Yamabe方程是由Yamabe^[13]建立的一类非线性特征值问题. Yamabe尝试用椭圆偏微分方程和变分法来解决这一问题. 1968年, Trudinger^[14]发现Yamabe在文献[13]中的证明存在一个缺陷:其指数发生时正是Yamabe方程中的临界值.通过在流形$M$上加入了一个相当严格的假设, Trudinger修正了这个证明.后来, 由于Aubin, Trudinger和Schoen等人的杰出贡献, 完全解决了光滑流形上Yamabe问题解的存在性, 关于这方面的工作可参看文献[10].

迄今为止, 人们对Yamabe方程及其变体进行了广泛的研究.并对原问题中的Yamabe方程针对紧黎曼流形不同情况进行研究, 例如海森堡群、CR流形、完全非紧黎曼流形等等, 参见见文献[2, 8-9, 12].

众所周知, 光滑Yamabe问题要求人们考虑维数$n\geq3$时在$C^{\infty}$黎曼流形$M$上光滑Yamabe方程^{[1, 10, 13]}

其中$g(x), f(x)\in C^{\infty}$, $N = \frac{2n}{n-2}$和$f(x)>0$.

在2018年, 文献[3]研究了在连通有限图上相应的离散Yamabe型方程

更一般地, 他们同样研究如下在连通有限图$G$上具有$p$-Laplace的离散Yamabe型方程

在2019年, 文献[11]研究了如下在无限或者局部有限图上离散Yamabe型方程

其中加在系数$a(x), b(x)$上适当的条件用来确保方程存在唯一正解.

本文研究在有限图上如下离散Yamabe型方程的非平凡解

更一般地, 本文同样研究在有限图上如下离散Yamabe型方程的非平凡解

其中$\alpha \geq p \geq 2$, $m\ge 1$是整数.在分布意义下, 算子${\cal L}_{m, p}$定义如下

特别地, ${\cal L}_{1, p} u = -\Delta_{p}u$.当$p = 2$, 它是$p$ -拉普拉斯算子, 即${\cal L}_{m, p} u = (-\Delta)^{m} u$.我们将会在下一节中给出上述算子${\cal L}_{m, p}$更详细描述.

对于一些有限图上的差分方程的研究, 可以进一步参考了文献[3, 5-6].

设$G = (V, E)$是一个图, 其中$V$表示顶点集, $E$表示边集, 即$E$由若干对$(x, y)$组成, 其中$x, y\in V$.对于任何顶点$x$和$y$, 如果它们由一条边连接, 我们用$x\sim y$表示, 即$(x, y)\in E$ (详细定义见文献[7]).

一个图$G = (V, E)$称为有限的如果$V$是有限的.

一个加权图是一个偶$(G, \mu)$, 其中$G = (V, E)$是一个图和$\mu_{xy}$是在$V\times V$上的非负对称函数, 使得$\mu_{xy}>0$当且仅当$x\sim y$.顶点$x$的加权$\mu_{x}$是

在一个图$G = (V, E)$顶点的有限序列$\{x_{k}\}_{k = 0}^{n}$称为路径, 如果$x_{k}\sim x_{k+1}$, 对于所有的$k = 0, 1, \cdots n-1$, 其中$n$称为路径的长度.

一个图$G$称为连通的, 如果对于任意两个顶点$x, y\in V$, 有一条连接$x$和$y$的路径, 即一条路径$\{x_{k}\}$, 使得$x_{0} = x$, $x_{k} = y$.

$C(V)$表示函数$f:V\rightarrow{{\Bbb R}}$的集合. $\forall \, f, g\in C(G)$在有限集$V$上的内积定义

$\mu$ -拉普拉斯算子定义如下

与其相对应的梯度形式是

记$\Gamma(u) = \Gamma(u, u)$.对于任意函数$u\in C(V)$, 梯度的长度(模)表示如下$^{[6]}$

与欧几里得情况相似, $u$的$m$阶梯度的长度可以表示为

其中$\left|\nabla \Delta^{\frac{m-1}{2}} u\right|$表示在(2.3)式中用$\Delta^{\frac{m-1}{2}} u$替换$u$, 这里$\left|\Delta^{\frac m2} u\right|$表示$\Delta^{\frac m2} u$在通常意义下的绝对值.

为了与欧几里得相比较, 对于任何函数$u: V\rightarrow{{\Bbb R}}$, 我们定义

对于任何$p \ge 2$, $p$次离散拉普拉斯算子$\Delta_p: C(V) \rightarrow C(V)$是

其中$u\in C(V)$和$x\in V$.当$p\neq2$时, $\Delta_{p}$是非线性算子($\Delta_{p}$的更多性质见文献[4]).

在分布意义下, $u:V\rightarrow {{\Bbb R}}$的$p$ -拉普拉斯算子, 即$\Delta_{p} u$定义在图上为

其中$\phi \in C(V)$.

在分布意义下, 算子${\cal L}_{m, p}$定义如下:对于任意$\phi \in C(V)$, 有

特别地, ${\cal L}_{1, p} u = -\Delta_{p}u$.当$p = 2$, 这就是$u$的$p$ -拉普拉斯算子, 即

下面给出本文的主要结果.

定理2.1  设$G = (V, E)$是有限图, 对于固定函数$g, f \in C(V)$, 其中$g>0$和$f>0$.假定$\alpha \geq p \geq 2$, $m\in {\Bbb N}^*$, 那么如下的高阶Yamabe型方程

在$G$上对于某个常数$\lambda \in {{\Bbb R}}$有非平凡解$u\ge 0$.

推论2.2  设$G = (V, E)$是有限图, 对于固定函数$g, f \in C(V)$其中$g>0$和$f>0$.假定$\alpha>2$, $m\in {\Bbb N}^*$, 那么如下的Yamabe型方程

在$G$上对于某个常数$\lambda \in {{\Bbb R}}$有非平凡解$u\ge 0$.

推论2.3  设$G = (V, E)$是有限图, 对于固定函数$g, f \in C(V)$其中$g>0$和$f>0$.假定$\alpha>2$, 那么如下的Yamabe型方程

在$G$上对于某个常数$\lambda \in {{\Bbb R}}$有非平凡解$u\ge 0$.

注1  当$m = 1$时, 文献[3]在连通有限图上得到正解, 其中$f>0$.文献[6]考虑以下方程

在$f(x, u)$某些条件下的存在性.注意到, 本文定理2.1中的特征值问题不包含在文献[6]的情况下.

设$G = (V, E)$是有限图.本文考虑$W^{m, p} (G)$, 定义为

对于$g \in C(V)$与$g>0$.索伯列夫空间$W^{m, p} (G)$的范数定义为

因为$G$是有限图, 所以$W^{m, p} (G)$就是一个有限维线性空间$C(V)$.

下面将给出有限图上的索伯列夫嵌入定理.

定理3.1  设$G = (V, E)$是有限图.那么$W^{m, p} (G)$嵌入到$L^{q}$中, 对于任意$1 \leq q \leq +\infty$成立.此外$W^{m, p} (G)$是列紧的, 即如果$u_{k}$在$W^{m, p} (G)$中有界, 那么存在子列仍然记为$u_{k}$和存在$u \in W^{m, p} (G)$使得在$W^{m, p} (G)$中$u_k\rightarrow u$.

根据Yamabe在文献[13]中首创的方法, 能量泛函定义如下

其中$u\in W^{m, p} (G)$, $u \not\equiv 0$.定义

我们将用如下三步获得(2.9)的非平凡解.

步骤1   $I(u)$对于$u \geq 0$和$u \not\equiv 0$下方有界.因此$\beta\neq -\infty$和$\beta \in {{\Bbb R}}$.事实上, 很容易得到

其中${f_m} = \mathop {\min }\limits_{x \in V} f(x) > 0$和$\|u\|_q = (\int_V |u|^q{\rm d}\mu)^{1/q}$对任意$q\geq1$成立.因此

同样地, 作者得到

其中${g_M} = \mathop {\max }\limits_{x \in V} g(x)$.因此, 由上述不等式可知

如果

那么根据(3.4)和(3.5)式知

如果

那么根据(3.5)式和不等式的性质知

同样地根据(3.4)式和不等式的性质知

因此

由于$\alpha \geq p$, 那么

其中$\int_{V} {\rm d} \mu = Vol(G)$, 这意味着

因此, 根据(3.7)–(3.9)式知

其中$C_{\alpha, p, g, f, G} < 0$是一个常数, 它只依赖$\alpha$, $p$, $g$, $f$和$G$.所以$I(u)$对于$u \geq 0$和$u \not\equiv 0$下方有界.

步骤2  存在$\hat{u} \geq 0$, 使得$\beta = I(\hat{u})$.为了找到这样的$\hat{u}$, 很容易看出函数$I(u)$是零齐次的, 选择一个序列$\left\{u_{n}\right\}$, 其中$u_{n} \geq 0$, 满足$\int_{V}f|u_{n}|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1$和$I(u_{n})\rightarrow \beta$, 当$n \rightarrow \infty$时成立.对于任意$n$, 可以假定$I(u_{n}) \leq 1 + \beta$.注意到

因此

根据(3.1), (3.8)和(3.11)式知

因此知$\left\{u_{n}\right\}$在$W^{m, p} (G)$上有界.根据定理3.1知存在$\left\{u_{n}\right\}$的子序列仍然记为$\left\{u_{n}\right\}$和存在$\hat{u} \in W^{m, p} (G)$使得在$W^{m, p} (G)$上$u_{n}\rightarrow \hat{u}$.因为$u_{n}\geq0$和$\int_{V}f|u_n|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1$, 取$n\rightarrow+\infty$, 知$\hat{u}\geq0$且$\int_{V}f|\hat{u}|^{\alpha}{\rm d} \mu = 1$, 这意味着$\hat{u}\not\equiv 0$.由于能量泛函$I(u)$是连续的知$\beta = I(\hat{u})$.

步骤3  存在$\lambda_{\hat{u}} \in {{\Bbb R}}$, 使得如下的Yamabe型方程${\cal L}_{m, p} \hat{u}-g|\hat{u}|^{p-2} \hat{u} = \lambda_{\hat{u}} f|\hat{u}|^{\alpha-2} \hat{u}$有非平凡解, 其中$\hat{u}\geq 0$和$\hat{u}\not\equiv 0$.根据拉格朗日乘子法和步骤2, 定义

因此知

其中$\hat{u}\in \left\{u\in C(V):u\geq 0 , u \not\equiv 0\right\}$是步骤2中确定的$I(u)$的最小条件极值点和

因此有${\cal L}_{m, p} \hat{u}-g|\hat{u}|^{p-2} \hat{u}-\lambda_{\hat{u}} f|\hat{u}|^{\alpha-2} \hat{u} = 0.$

定理2.1的结论成立.证毕.