考虑下列关于$k$-Hessian方程的Dirichlet问题

其中$k\in\{1, 2\cdots, n\}$, ${\Bbb B}(1) = \{x\in{\Bbb R}^{n}:|x|<1\}$, $f\in C([0, 1]\times{\Bbb R}_{+}, {\Bbb R}_{+})$, ${\Bbb R}_{+} = [0, +\infty)$, $S_{k}(D^{2}u)$为$k$-Hessian算子, 它是关于$D^{2}u$的特征值的$k$次初等对称函数.具体表达式如下

其中$\Lambda = (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})$为Hessian矩阵$D^{2}u$的特征值.

$k$-Hessian方程起源于流体力学、几何问题以及其它应用学科.例如, 当$k = n$时, $k$-Hessian方程可以描述Weingarten曲率和反光体的形状特征.近年来, 许多学者针对$k$-Hessian方程Dirichlet问题的径向解进行了讨论, 并取得了一些经典的结果.例如, Wei在文献[1]中讨论了问题(1.1)径向解的存在性, 其中$f(|x|, -u) = \lambda(-u)^{p}+(-u)^{q}$, $\lambda$是一个实参数, $p>0$且$q>0$.根据文献[2]中的分析方法, 得到如下结论.

定理1.1^{[1, Theorem 1.3]}  假设$k<\frac{n}{2}$且$0<p<k<q<\frac{(n+2)k}{n-2k}$.则存在一常数$\Lambda>0$使得

(1) 当$0<\lambda<\Lambda$时, 问题(1.1)至少存在两个负径向解;

(2) 当$\lambda = \Lambda$时, 问题(1.1)至少存在一个负径向解;

(3) 当$\lambda>\Lambda$时, 问题(1.1)不存在径向解.

与此同时, Wei还应用Atkinson和Peletier在文献[3]中建立的方法得到了如下结论.

定理1.2^{[1, Theorem 1.4]}  假设$2k<n<4k$, $k<p<\frac{2k^2+4k-n}{n-2k}$且$q = \frac{(n+2)k}{n-2k}$.则存在一常数$\Lambda>0$使得: $(1)$当$\lambda>\Lambda$时, 问题(1.1)至少存在两个负径向解; $(2)$当$0<\lambda<\Lambda$时, 问题(1.1)不存在径向解.

此外, Wei在文献[4]中得到了一些关于问题(1.1)负径向解存在唯一性的结果.为了更全面地了解问题(1.1)径向解的存在性结果, 请参考文献[5-14]及其参考文献.

但值得注意的是, 上述文献主要研究了问题(1.1)一个或两个径向解的存在性, 而关于三个或三个以上径向解的存在性研究相当少.在此启发, 该文继续研究这一问题.本文将研究问题(1.1)三个以及任意多个非平凡径向解的存在性.令$u(x) = \omega(r)$, $r = |x|$, 则问题(1.1)可化简为下列边值问题

作变量替换$v = -\omega$, 则问题(1.2)等价于下列问题

根据Leggett-Williams不动点定理^[15], 得到了如下结论.

定理1.3  假设存在正常数$\theta$, $a$, $b$和$d$且$0<\theta<\frac{1}{2}$和$0<a<b\leq\theta d<d$使得

${\rm(A_{1})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[0, a]$, 有$f(r, v)< \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}a^{k}}{k}$;

${\rm(A_{2})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[0, d]$, 有$f(r, v)\leq \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d^{k}}{k}$;

${\rm(A_{3})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[b, \frac{b}{\theta}]$, 有$f(r, v)\geq \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b}{\theta}\big)^{k}$.

则问题(1.3)至少存在$3$个正解$v_{1}, v_{2}, v_{3}$满足

其中$\|v_{i}\| = \sup\limits_{r\in[0, 1]}|v_{i}(r)|$, $i = 1, 3$.

此外, 定理1.3还可以推广到如下结论.

定理1.4  假设存在正常数$0<\theta<\frac{1}{2}$, $0<a_{1}<b_{1}\leq\theta d_{1}<d_{1}<a_{2}<b_{2}\leq\theta d_{2}<d_{2}<\cdots<a_{m}<b_{m}\leq\theta d_{m}<d_{m}$, $m = 1, 2, \cdots$, 使得

${\rm(C_{1})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[0, a_{i}]$, 有$f(r, v) < \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}a_{i}^{k}}{k}$, $i = 1, 2, \cdots, m$;

${\rm(C_{2})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[0, d_{i}]$, 有$f(r, v)\leq \frac{2^{k}nC_{n-1}^{k-1}d_{i}^{k}}{k}$, $i = 1, 2, \cdots, m$;

${\rm(C_{3})}$对于任意的$(r, v)\in[0, 1]\times[b_{i}, \frac{b_{i}}{\theta}]$, 有$f(r, v)\geq \frac{nC_{n-1}^{k-1}}{k\big((1-\theta)^{n}-\theta^{n}\big)}\big(\frac{b_{i}}{\theta}\big)^{k}$, $i = 1, 2, \cdots, m$.

则问题(1.3)至少存在$2m+1$个正解.

最后, 值得注意的是, 本文首次得到了关于$k$-Hessian方程任意多个非平凡径向解的存在性结论.此外, 本文应用Leggett-Williams不动点定理来研究$k$-Hessian方程径向解的存在性, 该方法目前还没有应用到该问题的研究.

本文的其余部分结构如下:在第2节中, 给出了一些预备知识.定理1.3和1.4的证明将在第3节中给出.第4节给出了一个例子来验证本文的结论.

设$X$是一个实的Banach空间且$K$是$X$中的一个锥, 如果$\gamma:K\rightarrow[0, +\infty)$是连续的映射且满足

则映射$\gamma$是$K$上的一个非负连续凹函数.

对于常数$a, b$且$0<a<b$, 设

引理2.1^[15]  令$T:\overline{K}_{d}\rightarrow\overline{K}_{d}$是一个全连续算子, $\gamma$是$K$上的一个非负连续凹泛函且使得$\gamma(v)\leq\|v\|$, $\forall v\in \overline{K}_{d}$.假设存在常数$a, b, c, d$且$0<a<b<c\leq d$使得

${\rm(H_{1})}$对于$v\in K(\gamma, b, c)$, 有$\{v\in K(\gamma, b, c):\gamma(v)>b\}\neq\emptyset$和$\gamma(Tv)>b$;

${\rm(H_{2})}$对于$\|v\|\leq a$, 有$\|Tv\|<a$;

${\rm(H_{3})}$对于$v\in K(\gamma, b, d)$且$\|Tv\|>c$, 有$\gamma(Tv)>b$.

则$T$至少存在$3$个不动点$v_{1}, v_{2}, v_{3}\in \overline{K}_{d}$满足

令$X = C[0, 1]$和$\|v\| = \sup\limits_{r\in[0, 1]}|v(r)|$.设$K$是$X$中的锥

在$K$上定义一个线性算子$T$, 如下

根据文献[9, 引理2.2]知如果$v\in K$是$T$的一个不动点, 则$v$是问题(1.3)的一个正解, 并且对任意$v\in K$, 有

因此, $T(K)\subset K.$与此同时, 根据验证紧连续算子的标准过程, 可以很容易地证明$T$在$K$上是紧连续的(详见文献[9]).

定理1.3的证明  对于$v\in K$, 定义

显然, $\gamma$是$K$上的一个非负连续凹函数且对于$v\in K$有$\gamma(v)\leq\|v\|$.

令$c = \frac{b}{\theta}$, 如果$b<\theta d$, 那么$d>c$.首先证明$T:\overline{K}_{d}\rightarrow \overline{K}_{d}$.根据假设条件${\rm(A_{2})}$, 对任意的$v\in \overline{K}_{d}$, 有

类似地, 可以证明$T:\overline{K}_{a}\rightarrow K_{a}$.故引理2.1的条件${\rm(H_{2})}$成立.

接下来, 将验证引理2.1的条件${\rm(H_{1})}$是否满足.令$v = \theta(b+c)$, 则$v\in K$且

这意味着

此外, 由于$v\in K(\gamma, b, c)$, 则有$b\leq v(r)\leq c = \frac{b}{\theta}$, 对于$r\in[\theta, 1-\theta]$.根据假设条件${\rm(A_{3})}$, 有

最后验证引理2.1的条件${\rm(H_{3})}$.假设$v\in K(\gamma, b, d)$且$\|Tv\|>c$, 根据(3.1)式, 有

到目前为止, 引理2.1的所有条件都已经满足.故引理2.1保证了问题(1.3)至少存在$3$个正解$v_{1}, v_{2}, v_{3}\in \overline{K}_{d}$且满足(1.4)式.

最后, 如果$b = \theta d$, 那么$c = d$.显然, 结论仍然是成立的, 因为若$c = d$, 引理2.1的条件${\rm(H_{1})}$相当于条件${\rm(H_{3})}$.定理1.3证毕.

定理1.4的证明  类似于定理1.3的证明, 同样可以证明问题(1.1)在$\overline{K}_{d_{1}}$中至少存在三个不同的径向解.然而, 只能肯定在$\overline{K}_{d_{i}}/\overline{K}_{d_{i-1}}$, $i = 2, 3, \cdots, m$中至少存在两个不同的解, 因为第三个解可能在$\overline{K}_{d_{j}}$, $j<i$, $i = 2, 3, \cdots, m$中.因此, 根据归纳法可知, 问题(1.1)至少存在$2m+1$个不同的径向解.定理1.4证毕.

在本节中, 给出了一个例子来验证本文的结果.

例1  考虑下面的Dirichlet问题

其中$a:[0, 1]\rightarrow(0, \infty)$是一个连续函数, $p, q$是正常数.

结论  假设存在正常数$\theta, b$且$0<\theta<\frac{1}{2}$使得

其中$a_{*} = \min\limits_{r\in[0, 1]}a(r)$.若$2q+k>p>k$且$p\geq2q$, 则问题(4.1)至少存在$3$个不同的径向解.

证  问题(4.1)可以看作是问题(1.1)的特例, 其中

根据$p\geq2q$, 可知$f(r, v)$在区间$v\in (0, +\infty)$是单调递增的.由(4.2)式可得

这意味着定理1.3的条件${\rm(H_{3})}$成立.此外, 通过计算可知对于$r\in[0, 1]$, 有

因此, 存在常数$a, d$且$0<a<b<\theta d<d$使得

则根据定理1.3, 可知问题(4.1)至少存在$3$个不同的径向解.