该文研究下面三维自治Navier-Stokes方程组轨道统计解的退化正则性

其中未知函数$u(x, t)$表示速度向量场, $p(x, t)$表示压力, $f(x)$是给定与时间$t$无关的外力项, $\nu>0$是流体的粘性系数, $\Omega = [0, L]^3$ ($L>0$为某个正数), $u$, $p$和$f$在空间变量的各个方向上都是以$L$为周期的函数.

不变测度和统计解对于人们理解湍流很有帮助^{[7, 9, 18]}, 这是由于湍流中的一些重要物理量(比如质量, 速度)本质上都依赖于时间的均值. 在统计物理中, 统计解就是用来描述湍流整体均值的数学概念. 目前主要有两种统计解的定义, 一个是由Foias和Prodi在文献[8] 中提出的Foias-Prodi统计解, 另一个是由Vishik和Furshikov在文献[22] 中给出的Vishik-Furshikov统计解. Foias-Prodi统计解是定义在Navier-Stokes方程组的相空间上的一族用时间参数化的Borel测度, 用以刻画流体的速度场在每个时刻的概率分布. 而Vishik-Furshikov统计解是定义在轨道空间上的单个Borel测度, 用以表示时-空速度场的概率分布.

至今已有不少文献研究了多种演化方程的统计解. 例如, Foias, Rosa以及Temam在文献[9-13]中系统的研究了三维Navier-Stokes方程的统计解; Łukaszewicz在文献[17] 中构造了二维Navier-Stokes方程的统计解; Bronzi, Mondaini和Rosa在文献[1, 3] 中给出了一般演化方程统计解存在的抽象框架, 并且在文献[2] 中研究了当$\alpha$趋于0时三维Navier-Stokes-$\alpha$方程组统计解的收敛性; Caraballo, Kloeden和Real在文献[4] 中研究了三维全局修正的Navier-Stokes方程组的不变测度和统计解; Kloeden, Rubio和Real在文献[15] 中进一步研究了自治三维全局修正的Navier-Stokes方程组的统计解与不变测度的等价性. 最近, Zhao, Li和Łukaszewicz在文献[30] 中研究了二维磁微极流方程组统计解的存在性和部分退化正则性.

需要指出的是, Bronzi, Mondaini和Rosa在文献[1, 3] 中提出了轨道统计解的概念并且给出了其存在性证明的抽象框架, 其中初值问题的证明是用基于Dirac deltas凸组合的Krein-Milman逼近来逼近初始测度. 最近, 在文献[29] 中, Zhao, Li和Caraballo应用无穷维动力系统的途径给出了一般自治演化系统轨道统计解存在的充分条件. 文献[29] 中的方法也适用于文献[28] 中的修正三维Navier-Stokes方程, 文献[32] 中的Navier-Stokes方程组, 文献[33]中的微极流以及文献[31] 中的耗散欧拉方程组.

对于三维不可压Navier-Stokes方程组, 其轨道统计解正则性方面还有很多挑战性的问题^[19]. 例如"渐近正则性"问题: 弱轨道统计解的支集中的解是否都是全局强解? 这和三维不可压Navier-Stokes方程组强解的整体适定性一样, 也是一个重要的有待解决的问题. Prodi猜想这样的渐近正则性是正确的^[19].

这篇文章的主要目的是借用文献[29] 中轨道统计解的构造方法来研究三维不可压Navier-Stokes方程弱轨道统计解的退化正则性. 在文献[29]中作者通过轨道吸引子和平移半群来构造轨道统计解. 在他们的构造中, 轨道统计解是定义在时-空间上的不变概率测度且由轨道吸引子支撑. 正是由于这个原因, 轨道统计解的正则性问题就转化为轨道吸引子的正则性问题. 因此, 考虑通过研究轨道吸引子的退化正则性来研究轨道统计解的正则性是很自然的. 对于三维不可压Navier-Stokes方程组, 从文献[5] 中得知其具有紧的轨道吸引子且当$f\in H$以及三维Grashof数$G = \frac{\|f\|}{\nu^2\lambda_{1}^{3/4}}$适当小的时候$(\leqslant 2.057)$, 吸引子将退化成一个点. 此处的$\lambda_1$是$V\cap(H^2(\Omega))^3$上Stokes算子(见第2节中的记号)的第一个特征值. 对于三维非自治不可压Navier-Stokes方程组, 文献[6] 中证明了当$f\in L^2_{\rm loc}(\mathbb{R}; H)$且Grashof数

时, 弱拉回吸引子将会退化成一个唯一的完全有界的强解.

这篇文章应用三维Grashof数来讨论三维自治不可压Navier-Stokes方程组的弱轨道统计解$\rho_u$ (存在性见文献[32])的(部分)退化正则性, 文章的思想来源于文献[6]. 文章主要证明了当$f\in V'$且三维Grashof数

时, $\rho_u$在以下意义下具有部分退化正则性: $\forall\, \epsilon>0$及$\forall\, s\geqslant 0$, 存在一个子集$E_\epsilon\subseteq E(s) = [s, s+\nu^{-1}\lambda_1^{-1}]$且测度$|E_\epsilon|<\epsilon$, 使得$\rho_u$在$E(s)\setminus E_\epsilon$中是正则的. 同时也证明了如果$f\in H$且三维Grashof数$G = \frac{\|f\|}{\nu^2\lambda_{1}^{3/4}}\leqslant 2.057$, 那么$\rho_u$是正则的轨道统计解.

首先引入一些记号.记$(L^2(\Omega))^3$, $(H^1(\Omega))^3$分别表示三维向量Lebesgue和Sobolev空间, $(\cdot, \cdot)$和$\|\cdot\|$分别表示$(L^2(\Omega))^3$中的内积和范数. 记${\mathcal V}$为所有定义在${\mathbb R}^3$上满足$\nabla\cdot u = \int_\Omega u(x, t){\mathrm d}x = 0$且在空间变量各个方向以$L$为周期的函数全体组成的空间, 且$(H, \|\cdot\|)$, $(V, \|\cdot\|_V)$分别表示${\mathcal V}$在$(L^2(\Omega))^3$, $(H^1(\Omega))^3$中的闭包. 另外用$(V', \|\cdot\|_{V'})$表示$(V, \|\cdot\|_V)$的对偶空间.

记$P_\sigma: (L^2(\Omega))^3\mapsto H$为正交投影算子, $A = -P_\sigma \Delta$是定义在$D(A) = V\cap(H^2(\Omega))^3$上的Stokes算子. 对任意的$u, w\in V$, 记$B(u, w) = P_\sigma(u\cdot \nabla w)$, 则问题(1.1) 可以写成

问题(2.1) 弱解的定义可以参考文献[32, 定义2.1]. 若弱解$u$还满足$u\in L^\infty_{\rm loc}(0, +\infty; V)$, 则称$u$为强解.

引理2.1   设$f\in V'$或$f\in H$与时间$t$无关. 则对任意的$u_0\in H$, 方程(2.1) 至少存在一个全局弱解使得存在时间$t_0>0$有

其中, 若$f\in V'$, 则$R = \frac{2(1+\lambda_1)\|f\|^2_{V'}}{\nu^2\lambda_1^2}$; 若$f\in H$, 则$R = \frac{2\|f\|^2}{\nu^2\lambda_1^2}$.

证   给定$f\in V'$或$f\in H$, $u_0\in H$.方程(2.1) 全局弱解$u$的存在性是已知的(可参考文献[5]). 下面证明(2.2)式. 事实上, 由下面的Poincaré 不等式

及$\|u\|^2_V = \|u\|^2+\|\nabla u\|^2$, 得

由计算可知$u$满足

由(2.3) 和(2.5) 式可得

对(2.6) 式使用Gronwall不等式, 即得(2.2)式. 当$f\in H$时, 证明类似.

接下来引用文献[6, 32] 中一些已有的定义和结果. (2.1) 式的轨道空间${\mathcal T}^+$的定义为

方程(2.1) 的核${\mathcal K}$定义为

轨道吸引子的定义可参考文献[32, 定义2.2]. $X_{\rm w}$表示空间$X$上赋以弱拓扑.

定义2.1   ${\mathcal F}^+: = {\mathcal C}_{\rm loc}([0, +\infty); X_{\rm w})$上的Borel概率测度$\rho$称为方程(2.1) 的弱轨道统计解$\rm(或轨道统计解)$若满足$\rho$是紧的且被${\mathcal F}^+$上的某个Borel子集${\mathcal B}_0$支撑. 如果${\mathcal B}_0$中的弱解还是方程(2.1) 的强解，则称$\rho$为正则轨道统计解.

命题2.1   (1) (文献[32, 命题2.2]) 方程(2.1) 的轨道吸引子${\mathcal A}^{tr}$存在且

(2) (文献[32, 定理3.1])  对于任意的$u\in {\mathcal T}^+$, (2.1) 式都存在唯一一个与之相应的弱轨道统计解$\rho_u$, 并且$\rho_u$被${\mathcal A}^{tr}$支撑.

这一节首先证明如果$f\in V'$且三维Grashof数$G = \frac{(1+\lambda_1)^{1/2}\|f\|_{V'}}{\nu^2\lambda_{1}^{3/4}}$适当地小, 则$\rho_u$具有部分退化正则性. 然后证明如果$f\in H$且三维Grashof数$G = \frac{\|f\|}{\nu^2\lambda_{1}^{3/4}}$适当地小, 则$\rho_u$是正则轨道统计解. 为简单起见, 后文记$\gamma = \nu^{-1}\lambda^{-1}_1$.

引理3.1   假设$f\in V'$和时间$t$无关, 则对任意的$s\geqslant 0$及任意的$u\in {\mathcal A}^{tr}$, 集合$\{\theta\in [s, s+\gamma]: \|u(\theta)\|^2_V\leqslant M(k)\}$的测度满足

其中$k$是某个正整数, $M(k) = \frac{3k(1+\lambda_1)^2\|f\|^2_{V'}}{\nu^{2}\lambda^{2}_1}$.

证   对任意给定的$s\geqslant 0$, 令$u\in {\mathcal A}^{tr}$且在$s$时初值满足$u(s) = u_0$. 则$u$是满足引理2.1的全局弱解. 从(2.2) 式和命题2.1(1) 可知

又从(2.4) 和(2.5) 式可得

(3.2) 式表明

令$t = s+\gamma$, 则

从(3.3) 式可知对于$M(k) = \frac{3k(1+\lambda_1)^2\|f\|^2_{V'}}{\nu^{2}\lambda^{2}_1}$, 给定正整数$k$之后, 集合$\{\theta\in [s, s+\gamma]: \|u(\theta)\|^2_V\geqslant M(k)\}$的测度满足

否则, 如果

那么有

这和(3.3) 式相矛盾. 证毕.

从引理3.1可得下面的推论.

推论3.1   对任意的$s\geqslant 0$, 记$E(s) = [s, s+\gamma]$. 那么对于任意的$\epsilon>0$和$u\in {\mathcal A}^{tr}$, 存在一个子集$E_{\epsilon, u}\subseteq E(s)$和一个正的常数$C_\epsilon$使得

(1) $E_{\epsilon, u}$的测度$|E_{\epsilon, u}|$满足$|E_{\epsilon, u}|<\epsilon$;

(2) $\|u(\xi)\|^2_V\leqslant C_\epsilon$, $\forall\, \xi\in E(s)\setminus E_{\epsilon, u}$.

证   对任意的$\epsilon>0$, 存在某个$k_\epsilon\in {\mathbb N}$使得$\gamma/ k_\epsilon< \epsilon$. 对任意的$u\in {\mathcal A}^{tr}$及上述$\epsilon$, 记

则从(3.1) 式可知$E_{\epsilon, u}$的测度满足

并且(2) 显然成立.

注3.1   推论$\rm3.1$说明任何全局弱解$u\in L^\infty(0, +\infty; H)$在下述意义下是区间$E(s) = [s, s+\gamma]$上的"部分"强解: 对每个$\epsilon>0$, 集合$E_{\epsilon, u}$的测度满足$|E_{\epsilon, u}|<\epsilon$, $u\in L^\infty( E(s)\setminus E_{\epsilon, u}; V)$. 但这不等于说弱解$u\in L^\infty(0, +\infty; H)$在每个区间$E(s)$上"几乎处处"是强解. 因为对每个给定的$\epsilon>0$, 只知$\|u\|_V$在子集$E(s)\setminus E_{\epsilon, u}$上是有界的. 尽管$E_{\epsilon, u}$ (依赖于$\epsilon$)的测度小于$\epsilon$, 但并不等于$0$. 这个结果类似于可测函数的Lusin定理^{[20, p55]}.

引理3.2   假设$f\in V'$且三维Grashof数$G$满足

此处的$c_1$是与$\Omega$无关的正的常数. 则命题$\rm2.1(1)$中的轨道吸引子${\mathcal A}^{tr}$退化成单个有界完全轨道

证   假设对于$t\in {\mathbb R}_+$, $u(t)$和$w(t)$属于${\mathcal A}^{tr}$. 则命题2.1(1) 表明当$t\in {\mathbb R}$时, $u(t)$和$w(t)$都属于${\mathcal K}$. 令$z(t) = u(t)-w(t)$, 则$z(t)$满足

由经典估计^{[9, p97, (A.26f)]}及Young不等式可知存在一个与$\Omega$无关的正的常数$c_1$ ($c_1\leqslant (\frac{2^7}{\pi 3^6})^{1/4}\thickapprox 0.4862$, 参见文献[5, p237]) 使得

由(3.7) 和(3.8) 式可得

对任意的$\tau\in {\mathbb R}$且$\tau<t$, 对(3.9) 式在$[\tau, t]$上积分且用(2.3)式, 得

又因为$w(t)$是方程(2.1) 的全轨道, 用类似于(3.2) 式的推导可得

由于

由不等式(3.11) 可以推出

因此, 如果(3.5) 成立, 则有

进一步由(3.10)式, (3.13)式和Gronwall不等式可得

令$\tau\rightarrow -\infty$可知对任意$\theta\in (-\infty, t]$, 有$u(\theta) = w(\theta)$成立. 特别地, 当$\theta\in [0, t]$时, 有$u(\theta) = w(\theta)$. 证毕.

结合定义2.1, 命题2.1(2), 推论3.1及引理3.2, 可得如下结论.

定理3.1   假设给定$f\in V'$且三维Grashof数满足

则命题$\rm2.1(2)$中的弱轨道统计解$\rho_{\tilde{u}}$具有下述意义下的部分退化正则性: $\forall\, s\geqslant 0$和$\forall\, \epsilon>0$, 存在$E(s) = [s, s+\gamma]$的一个子集$E_\epsilon$使得

(1) $E_\epsilon$的测度$|E_\epsilon|$满足$|E_\epsilon| <\epsilon$;

(2) $\rho_{\tilde{u}}$在$E(s)\setminus E_\epsilon$上是正则的.

证   弱轨道统计解$\rho_{\tilde{u}}$具有"部分"退化正则性是指其支撑集${\mathcal A}^{\rm tr}$所包含的全局弱解$u$在下述意义下是"部分"强解: 时间$t$属于$[0, +\infty)$某个子集上, $\|u(t)\|_V$是有界的(见注3.1). 只要条件(3.14) 成立, 则支撑集${\mathcal A}^{\rm tr}$退化成单个有界完全轨道${\mathcal A}^{tr} = \{\tilde{u}(t)\in {\mathcal K}: t\geqslant 0\}$ (见引理3.2). 因此, 定理3.1可直接由命题2.1(2), 推论3.1和引理3.2得出, 其中$c_1^{-1}\thickapprox 2.057$由$c_1\leqslant (\frac{2^7}{3^6\pi})^{1/4}\thickapprox 0.4862$直接得到.

如果$f\in H$, 定理3.1的结果会得到改进.

定理3.2   假设$f\in H$且三维Grashof数满足

则命题$\rm2.1(2)$中的弱轨道统计解$\rho_{\tilde{u}}$是正则轨道统计解, 并且$\rho_{\tilde{u}}$的支集和时间$t\in [0, +\infty)$无关.

证   在文献[5, XIII. 命题1.4] 中, Chepyzhov和Vishik证明了在(3.15) 式成立的条件下, 三维Navier-Stokes方程组的吸引子${\mathcal A}^{tr}$中只包含一个稳态解${\mathcal A}^{tr} = \{\tilde{u}\}$, 这里$\tilde{u}\in V$是稳态三维Navier-Stokes方程组的解且满足$\|\tilde{u}\|\leqslant \frac{\|f\|}{\nu\lambda_1^{1/2}}$. 因此定理3.2的结论可直接由文献[5, XIII. 命题1.4] 和命题2.1(2) 得出.

这篇文章借用文献[29] 中轨道统计解的构造方法将三维自治不可压Navier-Stokes方程组的轨道统计解的退化正则性问题转化为轨道吸引子的退化正则性问题. 主要结果如下.

(1) 假设$f\in V'$且三维Grashof数满足

则三维不可压Navier-Stokes方程组的弱轨道统计解$\rho_{\tilde{u}}$具有下述意义的"部分"退化正则性: $\forall\, s\geqslant 0$和$\forall\, \epsilon>0$, 存在$[s, s+\nu_1^{-1}\lambda_1^{-1}]$的一个子集$E_{\epsilon, \tilde{u}}$且其测度$|E_{\epsilon, \tilde{u}}|<\epsilon$, 使得统计解的支集只包含一个全局弱解$\tilde{u}$, 且对任意的$t \in [s, s+\nu_1^{-1}\lambda_1^{-1}]\backslash E_{\epsilon, \tilde{u}}$, $\|\tilde{u}\|_V$是有界的.

(2) 假设$f\in H$且三维Grashof数满足

则三维不可压Navier-Stokes方程组的弱轨道统计解$\rho_{\tilde{u}}$是正则轨道统计解.

注4.1  应用Grashof数来讨论轨道统计解或者统计解的退化正则性的方法同样也可以应用到其它的流体力学方程中, 比如二维和三维非牛顿流方程组^[23-25], 二维耗散Euler方程组^[31], 三维MHD方程^{[27, 34]} 以及三维对流Brinkman-Forchheimer方程组^[26].