本文研究拟微分算子$ T_\sigma $在加权Hardy空间$ H^p(\omega) $上的有界性. 首先回顾一下相关的定义和研究背景.

定义1.1   设$ m\in{{\Bbb R}} $, $ \rho, \delta\in[0, 1] $, 符号函数$ \sigma(x, \xi) $定义在$ {{\Bbb R}} ^n\times{{\Bbb R}} ^n $上, 称$ \sigma(x, \xi) $属于Hörmander类$ S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n) $, 若对每个多重指标$ \alpha, \beta\in{\Bbb N}^n $, 存在常数$ C>0 $使得

$ |\partial_{x}^{\alpha}\partial_{\xi}^{\beta}\sigma(x, \xi)|\leq C(1+|\xi|)^{m-\rho|\beta|+\delta|\alpha|}. $

定义1.2   给定符号函数$ \sigma $和$ f\in C_c^\infty({{\Bbb R}} ^n) $, 拟微分算子$ T_\sigma $定义为

$ T_\sigma f(x) = \int_{{{\Bbb R}} ^n}\sigma(x, \xi)e^{2\pi {\rm i}x\cdot\xi}\hat{f}(\xi){\rm d}\xi, $

其中$ \hat{f} $为$ f $的傅里叶变换.

众所周知, 拟微分算子在偏微分方程, 量子场, 指标理论和调和分析理论研究中起着重要作用, 可参看文献[2, 12, 15-16, 18]等. 拟微分算子在函数空间的有界性研究是调和分析理论的一个热点问题之一. 早在1973年, Feffermn^[12] 就研究了其在$ L^p $空间的有界性. 随后, 相应的加权$ L^p $估计也被考虑, 如: 当$ \omega\in A_{p/2} (2\leq p<\infty) $, $ \sigma\in S_{\rho, \delta}^{-n(1-\rho)/2}({{\Bbb R}} ^n) $且$ 0<\delta<\rho<1 $时, Chanillo和Torchinsky^[7]首先证明了$ T_\sigma $是$ L^p(\omega) $有界的; Michalowski, Rule和Staubach^[19] 则考虑了$ \rho = \delta $的情形, 并在文献[20] 中进一步证明了当$ 0\leq\delta<1 $, $ 0<\rho\leq1 $, $ \sigma\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n) $且$ m<-n(1-\rho) $时, $ T_\sigma $是$ L^p(\omega) $有界的, 其中$ \omega\in A_p $. 更多关于$ T_\sigma $加权$ L^p $有界性的工作, 可参看文献[3-4, 6]及其参考文献.

另一方面, 当$ p\in(0, 1] $时, Hardy空间作为$ L^p({{\Bbb R}} ^n) $的替代空间, 吸引了大批数学家的关注. Stein, Weiss, Coifman和Fefferman^{[8-10, 13]} 首次对实Hardy空间进行了系统的研究. 紧接着, García-Cuerra^[14] 引进了加权Hardy空间, Strömberg和Torchinsky^[21] 则进一步系统地研究了加权Hardy空间. 拟微分算子在Hardy空间上的有界性则是Alvarez和Hounie^[1] 首次建立, 准确的说, 当$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^{m} $且$ 0<\rho\leq1 $, $ 0\leq\delta<1 $和$ m\leq-n(1-\rho)/2+\min\{0, n(\rho-\delta)/2\} $时, $ T_\sigma $是从$ H^1({{\Bbb R}} ^n) $到$ L^1({{\Bbb R}} ^n) $有界的. Yabuta^[23] 还有Deng等人^[11] 将前面的结果推广到了$ H^1(\omega) $. Hournie和Kapp^[17] 证明了当$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^{m} $时, $ T_\sigma $是局部Hardy空间$ h^1({{\Bbb R}} ^n) $到$ L^1({{\Bbb R}} ^n) $的, 其中$ 0\leq\delta\leq\rho<1 $, 该结果同样推广了文献[1]中的结果. 在2012年, Xiao, Jiang和Gao^[22] 将文献[17] 中结果推广到了双线性情形.

本文将建立如下主要结果.

定理1.1   令$ n/(n+1)<p\leq1 $和$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n) $, 其中$ \rho\in(0, 1] $, $ \delta\in[0, 1) $. 若$ -(n+1)<m\leq-(n+1)(1-\rho) $以及$ \omega\in A_{p(n+1)/n} $, 则存在常数$ C>0 $使得

$ \|T_\sigma f\|_{L^p(\omega)}\leq C\|f\|_{H^p(\omega)}. $

注1.1   在文献[23]中, Yabuta建立了$ T_\sigma $在$ H^1(\omega) $上的有界性, 其中$ \sigma\in S_{1, \delta}^{0} $以及$ \omega\in A_1 $. 另外在文献[11]中, Deng等人在假设$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n) $时也得到了同样的结论, 其中$ \rho\in(0, 1] $, $ \delta\in[0, 1) $, $ -(n+1)<m\leq-(n+1)(1-\rho) $以及$ \omega\in A_{p} $且$ p\in[1, 1+\epsilon/n) $, $ \epsilon = \min\{1, (1+m+n)/\rho\} $. 从定理1.1的条件可以看到, 我们得到了比文献[23] 更好的$ \rho, m $范围, 以及比文献[11, 23]更弱的权条件. 所以, 定理1.1可看作已有的结果改进; 同时, 当$ p<1 $时, 相应的结论是新的.

在给出下一个结论前, 先给出$ T_\sigma^\ast1 = 0 $的定义.

定义1.3   令$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n) $, 其中$ \rho\in(0, 1] $, $ \delta\in[0, 1) $以及$ T_\sigma $是拟微分算子. 称$ T_\sigma^\ast1 = 0 $若对所有具有紧支集的$ f\in L^q({{\Bbb R}} ^n) (1<q\leq\infty) $且满足$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}f(x){\rm d}x = 0 $的函数均有$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}T_\sigma f(x){\rm d}x = 0 $成立.

定理1.2   设$ \sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n) $, 其中$ \rho\in(0, 1] $, $ \delta\in[0, 1) $. 假设$ \rho n-(n+1)<m<-(n+1)(1-\rho) $和$ T_\sigma^\ast1 = 0 $. 若$ \omega\in A_{p\mu/n} $且$ \mu = (1+n+m)/\rho $, 则对$ n/\mu<p\leq1 $, 存在常数$ C>0 $使得

$ \|T_\sigma f\|_{H^p(\omega)}\leq C\|f\|_{H^p(\omega)}. $

下文组织如下: 在第2节我们给出一些相关的定义和辅助引理. 定理1.1和定理1.2的证明分别在第3节和第4节给出.

最后我们给出一些记号说明. 若$ f\leq Cg $和$ f\lesssim g \lesssim f $, 则分别记为$ f\lesssim g $, $ f\thicksim g $. 设$ \omega\in A_\infty $, 记$ q_\omega: = \inf\{p\in[1, \infty):\omega\in A_p\} $. 对任意的球$ B: = B(x_0, r)\subset {{\Bbb R}} ^n $, $ x_0 $和$ r $分别表示球$ B $的中心和半径, $ \int_B\omega(y){\rm d}y $简记为$ \omega(B) $. $ {\cal S}({{\Bbb R}} ^n) $和$ {\cal S}'({{\Bbb R}} ^n) $分别表示Schwartz函数全体和缓增分布全体. 对$ a\in{{\Bbb R}} $, $ \lfloor a\rfloor $表示不超过$ a $的最大整数.

本小节将给出必要的定义及引理.

权$ \omega $是定义在$ {{\Bbb R}} ^n $上的非负局部可积函数. 设$ 1<p<\infty $, 称$ \omega $属于$ A_p $权若存在常数$ C $使得

$ \sup\limits_{Q}\Big(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}\omega(y){\rm d}y\Big)\Big(\frac{1}{|Q|} \int_{Q}\omega(y)^{1-p'}{\rm d}y\Big)^{p-1}\leq C, $

其中$ 1/p+1/p' = 1 $且上确界取遍所有包含在$ {{\Bbb R}} ^n $中的方体$ Q $. 若$ p = 1 $, 称$ \omega\in A_1 $若存在常数$ C $使得

$ \Big\|\frac{M\omega}{\omega}\Big\|_{L^\infty}\leq C, $

其中$ M $是Hardy-Littlewood极大算子. 若$ p = \infty $, 定义$ A_\infty: = \bigcup\limits_{1\leq p<\infty}A_p $. 本文经常使用到权的倍测度性质, 即, 对于$ \lambda>1 $以及任意的球$ B $, 若$ \omega\in A_{p} $, 则$ \omega(\lambda B)\leq \lambda^{np}[\omega]_{A_p}\omega(B) $.

接下来, 我们给出加权Hardy空间的一些事实. 设$ \phi\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^n) $且$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}\phi(x){\rm d}x = 1 $, $ f\in{\cal S}'({{\Bbb R}} ^n) $, 定义极大函数$ M_\phi $为

$ M_\phi f(x) = \sup\limits_{t>0}|f\ast\phi_t(x)|, $

其中$ \phi_t(x) = t^{-n}\phi(x/t) $. 则对$ \omega\in A_\infty $和$ 0<p<\infty $, 加权Hardy空间$ H^p(\omega) $定义为

$ H^p(\omega) = \{f\in{\cal S}'({{\Bbb R}} ^n):M_\phi f\in L^p(\omega)\}, $

其中拟范$ \|f\|_{H^p(\omega)} = \|M_\phi f\|_{L^p(\omega)} $.

定义2.1  设$ \omega\in A_\infty $, $ 0<p\leq1, \, q\in(q_\omega, \infty] $以及$ s\in {\Bbb N} $且$ s\geq\lfloor (q_\omega/p-1)n\rfloor $. 称定义在$ {{\Bbb R}} ^n $上的函数$ a $是$ (p, q, s)_\omega $ - 原子若下面三个条件成立

$ (1) $ a支在$ B(x_0, r) $;

$ (2) $$ \|a\|_{L^q(\omega)}\leq\omega(B(x_0, r))^{1/q-1/p} $;

$ (3) $对所有满足$ |\alpha|\leq s $的多重指标$ \alpha $有$ \int_{B(x_0, r)}a(x)x^\alpha {\rm d}x = 0 $.

Bownik, Li, Yang和Zhou^[5] 给出了下面的引理.

引理2.1^[5]  设$ \omega\in A_\infty $, $ 0<p\leq1 $, $ s\in{\Bbb N} $且$ s\geq\lfloor (q_\omega/p-1)n\rfloor $. 若$ q_\omega<q<\infty $且$ T:H_{fin}^{p, q, s}(\omega)\rightarrow L^p(\omega) (H^p(\omega)) $是线性算子满足

$ \sup\{\|Ta\|_{L^p(\omega)}\}<\infty, $

其中$ a $是任意的$ (p, q, s)_\omega $ -原子, $ H_{fin}^{p, q, s}(\omega) $是所有$ (p, q, s)_\omega $ -原子的有限线性组合全体. 则存在从$ H^p(\omega) $到$ L^p(\omega) (H^p(\omega)) $的有界线性算子$ \bar{T} $, 且该延拓是唯一的.

最后给出一些与拟微分算子有关的引理.

引理2.2^[17]   设$ \sigma(x, \xi)\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n) $, 其中$ 0<\rho\leq1 $, $ 0\leq\delta<1 $. 则$ T_\sigma $的核在远离对角线$ \{(x, x):x\in{{\Bbb R}} ^n\} $时是光滑的且可以表示为

$ \begin{eqnarray*} K(x, y) = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow0}\int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{2\pi i(x-y)\cdot\xi}\sigma(x, \xi)\psi(\epsilon\xi){\rm d}\xi, \end{eqnarray*} $

其中$ \psi\in C_c^\infty({{\Bbb R}} ^n) $且当$ |\xi| = 1 $时满足$ \psi(\xi) = 1 $, 上述极限是在$ S'({{\Bbb R}} ^n) $意义上且与$ \psi $的选择无关. 若$ M\in{\Bbb N} $和$ M+m+n>0 $, 则$ K(x, y) $满足如下估计

(2.1) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{|\alpha+\beta| = M}|D_x^\alpha D_y^\beta K(x, y)|\leq C_M\frac{1}{|x-y|^{(M+n+m)/\rho}}, \quad x\neq y. \end{eqnarray} $

而且, 对每个多重指标$ \alpha, \beta\in {\Bbb N}^n $和$ N\in{\Bbb N} $有,

(2.2) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{|x-y|\geq1/2}|x-y|^N|D_x^\alpha D_y^\beta K(x, y)|\leq C_{\alpha, \beta, N}. \end{eqnarray} $

引理2.3^[20]  设$ \sigma(x, \xi)\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n) $, 其中$ 0<\rho\leq1 $, $ 0\leq\delta<1 $以及$ m<-n(1-\rho) $. 则对每个$ p>1 $和$ \omega\in A_p $, 存在常数$ C>0 $使得

$ \|T_\sigma f\|_{L^p(\omega)}\leq C\|f\|_{L^p(\omega)}. $

本节我们将证明定理1.1.

证   因为$ \omega\in A_{p(n+1)/n} $, 则$ q_\omega<p(n+1)/n $. 于是由引理2.1, 我们只要证明对于任意的支在$ B: = B(x_0, r) $的$ (p, q, 0)_\omega $ -原子$ a $, 其中$ q>q_\omega $, 存在常数$ C>0 $使得$ \|T_\sigma a\|_{L^p(\omega)}\leq C $.

应用Hölder不等式, 引理2.3以及利用$ \|a\|_{L^q(\omega)}\leq[\omega(B)]^{1/q-1/p} $, 我们得到

(3.1) $ \begin{eqnarray} \int_{4B}|T_\sigma a(x)|^p\omega(x){\rm d}x\leq\omega(4B)^{1-p/q}\|T_\sigma a\|_{L^q(\omega)}^p\lesssim[\omega(B)]^{1-p/q} \|a\|_{L^q(\omega)}^p\leq1. \end{eqnarray} $

另一方面, 我们断言

(3.2) $ \begin{eqnarray} \int_{(4B)^c}|T_\sigma a(x)|^p\omega(x){\rm d}x\lesssim1. \end{eqnarray} $

我们分两种情况来证明断言: $ r\geq1 $和$ 0<r<1 $.

情形1  $ r\geq1 $. 对任意的$ x\in2^{k+1}B\backslash2^kB $和$ y\in B $, 其中$ k = 2, 3, \cdots $, 容易看出

$ \begin{eqnarray*} |x-y|\geq|x-x_0|-|y-x_0|\geq2^kr-r\geq1. \end{eqnarray*} $

因此利用$ (2.2) $式可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} |T_\sigma a(x)|\leq\int_{B}|K(x, y)a(y)|{\rm d}y\lesssim\int_{B}\frac{|a(y)|}{|x-y|^{n+1}}{\rm d}y. \end{eqnarray} $

因为对某个$ q_0\in(1, p(n+1)/n) $有$ \omega\in A_{q_0} $, 则由$ A_{q_0} $的定义可得

$ \begin{eqnarray} \label{eq 3.4} \Big(\int_B|a(y)|{\rm d}y\Big)^p&\leq&\Big(\int_B|a(y)|^{q_0}\omega(y){\rm d}y\Big)^{p/q_0} \Big(\int_B\omega(y)^{-q_0'/q_0}{\rm d}y\Big)^{p/q_0'}{}\\ &\lesssim&\omega(B)^{p/q_0-1}\omega(B)^{-p/q_0}|B|^{p} = \omega(B)^{-1}|B|^{p}. \end{eqnarray} $

再由$ (3.3) $式和$ q_0<p(n+1)/n $可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{(4B)^c}|T_\sigma a(x)|^p\omega(x){\rm d}x&\leq&\sum\limits_{k = 2}^{\infty}\int_{2^{k+1}B\backslash2^kB} \Big(\int_B\frac{|a(y)|}{|x-y|^{n+1}}{\rm d}y\Big)^p\omega(x){\rm d}x\\ &\lesssim&\Big(\sum\limits_{k = 2}^{\infty}\int_{2^{k+1}B\backslash2^kB}\frac{\omega(x)}{|x-x_0|^{(n+1)p}} {\rm d}x\Big)\Big(\int_B|a(y)|{\rm d}y\Big)^p\\ &\lesssim&\Big(\sum\limits_{k = 2}^{\infty}2^{-k(n+1)p}2^{knq_0}\omega(B)|B|^{-p}\Big)\omega(B)^{-1} |B|^{p}\\ &\lesssim&\sum\limits_{k = 2}^{\infty}2^{-k(np+p-q_0n)}\sim1, \end{eqnarray*} $

其中倒数第二个不等式利用了$ \omega $的倍测度性质. 这就在情形$ r\geq1 $时验证了$ (3.2) $式.

情形2   $ 0<r<1 $. 我们考虑两个子情形: $ (2^k-2)r\geq1 $和$ 0<(2^k-2)r<1 $来处理情形2.

子情形1  $ (2^k-2)r\geq1 $. 对任意的$ x\in2^{k+1}B\backslash2^kB $以及$ y\in B $, 其中$ k = 2, 3, \cdots $. 因为对某个$ \theta\in(0, 1) $有$ |x-y-\theta(x_0-y)|\geq(2^k-2)r\geq1 $, 利用$ (2.2) $式且取$ N = n+1 $, 以及利用定义2.1(3), 我们得到

$ \begin{eqnarray*} |T_\sigma a(x)|&\leq&\int_{B}|K(x, y)-K(x, x_0)||a(y)|{\rm d}y\\ &\lesssim&\int_B\frac{|x_0-y|}{|x-y-\theta(x_0-y)|^{n+1}}|a(y)|{\rm d}y\\ &\lesssim&\int_B\frac{r}{|x-x_0|^{1+n}}|a(y)|{\rm d}y\\ &\leq&\frac{1}{2^{k(1+n)}r^n}\int_B|a(y)|{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

子情形2   $ 0<(2^k-2)r<1 $. 对任意的$ x\in2^{k+1}B\backslash2^kB $以及$ y\in B $, 其中$ k = 2, 3, \cdots $. 观察到$ |x-y-\theta(x_0-y)|^{-(1+m+n)/\rho}\leq|(2^k-2)r|^{-n-1} $. 因为$ 1+m+n>0 $, 所以利用$ (2.1) $式且取$ M = 1 $, 对某个$ \theta\in(0, 1) $, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} |T_\sigma a(x)|&\leq&\int_{B}|K(x, y)-K(x, x_0)||a(y)|{\rm d}y\\ &\lesssim&\int_B\frac{|x_0-y|}{|x-y-\theta(x_0-y)|^{(m+n+1)/\rho}}|a(y)|{\rm d}y\\ &\lesssim&\int_B\frac{r}{|(2^k-2)r|^{1+n}}|a(y)|{\rm d}y\\ &\lesssim&\frac{1}{2^{k(1+n)}r^n}\int_B|a(y)|{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

因此, 对于$ 0<r<1 $, 综上可知

$ |T_\sigma a(x)|\lesssim\frac{1}{2^{k(n+1)}r^n}\int_B|a(y)|{\rm d}y. $

于是由$ \omega $的倍测度性质, 以及利用对某个$ q_0\in(1, p(n+1)/n) $有$ \omega\in A_{q_0} $, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \int_{(4B)^c}|T_\sigma a(x)|^p\omega(x){\rm d}x &\lesssim&\Big(\sum\limits_{k = 2}^\infty\int_{2^{k+1}B\backslash2^kB}\frac{\omega(x)} {2^{kp(n+1)}|B|^p}{\rm d}x\Big)\Big(\int_B|a(y)|{\rm d}y\Big)^p\\ &\lesssim&\Big(\sum\limits_{k = 2}^\infty\frac{1} {2^{k(pn+p-q_0n)}}\Big)|B|^{-p}\omega(B)|B|^p\omega(B)^{-1}\sim1. \end{eqnarray*} $

这就证明了断言$ (3.2) $, 再结合(3.1) 式, 可得

$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}|T_\sigma a(x)|^p\omega(x){\rm d}x\lesssim1. $

这就完成了证明.

本节我们将证明定理1.2.

证   固定$ \phi\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^n) $且$ \int_{{{\Bbb R}} ^n}\phi(x){\rm d}x\neq0 $. 同样由引理2.1, 只要证明对任意的$ (p, q, 0)_\omega $ -原子$ a $, 其中$ q>q_\omega $, 存在常数$ C>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} \|M_\phi(T_\sigma a)\|_{L^p(\omega)}\leq C. \end{eqnarray*} $

同样假设$ a $支在$ B: = B(x_0, r) $. 注意到

$ \begin{eqnarray*} \|M_\phi(T_\sigma a)\|_{L^p(\omega)}^p& = &\int_{|x-x_0|\leq4r}|M_\phi(T_\sigma a)(x)|^p\omega(x){\rm d}x+ \int_{|x-x_0|>4r}|M_\phi(T_\sigma a)(x)|^p\omega(x){\rm d}x\\ & = &:I_1+I_2. \end{eqnarray*} $

首先处理$ I_1 $, 由Hölder不等式, $ M_\phi $的$ L^q(\omega) $有界性以及引理2.3, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} I_1&\leq&\Big(\int_{4B}|M_\phi(T_\sigma a)(x)|^q\omega(x){\rm d}x\Big)^{p/q}\Big(\int_{4B}\omega(x){\rm d}x\Big)^{1-p/q}\\ &\lesssim&\|a\|_{L^q(\omega)}^p\omega(4B)^{1-p/q}\lesssim1. \end{eqnarray*} $

接下来考虑$ I_2 $. 对任意的$ t>0 $, 因为$ |x-x_0|>4r $, 利用假设$ T_\sigma^\ast1 = 0 $, 将$ T_\sigma a\ast\phi_t $分解成如下三项

$ \begin{eqnarray*} |T_\sigma a\ast\phi_t(x)|& = &\frac{1}{t^n}\Big|\int_{{{\Bbb R}} ^n}T_\sigma a(y)\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big){\rm d}y\Big|\\ & = &\frac{1}{t^n}\Big|\int_{{{\Bbb R}} ^n}T_\sigma a(y)\Big(\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big)- \phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big){\rm d}y\Big|\\ &\leq&\frac{1}{t^n}\int_{|x_0-y|<2r}|T_\sigma a(y)|\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big)- \phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &&+\frac{1}{t^n}\int_{2r\leq|x_0-y|<|x-x_0|/2}|T_\sigma a(y)|\Big| \phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big)-\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &&+\frac{1}{t^n}\int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}|T_\sigma a(y)|\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t} \Big)-\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ & = &:L_1+L_2+L_3. \end{eqnarray*} $

对于$ L_1 $, 注意到对于$ \lambda\in(0, 1) $, 有$ |x-x_0+\lambda(x_0-y)|>|x-x_0|/2 $和

$ \begin{eqnarray*} \frac{|(x-x_0)+\lambda(x_0-y)|^{n+1}}{t^{n+1}}\Big|\nabla\phi\Big(\frac{x-x_0+\lambda(x_0-y)}{t} \Big)\Big|\lesssim1. \end{eqnarray*} $

根据$ \omega\in A_q $的定义, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \Big(\int_{2B}\omega^{-q'/q}\Big)^{1/q'}\lesssim\omega(B)^{-1/q}|B|. \end{eqnarray*} $

则利用中值定理, Hölder不等式, 定义$ 2.1 $$ (2) $以及引理2.3, 我们推出

$ \begin{eqnarray*} L_1&\leq&\frac{1}{t^n}\int_{|x_0-y|<2r}|T_\sigma a(y)|\frac{|y-x_0|}{t}\Big|\nabla\phi \Big(\frac{x-x_0+\lambda(x_0-y)}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &\lesssim&\frac{r}{|x-x_0|^{n+1}}\int_{|x_0-y|<2r}|T_\sigma a(y)|{\rm d}y\\ &\leq&\frac{r}{|x-x_0|^{n+1}}\|T_\sigma a\|_{L^q(\omega)}\Big(\int_{2B}\omega^{-q'/q}\Big)^{1/q'}\\ &\lesssim&\frac{r}{|x-x_0|^{n+1}}\|a\|_{L^q(\omega)}\omega(B)^{-1/q}|B|\\ &\lesssim&\frac{r^{n+1}}{|x-x_0|^{n+1}}\omega(B)^{-1/p}. \end{eqnarray*} $

因此, 对某个$ 1<q_0<\frac{\mu p}{n} $, 利用$ \omega\in A_{q_0} $, $ \omega(2^{k+1}B)\lesssim2^{knq_0}\omega(B) $和$ \mu<n+1 $, 有

(4.1) $ \begin{eqnarray} \int_{|x-x_0|>4r}\sup\limits_{t>0}|L_1|^p\omega(x){\rm d}x&\lesssim&\Big(\int_{|x-x_0|>4r}\frac{r^{(n+1)p}\omega(x)} {|x-x_0|^{(n+1)p}}{\rm d}x\Big)\omega(B)^{-1}\\ &\lesssim&\Big(\sum\limits_{k = 2}^{\infty}\int_{|x-x_0|\leq2^{k+1}r}\frac{\omega(x)}{2^{kp(n+1)}}{\rm d}x\Big) \omega(B)^{-1}\\ &\lesssim&\sum\limits_{k = 2}^{\infty}2^{k(q_0n-(n+1)p)}\sim1. \end{eqnarray} $

现在来处理$ L_2 $. 对于$ y\in(2B)^c $, 首先估计$ T_\sigma a(y) $, 分两种情形考虑: $ r\geq1 $和$ 0<r<1 $.

情形1   $ r\geq1 $. 对$ z\in B $有$ |y-z|\geq r\geq1 $. 由$ (2.2) $式有

(4.2) $ \begin{eqnarray} |T_\sigma a(y)|\leq\int_{B}|K(y, z)||a(z)|{\rm d}z \leq\int_{B}\frac{r}{|y-z|^{n+1}}|a(z)|{\rm d}z\sim\frac{r}{|y-x_0|^{n+1}}\int_{B}|a(z)|{\rm d}z. \end{eqnarray} $

对于$ x\geq1 $和$ \alpha>0 $, 由中值定理以及$ \ln x\leq\alpha^{-1}x^\alpha $, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} L_2&\lesssim&\frac{\int_{B}|a(z)|{\rm d}z}{t^{n+1}}\int_{2r\leq|y-x_0|\leq|x-x_0|/2} \frac{r}{|x_0-y|^{n}}\Big|\nabla\phi\Big(\frac{(x-x_0)+\lambda(x_0-y)}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &\lesssim&\frac{r}{|x_0-x|^{n+1}}\int_{2r\leq|y-x_0|\leq|x-x_0|/2}\frac{1}{|x_0-y|^n}{\rm d}y \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ & = &\frac{r}{|x_0-x|^{n+1}}\ln\Big(\frac{|x-x_0|}{4r}\Big)\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &\lesssim&\frac{r}{|x_0-x|^{n+1}}\Big(\frac{|x-x_0|}{4r}\Big)^{n+1-\mu}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &\sim&\frac{r^\mu}{|x_0-x|^{\mu}}\int_{B}|a(z)|{\rm d}z, \end{eqnarray*} $

其中$ \mu = (m+n+1)/\rho $.

情形2   $ 0<r<1 $. 因为$ \int_Ba(z){\rm d}z = 0 $以及$ y\in(2B)^c $时$ r^{1-\frac{1+m+n}{\rho}}\leq r^{-n} $, 我们有

(4.3) $ \begin{eqnarray} |T_\sigma a(y)|&\leq&\int_{B}|K(y, z)-K(y, x_0)||a(z)|{\rm d}z\\ &\lesssim&\int_{B}\frac{|z-x_0|}{|y-x_0|^{(m+n+1)/\rho}}|a(z)|{\rm d}z\\ &\leq&\frac{r}{|y-x_0|^{(m+n+1)/\rho}}\int_{B}|a(z)|{\rm d}z. \end{eqnarray} $

于是

$ \begin{eqnarray*} L_2&\lesssim&\int_{2r\leq|y-x_0|<|x-x_0|/2}\frac{r}{|y-x_0| ^{(m+n+1)/\rho-1}}\Big|\nabla\phi\Big(\frac{(x-x_0)+\lambda(x_0-y)}{t}\Big)\Big|{\rm d}y \frac{\int_{B}|a(z)|{\rm d}z}{t^{n+1}}\\ &\lesssim&\frac{r}{|x-x_0|^{n+1}}\Big(\int_{2r\leq|y-x_0|<|x-x_0|/2} \frac{1}{|y-x_0|^{(1+m+n)/\rho-1}}{\rm d}y\Big)\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). \end{eqnarray*} $

因为$ (1+m+n)/\rho<n+1 $, 利用$ r<r^{\mu-n} $和球坐标公式可得

$ \begin{eqnarray*} L_2&\lesssim&\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{n+1}}\frac{1}{|x-x_0|^{\mu-n-1}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) = \frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). \end{eqnarray*} $

即两种情形: $ r\geq1 $与$ 0<r<1 $均有

$ \begin{eqnarray*} L_2\lesssim\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). \end{eqnarray*} $

由此, 以及对某个$ 1<q_0<\mu p/n $, $ \omega\in A_{q_0} $, 我们推出

(4.4) $ \begin{eqnarray} \int_{|x-x_0|>4r}\sup\limits_{t>0}|L_2|^p\omega(x){\rm d}x &\lesssim&\Big(\int_{|x-x_0|>4r}\frac{r^{p(\mu-n)}}{|x-x_0|^{\mu p}}\omega(x){\rm d}x\Big) \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)^p\\ &\leq&\Big(\sum\limits_{k = 2}^{\infty}\int_{2^kr<|x-x_0|\leq2^{k+1}r} \frac{\omega(x)}{2^{kp\mu}}{\rm d}x\Big)|B|^{-p}\omega(B)^{-1}|B|^p\\ &\lesssim&\sum\limits_{k = 2}^{\infty}2^{k(q_0n-\mu p)}\sim1. \end{eqnarray} $

最后来处理$ L_3 $. 观察到

$ \frac{1}{t^n}\Big|\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|\lesssim\frac{1}{|x-x_0|^n}. $

我们同样考虑两种情形来处理$ L_3 $: $ r\geq1 $与$ 0<r<1 $.

情形3  $ r\geq1 $. 回忆到$ \phi_t\in L^1({{\Bbb R}} ^n) $以及注意到$ n<\mu<n+1 $, 由$ (2.2) $式和$ r/|x-x_0|\leq1 $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} L_3&\lesssim&\frac{1}{t^n}\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2}\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big) -\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|\frac{r}{|y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &\lesssim&\frac{1}{t^n}\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2}\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big)\Big| \frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}{\rm d}y\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &&+\frac{1}{t^n}\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2}\Big|\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big| \frac{r}{|y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &\lesssim&\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2}\frac{r}{|x-x_0|^n|y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) +\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). \end{eqnarray*} $

因为

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2}\frac{r}{|x-x_0|^n|y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ & = &\frac{r}{|x-x_0|^n}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\int_{|y-x_0|>|x-x_0|/2} \frac{1}{|y-x_0|^{n+1}}{\rm d}y\\ &\sim&\frac{r}{|x-x_0|^{n+1}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\leq\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}} \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big), \end{eqnarray*} $

我们得到

$ L_3\lesssim\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). $

情形4   $ 0<r<1 $. 由$ \phi_t\in L^1({{\Bbb R}} ^n) $以及$ \frac{1}{t^n}|\phi(\frac{x-x_0}{t})|\lesssim\frac{1}{|x-x_0|^n} $, 我们推出

$ \begin{eqnarray*} L_3&\lesssim&\frac{1}{t^n}\int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big) -\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|\frac{r}{|x_0-y|^{(1+m+n)/\rho}}{\rm d}y \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &\lesssim&\frac{1}{t^n}\frac{r}{|x-x_0|^{(1+m+n)/\rho}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) \int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\Big|\phi\Big(\frac{x-y}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &&+\frac{1}{t^n}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) \int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\frac{r}{|y-x_0|^{(1+m+n)/\rho}} \Big|\phi\Big(\frac{x-x_0}{t}\Big)\Big|{\rm d}y\\ &\lesssim&\frac{r}{|x-x_0|^n}\frac{1}{|x-x_0|^{(1+m+n)/\rho-n}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\\ &&+\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) \int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\frac{r}{|y-x_0|^{(1+m+n)/\rho}}\frac{1}{|x-x_0|^n}{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

利用$ (2.1) $式和球坐标公式, 可以推出

$ \begin{eqnarray*} & &\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) \int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\frac{r}{|y-x_0|^{(1+m+n)/\rho}}\frac{1}{|x-x_0|^n}{\rm d}y\\ & = &\frac{r}{|x-x_0|^n}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big) \int_{|x_0-y|\geq|x-x_0|/2}\frac{1}{|y-x_0|^{(1+m+n)/\rho}}{\rm d}y\\ & \sim&\frac{r}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big)\leq\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}} \Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). \end{eqnarray*} $

我们也得到

$ L_3\lesssim\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). $

综合上述两种情形可知

$ L_3\lesssim\frac{r^{\mu-n}}{|x-x_0|^{\mu}}\Big(\int_{B}|a(z)|{\rm d}z\Big). $

类似于$ (4.4) $式的估计, 我们得到

$ \int_{|x-x_0|>4r}\sup\limits_{t>0}|L_3|^p\omega(x){\rm d}x\lesssim1. $

结合$ (4.1) $和$ (4.4) $式, 我们有

$ I_2 = \int_{|x-x_0|>4r}\Big(\sup\limits_{t}|T_\sigma a\ast\phi_t(x)|\Big)^p\omega(x){\rm d}x\lesssim1. $

因此, 结合$ I_1\lesssim1 $, 就得到了所需要的结果.