众所周知, 发生在不同时间或不同地点的事件可能相互关联或纠缠. 为了描述和研究现实世界的两地物理问题, 楼森岳提出了一系列有趣的Alice-Bob (AB) 系统^[1-2]. 从数学上讲, 可以通过一个算子$ \hat{f} $, 将由Alice和Bob表示的两个遥远的事件以下列方式

(1.1) $ \begin{equation} B(x', t') = \hat{f}A = A^f \end{equation} $

联系在一起, 其中$ \hat{f} $表示空间移位的宇称变换($ \hat{P_s} $) 和延迟时间反演($ \hat{T}_d $) (参见文献[1])

(1.2) $ \begin{equation} x' = -x+x_0\equiv \hat{P_s}x, \qquad t' = -t+t_0\equiv \hat{T_d}t. \end{equation} $

若$ x_0 = 0 $, $ t_0 = 0 $, (2) 式约化为一般的PT对称.

一般地, $ \{x', t'\} $与$ \{x, t\} $不相邻. 因此, Alice-Bob系统(ABS)的两地模型不是局部的^[1]. 2013年, Ablowitz和Musslimani在对AKNS散射问题进行非局域对称约化时得到非局部非线性Schrödinger(NLS) 方程^[3]

(1.3) $ \begin{equation} {\rm i}A_t+A_{xx}\pm A^2B = 0, \qquad B = \hat{f}A = \hat{P}\hat{C}A = A^*(-x, t). \end{equation} $

这个非局部NLS方程(1.3) 与$ \hat{P}\hat{T} $对称的Schrödinger方程有关. 事实上, 方程(1.3) 具有一般宇称算子$ \hat{P} $和电荷共轭算子$ \hat{C} $, 因此更准确地说, 方程(1.3) 应该是$ \hat{P}\hat{C} $对称的^[4]. 近年来, 众多非局部非线性系统被提出, 如耦合的非局部NLS系统^[5], 非局部修正KdV系统^[6], 离散非局部NLS系统^[7]和非局部Davey-Stewartson系统^[8]等. 这些非局部系统通常由宇称$ \hat{P} $($ \hat{P} = -x $), 时间反演$ \hat{T} $($ \hat{T} = -t $)和电荷共轭$ \hat{C} $对称得到. $ \hat{P}-\hat{T}-\hat{C} $对称在量子物理^[9]和许多其他领域中起着重要的作用^[10-12]. 然而, 只有少数非局部系统的解被研究, 如非局部KP方程的团块解(lump)、呼吸子和$ X $-孤子解, 非局部DS方程的有理解^[14], 非局部mKdV方程和Alice-Bob系统的孤子解^{[1, 15-16]}, 一个高维非局部NLS系统的孤子解^[17]和怪波^[18]. 最近, 楼森岳发现了两个不同的著名模型, KdV方程和Boussinesq方程分别与同一个模型有关, 但却具有不同的非局域性^[4]. 同时, 楼森岳还获得了这两个非局部方程的多孤子解. 有趣的是, 他还发现了非局部Boussinesq方程的一些禁戒, 即非局部Boussinesq方程的孤子数为偶数, 不可能为奇数. 此外, 在文献[19]中Ablowitz和Musslimani首次建立了新发现的AKNS系统的非局部可积约化和有趣的物理方程之间的一个重要联系.

综上所述, 对于Alice-Bob系统有许多有趣的工作可以做. 本文研究Alice-Bob-NLS系统(AB-NLS)^[1]

(1.4) $ \begin{equation} {\rm i}A_t+A_{xx}+2\sigma A^2B = 0, \qquad B = A^{P_sT_d} = \hat{P_s}\hat{T_d}A = A(-x+x_0, -t+t_0), \end{equation} $

其中$ \sigma = \pm1 $. 方程(1.4) 是如下AKNS系统

(1.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\rm i}A_t+A_{xx}+2\sigma A^2B = 0, \\ -{\rm i}B_t+B_{xx}+2\sigma B^2A = 0 \end{array} \right. \end{equation} $

的一个特殊对称约化. 若$ x_0 = t_0 = 0 $, 方程(1.4) 变为一个逆时空非局部NLS方程^[20].

文章首先利用Hirota方法给出未约化的AB-NLS系统(5)的双线性Bäcklund变换; 然后构建约化的AB-NLS系统(1.4) 的$ n $阶Darboux变换; 接着利用Darboux变换, 获得并分析精确的类孤子解; 文章最后是简短的结论.

Bäcklund变换在孤子系统的研究中起着重要的作用^[21]. 本节研究未约化的AB-NLS系统(1.5) 的双线性Bäcklund变换(BT). 首先, 引入双线性变换

(2.1) $ \begin{equation} A = F/f, \qquad B = G/f, \end{equation} $

其中$ F $, $ G $和$ f $均为$ x $、$ t $的任意函数. 将式(2.1) 代入方程(1.5), 得到方程(1.5) 的双线性形式

(2.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} ({\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)F\cdot f = 0, \\ (-{\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)G\cdot f = 0, \\ (D_x^2+\gamma)f\cdot f-2\sigma GF = 0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \gamma $是任意常数, $ D $为著名的Hirota双线性算子^[22]. 由方程(1.4) 知, 双线性变换(2.1) 需要满足非局部条件$ B = \hat{P_s}\hat{T_d}A = A(-x+x_0, -t+t_0). $当$ x_0 = t_0 = 0 $时, 有

(2.3) $ \begin{equation} \frac{F(-x, -t)}{f(-x, -t)} = \frac{G(x, t)}{f(x, t)}. \end{equation} $

通过Hirota双线性$ D $算子的定义给出如下双线性恒等式

(2.4) $ \begin{eqnarray} D_x(a\cdot d)cb-ad(D_xc\cdot d)& = &D_x(ab \cdot cd), \end{eqnarray} $

(2.5) $ \begin{eqnarray} (D^2_xa\cdot b)cd-ab(D^2_xc\cdot d)& = &D_x[(D_xa\cdot d)\cdot cb+ad \cdot(D_xc\cdot b)], \end{eqnarray} $

(2.6) $ \begin{eqnarray} (D^2_xa\cdot a)b^2 -(D^2_xb\cdot b)a^2& = &2D_x(D_xa\cdot b)\cdot ba, \end{eqnarray} $

(2.7) $ \begin{eqnarray} D_xa\cdot a& = &0, \end{eqnarray} $

其中$ a, b, c, d $为$ x, t $的函数.

定理 2.1  如果$ (F, G, f) $满足方程(2.2)–(2.3) 和下面的关系式

(2.8) $ \begin{eqnarray} D_x\hat{F}\cdot f-\mu F\hat{f} = 0, \end{eqnarray} $

(2.9) $ \begin{eqnarray} D_xF\cdot\hat{f}-\mu \hat{F}f = 0, \end{eqnarray} $

(2.10) $ \begin{eqnarray} D_t\hat{F}f\cdot F\hat{f} = 0, \end{eqnarray} $

(2.11) $ \begin{eqnarray} D_x\hat{G}\cdot f+\mu G\hat{f} = 0, \end{eqnarray} $

(2.12) $ \begin{eqnarray} D_xG\cdot\hat{f}+\mu \hat{G}f = 0, \end{eqnarray} $

(2.13) $ \begin{eqnarray} D_t\hat{G}f\cdot G\hat{f} = 0, \end{eqnarray} $

(2.14) $ \begin{eqnarray} D_x\hat{f}\cdot f+\frac{\sigma}{\mu}G\hat{F} = 0, \end{eqnarray} $

其中$ \mu $是任意常数且$ \mu\neq0 $, 那么$ (\hat{F}, \hat{G}, \hat{f}) $也满足方程(2.2) 和(2.8)–(2.14) 且

$ \frac{\hat{F}(-x, -t)}{\hat{f}(-x, -t)} = \frac{\hat{G}(x, t)}{\hat{f}(x, t)}. $

证  考虑如下表达式

$ \begin{eqnarray*} &&P_1 = ({\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)\hat{F}\cdot \hat{f}, \\ &&P_2 = (-{\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)\hat{G}\cdot \hat{f}, \\ && P_3 = (D_x^2+\gamma)\hat{f}\cdot \hat{f}-2\sigma \hat{G }\hat{F}, \end{eqnarray*} $

只需利用定理中的方程(2.8)–(2.14) 使其能推导得到$ P_1 = 0, P_2 = 0 $和$ P_3 = 0 $即可. 首先, 证明$ P_1 $的情形.

$ \begin{eqnarray*} P_1Ff& = &[({\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)\hat{F}\cdot \hat{f}]Ff-[({\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)F\cdot f]\hat{F}\hat{f}\\ & = &{\rm i}[(D_t\hat{F}\cdot \hat{f})Ff-(D_tF\cdot f)\hat{F}\hat{f}]+[(D_x^2\hat{F}\cdot \hat{f})Ff-(D_x^2F\cdot f)\hat{F}\hat{f}]\\ & \stackrel{(9), (10)}{ = }&{\rm i}D_t(\hat{F}f\cdot F\hat{f})+D_x[(D_x\hat{F}\cdot f)\cdot F\hat{f}+\hat{F}f \cdot(D_xF\cdot \hat{f})]\\ & \stackrel{(13), (14)}{ = }&{\rm i}D_t(\hat{F}f\cdot F\hat{f})+D_x[\mu F\hat{f}\cdot F\hat{f}+\hat{F}f \cdot \mu \hat{F}f]\\ & \stackrel{(15), (12)}{\equiv}& 0. \end{eqnarray*} $

接着证明$ P_2 $的情形.

$ \begin{eqnarray*} P_2Gf& = &[(-{\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)\hat{G}\cdot \hat{f}]Gf-[(-{\rm i}D_t+D_x^2+\gamma)G\cdot f]\hat{G}\hat{f}\\ & = &{\rm i}[(D_tG\cdot f)\hat{G}\hat{f}-(D_t\hat{G}\cdot \hat{f})Gf]+[(D_x^2\hat{G}\cdot \hat{f})Gf-(D_x^2G\cdot f)\hat{G}\hat{f}]\\ & \stackrel{(9), (10)}{ = }&{\rm i}D_t(G\hat{f}\cdot \hat{G}f)+D_x[(D_x\hat{G}\cdot f)\cdot G\hat{f}+\hat{G}f \cdot(D_xG\cdot \hat{f})]\\ & \stackrel{(16), (17)}{ = }&{\rm i}D_t(G\hat{f}\cdot \hat{G}f)+D_x[-\mu G\hat{f}\cdot G\hat{f}-\hat{G}f \cdot \mu \hat{G}f]\\ & \stackrel{(18), (12)}{\equiv}& 0. \end{eqnarray*} $

最后证明$ P_3 $的情形.

$ \begin{eqnarray*} P_3ff& = &[(D_x^2+\gamma)\hat{f}\cdot \hat{f}-2\sigma \hat{G}\hat{F}]ff-[(D_x^2+\gamma)f\cdot f-2\sigma GF]\hat{f}\hat{f}\\ & = &[(D_x^2\hat{f}\cdot \hat{f})ff-(D_x^2f\cdot f)\hat{f}\hat{f}]+2\sigma(GF\cdot \hat{f}\hat{f}-\hat{G}\hat{F}\cdot ff)\\ &\stackrel{(11)}{ = }&2D_x[(D_x\hat{f}\cdot f)\cdot f\hat{f}]+2\sigma(F\hat{f}\cdot G\hat{f}-f\hat{G}\cdot f\hat{F})\\ & = &2D_x[(D_x\hat{f}\cdot f)\cdot f\hat{f}]-\frac{2\sigma}{\mu}(-\mu F\hat{f}\cdot G\hat{f}+\mu \hat{G}f\cdot f\hat{F})\\ & \stackrel{(13), (17)}{ = }&2D_x[(D_x\hat{f}\cdot f)\cdot f\hat{f}]-\frac{2\sigma}{\mu}[(D_xf\cdot \hat{F})G\hat{f}-(D_xG\cdot \hat{f}) f\hat{F}]\\ & \stackrel{(9)}{ = }&2D_x[(D_x\hat{f}\cdot f)\cdot f\hat{f}]+\frac{2\sigma}{\mu}D_x(G\hat{F}\cdot f\hat{f})\\ & = &2D_x(D_x\hat{f}\cdot f+\frac{\sigma}{\mu}G\hat{F})\cdot f\hat{f}\\ & \stackrel{(19)}{\equiv} &0. \end{eqnarray*} $

证毕.

定理中的方程(2.8)–(2.14) 就是方程(2.2) 的双线性BT.

众所周知, 通过DT可以构造许多有趣的解, 包括呼吸波解、孤子解和怪波解等^[24-28].

方程(1.4) 的可积性由方程(1.5) 的可积性保障, 且方程(5)具有如下Lax对

(3.1) $ \begin{equation} \psi_x = {\bf U}\psi = \left( \begin{array}{cc} \lambda{\quad} & A\\ -\sigma B{\quad} & -\lambda\\ \end{array} \right)\psi, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \psi_t = {\bf V}\psi = \left( \begin{array}{cc} 2{\rm i}\lambda^2+{\rm i}\sigma AB{\quad} & 2{\rm i}\lambda A+{\rm i}A_x\\ -{\rm i}\sigma(2\lambda B-B_x){\quad} & -2{\rm i}\lambda^2 -{\rm i}\sigma AB\\ \end{array} \right)\psi, \end{equation} $

其中$ \lambda $为谱参数, $ \psi = (\psi_1(x, t), \psi_2(x, t))^T, \, B = A^{P_sT_d} = A(-x+x_0, -t+t_0) $. 参考经典可积系统DT的构造方法^[29-30], 可获得方程(1.4) 的DT.

通过下面的规范变换

(3.3) $ \begin{equation} \psi^{[1]} = {\bf T}^{[1]}\psi, \end{equation} $

方程(3.1)和(3.2) 可转化为

(3.4) $ \begin{equation} \psi^{[1]}_x = ({\bf T}^{[1]}_x+{\bf T}^{[1]}{\bf U})({\bf T}^{[1]})^{-1}\psi^{[1]}\triangleq {\bf U}^{[1]}\psi^{[1]}, \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} \psi^{[1]}_t = ({\bf T}^{[1]}_t+{\bf T}^{[1]}{\bf V})({\bf T}^{[1]})^{-1}\psi^{[1]}\triangleq {\bf V}^{[1]}\psi^{[1]}. \end{equation} $

用新势$ A^{[1]} $, $ B^{[1]} $替换势$ A $, $ B $来确定$ {\bf T}^{[1]} $, 使$ {\bf U}^{[1]} $和$ {\bf V}^{[1]} $分别具有与$ {\bf U} $和$ {\bf V} $相同的形式.

令

(3.6) $ \begin{equation} {\bf T}^{[1]} = \lambda{\bf I}+{\bf S}^{[1]}, \end{equation} $

其中$ {\bf I} $是单位矩阵, $ {\bf S}^{[1]} = (s^{[1]}_{ij})_{2\times2} $且$ s^{[1]}_{ij} = s^{[1]}_{ij}(x, t)\, (i, j = 1, 2) $. 新旧势之间的关系为

(3.7) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = A(x, t)-2s^{[1]}_{12}(x, t), \qquad B^{[1]}(x, t) = B(x, t)-2\sigma s^{[1]}_{21}(x, t). \end{equation} $

根据方程(1.4) 中$ A $和$ B $之间的关系, 可获得如下约束

(3.8) $ \begin{equation} s^{[1]}_{12}(-x+x_0, -t+t_0) = \sigma s^{[1]}_{21}(x, t). \end{equation} $

为了确定(3.6) 式中的$ {\bf T}^{[1]} $, 令$ {\bf T}^{[1]}|_{\lambda = \lambda_j}\psi = 0 $, 并设$ f(\lambda_j) = (f_1(\lambda_j), f_2(\lambda_j))^T $和$ g(\lambda_j) = (g_1(\lambda_j), g_2(\lambda_j))^T $为对应于种子解和特征值$ \lambda = \lambda_j $的特征函数, 而后可得

(3.9) $ \begin{equation} \lambda_j+s^{[1]}_{11}+\beta_j s^{[1]}_{12} = 0, \qquad s^{[1]}_{21}+\beta_j(\lambda_j+s^{[1]}_{22}) = 0, \quad (j = 1, 2), \end{equation} $

其中

(3.10) $ \begin{equation} \beta_j = \frac{f_2(\lambda_j)+\alpha_j g_2(\lambda_j)}{f_1(\lambda_j)+\alpha_j g_1(\lambda_j)}, \end{equation} $

$ \alpha_j\, (j = 1, 2) $为常数. 于是, 可确定矩阵$ {\bf T}^{[1]} $的形式如下

(3.11) $ \begin{equation} {\bf T}^{[1]} = \left( \begin{array}{cc} \lambda{\quad} & 0\\ 0{\quad} & \lambda\\ \end{array} \right)+\frac{1}{\beta_2 -\beta_1}\left(\begin{array}{cc} \lambda_2\beta_1 -\lambda_1\beta_2{\quad} & \lambda_1 -\lambda_2\\ \beta_1\beta_2(\lambda_2 -\lambda_1){\quad} & \lambda_1\beta_1 -\lambda_2\beta_2\\ \end{array} \right). \end{equation} $

我们可以证明仅当$ \beta_j \, (j = 1, 2) $满足下列条件时

(3.12) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \beta_{jx} = -\sigma B-2\lambda_j\beta_j-\beta_j^2A, \\ \beta_{jt} = i(\sigma B_x-2\sigma B\lambda_j)-2{\rm i}(2\lambda_j^2+\sigma AB)\beta_j-i(2A\lambda_j+A_x)\beta_j^2, \end{array} \end{equation} $

$ {\bf U}^{[1]} $和$ {\bf V}^{[1]} $分别具有与$ {\bf U} $和$ {\bf V} $相同的形式, 其中$ B(x, t) = A(-x+x_0, -t+t_0) $.

经过$ n $次迭代, 我们获得了系统(1.4) 的$ n $阶DT

(3.13) $ \begin{equation} \psi^{[n]} = {\bf T}_n(\lambda)\psi, \quad {\bf T}_n(\lambda) = {\bf T}^{[n]}(\lambda){\bf T}^{[n-1]}(\lambda)\cdots{\bf T}^{[k]}(\lambda)\cdots{\bf T}^{[1]}(\lambda), \end{equation} $

其中

(3.14) $ \begin{eqnarray} {\bf T}^{[k]}(\lambda)& = &\lambda{\bf I}+{\bf S}^{[k]} {}\\ & = &\lambda{\bf I}+\frac{1}{\beta_{2k}-\beta_{2k-1}}\left(\begin{array}{cc} \lambda_{2k}\beta_{2k-1}-\lambda_{2k-1}\beta_{2k}\ & \lambda_{2k-1}-\lambda_{2k}\\ \beta_{2k-1}\beta_{2k}(\lambda_{2k}-\lambda_{2k-1})\ & \lambda_{2k-1}\beta_{2k-1}-\lambda_{2k}\beta_{2k}\\ \end{array} \right). \end{eqnarray} $

在方程(3.14) 中, $ \beta_j $满足

(3.15) $ \begin{equation} \beta_j = \frac{f_2^{[k-1]}(\lambda_j)+\alpha_j g_2^{[k-1]}(\lambda_j)}{f_1^{[k-1]}(\lambda_j)+\alpha_j g_1^{[k-1]}(\lambda_j)}, \quad (j = 2k-1, \; 2k, \quad k = 1, 2, \cdots , n), \end{equation} $

其中

$ f^{[k]}(\lambda) = \left(\begin{array}{c}f_1^{[k]}(\lambda)\\ f_2^{[k]}(\lambda) \end{array} \right) = {T}^{[k]}(\lambda)f^{[k-1]}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_{2k-1}, \lambda_{2k}), $

$ g^{[k]}(\lambda) = \left(\begin{array}{c}g_1^{[k]}(\lambda)\\ g_2^{[k]}(\lambda) \end{array} \right) = {T}^{[k]}(\lambda)g^{[k-1]}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_{2k-1}, \lambda_{2k}), $

且矩阵$ {\bf S}^{[k]} $满足下面的约束条件

(3.16) $ \begin{equation} s^{[k]}_{12}(-x+x_0, -t+t_0) = \sigma s^{[k]}_{21}(x, t), \quad (k = 1, 2, \cdots , n). \end{equation} $

通过$ n $次迭代, 我们得到新解$ A^{[n]}(x, t) $与旧解$ A(x, t) $之间的关系为

(3.17) $ \begin{equation} A^{[n]}(x, t) = A(x, t)-2 \sum\limits_{k = 1}^ns_{12}^{[k]}(x, t). \end{equation} $

本节利用上面获得的DT来构建方程(1.4) 的孤子解. 易证方程(1.4) 具有如下形式的解

(4.1) $ \begin{equation} A(x, t) = a{{\rm e}^{k \left( x-\frac{1}{2}\, x_{{0}} \right) +{\rm i}\omega \left( t-\frac{1}{2}\, t_{{0}} \right) }}, \end{equation} $

其中$ a $, $ k $, $ \omega $是复参数, 且$ \omega = k^2+2a^2\sigma $.

设方程(3.1)–(3.2)中$ A = 0 $, 由此可得对应于该种子解的特征函数如下

(4.2) $ \begin{equation} f(x, t;\lambda) = \left( \begin{array}{c} e^{\lambda(x+2{\rm i}\lambda t)}\\ 0 \end{array} \right), \quad g(x, t;\lambda) = \left(\begin{array}{c} 0\\ e^{-\lambda(x+2{\rm i}\lambda t)} \end{array} \right). \end{equation} $

由方程(3.10), 可得

(4.3) $ \begin{equation} \beta_j = \alpha_je^{-2\lambda_j(x+2{\rm i}\lambda_j t)}\triangleq \alpha_je^{\xi_j}, \quad j = 1, 2. \end{equation} $

由方程(3.11) 与(4.3), 可得

(4.4) $ \begin{equation} s_{12}^{[1]}(x, t) = \frac{\lambda_1 -\lambda_2}{\alpha_2e^{\xi_2}-\alpha_1e^{\xi_1}}, \quad s_{21}^{[1]}(x, t) = \frac{\alpha_1\alpha_2(\lambda_2 -\lambda_1)e^{\xi_1+\xi_2}}{\alpha_2e^{\xi_2}-\alpha_1e^{\xi_1}}. \end{equation} $

如果在(3.16) 式中取$ x_0 = 0, \;t_0 = 0 $, 由约束条件$ s^{[1]}_{12}(-x, -t) = \sigma s^{[1]}_{21}(x, t) $可得

(4.5) $ \begin{equation} \alpha_1^2 = \sigma, \quad \alpha_2^2 = \sigma, \end{equation} $

其中$ \sigma = \pm 1 $. 由(3.7) 式即可获得方程(1.4) 的1 -孤子解

(4.6) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = \frac{-2(\lambda_1 -\lambda_2)}{\alpha_2e^{\xi_2}-\alpha_1e^{\xi_1}}. \end{equation} $

为了更好地理解该孤子解的动力学性质, 我们通过(4.5) 式的不同情形对上面的1 -孤子解做进一步分析.

情形1  $ \alpha_1 = -1, \alpha_2 = 1 $.

在此情形下1 -孤子解(4.6) 为

(4.7) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = \frac{-2(\lambda_1 -\lambda_2)}{e^{\xi_2}+e^{\xi_1}}. \end{equation} $

为了保证解(4.7) 的解析性即不含有任意奇点, 必须使$ {\rm e}^{\xi_2}+{\rm e}^{\xi_1}\neq0 $. 于是有

(4.8) $ \begin{equation} |e^{\xi_2}+e^{\xi_1}|^2 = 2e^{\xi_{1R}+\xi_{2R}}(\cosh(\xi_{1R}-\xi_{2R})+\cos(\xi_{1I}-\xi_{2I})), \end{equation} $

其中$ \lambda_j = \mu_j+{\rm i}\nu_j, \; \mu_j, \nu_j\in {{\Bbb R}} \ (j = 1, 2) $, 且

(4.9) $ \begin{equation} \begin{array}{l} \xi_{jR}\triangleq {\rm Re}(\xi_j) = -2\mu_jx+8\mu_j\nu_jt, \\ \xi_{jI}\triangleq {\rm Im}(\xi_j) = -2\nu_jx+4(\nu_j^2 -\mu_j^2)t. \end{array} \end{equation} $

因此, 解(4.7) 必须满足如下条件

(4.10) $ \begin{equation} -2(\mu_1+\mu_2)[(\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1 -\nu_2)^2] = 0. \end{equation} $

显然, 当$ (\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1 -\nu_2)^2 = 0 $时, 即$ \lambda_1 = \lambda_2 $, 解(4.7) 无意义. 为了避免这种情况, 由(4.10) 式可得

(4.11) $ \begin{equation} \mu_1+\mu_2 = 0. \end{equation} $

若令$ \mu_1 = -\mu_2, \; \nu_1 = \nu_2 $, 即可获得一个经典的孤子解

(4.12) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = -2\mu_1e^{2i(\nu_1x+2(\mu_1^2 -\nu_1^2)t)}{\rm sech}(2\mu_1(x-4\nu_1t)). \end{equation} $

该解的时空结构如图 1所示, 我们观察到解(4.12) 的实部(见图 1(b))和虚部(见图 1(c))呈现出周期振荡的形态.

若令$ \mu_1 = -\mu_2 $, $ \nu_1 = -\nu_2 $, 我们获得如下解

(4.13) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = \frac{-4(\mu_1+{\rm i}\nu_1)e^{2x(\mu_1+{\rm i}\nu_1)-4(2\mu_1\nu_1+{\rm i}(\nu_1^2 -\mu_1^2))t}}{1+e^{4(\mu_1+{\rm i}\nu_1)x}}. \end{equation} $

该解的时空结构如图 2所示, 由该图观察到势函数是沿着$ t $ -轴方向衰减的.

如果设$ \mu_1 = -\mu_2, \; \nu_1\neq\nu_2, \; \nu_1\neq-\nu_2 $, 可获得如下解

(4.14) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = {\frac {-4\, \mu_{{1}}+2\, {\rm i}\left( \nu_{{2}}-\nu_{{1}} \right) }{{ {\rm e}^{2\, \mu_{{1}}x-8\, \mu_{{1}}\nu_{{2}}t+{\rm i} \left( -2\, \nu_{{2}}x+ 4\, \left( {\nu_{{2}}}^{2}-{\mu_{{1}}}^{2} \right) t \right) }}+{ {\rm e}^{-2\, \mu_{{1}}x+8\, \mu_{{1}}\nu_{{1}}t+{\rm i} \left( -2\, \nu_{{1}}x +4\, \left( {\nu_{{1}}}^{2}-{\mu_{{1}}}^{2} \right) t \right) }}}}. \end{equation} $

该解的时空结构如图 3所示, 观察该图发现势函数也沿着$ t $ -轴方向衰减.

类似地, 可讨论$ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = -1 $; $ \alpha_1 = {\rm i}, \alpha_2 = -{\rm i} $和$ \alpha_1 = -{\rm i}, \alpha_2 = {\rm i} $时的情形.

情形2  $ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 1 $.

在此情形下, 1 -孤子解(4.6) 为

(4.15) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = \frac{-2(\lambda_1 -\lambda_2)}{e^{\xi_2}-e^{\xi_1}}. \end{equation} $

当

(4.16) $ \begin{equation} |e^{\xi_2}-e^{\xi_1}|^2 = 2e^{\xi_{1R}+\xi_{2R}}(\cosh(\xi_{1R}-\xi_{2R})-\cos(\xi_{1I}-\xi_{2I})) = 0 \end{equation} $

时, 解(4.15) 有无穷多奇点$ (x, t) $, 同时任意奇点$ (x, t) $满足如下条件

(4.17) $ \begin{equation} \xi_{1R} = \xi_{2R}, \quad \xi_{1I}-\xi_{2I} = 2k\pi, \;\; (k\in {{\Bbb R}} ), \end{equation} $

且$ \xi_{jR}, \;\;\xi_{jI}\;(j = 1, 2) $满足(4.9)式.当(4.17) 式不同时成立时, 解(4.15) 不包含任意奇点. 于是可以类似于情形1进行分析. 同时也可以类似于情形2讨论$ \alpha_1 = -1, \alpha_2 = -1 $; $ \alpha_1 = {\rm i}, \alpha_2 = {\rm i} $和$ \alpha_1 = -{\rm i}, \alpha_2 = -{\rm i} $时的情形.

情形3  $ \alpha_1 = {\rm i}, \alpha_2 = 1 $.

在此情形下, 1 -孤子解(4.6) 为

(4.18) $ \begin{equation} A^{[1]}(x, t) = \frac{-2(\lambda_1 -\lambda_2)}{e^{\xi_2}-{\rm i}e^{\xi_1}}. \end{equation} $

当

(4.19) $ \begin{equation} |e^{\xi_2}-{\rm i}e^{\xi_1}|^2 = e^{2\xi_{1R}}+e^{2\xi_{2R}}+2e^{\xi_{1R}+\xi_{2R}}\sin(\xi_{1I}-\xi_{2I}) = 0 \end{equation} $

时, 解(4.18) 有无穷多奇点$ (x, t) $, 并且任意奇点$ (x, t) $满足

(4.20) $ \begin{equation} \xi_{1R} = \xi_{2R}, \quad \xi_{1I}-\xi_{2I} = 2k\pi-\frac{\pi}{2}, \;\; (k\in R), \end{equation} $

同时$ \xi_{jR}, \;\;\xi_{jI}\;(j = 1, 2) $满足(4.9)式. 当(4.20) 式不同时成立时, 解(4.18) 不包含任意奇点. 这样我们能类似于情形1对它进行分析. 对于$ \alpha_1 = -{\rm i}, \alpha_2 = 1 $; $ \alpha_1 = \pm {\rm i}, \alpha_2 = -1 $; $ \alpha_1 = -1, \alpha_2 = \pm {\rm i} $和$ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = \pm {\rm i} $时的情形可类似于情形3进行讨论.

下面我们依然选取零种子解$ A = 0 $, 并利用$ 2 $阶DT来构造系统(4) 的2 -孤子解. 为此, 需要选取两对共轭复数作为特征值: $ \lambda_1 = \lambda_2^* = \mu_1+{\rm i}\nu_1 $, $ \lambda_3 = \lambda_4^* = \mu_2+{\rm i}\nu_2 $. 令$ \alpha_1 = -1, \;\alpha_2 = 1, \;\alpha_3 = -1 $和$ \alpha_4 = 1 $, 使其满足约束条件(3.16), 由此可获得如下解

(4.21) $ \begin{equation} A^{[2]}(x, t) = \frac{F_2(x, t)}{G_2(x, t)}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} F_2(x, t) & = & 4\nu_1{\rm i}[\mu_1 -\mu_2+(\nu_1+\nu_2){\rm i}][\mu_2 -\mu_1+(\nu_1 -\nu_2){\rm i}]e^{\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}\\ && +4\nu_1{\rm i}[\mu_1 -\mu_2+(\nu_1 -\nu_2){\rm i}][\mu_2 -\mu_1+(\nu_1+\nu_2){\rm i}]e^{-\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}\\ && -4\nu_2{\rm i}[\mu_1 -\mu_2+(\nu_1 -\nu_2){\rm i}][\mu_1 -\mu_2+(\nu_1+\nu_2){\rm i}]e^{\eta_1 -\frac{\zeta_2+\eta_2}{2}}\\ && -4\nu_2{\rm i}[\mu_2 -\mu_1+(\nu_1 -\nu_2){\rm i}][\mu_2 -\mu_1+(\nu_1+\nu_2){\rm i}]e^{\zeta_1 -\frac{\zeta_2+\eta_2}{2}}, \\ G_2(x, t) & = & -4\nu_1\nu_2e^{\frac{\zeta_2+\eta_2}{2}}-4\nu_1\nu_2e^{\zeta_1+\eta_1 -\frac{\zeta_2+\eta_2}{2}}\\ && +[(\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1 -\nu_2)^2]e^{\eta_1 -\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}+[(\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1+\nu_2)^2]e^{\eta_1+\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}\\ && +[(\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1+\nu_2)^2]e^{\zeta_1 -\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}+[(\mu_1 -\mu_2)^2+(\nu_1 -\nu_2)^2]e^{\zeta_1+\frac{\zeta_2 -\eta_2}{2}}, \end{eqnarray*} $

且

$ \zeta_j = -2\mu_jx+8\mu_j\nu_jt-2\nu_jx{\rm i}+4{\rm i}(\nu_j^2 -\mu_j^2)t, $

$ \eta_j = -2\mu_jx-8\mu_j\nu_jt+2\nu_jx{\rm i}+4{\rm i}(\nu_j^2 -\mu_j^2)t. $

通过确定解(4.21) 中的参数值, 可得图 4, 其展示了该解的3 -维演化图.

通过2阶DT, 如果令$ \alpha_1 = -1, \; \alpha_2 = 1, \;\alpha_3 = -1 $与$ \alpha_4 = 1 $和$ \lambda_1 = 1, \; \lambda_2 = {\rm i}, $$ \lambda_3 = -{\rm i}, $$ \lambda_4 = \frac{3}{2}{\rm i} $, 可得如下复数解

(4.22) $ \begin{equation} A^{[2]}(x, t) = \frac{F_3(x, t)}{G_3(x, t)}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} F_3(x, t) & = & (-25+5{\rm i})e^{-\frac{1}{2}{\rm i}(3x+5t)}+(1+5{\rm i})e^{-\frac{5}{2}{\rm i}(-x+t)}+16e^{\frac{5}{2}{\rm i}(-x+t)}-10e^{-2x+\frac{1}{2}{\rm i}(x-21t)}, \\ G_3(x, t) & = & (1+{\rm i})e^{\frac{1}{2}{\rm i}(-9x+13t)}+(5-5{\rm i})e^{-2x-\frac{1}{2}{\rm i}(3x+13t)}+(-4+6{\rm i})e^{\frac{1}{2}{\rm i}(x+3t)}\\ &&\! +(5-5{\rm i})e^{\frac{1}{2}{\rm i}(-x+13t)} +(-4+6{\rm i})e^{-2x-\frac{1}{2}{\rm i}(5x+3t)}+(1+{\rm i})e^{-2x+\frac{1}{2}{\rm i}(5x-13t)}. \end{eqnarray*} $

图 5描述了复数解(4.22). 从图 5(a)中, 我们观察到有两个孤波, 图 5(b)和图 5(c)分别是解(4.22) 的实部和虚部.

令$ \alpha_1 = \alpha_3 = -1, \; \alpha_2 = \alpha_4 = 1, \;\lambda_1 = {\rm i}, \; \lambda_2 = -{\rm i}, \; \lambda_3 = -2{\rm i}, \; \lambda_4 = 2{\rm i} $, 可得另外一个复数解

(4.23) $ \begin{equation} A^{[2]}(x, t) = \frac{F_4(x, t)}{G_4(x, t)}, \end{equation} $

其中

$ F_4(x, t) = 24\, {\rm i} ( \cos \left( 4\, x \right) +{{\rm e}^{-2\, {\rm i} \left( x+6\, t \right) }}+{{\rm e}^{-2\, {\rm i} \left( -x+6\, t \right) }} ), $

$ G_4(x, t) = 8\, {{\rm e}^{-8\, {\rm i}t}}+{{\rm e}^{2\, {\rm i} \left( -3\, x+2\, t \right) }}+9\, { {\rm e}^{2\, {\rm i} \left( x+2\, t \right) }}+9\, {{\rm e}^{2\, {\rm i} \left( -x+2\, t \right) }}+{{\rm e}^{2\, {\rm i} \left( 3\, x+2\, t \right) }}+8\, {{\rm e}^{ 16\, {\rm i}t}}. $

该复数解(4.23)的演化图在此省略.

本文所讨论的AB-NLS系统只是楼森岳最近提出的众多AB系统中的一个. 众所周知, 非线性Schrödinger (NLS) 方程仅有解$ A $, 而这里讨论的AB-NLS系统的解不同于NLS方程, 并且它们具有不同的物理意义. AB-NLS系统虽然是从一个单地耦合系统约化而来, 但其实本质上它是一个两地非局部模型. 我们构建了未约化的AB-NLS系统(1.5) 的双线性BT. 虽然采用的BT方法是常规的, 但就我们所知, 对于AB系统的双线性BT还没有报道, 而且BT的构造需要一些技巧, 不能直接机械地获得. 通过双线性BTs(2.8)–(2.14), 如果能够找到满足条件$ B = A(-x+x_0, -t+t_0) $和$ \hat{B} = \hat{A}(-x+x_0, -t+t_0) $的合适的$ (F, G, f) $和$ (\hat{F}, \hat{G}, \hat{f}) $, 即可获得AB-NLS系统(1.4) 的新解; 本文还构造了该系统(1.4) 的一个DT, 利用DT并结合$ A $和$ B $之间的关系, 通过解的奇性条件分析获得了该系统的一些特殊解析解. 本文的算法可为其他非局部非线性可积系统的研究提供重要参考.