$\mathbb{R}^3$中四面体的Bonnesen型等周不等式

$\mathbb{R}^3$ 中四面体的Bonnesen型等周不等式

曾春娜^,¹, 彭璐^,¹, 马磊^,², 王星星^,³

The Bonnesen-Style Isoperimetric Inequalities of the Tetrahedral in $\mathbb{R}^3$

Zeng Chunna^,¹, Peng Lu^,¹, Ma Lei^,², Wang Xinxin^,³

通讯作者: 王星星, E-mail: m13098792429@163.com

收稿日期: 2020-01-7

基金资助:

国家自然科学基金.  11801048
重庆市自然科学基金.  cstc2020jcyj-msxmX0609
重庆市教育委员会科学技术研究项目.  KJQN201900530
重庆市留学人员创新创业支持计划.  cx2018034
重庆市留学人员创新创业支持计划.  cx2019155
广东省普通高校特色创新项.  2020KTSCX358

Received: 2020-01-7

Fund supported:

the NSFC.  11801048
the NSF of Chongqing.  cstc2020jcyj-msxmX0609
the Technology Research Foundation of Chongqing Educational Committee.  KJQN201900530
the Venture & Innovation Support Program for Chongqing Overseas Returnees.  cx2018034
the Venture & Innovation Support Program for Chongqing Overseas Returnees.  cx2019155
the Characteristic Innovation Project of Guangdong Universities.  2020KTSCX358

作者简介 About authors

曾春娜,E-mail:zengchn@163.com , E-mail：zengchn@163.com

彭璐,E-mail:cqkx95@163.com , E-mail：cqkx95@163.com

马磊,E-mail:maleiyou@163.com , E-mail：maleiyou@163.com

Abstract

This paper mainly studies Bonnesen-type isoperimetric inequalities and reverse Bonnesen-type isoperimetric inequalities of tetrahedron in $\mathbb{R}^3$ . For a given tetrahedron in $\mathbb{R}^3$ , by appling the relations of the surface area, volume, radius of inscribed sphere and radius of circumscribed radius, two important geometric inequalities are constructed, some Bonnesen-type isoperimetric inequalities of tetrahedron are obatainand, and a new simple proof of isoperimetric inequality of tetrahedron is achieved. Furthermore, by using the upper bound estimates of the isoperimetric deficit of tetrahedral, we obtain two reverse Bonnesen-type isoperimetric inequalities of tetrahedron of the expressions radius of inscribed sphere and radius of circumscribed radius.

Keywords： Tetrahedron ; Bonnesen-type isoperimetric inequality ; Reverse Bonnesen-type isoperimetric inequality

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本文引用格式

曾春娜, 彭璐, 马磊, 王星星. $\mathbb{R}^3$ 中四面体的Bonnesen型等周不等式. 数学物理学报[J], 2021, 41(2): 296-302 doi:

Zeng Chunna, Peng Lu, Ma Lei, Wang Xinxin. The Bonnesen-Style Isoperimetric Inequalities of the Tetrahedral in $\mathbb{R}^3$ . Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(2): 296-302 doi:

1 引言

积分几何又称几何概率, 起源于1977年的Buffon投针问题. 其中的度量就是积分, 1869年Crofton找到这些积分之间的巧妙关系; 1896年, Poincaré 高瞻远瞩, 引入运动密度的观念, 把积分几何建立在李群的基础上; 1935–1939年间, Blaschke及其学派以Integral Geometry为总标题的一系列文章的主要根源在于几何概率, 目的是考虑能否将概率的思想有效地应用在几何方面, 特别是凸体理论和大范围微分几何上, 这标志着积分几何作为一门独立的数学分支产生; 1940年前后, 陈省身先生和Weil将局部紧群上不变测度引入积分几何, 从而形成齐性空间积分几何, 使积分几何的内容和结果更加丰富完美. 到目前为止积分几何已发展为现代数学的一个重要而活跃的学科.

积分几何研究的基本对象是几何元素的集合, 如点偶、直线、带域、线性子空间等. 一方面, 我们关注这些几何元素集在某种变换群上不变的几何测度; 另一方面我们关注这些几何元素的的几何不变量, 如体积、曲率、表面积等之间的关系. 通常这些几何不变量会满足一些等式或不等式关系, 称之为几何等式或不等式. 几何不等式自上世纪50年代以来已成为几何中非常重要的分支, 与其他数学分支密切相关, 应用非常广泛.

经典的等周不等式或许是最古老的几何不等式之一: 欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^{2}$ 中周长固定的域中圆围成的面积最大. 其数学表达如下(参见文献[1-4]).

命题1.1 设 $D$ 为欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^{2}$ 中周长为 $L$ 面积为 $A$ 的域, 则

$L^2-4\pi A\ge 0,$

其中等号成立的充分必要条件是 $D$ 为圆.

域 $D$ 的等周亏格定义为

$\Delta(D) = L^{2}-4\pi A.$

等周亏格刻画了面积为 $A$ 的平面域 $D$ 与半径为 $\frac{2\pi}{L}$ 的圆的偏离程度.

1921年左右, Bonnesen找到了如下一系列不等式(称之为Bonnesen型不等式)

$\begin{equation} \Delta(D)\geq B_{D}, \end{equation}$

(1.1)

这里 $B_{D}$ 是具有下列性质的几何不变量

(1) $B_{D}$ 为非负的;

(2) $B_{D} = 0$ 当且仅当 $K$ 为圆盘.

最经典的Bonnesen型不等式是下列不等式(参见文献[2, 4]).

命题1.2 欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^2$ 中面积为 $A$ 周长为 $L$ 的域 $D$ 满足不等式

$\begin{equation} L^2-4\pi A\ge\pi^2(r_e-r_i)^2, \end{equation}$

(1.2)

其中 $r_i$ 及 $r_e$ 分别为 $D$ 的最大内切圆半径及最小外接圆半径, 等号成立当且仅当 $D$ 为圆盘.

近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13].

命题1.3 设 $D$ 是面积为 $A$ 的平面区域, 边界 $\partial K$ 是长度为 $L$ 的简单闭曲线满足不等式

$\begin{eqnarray*} && L^2-4\pi A \geq\pi^2(R-r)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq (L-2\pi r)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq \left(L-\frac{2A}t\right)^2; \\ &&L^2-4\pi A \geq \left(\frac At-\pi t\right)^2;\\ && L^2-4\pi A \geq A^2\left(\frac1{r}-\frac1{R}\right)^2;\\ &&L^2-4\pi A \ge L^2\left(\frac{R-r}{R+r}\right)^2; \end{eqnarray*}$

其中 $r_i$ 及 $r_e$ 分别为 $D$ 的最大内切球半径和最小外接球半径, $r_i\le t\le r_e$ , 每个等号成立当且仅当 $D$ 为圆盘.

关于 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中凸体 $K$ 的Bonnesen型不等式, 根据张高勇在文献[11] 中关于凸体的混合体积的不等式可得到体积为 $V,$ 表面积为 $A$ 的凸体 $K$ 的Bonnesen型等周不等式为

$\begin{eqnarray} A^{3}-36\pi V^{2}\geq 36\pi\big(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{\frac{4\pi}{3}}r\big)^{6}, \end{eqnarray}$

(1.3)

其中 $r$ 为 $K$ 中最大内切球半径, 等号成立当且仅当 $K$ 为球.

从经典的等周问题出发, 衍生出更多与多边形或多面体有关的等周问题, 我们将其称之为等周问题的离散情形. 如考虑欧氏空间 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中, 当多面体为四面体时, Sturm于1884年给出四面体的等周不等式的证明^[15]. 但由于四面体本身的复杂性和局限性, 目前关于四面体的一系列几何不等式如Bonnesen型不等式、逆Bonnesen型不等式少之甚少. 受张高勇获得的(1.4)式启发, 我们猜测四面体或许存在如下形式的Bonnesen型等周不等式

$\begin{equation} A^{3}-27k V^{2}\geq 27k\big(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r\big)^{6}. \end{equation}$

(1.4)

并且我们考虑能否简化 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中四面体的等周不等式的证明. 在本文中, 第2部分我们将给出 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中较R.Sturm更为简洁的四面体的等周不等式的证明方法, 进一步地, 获得四面体的几个新的Bonnesen型不等式, 包括(1.2)式; 第3部分, 将研究 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中四面体的逆Bonnesen型不等式.

2 四面体的Bonnesen型不等式

在 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中表面积为 $A$ 的四面体 $D$ , 设其内切球半径为 $R$ , 外接球半径为 $r$ . 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系 $r = \frac{3A}{V}$ , 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]).

引理2.1 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V,$ 表面积为 $A$ , 内切球半径和外接球半径分别为 $r, R$ 的四面体, 则

$3kr^{2}\leq A;\ \ kr^{3}\leq V\leq\frac{kR^{3}}{27},$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

定理2.1 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ , 内切球半径为 $r$ 的四面体, 则有如下不等式成立

$A^{3}-27kV^{2}\geq A^{2}(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2},$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

证由于 $r = \frac{3V}{A}$ , 则

$A^{3}-27kV^{2} = A^{2}(A-3k(\frac{3V}{A})^{2}) = A^{2}(A-3kr^{2}).$

根据引理2.1以及 $a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2}$ (其中 $a\geq b>0$ ), 可得

$A-3kr^{2} = (\sqrt{A})^{2}-(\sqrt{3k}r)^{2}\geq(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2}.$

因为 $a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2}$ (其中 $a\geq b>0$ )中等号成立当且仅当 $a = b$ (参见文献[17]), 因此

$A^{3}-27kV^{2}\geq A^{2}(\sqrt{A}-\sqrt{3k}r)^{2},$

等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

推论2.1 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ 表面积为 $A$ 的四面体, 则

$A^{3}-27kV^{2}\geq0,$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

定理2.2 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ , 内切球半径为 $r$ 的四面体, 则有如下不等式成立

$A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2},$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

证由推论2.1可知

$0\leq\frac{27kV^{2}}{A^{3}}\leq1;\ \ 0\leq\frac{A^{3}-27kV^{2}}{A^{3}}\leq1,$

所以

$\frac{27kV^{2}(A^{3}-27kV^{2})}{A^{6}}\leq1.$

因此

$A^{3}-27kV^{2}\geq\frac{27kV^{2}(A^{3}-27kV^{2})}{A^{6}}(A^{3}-27kV^{2}) = 3k(\frac{3V}{A})^{2}[A-3k(\frac{3V}{A})^{2}]^{2}.$

又因 $r = \frac{3V}{A}$ , 则

$3k(\frac{3V}{A})^{2}[A-3k(\frac{3V}{A})^{2}]^{2} = 3k[3V-3k(\frac{3V}{A})^{3}]^{2} = 27k(V-kr^{3})^{2},$

所以

$A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2},$

等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

定理2.3 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ , 内切球半径为 $r$ 的四面体, 则有如下不等式成立

$A^{3}-27kV^{2}\geq27k(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{6},$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

证由定理2.2

$A^{3}-27kV^{2}\geq27k(V-kr^{3})^{2},$

又根据引理2.1以及 $a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3}$ (其中 $a\geq b>0$ ), 可得

$V-kr^{3} = (\sqrt[3]{V})^{3}-(\sqrt[3]{k}r)^{3}\geq(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{3}.$

因为 $a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3}$ (其中 $a\geq b>0$ ) 中等号成立当且仅当 $a = b$ (参考文献[17]), 由引理2.1可知

$A^{3}-27kV^{2}\geq27k(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{k}r)^{6},$

等号成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

3 四面体的逆Bonnesen型不等式

当数学家们在努力寻求那些等周亏格的下界 $B_{D}$ 时, 另一个自然的问题是: 是否存在几何意义深刻的不变量 $U_{D}$ 使得

$\Delta(D) = L^2-4\pi A\leq U_{D},$

其中 $U_{D}$ 是具有下列性质的几何不变量: (1) $U_{D}$ 是非负的; (2)只有当 $D$ 是圆盘时 $U = 0$ .

关于等周亏格的研究有很长历史, 但它依然是几何和分析中一个重要问题. 遗憾的是我们还没有发现一般的上界估计, 目前仅有的结果是欧氏平面中极为特殊的卵形域情形. 一般区域及高维等周亏格的上界估计进展缓慢.

1933年, 对于边界至少 $C^2$ 光滑的严格凸域 $D$ , Bottema提出了以下著名的等周亏格上界估计(参见文献[4, 14]).

命题3.1 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^2$ 中的光滑的严格凸域, 且边界 $\partial D$ 的曲率 $\rho>0$ , 其面积为 $A$ , 周长为 $L$ . 记 $\rho_m$ 和 $\rho_M$ 分别为 $D$ 的边界 $\partial D$ 的曲率半径的最小值和最大值, 则

$L^2-4\pi A\leq\pi^2(\rho_M-\rho_m)^2,$

等号成立当且仅当 $\rho_M = \rho_m$ , 即 $D$ 为圆盘.

1955年Pleijel^[6]得到 $L^2-4\pi A\leq\pi(4-\pi)(\rho_M-\rho_m)^2,$ 这改进了Bottema的结果.

最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10].

命题3.2 设 $D$ 是欧氏平面 ${{\Bbb R}} ^2$ 中长度为 $L$ , 面积为 $A$ 的凸域, 记 $r_i$ 及 $r_e$ 分别为 $D$ 的最大内切圆半径和最小外接圆半径, 则有

$\begin{eqnarray*} && L^{2}-4\pi A \leq 2\pi L (r_e-r_i);\\ &&L^{2}-4\pi A \leq 4\pi^{2}(r^2_e-r^2_i);\\ && L^{2}-4\pi A \leq \frac{\pi L^2}{A}(r^2_e-r^2_i); \end{eqnarray*}$

其中等号成立当且仅当 $D$ 为圆.

类似于一般凸体等周亏格的定义, 在这里我们定义 $\Delta(K) = A^{3}-27kV^{2}(k = 8\sqrt{3})$ 为四面体的等周亏格, 用以比较一般四面体与正四面体的差别程度, 其中 $A$ , $V$ 分别为四面体的表面积和体积.

由引理2.1与推论2.1及其四面体的性质 $r = \frac{3V}{A}$ , 我们可得到如下引理.

引理3.1 设 $D$ 是 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ 的四面体, 设 $r$ ， $R$ 分别为 $D$ 的内切球半径与外接球半径, 则有如下不等式成立

$r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt[3]{\frac{V}{K}}\leq\sqrt[3]{\frac{A}{3k}}\leq\frac{R}{3},$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立同时成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

定理3.1 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^{3}$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ , 内切球半径为 $r$ , 外接球半径为 $R$ 的四面体, 则有如下不等式成立

$A^{3}-27kV^{2}\leq3kA^{2}[(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}],$

证由

$r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt{\frac{A}{3k}}\leq\frac{R}{3},$

则

$r^{2} = (\frac{3V}{A})^{2}\leq\frac{A}{3k}\leq(\frac{R}{3})^{2},$

因此

$\frac{A}{3k}-(\frac{3V}{A})^{2}\leq(\frac{R}{3})^{2}-r^{2},$

即

$A^{3}-27kV^{2}\leq3kA^{2}[(\frac{R}{3})^{2}-r^{2}].$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立同时成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

定理3.2 设 $D$ 为 ${{\Bbb R}} ^3$ 中体积为 $V$ , 表面积为 $A$ , 内切球半径和外接球半径分别为 $r, R$ 的四面体, 则有如下不等式成立

$A^{3}-27kV^{2}\leq \frac{kA^{2}}{V}[(\frac{R}{3})^{3}-r^{3}],$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立同时成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

证由

$r = \frac{3V}{A}\leq\sqrt[3]{\frac{V}{k}}\leq\frac{R}{3},$

则

$r^{3} = (\frac{3V}{A})^{2}\leq\frac{V}{k}\leq(\frac{R}{3})^{3},$

因此

$\frac{V}{k}-(\frac{3V}{A})^{2}\leq(\frac{R}{3})^{2}-r^{2},$

即

$A^{3}-27kV^{2}\leq \frac{kA^{2}}{V}[(\frac{R}{3})^{3}-r^{3}].$

其中 $k = 8\sqrt{3}$ , 等号成立同时成立当且仅当 $D$ 为正四面体.

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从积分几何的观点看几何不等式

2010

... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

... 最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10]. ...

从积分几何的观点看几何不等式

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... 1955年Pleijel^[6]得到

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这改进了Bottema的结果. ...

The Bonnesen isoperimetric inequality in a surface of constant curvature

2012

... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

Some Bonnesen-type inequality in s surface of constant curvature

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... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

两平面凸域的对称混合等周不等式

2012

... 最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10]. ...

两平面凸域的对称混合等周不等式

2012

... 最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10]. ...

On Bonnesen-style symmetric mixed isohomothetic inequality in

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... 最近周家足、马磊、岳双珊和曾春娜等获得了一般凸域的逆Bonnesen型不等式一些新进展, 参见文献[5, 9-10]. ...

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表面积为

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的Bonnesen型等周不等式为 ...

Bonnesen-style inequalities and pseudo-perimeters for polygons

1997

... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

平面上广义的Bonnesen型不等式

2015

... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

平面上广义的Bonnesen型不等式

2015

... 近期, 周家足、张新民、朱保成、徐文学等对等周亏格的下界估计得到不少新的研究成果, 参见文献[5, 7-8, 12-13]. ...

Eine obere Grenze für das isopermetrische Defizit ebener Kurven

1993

... 1933年, 对于边界至少

$C^2$

光滑的严格凸域

$D$

, Bottema提出了以下著名的等周亏格上界估计(参见文献[4, 14]). ...

1986

... 从经典的等周问题出发, 衍生出更多与多边形或多面体有关的等周问题, 我们将其称之为等周问题的离散情形. 如考虑欧氏空间

${{\Bbb R}} ^{3}$

中, 当多面体为四面体时, Sturm于1884年给出四面体的等周不等式的证明^[15]. 但由于四面体本身的复杂性和局限性, 目前关于四面体的一系列几何不等式如Bonnesen型不等式、逆Bonnesen型不等式少之甚少. 受张高勇获得的(1.4)式启发, 我们猜测四面体或许存在如下形式的Bonnesen型等周不等式 ...

... 在

${{\Bbb R}} ^{3}$

中表面积为

$A$

的四面体

$D$

, 设其内切球半径为

$R$

, 外接球半径为

$r$

. 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系

$r = \frac{3A}{V}$

, 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]). ...

1986

... 从经典的等周问题出发, 衍生出更多与多边形或多面体有关的等周问题, 我们将其称之为等周问题的离散情形. 如考虑欧氏空间

${{\Bbb R}} ^{3}$

... 在

${{\Bbb R}} ^{3}$

中表面积为

$A$

的四面体

$D$

, 设其内切球半径为

$R$

, 外接球半径为

$r$

. 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系

$r = \frac{3A}{V}$

, 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]). ...

关于四面体的Bonnesen型等周不等式

2013

关于四面体的Bonnesen型等周不等式

2013

2004

... 在

${{\Bbb R}} ^{3}$

中表面积为

$A$

的四面体

$D$

, 设其内切球半径为

$R$

, 外接球半径为

$r$

. 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系

$r = \frac{3A}{V}$

, 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]). ...

... 因为

$a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2}$

(其中

$a\geq b>0$

)中等号成立当且仅当

$a = b$

(参见文献[17]), 因此 ...

... 因为

$a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3}$

(其中

$a\geq b>0$

) 中等号成立当且仅当

$a = b$

(参考文献[17]), 由引理2.1可知 ...

2004

... 在

${{\Bbb R}} ^{3}$

中表面积为

$A$

的四面体

$D$

, 设其内切球半径为

$R$

, 外接球半径为

$r$

. 基于表面积、体积、内切球半径之间的等式关系

$r = \frac{3A}{V}$

, 我们可以得到如下引理(参见文献[15-17]). ...

... 因为

$a^{2}-b^{2}\geq(a-b)^{2}$

(其中

$a\geq b>0$

)中等号成立当且仅当

$a = b$

(参见文献[17]), 因此 ...

... 因为

$a^{3}-b^{3}\geq(a-b)^{3}$

(其中

$a\geq b>0$

) 中等号成立当且仅当

$a = b$

(参考文献[17]), 由引理2.1可知 ...

〈

〉

R3\mathbb{R}^3中四面体的Bonnesen型等周不等式

The Bonnesen-Style Isoperimetric Inequalities of the Tetrahedral in R3\mathbb{R}^3

1 引言

2 四面体的Bonnesen型不等式

3 四面体的逆Bonnesen型不等式

参考文献 View Option 原文顺序 文献年度倒序 文中引用次数倒序 被引期刊影响因子