本文考虑了最简单的向列相液晶流的模块grad-div稳定化有限元方法. 由Ericksen等人^[11-12]和Leslie等人^[20]最初建立的Ericksen-Leslie模型可以模拟流体动力学向列相液晶的流动. 该模型是对流速和分子方向的宏观连续性描述. Lin等人对该问题进行了深入的研究^[21-24], 构造了一个简化的Ericksen-Leslie模型, 参见文献[21], 这对原有Ericksen-Leslie模型^[4]进行理论和数值分析而言是一个不错的开端.

在有界凸区域$ \Omega\subset {{{\Bbb R}} }^{2} $中, 我们考虑简化的Ericksen-Leslie模型(参见文献[3, 21])

(1.1) $ \begin{equation} \textbf{u}_t-\nu\Delta \textbf{u}+(\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{u}+\nabla p+\lambda \nabla\cdot(\nabla{\textbf{d}}\odot\nabla{\textbf{d}}) = \textbf{f}, \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} \textbf{d}_t-\gamma\Delta \textbf{d}+(\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{d} = \gamma|\nabla \textbf{d}|^2\textbf{d}, \end{equation} $

(1.3) $ \begin{equation} \nabla\cdot\textbf{u} = 0, \; \; \; |\textbf{d}| = 1, \end{equation} $

$ ({\bf x}, t)\in Q_{T}, $其中$ Q_{T} = \Omega\times(0, T), $$ T\in(0, \infty). $$ {\bf u}({\bf x}, t):Q_{T}\rightarrow {{{\Bbb R}} }^{2} $和$ p({\bf x}, t):Q_{T}\rightarrow {{\Bbb R}} $分别表示速度场和压力. $ {\bf d}({\bf x}, t):Q_{T}\rightarrow {\mathbb S}\subset {{{\Bbb R}} }^{2} $是向列相液晶材料分子取向场的指向矢. $ {\bf f}({\bf x}, t):Q_{T}\rightarrow {{{\Bbb R}} }^{2} $代表外力. 参数$ \nu $表示粘性系数, $ \lambda $表示动能与势能之间的竞争, $ \gamma $表示分子取向场的微观弹性弛豫时间. $ |\nabla\bf d| $和$ |\bf d| $代表$ \nabla\bf d $和$ \bf d $的欧几里德范式. 另外, $ \nabla{{\textbf{d}}}\odot\nabla{\textbf{d}} $是$ 2\times 2 $矩阵, 矩阵中的元素$ (i, j) $可写为$ (\sum\limits_{k = 1}^2\frac{\partial d_k}{\partial {x}_i}\frac{\partial d_k}{\partial {x}_j})_{i, j} $.

方程(1.1)–(1.3) 的初始条件和边界条件由下式给出^[3]

(1.4) $ \begin{eqnarray} & {\bf u}({\bf x}, 0) = {\bf u}_{0}({\bf x}), \quad{\bf d}({\bf x}, 0) = {\bf d}_{0}({\bf x}), \quad \mathrm{in}\ \Omega, \end{eqnarray} $

(1.5) $ \begin{eqnarray} & {\bf u}|_{S_T} = 0, \quad \partial_{{\bf n}}{\bf d}|_{S_T} = 0, \end{eqnarray} $

$ \nabla\cdot{\bf u}_{0} = 0 $和$ |{\bf d}_{0}| = 1, $其中$ S_T = \partial\Omega\times(0, T), $$ {\bf n} $是$ \partial\Omega $的单位外法线.

由于简化的Ericksen-Leslie模型的方程(1.1)–(1.5)不仅包括强非线性, 不可压缩性和非凸约束$ |{\bf d}| = 1 $, 而且还包括谐波映射流与运动的流体方程之间的耦合, 我们想要有效地求解这些方程并不容易. 因此, 许多研究者已投入大量精力来开发一些有效的数值方法来研究该模型, 参见文献[5, 8-10, 15-17, 34]. 但是, 对于这种简化的Ericksen-Leslie模型, 大多数方法通常都忽略或没有严格执行质量守恒定律. 如果数值算法满足质量守恒性, 那么所得的数值解将获得更大的物理精度. 当我们意识到质量守恒定律的重要性的时候, 自然而然地就会研究可以保持该定律的数值方法.

grad-div稳定化有限元方法^[14], 可以通过减少压力对速度误差的影响来弥补缺乏质量守恒的缺点, 并提高求解精度. 目前, 与这种方法相关的文章有很多, 参见文献[1, 19, 25, 27, 29]. 但是, grad-div稳定化有限元方法取决于稳定化参数, 具有大的稳定化参数的grad-div稳定化有限元方法(大参数是不可避免的, 参见文献[13]), 可能会使相应的线性代数系统条件数变差, 并且该方法由于稀疏性降低和耦合性增加而需要大量的计算时间. 为了解决这些问题, 研究者提出了一种标准grad-div稳定化有限元方法的有效变形, 称为模块grad-div稳定化有限元方法^[13], 该方法用于计算Navier-Stokes方程的解. 研究者发现该方法不受稳定化参数变化的影响, 而标准方法的计算成本随着稳定化参数的增长而迅速增加. 后来, 秦等人将该方法应用于Stokes/Darcy方程^[30], Boussinesq方程^[2]和磁流体动力学方程^[26]. Rong等已将这种模块grad-div稳定化有限元方法从一阶时间精度提高到了二阶时间精度^[31]. Akbas等将第二种方法扩展到了磁流体动力学方程^[2].

本文的目的是将文献[13]中的方法推广到向列相液晶流问题(1.1)–(1.5)式. 方程(1.1)–(1.5)的数值方法包括两个步骤. 第一步是将简化的Ericksen-Leslie模型与向后欧拉时间混合有限元空间离散化近似. 第二步是后处理步骤, 我们引入了解耦的一阶grad-div稳定步骤(即模块grad-div稳定化方法). 本文的其余部分安排如下, 在第2节, 本文将介绍一些数学预备知识, 并为简化的Ericksen-Leslie模型提出模块grad-div稳定化有限元方法. 第3节得到了该方法的误差估计. 第4节进行了一些数值实验, 以验证本文提出算法的理论分析的有效性.

为了引入简化的Ericksen-Leslie模型方程(1.1)–(1.5)的模块grad-div稳定化有限元离散格式, 我们将给出一些记号.

首先, 我们记Lebesgue空间为$ L^{p}(\Omega) $和Sobolve空间为$ W_{p}^{m}(\Omega), $$ m\in{\mathbb N^{+}}, $$ 1\leq p\leq \infty, $它们的范数分别由$ \|\cdot\|_{L^{p}(\Omega)} $和$ \|\cdot\|_{W^{m}_{p}(\Omega)} $表示. 另外, $ H^{m}(\Omega) $用于表示特定的Sobolev空间$ W^{m}_{2}(\Omega) $而$ \|\cdot\|_{m} $则表示$ H^{m}(\Omega) $中的范数. $ \|\cdot\|_0 $和$ (\cdot, \cdot) $表示$ L^2(\Omega) $的范数和内积. 对于$ \Omega $中的函数空间$ X $, $ L^p(0, T;X) $表示$ Q_T $上定义的所有函数的空间, 其范数

$ \|u\|_{L^{p}(0, T;X)} = \bigg(\int_{0}^{T}\|u\|_{X}^{p} {{\rm d}t}\bigg)^{\frac{1}{p}}, \quad p\in[1, \infty) $

是有限的.

此外, 对于简化Ericksen-Leslie方程(1.1)–(1.5), 我们引入以下函数空间

$ {\bf V} = {H}_{0}^{1}(\Omega)^2 = \{{\bf v}\in {H}^{1}(\Omega)^{2}:{\bf v}|_{\partial\Omega} = 0\}, \quad {\bf W} = H^{1}(\Omega)^2, $

$ M = L_{0}^{2}(\Omega) = \{q\in L^{2}(\Omega):(q, 1) = 0\}. $

然后, 根据上述函数空间的上述定义, 我们给出方程(1.1)–(1.5)的变分形式对所有的$ ({\bf v}, q, \phi)\in {\bf V}\times M\times {\bf W} $求$ ({\bf u}, p, {\bf d})\in L^{2}(0, T;{\bf V})\times L^{2}(0, T;M)\times L^{2}(0, T;{\bf W}) $

(2.1) $ \begin{equation} ({\bf u}_{t}, {\bf v})+\nu(\nabla {\bf u}, \nabla{\bf v})-(p, \nabla\cdot{\bf v}) +(\nabla\cdot{\bf u}, q)+(({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}, {\bf v})\\ -\lambda(\nabla {\bf d}\odot\nabla{\bf d}, \nabla{\bf v}) = ({\bf f}, {\bf v}), \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} ({\bf d}_{t}, \phi)+\gamma (\nabla{\bf d}, \nabla{\phi}) -\gamma(|\nabla {\bf d}|^{2}{\bf d}, \phi)+(({\bf u}\cdot\nabla){\bf d}, {\phi}) = 0. \end{equation} $

我们令$ N $为大于0的整数, $ \{t_m\}_{m = 0}^{N} $为区间$ [0, T] $的均匀剖分, 时间步长$ \Delta t = \frac{T}{N}, $$ t_m = m\Delta t, $并对区域$ \Omega $做一致剖分$ K_h, $该网格由三角形单元$ K $组成, 网格步长$ h = \max_{K\in K_h}h_K, $其中$ h_K $是单元$ K $的直径. 接下来, 我们在$ K_h $上定义以下有限元子空间

$ {\bf V}_{h} = \{{\bf v}_{h}\in C(\Omega)^2\cap {\bf V}, \ {\bf v}_{h}|_K\in P_{1}(K)^2, \ \forall K\in K_{h}\}, $

$ {\bf W}_{h} = \{{\bf w}_{h}\in C(\Omega)^2\cap {\bf W}, \ {\bf w}_{h}|_K\in P_{2}(K)^2, \ \forall K\in K_{h}\}, $

$ M_{h} = \{q_{h}\in L^{2}(\Omega)\cap M, \ q_{h}|_K\in P_{0}(K), \ \forall K\in K_{h}\}, $

$ X_{h} = \{v_{h}\in C(\Omega), \ v_{h}|_K\in P_{1}(K), \ \forall K\in K_{h}\}, $

其中$ P_i(K) $$ (i = 0, 1, 2) $表示$ K\in K_{h} $上阶数最多为$ i $次的多项式空间. 需要注意的是, 最低阶协调有限元对$ {\bf V}_{h}\times M_{h} $不满足离散的inf-sup条件. 因此, 本文为了满足该条件, 使用稳定的双线性项^{[6, 35]}

$ G(p_h, q_h) = (p_h-\Pi p_h, q_h-\Pi q_h), \quad \forall p_h, q_h\in M_h, $

其中$ \Pi $是从$ L^{2}(\Omega) $到$ X_h $的投影算子^{[6, 32-33]}.

另外, 本文引入了广义双线性形式, 对所有的$ ({\bf u}_{h}, p_{h}), ({\bf v}_{h}, q_{h})\in {\bf V}_{h}\times M_{h} $有

$ B({\bf u}_{h}, p_{h};{\bf v}_{h}, q_{h}) = \nu(\nabla{\bf u}_{h}, \nabla{\bf v}_{h})-(\nabla\cdot{\bf v}_{h}, p_{h}) +(\nabla\cdot{\bf u}_{h}, q_{h})+G(p_{h}, q_{h}), $

以及反对称三线性形式, 对所有$ {\bf u}_h\in{\bf V}_h, $$ {\bf v}_h, \ {\bf w}_h\in {\bf V}_h $和$ {\bf W}_h $有

(2.3) $ \begin{eqnarray} b({\bf u}_h, {\bf v}_h, {\bf w}_h)& = &(({\bf u}_h\cdot\nabla){\bf v}_h, {\bf w}_h) +\frac{1}{2}((\nabla\cdot{\bf u}_h){\bf v}_h, {\bf w}_h){}\\ & = &\frac{1}{2}(({\bf u}_h\cdot\nabla){\bf v}_h, {\bf w}_h)-\frac{1}{2}(({\bf u}_h\cdot\nabla){\bf w}_h, {\bf v}_h), \end{eqnarray} $

该三线性项满足以下性质^[28]

(2.4) $ \begin{equation} |b({\bf u}_h, {\bf v}, {\bf w}_h)|\leq C\|{\bf u}_h\|_{0}\|{\bf v}\|_{2}\|\nabla{\bf w}_h\|_{0}, \end{equation} $

对所有的$ {\bf u}_h, {\bf w}_h\in {\bf V}_h, $$ {\bf W}_h $和$ {\bf v}\in H^2(\Omega)^2 $都成立. 我们设$ C $为一个正常数, 该常数与网格大小$ h $和时间步长$ \Delta t $无关, 并且在不同情况下可以表示不同的值. 本文应用了逆不等式^[7], 它适用于$ \textbf{v}_h\in{\bf V}_h $或$ {\bf W}_h, $

(2.5) $ \begin{equation} \|\textbf{v}_h\|_{W^{l}_{p}(\Omega)^2}\leq Ch^{s-l+2\min\{0, \frac{1}{p}-\frac{1}{q}\}}\|\textbf{v}_h\|_{W^s_{q}(\Omega)^2}, \quad 1\leq p, q\leq\infty, \; \; 0\leq s\leq l. \end{equation} $

在本节的其余部分, 我们用$ ({\bf u}_{h}^{m}, p_{h}^{m}, {\bf d}_{h}^{m}) $完全离散逼近$ ({\bf u}(t_m), p(t_m), {\bf d}(t_m)). $接下来我们准备为简化的Ericksen-Leslie模型提供模块grad-div稳定化有限元方法, 如下所示.

算法 2.1  第一步  我们给定$ {\bf u}_{h}^{m}\in {\bf V}_{h} $和$ {\bf d}_{h}^{m}\in{\bf W}_{h}, $对所有的$ ({\bf v}_h, q_h, \phi_{h})\in {\bf V}_{h}\times M_{h}\times{\bf W}_{h} $找到$ ({\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, p_{h}^{m+1}, {\bf d}_{h}^{m+1})\in {\bf V}_{h}\times M_{h}\times{\bf W}_{h}, $

(2.6) $ \begin{eqnarray} && \left(\frac{{\bf d}_{h}^{m+1}-{\bf d}_{h}^{m}}{\Delta t}, \phi_{h}\right)+\gamma (\nabla{\bf d}_h^{m+1}, \nabla{\phi}_{h})-\gamma(|\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m}, \phi_{h}) +b({\bf u}_{h}^{m}, {\bf d}_{h}^{m+1}, \phi_{h}) = 0, \end{eqnarray} $

(2.7) $ \begin{eqnarray} && \left(\frac{{\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}-{\bf u}_{h}^{m}}{\Delta t}, {\bf v}_{h}\right)+B({\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, p_{h}^{m+1};{\bf v}_{h}, q_{h}) +b({\bf u}_{h}^{m}, {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, {\bf v}_{h}){}\\ &&+\lambda(\nabla {\bf d}_{h}^{m+1}\odot \nabla {\bf d}_{h}^{m}, \nabla{\bf v}_{h}) = ({\bf f}^{m+1}, {\bf v}_{h}). \end{eqnarray} $

第二步  根据从(2.6)式和(2.7)式得到的$ {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1} $, 找到$ {\bf u}_{h}^{m+1}\in{\bf V}_{h}, $使得对于所有的$ {\bf v}_h\in {\bf V}_{h} $有

(2.8) $ \begin{equation} ({\bf u}_{h}^{m+1}, {\bf v}_{h})+(\beta+\chi\Delta t)(\nabla\cdot{\bf u}_{h}^{m+1}, \nabla\cdot{\bf v}_{h}) = ({\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, {\bf v}_{h})+\beta(\nabla\cdot{\bf u}_{h}^{m}, \nabla\cdot{\bf v}_{h}), \end{equation} $

其中$ \beta>0 $和$ \chi>0 $是两个稳定化参数.

注 2.1  算法2.1中变量的计算顺序如下. 首先该算法由$ {\bf d}_h^{m} $求出$ {\bf d}_h^{m+1}, $然后根据$ {\bf u}_h^{m}, $$ {\bf d}_h^{m} $求出$ {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1} $和$ p^{m+1}_h, $再由方程(2.6)求出$ {\bf d}_h^{m+1} $, 最后根据$ {\bf u}_h^{m} $求出$ {\bf u}_h^{m+1} $和方程(2.7)求出$ {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1} $. 需要注意的是算法2.1的第一步是参见文献[3]中提出的算法. 为了保持质量守恒性并提高求解精度, 并且不会出现由大稳定化参数而引起的计算时间过长的问题, 本文引入了第二步.

在本节中, 我们证明了该算法的数值解收敛于真解. 本文首先介绍了下面的投影^{[3, 7]}, $ ({\bf R}_{h}, Q_{h}): {\bf V}\times M\longrightarrow{\bf V}_{h}\times M_{h} $

(3.1) $ \begin{equation} {B}({\bf R}_{h}{\bf v}, Q_{h}q;{\bf v}_{h}, q_{h}) = {B}({\bf v}, q;{\bf v}_{h}, q_{h})-G(q, q_h), \end{equation} $

对于$ ({\bf v}, q)\in{\bf V}\times M $和$ ({\bf v}_{h}, q_{h})\in{\bf V}_{h}\times M_{h}, $上述投影满足以下性质^{[3, 7, 18]}

(3.2) $ \begin{equation} \begin{array}{l} \|{\bf v}(t_m)-{\bf R}_{h}{\bf v}(t_m)\|_{0} +h\|\nabla({\bf v}(t_m)-{\bf R}_{h}{\bf v}(t_m))\|_0\leq Ch^{2}\|{\bf v}(t_m)\|_{2}, \\ \|q(t_m)-{Q}_{h}q(t_m)\|_0\leq Ch\|q(t_m)\|_1, \end{array} \end{equation} $

其中$ ({\bf v}, q)\in{\bf V}\cap H^2(\Omega)^2\times M\cap H^1(\Omega) $和$ 0\leq m\leq N. $此外, 本文还定义了投影算子^{[3, 7]}$ {\bf P}_h: {\bf W}\rightarrow {\bf W}_{h} $有

(3.3) $ \begin{equation} (\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf P}_h{\bf d}(t_{m})), \nabla{\phi}_h) = 0, \quad\forall{\bf d}\in{\bf W}, \; \phi_h\in{\bf W}_h. \end{equation} $

上述投影算子满足以下性质^{[3, 7, 18]}

(3.4) $ \begin{equation} \|{\bf d}(t_{m})-{\bf P}_{h}{\bf d}(t_{m})\|_{0} +h\|\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf P}_{h}{\bf d}(t_{m}))\|_{0}\leq Ch^{3}\|{\bf d}(t_{m})\|_{3}, \end{equation} $

其中$ {\bf d}\in H^3(\Omega)^2\cap {\bf W}. $

本文标记$ (\tilde{{\bf u}}^m, \tilde{p}^m, \tilde{{\bf d}}^{m}) = ({\bf R}_h{\bf u}(t_m), Q_hp(t_m), {\bf P}_h{\bf d}(t_{m})) $, 然后拆分数值误差如下

$ \begin{eqnarray*} &&{\bf u}(t_m)-{\bf u}_h^m = ({\bf u}(t_m)-\tilde{{\bf u}}^m) +(\tilde{{\bf u}}^m-{\bf u}_h^m) = :{\bf e}_c^m+{\bf e}^m, \\ && {\bf u}(t_m)-{\bf \hat{u}}_h^m = ({\bf u}(t_m)-\tilde{{\bf u}}^m) +(\tilde{{\bf u}}^m-{\bf \hat{u}}_h^m) = :{\bf e}_c^m+{\bf \hat{e}}^m, \\ && p(t_m)-p_h^m = (p(t_m)-\tilde{p}^m)+(\tilde{p}^m-p_h^m) = :\eta_c^m+\eta^m, \\ && {\bf d}(t_{m})-{\bf d}_h^{m} = ({\bf d}(t_{m})-\tilde{{\bf d}}^{m}) +(\tilde{{\bf d}}^{m}-{\bf d}_h^{m}) = :{\bm \epsilon}_c^{m} +{\bm \epsilon}^{m}. \end{eqnarray*} $

假设$ {\bf e}^{0} = 0, \ {\bm \epsilon}^{0} = 0. $

为了获得误差方程, 我们在方程(2.1)中设$ ({\bf v}, q, \phi) = ({\bf v}_h, q_h, \phi_h) $, 则由(3.1)式和(3.3)式可以得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&\left(\frac{\tilde{{\bf d}}^{m+1}-\tilde{{\bf d}}^{m}}{\Delta t}, \phi_{h}\right)+\gamma (\nabla\tilde{{\bf d}}^{m+1}, \nabla{\phi}_{h})-\gamma(|\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2}{\bf d}(t_{m+1}), \phi_{h}){}\\ & &+b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), \phi_{h}) = (\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}, \phi_{h}), \end{eqnarray} $

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\left(\frac{\tilde{{\bf u}}^{m+1}-\tilde{{\bf u}}^{m}}{\Delta t}, {\bf v}_{h}\right)+B(\tilde{{\bf u}}^{m+1}, \tilde{p}^{m+1};{\bf v}_{h}, q_{h}) +b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf u}(t_{m+1}), {\bf v}_{h}){}\\ &&-\lambda(\nabla{\bf d}(t_{m+1})\odot \nabla {\bf d}(t_{m+1}), \nabla{\bf v}_{h}) = (\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}, {\bf v}_{h})+({\bf f}^{m+1}, {\bf v}_{h}), \end{eqnarray} $

其中

(3.7) $ \begin{equation} \mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1} = \frac{\tilde{{\bf u}}^{m+1}-\tilde{{\bf u}}^{m}}{\Delta t}-{\bf u}_{t}(t_{m+1}), \quad \mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1} = \frac{\tilde{{\bf d}}^{m+1} -\tilde{{\bf d}}^{m}}{\Delta t}-{\bf d}_{t}(t_{m+1}). \end{equation} $

用(3.5)式减去(2.6)式得到

(3.8) $ \begin{eqnarray} &&\left(\frac{{\bm \epsilon}^{m+1}-{\bm \epsilon}^{m}}{\Delta t}, \phi_{h}\right) +\gamma (\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}, \nabla{\phi}_{h})-\gamma(|\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2}{\bf d}(t_{m+1}) -|\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m}, \phi_{h}){}\\ &&+b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), \phi_{h}) -b({\bf u}_{h}^{m}, {\bf d}_{h}^{m+1}, \phi_{h}) = (\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}, \phi_{h}). \end{eqnarray} $

用(3.6)式减去(2.7)式得到

(3.9) $ \begin{eqnarray} & &\left(\frac{{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}}{\Delta t}, {\bf v}_{h}\right)+B({\bf \hat{e}}^{m+1}, \eta^{m+1};{\bf v}_{h}, q_{h}) +b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf u}(t_{m+1}), {\bf v}_{h}) -b({\bf u}_{h}^{m}, {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, {\bf v}_{h}){}\\ &&-\lambda(\nabla{\bf d}(t_{m+1})\odot \nabla {\bf d}(t_{m+1})-\nabla {\bf d}_{h}^{m+1}\odot \nabla {\bf d}_{h}^{m}, \nabla{\bf v}_{h}) = (\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}, {\bf v}_{h}). \end{eqnarray} $

算法2.1的第二步, 我们在误差分析中引用了文献[13, 引理10]中的一个重要引理.

引理 3.1^[13]  考虑算法2.1的第二步, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} \|{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2 &\geq&\|{\bf e}^{m+1}\|_0^2+\chi\Delta t\|\nabla\cdot{\bf e}^{m+1}\|_0^2-\beta\Delta t\|\nabla\cdot{\bf e}^{m}\|_0^2+\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m+1}\|_0^2\\ &&+\beta(\|\nabla\cdot{\bf e}^{m+1}\|_0^2-\|\nabla\cdot{\bf e}^{m}\|_0^2 +\frac{1}{2}\|\nabla\cdot({\bf e}^{m+1}-{\bf e}^{m})\|_0^2)\\ &&-\chi\Delta t\|\nabla{\bf e}_c^{m+1}\|_0^2-C (\Delta t+1)\|\nabla{\bf e}_{c, t}^{m+1}\|^2_{L^2(t_m, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}. \end{eqnarray*} $

引理 3.2  考虑算法2.1的第一步, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} &&\|{\bm \epsilon}^{N}\|_{0}^{2}+\gamma\Delta t \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}\\ &\leq& \Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2+Ch^{4}\\ &&+\frac{C\Delta t^2}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}^2 +\frac{C\Delta t^2}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1} \|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}\\ &&+C\gamma\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6). \end{eqnarray*} $

证  在(3.8)式中取$ {\phi}_{h} = {\bm \epsilon}^{m+1}, $我们可以得到

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2\Delta t}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{1}{2\Delta t}\|{\bm \epsilon}^{m+1}-{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^{2} -\frac{1}{2\Delta t}\|{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^{2} +\gamma\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &\leq& |(\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}, {\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf u}_h^{m}, {\bf d}_{h}^{m+1}, {\bm \epsilon}^{m+1}) -b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), {\bm \epsilon}^{m+1})|{}\\ &&+\gamma|(|\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2} {\bf d}(t_{m+1})- |\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m}, {\bm \epsilon}^{m+1})| = :I_{1}+I_{2}+I_{3}. \end{eqnarray} $

我们首先应用Cauchy-Schwarz和Young不等式估计$ I_1 $如下

(3.11) $ \begin{equation} I_{1}\leq \frac{1}{2}(\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}), \end{equation} $

其次, 通过简单的计算使得

(3.12) $ \begin{eqnarray} I_{2}& \leq&|b({\bf e}^m, {\bf d}(t_{m+1}), {\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf e}_c^m, {\bf d}(t_{m+1}), {\bm \epsilon}^{m+1})| {}\\ &&+|b({\bf u}(t_m)-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), {\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf e}^m, {\bm \epsilon}_c^{m+1}, {\bm \epsilon}^{m+1})| {}\\ &&+|b({\bf e}_c^m, {\bm \epsilon}_c^{m+1}, {\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf u}(t_m), {\bm \epsilon}_c^{m+1}, {\bm \epsilon}^{m+1})| = :\sum\limits_{i = 1}^6I_{2}^{i}, \end{eqnarray} $

然后, 由(2.4)式, 投影性质(3.2)式, (3.4)式和Young不等式可以得出

$ \begin{eqnarray*} I_2^1&\leq& C\|{\bf e}^m\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{\gamma}{24}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{C}{\gamma}\|{\bf e}^m\|_0^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2^2, \\ I_2^2&\leq&C\|{\bf e}_c^m\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{\gamma}{24}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{Ch^4}{\gamma}\|{\bf u}(t_{m})\|_2^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2^2, \\ I_2^3&\leq&C\|{\bf u}(t_m)-{\bf u}(t_{m+1})\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0\\ &\leq&\frac{\gamma}{24}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{C\Delta t}{\gamma}\|{\bf d}(t_{m+1})\|_2^2\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}^2, \\ I_2^4&\leq&C\|{\bf e}^m\|_0\|{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{2} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0} \leq \frac{\gamma}{24}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{Ch^4}{\gamma}\|{\bf e}^m\|_0^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2, \\ I_2^5&\leq&C\|{\bf e}_c^m\|_0\|{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{\gamma}{24}\|\nabla\epsilon^{m+1}\|_0^2 +\frac{Ch^6}{\gamma}\|{\bf u}(t_{m})\|_2^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2, \\ I_2^6&\leq&C\|{\bf u}(t_m)\|_2\|{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_0\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{\gamma}{24}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{Ch^6}{\gamma}\|{\bf u}(t_m)\|_2^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2. \end{eqnarray*} $

我们将上述估计值与正则性假设相结合可以得到

(3.13) $ \begin{equation} I_2\leq\frac{\gamma}{4}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +\frac{C}{\gamma}(1+h^4)\|{\bf e}^m\|_0^2 +\frac{C\Delta t}{\gamma}\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}^2 +Ch^4. \end{equation} $

为了估计$ I_3, $我们把$ |\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2} {\bf d}(t_{m+1})- |\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m} $重写为

$ \begin{eqnarray*} &&|\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2}{\bf d}(t_{m+1})- |\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m}\\ & = &(\nabla{\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m}))(\nabla{\bf d}(t_{m+1})+\nabla{\bf d}(t_{m})){\bf d}(t_{m+1})\\ & &+|\nabla{\bf d}(t_{m})|^{2}({\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})) +|\nabla{\bf d}(t_{m})|^{2}({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})\\ & &+2\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})\nabla{\bf d}(t_{m}){\bf d}(t_{m}) -2\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})\nabla{\bf d}(t_{m})({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})\\ &&+|\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})|^{2}({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m}) -|\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf d}_{h}^{m})|^{2}{\bf d}(t_{m}). \end{eqnarray*} $

接下来, 由Hölder和Young不等式, 我们得到

(3.14) $ \begin{eqnarray} I_{3}&\leq& \gamma \|\nabla{\bf d}(t_{m+1})+\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|{\bf d}(t_{m+1})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+\gamma \|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}^{2}\|{\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}^{2}\|{\bm \epsilon}^{m} +{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+2\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+2\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m} +{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+\gamma\|{\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{3}(\Omega)^2}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{L^{6}(\Omega)^2}{}\\ &&+\gamma\|{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m_{k}}\|_{L^{3}(\Omega)^2}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{L^{6}(\Omega)^2}{}\\ & = &:\sum\limits_{i = 1}^7I_{3}^{i}. \end{eqnarray} $

为了估计(3.14)式中的每个$ I_3^i $, 本文应用Cauchy-Schwarz和Young不等式和(3.4)式可以得到

$ \begin{eqnarray*} I_{3}^{1}+I_{3}^{2}&\leq& C\gamma \|\nabla{\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}\\ &\leq& \frac{\gamma}{16}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2+\frac{C\Delta t}{\gamma} \|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}, \\ I_{3}^{3}+I^4_3&\leq& \frac{\gamma}{16}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2 +C\gamma\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}^2\\ &\leq & \frac{\gamma}{16}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2 +C\gamma(h^{4}\|{\bf d}(t_{m})\|^2_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^{2}), \\ I_{3}^5+I_{3}^{7}&\leq &C\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0} \leq \frac{\gamma}{16} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}+C\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}^4\\ &\leq &\frac{\gamma}{16} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +C\gamma(h^{8}\|{\bf d}(t_{m})\|^4_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4), \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} I_{3}^{6}\leq C\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}^3 \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}\leq \frac{\gamma}{16} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +C\gamma (h^{12}\|{\bf d}(t_{m})\|^6_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6), \end{eqnarray*} $

再综合上述估计可以得到

(3.15) $ \begin{eqnarray} I_{3}&\leq & \frac{\gamma}{4}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}+\frac{C\Delta t}{\gamma} \|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} +C h^{4}+C\gamma\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 {}\\ &&+C\gamma\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +C\gamma\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6. \end{eqnarray} $

最后, 我们把(3.11)式, (3.13)式和(3.15)式与(3.10)式结合起来, 将不等式乘以$ 2\Delta t $并求和$ m = 0, 1, \cdots, N-1, $得到

(3.16) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bm \epsilon}^{N}\|_{0}^{2}+\gamma\Delta t \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} \leq \Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2{}\\ &&+Ch^{4}+\frac{C\Delta t^2}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}^2 +\frac{C\Delta t^2}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1} \|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}{}\\ & &+C\gamma\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6). \end{eqnarray} $

引理3.2证毕.

引理 3.3  考虑算法2.1的第一步, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} &&\|{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2} +\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}-\|{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}+\nu\Delta t\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}\\ &\leq& \frac{C\Delta t}{\nu}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\nu}\|{\bf e}^{m}\|_0^2+C\Delta th^4+C\Delta t^2\|{\bf u}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}\\ &&+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu}(1+\Delta t h^{-2})\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2+C\Delta t^2h^2 +\frac{C\lambda^2\Delta t^2}{\nu}\|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}\\ &&+\frac{C\lambda^2\Delta th^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+h^4) (\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2+h^4)+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2. \end{eqnarray*} $

证  我们在(3.9)式中设$ ({\bf v}_{h}, q_{h}) = ({\bf \hat{e}}^{m+1}, \eta^{m+1}) $使得

(3.17) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2\Delta t}\|{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}+\frac{1}{2\Delta t} \|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}-\frac{1}{2\Delta t}\|{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}+\nu\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}+ \|\eta^{m+1}-\Pi\eta^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &\leq&|(\mathit{\pmb{\omega}}_{{\bf u}}^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1}) +|b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1}) -b({\bf u}_{h}^{m}, {\bf \hat{u}}_{h}^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})|{}\\ &&+\lambda|(\nabla{\bf d}(t_{m+1})\odot \nabla {\bf d}(t_{m+1})-\nabla {\bf d}_{h}^{m+1}\odot \nabla {\bf d}_{h}^{m}, \nabla {\bf \hat{e}}^{m+1})| = : I_{4}+I_{5}+I_{6}. \end{eqnarray} $

考虑到Cauchy-Schwarz和Young不等式, 本文把$ I_{4} $估计为

(3.18) $ \begin{equation} I_{4} \leq \frac{C}{\nu}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2}+ \frac{\nu}{6}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}. \end{equation} $

$ I_5 $加上和减去一些三线性项可以得到

(3.19) $ \begin{eqnarray} I_5&\leq&\left|b({\bf u}_h^m-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{u}}_h^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| +\left|b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{u}}_h^{m+1}-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|{}\\ &\leq&\left|b({\bf u}_h^m-\tilde{{\bf u}}^m, {\bf \hat{u}}_h^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| +\left|b(\tilde{{\bf u}}^m-{\bf u}(t_{m}), {\bf \hat{u}}_h^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|{}\\ &&+\left|b({\bf u}(t_{m})-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{u}}_h^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| +\left|b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{u}}_h^{m+1}-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|{}\\ &\leq& \left|b({\bf e}^m, {\bf e}_c^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| +\left|b({\bf e}^m, {\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|+\left|b({\bf e}_c^m, {\bf e}_c^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|{}\\ && +\left|b({\bf e}_c^m, {\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|+\left|b({\bf u}(t_{m})-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf u}(t_{m+1}), {\bf \hat{e}}^{m+1})\right|{}\\ &&+\left|b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf e}_c^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| +\left|b({\bf u}(t_{m})-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf e}_c^{m+1}, {\bf \hat{e}}^{m+1})\right| = :\sum\limits_{i = 1}^7I_{5}^{i}. \end{eqnarray} $

结合(2.4)式与Young不等式, 我们推出

$ \begin{eqnarray*} I_{5}^{1}+I_{5}^{2}&\leq& C\|{\bf e}^m\|_0\|{\bf e}_c^{m+1}\|_2 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0 +C\|{\bf e}^m\|_0 \|{\bf u}(t_{m+1})\|_2\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0\\ &\leq& \frac{C}{\nu}\|{\bf e}^m\|_0^2 (\|{\bf e}_c^{m+1}\|_2^2+\|{\bf u}(t_{m+1})\|_2^2) +\frac{\nu}{24}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2, \\ I_{5}^{3}+I_{5}^{4}&\leq &C\|{\bf e}_c^m\|_0 \|{\bf e}_c^{m+1}\|_2 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0 +C\|{\bf e}_c^m\|_0 \|{\bf u}(t_{m+1})\|_2 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0\\ &\leq& \frac{C}{\nu}\|{\bf e}_c^m \|_0^2(\|{\bf e}_c^{m+1}\|_2^2+\|{\bf u}(t_{m+1})\|_2^2) +\frac{\nu}{24}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2, \\ I_{5}^{5}+I_{5}^{7}&\leq& C\|{\bf u}(t_{m})-{\bf u}(t_{m+1})\|_0 \|{\bf u}(t_{m+1})\|_2 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0\\ &&+C\|{\bf u}(t_{m})-{\bf u}(t_{m+1})\|_0 \|{\bf e}_c^{m+1}\|_2 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0\\ &\leq& \frac{C\Delta t}{\nu}(\|{\bf u}(t_{m+1})\|_2^2+\|{\bf e}_c^{m+1}\|_2^2) \|{\bf u}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)} +\frac{\nu}{24}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2, \end{eqnarray*} $

以及

$ I_{5}^{6}\leq C\|{\bf u}(t_{m+1})\|_2 \|{\bf e}_c^{m+1}\|_0 \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0 \leq \frac{C}{\nu}\|{\bf u}(t_{m+1})\|_2^2 \|{\bf e}_c^{m+1}\|_0^2 +\frac{\nu}{24}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2. $

我们把这些估计值与(3.19)式结合在一起可以得到

(3.20) $ \begin{equation} I_5\leq \frac{C}{\nu}\left(\|{\bf e}^{m}\|_0^2+h^4 +\Delta t\|{\bf u}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}\right) +\frac{\nu}{6}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_0^2. \end{equation} $

现在我们估计(3.17)式的最后一项

(3.21) $ \begin{eqnarray} I_{6}&\leq&\lambda|(\nabla({\bm \epsilon}^{m+1}+{\bm \epsilon}_c^{m+1})\odot\nabla {\bf d}(t_{m+1}), \nabla{\bf \hat{e}}^{m+1})| {}\\ &&+\lambda|(\nabla({\bm \epsilon}^{m+1}+{\bm \epsilon}_c^{m+1}) \odot\nabla({\bf d}(t_{m})-{\bf d}(t_{m+1})), \nabla{\bf \hat{e}}^{m+1})|{}\\ &&+\lambda|(\nabla {\bf d}(t_{m+1})\odot\nabla({\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})), \nabla{\bf \hat{e}}^{m+1})|{}\\ &&+\lambda|(\nabla(-{\bm \epsilon}^{m+1}-{\bm \epsilon}_c^{m+1})\odot \nabla({\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}_c^{m}), \nabla{\bf \hat{e}}^{m+1})|{}\\ &&+\lambda|(\nabla {\bf d}(t_{m+1})\odot\nabla({\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}_c^{m}), \nabla{\bf \hat{e}}^{m+1})| = :\sum\limits_{i = 1}^5I_{6}^{i}. \end{eqnarray} $

再次应用Hölder和Young不等式, 我们可以得到

(3.22) $ \begin{eqnarray} I_{6}^{1}&\leq&\lambda\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1} +\nabla{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{0}\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq&\frac{C{\lambda}^{2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|^2 +h^4\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2)\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}^2 +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}, \end{eqnarray} $

(3.23) $ \begin{eqnarray} I_{6}^{5}&\leq&\lambda\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_c^{m}\|_{0}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq&\frac{C{\lambda}^{2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +h^4\|{\bf d}(t_m)\|_3^2)\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})\|^2_{L^{\infty}(\Omega)^2} +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}, \end{eqnarray} $

以及

(3.24) $ \begin{eqnarray} I_{6}^{3}&\leq&\lambda\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla {\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{0}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq&\frac{C{\lambda}^{2}{\Delta t}}{\nu}\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|^2_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|{\bf d}_t\|^2_{L^{2}(t_m, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray} $

由逆不等式(2.5), $ I_{6}^2 $和$ I_{6}^4 $可以被估计为

(3.25) $ \begin{eqnarray} I_{6}^{2}&\leq&\lambda\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1} +\nabla{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{L^3(\Omega)^2}\|\nabla {\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^6(\Omega)^2} \|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq&\frac{C{\lambda}^{2}h^{-2}}{\nu}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1} +\nabla{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_0^2\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_0^2 +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &\leq&\frac{C{\lambda}^{2}\Delta th^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+h^4\|{\bf d}(t_m)\|_3^2) \|{\bf d}_t\|^2_{L^{2}(t_m, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}, \end{eqnarray} $

(3.26) $ \begin{eqnarray} I_{6}^{4}&\leq&\lambda\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}+\nabla{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{L^3(\Omega)^2} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_c^{m}\|_{L^6(\Omega)^2}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq&\frac{C\lambda^2h^{-2}}{\nu} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}+\nabla{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{0}^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_c^{m}\|_{0}^2+\frac{\nu}{15}\|\nabla{\bf e}^{m+1}\|_0^2{}\\ &\leq&\frac{C\lambda^2h^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +h^4\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2)(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2+h^4\|{\bf d}(t_m)\|_3^2) +\frac{\nu}{30}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}.{\qquad} \end{eqnarray} $

因此, 我们将(3.22)–(3.26)式代入(3.21)式可以得到$ I_{6} $

(3.27) $ \begin{eqnarray} I_{6}&\leq&\frac{\nu}{6}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C{\lambda}^{2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|^2 +h^4)+\frac{C{\lambda}^{2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +h^4){}\\ &&+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta th^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +h^4)\|{\bf d}_t\|^2_{L^{2}(t_m, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} +\frac{C{\lambda}^{2}{\Delta t}}{\nu}\|{\bf d}_t\|^2_{L^{2}(t_m, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} {}\\ &&+\frac{C\lambda^2h^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +h^4)(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2+h^4). \end{eqnarray} $

接下来, 我们把(3.18)式, (3.20)式和(3.27)式与(3.17)式相结合, 乘以$ 2\Delta t $, 可以得到

(3.28) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2} +\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}-\|{\bf e}^{m}\|_{0}^{2}+\nu\Delta t\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &\leq &\frac{C\Delta t}{\nu}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\nu}\|{\bf e}^{m}\|_0^2+C\Delta th^4+C\Delta t^2\|{\bf u}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}{}\\ &&+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu}(1+\Delta t h^{-2})\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2+C\Delta t^2h^2 +\frac{C\lambda^2\Delta t^2}{\nu}\|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^2(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}{}\\ &&+\frac{C\lambda^2\Delta th^{-2}}{\nu}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+h^4) (\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2+h^4)+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2. \end{eqnarray} $

引理3.3证毕.

引理 3.4  考虑算法2.1的第一步有

$ \begin{eqnarray*} &&\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{N}\|_0^2+\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2\\ &\leq &C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2+Ch^4+C\Delta t^2\\ &&+C\gamma^2\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6)\\ &&+Ch^{-2}\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2 +C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2. \end{eqnarray*} $

证  我们在(3.8)式中令$ \phi_{h} = \frac{1}{\Delta t}({\bm \epsilon}^{m+1}-{\bm \epsilon}^{m}) = :d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}, $可以得到

(3.29) $ \begin{eqnarray} &&\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+\frac{\gamma}{2\Delta t} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2-\frac{\gamma}{2\Delta t} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2 +\frac{\gamma}{2\Delta t}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}-\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2{}\\ &\leq& |(\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf u}_h^{m}, {\bf d}_{h}^{m+1}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1}) -b({\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), d_t{\bm \epsilon}^{m+1})|{}\\ &&+\gamma|(|\nabla {\bf d}(t_{m+1})|^{2} {\bf d}(t_{m+1})- |\nabla {\bf d}_{h}^{m}|^{2}{\bf d}_{h}^{m}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| = :I_7+I_8+I_9. \end{eqnarray} $

我们由Cauchy-Schwarz和Young不等式可以推出

(3.30) $ \begin{equation} I_{7}\leq C\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{1}{6}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}, \end{equation} $

通过使用与(3.12)式同样的方法, 能够得到

$ \begin{eqnarray*} I_{8}&\leq&|b({\bf e}^m, {\bf d}(t_{m+1}), d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf e}_c^m, {\bf d}(t_{m+1}), d_t{\bm \epsilon}^{m+1})|{\nonumber}\\ &&+|b({\bf u}(t_m)-{\bf u}(t_{m+1}), {\bf d}(t_{m+1}), d_t{\bm \epsilon}^{m+1})|{\nonumber}\\ &&+|b({\bf e}^m, {\bm \epsilon}_c^{m+1}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf e}^m, {\bm \epsilon}^{m+1}-{\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}^{m}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})|{\nonumber}\\ &&+|b({\bf e}_c^m, {\bm \epsilon}_c^{m+1} +{\bm \epsilon}^{m+1}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| +|b({\bf u}(t_m), {\bm \epsilon}_c^{m+1}+{\bm \epsilon}^{m+1}, d_t{\bm \epsilon}^{m+1})| = :\sum\limits_{i = 1}^7I_{8}^{i}, \end{eqnarray*} $

$ I_{8} $可以分别被估计为

$ \begin{eqnarray*} I_8^1&\leq&C\|{\bf e}^m\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_{W^1_{\infty}(\Omega)^2}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+C\|{\bf e}^m\|_0^2 \|{\bf d}(t_{m+1})\|_{W^1_{\infty}(\Omega)^2}^2, \\ I_8^2&\leq&C\|{\bf e}_c^m\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_{W^1_{\infty}(\Omega)^2} \|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +Ch^4\|{\bf u}(t_{m})\|_2^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_{W^1_{\infty}(\Omega)^2}^2, \\ I_8^3&\leq&C\|\nabla({\bf u}(t_m)-{\bf u}(t_{m+1}))\|_0\|{\bf d}(t_{m+1})\|_{2} \|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0\\ &\leq&\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +C\Delta t\|{\bf d}(t_{m+1})\|_{2}^2\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}^2, \\ I_8^4&\leq&C\|\nabla {\bf e}^m\|_0\|{\bm \epsilon}_c^{m+1}\|_{2} \|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0} \leq \frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +C\|{\bf e}^m\|_0^2\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2, \\ I_8^5&\leq&C\|{\bf e}^m\|_0\|{\bm \epsilon}^{m}\|_{W^1_{\infty}(\Omega)^2} \|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0 \leq\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +Ch^{-2}\|{\bf e}^m\|_0^2\|\nabla{\bm \epsilon}^m\|_0^2, \\ I_8^6&\leq&C\|{\bf e}_c^m\|_2\|\nabla({\bm \epsilon}_c^{m+1} +{\bm \epsilon}^{m+1})\|_0\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0\\ &\leq&\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +C(h^4\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2)\|{\bf u}(t_m)\|_2^2, \\ I_8^7&\leq&C\|{\bf u}(t_m)\|_2\|\nabla({\bm \epsilon}_c^{m+1} +{\bm \epsilon}^{m+1})\|_0\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0\\ &\leq&\frac{1}{42}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +C(h^4\|{\bf d}(t_{m+1})\|_3^2+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2)\|{\bf u}(t_m)\|_2^2. \end{eqnarray*} $

综合上述分析我们可以得出

(3.31) $ \begin{eqnarray} I_8&\leq&\frac{1}{6}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+C\|{\bf e}^m\|_0^2 +C\Delta t\|{\bf u}_{t}(t)\|_{L^2(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}^2{}\\ &&+ Ch^{-2}\|{\bf e}^m\|_0^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2 +C\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2+Ch^4. \end{eqnarray} $

此外, $ I_{9} $使用与(3.14)式相同的方法可以有

(3.32) $ \begin{eqnarray} I_{9} &\leq& \gamma \|\nabla{\bf d}(t_{m+1})+\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|{\bf d}(t_{m+1})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bf d}(t_{m+1})-\nabla{\bf d}(t_{m})\|_0\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ & &+\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}^{2}\|{\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})\|_{0}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}^{2}\|{\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+2\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &&+2\gamma\|\nabla{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|{\bm \epsilon}^{m} +{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ & &+\gamma\|{\bm \epsilon}^{m}+{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{\infty}(\Omega)^2} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{3}(\Omega)^2}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{L^{6}(\Omega)^2}{}\\ & &+\gamma\|{\bf d}(t_{m})\|_{L^{\infty}(\Omega)^2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m} +\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{L^{3}(\Omega)^2}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{L^{6}(\Omega)^2}{}\\ & = &:\sum\limits_{i = 1}^7I_{9}^{i}. \end{eqnarray} $

为了估计$ I_9, $本文应用Cauchy-Schwarz和Young不等式, 以及(2.5)式, 可以得到

(3.33) $ \begin{eqnarray} I_{9}^{1}+I_{9}^{2}&\leq &C\gamma^2\Delta t\|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)} +\frac{1}{30}\|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2, {}\\ I_{9}^{3}+I_{9}^{4}&\leq& C\gamma^2(h^{4}\|{\bf d}(t_{m})\|^2_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^{2}) +\frac{1}{30}\|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}, {}\\ I_{9}^{5}&\leq & C \gamma^2(h^{8}\|{\bf d}(t_{m})\|^4_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4) +\frac{1}{30}\|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}, {}\\ I_{9}^{6}&\leq& C\gamma h^{-1} \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|_{0}^3\|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}\\ &\leq& C\gamma^2 h^{-2} (h^{12}\|{\bf d}(t_{m})\|^6_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6) +\frac{1}{30} \|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}, {}\\ I_{9}^{7}&\leq& C\gamma h^{-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}+\nabla{\bm \epsilon}_{c}^{m}\|^2_{0}\|d_{t}{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}{}\\ &\leq & C\gamma^2 h^{-2} (h^{8}\|{\bf d}(t_{m})\|^4_3+\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4)+\frac{1}{30} \|d_{t}{\bm \epsilon}^{m_+1}\|_{0}^{2}. {} \end{eqnarray} $

那么$ I_9 $可以被估计为

(3.34) $ \begin{eqnarray} I_{9}&\leq & \frac{1}{6}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}+C\gamma^2\Delta t\|{\bf d}_{t}(t)\|^2_{L^{2}(t_{m}, t_{m+1};H^1(\Omega)^2)}+C h^{4}{}\\ &&+C\gamma^2(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4+h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6). \end{eqnarray} $

我们将(3.30)式, (3.31)式, (3.34)式与(3.29)式相结合, 乘以$ 2\Delta t $并求和$ m = 0, 1, \cdots, N-1, $可以得出

(3.35) $ \begin{eqnarray} &&\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{N}\|_0^2+\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2{}\\ &\leq& C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2+Ch^4+C\Delta t^2{}\\ &&+C\gamma^2\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6){}\\ &&+ Ch^{-2}\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2 +C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2. \end{eqnarray} $

引理3.4证毕.

下面给出了所提出算法的误差估计.

定理 3.1  假设真解是光滑的. 如果时间步长$ \Delta t $和空间步长$ h $满足$ \Delta t\leq Ch^2, $则存在一个正常数$ h_0, $使得当$ h \geq h_0 $时以下估计成立

(3.36) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bf e}^{N}\|_{0}^{2}+\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^N\|_0^2+\|{\bm \epsilon}^{N}\|_{0}^{2} +\beta\|\nabla\cdot{\bf e}^{N}\|_0^2+\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ & &+\gamma\Delta t \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +\chi\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot{\bf e}^{m+1}\|_0^2\leq C({\Delta t}^{2}+h^{4}). \end{eqnarray} $

证  我们使用(3.1)式并将(3.28)式从0到$ N-1 $求和, 可以得到

(3.37) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bf e}^{N}\|_0^2+\beta\|\nabla\cdot{\bf e}^{N}\|_0^2 +\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m+1}\|_0^2 +\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}\|_0^2 +\frac{\beta}{2}\|\nabla\cdot({\bf e}^{m+1}-{\bf e}^{m})\|_0^2){}\\ &&+\nu\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}+\chi\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot{\bf e}^{m+1}\|_0^2{}\\ &\leq &C\Delta t^2+Ch^4+C\Delta th^2+\frac{C\Delta t}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^{m}\|_0^2 +\beta\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot{\bf e}^{m}\|_0^2{}\\ &&+C\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\chi\Delta t\|\nabla{\bf e}_c^{m+1}\|_0^2 +\beta(\Delta t+1)\|\nabla{\bf e}_{c, t}^{m+1}\|^2_{L^2(t_m, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}){}\\ &&+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|{\bf e}^0\|_0^2 +\beta\|\nabla\cdot{\bf e}^0\|_0^2+\frac{C{\lambda}^{2}\Delta t}{\nu} (1+\Delta t h^{-2})\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2{}\\ &&+\frac{C\lambda^2\Delta th^{-2}}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +h^4)(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2+h^4). \end{eqnarray} $

我们把(3.16)式, (3.35)式和(3.37)式加起来, 可以得到

(3.38) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bf e}^{N}\|_0^2+\beta\|\nabla\cdot{\bf e}^{N}\|_0^2 +\|{\bm \epsilon}^{N}\|_{0}^{2} +\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^{N}\|_0^2{}\\ &&+\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m+1}\|_0^2 +\|{\bf \hat{e}}^{m+1}-{\bf e}^{m}\|_0^2 +\frac{\beta}{2}\|\nabla\cdot({\bf e}^{m+1}-{\bf e}^{m})\|_0^2) {}\\ &&+\nu\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}+\chi\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot{\bf e}^{m+1}\|_0^2 +\gamma\Delta t \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2} +\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|d_t{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2{}\\ &\leq& C\Delta t^2+Ch^4+C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} +\frac{C\Delta t}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2} +\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &&+C\gamma\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6) +\frac{C\Delta t}{\gamma}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2 +\frac{C\Delta t}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^{m}\|_0^2{}\\ &&+C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^m\|_0^2+C\sum\limits_{m = 0}^{N-1} (\chi\Delta t\|\nabla{\bf e}_c^{m+1}\|_0^2+\beta(\Delta t+1)\|\nabla{\bf e}_{c, t}^{m+1}\|^2_{L^2(t_m, t_{m+1};L^2(\Omega)^2)}){}\\ &&+C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^2 +\beta\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot {\bf e}^m\|_0^2+\frac{C\lambda^2\Delta t}{\nu}(1+\Delta t h^{-2}) \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2{}\\ &&+\frac{C\lambda^2\Delta th^{-2}}{\nu}\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2 +h^4)(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0^2 +h^4)+Ch^{-2}\Delta t\sum^{N-1}_{m = 0}\|{\bf e}^m\|_0^2\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2{}\\ &&+C\gamma^2\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}(\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^2 +\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^4 +h^{-2}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_{0}^6). \end{eqnarray} $

根据Cauchy-Schwarz不等式可以有

(3.39) $ \begin{eqnarray} \|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_0&\leq&\left\|\frac{\tilde{{\bf u}}^{m+1} -\tilde{{\bf u}}^{m}}{\Delta t}-\frac{{\bf u}(t_{m+1})-{\bf u}(t_{m})}{\Delta t}\right\|_0+ \left\|\frac{{\bf u}(t_{m+1})-{\bf u}(t_{m})}{\Delta t}-{\bf u}_{t}(t_{m+1})\right\|_0{}\\ &\leq&\frac{1}{\Delta t^{1/2}}\left(\int_{t_{m}}^{t_{m+1}}\|\tilde{{\bf u}}_{t}-{\bf u}_{t}\|_{0}^{2} \mbox{d}t\right)^{1/2} +\Delta t^{1/2}\left(\int_{t_{m}}^{t_{m+1}}\|{\bf u}_{tt}\|_{0}^{2}\mbox{d}t\right)^{1/2} \end{eqnarray} $

和

(3.40) $ \begin{eqnarray} \|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_0&\leq&\left\|\frac{\tilde{{\bf d}}^{m+1} -\tilde{{\bf d}}^{m}}{\Delta t}-\frac{{\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})}{\Delta t}\right\|_0+ \left\|\frac{{\bf d}(t_{m+1})-{\bf d}(t_{m})}{\Delta t}-{\bf d}_{t}(t_{m+1})\right\|_0{}\\ &\leq&\frac{1}{\Delta t^{1/2}}\left(\int_{t_{m}}^{t_{m+1}}\|\tilde{{\bf d}}_{t}-{\bf d}_{t}\|_{0}^{2} \mbox{d}t\right)^{1/2} +\Delta t^{1/2}\left(\int_{t_{m}}^{t_{m+1}}\|{\bf d}_{tt}\|_{0}^{2} \mbox{d}t\right)^{1/2}. \end{eqnarray} $

使用(3.39)式, (3.40)式和投影算子的近似性质, 我们可以得到以下估计

(3.41) $ \begin{equation} \Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{u}^{m+1}\|_{0}^{2}+ \Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\mathit{\pmb{\omega}}_{d}^{m+1}\|_{0}^{2} \leq C({\Delta t}^{2}+h^{4}). \end{equation} $

接下来本文使用数学归纳法证明当$ 0\leq m\leq N $时$ \|\nabla{\bm \epsilon}^{m}\|_0\leq h $成立. 当$ m = 0 $时这个不等式显然成立. 如果我们假设当$ 0< m \leq N-1 $时$ \Delta t \leq Ch^2 $成立, 那么应用(3.41)式可以把(3.38)式重写为

(3.42) $ \begin{eqnarray} &&\|{\bf e}^N\|_{0}^{2}+\beta\|\nabla \cdot{\bf e}^N\|_0^2+\|{\bm \epsilon}^N\|_{0}^{2}+\gamma \|\nabla{\bm \epsilon}^N\|_0^2+\nu\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1} \|\nabla {\bf \hat{e}}^{m+1}\|_{0}^{2}+\gamma\Delta t \sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}{}\\ &\leq& C\Delta t^2+Ch^4+C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|{\bf e}^{m+1}\|_{0}^{2} +C\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla{\bm \epsilon}^{m+1}\|_0^2{}\\ &&+\beta\Delta t\sum\limits_{m = 0}^{N-1}\|\nabla\cdot {\bf e}^m\|_0^2 +\Delta t\sum\limits_{k = 0}^{N-1}\|{\bm \epsilon}^{m+1}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray} $

因此, 通过应用Gronwall引理我们可以得到

(3.43) $ \begin{equation} \|\nabla{\bm \epsilon}^N\|_{0}^{2}\leq Ch^4\leq h^2, \quad \mbox{if}\quad h\leq \frac{1}{\sqrt{C}} = h_0, \end{equation} $

最后，再次结合Gronwall的引理和(3.43)式就完成了归纳法证明.

本节将提供一些数值算例来检验前面各节中得到的数值理论. 在数值算例中, 初始值取为$ {\bf u}_{0} = 0, \ {\bf f} = 0, \ {\bf d}_{0} = ({\sin(a)}, {\cos(a)}), \ a = \pi(x^{2}+y^{2})^{2}. $

第一个数值算例主要是验证算法的收敛阶.由于该问题的精确解是未知的, 本文通过在非常细的网格($ h $ = 1/150) 上计算标准Galerkin方法, 把得出的数值解作为精确解, 同时把参数设为$ \lambda = \mu = \gamma = 1. $

为了验证收敛阶, 这个算例取网格步长为$ h $ = 1/20, 1/30和1/40, 设$ \beta = 0.2, \ \chi = 1000. $数值结果展示在表 1和2中, 从表中可以看到该算法运行良好, 并且像理论分析一样保持了收敛阶.

第二个数值算例是模块grad-div稳定化有限元算法与An的算法(无grad-div稳定的标准算法)作对比, 在该数值实验中, 本文设置$ h = 1/100 $和$ \Delta t = 1/40. $然后, 在$ 1.0e-4< \nu \leq 1.0 $范围内, 改变$ \nu $的值.

表 3中列出了通过这些算法在$ T = 0.1 $处得到的数值结果. 事实证明, 当粘度值减小时, An算法的数值误差变大. 但是, 本文提出的算法仍然可以正常计算.

为了测试计算时间, 本文设$ \chi = 0.2, \ \Delta t = h = 1/30, $并且改变grad-div参数$ \beta $$ 0\leq\beta\leq 8000. $在此数值算例中, GMRES用于算法2.1的第一步, UMFPACK用于第二步. 如果GMRES迭代失败, 我们用'F' 表示结果. 此外, 我们还展示了标准grad-div稳定化有限元算法相对于模块grad-div稳定化有限元算法的时间百分比增长, 数值结果列于表 4.