本篇文章, 我们继续对文献[16]中的问题进行深入研究, 对Dirichlet-Robin混合边值齐次化问题解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛率进行分析.具体地, 令$\Omega$是${{\Bbb R}} ^{n}$中有界的$C^{1, 1}$区域, $n\geq 3$.假设$\partial \Omega = \Gamma_{1}\bigcup\Gamma_{2}$, 这里的$\Gamma_{1}$和$\Gamma_{2}$是$\partial \Omega$中的两个互不相交的子集.不妨设$u_{\varepsilon}\in H^{1}(\Omega)$是以下问题的弱解

全篇文章使用了求和约定.这里假设矩阵$A(y) = (a_{ij}(y))$, 其中$1\leq i, j\leq n$, 函数$k(y)$满足以下条件.

$\bullet$周期性条件:对于任意的$y\in {{\Bbb R}} ^{n}$, $Y = [0, 1)^{n}\simeq {{\Bbb R}} ^{n}/{\mathbb Z}^{n}$, 有

$\bullet$强制性条件:存在$\lambda>0$, 对于所有的$y\in {{\Bbb R}} ^{n}$, 有

$\bullet$光滑性条件:

$\bullet$凸性条件:

$\bullet$相容性条件:

伴随着问题(1.1)的齐次化问题是

其中$k_{0} = \int_{Y}k(y){\rm d}y$.

令$H_{0}^{1}(\Omega;\Gamma_{1})$表示$\Omega$中的光滑函数在$H^{1}(\Omega)$中的闭包, 它们在$\Gamma_{1}$上为0.则$u_{\varepsilon}\in H^{1}(\Omega)$被称为问题(1.1)的弱解, 即在$\Gamma_{1}$上$u_{\varepsilon} = f$, 并且对任意的$\phi\in H^{1}_{0}(\Omega;\Gamma_{1})$, 都有

由Lax-Milgram定理, 结合条件(1.2)–(1.6), 可以得到问题(1.1)弱解的存在性和唯一性.众所周知, 当$\varepsilon\rightarrow 0$时, $u_{\varepsilon}\rightharpoonup u_{0}$在$H^{1}(\Omega)$中弱收敛.具体证明可参阅文献[4].

最近, 关于齐次化中的各种问题, 学者们研究得到了许多收敛率结果. 2011年, Gérard和Masmoudi^[3]针对边界分层的Neumann问题, 获得了解的$L^{2}$收敛结果. 2012年, Kenig、Lin和Shen^[8]针对椭圆系统的Dirichlet或Neumann齐次化问题建立了$L^{2}$及$H^{\frac{1}{2}}$收敛估计. 2013年, Aleksanyan、Shahgholian和Sjölin^[1-2]针对光滑一致凸区域上固定算子、振荡Dirichlet边值问题, 研究得到了解的逐点收敛和$L^{p}$收敛率. 2014年, Kenig、Lin和Shen^[9]对振荡Neumann边值齐次化问题, 利用振荡积分的估计, 得到了解的$W^{k, p}$收敛率. 2015年, 本文作者针对固定算子、振荡Neumann边值的齐次化问题, 利用调和分析的方法, 证明得到了解的逐点收敛和$W^{1, p}$收敛率^[15]. 2015年, Gu^[5]针对线性Stokes系统, 证明得到了解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛. 2016年, Shen^[12]对于Dirichlet-Neumann混合边值的齐次化问题, 证明得到了解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛率. 2017年, Gu和Shen^[6]对于线性Stokes问题, 通过Green函数的渐近性估计, 得到了解的$L^{p}$与$L^{\infty}$收敛率. 2018年, Niu和Xu^[7]针对高阶抛物方程的齐次化问题, 获得了经典的$L^{2}$收敛估计.

2019年, 本文作者针对Dirichlet-Robin混合边值的齐次化问题, 研究得到了解的$H^{1}$及$L^{2}$收敛率^[16].那篇文章, Robin边界条件并没有出现振荡因子, 即$k$是常数.但本工作却需要对边界上出现的振荡因子进行重新估计, 因此出现了本质上的困难.

本工作的主要难点在于两方面.一方面, 边界上出现的振荡因子$k(x/\varepsilon)$, 它的出现必然导致$\Gamma_{2}$上伴随的振荡积分更加难以估计.另一方面, 边界交叉项也会使得一阶逼近函数的估计变得更加困难.本文的研究受到了Geng和Zhuge^[4]的研究作为启发, 同时借鉴了Suslina^[13-14]的对偶方法和光滑算子作为研究手段.本文的创新之处在于将对偶方法和光滑算子延拓到混合边值问题的情形.

以下是本文的主要结果.

定理1.1  令$\Omega$是${{\Bbb R}} ^{n}$中紧的、一致凸区域.假设$u_{\varepsilon}\in H^{1}(\Omega)$、$u_{0}\in H^{2}(\Omega)$分别是振荡Robin边值问题(1.1)和(1.7)的两个弱解.则在假设条件(1.2)–(1.6)下, 存在常数C, 对于任意的$0<\delta<3/2(n-1)$, 都有

其中$T_{\varepsilon}$是光滑算子, $\chi$是校正函数, $\widetilde{u}_{0}$是$u_{0}$的延拓.

定理1.2  在定理1.1的假设条件下, 存在常数C, 对于任意的$0<\delta<3/2(n-1)$, 满足

本文组织如下:第2部分, 包含了一些基本定义和有用的命题.第3部分, 利用对偶方法和光滑算子, 得到了混合边值问题解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛率.最后一部分, 总结了文章的主要结果, 并给出了一些相关评论.

我们首先介绍一些定义.

令$B_{r}(x)$表示球心是$x$点, 半径是$r$的开球.

因为$\Omega$是光滑区域, 所以存在有界延拓算子$E:H^{2}(\Omega)\rightarrow H^{2}({{\Bbb R}} ^{n})$, 满足$\widetilde{u}_{0}$是$u_{0}$的延拓, 且有

令$H_{0}^{1}(\Omega;\Gamma_{1})$表示$\Omega$中的光滑函数在$H^{1}(\Omega)$中的闭包, 并且在$\Gamma_{1}$上为0.这里还假设$\varphi\in H^{1}_{0}(\Omega;\Gamma_{1})$, 且满足

全篇文章, $C$表示正常数, 其在不同公式中可能取值不同.

伴随着问题(1.1)中的振荡算子$L_{\varepsilon}$, 齐次化算子为

常数矩阵$Q = (q_{ij})$可表示为

其中$y\in Y = [0, 1)^{n}\simeq {{\Bbb R}} ^{n}/{\mathbb Z}^{n}$.校正函数$\chi(y) = (\chi^{j}(y))$是以下细胞问题的解

命题2.1  令$F_{ij}(y)\in L^{2}(Y)$表示周期函数, 其中$Y = [0, 1)^{n}$.假设$\int_{Y}F_{ij}(y){\rm d}y = 0$和$\frac{\partial}{\partial y_{i}}(F_{ij}(y)) = 0$.则存在$\Phi_{kij}\in H^{1}(Y)$, 满足$F_{ij} = \frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}$并有$\Phi_{kij} = -\Phi_{ikj}$.

上述命题是众所周知的, 读者可以参阅文献[8].如果假定

注意到, 周期函数$F_{ij}(y)$满足$\int_{Y} F_{ij}(y){\rm d}y = 0$和$\frac{\partial}{\partial y_{i}}\left(F_{ij}\right) = 0$.从上述命题可知, 存在函数$\Phi_{kij}(y)$, 满足$\Phi_{kij} = -\Phi_{ikj}$和$F_{ij} = \frac{\partial \Phi_{kij}}{{\partial y_{k}}}.$这个命题描述了齐次化过程中矩阵$Q$和$A$的特殊关系, 它对于分析解的渐近性十分重要.

接下来, 我们介绍光滑算子的一些性质.作为本文的一个重要研究动机, 试图将光滑算子的用法推广到振荡Robin混合边值齐次化问题的情形.

固定$\phi\in C^{\infty}_{0}(B_{1}(0))$, 使其满足$\phi \geq 0$和$\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\phi {\rm d}x = 1$.在$L^{2}$范数下定义$T_{\varepsilon}$如下

其中$\phi_{\varepsilon}(x) = \varepsilon^{-n}\phi(x/\varepsilon)$.通常称$T_{\varepsilon}$为$\varepsilon$尺度的光滑算子.

命题2.2  令$u_{0}\in H^{2}({{\Bbb R}} ^{n})$, 周期函数$f\in L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})$.则有

和

证  利用Parseval定理和Hölder不等式, 可得以上结果, 可参见文献[11].

命题2.3  如果$u_{0}\in H^{2}({{\Bbb R}} ^{n})$, 并且$f\in L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})$是周期函数.则有

和

证  本估计可利用Fubini定理来证明.读者可参阅文献[10]或[12].

下面一个命题, 是奇异振荡积分中的经典结论.

命题2.4  令$\Omega$表示${{\Bbb R}} ^{n}$中紧的、一致凸光滑区域.假设$h(x/\varepsilon)$是光滑周期函数, $v_{\varepsilon}$是以下问题的解

则由假设

有

其中$1\leq p<\infty$并且$0<\delta<1/p$ .

证  这些估计是文献[1]中的主要结果.

本部分的目标是证明混合边值问题解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛率.

令一阶逼近函数形式为

则对于任意的$\varphi\in H^{1}_{0}(\Omega;\Gamma_{1})$, 都有

显然, 对于任意的$\varphi\in H_{0}^{1}(\Omega;\Gamma_{1})$, 都有

于是就有

直接计算, 可得

于是, 可得

首先, 来控制$I_{1}$项, 观察可得

这里, 用到了命题2.2.

接下来, 处理$I_{2}$项.注意到

$F_{ij}$是周期函数, 并且满足命题2.1.则存在周期函数

满足

此时, 假设$\eta_{\varepsilon}\in C_{0}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})$是截断函数, 并且满足当$x\in \Omega_{\varepsilon}$时$\eta_{\varepsilon}(x)\equiv1$; 当$x\not\in \Omega_{2\varepsilon}$时$\eta_{\varepsilon}(x)\equiv0$.因此, 利用散度定理和命题2.1, 可得

其中, 利用了函数$\Phi_{kij}$的反对称性.

为了估计$I_{21}$, 利用命题2.2, 可得

要估计$I_{22}$, 利用命题2.3, 就有

接下来, 处理$I_{23}$.类似地

因此, 我们就有

下面, 处理$I_{3}$.利用函数$k$的光滑性, 再使用迹定理, 可得

还剩余$I_{4}$的估计, 这是本工作的主要困难.正如前文所述, 这里将利用对偶的方法解决此问题.鉴于此, 需要分析以下振荡积分

这里假设$m_{\varepsilon}$是以下Neumann问题的解

$w_{\varepsilon}$是以下Dirichlet问题的解

利用散度定理, 可得

由Hölder不等式和迹定理, 就有

其中$1/p+1/q = 1$.

由Sobolev不等式, 有

其中$1/q = 1-3/2(n-1)$.

因此, 利用命题2.4, 可得对于任意的$0<\delta<1/p = 3/2(n-1)$, 可以得到

最后, 结合(3.3)–(3.6)式, 则对于任意的$\varphi\in H^{1}_{0}(\Omega;\Gamma_{1})$, 有

其中$0<\delta<3/2(n-1)$.

接下来, 假设

和

其中$\eta_{\varepsilon}$是估计$I_{2}$过程中出现的截断函数.

观察可得, $S_{\varepsilon}\in H_{0}^{1}(\Omega;\Gamma_{1})$.利用(3.7)式的结论可得

利用命题2.2, 容易得出

因此, 利用(3.8)式和迹定理, 我们就有

于是, 就有

这就完成了定理1.1的证明.

由定理1.1和命题2.2, 再结合Minkowski不等式, 就有

这就完成了定理1.2的证明.

本文中, 我们研究了Robin混合边值齐次化问题解的收敛率.通过齐次化技术、光滑算子和对偶方法, 我们解决了振荡积分和边界交叉项带来的困难, 最终得到了齐次化的一些定量结论.最终, 本文获得了解的$H^{1}$和$L^{2}$收敛率.我们的工作将对偶方法和光滑算子延拓到了混合边值问题的情形.

文中已经提到, Dirichlet和Neumann问题在诸多文献中已经有了相当多的理论结果.那么很自然的就会想到将Dirichlet或Neumann问题的相关结论推广到Robin问题上.众所周知, Robin问题在数学物理上有着很重要的作用, 如流体中多尺度材料的热传导问题, 再如工程材料表面的对流和相变问题等.

和经典齐次化中的结果相比, 文章获得的收敛率还不是最优的.我们知道, $H^{1}$范数下收敛率的阶数应该是$O({\varepsilon^{1/2}})$.和一般的Dirichlet或Neumann边值问题不同的是, 本文研究的振荡Robin边值上出现了振荡因子, 这在一定程度上消耗了部分收敛速度.所以对此类问题, 如何得到最优的收敛率, 是下一步需要重点研究的问题.

虽然目前的工作还是纯理论上的, 但是仍然希望所得的结果能够更好地帮助理解Robin边值问题以及奇异振荡积分.