本文研究拟微分算子$T_\sigma$在加权Hardy空间$H^p(\omega)$上的有界性. 首先回顾一下相关的定义和研究背景.

定义1.1   设$m\in{{\Bbb R}}$, $\rho, \delta\in[0, 1]$, 符号函数$\sigma(x, \xi)$定义在${{\Bbb R}} ^n\times{{\Bbb R}} ^n$上, 称$\sigma(x, \xi)$属于Hörmander类$S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n)$, 若对每个多重指标$\alpha, \beta\in{\Bbb N}^n$, 存在常数$C>0$使得

定义1.2   给定符号函数$\sigma$和$f\in C_c^\infty({{\Bbb R}} ^n)$, 拟微分算子$T_\sigma$定义为

其中$\hat{f}$为$f$的傅里叶变换.

众所周知, 拟微分算子在偏微分方程, 量子场, 指标理论和调和分析理论研究中起着重要作用, 可参看文献[2, 12, 15-16, 18]等. 拟微分算子在函数空间的有界性研究是调和分析理论的一个热点问题之一. 早在1973年, Feffermn^[12] 就研究了其在$L^p$空间的有界性. 随后, 相应的加权$L^p$估计也被考虑, 如: 当$\omega\in A_{p/2} (2\leq p<\infty)$, $\sigma\in S_{\rho, \delta}^{-n(1-\rho)/2}({{\Bbb R}} ^n)$且$0<\delta<\rho<1$时, Chanillo和Torchinsky^[7]首先证明了$T_\sigma$是$L^p(\omega)$有界的; Michalowski, Rule和Staubach^[19] 则考虑了$\rho = \delta$的情形, 并在文献[20] 中进一步证明了当$0\leq\delta<1$, $0<\rho\leq1$, $\sigma\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n)$且$m<-n(1-\rho)$时, $T_\sigma$是$L^p(\omega)$有界的, 其中$\omega\in A_p$. 更多关于$T_\sigma$加权$L^p$有界性的工作, 可参看文献[3-4, 6]及其参考文献.

另一方面, 当$p\in(0, 1]$时, Hardy空间作为$L^p({{\Bbb R}} ^n)$的替代空间, 吸引了大批数学家的关注. Stein, Weiss, Coifman和Fefferman^{[8-10, 13]} 首次对实Hardy空间进行了系统的研究. 紧接着, García-Cuerra^[14] 引进了加权Hardy空间, Strömberg和Torchinsky^[21] 则进一步系统地研究了加权Hardy空间. 拟微分算子在Hardy空间上的有界性则是Alvarez和Hounie^[1] 首次建立, 准确的说, 当$\sigma\in S_{\rho, \delta}^{m}$且$0<\rho\leq1$, $0\leq\delta<1$和$m\leq-n(1-\rho)/2+\min\{0, n(\rho-\delta)/2\}$时, $T_\sigma$是从$H^1({{\Bbb R}} ^n)$到$L^1({{\Bbb R}} ^n)$有界的. Yabuta^[23] 还有Deng等人^[11] 将前面的结果推广到了$H^1(\omega)$. Hournie和Kapp^[17] 证明了当$\sigma\in S_{\rho, \delta}^{m}$时, $T_\sigma$是局部Hardy空间$h^1({{\Bbb R}} ^n)$到$L^1({{\Bbb R}} ^n)$的, 其中$0\leq\delta\leq\rho<1$, 该结果同样推广了文献[1]中的结果. 在2012年, Xiao, Jiang和Gao^[22] 将文献[17] 中结果推广到了双线性情形.

本文将建立如下主要结果.

定理1.1   令$n/(n+1)<p\leq1$和$\sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n)$, 其中$\rho\in(0, 1]$, $\delta\in[0, 1)$. 若$-(n+1)<m\leq-(n+1)(1-\rho)$以及$\omega\in A_{p(n+1)/n}$, 则存在常数$C>0$使得

注1.1   在文献[23]中, Yabuta建立了$T_\sigma$在$H^1(\omega)$上的有界性, 其中$\sigma\in S_{1, \delta}^{0}$以及$\omega\in A_1$. 另外在文献[11]中, Deng等人在假设$\sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n)$时也得到了同样的结论, 其中$\rho\in(0, 1]$, $\delta\in[0, 1)$, $-(n+1)<m\leq-(n+1)(1-\rho)$以及$\omega\in A_{p}$且$p\in[1, 1+\epsilon/n)$, $\epsilon = \min\{1, (1+m+n)/\rho\}$. 从定理1.1的条件可以看到, 我们得到了比文献[23] 更好的$\rho, m$范围, 以及比文献[11, 23]更弱的权条件. 所以, 定理1.1可看作已有的结果改进; 同时, 当$p<1$时, 相应的结论是新的.

在给出下一个结论前, 先给出$T_\sigma^\ast1 = 0$的定义.

定义1.3   令$\sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n)$, 其中$\rho\in(0, 1]$, $\delta\in[0, 1)$以及$T_\sigma$是拟微分算子. 称$T_\sigma^\ast1 = 0$若对所有具有紧支集的$f\in L^q({{\Bbb R}} ^n) (1<q\leq\infty)$且满足$\int_{{{\Bbb R}} ^n}f(x){\rm d}x = 0$的函数均有$\int_{{{\Bbb R}} ^n}T_\sigma f(x){\rm d}x = 0$成立.

定理1.2   设$\sigma\in S_{\rho, \delta}^m({{\Bbb R}} ^n)$, 其中$\rho\in(0, 1]$, $\delta\in[0, 1)$. 假设$\rho n-(n+1)<m<-(n+1)(1-\rho)$和$T_\sigma^\ast1 = 0$. 若$\omega\in A_{p\mu/n}$且$\mu = (1+n+m)/\rho$, 则对$n/\mu<p\leq1$, 存在常数$C>0$使得

下文组织如下: 在第2节我们给出一些相关的定义和辅助引理. 定理1.1和定理1.2的证明分别在第3节和第4节给出.

最后我们给出一些记号说明. 若$f\leq Cg$和$f\lesssim g \lesssim f$, 则分别记为$f\lesssim g$, $f\thicksim g$. 设$\omega\in A_\infty$, 记$q_\omega: = \inf\{p\in[1, \infty):\omega\in A_p\}$. 对任意的球$B: = B(x_0, r)\subset {{\Bbb R}} ^n$, $x_0$和$r$分别表示球$B$的中心和半径, $\int_B\omega(y){\rm d}y$简记为$\omega(B)$. ${\cal S}({{\Bbb R}} ^n)$和${\cal S}'({{\Bbb R}} ^n)$分别表示Schwartz函数全体和缓增分布全体. 对$a\in{{\Bbb R}}$, $\lfloor a\rfloor$表示不超过$a$的最大整数.

本小节将给出必要的定义及引理.

权$\omega$是定义在${{\Bbb R}} ^n$上的非负局部可积函数. 设$1<p<\infty$, 称$\omega$属于$A_p$权若存在常数$C$使得

其中$1/p+1/p' = 1$且上确界取遍所有包含在${{\Bbb R}} ^n$中的方体$Q$. 若$p = 1$, 称$\omega\in A_1$若存在常数$C$使得

其中$M$是Hardy-Littlewood极大算子. 若$p = \infty$, 定义$A_\infty: = \bigcup\limits_{1\leq p<\infty}A_p$. 本文经常使用到权的倍测度性质, 即, 对于$\lambda>1$以及任意的球$B$, 若$\omega\in A_{p}$, 则$\omega(\lambda B)\leq \lambda^{np}[\omega]_{A_p}\omega(B)$.

接下来, 我们给出加权Hardy空间的一些事实. 设$\phi\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^n)$且$\int_{{{\Bbb R}} ^n}\phi(x){\rm d}x = 1$, $f\in{\cal S}'({{\Bbb R}} ^n)$, 定义极大函数$M_\phi$为

其中$\phi_t(x) = t^{-n}\phi(x/t)$. 则对$\omega\in A_\infty$和$0<p<\infty$, 加权Hardy空间$H^p(\omega)$定义为

其中拟范$\|f\|_{H^p(\omega)} = \|M_\phi f\|_{L^p(\omega)}$.

定义2.1  设$\omega\in A_\infty$, $0<p\leq1, \, q\in(q_\omega, \infty]$以及$s\in {\Bbb N}$且$s\geq\lfloor (q_\omega/p-1)n\rfloor$. 称定义在${{\Bbb R}} ^n$上的函数$a$是$(p, q, s)_\omega$ - 原子若下面三个条件成立

$(1)$ a支在$B(x_0, r)$;

$(2)$$\|a\|_{L^q(\omega)}\leq\omega(B(x_0, r))^{1/q-1/p}$;

$(3)$对所有满足$|\alpha|\leq s$的多重指标$\alpha$有$\int_{B(x_0, r)}a(x)x^\alpha {\rm d}x = 0$.

Bownik, Li, Yang和Zhou^[5] 给出了下面的引理.

引理2.1^[5]  设$\omega\in A_\infty$, $0<p\leq1$, $s\in{\Bbb N}$且$s\geq\lfloor (q_\omega/p-1)n\rfloor$. 若$q_\omega<q<\infty$且$T:H_{fin}^{p, q, s}(\omega)\rightarrow L^p(\omega) (H^p(\omega))$是线性算子满足

其中$a$是任意的$(p, q, s)_\omega$ -原子, $H_{fin}^{p, q, s}(\omega)$是所有$(p, q, s)_\omega$ -原子的有限线性组合全体. 则存在从$H^p(\omega)$到$L^p(\omega) (H^p(\omega))$的有界线性算子$\bar{T}$, 且该延拓是唯一的.

最后给出一些与拟微分算子有关的引理.

引理2.2^[17]   设$\sigma(x, \xi)\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n)$, 其中$0<\rho\leq1$, $0\leq\delta<1$. 则$T_\sigma$的核在远离对角线$\{(x, x):x\in{{\Bbb R}} ^n\}$时是光滑的且可以表示为

其中$\psi\in C_c^\infty({{\Bbb R}} ^n)$且当$|\xi| = 1$时满足$\psi(\xi) = 1$, 上述极限是在$S'({{\Bbb R}} ^n)$意义上且与$\psi$的选择无关. 若$M\in{\Bbb N}$和$M+m+n>0$, 则$K(x, y)$满足如下估计

而且, 对每个多重指标$\alpha, \beta\in {\Bbb N}^n$和$N\in{\Bbb N}$有,

引理2.3^[20]  设$\sigma(x, \xi)\in S_{\rho, \delta}^{m}({{\Bbb R}} ^n)$, 其中$0<\rho\leq1$, $0\leq\delta<1$以及$m<-n(1-\rho)$. 则对每个$p>1$和$\omega\in A_p$, 存在常数$C>0$使得

本节我们将证明定理1.1.

证   因为$\omega\in A_{p(n+1)/n}$, 则$q_\omega<p(n+1)/n$. 于是由引理2.1, 我们只要证明对于任意的支在$B: = B(x_0, r)$的$(p, q, 0)_\omega$ -原子$a$, 其中$q>q_\omega$, 存在常数$C>0$使得$\|T_\sigma a\|_{L^p(\omega)}\leq C$.

应用Hölder不等式, 引理2.3以及利用$\|a\|_{L^q(\omega)}\leq[\omega(B)]^{1/q-1/p}$, 我们得到

另一方面, 我们断言

我们分两种情况来证明断言: $r\geq1$和$0<r<1$.

情形1  $r\geq1$. 对任意的$x\in2^{k+1}B\backslash2^kB$和$y\in B$, 其中$k = 2, 3, \cdots$, 容易看出

因此利用$(2.2)$式可得

因为对某个$q_0\in(1, p(n+1)/n)$有$\omega\in A_{q_0}$, 则由$A_{q_0}$的定义可得

再由$(3.3)$式和$q_0<p(n+1)/n$可得

其中倒数第二个不等式利用了$\omega$的倍测度性质. 这就在情形$r\geq1$时验证了$(3.2)$式.

情形2   $0<r<1$. 我们考虑两个子情形: $(2^k-2)r\geq1$和$0<(2^k-2)r<1$来处理情形2.

子情形1  $(2^k-2)r\geq1$. 对任意的$x\in2^{k+1}B\backslash2^kB$以及$y\in B$, 其中$k = 2, 3, \cdots$. 因为对某个$\theta\in(0, 1)$有$|x-y-\theta(x_0-y)|\geq(2^k-2)r\geq1$, 利用$(2.2)$式且取$N = n+1$, 以及利用定义2.1(3), 我们得到

子情形2   $0<(2^k-2)r<1$. 对任意的$x\in2^{k+1}B\backslash2^kB$以及$y\in B$, 其中$k = 2, 3, \cdots$. 观察到$|x-y-\theta(x_0-y)|^{-(1+m+n)/\rho}\leq|(2^k-2)r|^{-n-1}$. 因为$1+m+n>0$, 所以利用$(2.1)$式且取$M = 1$, 对某个$\theta\in(0, 1)$, 我们得到

因此, 对于$0<r<1$, 综上可知

于是由$\omega$的倍测度性质, 以及利用对某个$q_0\in(1, p(n+1)/n)$有$\omega\in A_{q_0}$, 我们得到

这就证明了断言$(3.2)$, 再结合(3.1) 式, 可得

这就完成了证明.

本节我们将证明定理1.2.

证   固定$\phi\in{\cal S}({{\Bbb R}} ^n)$且$\int_{{{\Bbb R}} ^n}\phi(x){\rm d}x\neq0$. 同样由引理2.1, 只要证明对任意的$(p, q, 0)_\omega$ -原子$a$, 其中$q>q_\omega$, 存在常数$C>0$使得

同样假设$a$支在$B: = B(x_0, r)$. 注意到

首先处理$I_1$, 由Hölder不等式, $M_\phi$的$L^q(\omega)$有界性以及引理2.3, 我们得到

接下来考虑$I_2$. 对任意的$t>0$, 因为$|x-x_0|>4r$, 利用假设$T_\sigma^\ast1 = 0$, 将$T_\sigma a\ast\phi_t$分解成如下三项

对于$L_1$, 注意到对于$\lambda\in(0, 1)$, 有$|x-x_0+\lambda(x_0-y)|>|x-x_0|/2$和

根据$\omega\in A_q$的定义, 我们有

则利用中值定理, Hölder不等式, 定义$2.1$$(2)$以及引理2.3, 我们推出

因此, 对某个$1<q_0<\frac{\mu p}{n}$, 利用$\omega\in A_{q_0}$, $\omega(2^{k+1}B)\lesssim2^{knq_0}\omega(B)$和$\mu<n+1$, 有

现在来处理$L_2$. 对于$y\in(2B)^c$, 首先估计$T_\sigma a(y)$, 分两种情形考虑: $r\geq1$和$0<r<1$.

情形1   $r\geq1$. 对$z\in B$有$|y-z|\geq r\geq1$. 由$(2.2)$式有

对于$x\geq1$和$\alpha>0$, 由中值定理以及$\ln x\leq\alpha^{-1}x^\alpha$, 我们得到

其中$\mu = (m+n+1)/\rho$.

情形2   $0<r<1$. 因为$\int_Ba(z){\rm d}z = 0$以及$y\in(2B)^c$时$r^{1-\frac{1+m+n}{\rho}}\leq r^{-n}$, 我们有

于是

因为$(1+m+n)/\rho<n+1$, 利用$r<r^{\mu-n}$和球坐标公式可得

即两种情形: $r\geq1$与$0<r<1$均有

由此, 以及对某个$1<q_0<\mu p/n$, $\omega\in A_{q_0}$, 我们推出

最后来处理$L_3$. 观察到

我们同样考虑两种情形来处理$L_3$: $r\geq1$与$0<r<1$.

情形3  $r\geq1$. 回忆到$\phi_t\in L^1({{\Bbb R}} ^n)$以及注意到$n<\mu<n+1$, 由$(2.2)$式和$r/|x-x_0|\leq1$, 我们有

因为

我们得到

情形4   $0<r<1$. 由$\phi_t\in L^1({{\Bbb R}} ^n)$以及$\frac{1}{t^n}|\phi(\frac{x-x_0}{t})|\lesssim\frac{1}{|x-x_0|^n}$, 我们推出

利用$(2.1)$式和球坐标公式, 可以推出

我们也得到

综合上述两种情形可知

类似于$(4.4)$式的估计, 我们得到

结合$(4.1)$和$(4.4)$式, 我们有

因此, 结合$I_1\lesssim1$, 就得到了所需要的结果.