Yamabe方程是由Yamabe^[13]建立的一类非线性特征值问题. Yamabe尝试用椭圆偏微分方程和变分法来解决这一问题. 1968年, Trudinger^[14]发现Yamabe在文献[13]中的证明存在一个缺陷:其指数发生时正是Yamabe方程中的临界值.通过在流形$ M $上加入了一个相当严格的假设, Trudinger修正了这个证明.后来, 由于Aubin, Trudinger和Schoen等人的杰出贡献, 完全解决了光滑流形上Yamabe问题解的存在性, 关于这方面的工作可参看文献[10].

迄今为止, 人们对Yamabe方程及其变体进行了广泛的研究.并对原问题中的Yamabe方程针对紧黎曼流形不同情况进行研究, 例如海森堡群、CR流形、完全非紧黎曼流形等等, 参见见文献[2, 8-9, 12].

众所周知, 光滑Yamabe问题要求人们考虑维数$ n\geq3 $时在$ C^{\infty} $黎曼流形$ M $上光滑Yamabe方程^{[1, 10, 13]}

$ \Delta\phi+g(x) \phi = \lambda f(x)\phi^{N-1}, $

其中$ g(x), f(x)\in C^{\infty} $, $ N = \frac{2n}{n-2} $和$ f(x)>0 $.

在2018年, 文献[3]研究了在连通有限图上相应的离散Yamabe型方程

$ \begin{eqnarray*} \Delta\phi+g \phi = \lambda f \phi^{\alpha-1}, \alpha >2. \end{eqnarray*} $

更一般地, 他们同样研究如下在连通有限图$ G $上具有$ p $-Laplace的离散Yamabe型方程

$ \begin{eqnarray*} \Delta_{p} \phi+g\phi^{p-1} = \lambda f \phi^{\alpha-1}, \alpha\geq p\geq1. \end{eqnarray*} $

在2019年, 文献[11]研究了如下在无限或者局部有限图上离散Yamabe型方程

$ \begin{eqnarray*} \Delta u+a(x)u = b(x)u^{\sigma}, \sigma>1, \end{eqnarray*} $

其中加在系数$ a(x), b(x) $上适当的条件用来确保方程存在唯一正解.

本文研究在有限图上如下离散Yamabe型方程的非平凡解

$ \begin{eqnarray*} (-\Delta)^{m} u-g u = \lambda u^{\alpha-1}. \end{eqnarray*} $

更一般地, 本文同样研究在有限图上如下离散Yamabe型方程的非平凡解

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}_{m, p} u-g|u|^{p-2} u = \lambda f|u|^{\alpha-2} u, \end{eqnarray*} $

其中$ \alpha \geq p \geq 2 $, $ m\ge 1 $是整数.在分布意义下, 算子$ {\cal L}_{m, p} $定义如下

(1.1) $ \begin{equation} \int_{V}\left({\cal L}_{m, p} u\right) \phi {\rm d} \mu = \left\{\begin{array}{ll} { } \int_{V}\left|\nabla^{m} u\right|^{p-2} \Gamma\left(\Delta^{\frac{m-1}{2}} u, \Delta^{\frac{m-1}{2}} \phi\right) {\rm d} \mu, &\mbox{当}\, m \mbox{ 是奇数时, } \\ [3mm] { } \int_{V}\left|\nabla^{m} u\right|^{p-2} \Delta^{\frac{m}{2}} u \Delta^{\frac{m}{2}} \phi {\rm d} \mu, &\mbox{ 当} \, m \mbox{ 是偶数时. }\end{array}\right. \end{equation} $

特别地, $ {\cal L}_{1, p} u = -\Delta_{p}u $.当$ p = 2 $, 它是$ p $ -拉普拉斯算子, 即$ {\cal L}_{m, p} u = (-\Delta)^{m} u $.我们将会在下一节中给出上述算子$ {\cal L}_{m, p} $更详细描述.

对于一些有限图上的差分方程的研究, 可以进一步参考了文献[3, 5-6].

设$ G = (V, E) $是一个图, 其中$ V $表示顶点集, $ E $表示边集, 即$ E $由若干对$ (x, y) $组成, 其中$ x, y\in V $.对于任何顶点$ x $和$ y $, 如果它们由一条边连接, 我们用$ x\sim y $表示, 即$ (x, y)\in E $ (详细定义见文献[7]).

一个图$ G = (V, E) $称为有限的如果$ V $是有限的.

一个加权图是一个偶$ (G, \mu) $, 其中$ G = (V, E) $是一个图和$ \mu_{xy} $是在$ V\times V $上的非负对称函数, 使得$ \mu_{xy}>0 $当且仅当$ x\sim y $.顶点$ x $的加权$ \mu_{x} $是

$ \begin{eqnarray*} \mu_{x} = \sum\limits_{y\in V}\mu_{xy}. \end{eqnarray*} $

在一个图$ G = (V, E) $顶点的有限序列$ \{x_{k}\}_{k = 0}^{n} $称为路径, 如果$ x_{k}\sim x_{k+1} $, 对于所有的$ k = 0, 1, \cdots n-1 $, 其中$ n $称为路径的长度.

一个图$ G $称为连通的, 如果对于任意两个顶点$ x, y\in V $, 有一条连接$ x $和$ y $的路径, 即一条路径$ \{x_{k}\} $, 使得$ x_{0} = x $, $ x_{k} = y $.

$ C(V) $表示函数$ f:V\rightarrow{{\Bbb R}} $的集合. $ \forall \, f, g\in C(G) $在有限集$ V $上的内积定义

$ \begin{eqnarray*} \langle f, g\rangle_{V} = \sum\limits_{x\in V}\mu_{x}f(x)g(x). \end{eqnarray*} $

$ \mu $ -拉普拉斯算子定义如下

(2.1) $ \begin{equation} \Delta u(x) = \frac{1}{\mu_x} \sum\limits_{y \sim x} \mu_{x y}(u(y)-u(x)), \forall \, u: V \rightarrow {{\Bbb R}} . \end{equation} $

与其相对应的梯度形式是

(2.2) $ \begin{equation} \Gamma(u, v)(x) = \frac{1}{2 \mu_x} \sum\limits_{y \sim x} \mu_{x y}(u(y)-u(x))(v(y)-v(x)). \end{equation} $

记$ \Gamma(u) = \Gamma(u, u) $.对于任意函数$ u\in C(V) $, 梯度的长度(模)表示如下$ ^{[6]} $

(2.3) $ \begin{equation} |\nabla u|(x) = \sqrt{\Gamma(u)(x)} = \left(\frac{1}{2 \mu_x} \sum\limits_{y \sim x} \mu_{x y}(u(y)-u(x))^{2}\right)^{1 / 2}. \end{equation} $

与欧几里得情况相似, $ u $的$ m $阶梯度的长度可以表示为

(2.4) $ \begin{equation} \left|\nabla^{m} u\right| = \left\{\begin{array}{ll} \left|\nabla \Delta^{\frac{m-1}{2}} u\right|, & \mbox{当}\, \, m \mbox{ 是奇数时, } \\ \left|\Delta^{\frac{m}{2}} u\right|, & \mbox{当} \, \, m \mbox{ 是偶数时, } \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \left|\nabla \Delta^{\frac{m-1}{2}} u\right| $表示在(2.3)式中用$ \Delta^{\frac{m-1}{2}} u $替换$ u $, 这里$ \left|\Delta^{\frac m2} u\right| $表示$ \Delta^{\frac m2} u $在通常意义下的绝对值.

为了与欧几里得相比较, 对于任何函数$ u: V\rightarrow{{\Bbb R}} $, 我们定义

(2.5) $ \begin{equation} \int_{V} u {\rm d} \mu = \sum\limits_{x \in V} u(x)\mu_x. \end{equation} $

对于任何$ p \ge 2 $, $ p $次离散拉普拉斯算子$ \Delta_p: C(V) \rightarrow C(V) $是

(2.6) $ \begin{equation} \Delta_{p} u(x) = \frac{1}{2 \mu_x} \sum\limits_{y \sim x}\left(|\nabla u|^{p-2}(y)+|\nabla u|^{p-2}(x)\right) \mu_{x y}(u(y)-u(x)), \end{equation} $

其中$ u\in C(V) $和$ x\in V $.当$ p\neq2 $时, $ \Delta_{p} $是非线性算子($ \Delta_{p} $的更多性质见文献[4]).

在分布意义下, $ u:V\rightarrow {{\Bbb R}} $的$ p $ -拉普拉斯算子, 即$ \Delta_{p} u $定义在图上为

(2.7) $ \begin{equation} \int_V\left(\Delta_{p} u\right) \phi {\rm d} \mu = -\int_V|\nabla u|^{p-2} \Gamma(u, \phi) {\rm d} \mu, \end{equation} $

其中$ \phi \in C(V) $.

在分布意义下, 算子$ {\cal L}_{m, p} $定义如下:对于任意$ \phi \in C(V) $, 有

(2.8) $ \begin{equation} \int_{V}\left({\cal L}_{m, p} u\right) \phi {\rm d} \mu = \left\{\begin{array}{ll} { }\int_{V}\left|\nabla^{m} u\right|^{p-2} \Gamma\left(\Delta^{\frac{m-1}{2}} u, \Delta^{\frac{m-1}{2}} \phi\right) {\rm d} \mu, &\mbox{当}\, \, m \mbox{ 是奇数时, } \\ { } \int_{V}\left|\nabla^{m} u\right|^{p-2} \Delta^{\frac{m}{2}} u \Delta^{\frac{m}{2}} \phi {\rm d} \mu, &\mbox{当}\, \, m \mbox{是偶数时. }\end{array}\right. \end{equation} $

特别地, $ {\cal L}_{1, p} u = -\Delta_{p}u $.当$ p = 2 $, 这就是$ u $的$ p $ -拉普拉斯算子, 即

$ {\cal L}_{m, p} u = (-\Delta)^{m} u. $

下面给出本文的主要结果.

定理2.1  设$ G = (V, E) $是有限图, 对于固定函数$ g, f \in C(V) $, 其中$ g>0 $和$ f>0 $.假定$ \alpha \geq p \geq 2 $, $ m\in {\Bbb N}^* $, 那么如下的高阶Yamabe型方程

(2.9) $ \begin{equation} {\cal L}_{m, p} u-g|u|^{p-2} u = \lambda f|u|^{\alpha-2} u \end{equation} $

在$ G $上对于某个常数$ \lambda \in {{\Bbb R}} $有非平凡解$ u\ge 0 $.

推论2.2  设$ G = (V, E) $是有限图, 对于固定函数$ g, f \in C(V) $其中$ g>0 $和$ f>0 $.假定$ \alpha>2 $, $ m\in {\Bbb N}^* $, 那么如下的Yamabe型方程

(2.10) $ \begin{equation} (-\Delta)^{m} u-g u = \lambda f u^{\alpha-1} \end{equation} $

在$ G $上对于某个常数$ \lambda \in {{\Bbb R}} $有非平凡解$ u\ge 0 $.

推论2.3  设$ G = (V, E) $是有限图, 对于固定函数$ g, f \in C(V) $其中$ g>0 $和$ f>0 $.假定$ \alpha>2 $, 那么如下的Yamabe型方程

(2.11) $ \begin{equation} -\Delta_p u-g u = \lambda f u^{\alpha-1} \end{equation} $

在$ G $上对于某个常数$ \lambda \in {{\Bbb R}} $有非平凡解$ u\ge 0 $.

注1  当$ m = 1 $时, 文献[3]在连通有限图上得到正解, 其中$ f>0 $.文献[6]考虑以下方程

(2.12) $ \begin{equation} {\cal L}_{m, p} u+g|u|^{p-2} u = f\left(x, u\right), m\geq 2, p>1 \end{equation} $

在$ f(x, u) $某些条件下的存在性.注意到, 本文定理2.1中的特征值问题不包含在文献[6]的情况下.

设$ G = (V, E) $是有限图.本文考虑$ W^{m, p} (G) $, 定义为

$ W^{m, p} (G) = \left\{u\in C(V)\mid\int_{V}(|\nabla^{m} u|^{p}+g|u|^{p}) {\rm d} \mu<+\infty \right\}, $

对于$ g \in C(V) $与$ g>0 $.索伯列夫空间$ W^{m, p} (G) $的范数定义为

(3.1) $ \begin{equation} \left\|u\right\|_{W^{m, p} (G)} = \left(\int_{V}(|\nabla^{m} u|^{p}+g|u|^{p}) {\rm d} \mu \right)^{\frac{1}{p}}. \end{equation} $

因为$ G $是有限图, 所以$ W^{m, p} (G) $就是一个有限维线性空间$ C(V) $.

下面将给出有限图上的索伯列夫嵌入定理.

定理3.1  设$ G = (V, E) $是有限图.那么$ W^{m, p} (G) $嵌入到$ L^{q} $中, 对于任意$ 1 \leq q \leq +\infty $成立.此外$ W^{m, p} (G) $是列紧的, 即如果$ u_{k} $在$ W^{m, p} (G) $中有界, 那么存在子列仍然记为$ u_{k} $和存在$ u \in W^{m, p} (G) $使得在$ W^{m, p} (G) $中$ u_k\rightarrow u $.

根据Yamabe在文献[13]中首创的方法, 能量泛函定义如下

(3.2) $ \begin{equation} I(u) = \int_{V}(|\nabla^{m} u|^{p}-g|u|^{p}) {\rm d} \mu \left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{-\frac{p}{\alpha}}, \end{equation} $

其中$ u\in W^{m, p} (G) $, $ u \not\equiv 0 $.定义

(3.3) $ \begin{equation} \beta = \inf\left\{I(u):u \geq 0, u \not\equiv 0 \right\}. \end{equation} $

我们将用如下三步获得(2.9)的非平凡解.

步骤1   $ I(u) $对于$ u \geq 0 $和$ u \not\equiv 0 $下方有界.因此$ \beta\neq -\infty $和$ \beta \in {{\Bbb R}} $.事实上, 很容易得到

$ 0< f_{m}^{\frac{p}{\alpha}}\left\|u\right\|_{\alpha}^{p}\leq\left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{\frac{p}{\alpha}} , $

其中$ {f_m} = \mathop {\min }\limits_{x \in V} f(x) > 0 $和$ \|u\|_q = (\int_V |u|^q{\rm d}\mu)^{1/q} $对任意$ q\geq1 $成立.因此

(3.4) $ \begin{equation} 0<\left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{-\frac{p}{\alpha}}\leq f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}}\left\|u\right\|_{\alpha}^{-p}. \end{equation} $

同样地, 作者得到

$ \begin{eqnarray*} -\int_{V}g|u|^{p} {\rm d} \mu \geq -g_{M}\int_{V}|u|^{p} {\rm d} \mu = -g_{M}\left\|u\right\|_{p}^{p}, \end{eqnarray*} $

其中$ {g_M} = \mathop {\max }\limits_{x \in V} g(x) $.因此, 由上述不等式可知

(3.5) $ \begin{equation} \int_{V}|\nabla u^{m}|^{p} {\rm d} \mu -\int_{V}g|u|^{p} {\rm d} \mu \geq -g_{M}\left\|u\right\|_{p}^{p}. \end{equation} $

如果

$ \int_{V}|\nabla u^{m}|^{p} {\rm d} \mu -\int_{V}g|u|^{p} {\rm d} \mu \geq 0, $

那么根据(3.4)和(3.5)式知

(3.6) $ \begin{equation} I(u) \geq 0 . \end{equation} $

如果

$ 0>\int_{V}|\nabla u^{m}|^{p} {\rm d} \mu -\int_{V}g|u|^{p} {\rm d} \mu \geq -g_{M}\left\|u\right\|_{p}^{p}, $

那么根据(3.5)式和不等式的性质知

$ I(u) = \int_{V}(|\nabla^{m} u|^{p}-g|u|^{p}) {\rm d} \mu \left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{-\frac{p}{\alpha}} \geq -\left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{-\frac{p}{\alpha}}g_{M}\int_{V}|u|^{p} {\rm d} \mu . $

同样地根据(3.4)式和不等式的性质知

$ -\left(\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu \right)^{-\frac{p}{\alpha}}g_{M}\int_{V}|u|^{p} {\rm d} \mu \geq -f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}}\left\|u\right\|_{\alpha}^{-p} g_{M}\int_{V}|u|^{p} {\rm d} \mu, $

因此

(3.7) $ \begin{equation} I(u) \geq-f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}}\left\|u\right\|_{\alpha}^{-p} g_{M}\int_{V}|u|^{p} {\rm d} \mu. \end{equation} $

由于$ \alpha \geq p $, 那么

(3.8) $ \begin{equation} 0<\left\|u\right\|_{p}^{p} \leq \bigg(\int_{V}(|u|^{p})^{\frac{\alpha}{p}} {\rm d} \mu\bigg)^{\frac{p}{\alpha}} \bigg (\int_{V}1^{\frac{\alpha}{\alpha-p}} {\rm d} \mu\bigg)^{\frac{\alpha-p}{\alpha}} = \left\|u\right\|_{\alpha}^{p}Vol(G)^{1-\frac{p}{\alpha}}, \end{equation} $

其中$ \int_{V} {\rm d} \mu = Vol(G) $, 这意味着

(3.9) $ \begin{equation} 0<\left\|u\right\|_{p}^{p} \left\|u\right\|_{\alpha}^{-p} \leq Vol(G)^{1-\frac{p}{\alpha}}. \end{equation} $

因此, 根据(3.7)–(3.9)式知

(3.10) $ \begin{equation} I(u) \geq -g_{M}f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}} Vol(G)^{1-\frac{p}{\alpha}} = C_{\alpha, p, g, f, G}, \end{equation} $

其中$ C_{\alpha, p, g, f, G} < 0 $是一个常数, 它只依赖$ \alpha $, $ p $, $ g $, $ f $和$ G $.所以$ I(u) $对于$ u \geq 0 $和$ u \not\equiv 0 $下方有界.

步骤2  存在$ \hat{u} \geq 0 $, 使得$ \beta = I(\hat{u}) $.为了找到这样的$ \hat{u} $, 很容易看出函数$ I(u) $是零齐次的, 选择一个序列$ \left\{u_{n}\right\} $, 其中$ u_{n} \geq 0 $, 满足$ \int_{V}f|u_{n}|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1 $和$ I(u_{n})\rightarrow \beta $, 当$ n \rightarrow \infty $时成立.对于任意$ n $, 可以假定$ I(u_{n}) \leq 1 + \beta $.注意到

$ 1 = \int_{V}f|u_{n}|^{\alpha}{\rm d} \mu \geq f_{m}\int_{V}|u_{n}|^{\alpha}{\rm d} \mu = f_{m}\left\|u\right\|_{\alpha}^{\alpha}. $

因此

(3.11) $ \begin{equation} \left\|u\right\|_{\alpha}^{p} \leq f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}}. \end{equation} $

根据(3.1), (3.8)和(3.11)式知

$ \begin{eqnarray*} \left\|u_{n}\right\|_{W^{m, p}(G)}^{p}& = &\left(\int_{V}(|\nabla^{m} u_{n}|^{p}+g|u_{n}|^{p}) {\rm d} \mu \right)\\ & = &I(u_{n})+2\int_{V}g|u_{n}|^{p} {\rm d} \mu\\ &\leq& 1+ \beta+2g_{M} \left\|u_{n}\right\|_{p}^{p}\\ & \leq& 1+ \beta+2g_{M} Vol(G)^{1-\frac{p}{\alpha}} \left\|u_{n}\right\|_{\alpha}^{p}\\ &\leq& 1+ \beta+2g_{M} Vol(G)^{1-\frac{p}{\alpha}} f_{m}^{-\frac{p}{\alpha}}, \end{eqnarray*} $

因此知$ \left\{u_{n}\right\} $在$ W^{m, p} (G) $上有界.根据定理3.1知存在$ \left\{u_{n}\right\} $的子序列仍然记为$ \left\{u_{n}\right\} $和存在$ \hat{u} \in W^{m, p} (G) $使得在$ W^{m, p} (G) $上$ u_{n}\rightarrow \hat{u} $.因为$ u_{n}\geq0 $和$ \int_{V}f|u_n|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1 $, 取$ n\rightarrow+\infty $, 知$ \hat{u}\geq0 $且$ \int_{V}f|\hat{u}|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1 $, 这意味着$ \hat{u}\not\equiv 0 $.由于能量泛函$ I(u) $是连续的知$ \beta = I(\hat{u}) $.

步骤3  存在$ \lambda_{\hat{u}} \in {{\Bbb R}} $, 使得如下的Yamabe型方程$ {\cal L}_{m, p} \hat{u}-g|\hat{u}|^{p-2} \hat{u} = \lambda_{\hat{u}} f|\hat{u}|^{\alpha-2} \hat{u} $有非平凡解, 其中$ \hat{u}\geq 0 $和$ \hat{u}\not\equiv 0 $.根据拉格朗日乘子法和步骤2, 定义

$ F(u, \lambda) = \int_{V}(|\nabla^{m} u|^{p}-g|u|^{p}) {\rm d} \mu +\lambda\int_{V}f|u|^{\alpha} {\rm d} \mu. $

因此知

(3.12) $ \begin{equation} \left.\frac{\rm d}{{\rm d}t}\right|_{t = 0} F(\hat{u}+t\varphi, \lambda) = p\int_{V}({\cal L}_{m, p} \hat{u}-g|\hat{u}|^{p-2} \hat{u}-\lambda_{\hat{u}} f|\hat{u}|^{\alpha-2} \hat{u})\varphi {\rm d} \mu = 0, \;\forall\;\varphi\in C(V), \end{equation} $

其中$ \hat{u}\in \left\{u\in C(V):u\geq 0 , u \not\equiv 0\right\} $是步骤2中确定的$ I(u) $的最小条件极值点和

(3.13) $ \begin{equation} \lambda_{\hat{u}} = \frac \alpha p\frac{\int_{V}|\nabla^{m} \hat{u}|^{p} {\rm d} \mu- \int_{V}g|\hat{u}|^{p} {\rm d} \mu}{\int_{V}f|\hat{u}|^{\alpha} {\rm d} \mu}. \end{equation} $

因此有$ {\cal L}_{m, p} \hat{u}-g|\hat{u}|^{p-2} \hat{u}-\lambda_{\hat{u}} f|\hat{u}|^{\alpha-2} \hat{u} = 0. $

定理2.1的结论成立.证毕.