量子图上微分算子是现代数学物理研究的一个重要方向. 该模型的重要性出现在碳纳米结构、声学和光子晶体理论研究中^{[1, 6-7, 11-12]}. 本文主要是构造量子图上Sturm-Liouville算子中的未知势函数. 这个问题在星型图上已经解决^{[2, 8-9]}. 本文考虑带环量子图：在假定两条边上的势函数是已知的情况下去重构剩余未知势函数. 杨和Bondarenko^[10]考虑了带有一个环的套索图. 在此基础上, Bodarenko和Shieh又研究了具有一个环和$ n-1 $条边的量子图, 利用Riesz基和Weyl函数得到了部分反问题的唯一性定理和构造解^[3].

本文在量子环图上考虑除环外所有边的势函数都是已知的Sturm-Liouville算子. 讨论其特征值的渐近式, 唯一性定理及重构算法。

考虑如下由一环和两条边构成的量子图$ G $. 各条边的长度分别为$ l_1 = 1, l_2 = 2, l_3 = 3. $引入参数$ x_j\in[0, l_j], j = \overline{1, 3} $, 且在边界顶点处满足$ x_1 = x_2 = 0 $, 在顶点处满足$ x_1 = 1, $$ x_2 = 2, $$ x_3 = 0, $和$ x_3 = 3 $.

在图$ G $上研究Sturm-Liouville边值问题$ L $

(2.1) $ \begin{eqnarray} &-y''_{j}(x_j)+q_j (x_j)y_j (x_j) = \lambda y_j(x_j), x_j \in (0, l_j) , j = 1, 2, 3, \end{eqnarray} $

(2.2) $ \begin{eqnarray} &y_1(0) = y_2(0) = 0, \end{eqnarray} $

(2.3) $ \begin{eqnarray} &y_{1}(1) = y_{2}(2) = y_{3}(3) = y_{3}(0), \end{eqnarray} $

(2.4) $ \begin{eqnarray} &y'_{1}(1)+y'_{2}(2)+y'_{3}(3) = y'_{3}(0). \end{eqnarray} $

这里$ \lambda $为谱参数, $ q_j \in L^2[0, l_j] $且是实的.

定义2.1  令$ B_{2, a} $为指数不大于a的Paley-Wienner函数. 符号$ \kappa_{k, odd}(\rho), \kappa_{k, even}(\rho) $分别表示属于$ B_{2, a} $的奇、偶函数

$ \begin{eqnarray} \kappa_{k, odd}(\rho) = \int^{k}_{0}K(t)\sin\rho t{\rm d}t, \ \ \ \ \kappa_{k, even}(\rho) = \int^{k}_{0}N(t)\cos\rho t{\rm d}t. \end{eqnarray} $

记$ C_j(x_j, \lambda), S(x_j, \lambda) $为等式(2.1) 满足初值条件: $ C_j(0, \lambda) = S'_j(0, \lambda) = 1, $$ C'_j(0, \lambda) = \\S_j(0, \lambda) = 0 $下的解, 则由文献[4]得到如下关系式

(2.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } C_j(l_j, \rho) = \cos \rho l_j+\kappa_{l_j, even}(\rho), \\ { } S_j(l_j, \rho) = \frac{\sin \rho l_j}{\rho}+\frac{\kappa_{l_j, odd}(\rho)}{\rho}, \\ S'_j(l_j, \rho) = \cos \rho l_j+\kappa_{l_j, even}(\rho). \end{array} \right. \end{equation} $

研究边值问题$ L $的特征值, 需研究示性函数的性质. 示性函数

(3.1) $ \begin{eqnarray} \Delta(\lambda) = &S_1(1, \lambda)S_2(2, \lambda)[2-C_3(3, \lambda)-S'_3(3, \lambda)] \\ &-[S'_1(1, \lambda)S_2(2, \lambda)+S_1(1, \lambda)S'_2(2, \lambda)]S_3(3, \lambda). \end{eqnarray} $

下面我们考虑它的零点的分布情况, 基于儒歇定理([4], 定理1.1.3)及渐近分析有如下引理.

引理3.1  问题$ L $特征值为$ \{\lambda_{nk}\}_{n\in {\Bbb Z}, k = 1, 2}\bigcup\{\lambda^{(i)}_{n3}\}_{n\in {\Bbb Z}, i = 1, 2}\bigcup \{\lambda^{(i)}_{n4}\}_{n\in{\Bbb N}, i = 1, 2} $, 且满足

(3.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \rho_{nk} = \sqrt{\lambda_{nk}} = |2\pi n+\alpha_k|+{\kappa_n}, \ \ \ &n\in{\Bbb Z}, k = 1, 2, \\ \rho^{(i)}_{n3} = \sqrt{\lambda^{(i)}_{n3}} = |2\pi n+\alpha_3|+{\kappa_n}, \ \ \ & n\in{\Bbb Z}, i = 1, 2, \\ \rho^{(i)}_{n4} = \sqrt{\lambda^{(i)}_{n4}} = n\pi+{\kappa_n}, \ \ \ & n\in{\Bbb N}, i = 1, 2, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \alpha_1 = \arccos\frac{2+\sqrt{2}}{4}, \alpha_2 = \arccos\frac{2-\sqrt{2}}{4}, \alpha_3 = \frac{2\pi}{3} $.

选择子谱$ \Lambda: = \{\lambda_{nk}\}_{n\in{\Bbb Z}, k = 1, 2} $, 记符号$ {\cal I} = \{(n, j): \rho_{nj}\in\Lambda\} $. 本文假设

(1) $ \Lambda $中所有特征值是不同的;

(2) $ \Lambda $中所有特征值是正的;

(3) 对于$ \lambda_{nj}\in\Lambda $, $ S_1(1, \lambda_{nj})S_2(2, \lambda_{nj})S_3(3, \lambda_{nj})\neq0 $.

在假设(1)–(3)下, 研究如下反问题.

反问题: 给定势函数$ q_2, q_3 $, 和子谱$ \Lambda $, 重构函数$ q_1 $.

由关系式(3.2), 得到

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} { } S_1(1, \rho) = \frac{\sin\rho}{\rho}+\frac{1}{\rho}\int^{1}_{0}K(t)\sin\rho t{\rm d}t, \\ { } S'_1(1, \rho) = \cos \rho+\int^{1}_{0}N(t)\cos\rho t{\rm d}t, \end{array} \right. \end{equation} $

其中函数$ K, N $, 是属于$ L_2(0, 1) $的实函数. 将此式代入(3.1)式, 得到

(4.2) $ \begin{eqnarray} \int^{1}_{0}K(t)a_{nj}\sin\rho_{nj} t{\rm d}t+\int^{1}_{0}N(t)b_{nj}\cos\rho_{nj} t{\rm d}t = f_{nj}, \ \ \ \ (n, j)\in{\cal I}, \end{eqnarray} $

(4.3) $ \begin{eqnarray} a_{nj}& = &[2S_2(2, \lambda_{nj})-S_2(2, \lambda_{nj})C_3(3, \lambda_{nj})-S'_2(2, \lambda_{nj})S_3(3, \lambda_{nj}) {} \\ &&-S_2(2, \lambda_{nj})S'_3(3, \lambda_{nj})]\rho_{nj}, {} \\ b_{nj}& = &-S_2(2, \lambda_{nj})S_3(3, \lambda_{nj})\rho^2_{nj}, {} \\ f_{nj}& = &-a_{nj}\sin\rho_{nj}-b_{nj}\cos\rho_{nj}. \end{eqnarray} $

记

(4.4) $ \begin{eqnarray} f(t) = \left[ \begin{array}{c} K(t)\\ N(t) \end{array} \right], v_{nj}(t) = \left[ \begin{array}{c} a_{nj}\sin\rho_{nj}t\\ b_{nj}\cos\rho_{nj}t \end{array} \right], (n, j)\in{\cal I}, \end{eqnarray} $

设向量函数$ g $, $ h $是属于Hilbert空间$ {\cal H} $, 则在空间$ H $上内积为

$ \begin{eqnarray*} (g, h) = \int^{1}_{0}\Big(g_1(t)h_1(t)+g_2(t)h_2(t)\Big){\rm d}t, {\nonumber} \\ g = \left[ \begin{array}{c} g_1\\ g_2 \end{array} \right], \quad h = \left[ \begin{array}{c} h_1\\ h_2 \end{array} \right], g, h\in{\cal H}. \end{eqnarray*} $

向量函数$ v_{nk} $, $ f $属于实Hilblet空间$ {\cal H}: = L_2(0, 1)\oplus L_2(0, 1) $, (4.2)式可写为

(4.5) $ \begin{eqnarray} (f, v_{nj})_{{\cal H}} = f_{nj}, \ \ \ \ (n, j)\in{\cal I}. \end{eqnarray} $

引理4.1   向量函数系$ V = \{v_{nj}\}_{(n, j)\in{\cal I}} $在$ H $中完备.

证(反证法)   设存在$ w_1, w_2\in L_2(0, 1) $, 使得

(4.6) $ \begin{eqnarray} \int^{1}_{0}w_1(t)a_{nj}\sin\rho_{nj} t{\rm d}t+\int^{1}_{0}w_2(t)b_{nj}\cos\rho_{nj} t{\rm d}t = 0, \ \ \ \ (n, j)\in{\cal I}, \end{eqnarray} $

由假设(3) 和(3.1)式, 可知

$ \begin{eqnarray*} a_{nj} = -\frac{S'_1(1, \lambda_{nj})b_{nj}}{\rho_{nj}S_1(1, \lambda_{nj})}. \end{eqnarray*} $

再将此式代入(4.6)式, 有

(4.7) $ \begin{eqnarray} \int^{1}_{0}\Big(w_1(t)S'_1(1, \lambda_{nj})\frac{\sin\rho_{nj} t}{\rho_{nj}}-w_2(t)S_1(1, \lambda_{nj})\cos\rho_{nj} t\Big){\rm d}t = 0, \end{eqnarray} $

即

(4.8) $ \begin{eqnarray} W(\lambda): = \int^{1}_{0}\Big(w_1(t)S'_1(1, \lambda)\frac{\sin\rho t}{\rho}-w_2(t)S_1(1, \lambda)\cos\rho t\Big){\rm d}t \end{eqnarray} $

的零点为$ \Lambda $. 结合(4.1)式, 有估计式

(4.9) $ \begin{eqnarray} W(\lambda): = O\Big(\frac{e^{2|Im\rho|}}{|\rho|}\Big), \ \ \ \ |\rho|\rightarrow \infty. \end{eqnarray} $

在假设(1)–(2)下构造无穷乘积

(4.10) $ \begin{eqnarray} D(\lambda) = \prod\limits_{\lambda_{nj}\in\Lambda}\Big(1-\frac{\lambda}{\lambda_{nj}}\Big). \end{eqnarray} $

易知$ \frac{W(\lambda)}{D(\lambda)} $是整函数, 再由渐近式(3.2), 函数$ D(\lambda) $可表示为

(4.11) $ \begin{eqnarray} D(\lambda) = C\prod\limits_{k = 1}^{2}(\cos \rho-\cos\alpha_k)+\kappa_{2, even}(\rho), \end{eqnarray} $

这里$ C $是非零常数, 而且对于正数$ \varepsilon $, $ \rho^* $, 我们有估计式

(4.12) $ \begin{eqnarray} |D(\rho^2)|\geq Ce^{2|Im\rho|}, \ \ \ \ \varepsilon<\arg\rho<\pi-\varepsilon, \ \ \ \ |\rho|\geq\rho^*, \end{eqnarray} $

因此结合(4.9)式得到

(4.13) $ \begin{eqnarray} \frac{W(\lambda)}{D(\lambda)} = o(1), \ \ \ \ \lambda = \rho^2, \ \ \ \ \varepsilon<\arg\rho<\pi-\varepsilon, \ \ \ \ |\rho|\geq\rho^*. \end{eqnarray} $

这里我们注意到若$ \{\xi_n\}_{n\in{\Bbb N}} $, $ \{\eta_n\}_{n\in{\Bbb N}\cup\{0\}} $分别是$ S_1(1, \lambda) $和$ S'_1(1, \lambda) $的零点. 则将$ \lambda = \xi_n $和$ \lambda = \eta_n $代入(4.8) 式容易得到

$ \int^{1}_{0}\!\!w_1(t)\frac{\sin\sqrt{\xi_n} t}{\sqrt{\xi_n}}{\rm d}t = 0 \ (n\in{\Bbb N}), \; \; \; \; \int^{1}_{0}\!\!w_2(t)\cos\sqrt{\eta_n}{\rm d}t = 0 \ (n\in{\Bbb N}\cup\{0\}). $

而又因为$ \{\frac{\sin\sqrt{\xi_n} t}{\sqrt{\xi_n}}\}_{n\in{\Bbb N}} $和$ \{\cos\sqrt{\eta_n}t\}_{n\in{\Bbb N}\cup\{0\}} $在$ L_2(0, 1) $里完备^[5], 所以$ w_1 = 0 $, $ w_2 = 0 $, 因此$ V $在$ H $中完备.

下面基于引理4.1证明反问题解的唯一性. 首先定义在边值问题$ L $的基础上, 考虑同样形式的问题$ \widetilde{L} $, 但有不同的势函数$ q $, 如果有某个符号$ \gamma $表示与$ L $相关的对象, 则对应的符号$ \widetilde{\gamma} $表示与$ \widetilde{L} $相关的类似对象.

定理4.2   设边值问题$ L $和$ \widetilde{L} $及其子谱$ \Lambda $和$ \widetilde{\Lambda} $定义如上, 且满足假设(1)–(3), $ q_2(x) = \widetilde{q}_2(x), $$ x\in(0, 2); q_3(x) = \widetilde{q}_3(x), x\in(0, 3) $, 以及$ \Lambda = \widetilde{\Lambda} $, 则在$ (0, 1) $上有$ q_1(x) = \widetilde{q}_1(x) $.

证   因为$ q_2(x) = \widetilde{q}_2(x) $, $ q_3(x) = \widetilde{q}_3(x) $, 得到$ S_2(2, \lambda)\equiv\widetilde{S}_2(2, \lambda), S'_2(2, \lambda)\equiv\widetilde{S}'_2(2, \lambda), $$ S_3(3, \lambda)\equiv\widetilde{S}_3(3, \lambda), S'_3(3, \lambda)\equiv\widetilde{S}'_3(3, \lambda) $. 再由(3.11)式和$ \Lambda = \widetilde{\Lambda} $, 观察到$ v_{nj} = \widetilde{v}_{nj} $; $ f_{nj} = \widetilde{f}_{nj} $, $ (n, j)\in{\cal I} $. 而由引理3.2又知系$ V $在$ H $中完备, 因此由(3.13)式可知$ S_1(1, \lambda)\equiv\widetilde{S}_1(1, \lambda) $, $ S'_1(1, \lambda)\equiv\widetilde{S}'_1(1, \lambda) $. 所以由文献[6]得到在$ (0, 1) $上, 有$ q_1(x) = \widetilde{q}_1(x) $.

引理5.1   向量函数系$ V = \{v_{nj}\}_{(n, j)\in{\cal I}} $在$ H $中是Riese基.

证   由(2.5)和(4.3)式, 有

$ a_{nj} = 2\sin2\rho_{nj}(1-\cos3\rho_{nj})-\cos2\rho_{nj}\sin3\rho_{nj}+\kappa_n, $

$ b_{nj} = -\sin2\rho_{nj}\sin3\rho_{nj}+\kappa_n, \ \ \ \ (n, j)\in{\cal I}. $

因此我们有$ \{||v_{nj}-v^{0}_{nj}||_{{\cal H}}\}_{(n, j)\in{\cal I}}\in l_2 $, 其中

$ \begin{eqnarray*} v^{0}_{nk}(t) = \left[ \begin{array}{c} [2\sin2\alpha_k(1-\cos3\alpha_k)-\cos2\alpha_k\sin3\alpha_k] \sin|2\pi n+\alpha_k|t\\ -\sin2\alpha_k\sin3\alpha_k\cos|2\pi n+\alpha_k|t \end{array} \right]. \end{eqnarray*} $

注意到由(3.2)式可以看出$ 2\sin2\alpha_k(1-\cos3\alpha_k)-\cos2\alpha_k\sin3\alpha_k\neq0, \sin2\alpha_k\sin3\alpha_k \neq0 $. 下证函数系$ V^0: = \{v^{0}_{nj}\}_{(n, j)\in{\cal I}} $在$ H $中是Riesz基. 易知$ \{\sin(2\pi n+\alpha_1)t \}_{n\in{\Bbb Z}} $, $ \{\cos(2\pi n+\alpha_2)t\}_{n\in{\Bbb Z}} $是$ L_2(0, 1) $中的Riese基. 引入线性算子A, B: $ {\cal H}\rightarrow {\cal H} $$ v\in{\cal H} $, 满足

$ Av = A\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ { } v_2+\frac{\sin2\alpha_1\sin3\alpha_1}{2\sin2\alpha_1(1-\cos3\alpha_1)-\cos2\alpha_1\sin3\alpha_1}f(v_1) \end{array} \right], $

$ Bv = B\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} { } v_1+\frac{2\sin2\alpha_2(1-\cos3\alpha_2)-\cos2\alpha_2\sin3\alpha_2}{\sin2\alpha_2\sin3\alpha_2}g(v_2)\\ v_2 \end{array} \right], $

其中

$ f(u_1)(t) = \sum\limits_{n\in{\Bbb Z}}c_{n}(u_1)\cos|2\pi n+\alpha_1|t, $

$ u_1(t) = \sum \limits_{n\in{\Bbb Z}}c_{n}(u_1)\sin|2\pi n+\alpha_1|t, $

$ g(u_2)(t) = \sum\limits_{n\in{\Bbb Z}}c_{n}(u_2)\sin|2\pi n+\alpha_2|t, $

$ u_2(t) = \sum \limits_{n\in{\Bbb Z}}c_{n}(u_2)\cos|2\pi n+\alpha_2|t, $

这里$ c_{n}(u_1) $和$ c_{n}(u_2) $分别是函数$ u_1, u_2 $在Riesz基$ \{\sin|2\pi n+\alpha_1|t\}_{n\in{\Bbb {\Bbb Z}}} $, $ \{\cos(2\pi n\\+\alpha_2)t\}_{n\in{\Bbb Z}} $下的坐标. 从Riesz基性质可知存在正数$ C_1 $, $ C_2 $使得

$ C_1||u_1||_{L_2}\leq||f(u_1)||_{L_2}\leq C_2||u_1||_{L_2}, $

$ C_1||u_1||_{L_2}\leq||g(u_2)||_{L_2}\leq C_2||u_1||_{L_2}. $

由此可知算子A, B及其逆

$ A^{-1}v = A^{-1}\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ { } v_2-\frac{\sin2\alpha_1\sin3\alpha_1}{2\sin2\alpha_1(1-\cos3\alpha_1)-\cos2\alpha_1\sin3\alpha_1}f(v_1) \end{array} \right], $

$ B^{-1}v = B^{-1}\left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} { } v_1-\frac{2\sin2\alpha_2(1-\cos3\alpha_2)-\cos2\alpha_2\sin3\alpha_2}{\sin2\alpha_2\sin3\alpha_2}g(v_2)\\ v_2 \end{array} \right] $

在$ H $中有界. 且算子A, B将序列$ V^0 $映射成Riezs基

$ Av^{0}_{n1}(t) = \Big(2\sin2\alpha_1(1\!-\!\cos3\alpha_1)-\!\cos2\alpha_1\sin3\alpha_1\Big)\left[ \begin{array}{c} \sin|2\pi n+\alpha_1|t \\ 0 \end{array} \right], $

$ Bv^{0}_{n2}(t) = \sin2\alpha_2\sin3\alpha_2\left[ \begin{array}{c} 0 \\ \cos|2\pi n+\alpha_2|t \end{array} \right]. $

即函数系$ \{Av_{n1}^0\}\bigcup \{Bv_{n2}^{0}\} $在$ {\cal H} $中是Riesz基, 因此$ V^0 $在$ {\cal H} $中也是Riesz基. 又由引理3.2可知系$ V $在$ {\cal H} $中完备且和Riese基$ V^0 $是按$ l_2 $逼近, 因此$ V $在$ {\cal H} $中是Riezs基.

重构算法: 给定函数$ q_2, q_3 $, 和特征值$ \Lambda $.

步骤1   解初值问题

$ l_jS_j(x_j, \lambda_{nj}) = \lambda_{nj} S_j(x_j, \lambda_{nj}), S_j(0, \lambda_{nj}) = 0, S'_j(0, \lambda_{nj}) = 1, $

$ l_jC_j(x_j, \lambda_{nj}) = \lambda_{nj} C_j(x_j, \lambda_{nj}), C_j(0, \lambda_{nj}) = 1, C'_j(0, \lambda_{nj}) = 0, {\nonumber} j = 2, 3. $

构造函数$ S_1(1, \lambda_{nj}), S'_1(1, \lambda_{nj}) $, $ S_2(1, \lambda_{nj}), S'_2(1, \lambda_{nj}) $, 其中$ (n, j)\in{\cal I} $.

步骤2   通过(4.2)和(4.5)式得到向量函数$ v_{nj} $, $ f_{nj} $.

步骤3  构造向量函数$ f $, 通过它在Riesz基上的坐标, 即构造$ K(t) $, $ N(t) $.

步骤4   由(4.1)式计算得到$ S_1(1, \rho) $, $ S'_1(1, \rho) $.

步骤5   参考文献[4], 由Weyl函数重构函数$ q_1 $.