积分几何又称几何概率, 起源于1977年的Buffon投针问题. 其中的度量就是积分, 1869年Crofton找到这些积分之间的巧妙关系; 1896年, Poincaré 高瞻远瞩, 引入运动密度的观念, 把积分几何建立在李群的基础上; 1935–1939年间, Blaschke及其学派以Integral Geometry为总标题的一系列文章的主要根源在于几何概率, 目的是考虑能否将概率的思想有效地应用在几何方面, 特别是凸体理论和大范围微分几何上, 这标志着积分几何作为一门独立的数学分支产生; 1940年前后, 陈省身先生和Weil将局部紧群上不变测度引入积分几何, 从而形成齐性空间积分几何, 使积分几何的内容和结果更加丰富完美. 到目前为止积分几何已发展为现代数学的一个重要而活跃的学科.

积分几何研究的基本对象是几何元素的集合, 如点偶、直线、带域、线性子空间等. 一方面, 我们关注这些几何元素集在某种变换群上不变的几何测度; 另一方面我们关注这些几何元素的的几何不变量, 如体积、曲率、表面积等之间的关系. 通常这些几何不变量会满足一些等式或不等式关系, 称之为几何等式或不等式. 几何不等式自上世纪50年代以来已成为几何中非常重要的分支, 与其他数学分支密切相关, 应用非常广泛.

经典的等周不等式或许是最古老的几何不等式之一: 欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^{2} $中周长固定的域中圆围成的面积最大. 其数学表达如下(参见文献[1-4]).

命题1.1   设$ D $为欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^{2} $中周长为$ L $面积为$ A $的域, 则

$ L^2-4\pi A\ge 0, $

其中等号成立的充分必要条件是$ D $为圆.

域$ D $的等周亏格定义为

$ \Delta(D) = L^{2}-4\pi A. $

等周亏格刻画了面积为$ A $的平面域$ D $与半径为$ \frac{2\pi}{L} $的圆的偏离程度.

1921年左右, Bonnesen找到了如下一系列不等式(称之为Bonnesen型不等式)

(1.1) $ \begin{equation} \Delta(D)\geq B_{D}, \end{equation} $

这里$ B_{D} $是具有下列性质的几何不变量

(1) $ B_{D} $为非负的;

(2) $ B_{D} = 0 $当且仅当$ K $为圆盘.

最经典的Bonnesen型不等式是下列不等式(参见文献[2, 4]).

命题1.2   欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^2 $中面积为$ A $周长为$ L $的域$ D $满足不等式

(1.2) $ \begin{equation} L^2-4\pi A\ge\pi^2(r_e-r_i)^2, \end{equation} $

其中$ r_i $及$ r_e $分别为$ D $的最大内切圆半径及最小外接圆半径, 等号成立当且仅当$ D $为圆盘.

近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13].

命题1.3   设$ D $是面积为$ A $的平面区域, 边界$ \partial K $是长度为$ L $的简单闭曲线满足不等式

$ \begin{eqnarray*} && L^2-4\pi A \geq\pi^2(R-r)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq (L-2\pi r)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq \left(L-\frac{2A}t\right)^2; \\ &&L^2-4\pi A \geq \left(\frac At-\pi t\right)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq A^2\left(\frac1{r}-\frac1{R}\right)^2;\\ &&L^2-4\pi A \ge L^2\left(\frac{R-r}{R+r}\right)^2; \end{eqnarray*} $

其中$ r_i $及$ r_e $分别为$ D $的最大内切球半径和最小外接球半径, $ r_i\le t\le r_e $, 每个等号成立当且仅当$ D $为圆盘.

关于$ {{\Bbb R}} ^{3} $中凸体$ K $的Bonnesen型不等式, 根据张高勇在文献[11] 中关于凸体的混合体积的不等式可得到体积为$ V, $表面积为$ A $的凸体$ K $的Bonnesen型等周不等式为

(1.3) $ \begin{eqnarray} A^{3}-36\pi V^{2}\geq 36\pi\big(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{\frac{4\pi}{3}}r\big)^{6}, \end{eqnarray} $

其中$ r $为$ K $中最大内切球半径, 等号成立当且仅当$ K $为球.

从经典的等周问题出发, 衍生出更多与多边形或多面体有关的等周问题, 我们将其称之为等周问题的离散情形. 如考虑欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^{3} $中, 当多面体为四面体时, Sturm于1884年给出四面体的等周不等式的证明^[15]. 但由于四面体本身的复杂性和局限性, 目前关于四面体的一系列几何不等式如Bonnesen型不等式、逆Bonnesen型不等式少之甚少. 受张高勇获得的(1.4)式启发, 我们猜测四面体或许存在如下形式的Bonnesen型等周不等式

(1.4) $ \begin{equation} A^{3}-27k V^{2}\geq 27k\big(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r\big)^{6}. \end{equation} $

并且我们考虑能否简化$ {{\Bbb R}} ^{3} $中四面体的等周不等式的证明. 在本文中, 第2部分我们将给出$ {{\Bbb R}} ^{3} $中较R.Sturm更为简洁的四面体的等周不等式的证明方法, 进一步地, 获得四面体的几个新的Bonnesen型不等式, 包括(1.2)式; 第3部分, 将研究$ {{\Bbb R}} ^{3} $中四面体的逆Bonnesen型不等式.

在$ {{\Bbb R}} ^{3} $中表面积为$ A $的四面体$ D $, 设其内切球半径为$ R $, 外接球半径为$ r $. 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系$ r = \frac{3A}{V} $, 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]).

引理2.1   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V, $表面积为$ A $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r, R $的四面体, 则

$ 3kr^{2}\leq A;\ \ kr^{3}\leq V\leq\frac{kR^{3}}{27}, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.1   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $, 表面积为$ A $, 内切球半径为$ r $的四面体, 则有如下不等式成立

$ A^{3}-27kV^{2}\geq A^{2}(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2}, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证   由于$ r = \frac{3V}{A} $, 则

$ A^{3}-27kV^{2} = A^{2}(A-3k(\frac{3V}{A})^{2}) = A^{2}(A-3kr^{2}). $

根据引理2.1以及$ a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2} $ (其中$ a\geq b>0 $), 可得

$ A-3kr^{2} = (\sqrt{A})^{2}-(\sqrt{3k}r)^{2}\geq(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2}. $

因为$ a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2} $ (其中$ a\geq b>0 $)中等号成立当且仅当$ a = b $ (参见文献[17]), 因此

$ A^{3}-27kV^{2}\geq A^{2}(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2}, $

等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

推论2.1   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $表面积为$ A $的四面体, 则

$ A^{3}-27kV^{2}\geq0, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.2   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $, 表面积为$ A $, 内切球半径为$ r $的四面体, 则有如下不等式成立

$ A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2}, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证   由推论2.1可知

$ 0\leq\frac{27kV^{2}}{A^{3}}\leq1;\ \ 0\leq\frac{A^{3}-27kV^{2}}{A^{3}}\leq1, $

所以

$ \frac{27kV^{2}(A^{3}-27kV^{2})}{A^{6}}\leq1. $

因此

$ A^{3}-27kV^{2}\geq\frac{27kV^{2}(A^{3}-27kV^{2})}{A^{6}}(A^{3}-27kV^{2}) = 3k(\frac{3V}{A})^{2}[A-3k(\frac{3V}{A})^{2}]^{2}. $

又因$ r = \frac{3V}{A} $, 则

$ 3k(\frac{3V}{A})^{2}[A-3k(\frac{3V}{A})^{2}]^{2} = 3k[3V-3k(\frac{3V}{A})^{3}]^{2} = 27k(V-kr^{3})^{2}, $

所以

$ A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2}, $

等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.3   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $, 表面积为$ A $, 内切球半径为$ r $的四面体, 则有如下不等式成立

$ A^{3}-27kV^{2}\geq27k(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{6}, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证   由定理2.2

$ A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2}, $

又根据引理2.1以及$ a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3} $ (其中$ a\geq b>0 $), 可得

$ V-kr^{3} = (\sqrt[3]{V})^{3}-(\sqrt[3]{k}r)^{3}\geq(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{3}. $

因为$ a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3} $ (其中$ a\geq b>0 $) 中等号成立当且仅当$ a = b $ (参考文献[17]), 由引理2.1可知

$ A^{3}-27kV^{2}\geq27k(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{6}, $

等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

当数学家们在努力寻求那些等周亏格的下界$ B_{D} $时, 另一个自然的问题是: 是否存在几何意义深刻的不变量$ U_{D} $使得

$ \Delta(D) = L^2-4\pi A\leq U_{D}, $

其中$ U_{D} $是具有下列性质的几何不变量: (1) $ U_{D} $是非负的; (2)只有当$ D $是圆盘时$ U = 0 $.

关于等周亏格的研究有很长历史, 但它依然是几何和分析中一个重要问题. 遗憾的是我们还没有发现一般的上界估计, 目前仅有的结果是欧氏平面中极为特殊的卵形域情形. 一般区域及高维等周亏格的上界估计进展缓慢.

1933年, 对于边界至少$ C^2 $光滑的严格凸域$ D $, Bottema提出了以下著名的等周亏格上界估计(参见文献[4, 14]).

命题3.1   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^2 $中的光滑的严格凸域, 且边界$ \partial D $的曲率$ \rho>0 $, 其面积为$ A $, 周长为$ L $. 记$ \rho_m $和$ \rho_M $分别为$ D $的边界$ \partial D $的曲率半径的最小值和最大值, 则

$ L^2-4\pi A\leq\pi^2(\rho_M-\rho_m)^2, $

等号成立当且仅当$ \rho_M = \rho_m $, 即$ D $为圆盘.

1955年Pleijel^[6]得到$ L^2-4\pi A\leq\pi(4-\pi)(\rho_M-\rho_m)^2, $这改进了Bottema的结果.

最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10].

命题3.2   设$ D $是欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^2 $中长度为$ L $, 面积为$ A $的凸域, 记$ r_i $及$ r_e $分别为$ D $的最大内切圆半径和最小外接圆半径, 则有

$ \begin{eqnarray*} && L^{2}-4\pi A \leq 2\pi L (r_e-r_i);\\ &&L^{2}-4\pi A \leq 4\pi^{2}(r^2_e-r^2_i);\\ && L^{2}-4\pi A \leq \frac{\pi L^2}{A}(r^2_e-r^2_i); \end{eqnarray*} $

其中等号成立当且仅当$ D $为圆.

类似于一般凸体等周亏格的定义, 在这里我们定义$ \Delta(K) = A^{3}-27kV^{2}(k = 8\sqrt{3}) $为四面体的等周亏格, 用以比较一般四面体与正四面体的差别程度, 其中$ A $, $ V $分别为四面体的表面积和体积.

由引理2.1与推论2.1及其四面体的性质$ r = \frac{3V}{A} $, 我们可得到如下引理.

引理3.1   设$ D $是$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $, 表面积为$ A $的四面体, 设$ r $，$ R $分别为$ D $的内切球半径与外接球半径, 则有如下不等式成立

$ r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt[3]{\frac{V}{K}}\leq\sqrt[3]{\frac{A}{3k}}\leq\frac{R}{3}, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立同时成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.1   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^{3} $中体积为$ V $, 表面积为$ A $, 内切球半径为$ r $, 外接球半径为$ R $的四面体, 则有如下不等式成立

$ A^{3}-27kV^{2}\leq3kA^{2}[(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}], $

证   由

$ r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt{\frac{A}{3k}}\leq\frac{R}{3}, $

则

$ r^{2} = (\frac{3V}{A})^{2}\leq\frac{A}{3k}\leq(\frac{R}{3})^{2}, $

因此

$ \frac{A}{3k}-(\frac{3V}{A})^{2}\leq(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}, $

即

$ A^{3}-27kV^{2}\leq3kA^{2}[(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}]. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立同时成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.2   设$ D $为$ {{\Bbb R}} ^3 $中体积为$ V $, 表面积为$ A $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r, R $的四面体, 则有如下不等式成立

$ A^{3}-27kV^{2}\leq \frac{kA^{2}}{V}[(\frac{R}{3})^{3}-r^{3}], $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立同时成立当且仅当$ D $为正四面体.

证   由

$ r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt[3]{\frac{V}{k}}\leq\frac{R}{3}, $

则

$ r^{3} = (\frac{3V}{A})^{2}\leq\frac{V}{k}\leq(\frac{R}{3})^{3}, $

因此

$ \frac{V}{k}-(\frac{3V}{A})^{2}\leq(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}, $

即

$ A^{3}-27kV^{2}\leq \frac{kA^{2}}{V}[(\frac{R}{3})^{3}-r^{3}]. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立同时成立当且仅当$ D $为正四面体.