial x} = 0, $

(1.1c) $ K_1\frac{\partial n_i^{\gamma_i}}{\partial x}+n_i\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0, $

(1.1d) $ K_2\frac{\partial n_e^{\gamma_e}}{\partial x}-n_e\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0, $

(1.1e) $ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = (1+\alpha)n_e-\alpha n_i-n_h, $

其中, 数密度$ n_s $规范化为平衡值$ n_{s0}, $重离子流速度$ u_h $化为重离子声速$ c_0 = \left(z_hm_ec^2/m_h\right)^{1/2}, $静电势$ \phi $化为$ m_ec^2/e $. 空间$ x $和时间$ t $分别化为重离子的Debye长度$ \lambda_0 = (m_ec^2/ $$ 4\pi e^2z_hn_{h0})^{1/2} $和等离子周期$ \omega_{ph}^{-1} = (4\pi z_h^2e^2n_{ho}/m_h)^{-1/2} $. 其它参数定义为$ \alpha = z_in_{i0}/z_hn_{h0}, $$ K_1 = K_in_{i0}^{\gamma_i-1}/z_im_ec^2, $和$ K_2 = K_en_{e0}^{\gamma_e-1}/m_ec^2. $此外, 通过对方程(1.1c) 和(1.1d) 关于自变量$ x $取首次积分, 可得无惯性简并轻离子$ n_i $和电子$ n_e $相对于电子势$ \phi $的数密度(规范化的), (我们称为行波解)为

(1.2) $ \begin{equation} n_i = \left(1-\frac{\gamma_i-1}{\gamma_iK_1}\phi\right)^\frac{1}{\gamma_i-1} , \end{equation} $

(1.3) $ \begin{equation} n_e = \left(1+\frac{\gamma_e-1}{\gamma_eK_2}\phi\right)^\frac{1}{\gamma_e-1}, \end{equation} $

其中$ \gamma_i \ (\gamma_e) $分别表示轻离子(电子)的相对指数, 在后面几节中, $ \gamma_i = 5/3 $将被视为非相对简并的轻离子. 把(1.2) 和(1.3)式代入(1.1e)式, 我们得到

(1.4) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = (1+\alpha)\left(1+\frac{\gamma_e-1}{\gamma_eK_2}\phi\right)^\frac{1}{\gamma_e-1}-\alpha \left(1-\frac{\gamma_i-1}{\gamma_iK_1}\phi\right)^\frac{1}{\gamma_i-1}-n_h. \end{equation} $

为了研究方程(1.4)的行波解, 我们令$ \xi = x-Mt $ (其中$ M $是马赫数, 由重离子声速$ c_0 $规化). 通过施加稳态条件和适当的边界条件(即$ n_h\rightarrow1, \ u_h\rightarrow0, \ \phi\rightarrow0, $和$ {\rm d}\phi/{\rm d}\xi\rightarrow0 $当$ \xi\rightarrow \pm\infty) $, 文献[15] 给出了以下关键非线性波动方程, 用于研究具有衰减的能量积分的等离子体模型的声学模型

(1.5) $ \begin{equation} \frac12\left(\frac{\partial\phi}{\partial \xi}\right)^2+\Psi\left(\phi;M, \alpha, \gamma_i, \gamma_e, K_1, K_2\right) = 0, \end{equation} $

其中$ \Psi $为经典的Sagdeev势^[16], 由下式给出

(1.6) $ \begin{eqnarray} \Psi\left(\phi;M, \alpha, \gamma_i, \gamma_e, K_1, K_2\right)& = &M^2\left[1-\left(1-\frac{2\phi}{M^2}\right)^{1/2}\right]+\alpha K_1\left[1-\left(1-\frac{\gamma_i-1}{\gamma_i K_1}\phi\right)^{\frac{\gamma_i}{(\gamma_i-1)}}\right]{}\\ && +(1+\alpha)K_2\left[1-\left(1+\frac{\gamma_e-1}{\gamma_e K_2}\phi\right)^{\frac{\gamma_e}{(\gamma_e-1)}}\right]. \end{eqnarray} $

在小幅波近似的假设下(即$ \phi\ll1) $, 文献[15]获得了在$ \phi\approx0 $处的伪势的表达式, 并研究了带有边界条件的孤波解. 但是, 其没有研究与Sagdeev势相对应的动力学系统, 也没有研究描述传播的微分系统中奇异线、周期峰解和伪峰波解的存在性.

对应Sagdeev势$ \Psi(\phi), $我们考虑以下平面动力系统

(1.7) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}\phi}{{\rm d}\xi} = y, \ \quad \frac{{\rm d}y}{{\rm d}\xi} = -\frac{{\rm d}\Psi(\phi)}{{\rm d}\phi}\equiv S_1(\phi), \end{equation} $

其中, $ S_1(\phi) = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2\phi}{M^2}}}-\alpha\left(1-\frac{\phi}{aK_1}\right)^{a-1}+(1+\alpha)\left(1+\frac{\phi}{bK_2}\right)^{b-1}, \ a = \frac{\gamma_i}{{\gamma_i}-1}, \ b = \frac{\gamma_e}{{\gamma_e}-1}. $系统(1.7) 有首次积分

(1.8) $ \begin{equation} H(\phi, y) = \frac12y^2+\Psi(\phi) = h, \end{equation} $

其中$ \Psi(\phi) $由(1.6)式定义. 显然, 系统(1.7)是一个双参数系统, 依赖于六参数组$ (M, \alpha, a, b, $$ K_1, K_2) $. 当$ a, b > 0, $系统(1.7)是具有奇异直线$ \phi_s = \frac12M^2 $的第一类奇异非线性行波系统(请参见文献[17-19]). 基于文献[15]中的假设, 我们考虑满足$ a> 1 $和$ b> 1 $的参数$ \gamma_i = 4/3 $和$ \gamma_e = 5/3 $. 在下一节中, 对于给定的参数组, 我们确定系统(1.7) 的以$ -bK_2 $为下界、以行波解$ \min\{aK_1, 1/2M^2\} $为上界的区间中的所有奇异点.

本文的结构如下：在第2节中, 讨论了系统(1.7)的相图分岔与马赫数$ M $的关系; 在第3节中, 求系统(1.7) 的解的可能的精确参数表示; 在第4节中, 叙述主要结论.

现在, 我们考虑系统(1.7)的相图可能的分岔. 为了研究系统(1.7) 的平衡点$ E_j(\phi_j, 0) $, 我们需要讨论函数$ S_1(\phi) $的零点$ \phi = \phi_j $. 由(1.6) 和(1.7) 式, 易知当$ \phi = 0 $时, $ \Psi(\phi) = -\frac{{\rm d}}{{\rm d}\phi}\{\Psi(\phi)\}\equiv S_1(\phi) = 0 $. 因此, 原点$ E_0(0, 0) $是系统(1.7) 的平衡点. 由于$ S_1(\phi) $依赖于参数组, 因此Sultana和Schlickeiser基于伪电位$ \Psi(\phi) $的局部最大值确定了一些孤波的结果, 参见文献[15, p4].

由文献[20-22], 我们令$ M(\phi_j, y) $为系统(1.7) 在平衡点$ E_j(\phi_j, y) $的线性化系统的系数矩阵. 我们有$ J(\phi_j, y) = \det M(\phi_j, y) = -S_1^\prime(\phi_j). $当$ J(0, 0) = \det M(0, 0) = 0, $有$ M = \sqrt{\frac{abK_1K_2}{a(1+\alpha)(b-1)K_1+(a-1)\alpha b K_2}}\equiv M_{\text{cusp}}, $故原点$ E_0(0, 0) $是一尖点. 当$ J >(<)0, $即$ M < ( >) $$ M_{\text{cusp}}, $原点是中心(鞍点).

我们记$ h_0 = H(0, 0) = 0, \ h_1 = H(\phi_1, 0) $, 其中$ (\phi_1, 0) $为系统(1.7) 的平衡点, $ \phi_1\in(-bK_2, aK_1). $改变$ M, $对固定的参数$ \alpha = -0.25, \ K_1 = 1/2, \ K_2 = 1/3, $可得$ S_1(\phi) $的不同图象, 如图 1(a) -图 1(d)所示.

从图 1(a) -图 1(d)可见, $ S_1(\phi) $的图像当$ \phi\rightarrow \phi_s $时趋向负无穷. 根据以上信息对固定参数组$ \alpha = 1.1, \ a = 4, \ b = 5/2 $进行定性分析, 通过改变参数$ M, $可得系统(1.7) 相图的分岔. 图 2 -图 4分别描绘了原点分别为中心、尖点和鞍点时的分岔情形.

本节, 我们使用图 2-图 4中给出的结果来讨论系统(1.7) 解的动力学行为. 由等式(1.8) 可知$ y^2 = 2h+2\omega+2M\left(M^2-2\phi\right)^{1/2} -\alpha_2\left(\frac52K_2+\phi\right)^{\frac52}-\alpha_1\left(4K_1-\phi\right)^{4}. $从而, 由系统(1.7) 的第一个方程, 我们有

(3.1) $ \begin{eqnarray} \xi& = &{\int_{\phi_0}^\phi\frac{{\rm d}\phi}{\sqrt{2h\!+\!\omega\!+\!2M\left(M^2\!-\!2\phi\right)^{1/2} \!-\!\alpha_2\left(\frac52K_2\!+\!\phi\right)^{\frac52}\!-\!\alpha_1\left(-\phi+8K_1)(32K_1^2\phi\!-\!8K_1\phi^2\!+\!\phi^3\right)}}}{}\\ & = &\int_{\phi_0}^\phi\frac{{\rm d}\phi}{\sqrt{\alpha_1G_4(\phi)}}, \end{eqnarray} $

其中, $ G_4(\phi) $为一四阶多项式函数, $ \alpha_1 = \frac{\alpha}{128 K_1^{3}}, \ \alpha_2 = \frac{1+\alpha}{\left(5/2K_2\right)^{5/2}}, \ \omega = -K_1\alpha+K_2(1+\alpha). $计算(3.1)式, 可得系统(1.7)的精确解.

本节, 我们考虑参数$ \alpha_1 = 0.107e-2, \ \alpha_2 = 0.409e-1, \ \omega = 16.92. $

(1)   考虑马赫数$ M = 0.2320. $此时, 我们考虑图 2(a).

(i) 当$ h\in(h_0, h_1), $系统(1.7)的水平曲线由$ H(\phi, y) = h $定义, 是两个开曲线族, 它们在$ (r_1, 0) $$ (r_1<0<\phi_s<\infty) $点处通过$ \phi $ -轴, 并且当$ |y|\rightarrow \infty, $逼近奇异线$ \phi = \phi_s. $对应于右开轨道族, 有$ \sqrt{\alpha_1}\xi = \int_{r_1}^\phi\frac{{\rm d}\phi}{(\phi_s-\phi)\sqrt{(\phi-r_1)(\phi-r_2)}}. $因此, 我们得到系统(1.7) 的紧性解的参数表示如下[见图 5(a)]

(4.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \phi(\chi) = \phi_s-\frac{2(\phi_s+r_1)(\phi_s+r_2)}{(r_1-r_2)\sinh\left(\sqrt{\alpha_1(\phi_s+r_1)(\phi_s+r_2)}\chi\right)-(2\phi_s+r_1+r_2)}, \\ { } \xi(\chi) = \phi_s\chi+\arcsin\left(\frac{2\phi(\chi)-(r_1+r_2)}{r_1-r_2}\right). \end{array} \end{equation} $

(ii) 当$ -\infty<r_2<r_1<0<\phi_s, $存在在点$ (r_2, 0) $过$ \phi $ -轴的一族开曲线. 对应于左开轨道族, 有$ \sqrt{\alpha_1}\xi = \int_{0}^{r_2}\frac{{\rm d}\phi}{(\phi_s-\phi)\sqrt{(r_2-\phi)(r_1-\phi)}}. $因此, 我们得到系统(1.7) 的紧性解的参数表示如下[见图 5(b)]

(4.2) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{2(\phi_s-r_1)(\phi_s-r_2)}{(r_1-r_2)\cosh\left(\sqrt{\alpha_1(r_1-\phi_s)(r_2-\phi_s)}\xi\right)\pm(r_1+r_2-2\phi_s)} . \end{equation} $

(iii) 当$ h\in (h_1, \infty), $由$ H(\phi, y) = h $定义的水平曲线是两个开曲线族, 它们过$ y $ -轴且当$ |y|\rightarrow \infty $时下降到奇异直线$ \phi = \phi_s. $对应上开轨道, 有$ \sqrt{\alpha_1}\xi = \int_0^\phi\frac{{\rm d}\phi}{\sqrt{(\phi_s-\phi)\phi[(\phi-b_1)^2+a_1^2]}}. $从而, 我们得到系统(1.7)的紧性解的参数表示如下[见图 5(c)]

(4.3) $ \begin{equation} \phi(\chi) = \frac{\phi_sB_1(1-\text{cn}(\xi, k_1))}{(A_1+B_1)+(A_1-B_1)\text{cn}(\xi, k_1)}; \ \ \xi\in(-\xi_{10}, \xi_{10}); \end{equation} $

其中, $ A_1^2 = (\phi_s-b_1)^2+a_1^2, \ B_1^2 = a_1^2+b_1^2, \ k_1^2 = \frac{\phi_s^2-(A_1-B_1)^2}{4A_1B_1}, \ \chi_{10} = \text{cn}^{-1}\left(\frac{A_1+B_1}{B_1-A_1}\right), \ \text{cn}(*, k) $为雅可比椭圆函数^[23].

综上, 我们得出以下结论: 如果存在行波系统^[24-25]的开轨道族, 满足当$ |y|\rightarrow \infty $时趋近于一奇异直线, 则该轨道族给出系统(1.7) 的一族紧性波解[图 5(a)-(c)].

(2)   下面, 我们考虑马赫数$ M = 0.3102 $和图 2(b)给出的相图.

(i) 当$ h = h_1 $, 相应于$ H(\phi_1, y) = h_1 $定义的水平曲线, 存在系统(1.7)的异宿轨道连接平衡点$ E_1(\phi_1, 0), \ S_{1+}(\phi_s, Y_{1+}) $和$ S_{1-}(\phi_s, Y_{-1}). $为此, 异宿轨道是奇异直线$ \phi = \phi_s $的一段. 现在, $ G_4(\phi) = (\phi_s-\phi)^2(\phi-\phi_1)^2. $从而可得(1.7)的扭波解和反扭波解的精确解如下[见图 6(a)和6(b)]

(4.4) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{1}{2}\left(\phi_s+\phi_1\right)+\omega_0\tanh\left(\pm\omega_0\xi\right), \end{equation} $

其中, $ \omega_0 = \frac{\sqrt{\alpha_1}(\phi_s-\phi_1)}{2}. $

(ii) 对应水平曲线$ H(\phi, y) = h, \ h\in(h_1, h_2), $存在一族有界周期轨道, 其趋向奇异直线$ \phi = \phi_s. $从而有$ G_4(\phi) = (\phi_s-\phi)^2(\phi-r_1)(\phi-r_2), \ r_2<r_1<0<\phi_s. $代入方程(3.1)得系统(1.7) 的周期峰解的参数表示如下[见图 6(c)]

(4.5) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \phi(\xi) = \frac{2\omega_1^2}{(r_1-r_2)\cosh\left(\omega_1\xi\right)+2\phi_s-r_1-r_2}, \\ { } \xi(\chi) = \frac{1}{\sqrt{\alpha_1}}\left(\phi_s\chi-\arcsin\left(\frac{2\psi(\chi)-(r_1-r_2)} {|r_1-r_2|}\right)+\frac12\pi\right), \end{array} \end{equation} $

其中, $ \omega_1 = \sqrt{\alpha_1(\phi_s-r_1)(\phi_s-r_2)}. $

(3)   设马赫数$ M = 0.400 $, 考虑图 2(c)给出的系统(1.7)的相图.

(i) (1.8) 的水平曲线定义为$ H(\phi, y) = h, h\in(h_0, h_1) $. 方程(1.7) 有一族周期解. 当$ r_3<r_2<0<r_1<\phi_s $时, 方程(1.8) 可写成

$ y = \sqrt{\alpha_1(\phi_s-\phi)(r_1-\phi)(\phi-r_2)(\phi-r_3)}, $

左边的周期轨道族是包围平衡点$ E_0(0, 0) $的奇异行波解. 因此, 我们有下述周期解的参数表示[见图 7(a)]

(4.6) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \phi_l(\chi) = r_3+\frac{r_1-r_3}{1-\hat{\alpha}_1^2\text{sn}^2(\omega_2\chi, k_2)}, \\ { } \xi(\chi) = \omega_2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1}{\hat{\alpha}_1^2}\frac{\phi(\chi_{02})-r_2}{(\phi(\chi_{02})-r_3)}}, k_2\right), \end{array} \end{equation} $

其中, $ \omega_2 = \sqrt{\frac{1}{4\alpha_1}(\phi_s-r_2)(r_1-r_3)}, \ 0<\hat{\alpha}_1^2 = \frac{r_1-r_2}{r_1-r_3}<k_2^2, \ k_2^2 = \hat{\alpha}_1^2\left(\frac{\phi_s-r_3}{\phi_s-r_2}\right), \chi_{02} = \text{sn}^{-1}\left(\frac{r_1-r_3}{r_1-r_2}\right). $

对应于过$ (r_3, 0) $的一族开轨道, 有下述爆破波解的参数表示[见图 7(b)]

(4.7) $ \begin{equation} \phi(\xi) = r_2+\frac{(r_3-r_2)(\phi_s-r_2)}{(\phi_s-r_2)-(\phi_s-r_3)\text{sn}^2(\omega_2\xi, k_3)}, \end{equation} $

其中, $ k_3^2 = \frac{(\phi_s-r_3)(r_1-r_2)}{(\phi_s-r_2)(r_1-r_3)}. $系统(1.7)的周期波解(4.6) 和紧性波解(4.7) 的波形图分别如图 7 (a)和图 7(b)所示.

(ii) 当$ h = h_1, $ (1.8)式的水平曲线定义为$ H(\phi, y) = h_1, $ (1.7) 式在$ (\phi_1, 0) $有一条异宿轨对应稳定和不稳定流形, 其中$ r_3<\phi_1<r_2<0<r_1<\phi_s. $从而得到一个扭且反扭波解. 其与(4.4)式有相同的参数表示.

(4)   考虑马赫数$ M = 0.7486 $, 相图由图 2(d)给出.

(i) 当$ h = h\in(0, h_1), $ (1.8) 式中水平曲线定义为$ H(\phi, y) = h $, 可得一族平衡点$ E_0(0, 0) $的周期轨道. 进而可得周期波解. 其与(4.1) 式有相同的参数表示.

(ii) 当$ h = h_1, \ \phi_s>\phi_M>0>\phi_1, $ (1.7) 式有包围平衡点$ E_0(0, 0) $的同宿轨, 从而有光滑孤波解的如下参数表示

(4.8) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{2(\phi_1-\phi_M)(\phi_s-\phi_1)}{(\phi_s-\phi_M)\cosh\sqrt{A}\xi-(\phi_s+\phi_M-2\phi)}-\phi_1, \end{equation} $

其中, $ A = \alpha_1(\phi_M-\phi_1)(\phi_1-\phi_s). $

首先, 从图 3中, 我们注意到平衡点$ E_0(0, 0) $是一个高阶平衡点. 对于$ h = h_1, $$ H(\phi, y) = h_1 $定义的水平曲线包含一个与原点相交的开轨道. 因此, (1.8) 式可以写为$ y^2 = \alpha_1\phi^3(\phi_s-\phi) $, 其中$ \phi_s>0. $因此, 我们有如下的尖峰波解的参数表示

(5.1) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{\phi_s}{1+\alpha_1\left(\frac{1}{2}\phi_s\xi\right)^2}. \end{equation} $

在本节中, 我们使用奇异行波系统理论来分析系统(1.7)的解函数$ \phi(\xi) $的波形.

(1) 基于能量水平$ H(\phi, y) = h, \ h \in (h_2, h_1) $, 我们对图 4(a)的相轨道进行以下分类.

(i) 考虑图 8(a). 在这种情况下, 当$ h\in(h_2, 0), $由$ H(\phi, y) = h $定义的水平曲线有一族周期轨道和开轨道. 当$ r_3<0<r_2<r_1<\phi_s, $ (1.8)式变成$ y^2 = \alpha_1(\phi-r_3)(\phi-r_2)(r_1-\phi)(\phi_s-\phi). $与周期轨道族相对应, 我们有光滑周期波解的参数表示如下

(6.1) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{r_2-r_3\hat{\alpha}_1^2\text{sn}^2(\omega_2\xi, k_2)}{1-\hat{\alpha}_1^2\text{sn}^2(\omega_2\xi, k_2)}. \end{equation} $

与过$ (r_3, 0) $的开轨道对应, 我们有爆破波解的参数表示如下

(6.2) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{r_3-r_2\hat{\alpha}_2^2\text{sn}^2(\omega_2\xi, k_4)}{1-\hat{\alpha}_2^2\text{sn}^2(\omega_2\xi, k_4)}, \end{equation} $

其中, $ 0<\hat{\alpha}_2^2 = \frac{\phi_s-r_3}{\phi_s-r_2}<k_4^2, \ k_4^2 = \hat{\alpha}_2^2\left(\frac{r_1-r_2}{r_1-r_3}\right). $

(ii) 从图 8(b)可见, 由$ H(\phi, y) = h_0 $定义的水平曲线在奇异直线$ \phi = \phi_s $左侧有一条同宿轨道. 从而, 得到一个光滑的孤立波解. 由(1.8)式, 我们得到行波解的参数表示如下

(6.3) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{2\phi_M\phi_s}{(\phi_s-\phi_M)\cosh\left(\sqrt{\alpha_1\phi_s\phi_M}\xi\right)+(\phi_s+\phi_M)}, \end{equation} $

其中, $ 0<\phi_M<\phi_s. $

此外, 在平衡点$ E_0(0, 0) $的左侧还有一个异宿轨道. 因此, 对应于鞍点的左稳定流形和不稳定流形, 我们有系统(1.7) 的扭和反扭波解的参数表示如下

(6.4) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{2\phi_M\phi_sP}{P^2\text{exp}\left(\sqrt{\phi_M\phi_s}\xi\right)+\left(\phi_s-\phi_M\right)^2\text{exp}\left(-\sqrt{\alpha_1(\phi_M\phi_s)}\xi\right)+ 2(\phi_s+\phi_M)P}, \end{equation} $

(6.5) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{2\phi_M\phi_sP}{P^2\text{exp}\left(-\sqrt{\phi_M\phi_s}\xi\right)+\left(\phi_s-\phi_M\right)^2\text{exp}\left(\sqrt{\alpha_1(\phi_M\phi_s)}\xi\right)+ 2(\phi_s+\phi_M)P}, \end{equation} $

其中, $ P = \phi_s-\phi_M. $

(iii) 考虑图 8(c). 在这种情况下, 对于$ h = (h_0, h_1), $$ H(\psi, y) = h $定义的水平曲线, 在点$ (0, \pm q_1) $处有一族开曲线, 其穿过$ y $轴, 当$ |y|\rightarrow \infty $时趋于奇异直线$ \phi = \phi_s $. 现在, 对于通过点$ (r_1, 0) $的开轨道, 我们有$ G_4(\phi) = (\phi_s-\phi)(r_1-\phi)(\phi-r_2)(\phi-\bar{r}_2) = (\phi_s-\phi)(r_1-\phi)[(\phi-b_1)^2+a_1^2], $其中, $ \phi_s>r_1>0, r_2 $和$ \bar{r}_2 $是复数. 因此, 我们得到了紧性解的参数表示如下

(6.6) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{(\phi_sB-r_1A)+(\phi_sB+r_1A)\text{cn}(\xi, k_5)}{(B-A)+(B+A)\text{cn}(\xi, k_5)}, \ \ \ \ \chi\in(-\chi_0, \chi_0), \end{equation} $

其中, $ A^2 = (\phi_s-b_1)^2+a_1^2, B^2 = (r_1-b_1)^2+a_1^2, $$ a_1^2 = \frac{-(r_2-\bar{r_2})^2}{4}, $$ b_1 = \frac{r_2+\bar{r_2}}{2}, $$ k_5^2 = \frac{(A+B)^2-(\phi_s-r_1)^2}{4AB}, $$ \chi_0 = \text{cn}^{-1}\left(\frac{(A-B)q_1+(\phi_sB-r_1A)}{(A+B)q_1-(\phi_sB+r_1A)}, k_5\right). $

(2) 在此情形下, $ \phi_M = \phi_s, \ \ h_2< h_0 < h_1 $ [见图 4(b)].

在本节中, 完全位于奇异直线$ \phi(\xi) = \phi_s(\xi) $左侧小邻域中的同宿轨道定义了系统(1.7)的伪峰波解. 此外, 对于一族周期轨道, 如果每个轨道都存在一个完全位于奇异直线的左侧小邻域中的部分, 则这些周期性轨道将确定系统(1.7) 的一族周期峰解. 周期峰解是带有两个时间尺度的奇异行波系统的经典解.

(i) 对于由$ H(\phi, y) = h_0 $定义的水平曲线, 存在系统(1.7)的周期轨道. 因此, 相应地有(1.1)式的一个伪峰波解, 其参数表示如下图所示[见图 9(a)]

(6.7) $ \begin{equation} \phi(\xi) = \frac{\phi_s}{1+\text{exp}\left(\omega_3\xi\right)}, \end{equation} $

其中, $ \omega_3 = -\sqrt{\alpha_1}\phi_s. $

(ii) 对应于由$ H(\phi, y) = h, \ h\in(h_0, h_1) $定义的水平曲线, 存在系统(1.7)的周期轨道. 因此, 我们得到一族周期峰解[见图 9(b)].

因此, 对于第一类奇异行波系统, 如系统(1.7), 我们得出与文献[19-20]一致的下述结果.

定理6.1  假设在奇异直线$ \phi_s = \frac12M^2 $的左(或右)邻域中, 存在一族周期轨道[见图 2(b)和2(c)]. 则沿着每个$ \phi_s $附近的轨道的一部分, 波函数的导数在很短的时间间隔内迅速下降.

对应于图 4(c)和图 4(d), 由$ H(\phi, y) = h, \ h \in (h_1, h_2) $定义的水平曲线是闭轨道族, 其与奇异直线$ \phi(\xi) = \phi_s(\xi) $接触, 存在(1.1) 的一族紧性解.

在本文中, 我们研究了与系统(1.7)的HIAW相关的任意振幅HIAW(例如, 振幅, 宽度, 速度等)的解的动力学行为, 并发现了可能的精确解的明确参数表示. 基于等式(1.1a), (1.1b) 和(1.5), 我们得到奇异行波系统(1.7). 对于给定的波速$ M\in(-bK_2, aK_1), $依据合适的速度域参数$ M $的变化, 对于ADRQP系统中HIAW的传播, 系统(1.7) 的相图分岔情形如图 2、图 3和图 4所示.

通过使用动力系统方法, 我们获得了十四个精确的显式行波解, 它们由双曲函数和雅可比椭圆函数表示. 其中, (4.6) 和(6.1) 式是周期波解, (4.8) 式是孤立波解, (4.1), (4.2), (4.3), (4.7), (6.2) 和(6.6) 式是紧性波解, (4.5) 式是周期峰波解, (4.4), (6.4)和(6.5) 式是扭波和反扭波解, (6.7)式是伪峰波解. 在每种情况下, 我们都使用Maple软件获得了一些解的波动曲线. 据此, 我们得出方程(1.1) 有周期解、周期的峰解、光滑的孤波解、伪峰解和紧性波解.