考虑以下在时标$ {\Bbb T} $上的二阶非线性中立型动态方程

(1.1) $ \begin{equation} \left(r(t)z^{\Delta}(t)\right)^{\Delta}+f(t, x(h(t))) = 0 \end{equation} $

趋向于零的非振动解的存在性, 其中$ \sup {\Bbb T} = \infty $, $ z(t) = x(t)+p(t)x(g(t)) $, 且$ t\in [t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 这里$ t_{0}\in {\Bbb T} $.

在最近二三十年来, 时标理论统合了微分和差分理论(详见文献[1-6]), 有关非线性时标动态方程振动性和非振动性的研究也取得了很大的进展. 一些专家学者针对非线性中立型时标动态方程非振动解的存在性进行了研究, 给出了保证这些方程存在符合某种性质的非振动解的充分条件甚至是充要条件, 请参考文献[8-9, 11, 13].

定义 1.1  称方程(1)的解$ x $最终为正$ ( $最终为负$ ) $, 若存在$ T\in [t_{0}, \infty)_{\Bbb T} $使得对$ t\in [T, \infty)_{\Bbb T} $, 有$ x(t)>0 $$ (x(t)<0) $. 若$ x $最终为正或最终为负, 则称$ x $是非振动的.

Zhu和Wang在文献[13]中考虑了一阶非线性中立型时标动态方程

(1.2) $ \begin{equation} \left(x(t)+p(t)x(g(t))\right)^{\Delta}+f(t, x(h(t))) = 0. \end{equation} $

作者引入了Banach空间

(1.3) $ \begin{equation} {\rm BC}[T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} = \Big\{x\in {\rm C}([T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, {\Bbb R}): \sup\limits_{t\in [T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}}\left|x(t)\right|<\infty\Big\}, \end{equation} $

其范数为$ { }\|x\| = \sup_{t\in [T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}}\left|x(t)\right| $, 这里$ {\rm C}([T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, {\Bbb R}) $是指一切从$ [T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $映射到$ {\Bbb R} $的连续函数的集合. 作者指出方程(1.2)的所有最终正解均趋向于某个正数或零, 并且分别给出使得这两种解存在的充分条件.

后来, 一些学者先后探讨了在不同条件下方程(1.1)非振动解的存在性. Gao和Wang在文献[9]研究了在条件$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r(t)}<\infty $下的情况. 作者运用了(1.3)式和Krasnoselskii不动点定理, 推断出方程(1.1)的最终正解同样是趋向于某个正数或零, 并且也给出了类似使得解存在的充分条件. Deng和Wang在文献[8]针对$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r(t)} = \infty $的情况继续进行相关研究, 对方程(1.1)最终正解的渐近行为划分为4种, 其中包括了趋向于零的情况.

Qiu在文献[11]考虑了三阶非线性中立型时标动态方程

(1.4) $ \begin{equation} \left(r_{1}(t)\big(r_{2}(t)\big(x(t)+p(t)x(g(t))\big)^{\Delta}\big)^{\Delta}\right)^{\Delta}+f(t, x(h(t))) = 0, \end{equation} $

其中$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r_{1}(t)} = \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r_{2}(t)} = \infty $, 把方程(1.4)的所有最终正解划分为5种渐近行为, 其中也同样包括了趋向于零的情况.

文献[8-9, 11, 13]对相关方程各类最终正解的存在性都给出了充分条件或充要条件, 但另一方面, 有关保证趋向于零的最终正解存在的充分条件却并不让人满意, 请参考文献[8]的定理2.8和注2.9, [9]的定理3, [11]的定理3.5和3.6, 以及[13]的定理9和10. 这些充分条件的形式比较特殊, 普适性不强. 这也是由于趋向于零的最终正解的渐近行为和种类相对比较复杂, 不易总结而造成的. 注意到Mojsej和Tartal'ová在文献[10]中为解决相关问题提供了一些新思路. 针对三阶非线性微分方程

(1.5) $ \begin{equation} \bigg(\frac{1}{p(t)}\Big(\frac{1}{r(t)}x'(t)\Big)'\bigg)'+q(t)f(x(t)) = 0, \quad t\geq a, \end{equation} $

他们提出若函数$ f $在某指定的闭区间上满足Lipschitz条件, 将可以得到方程(1.5)存在趋向于零的最终正解的一些充分条件. 受此启发, Qiu在文献[12]中引入了合适的Banach空间, 并且利用Krasnoselskii不动点定理, 对方程(1.4)趋向于零的最终正解的存在性进行了有意义的探索. 不过, 注意到文献[12]中函数$ g $的取值范围$ g(t)\geq t $与文献[8-9, 11, 13]的$ g(t)\leq t $并不相同, 因此文献[12]的结论并不能应用于$ g(t)\geq t $最终不成立的情况.

为提高以上方法的适用度, 不妨尝试放松函数$ g $的条件, 统合$ g(t)\geq t $, $ g(t)\leq t $和$ g(t) $围绕$ t $振荡三种情况, 其中$ t\in [T, \infty)_{{\Bbb T}} $, 这里的$ T\in [t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $充分大, 并且在以下条件下考虑方程(1.1)趋向于零的最终正解的存在性问题.

(C1) $ r\in {\rm C_{rd}}([t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, (0, \infty)) $且$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r(t)}<\infty; $

(C2) $ p\in {\rm C_{rd}}([t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, [0, \infty)) $且$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}p(t) = p_{0} $, 这里$ p_{0}\in [0, 1) $;

(C3) $ g, h\in {\rm C_{rd}}([t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, {\Bbb T}) $且$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}g(t) = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}h(t) = \infty $;

(C4) $ f\in {\rm C}([t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}\times{\Bbb R}, {\Bbb R}) $且对$ x\neq 0 $, 有$ xf(t, x)>0 $;

(C5) $ \eta = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}\frac{H(g(t))}{H(t)}\in (0, 1] $, 这里$ H(t) = \int_{t}^{\infty}\frac{\Delta s}{r(s)}. $

注 1.1  由$ (\rm{C1}) $和$ (\rm{C5}) $, 不难看出函数$ H $在区间$ [t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $上严格单调递减. 若$ g(t)\geq t $最终不成立, 比如$ g(t) = t-1 $和$ g(t) = t+\sin t $等情况, 这时要求$ \eta = 1 $.

引理 1.1  (Krasnoselskii不动点定理, 见文献[7]) 定义算子$ U, V:\Omega \rightarrow X $, 这里$ X $为一个Banach空间, $ \Omega $是$ X $的一个有界凸闭子集. 若$ U $是一个压缩映射, $ V $是全连续的, 且对所有$ x, y\in \Omega $, 满足$ Ux+Vy\in \Omega $, 那么$ U+V $在$ \Omega $上存在一个不动点.

不失一般性, 只考虑方程(1.1)趋向于零的最终正解. 以下引理说明了函数$ z $和$ x $之间的关系, 其证明过程与文献[12]的引理2.5类似, 这里不再赘述.

引理 1.2  假设$ x $是方程(1.1)的一个最终正解, 且存在常数$ a\geq 0 $使得$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}z(t) = a $, 则有

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}x(t) = \frac{a}{1+p_{0}}. $

在这一节, 针对函数$ f $两种不同的假设前提, 分别给出方程(1.1)存在趋向于零的最终正解的一些充分条件.

定理 2.1  假设函数$ f(t, x) $对$ x $非减, 且满足

(2.1) $ \begin{equation} \int_{t_{0}}^{\infty}f(t, 2H(h(t)))\Delta t<\infty, \end{equation} $

那么方程(1.1)存在一个趋向于零的最终正解$ x $, 且满足$ z $最终为正, $ z^{\Delta} $最终为负.

证  由$ 0\leq p_{0}<1 $, 取$ p_{1} $满足

(2.2) $ \begin{equation} p_{0}<p_{1}<\frac{1+4p_{0}}{5}<1, \end{equation} $

则存在$ T_{0}\in [t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $使得

(2.3) $ \begin{equation} \frac{5p_{1}-1}{4}\leq p(t)\leq p_{1}<1, \quad p(t)\frac{H(g(t))}{H(t)}\geq \frac{(5p_{1}-1)\eta}{4}, \quad t\in [T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, \end{equation} $

以及

$ \int_{T_{0}}^{\infty}f(t, 2H(h(t)))\Delta t\leq \frac{1-p_{1}\eta}{4}. $

选择$ T_{1}\in (T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $满足当$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $时, 有$ g(t)\geq T_{0} $和$ h(t)\geq T_{0} $. 定义形如(1.3)式的Banach空间$ {\rm BC}[T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 集合$ \Omega = \{x\in {\rm BC}[T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}: H(t)\leq x(t)\leq 2H(t)\} $, 以及以下算子$ U, V: \Omega\rightarrow {\rm BC}[T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $

$ (Ux)(t) = \left\{\begin{array}{ll} (Ux)(T_{1}), & t\in [T_{0}, T_{1})_{{\Bbb T}}, \\ { } \frac{3}{2}p_{1}\eta H(t)-p(t)x(g(t)), \quad &t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}}, \end{array}\right. $

$ (Vx)(t) = \left\{\begin{array}{ll} (Vx)(T_{1}), &t\in [T_{0}, T_{1})_{{\Bbb T}}, \\ { } \frac{3}{2}H(t)+\int_{t}^{\infty}\int_{T_{1}}^{s}\frac{f(u, x(h(u)))}{r(s)}\Delta u\Delta s, \quad &t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}}. \end{array}\right. $

由于有关$ U $和$ V $满足引理1.1的证明过程冗长, 且与文献[8]的定理2.5, [9]的定理2, [11]的定理3.1和[13]的定理8类似, 这里不再赘述. 然后, 可知存在$ x\in \Omega $使得$ (U+V)x = x $, 于是对$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 有

(2.4) $ \begin{equation} x(t) = \frac{3(1+p_{1}\eta)}{2}H(t)-p(t)x(g(t))+\int_{t}^{\infty}\int_{T_{1}}^{s}\frac{f(u, x(h(u)))}{r(s)}\Delta u\Delta s. \end{equation} $

因为对$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{t}^{\infty}\int_{T_{1}}^{s}\frac{f(u, x(h(u)))}{r(s)}\Delta u\Delta s <H(t)\int_{T_{1}}^{\infty}f(t, x(h(t)))\Delta t \leq H(t)\int_{T_{1}}^{\infty}f(t, 2H(h(t)))\Delta t, \end{eqnarray*} $

且由(2.1)式, 可知

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}H(t)\int_{T_{1}}^{\infty}f(t, 2H(h(t)))\Delta t = 0, \end{eqnarray*} $

于是由引理1.2可推断出

(2.5) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}x(t) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}z(t) = 0. \end{equation} $

更进一步地, 对$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 有

$ \begin{eqnarray*} z(t) = \frac{3(1+p_{1}\eta)}{2}H(t)+\int_{t}^{\infty}\int_{T_{1}}^{s}\frac{f(u, x(h(u)))}{r(s)}\Delta u\Delta s>0 \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} z^{\Delta}(t) = -\frac{1}{r(t)}\bigg(\frac{3(1+p_{1}\eta)}{2}+\int_{T_{1}}^{t}f(u, x(h(u)))\Delta u\bigg)<0. \end{eqnarray*} $

证毕.

定理 2.2  假设存在函数$ q\in {\rm C_{rd}}([t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}}, (0, \infty)) $和$ f_{0}\in {\rm C}([0, 2H(t_{0})], {\Bbb R}) $, 以及常数$ L>0 $使得$ xf(t, x)\leq xq(t)f_{0}(x) $, 有

$ \begin{eqnarray*} |f(t, x_{1})-f(t, x_{2})|\leq L\cdot q(t)|x_{1}-x_{2}|, \quad x_{1}, x_{2}\in [0, 2H(t_{0})], \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} \int_{t_{0}}^{\infty}q(t)\Delta t<\infty, \end{eqnarray*} $

那么方程(1.1)存在一个趋向于零的最终正解$ x $, 且$ z $最终为正, $ z^{\Delta} $最终为负.

证  取$ p_{1} $满足(2.2)式, 类似地, 存在$ T_{0}\in [t_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $满足(2.3)式和

$ \begin{eqnarray*} \int_{T_{0}}^{\infty}q(t)\Delta t\leq \min \bigg\{\frac{1-p_{1}\eta}{4K}, 1\bigg\}, \end{eqnarray*} $

这里$ K = \max\{|f_{0}(x)|: x\in [0, 2H(t_{0})]\}>0 $. 选择$ T_{1}\in (T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $满足当$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $时, 有$ g(t)\geq T_{0} $和$ h(t)\geq T_{0} $. 定义与定理2.1相同的Banach空间$ {\rm BC}[T_{0}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 集合$ \Omega $和算子$ U, V $. 有关$ U $和$ V $符合Krasnoselskii不动点定理的证明过程与文献[12]的定理3.1类似, 这里也不再赘述. 如同定理2.1的证明, 存在$ x\in \Omega $使得$ (U+V)x = x $, 于是有(2.4)式. 由于对$ t\in [T_{1}, \infty)_{{\Bbb T}} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{t}^{\infty}\int_{T_{1}}^{s}\frac{f(u, x(h(u)))}{r(s)}\Delta u\Delta s <H(t)\int_{T_{1}}^{\infty}q(u)f_{0}(x(h(u)))\Delta u \leq KH(t)\int_{T_{1}}^{\infty}q(u)\Delta u, \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}KH(t)\int_{T_{1}}^{\infty}q(u)\Delta u = 0, \end{eqnarray*} $

由引理1.2可知(2.5)式成立. 类似地, 不难推出$ z $最终为正且$ z^{\Delta} $最终为负. 证毕.

在这一节, 给出以下两个例子说明相关结论的应用.

例 3.1  令$ {\Bbb T} = \bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}[3^{n}, 2\cdot 3^{n}] $, 对$ t\in [3, \infty)_{{\Bbb T}} $, 考虑方程

(3.1) $ \begin{equation} \left(t^{2}(x(t)+p(t)x(3t))^{\Delta}\right)^{\Delta}+\frac{x\left(\frac{t}{3}\right)}{t^{2}} = 0, \end{equation} $

其中函数$ p $满足条件(C2). 这里, 有$ r(t) = t^{2} $, $ g(t) = 3t $, $ h(t) = \frac{t}{3} $, $ f(t, x) = \frac{x}{t^{2}} $和$ t_{0} = 3 $. 更进一步地, 可知

$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{\Delta t}{r(t)} = \int_{3}^{\infty}\frac{\Delta t}{t^{2}}<\infty, $

以及

$ \eta = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}\frac{H(g(t))}{H(t)} = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}\frac{\int_{3t}^{\infty}\frac{\Delta s}{s^{2}}}{\int_{t}^{\infty}\frac{\Delta s}{s^{2}}} = \frac{1}{3}\in (0, 1]. $

明显地, 条件(C1)–(C5)均满足. 由于$ f(t, x) $对$ x $非减, 且

$ \int_{t_{0}}^{\infty}f(t, 2H(h(t)))\Delta t = 2\int_{3}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}\int_{\frac{t}{3}}^{\infty}\frac{1}{s^{2}}\Delta s\Delta t = \int_{3}^{\infty}O(t^{-3})\Delta t<\infty, $

由定理2.1可推断出方程(3.1)存在一个趋向于零的最终正解$ x $, 且$ z $最终为正, $ z^{\Delta} $最终为负. 另一方面, 取$ q(t) = \frac{1}{t^{2}} $, $ f_{0}(x) = x $, 以及$ L = 1 $, 不难看出$ xf(t, x) = xq(t)f_{0}(x) $, $ H(t_{0}) = \int_{3}^{\infty}\frac{\Delta t}{t^{2}}<1 $, 有

$ |f(t, x_{1})-f(t, x_{2})| = \frac{|x_{1}-x_{2}|}{t^{2}}, \quad x_{1}, x_{2}\in [0, 2], $

以及

$ \int_{t_{0}}^{\infty}q(t)\Delta t = \int_{3}^{\infty}\frac{\Delta t}{t^{2}}<\infty. $

因此, 由定理2.2也可以推出相同的结论.

例 3.2  令$ {\Bbb T} = [1, \infty)_{{\Bbb R}} $, 对$ t\in [2, \infty)_{{\Bbb T}} $, 考虑方程

(3.2) $ \begin{equation} \left(t^{3}(x(t)+p(t)x(t+\sin t))'\right)'+t^4x^{3}(t-1) = 0, \end{equation} $

其中函数$ p $满足条件(C2). 这里, 有$ r(t) = t^{3} $, $ g(t) = t+\sin t $, $ h(t) = t-1 $, $ f(t, x) = t^4x^{3} $和$ t_{0} = 2 $. 然后, 可知

$ \int_{t_{0}}^{\infty}\frac{{\rm d}t}{r(t)} = \int_{2}^{\infty}\frac{{\rm d}t}{t^{3}} = \frac{1}{8}<\infty, \quad H(t) = \int_{t}^{\infty}\frac{{\rm d}s}{r(s)} = \int_{t}^{\infty}\frac{{\rm d}s}{s^{3}} = \frac{1}{2t^{2}}, $

以及

$ \eta = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}\frac{H(g(t))}{H(t)} = \lim\limits_{t \rightarrow\infty}\frac{2t^{2}}{2(t+\sin t)^{2}} = 1. $

很明显, 条件(C1)–(C5)均满足. 类似地, $ f(t, x) $对$ x $非减, 且有

$ \int_{t_{0}}^{\infty}f(t, 2H(h(t))){\rm d}t = \int_{2}^{\infty}f\left(t, \frac{1}{(t-1)^{2}}\right){\rm d}t = \int_{2}^{\infty}\frac{t^{4}}{(t-1)^{6}}{\rm d}t<\infty. $

因此, 由定理2.1可推断出方程(3.2)存在一个趋向于零的最终正解$ x $, 且$ z $最终为正, $ z^{\Delta} $最终为负.