考虑下列关于$ k $-Hessian方程的Dirichlet问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} S_{k}(D^{2}u) = f(|x|, -u), &\; x\in{\Bbb B}(1), \\ u = 0, &\; x\in\partial {\Bbb B}(1), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ k\in\{1, 2\cdots, n\} $, $ {\Bbb B}(1) = \{x\in{\Bbb R}^{n}:|x|<1\} $, $ f\in C([0, 1]\times{\Bbb R}_{+}, {\Bbb R}_{+}) $, $ {\Bbb R}_{+} = [0, +\infty) $, $ S_{k}(D^{2}u) $为$ k $-Hessian算子, 它是关于$ D^{2}u $的特征值的$ k $次初等对称函数.具体表达式如下

$ \begin{eqnarray*} S_{k}(D^{2}u) = P_{k}(\Lambda) = \sum\limits_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq n}\lambda_{i_{1}}\lambda_{i_{2}}\cdots\lambda_{i_{k}}, \end{eqnarray*} $

其中$ \Lambda = (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}) $为Hessian矩阵$ D^{2}u $的特征值.

$ k $-Hessian方程起源于流体力学、几何问题以及其它应用学科.例如, 当$ k = n $时, $ k $-Hessian方程可以描述Weingarten曲率和反光体的形状特征.近年来, 许多学者针对$ k $-Hessian方程Dirichlet问题的径向解进行了讨论, 并取得了一些经典的结果.例如, Wei在文献[1]中讨论了问题(1.1)径向解的存在性, 其中$ f(|x|, -u) = \lambda(-u)^{p}+(-u)^{q} $, $ \lambda $是一个实参数, $ p>0 $且$ q>0 $.根据文献[2]中的分析方法, 得到如下结论.

定理1.1^{[1, Theorem 1.3]}  假设$ k<\frac{n}{2} $且$ 0<p<k<q<\frac{(n+2)k}{n-2k} $.则存在一常数$ \Lambda>0 $使得

(1) 当$ 0<\lambda<\Lambda $时, 问题(1.1)至少存在两个负径向解;

(2) 当$ \lambda = \Lambda $时, 问题(1.1)至少存在一个负径向解;

(3) 当$ \lambda>\Lambda $时, 问题(1.1)不存在径向解.

与此同时, Wei还应用Atkinson和Peletier在文献[3]中建立的方法得到了如下结论.

定理1.2^{[1, Theorem 1.4]}  假设$ 2k<n<4k $, $ k<p<\frac{2k^2+4k-n}{n-2k} $且$ q = \frac{(n+2)k}{n-2k} $.则存在一常数$ \Lambda>0 $使得: $ (1) $当$ \lambda>\Lambda $时, 问题(1.1)至少存在两个负径向解; $ (2) $当$ 0<\lambda<\Lambda $时, 问题(1.1)不存在径向解.

此外, Wei在文献[4]中得到了一些关于问题(1.1)负径向解存在唯一性的结果.为了更全面地了解问题(1.1)径向解的存在性结果, 请参考文献[5-14]及其参考文献.

但值得注意的是, 上述文献主要研究了问题(1.1)一个或两个径向解的存在性, 而关于三个或三个以上径向解的存在性研究相当少.在此启发, 该文继续研究这一问题.本文将研究问题(1.1)三个以及任意多个非平凡径向解的存在性.令$ u(x) = \omega(r) $, $ r = |x| $, 则问题(1.1)可化简为下列边值问题

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} C_{n-1}^{k-1}\big(r^{n-k}(\omega')^{k}\big)' = k r^{n-1}f(r, -\omega), \quad r\in(0, 1), \\ \omega'(0) = 0, \; \; \omega(1) = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

作变量替换$ v = -\omega $, 则问题(1.2)等价于下列问题

(1.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} C_{n-1}^{k-1}\big(r^{n-k}(-v')^{k}\big)' = k r^{n-1}f(r, v), \quad r\in(0, 1), \\ v'(0) = 0, \; \; v(1) = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

根据Leggett-Williams不动点定理^[15], 得到了如下结论.

定理1.3  假设存在正常数$ \theta $, $ a $, $ b $和$ d $且$ 0<\theta<\frac{1}{2} $和$ 0<a<b\leq\theta d<d $使得

$ {\rm(A_{1})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[0, a] $, 有$ f(r, v)< \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}a^{k}}{k} $;

$ {\rm(A_{2})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[0, d] $, 有$ f(r, v)\leq \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d^{k}}{k} $;

$ {\rm(A_{3})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[b, \frac{b}{\theta}] $, 有$ f(r, v)\geq \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b}{\theta}\big)^{k} $.

则问题(1.3)至少存在$ 3 $个正解$ v_{1}, v_{2}, v_{3} $满足

(1.4) $ \begin{eqnarray} \|v_{1}\|<a, \; \min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}v_{2}(r)>b, \; \|v_{3}\|>a\; \mbox{with}\; \min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}v_{3}(r)<b, \end{eqnarray} $

其中$ \|v_{i}\| = \sup\limits_{r\in[0, 1]}|v_{i}(r)| $, $ i = 1, 3 $.

此外, 定理1.3还可以推广到如下结论.

定理1.4  假设存在正常数$ 0<\theta<\frac{1}{2} $, $ 0<a_{1}<b_{1}\leq\theta d_{1}<d_{1}<a_{2}<b_{2}\leq\theta d_{2}<d_{2}<\cdots<a_{m}<b_{m}\leq\theta d_{m}<d_{m} $, $ m = 1, 2, \cdots $, 使得

$ {\rm(C_{1})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[0, a_{i}] $, 有$ f(r, v) < \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}a_{i}^{k}}{k} $, $ i = 1, 2, \cdots, m $;

$ {\rm(C_{2})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[0, d_{i}] $, 有$ f(r, v)\leq \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d_{i}^{k}}{k} $, $ i = 1, 2, \cdots, m $;

$ {\rm(C_{3})} $对于任意的$ (r, v)\in[0, 1]\times[b_{i}, \frac{b_{i}}{\theta}] $, 有$ f(r, v)\geq \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b_{i}}{\theta}\big)^{k} $, $ i = 1, 2, \cdots, m $.

则问题(1.3)至少存在$ 2m+1 $个正解.

最后, 值得注意的是, 本文首次得到了关于$ k $-Hessian方程任意多个非平凡径向解的存在性结论.此外, 本文应用Leggett-Williams不动点定理来研究$ k $-Hessian方程径向解的存在性, 该方法目前还没有应用到该问题的研究.

本文的其余部分结构如下:在第2节中, 给出了一些预备知识.定理1.3和1.4的证明将在第3节中给出.第4节给出了一个例子来验证本文的结论.

设$ X $是一个实的Banach空间且$ K $是$ X $中的一个锥, 如果$ \gamma:K\rightarrow[0, +\infty) $是连续的映射且满足

$ \begin{eqnarray*} \gamma(\lambda t+(1-\lambda)s)\geq\lambda\gamma(t)+(1-\lambda)\gamma(s), \; \; \forall t, s\in K, \; \; \forall\lambda\in[0, 1], \end{eqnarray*} $

则映射$ \gamma $是$ K $上的一个非负连续凹函数.

对于常数$ a, b $且$ 0<a<b $, 设

$ \begin{eqnarray*} K(\gamma, a, b) = \{v\in K:\gamma(v)\geq a, \|v\|\leq b\}, \; \; K_{a} = \{v\in K:\|v\|<a\}. \end{eqnarray*} $

引理2.1^[15]  令$ T:\overline{K}_{d}\rightarrow\overline{K}_{d} $是一个全连续算子, $ \gamma $是$ K $上的一个非负连续凹泛函且使得$ \gamma(v)\leq\|v\| $, $ \forall v\in \overline{K}_{d} $.假设存在常数$ a, b, c, d $且$ 0<a<b<c\leq d $使得

$ {\rm(H_{1})} $对于$ v\in K(\gamma, b, c) $, 有$ \{v\in K(\gamma, b, c):\gamma(v)>b\}\neq\emptyset $和$ \gamma(Tv)>b $;

$ {\rm(H_{2})} $对于$ \|v\|\leq a $, 有$ \|Tv\|<a $;

$ {\rm(H_{3})} $对于$ v\in K(\gamma, b, d) $且$ \|Tv\|>c $, 有$ \gamma(Tv)>b $.

则$ T $至少存在$ 3 $个不动点$ v_{1}, v_{2}, v_{3}\in \overline{K}_{d} $满足

$ \|v_{1}\|<a, \; \gamma(v_{2})>b, \; \|v_{3}\|>a\; \mbox{ 且 }\; \gamma(v_{3})<b. $

令$ X = C[0, 1] $和$ \|v\| = \sup\limits_{r\in[0, 1]}|v(r)| $.设$ K $是$ X $中的锥

$ \begin{eqnarray*} \label{cone} K = \{v\in X: v(r)\geq0, \; r\in[0, 1] \mbox{ 且 } \min\limits_{r\in[\theta, 1-\theta]}v(r)\geq \theta\|v\|\}. \end{eqnarray*} $

在$ K $上定义一个线性算子$ T $, 如下

$ \begin{eqnarray*} \label{map} Tv(r) = \int_{r}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}t^{k-n}\int_{0}^{t}s^{n-1}f(s, v(s)){\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t, \; \; v\in K. \end{eqnarray*} $

根据文献[9, 引理2.2]知如果$ v\in K $是$ T $的一个不动点, 则$ v $是问题(1.3)的一个正解, 并且对任意$ v\in K $, 有

(3.1) $ \begin{equation} Tv(r)\geq 0, \; \; Tv'(r)\leq 0, \; \; Tv''(r)\leq 0\mbox{ 且 } \min\limits_{r\in[\theta, 1-\theta]}Tv(r)\geq \theta\|Tv\|. \end{equation} $

因此, $ T(K)\subset K. $与此同时, 根据验证紧连续算子的标准过程, 可以很容易地证明$ T $在$ K $上是紧连续的(详见文献[9]).

定理1.3的证明  对于$ v\in K $, 定义

$ \begin{eqnarray*} \gamma(v) = \min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}v(r). \end{eqnarray*} $

显然, $ \gamma $是$ K $上的一个非负连续凹函数且对于$ v\in K $有$ \gamma(v)\leq\|v\| $.

令$ c = \frac{b}{\theta} $, 如果$ b<\theta d $, 那么$ d>c $.首先证明$ T:\overline{K}_{d}\rightarrow \overline{K}_{d} $.根据假设条件$ {\rm(A_{2})} $, 对任意的$ v\in \overline{K}_{d} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \label{daos} \|Tv\|& = &\sup\limits_{r\in[0, 1]}\int_{r}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}t^{k-n} \int_{0}^{t}s^{n-1}f(s, v(s)){\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t\nonumber\\ & = &\int_{0}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}t^{k-n}\int_{0}^{t}s^{n-1}f(s, v(s)){\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t\nonumber\\ &\leq&\int_{0}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}t^{k-n} \int_{0}^{t}\frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d^{k}}{k}s^{n-1}{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t\nonumber\\ & = &\int_{0}^{1}2{\rm d}t\nonumber\\ & = & d. \end{eqnarray*} $

类似地, 可以证明$ T:\overline{K}_{a}\rightarrow K_{a} $.故引理2.1的条件$ {\rm(H_{2})} $成立.

接下来, 将验证引理2.1的条件$ {\rm(H_{1})} $是否满足.令$ v = \theta(b+c) $, 则$ v\in K $且

$ \begin{eqnarray*} c>\sup\limits_{r\in[0, 1]}|v(r)|\geq v(r)\geq\min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}v(r) = \gamma(v)>\theta c = b, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \begin{eqnarray*} \{v\in K(\gamma, b, c):\gamma(v)>b\}\neq\emptyset. \end{eqnarray*} $

此外, 由于$ v\in K(\gamma, b, c) $, 则有$ b\leq v(r)\leq c = \frac{b}{\theta} $, 对于$ r\in[\theta, 1-\theta] $.根据假设条件$ {\rm(A_{3})} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \gamma(Tv(r))& = &\min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}Tv(r)\\ & = &\int_{1-\theta}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}t^{k-n}\int_{0}^{t}s^{n-1}f(s, v(s)){\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t\\ &\geq&\int_{1-\theta}^{1}\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}\int_{0}^{t}s^{n-1}f(s, v(s)){\; \rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}{\rm d}t\\ &>& \theta\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}\int_{\theta}^{1-\theta}s^{n-1}f(s, v(s)){\; \rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}}\\ &\geq&\theta\Big(\frac{k}{C_{n-1}^{k-1}}\int_{\theta}^{1-\theta} \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b}{\theta}\big)^{k}s^{n-1}{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{k}} \\ & = &b. \end{eqnarray*} $

最后验证引理2.1的条件$ {\rm(H_{3})} $.假设$ v\in K(\gamma, b, d) $且$ \|Tv\|>c $, 根据(3.1)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \gamma(Tv(r)) = \min\limits_{\theta\leq r\leq 1-\theta}Tv(r)\geq\theta\|Tv\|>\theta c = b. \end{eqnarray*} $

到目前为止, 引理2.1的所有条件都已经满足.故引理2.1保证了问题(1.3)至少存在$ 3 $个正解$ v_{1}, v_{2}, v_{3}\in \overline{K}_{d} $且满足(1.4)式.

最后, 如果$ b = \theta d $, 那么$ c = d $.显然, 结论仍然是成立的, 因为若$ c = d $, 引理2.1的条件$ {\rm(H_{1})} $相当于条件$ {\rm(H_{3})} $.定理1.3证毕.

定理1.4的证明  类似于定理1.3的证明, 同样可以证明问题(1.1)在$ \overline{K}_{d_{1}} $中至少存在三个不同的径向解.然而, 只能肯定在$ \overline{K}_{d_{i}}/\overline{K}_{d_{i-1}} $, $ i = 2, 3, \cdots, m $中至少存在两个不同的解, 因为第三个解可能在$ \overline{K}_{d_{j}} $, $ j<i $, $ i = 2, 3, \cdots, m $中.因此, 根据归纳法可知, 问题(1.1)至少存在$ 2m+1 $个不同的径向解.定理1.4证毕.

在本节中, 给出了一个例子来验证本文的结果.

例1  考虑下面的Dirichlet问题

(4.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } S_{k}(D^{2}v) = a(|x|)\frac{(-v)^{p}}{1+(-v)^{2q}}, &\; x\in{\Bbb B}(1), \\ v = 0, &\; x\in\partial {\Bbb B}(1), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ a:[0, 1]\rightarrow(0, \infty) $是一个连续函数, $ p, q $是正常数.

结论  假设存在正常数$ \theta, b $且$ 0<\theta<\frac{1}{2} $使得

(4.2) $ \begin{equation} \frac{nC_{n-1}^{k-1}(1 +b^{2q})}{k\theta^{k}b^{p-k}\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\leq a_{*}, \end{equation} $

其中$ a_{*} = \min\limits_{r\in[0, 1]}a(r) $.若$ 2q+k>p>k $且$ p\geq2q $, 则问题(4.1)至少存在$ 3 $个不同的径向解.

证  问题(4.1)可以看作是问题(1.1)的特例, 其中

$ \begin{eqnarray*} f(r, v) = a(r)\frac{v^{p}}{1+v^{2q}}. \end{eqnarray*} $

根据$ p\geq2q $, 可知$ f(r, v) $在区间$ v\in (0, +\infty) $是单调递增的.由(4.2)式可得

$ \begin{eqnarray*} f(r, v)\geq f(r, b)\geq\frac{a_{*}b^{p}}{1+ b^{2q}}\geq \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b}{\theta}\big)^{k}, \; \; \forall(r, v)\in[0, 1]\times[b, \frac{b}{\theta}], \end{eqnarray*} $

这意味着定理1.3的条件$ {\rm(H_{3})} $成立.此外, 通过计算可知对于$ r\in[0, 1] $, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{v\rightarrow 0^{+}}\frac{f(r, v)}{v^{k}} = 0 \;\;和 \;\; \lim\limits_{v\rightarrow +\infty}\frac{f(r, v)}{v^{k}} = 0 \end{eqnarray*} $

因此, 存在常数$ a, d $且$ 0<a<b<\theta d<d $使得

$ f(r, v)< \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}a^{k}}{k}, \ \mbox{ 对任意}\ (r, v)\in[0, 1]\times[0, a]; $

$ f(r, v)\leq \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d^{k}}{k}, \ \mbox{ 对任意}\ (r, v)\in[0, 1]\times[0, d]. $

则根据定理1.3, 可知问题(4.1)至少存在$ 3 $个不同的径向解.