从目前已有的研究情况看, 经典的服务员休假机制有多重休假机制、单重休假机制与多级适应性休假机制等, 提出的经典系统控制策略有$ N $ -策略、$ T $ -策略和$ D $ -策略等^{[1-3, 13-14]}.这些休假机制和控制策略都是从不同的角度提出的, 其目的就是在平衡顾客等待时间的同时降低系统的成本.虽然单一的控制策略有各自的优点, 但也有各自的缺陷, 例如当生产环境发生改变, 系统拥有者想转换成另一种控制策略时, 在这种情况下抛弃现有的硬件系统是不现实的, 从而混合的联合控制策略就是一种可供选择的好方案.因此结合实际背景, 一些研究者们进一步提出了各种控制策略之间、控制策略与休假机制之间的联合排队模型, 而且其相应的研究也取得了一些重要成果^{[4-12, 15-24]}.但是, 在目前有关$ D $ -策略控制的排队模型研究中, 作者都假设“服务员的休假都可中断”, 即在休假中如果到达顾客所需服务量的总和不小于事先给定的常数阈值$ D(D\ge 0) $时, 服务员就立即中断休假回到系统立即启动服务.事实上, 这个假设不完全符合实际中的所有情况, 例如, 当服务员休假的地方较远时, 即使立即中断休假也是不能马上回到系统中为顾客服务的; 或者当服务员所从事的其他辅助性工作在结束前是不能中断工作时.因此, 在这样的实际背景下, 考虑服务员的“休假不可中断”不仅有实际应用价值而且也有理论延伸研究意义.在经典$ D $ -策略$ M/G/1 $排队系统的研究成果发表后^[13-14], 一些推广研究和把$ D $ -策略引进到离散时间排队系统的研究成果}也陆续出现^{[15, 27]}.本文把服务员的单重休假{且休假不中断}与$ D $ -策略结合起来, 首次提出“在$ D $ -策略控制下服务员单重休假且休假不中断的$ M/G/1 $排队系统”模型, 即:每当系统变空时, 服务员去休假一次, 当服务员从一次休假结束转来(休假不中断), 如果系统中等待服务的顾客所需总服务时间$ \ge D $, 服务员立即为顾客服务, 直到系统再次变空时服务员又去休假一次, 如果休假归来不满足服务条件服务员则待在系统中直到满足服务条件就开始服务. 本文提出的模型不仅推广了文献[13-14]研究的经典$ D $ -策略$ M/G/1 $排队系统模型, 而且推广了文献[17]在$ N = 1 $下的系统模型, 也比文献[23]在$ N = 1 $下的系统模型更复杂, 这使得排队系统模型的结构更为丰富, 为系统的运行控制提供了更大的灵活性和适应性.另外, 在研究内容方面, 本文采用一种与国外早期文献[13-15]不同的分析方法, 即采用直观的全概率分解方法, 并结合使用Laplace变换技术, 从任意初始状态$ N(0) = i\ (i = 0, 1, \cdots ) $出发, 首先分析了系统队长的瞬态分布, 得到了瞬态队长分布的拉普拉斯变换形式的表达式, 然后使用洛必达法则, 通过简单的直接计算获得了稳态队长分布的递推表达式, 从而进一步给出了稳态队长的随机分解结构和附加队长分布的显示表达式.数值实例阐述了稳态队长分布的表达式在系统容量的优化设计中的重要价值, 可以弥补仅仅依靠系统的平均队长来设计系统容量所带来的不足.最后, 在建立的费用模型的基础上, 应用更新报酬过程理论获得了系统长期运行单位时间内的成本期望费用的显示表达式, 并通过数值计算例子讨论了最优控制策略$ {{D}^{*}} $, 以及当服务员的休假时间为固定的$ T $时间时的联合最优控制策略$ ({{T}^{*}}, {{D}^{*}}) $.

本文讨论的模型描述如下.

1) 系统是一个$ M/G/1 $型排队系统, 即顾客到达间隔时间$ \tau $有分布$ F(t) = 1-{{e}^{-\lambda t}}, t\ge 0. $顾客所需服务时间$ \chi $服从一般分布$ G(t) $, 且设平均服务时间为$ {1}/{\mu }\;(0<\mu <\infty ) $.

2) 服务员是单重休假且休假不中断, 同时系统采取$ D $ -策略控制, 即:每当系统变空时, 服务员去休假一次, 当服务员从一次休假结束转来(休假不中断), 如果系统中等待服务的顾客所需总服务时间$ \ge D $, 服务员立即为顾客服务, 直到系统再次变空时服务员又去休假一次; 如果系统中等待服务的顾客所需总服务时间$ <D $, 则服务员就待在系统中处于通常的闲期状态(但在岗), 直到累计服务时间$ \ge D $时就开始服务.服务员的单重休假$ V $服从一般分布$ V(t) $.

3) 随机变量$ \tau $, $ \chi $和$ V $是相互独立的.

进一步设在$ t = 0 $时刻, 如果系统是空的, 则服务员不休假且系统也不采取该控制策略休假, 顾客到达时立即被服务(这样假设更符合实际情况).

注1.1  $ N(t) $表示系统在时刻$ t $的队长, 即在时刻$ t $系统内的顾客数;

$ {{g}^{*}}(s) = \int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}G(t){\rm d}t}, {\quad} g(s) = \int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}G(t)} $

分别表示相应$ G(t) $的拉普拉斯$ (L) $变换和拉普拉斯-斯蒂尔切斯$ (LS) $变换; $ {{G}^{(k)}}(t) $表示相应$ G(t) $的$ k $重卷积, 即$ {{G}^{(k)}}(t) = \int_{0}^{t}{{{G}^{(k-1)}}(t-x){\rm d}G(x)} $, 且$ k\ge 1, {{G}^{(0)}}(t) = 1 $; $ G(t)*F(t) = $$ \int_{0}^{t}{G(t-x){\rm d}F(x)} $; $ \bar{G}(t) = 1-G(t) $.

如果把“从服务员开始为顾客服务的时刻起, 直到系统再次变空为止的这一段时间”称为“服务员忙期”, 则它等价于文献[3]中标准的$ M/G/1 $排队系统的“忙期”.因此如果令$ b $表示从一个顾客开始的“服务员忙期”长度, $ B(t) = P\left\{ b\le t \right\}, b(s) = \int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}B(t), } $则由文献[3]有如下引理.

引理2.1^[3]  对$ \Re (s)>0, $$ b(s) $是方程$ z = g(s+\lambda -\lambda z) $在$ \left| z \right|<1 $内的唯一根, 且

$ B(t) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty }{\int_{0}^{t}{\frac{{{(\lambda x)}^{k-1}}}{k!}{{e}^{-\lambda x}}{\rm d}{{G}^{(k)}}(x)}}, t\ge 0, $

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}B(t) = \left\{ {\begin{array}{ll} 1, & \rho\leq 1, \\ \omega<1, & \rho>1, \end{array}} \right.\ \ E(b) = \left\{ {\begin{array}{ll} { } \frac{\rho}{\lambda(1-\tilde{\rho})}, & \rho< 1, \\ \infty, & \rho\geq 1, \end{array}} \right. $

其中$ \omega\ (0<\omega <1) $是方程$ z = g(\lambda -\lambda z) $在$ (0, 1) $内的根; $ \rho = \frac{\lambda }{\mu } $表示系统的交通强度; $ \Re (s) $表示复变量$ s $的实部.

又令$ {{b}^{\langle i\rangle }} $表示从$ i $个顾客开始的“服务员忙期”长度, 由于到达是泊松过程, 故$ P\left\{ {{b}^{\langle i\rangle }}\le \right. $$ \left. t \right\} = {{B}^{(i)}}(t) $, $ t\ge 0 $, $ i\ge 1 $.

又令$ {{Q}_{j}}(t) = P\left\{ b>t\ge 0;N(t) = j \right\} $表示“服务员忙期”$ b $中队长为$ j(\ge 1) $的瞬态概率, 且在$ t = 0 $时只有一个顾客, “服务员忙期”$ b $刚开始, 即边界条件为$ {{Q}_{1}}(0) = 1 $, $ {{Q}_{j}}(0) = 0 $, $ (j>1) $.

引理2.2^[3]  令$ q_{j}^{*}(s) = \int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{{Q}_{j}}(t){\rm d}t} $为$ {{Q}_{j}}(t) $的拉普拉斯变换, 对$ \Re (s)>0 $有

$ \begin{eqnarray*} q_{1}^{*}(s)& = &\frac{b(s)[1-g(s+\lambda )]}{(s+\lambda )g(s+\lambda )}, \\ q_{j}^{*}(s)& = &\frac{b(s)}{g(s+\lambda )}\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}[1-G(t)]\frac{{{(\lambda t)}^{j-1}}}{(j-1)!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}t} \\ &&+\frac{1}{g(s+\lambda )}\sum\limits_{k = 1}^{j-1}{\frac{q_{j-k}^{*}(s)}{{{b}^{k}}(s)}\left\{ b(s)-\sum\limits_{i = 0}^{k}{\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{[\lambda b(s)t]}^{i}}}{i!}{\rm d}G(t)}} \right\}}, j>1, \end{eqnarray*} $

其中当$ j<0 $时, 有$ q_{j}^{*}(s) = 0, $且求和$ \sum\limits_{k = 0}^{j}{ = 0} $ (下同).

下面讨论系统队长的瞬态概率分布.令

$ {{p}_{ij}}(t) = P\left\{ N(t) = j\left| N(0) = i \right. \right\}. $

表示系统在初始时刻有$ i $个顾客的条件下, 时刻$ t $队长为$ j $的瞬态概率, 且设$ p_{ij}^{*}(s) = \int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{{p}_{ij}}(t){\rm d}t} $, $ i\ge 0 $, $ j\ge 0 $.

定理2.1  对$ \Re (s)>0 $和$ i\ge 1 $, 有

(2.1) $ \begin{equation} p_{00}^{*}(s) = \frac{1-f(s)}{s}\left\{ 1+\frac{f(s)b(s)}{{{\Delta }_{D}}(s)} \right\}, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} p_{i0}^{*}(s) = \frac{1-f(s)}{s}\cdot \frac{{{b}^{i}}(s)}{{{\Delta }_{D}}(s)}, \end{equation} $

其中$ {{A}_{n}}(D) = {{G}^{(n-1)}}(D)-{{G}^{(n)}}(D), n = 1, 2, \cdots; $$ {{\Delta }_{D}}(s) = 1-v[s+\lambda (1-b(s))]+[1-f(s)b(s)]\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D){{f}^{n-m}}(s){{b}^{n}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}}V(t)}} $.

证  令$ {{l}_{0}} = 0 $, $ {{l}_{k}} = \sum\limits_{i = 1}^{k}{{{\tau }_{i}}} $, $ k\ge 1 $.显然在时刻$ t $系统队长等于零的充要条件是时刻$ t $处于系统闲期(系统没有顾客的时间区间), 运用全概率分解技术和更新过程理论, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} {{p}_{00}}(t)& = &P\left\{ 0\le t<{{{\hat{\tau }}}_{1}} \right\}+P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}\le t<{{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}} \right\}+P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}\le t, N(t) = 0 \right\} {}\\ & = &\overline{F}(t)+\int_{0}^{t}{\bar{F}(t-x)d[F(x)*B(x)]}+P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}\le t, N(t) = 0 \right\}. \end{eqnarray} $

其中$ {{\hat{\tau }}_{j}} $表示系统的第$ j $个“系统闲期长度”, 有分布$ P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{j}}\le t \right\} = F(t) = 1-{{e}^{-\lambda t}}, t\ge 0, j\ge 1 $; $ {{b}_{j}} $表示系统的第$ j $个“服务员忙期”长度, 由引理1.1确定.

由于服务员具有单重休假且休假不中断, 同时系统采取$ D $ -策略控制, 所以, 下一个“服务员忙期”开始前可分为如下三种情形.

情形1  在服务员单重休假转来, 系统到达了$ m(m\ge 1) $个顾客, 但$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}<D} $, 此时服务员待在系统中直到后面到达顾客后满足服务启动的条件, 不妨设后面到达了$ n-m(n>m) $个, 且满足$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n}{{{\chi }_{i}}} $ (即$ n $个顾客的服务时间之和首次$ \ge D $), 见图 1.

情形2  在服务员单重休假转来, 系统中没有顾客, 即在服务员单重休假中没有顾客到达, 此时服务员待在系统中直到后面到达顾客后满足服务启动的条件, 不妨设后面到达了$ n(n\ge 1) $个, 且满足$ \sum\limits_{i = 1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{n}{{{\chi }_{i}}} $ (即$ n $个顾客的服务时间之和首次$ \ge D $), 见图 2.

情形3  在服务员单重休假转来, 系统到达了$ m(m\ge 1) $个顾客, 且$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}\ge D} $, 此时服务员立即为顾客服务, 新的“服务员忙期”开始, 见图 3.

于是, 上面(2.3)式中第三项为

(2.4) $ \begin{eqnarray} & &P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}\le t, N(t) = 0 \right\} {}\\ & = &\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{P\left\{ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}<D, {{{\hat{\tau }}}_{2}}\le V, {{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m-1}}\le V<}{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m}}, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+V+{{l}_{n-m}}\le t, \right.}} {}\\ &&\left. \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n}{{{\chi }_{i}}}, N(t) = 0 \right\} {}\\ & &+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{2}}>V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{n-1}}\le t, \sum\limits_{i = 1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{n}{{{\chi }_{i}}}, N(t) = 0 \right\}} {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{P\left\{ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}\ge D, {{{\hat{\tau }}}_{2}}\le V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+V\le t, {{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m-1}}\le V<}{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m}}, N(t) = 0 \right\}} {}\\ & = &\sum\limits_{m = 1}^{\infty }\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }A_n(D)\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}\int_{0}^{t-x-y} \frac{(\lambda y)^m}{m!}{}\\ &&\times e^{-\lambda y}p_{n0}(t-x-y-z) {\rm d}F^{(n-m)}(z){\rm d}V(y){\rm d}[F(x)*B(x)] {}\\ & &+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\int_{0}^{t-x-y}{V(y){{p}_{n0}}(t-x-y-z)}}}}{\rm d}{{F}^{(n-1)}}(z){\rm d}F(y){\rm d}[F(x)*B(x)] {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}{{p}_{m0}}(t-x-y)}{\rm d}V(y)}}{\rm d}[F(x)*B(x)]. \end{eqnarray} $

将(2.4)式带入(2.3)式作$ L $变换, 整理得

(2.5) $ \begin{eqnarray} p_{00}^{*}(s)& = &\frac{1-f(s)}{s}+f(s)b(s)\frac{1-f(s)}{s} {}\\ & &+\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)}}b(s){{f}^{n-m+1}}(s)p_{n0}^{*}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)} {}\\ && +\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]f(s)b(s)p_{m0}^{*}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t})}. \end{eqnarray} $

对$ i\ge 1 $, 同理, 有

(2.6) $ \begin{eqnarray} {{p}_{i0}}(t)& = &\int_{0}^{t}{\bar{F}(t-x){\rm d}}{{B}^{(i)}}(x) +\sum\limits_{m = 1}^{\infty } \sum\limits_{n = m+1}^{\infty } {A}_{n}(D)\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}\int_{0}^{t-x-y} \frac{(\lambda y)^{m}}{m!} {}\\ & &\times e^{-\lambda y}p_{n0}(t-x-y-z) {\rm d}F^{(n-m)}(z){\rm d}V(y){\rm d}B^{(i)}(x) {}\\ & &+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\int_{0}^{t-x-y}{V(y){{p}_{n0}}(t-x-y-z)}}}}{\rm d}{{F}^{(n-1)}}(z){\rm d}F(y){\rm d}{{B}^ {(i)}}(x) {}\\ & &+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}{{p}_{m0}}(t-x-y)}{\rm d}V(y)}}{\rm d}{{B}^{(i)}}(x). \end{eqnarray} $

对(2.6)式作$ L $变换, 整理有

(2.7) $ \begin{eqnarray} p_{i0}^{*}(s)& = &\frac{1-f(s)}{s}{{b}^{i}}(s)+\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)}}{{b}^{i}}(s){{f}^{n-m}}(s)p_{n0}^{*}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)} {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]{{b}^{i}}(s)p_{m0}^{*}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t})}. \end{eqnarray} $

由(2.5)式和(2.7)式可得$ p_{00}^{*}(s) $与$ p_{i0}^{*}(s) $的关系式如下

(2.8) $ \begin{eqnarray} p_{i0}^{*}(s) = \frac{{{b}^{i-1}}(s)}{f(s)}\bigg[p_{00}^{*}(s)-\frac{1-f(s)}{s}\bigg], {\quad} i\ge 1. \end{eqnarray} $

把(2.8)式带入(2.5)式, 可解得$ p_{00}^{*}(s) $, 再把$ p_{00}^{*}(s) $带入(2.8)式可得$ p_{i0}^{*}(s) $, 证毕.

定理2.2  对$ \Re (s)>0, j = 1, 2, \cdots $, 有

(2.9) $ \begin{equation} p_{0j}^{*}(s) = f(s)\left\{ q_{j}^{*}(s)+\frac{{{\varphi }_{j}}(s)+{{\theta }_{j}}(s)}{{{\Delta }_{D}}(s)} \right\}. \end{equation} $

(2.10) $ \begin{equation} p_{ij}^{*}(s) = \sum\limits_{k = 1}^{i}{q_{j-i+k}^{*}(s)}{{b}^{k-1}}(s)+{{b}^{i-1}}(s)\left\{ \frac{{{\varphi }_{j}}(s)+{{\theta }_{j}}(s)}{{{\Delta }_{D}}(s)} \right\}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} {{\varphi }_{j}}(s)& = &\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D){{f}^{n-m}}(s)\sum\limits_{k = 1}^{n}{q_{j-n+k}^{*}(s)}{{b}^{k}}(s)}}\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}}V(t) \\ && +\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]}\sum\limits_{k = 1}^{m}{q_{j-m+k}^{*}(s)}{{b}^{k}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}, \\ {{\theta }_{j}}(s)& = &b(s)\int_{0}^{\infty }{\bar{V}(t){{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{j}}}{j!}{\rm d}t} \\ && +\frac{{{G}^{(j)}}(D)b(s)}{\lambda } \sum\limits_{m = 0}^{j}{{{f}^{j-m+1}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}}, {\quad} j\ge 1. \end{eqnarray*} $

证  当$ j = 1, 2, \cdots $时, “时刻$ t $队长为$ j $ ”当且仅当时刻$ t $处于“服务员忙期”中且队长为$ j $; 或者时刻$ t $处于“服务员非忙期”中且队长为$ j $.于是

(2.11) $ \begin{eqnarray} {{p}_{0j}}(t)& = &P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{1}}\le t<{{{\hat{\tau }}}_{1}} +{{b}_{1}}, N(t) = j \right\}{}\\ &&+P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{2}}\le V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}\le t<{{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+V, N(t) = j \right\} {}\\ & &{+}P\{{{\hat{\tau }}_{2}}\le V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+V\le t, N(t) = j\}{+}P\{{{\hat{\tau }}_{2}}>V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+{{\hat{\tau }}_{2}}\le t, N(t) = j\} {}\\ & = &\int_{0}^{t}{{{Q}_{j}}(t-x){\rm d}F(x)}+\int_{0}^{t}{\overline{V}(t-x)\frac{{{[\lambda (t-x)]}^{j}}}{j!}{{e}^{-\lambda (t-x)}}{\rm d}}[F(x)*B(x)] {}\\ & &{+}P\{{{\hat{\tau }}_{2}}\le V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+V\le t, N(t) = j\} {}\\ & &{+}P\{{{\hat{\tau }}_{2}}>V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+{{\hat{\tau }}_{2}}\le t, N(t) = j\}. \end{eqnarray} $

其中上面(2.11)式中第一项表示“时刻$ t $处于服务员忙期中且队长为 $ j $”的概率; 第二项表示“在假期中有顾客到达, 而且时刻 $ t $处于服务员假期中且队长为 $ j $”的概率; 第三项表示“在假期中有顾客到达, 而且时刻 $ t $处于服务员假期后且队长为 $ j $”的概率; 第四项表示“在假期中没有顾客到达, 时刻 $ t $处于服务员休假转来第一个顾客到达之后且队长为 $ j $”的概率.

由于服务员是单重休假且休假不中断, 而且系统采取$ D $ -策略控制, 所以“在假期中有顾客到达, 而且时刻$ t $处于服务员假期后且队长为$ j $”又可分为如下三种情形.

(i) 在$ V $中到达$ m(m\ge 1) $顾客且$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}<D} $, 此时服务员休假归来待在系统中直到满足服务条件并开始服务.时刻$ t $落在服务员非忙期(在岗)中且$ N(t) = j $ (见下图 4)

(ii) 在$ V $中到达$ m(m\ge 1) $个顾客且$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}<D} $, 此时服务员休假归来待在系统中直到满足服务条件并开始服务.不妨设后面到达了$ n-m(n>m) $个, 且满足$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n}{{{\chi }_{i}}} $, 时刻 $ t $落在服务员开始服务之后且 $ N(t) = j $ (见上图 1).

(iii) 在$ V $中有$ m(m\ge 1) $个顾客到达且有$ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}\ge D $, 服务员休假归来开始服务.时刻$ t $落在服务员开始服务之后且$ N(t) = j $ (见上图 3).

于是, 上面(2.11)式中第三项为

(2.12) $ \begin{eqnarray} &&P\{{{\hat{\tau }}_{2}}\le V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+V\le t, N(t) = j\} {}\\ & = &\sum\limits_{m = 1}^{j}P\left\{ \hat{\tau }_2\le V, \sum\limits_{i = 1}^{m} \chi _i<D, \hat{\tau }_1+b_1+V+l_{j-m}\le t<\hat{\tau }_{1}+{b}_{1}+V+l_{j-m+1}, \right. {}\\ &&\left. \hat{\tau }_{2}+l_{m-1}\le V<{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m}}, \sum\limits_{i = 1}^{j}{{{\chi }_{i}}}<D \right\} {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{\sum\limits_{n = m{+}1}^{\infty }{P\left\{ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}<D, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+V+{{l}_{n-m}}\le t, }{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m-1}}\le V<{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{m}}, \right.}} {}\\ &&\left.\sum\limits_{i = {1}}^{m}{{{\chi }_{i}}}{+} \sum\limits_{i = m+1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D\le \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}}+\sum\limits_{i = m+1}^{n}{{{\chi }_{i}}}, N(t) = j \right\} {}\\ & &+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{P\left\{ \sum\limits_{i = 1}^{m}{{{\chi }_{i}}\ge D, {{{\hat{\tau }}}_{2}}\le V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+V\le t, }N(t) = j \right\}} {}\\ & = &\sum\limits_{m = 1}^{j}{{{G}^{(j)}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{[\lambda (t-x-y)]}^{j-m}}}{(j-m)!}{{e}^{-\lambda (t-x-y)}}\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}}{\rm d}V(y)}}{\rm d}[F(x)*B(x)] {}\\ & &+\sum\limits_{m = 1}^{\infty } \sum\limits_{n = m+1}^{\infty } A_n(D)\int_0^t\int_{0}^{t-x}\int_{0}^{t-x-y} p_{nj}(t-x-y-z)\frac{(\lambda y)^m}{m!} {}\\ & & \times e^{-\lambda y}{\rm d}F^{(n-m)}(z){\rm d}V(y){\rm d}[F(x)*B(x)] {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{{{p}_{mj}}(t-x-y)\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}}{\rm d}V(y)}}{\rm d}[F(x)*B(x)]. \end{eqnarray} $

同理, 事件“在假期中没有顾客到达, 时刻$ t $处于服务员休假转来第一个顾客到达之后且队长为$ j $”又可分为两种情形.

(1) 在$ V $中没有顾客到达, 此时服务员休假归来待在系统中直到后面有顾客到达.时刻$ t $落在服务员非忙期(在岗)中且$ N(t) = j $ (见下图 5).

(2) 在$ V $中没有顾客到达, 服务员休假归来待在系统中直到后面到达$ n(n\ge 1) $个顾客且有$ \sum\limits_{i = 1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D<\sum\limits_{i = 1}^{n}{{{\chi }_{i}}} $. {时刻{ $ t $落在服务员开始服务之后且$ N(t) = j $ (见上图 2).于是

(2.13) $ \begin{eqnarray} &&P\{{{\hat{\tau }}_{2}}>V, {{\hat{\tau }}_{1}}+{{b}_{1}}+{{\hat{\tau }}_{2}}\le t, N(t) = j\} {}\\ & = &P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{2}}>V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{j-1}}\le t<{{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{j}}, \sum\limits_{i = 1}^{j}{{{\chi }_{i}}}<D \right\} {}\\ &&+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{2}}>V, {{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{b}_{1}}+{{{\hat{\tau }}}_{2}}+{{l}_{n-1}}\le t, \sum\limits_{i = 1}^{n-1}{{{\chi }_{i}}}<D<\sum\limits_{i = 1}^{n}{{{\chi }_{i}}}, N(t) = j \right\}} {}\\ & = &{{G}^{(j)}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{V(y)\frac{{{[\lambda (t-x-y)]}^{j-1}}}{(j-1)!}{{e}^{-\lambda (t-x-y)}}}{\rm d}F(y)}{\rm d}[F(x)*B(x)] {}\\ &&+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\int_{0}^{t-x-y}{V(y){{p}_{nj}}(t-x-y-z)}}}} {\rm d}{{F}^{(n-1)}}(z){\rm d}F(y){\rm d}[F(x)* B(x)].{}\\ \end{eqnarray} $

对$ i\ge 1 $时, 同理可得

(2.14) $ \begin{eqnarray} {{p}_{ij}}(t)& = &\sum\limits_{k = 1}^{i}{\int_{0}^{t}{{{Q}_{j-i+k}}(t-x){\rm d}{{B}^{(k-1)}}(x)}}+\int_{0}^{t}{\bar{V}(t-x){{e}^{-\lambda (t-x)}}\frac{{{[\lambda (t-x)]}^{j}}}{j!}{\rm d}}{{B}^{(i)}}(x) {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{j}{{{G}^{(j)}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{[\lambda (t-x-y)]}^{j-m}}}{(j-m)!}{{e}^{-\lambda (t-x-y)}}\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}}{\rm d}V(y)}}{\rm d}{{B}^{(i)}}(x) {}\\ & &+\sum\limits_{m = 1}^{\infty } \sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{A}_{n}(D)\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}\int_{0}^{t-x-y} {p}_{nj}(t-x-y-z)\frac{(\lambda y)^{m}}{m!} {}\\ &&\times {e}^{-\lambda y}{\rm d}{F}^{(n-m)}(z){\rm d}V(y){\rm d}{B}^{(i)}(x) {}\\ &&+{{G}^{(j)}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{[\lambda (t-x-y)]}^{j-1}}}{(j-1)!}{{e}^{-\lambda (t-x-y)}}V(y)}{\rm d}F(y)}{\rm d}{{B}^{(i)}}(x) {}\\ & &+\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\int_{0}^{t-x-y}{V(y){{p}_{nj}}(t-x-y-z)}}}}{\rm d}{{F}^{(n-1)}}(z){\rm d}F(y){\rm d}{{B}^{ (i)}}(x) {}\\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\frac{{{(\lambda y)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda y}}{{p}_{mj}}(t-x-y)}{\rm d}V(y)}}{\rm d}{{B}^{(i)}}(x). \end{eqnarray} $

把(2.12)式和(2.13)式代入(2.11)式作$ L $变换, 得

(2.15) $ \begin{eqnarray} p_{0j}^{*}(s)& = &f(s)q_{j}^{*}(s)+f(s)b(s)\int_{0}^{\infty }{\bar{V}(t){{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{j}}}{j!}{\rm d}t} {}\\ & &+\frac{{{G}^{(j)}}(D)f(s)b(s)}{\lambda }\sum\limits_{m = 0}^{j}{{{f}^{j-m+1}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}} {}\\ &&+b(s)\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{p_{nj}^{*}(s){{A}_{n}}(D){{f}^{n-m+1}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}}} {}\\ &&+f(s)b(s)\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{p_{mj}^{*}(s)[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}}. \end{eqnarray} $

对(2.14)式作$ L $变换得

(2.16) $ \begin{eqnarray} p_{ij}^{*}(s)& = &\sum\limits_{k = 1}^{i}{{{b}^{k-1}}(s)q_{j-i+k}^{*}(s)}+{{b}^{i}}(s)\int_{0}^{\infty }{\bar{V}(t){{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{j}}}{j!}{\rm d}t} {}\\ &&+\frac{{{G}^{(j)}}(D){{b}^{i}}(s)}{\lambda }\sum\limits_{m = 0}^{j}{{{f}^{j-m+1}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}} {}\\ & &+{{b}^{i}}(s)\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m+1}^{\infty }{p_{nj}^{*}(s){{A}_{n}}(D){{f}^{n-m}}(s)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-(s+\lambda )t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}V(t)}}} {}\\ &&+{{b}^{i}}(s)\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{p_{mj}^{*}(s)[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-(s+\lambda )t}}{\rm d}V(t)}}. \end{eqnarray} $

由(2.15)式和(2.16)式可得到$ p_{0j}^{*}(s) $和$ p_{ij}^{*}(s) $的关系为

(2.17) $ \begin{eqnarray} p_{ij}^{*}(s) = \sum\limits_{k = 1}^{i}{q_{j-i+k}^{*}(s){{b}^{k-1}}(s)+\frac{{{b}^{i-1}}(s)}{f(s)}}[p_{0j}^{*}(s)-f(s)q_{j}^{*}(s)], i\ge 1. \end{eqnarray} $

把(2.17)式代入(2.15)式, 经整理可得$ p_{0j}^{*}(s) $, 把$ p_{0j}^{*}(s) $带入(2.17)式整理得$ p_{ij}^{*}(s) $的表达式.证毕.

定理3.1  令$ { } {{p}_{j}} = \lim\limits_{t\to \infty } P\left\{ N(t) = j \right\} $, $ j = 0, 1, 2, \cdots $, 对任意初始状态有

$ 1) $当$ \rho \ge 1 $时, $ {{p}_{j}} = 0 $, $ j = 0, 1, 2, \cdots $, 从而$ \left\{ {{p}_{j}}, j = 0, 1, 2, \cdots \right\} $不构成概率分布;

$ 2) $当$ \rho <1 $时, $ \left\{ {{p}_{j}}, j = 0, 1, 2, \cdots \right\} $有如下递推表达式

(3.1) $ \begin{equation} {{p}_{0}} = \frac{1-\rho }{A}, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} {{p}_{j}} = \frac{\lambda (1-\rho )\cdot ({{\xi }_{j}}+{{\delta }_{j}})}{A}, j\ge 1. \end{equation} $

且$ \left\{ {{p}_{j}}, j\ge 0 \right\} $构成概率分布.其中

$ A = \lambda E[V]+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)}}], $

$ {{\xi }_{j}} = \int_{0}^{\infty }{\overline{V}(t){{e}^{-\lambda t}}\frac{{{(\lambda t)}^{j}}}{j!}{\rm d}}t+\frac{{{G}^{(j)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(j+1)}}(t){\rm d}}V(t)]}{\lambda }, $

$ \begin{eqnarray*} {{\delta }_{j}}& = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)\sum\limits_{k = 1}^{n}{{{q}_{j-n+k}}}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n)}}(t){\rm d}}V(t)]} \\ &&+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\sum\limits_{k = 1}^{m}{{{q}_{j-m+k}}}}\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\lambda t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm d}}V(t), j\ge 1, \end{eqnarray*} $

$ {{q}_{j}} = \frac{1}{g\left( \lambda \right)}\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{j-1}}}{(j-1)!}{{e}^{-\lambda t}}\bar{G}(t){\rm d}t}+\frac{1}{g\left( \lambda \right)}\sum\limits_{k = 1}^{j-1}{{{q}_{j-k}}}\left\{ 1-\sum\limits_{i = 0}^{k}{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{i}}}{i!}{{e}^{-\lambda t}}}{\rm d}G(t)} \right\}, j\ge 1. $

证  由$ {{p}_{j}} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty }{P\left\{ N(0) = i \right\}\cdot \lim\limits_{t\to \infty }{{p}_{ij}}(t)} $, 而$ \lim\limits_{t\to \infty }{{p}_{ij}}(t) = \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}} sp_{ij}^{*}(s) $.因此只需计算$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}sp_{ij}^{*}(s) $.

事实上, 当$ \rho = \frac{\lambda }{\mu }>1 $或$ \rho = \frac{\lambda }{\mu } = 1 $, 注意到此时$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}b(s) = \omega (0<\omega <1) $或$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}b(s) = 1 $且$ E(b) = \infty $, 以及$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}{{\Delta }_{D}}(s) = 0 $与当$ E(b) = \infty $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}\frac{{\rm d}{{\Delta }_{D}}(s)}{{\rm d}s}& = &[1+\lambda E(b)]E(V)+[\frac{1}{\lambda }+E(b)]\sum\limits_{m = 0}^{\infty }{\sum\limits_{n = m}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}}V(t)}} \\ & = &[\frac{1}{\lambda }+E(b)]\lambda E(V)+[\frac{1}{\lambda }+E(b)]\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)}] \\ & = &[\frac{1}{\lambda }+E(b)]\left\{ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)]+\lambda E(V) \right\} \\ & = &\infty. \end{eqnarray*} $

再使用洛比达法则, 经计算即可得$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}sp_{ij}^{*}(s) = 0 $.从而当$ \rho = \frac{\lambda }{\mu }\ge 1 $时$ {{p}_{j}} = 0 $, $ j = 0, 1, 2, \cdots $.

当$ \rho = \frac{\lambda }{\mu }<1 $时, 注意到此时$ \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}b(s) = 1 $, $ E(b) = \frac{\rho }{\lambda (1-\rho )} $, 以及此时有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}\frac{{\rm d}{{\Delta }_{D}}(s)}{{\rm d}s}& = &[\frac{1}{\lambda }+E(b)]\left\{ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)]+\lambda E(V) \right\} \\ & = &\frac{1}{\lambda (1-\rho )}\left\{ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)]+\lambda E(V) \right\}. \end{eqnarray*} $

再使用洛必达法则, 经计算可得(3.1)–(3.2)式.

下面证明当$ \rho = \frac{\lambda }{\mu }<1 $时, $ \left\{ {{p}_{j}}, j\ge 0 \right\} $构成概率分布.经计算可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j = 1}^{\infty }p_j& = & \frac{1-\rho }{A}+\sum\limits_{j = 1}^{\infty } \frac{\lambda (1-\rho )\cdot (\xi_j+\delta _j)}{A} {}\\ & = &\frac{1-\rho }{A} \left\{ v(\lambda )+\lambda E(V)+\sum\limits_{j = 1}^{\infty } {{{G}^{(j)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(j+1)}}(t){\rm d}}V(t)]}+\lambda \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{\delta }_{j}}} \right\}. \end{eqnarray} $

而

(3.4) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{\delta }_{j}}}& = &\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{\left\{ \sum\limits_{n = 1}^{\infty }{{{A}_{n}}(D)}\sum\limits_{k = 1}^{n}{{{q}_{j-n+k}}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n)}}(t){\rm d}}V(t)]} \right.} {}\\ & &\left. +\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{[1-{{G}^{(m)}}(D)]\sum\limits_{k = 1}^{m}{{{q}_{j-m+k}}}}\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm {\rm d}}V(t)} \right\} {}\\ & = &(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{q}_{j}) \left\{ \sum\limits_{n = 1}^{\infty }nA_n(D) [1-\int_{0}^{\infty }{F}^{(n)}(t){\rm d}V(t)]\right. {}\\ &&\left. +\sum\limits_{m = 1}^{\infty } m[1-{G}^{(m)}(D)]\int_{0}^{\infty } {{{e}^{-\lambda t}}\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{\rm {\rm d}}V(t)} \right\} {}\\ & = &(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{q}_{j}}})\left\{ \sum\limits_{m = 0}^{\infty }{[m{{G}^{(m)}}(D)+\sum\limits_{n = m}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)}]\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}}V(t)} \right. {}\\ & &+\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{\left. m[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}}V(t) \right\}} {}\\ & = &(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{q}_{j}}})\left\{ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm {\rm d}}V(t)]}+\lambda E(V) \right\}. \end{eqnarray} $

经计算可以得到$ \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{q}_{j}} = E(b) = \frac{1}{\mu -\lambda }} $.

将(3.4)式代入(3.3)式, 整理即可证明.证毕.

定理3.2(稳态队长的随机分解结构)  令$ {{P}_{D}}(z) $表示该系统稳态队长分布的概率母函数, 则当$ \rho <1 $时, 有

(3.5) $ \begin{eqnarray} {{P}_{D}}(z)& = &\frac{(1-\rho )(1-z)g(\lambda (1-z))}{g(\lambda (1-z))-z} {}\\ &&\cdot \frac{\frac{1-v(\lambda (1-z))}{(1-z)}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{z}^{n}}{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(}t)]}}{A}, \left| z \right|<1 \end{eqnarray} $

且平均队长为

(3.6) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{D}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E({{\chi }^{2}})}{2(1-\rho )}+\frac{\frac{{{\lambda }^{2}}E({{V}^{2}})}{2}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)]}}{A}. \end{eqnarray} $

证  由$ {{P}_{D}}(z) = \sum\limits_{j = 0}^{\infty }{{{z}^{j}}{{p}_{j}}} $可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} {{P}_{D}}(z)& = &{{p}_{0}}+\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{p}_{j}}} {}\\ & = &\frac{1-\rho }{A}\left\{ \frac{1-v(\lambda (1-z))}{(1-z)}+V(\lambda )\right. {}\\ &&\left. +\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{G}^{(j)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(j+1)}}(t){\rm d}V(t)}]+\lambda \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{\delta }_{j}}} \right\}. \end{eqnarray} $

而

(3.8) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{\delta }_{j}}}& = &(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}}})\left\{ \sum\limits_{n = 1}^{\infty }{\frac{1-{{z}^{n}}}{1-z}{{A}_{n}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n)}}(t){\rm d}}V(t)]} \right. {}\\ & &\left. +\sum\limits_{m = 1}^{\infty }{\frac{1-{{z}^{m}}}{1-z}[1-{{G}^{(m)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{m}}}{m!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}}V(t)} \right\} {}\\ & = &(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}})}\left\{ \frac{1-v(\lambda (1-z))}{1-z}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{z}^{n}}{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)}]} \right\}. \end{eqnarray} $

而

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}}}& = &\frac{1}{g(\lambda )}\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}\left\{ \int_{0}^{\infty }{\overline{G}(t){{e}^{-\lambda t}}\frac{{{(\lambda t)}^{j-1}}}{(j-1)!}{\rm d}}t+\sum\limits_{k = 1}^{j-1}{{{q}_{j-k}}[1-\sum\limits_{i = 0}^{k}{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{i}}}{i!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}G(t)}}]} \right\}} \\ & = &\frac{z[1-g(\lambda (1-z))]}{\lambda (1-z)g(\lambda )}+\frac{1}{g(\lambda )}(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}}})\sum\limits_{k = 1}^{\infty }{{{z}^{k}}[1-\sum\limits_{i = 0}^{k}{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{i}}}{i!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}G(t)}}}] \\ & = &\frac{z[1-g(\lambda (1-z))]}{\lambda (1-z)g(\lambda )}+\frac{1}{g(\lambda )}(\sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}}})\sum\limits_{i = 2}^{\infty }{\frac{z-{{z}^{i}}}{1-z}\int_{0}^{\infty }{\frac{{{(\lambda t)}^{i}}}{i!}{{e}^{-\lambda t}}{\rm d}}G(t)} \end{eqnarray*} $

经整理得

(3.9) $ \begin{equation} \sum\limits_{j = 1}^{\infty }{{{z}^{j}}{{q}_{j}}} = \frac{z[1-g(\lambda (1-z))]}{\lambda [g(\lambda (1-z))-z]}. \end{equation} $

将(3.8)式和(3.9)式代入(3.7)式整理即得(3.5)式.再由$ {{\overline{L}}_{D}} = \frac{\rm d}{{\rm d}z}[{{P}_{D}}(z)]\left| _{z = 1} \right. $经计算即得(3.6)式.证毕.

定理3.3  本文研究的在$ D $ -策略控制下服务员单重休假且休假不中断的$ M/G/1 $排队系统的稳态队长可分解成独立的两部分之和:一部分是经典$ M/G/1 $排队系统的稳态队长, 另一部分是由$ D $ -策略和服务员单重休假且休假不中断的机制引起的附加队长$ {{L}_{d}} $, 且附加队长$ {{L}_{d}} $有如下离散分布:

(3.10) $ \begin{equation} P\left\{ {{L}_{d}} = n \right\} = \frac{\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)+{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)]}}}{A} , n = 0, 1, 2, \cdots. \end{equation} $

证  由上面(3.5)式可知本文研究的排队系统的稳态队长可分解成独立的两部分之和.下面证明附加队长$ {{L}_{d}} $有(3.10)式的离散分布.令

$ \begin{eqnarray*} {{P}_{D}}(z)& = &\frac{1}{A}\left\{ \frac{1-v(\lambda (1-z))}{1-z}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{z}^{n}}{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)}]} \right\} \\ & = &\frac{1}{A}\left\{ H(z)I(z)+F(z) \right\}, \end{eqnarray*} $

其中$ H(z) = 1-v(\lambda (1-z)) $, $ I(z) = \frac{1}{1-z} $, $ F(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{z}^{n}}{{G}^{(n)}}(D)}[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}V(t)]} $.然后利用$ P\left\{ {{L}_{D}} = n \right\} = \frac{1}{n!}\frac{{{\rm d}^{n}}}{{\rm d}{{z}^{n}}}[{{P}_{D}}(z)]\left| _{z = 0} \right. $, $ {{[H(z)\cdot I(z)]}^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}{{H}^{(k)}}(z){{I}^{(n-k)}}(z)} $.

这里$ {{H}^{(k)}}(z) $表示$ H(z) $关于$ z $求$ k $阶导数, $ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} $.再经过计算整理可得(3.10)式.证毕.

注3.1  当$ D = 0 $时, 本文研究的排队系统就是文献[3]中的空竭服务单重休假的$ M/G/1 $排队系统.在上面所得结果中, 令$ D = 0 $即可得与文献[3]完全一致的相应结果.

注3.2  当$ P\left\{ V = 0 \right\} = 1 $时, 即服务员不休假, 此时本文研究的排队系统等价于$ D $ -策略$ M/G/1 $排队系统.在上面所得结果中, 令$ P\left\{ V = 0 \right\} = 1 $即可得与文献[17]在$ N = 1 $时完全一致的相应结果.

显然, 太大的容量会使系统的运行和建设成本过高, 而容量过小则又会使一部分顾客因系统无法容纳而流失, 从而造成一定的经济损失.因此, 系统容量的优化设计是很有必要的.下面通过数值计算例子和借助稳态队长分布$ \{{{p}_{j}}, j = 0, 1, 2, \cdots \} $的表达式来讨论系统容量的优化设计, 并说明获得稳态队长分布$ \{{{p}_{j}}, j = 0, 1, 2, \cdots \} $的表达式在系统容量优化设计中的重要价值.

假设服务时间服从负指数分布$ G(t) = 1-{{e}^{-\mu t}}(\mu >0) $, 休假时间服从定长分布$ P\{ V = T \} = 1(T\ge 0) $, 下表 1给出当$ \lambda = 0.5 $, $ \mu = 1.5 $, $ D = 5 $, $ T = 15 $时稳态队长分布及平均队长的数值计算结果(小数点后保留四位).

由表 1可以看出, 当$ j $大于某一值后, 此刻的稳态队长分布$ {{p}_{j}} $取值已经十分的接近于零了, 所以在系统的容量设计中根本不需要把系统的容量设计为无穷大, 因此系统容量设计的优化就非常重要了.从表 1中数据可得

$ P\left\{ {{L}_{D}}>E[{{L}_{D}}] \right\} = 1-\sum\limits_{j = 0}^{E[{{L}_{D}}]}{{{p}_{j}} = 1-\sum\limits_{j = 0}^{3}{{{p}_{j}} = }}0.6342, $

$ P\left\{ {{L}_{D}}>E[{{L}_{D}}]+5 \right\} = 1-\sum\limits_{j = 0}^{E[{{L}_{D}}]+5}{{{p}_{j}} = 1-\sum\limits_{j = 0}^{8}{{{p}_{j}} = }}0.1691. $

也就是说, 如果按平均稳态队长为标准进行系统容量设计, 则到达的顾客(信息)因系统容量不够而损失的概率为$ 63.42\% $, 如果按比平均队长大$ 5 $个单位为参考标准进行系统容量设计, 则到达的顾客(信息)因系统容量不够而损失的概率为$ 16.91\% $, 损失的概率也是相当大的, 由此可见, 在容量设计时若仅仅依靠平均队长作为参考标准往往会使系统设计出现较大偏差, 因此, 我们不能只按平均稳态队长大小为标准来进行系统容量设计!

更进一步, 如果要求到达的顾客(信息)损失的概率不超过$ 0.0001 $, 那么系统的容量$ M $设计为多大才合理呢?由$ P\left\{ {{L}_{D}}>M \right\}\le 0.0001 $, 可得$ M\ge 20 $, 即可取系统容量$ M = 20 $.由此可见, 在排队系统的研究中, 仅仅获得平均队长的表达式来进行系统容量的设计是远远不够的, 求出便于作数值计算的稳态队长分布的表达式(递推式)对于系统容量设计有着不可缺少的重要价值.

本文建立的费用结构模型如下.

1) 系统(服务台)在一个更新周期内固定消耗费用(启动费用)为$ C $个单位;

2) 一个顾客在系统中逗留(包括等待和服务)单位时间的成本费用为$ h $个单位;

记$ {{F}_{D}} $为系统长期运行单位时间内所产生的成本期望费用.由更新报酬过程理论知

$ {{F}_{D}} = \frac{\mbox{一个更新周期内的成本期望费用}}{\mbox{一个更新周期的期望长度}}. $

一个服务员忙期和一个“服务员非忙期”构成系统的一个更新周期, 其中“服务员非忙期”是指从系统刚变空的时刻起, 直到服务员一次休假转来且开始为顾客服务的时刻为止的这段时间.

令$ {{H}_{D}} $表示服务员忙期开始时系统内的顾客数; $ {{I}_{D}} $表示“服务员非忙期长度”; $ {{B}_{D}} $表示服务员忙期长度; $ {{C}_{D}} $表示系统的一个更新周期的长度.

经过计算, $ {{H}_{D}} $有如下概率分布

$ \begin{eqnarray*} P\left\{ {{H}_{D}} = n \right\} & = &[1-{{G}^{(n)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\lambda x}}\frac{{{(\lambda x)}^{n}}}{n!}{\rm d}}V(x) \\ & &+[{{G}^{(n-1)}}(D)-{{G}^{(n)}}(D)]\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\lambda x}}\frac{{{(\lambda x)}^{i}}}{i!}{\rm d}}V(x)}, n = 1, 2, \cdots , \end{eqnarray*} $

因此, 服务员忙期开始时系统内的平均顾客数为

$ \begin{eqnarray*} E[{{H}_{D}}]& = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{nP\left\{ {{H}_{D}} = n \right\}} \\ & = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{n}\left\{ [1-{{G}^{(n)}}(D)]\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\lambda x}}\frac{{{(\lambda x)}^{n}}}{n!}{\rm d}}V(x) \right. \\ & &\left. +[{{G}^{(n-1)}}(D)-{{G}^{(n)}}(D)]\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\lambda x}}\frac{{{(\lambda x)}^{i}}}{i!}{\rm d}}V(x)} \right\} \\ & = &\lambda E(V)+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)\int_{0}^{\infty }{[1-{{F}^{(n+1)}}(x)]{\rm d}}V(x)}. \end{eqnarray*} $

服务员忙期的平均长度为

$ {{\overline{B}}_{D}} = E[b]\cdot E[{{H}_{D}}] = \frac{\rho }{\lambda (1-\rho )}\cdot E[{{H}_{D}}]. $

由于服务员忙期开始时在系统内的顾客数为上一个“服务员非忙期”内到达的顾客数, 而顾客到达过程是参数$ \lambda $的Possion过程, 因此“服务员非忙期”的平均长度为

$ {{\overline{I}}_{D}} = \frac{E[{{H}_{D}}]}{\lambda }. $

故系统一个更新周期的平均长度为

$ E[{{C}_{D}}] = E[{{I}_{D}}]+E[{{B}_{D}}] = \frac{E[{{H}_{D}}]}{\lambda (1-\rho )}, \rho <1. $

所以系统在长期运行单位时间内所产生的期望费用为

(5.1) $ \begin{eqnarray} {{F}_{D}}& = &h\cdot {{\overline{L}}_{D}}+\frac{C}{E[{{C}_{D}}]} {}\\ & = &h\cdot \left\{ \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E({{\chi }^{2}})}{2(1-\rho )}+\frac{\frac{{{\lambda }^{2}}E({{V}^{2}})}{2}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n{{G}^{(n)}}(D)[1-\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(n+1)}}(t){\rm d}}V(t)]}}{A} \right\} {}\\ & &+\frac{C\lambda (1-\rho )}{\lambda E(V)+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{{{G}^{(n)}}(D)\int_{0}^{\infty }{[1-{{F}^{(n+1)}}(x)]{\rm d}}V(x)}}. \end{eqnarray} $

由(5.1)式看出, $ {{F}_{D}} $是关于$ D $的非线性函数, 要直接求出最优解是非常困难的, 下面将结合数值计算实例来讨论最优阀值问题.

例5.1  某制造厂为了保证在下一个生产周期里生产设备能够正常运行, 管理者在一个生产周期结束后会立即安排技术人员对设备进行停产检修一次(相当于服务员去休假一次), 在对设备进行检修期间, 需要加工的产品(订单)也会源源不断的到来.由于制造厂的加工能力是足够大的, 因此管理者为了节约系统的转换成本, 就设计一个$ D $ -策略来控制:当检修完成后, 如果系统中等待加工的产品所需总加工时间$ \ge D $, 生产人员就立即开始生产, 直到系统中没有需要加工的产品又对设备进行停产检修一次; 如果系统中等待加工的产品所需总加工时间$ <D $, 则生产人员等到满足开工条件时才开始生产.因此, 在上述费用结构模型下, 管理者如何来寻找一个最佳的$ D $ -控制策略, 使得系统在单位时间内所产生的期望费用$ {{F}_{D}} $最小.

不妨假设需要加工的产品按参数为$ \lambda (>0) $的Possion流到达, 即$ F(t) = 1-{{e}^{-\lambda t}} $, 每个产品的加工时间服从参数为$ \mu (>0) $的负指数分布, 即$ G(t) = 1-{{e}^{-\mu t}} $, 设备的检修时间$ V $服从$ V(t) = 1-{{e}^{-\theta t}} $, 于是可得$ {{F}_{D}} $的表达式为}

(5.2) $ \begin{eqnarray} {{F}_{D}}& = &h\left\{ \frac{\lambda }{\mu -\lambda }+\frac{\frac{{{(\mu D)}^{2}}}{2}+\mu D+{{e}^{-\mu D\cdot \frac{\theta }{\lambda +\theta }}}[{{(\frac{\lambda }{\theta })}^{2}}+\mu D\cdot \frac{{{\lambda }^{3}}}{\theta {{(\lambda +\theta )}^{2}}}}{1+\mu D+\frac{{{\lambda }^{2}}}{\theta (\lambda +\theta )}{{e}^{-\mu D\cdot \frac{\theta }{\lambda +\theta }}}} \right\} {}\\ &&+\frac{C\lambda (1-\rho )}{1+\mu D+\frac{{{\lambda }^{2}}}{\theta (\lambda +\theta )}{{e}^{-\mu D\frac{\theta }{\lambda +\theta }}}}. \end{eqnarray} $

下面表 2与图 7分别给出了在取各参数值分别为$ (\lambda = 0.5, \rho = 0.25, \theta = 0.1, h = 1, $$ C = 150) $, 与$ (\lambda = 0.5, \rho = 0.45, \theta = 0.1, h = 1, C = 150) $, 和$ (\lambda = 0.5, \rho = 0.65, \theta = 0.1, h = 1, $$ C = 150) $三种情况下$ {{F}_{D}} $随$ D $的变化情况(结果通过MATLAB编程计算实现).

从表 2和图 7我们可以看出, 在$ \rho = 0.25 $时最优阀值$ {{D}^{*}} = 4.7491 $, 此时$ {{F}_{D}} = 11.1457 $; 在$ \rho = 0.45 $时最优阀值$ {{D}^{*}} = 7.3400 $, 此时$ {{F}_{D}} = 10.2411 $; 在$ \rho = 0.65 $时最优阀值$ {{D}^{*}} = 8.4273 $, 此时$ {{F}_{D}} = 9.7105 $.

而且从表 2和图 7我们还可以看出, 在系统其他参数取值不变的情况下, 系统的交通强度$ \rho $越大, 系统长期运行单位时间内所产生的成本期望费用对应于同样的控制策略值$ D $也越大, 这样最优阀值$ {{D}^{*}} $也越大.其原因是:系统的交通强度$ \rho $越大, 也就是服务率变小(单位时间内的加工能力变小), 这样, 稳态下待加工产品的队长增大, 于是待加工产品在系统中逗留的成本费用就增加了.

例5.2  在上述例5.1中, 如果检修时间服从定长分布$ P\left\{ V = T \right\} = 1 $$ (T\ge 0) $, 可得$ {{F}_{D}} $的表达式为

$ \begin{eqnarray} {{F}_{D}}& = &h\left\{ \frac{\lambda }{\mu -\lambda }+\frac{\frac{{{(\lambda T)}^{2}}}{2}+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n[1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(\mu D)}^{i}}}{i!}}]\cdot [{{e}^{-\lambda T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(\lambda T)}^{k}}}{k!}}]}}{\lambda T+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{[1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(\mu D)}^{i}}}{i!}}]\cdot [{{e}^{-\lambda T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(\lambda T)}^{k}}}{k!}}]}} \right\} {}\\ &&+\frac{C\lambda (1-\rho )}{\lambda T+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{[1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(\mu D)}^{i}}}{i!}}]\cdot [{{e}^{-\lambda T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(\lambda T)}^{k}}}{k!}}]}}. \end{eqnarray} $

此时$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n[1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(\mu D)}^{i}}}{i!}}]\cdot [{{e}^{-\lambda T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(\lambda T)}^{k}}}{k!}}]} $涉及可数无限项求和.因此我们必须在一些参数取定后并在一定的误差范围内将可数无限项求和化为有限项求和.其步骤为

第一步 先取参数值$ \lambda = 0.6, \rho = 0.8, h = 4, C = 150 $, 代入$ {{F}_{D}} $可得

$ {{F}_{D}} = 16+\frac{0.72{{T}^{2}}+4\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]+18}}{\frac{3}{5}T+\sum\limits_{n = 0}^{\infty }{[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]}}. $

第二步 给定误差$ \varepsilon = {{10}^{-10}} $, 由于$ n $是离散取值, 因此下面我们采取固定一个$ {{N}^{*}} $的取值来计算

$ {{\tilde{F}}_{D}} = 16+\frac{0.72{{T}^{2}}+4\sum\limits_{n = 0}^{{{N}^{*}}}{n[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]+18}}{\frac{3}{5}T+\sum\limits_{n = 0}^{{{N}^{*}}}{[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]}}. $

先找出在固定$ {{N}^{*}} $值下使得$ {{\widetilde{F}}_{D}} $达到极小值的变量$ (D, T) $的取值$ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $.再由

$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty }{n[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot } [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}] $

收敛, 则必有通项趋于零, 因此可以用通项$ [1-{{e}^{-\frac{3}{4}{{D}_{0}}}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3{{D}_{0}})}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}{{T}_{0}}}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3{{T}_{0}})}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]<\varepsilon $去验证.如果$ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $满足此条件, 则$ {{\widetilde{F}}_{D}} $就作为$ {{F}_{D}} $的近似极小值, $ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $即为寻找的近似极小值点$ ({{D}^{*}}, {{T}^{*}}) $.如果$ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $不满足此条件, 则加大$ {{N}^{*}} $的取值(例如增大1个单位取值), 重复上述过程, 直至找到符合要求的$ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $为止.

下面为具体计算(此过程通过1stopt软件编程实现).

当$ {{N}^{*}} = 1 $时, 有

$ {{\widetilde{F}}_{D}} = 16+\frac{0.72{{T}^{2}}+4{{e}^{-\frac{3}{5}T}}(1+\frac{3}{5}T)\cdot (1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}})+18}{{{e}^{-\frac{3}{5}T}}+\frac{3}{5}T+{{e}^{-\frac{3}{5}T}}(1+\frac{3}{5}T)\cdot (1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}})}. $

使得$ {{F}_{D}} $达到极小值$ {{\widetilde{F}}_{D}} = 26.8383 $的变量$ {{D}_{0}} = 69.5822 $, $ {{T}_{0}} = 2.7341 $.但$ (1-{{e}^{-\frac{3}{4}{{D}_{0}}}})\cdot ({{e}^{-\frac{3}{5}{{T}_{0}}}}\sum\limits_{k = 0}^{1}{\frac{{{(3{{T}_{0}})}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}) = 1>\varepsilon $.所以在$ {{N}^{*}} = 1 $时, $ {{D}_{0}} = 69.5822 $, $ {{T}_{0}} = 2.7341 $不符合.

当$ {{N}^{*}} = 2 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {{\widetilde{F}}_{D}} = 16+\frac{0.72{{T}^{2}}+8{{B}_{1}}{{B}_{2}}+4{{B}_{3}}{{B}_{4}}+18}{{{e}^{-\frac{3}{5}T}}+\frac{3}{5}T+{{B}_{3}}{{B}_{4}}}. \end{eqnarray*} $

其中, $ {{B}_{1}} = 1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}-\frac{3}{4}D\cdot {{e}^{-\frac{3}{4}D}} $, $ {{B}_{2}} = {{e}^{-\frac{3}{5}T}}(1+\frac{3}{5}T+\frac{9}{50}{{T}^{2}}) $, $ {{B}_{3}} = {{B}_{1}}-\frac{3}{4}D\cdot {{e}^{-\frac{3}{4}D}}, $$ {{B}_{4}} = {{B}_{2}}-\frac{9}{50}{{T}^{2}}\cdot {{e}^{-\frac{3}{5}T}}. $

经计算, 使得$ {{F}_{D}} $达到极小值$ {{\widetilde{F}}_{D}} = 26.0000 $的变量$ {{D}_{0}} = 34.2378 $, $ {{T}_{0}} = 0.0128 $.但$ (1-{{e}^{-\frac{3}{4}{{D}_{0}}}}\sum\limits_{i = 0}^{1}{\frac{{{(3{{D}_{0}})}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}})\cdot ({{e}^{-\frac{3}{5}{{T}_{0}}}}\sum\limits_{k = 0}^{2}{\frac{{{(3{{T}_{0}})}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}) = 0.9911>\varepsilon $所以在$ {{N}^{*}} = 2 $时, $ {{D}_{0}} = 34.2378 $, $ {{T}_{0}} = 0.0128 $也不符合.

按上述方法, 我们依次讨论了当$ {{N}^{*}} = 3, 4, \cdots , 14 $时, 均没有符合要求的$ ({{D}_{0}}, {{T}_{0}}) $.

当$ {{N}^{*}} = 15 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {{\widetilde{F}}_{D}} = 16+\frac{0.72{{T}^{2}}+4\sum\limits_{n = 0}^{15}{n[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]+18}}{\frac{3}{5}T+\sum\limits_{n = 0}^{15}{[1-{{e}^{-\frac{3}{4}D}}\sum\limits_{i = 0}^{n-1}{\frac{{{(3D)}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}]\cdot [{{e}^{-\frac{3}{5}T}}\sum\limits_{k = 0}^{n}{\frac{{{(3T)}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}]}}. \end{eqnarray*} $

经计算, 使得$ {{F}_{D}} $达到极小值$ {{\widetilde{F}}_{D}} = 27.0352 $的变量$ {{D}_{0}} = 1.9687 $, $ {{T}_{0}} = 3.1106 $.且

$ \begin{eqnarray*} (1-{{e}^{-\frac{3}{4}{{D}_{0}}}}\sum\limits_{i = 0}^{14}{\frac{{{(3{{D}_{0}})}^{i}}}{{{4}^{i}}\cdot i!}}) \cdot ({{e}^{-\frac{3}{5}{{T}_{0}}}}\sum\limits_{k = 0}^{15}{\frac{{{(3{{T}_{0}})}^{k}}}{{{5}^{k}}\cdot k!}}) = {2}{.5881}\times {1}{{{0}}^{-11}}<\varepsilon. \end{eqnarray*} $

故在$ {{N}^{*}} = 15 $时, $ {{D}_{0}} = 1.9687 $, $ {{T}_{0}} = 3.1106 $就符合要求.从而近似控制策略为$ {{D}^{*}} = 1.9687 $, $ {{T}^{*}} = 3.1106 $, 此时极小值$ {{F}_{D}}({{D}^{*}}, {{T}^{*}})\approx 27.0352 $.