设$K$为$n$维欧氏空间中的闭凸集, 超平面$H$是$n$维欧氏空间中的$n-1$维子空间.若$H$与$K$相交非空, 并把$K$完全置于一个以$H$为边界的半空间内, 则称$H$为$K$的支撑超平面.当$K$的任意一对平行支撑超平面间的距离相等时, 称$K$为常宽凸集, 平行支撑超平面间的距离为$K$的宽度, 平面常宽凸集的边界为常宽曲线.圆是典型的常宽曲线.

常宽凸集的概念由欧拉首次提出. 1876年, Reuleaux构造了以正三角形三个顶点为圆心, 边长为半径的外接圆弧组成的非圆的常宽曲线, 人们称之为Reuleaux三角形.该方法被推广在奇数边正多边形上得到Reuleaux正多边形.之后, Meissner将Reuleaux三角形推广至三维空间, 构造出两种不同的三维常宽凸集^[1-2]. 1915年, Blaschke与Lebesgue分别证明了平面上等宽度的常宽凸体中Reuleaux三角形面积最小, 这个定理就是著名的Blaschke-Lebesgue定理.对于这个命题, 国内外的数学家们又先后给出了其它巧妙的证明^[1,3-5].数学家十分关注Blaschke-Lebesgue定理的高维情形, 并提出了Blaschke-Lebesgue问题, 即高维等宽度的常宽凸体中谁的体积最小.长久以来, 人们猜测Meissner体是三维Blaschke-Lebesgue问题的解, 但至今未被证明.为此, 数学家不断尝试构造新的常宽凸集并研究其几何性质. 2003年, 潘生亮教授在文献[6]中利用Minkowski支撑函数得到了一类新的光滑的常宽凸集. 2007年, Lachand-Robert与Qudet用数学归纳法给出了一种$n$维常宽凸集的构造方法^[7]. 2011年, 徐文学博士构造了一类新的偶数边的常宽凸体^[1,8].

本文将讨论如何构造平面常宽曲线.为此, 我们首先定义了一类平面曲线, 称为杠杆轮(见正文中定义3.1), 并利用臂函数(见正文中第3节)给出杠杆轮的参数表示.其次, 我们证明了杠杆轮是平面常宽曲线的一种等价刻画.最后, 我们构造了一类臂函数为三角函数形式的常宽曲线, 并表明广义Reuleaux多边形(即由若干段圆弧围成的平面常宽凸体)是臂函数为分段常函数的一类杠杆轮.在此基础上, 构造了具体的广义Reuleaux多边形, 特别是偶数边的广义Reuleaux多边形.

记${{\Bbb R}}$为实数集, ${{\Bbb R}} ^n$为带有标准内积$\langle \cdot, \cdot \rangle$的n维欧氏空间, $S^{n-1}$为${{\Bbb R}} ^n$中的单位球面.

定义2.1  设$K\subset{{\Bbb R}} ^n$是一个有界子集, ${\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, 称

为$K$在${\bf{u}}$方向上的广义支撑超平面.

当$n = 2$时, 称$H(K, {\bf{u}})$为$K$在${\bf{u}}$方向上的广义支撑线.显然, 当$K$为有界闭集时

定义2.2  设$K\subset{{\Bbb R}} ^n$是一个有界子集.若存在实数$\omega\geq{0}$, 对任意${\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, $H(K, {\bf{u}})$与$H(K, -{\bf{u}})$之间的距离恒为$\omega$, 则称$K$是一个广义常宽集, 并称$\omega$为它的宽度.

一般地, 称${{\Bbb R}} ^n$中有非空内部的有界闭凸集为凸体.于是, 若取$K$为${{\Bbb R}} ^n$中的凸体, 则定义2.2就是通常的常宽凸体的定义.

设$K\subset{{\Bbb R}} ^n$是一个有界子集.若存在同胚映射$f:{{\Bbb R}} ^n\rightarrow{{\Bbb R}} ^n$使得$f(K) = B^n$, 其中$B^n$为${{\Bbb R}} ^n$中的单位闭球, 则称$K$满足球同胚条件.记${\cal K}_{B^n}$为满足球同胚条件的有界集的全体.此时, 对$K$的边界$\partial K$有$f(\partial K) = S^{n-1}$.

一般地, 常宽曲线由极值点构成, 即一个常宽曲线与其在任意方向上支撑线的交都为单点集(极值点定义参见文献[9]).因此, 设$K$是一个平面常宽凸体, 可以构造满射$\alpha:S^1\rightarrow \partial K$, 使得对给定的${\bf{u}}\in S^1$, $\{\alpha({\bf{u}})\} = H(K, {\bf{u}})\cap{K}$.记$c({\bf{{\bf{u}}}})$为$S^1$上以${\bf{{\bf{u}}}}$为起点且沿逆时针方向的有向曲线段, 若$K$是一个Reuleaux多边形, 则上述映射$\alpha$具有如下两个性质.

(ⅰ) $\forall {\bf{{\bf{u}}}}\in S^1, \exists c({\bf{{\bf{u}}}}), \lambda\geq{0}$使得对任意${\bf{v}}\in c({\bf{{\bf{u}}}})$, 有

特别地, 当$\lambda = 0$时, 有

(ⅱ) $\forall {\bf{{\bf{u}}}}\in S^1$, $\omega$为$K$的宽度, 则$\alpha({\bf{u}})-\alpha(-{\bf{u}}) = \omega {\bf{u}}$.

下面我们将对局部具有性质(ⅰ)和(ⅱ)的曲线进行研究.

定义3.1  设$\alpha:S^1\rightarrow{{\Bbb R}} ^2$是一个连续映射.若$\alpha$满足

$\rm(ⅰ)$对任意的${\bf{{\bf{u_0}}}}\in S^1$, 当${\bf{u}}$沿着$c({\bf{{\bf{u_0}}}})\varsubsetneqq S^1$趋于${\bf{u_0}}$时, 极限$\lim\limits_{{\bf{u}}\rightarrow {\bf{{\bf{u_0}}}}}\frac{\alpha({\bf{u}}) -\alpha({\bf{{\bf{u_0}}}})}{\|{\bf{u}}-{\bf{{\bf{u_0}}}}\|}$存在且

其中$\| \cdot \|$为矢量的模长;

$\rm(ⅱ)$$\exists \omega>0$使得对任意${\bf{u}}\in{S^{1}}$, 有$\alpha({\bf{u}})-\alpha(-{\bf{u}}) = \omega{\bf{u}}$, 则称$\alpha(S^{1})$为杠杆轮, 可以用$\alpha$表示.称线段$[\alpha(-{\bf{{\bf{u}}}}), \alpha({\bf{{\bf{u}}}})]$为$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的直径.

注3.1  杠杆轮$\alpha$上各方向直径长度均为$\omega$.

设$\alpha$为杠杆轮, 若任意给定${\bf{{\bf{u_0}}}}\in S^1, {\bf{u}}\in c({\bf{{\bf{u_0}}}})\varsubsetneqq S^1$且${\bf{{\bf{u_0}}}}\neq \pm {\bf{u}}$, 记点$P_{{\bf{{\bf{u_0}}}}, {\bf{u}}}$为过点$\alpha({\bf{{\bf{u_0}}}})$, $\alpha(-{\bf{{\bf{u_0}}}})$的直线与过点$\alpha({\bf{u}})$, $\alpha(-{\bf{u}})$的直线的交点, 则$\exists \lambda_1, \lambda_2\in {{\Bbb R}}$使得

结合定义3.1中的条件(ⅱ), 可得

由(3.2)式, 可得

由$\alpha$连续和(3.2)式, 当${\bf{u}}$沿着$c({\bf{{\bf{u_0}}}})\varsubsetneqq S^1$趋于${\bf{u_0}}$时, $\exists \lambda_1({\bf{{\bf{u}}}}), \lambda_2({\bf{{\bf{u}}}})$使得

因此, $\lim\limits_{{\bf{u}}\rightarrow{\bf{u_0}}}\lambda_1({\bf{{\bf{u}}}}) = \lim\limits_{{\bf{u}}\rightarrow{\bf{u_0}}}\lambda_2({\bf{{\bf{u}}}})$.

由${\bf{u_0}}$的任意性, 对任意的${\bf{{\bf{u}}}}\in S^1$, 当${\bf{v}}$沿着$c({\bf{{\bf{u}}}})\varsubsetneqq S^1$趋于${\bf{u}}$时, 定义

为杠杆轮$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的臂函数.一般地, 令${\bf{u}}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta), \theta\in[0, 2\pi)$, 记

引理3.1  对任意的${{\bf{{\bf{u}}}}\in{S^{1}}}$, 臂函数$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})$具有以下两个性质

$\rm(ⅰ)$$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})+\lambda(-{\bf{{\bf{u}}}}) = 1;$

$\rm(ⅱ)$$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})\in[0, 1].$

证  由定义3.1中的条件(ⅰ)与(3.3)式, 可得

由定义3.1中条件(ⅱ)与(3.4)式, 可得

即$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})+\lambda(-{\bf{{\bf{u}}}}) = 1$成立.

因为$\omega>0$, 由(2.4)式易知$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})\geq0$.由${\bf{{\bf{u}}}}$的任意性, $\lambda(-{\bf{{\bf{u}}}})\geq0$, 故$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})\in[0, 1]$.

记${\cal L}(\omega)$为平面上直径长度为$\omega$的杠杆轮的全体.称$P({\bf{{\bf{u}}}}) = \lim\limits_{{\bf{v}}\rightarrow{\bf{{\bf{u}}}}}P_{{\bf{{\bf{u}}}}, {\bf{v}}}$为杠杆轮$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的支点, 其中$P_{{\bf{{\bf{u}}}}, {\bf{v}}}$被(2.1)式定义.称线段$[P({\bf{{\bf{u}}}}), \alpha({\bf{{\bf{u}}}})]$为$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的臂.

注3.2  可以看出, 杠杆轮$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的支点

且由引理3.1中的条件(ⅰ)可得$P({\bf{{\bf{u}}}}) = P(-{\bf{{\bf{u}}}}).$

注3.3  对任意${\bf{u}}\in S^1$, 可见$\lambda({\bf{{\bf{u}}}}) = \frac{\|\alpha({\bf{{\bf{u}}}}) -P({\bf{{\bf{u}}}})\|}{\|\alpha({\bf{{\bf{u}}}}) -\alpha(-{\bf{{\bf{u}}}})\|}$, 即$\lambda({\bf{{\bf{u}}}})$为$\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上臂与直径的长度之比.

注3.4  设杠杆轮$\alpha$的直径长度为$\omega$, $\alpha$在${\bf{{\bf{u}}}}$方向上的臂长$\|\alpha({\bf{{\bf{u}}}})-P({\bf{{\bf{u}}}})\| = \omega\lambda({\bf{{\bf{u}}}})$恰好是$\alpha$在$\alpha({\bf{{\bf{u}}}})$处的曲率半径.

定理3.1(杠杆轮的参数方程)  若$\alpha\in{\cal L}(\omega)$, $\lambda_{\bf{u}}$为$\alpha$的臂函数, 则$\lambda_{\bf{u}}$具有以下两个性质

$\rm(ⅰ)$$\lambda_{\bf{u}}(\theta)+\lambda_{\bf{u}}(\theta+\pi) = 1, \theta\in[0, \pi)$;

$\rm(ⅱ)$$(\int_{0}^{\pi}\lambda_{\bf{u}}(\theta)\sin\theta{\rm d}\theta, -\int_{0}^{\pi}\lambda_{\bf{u}}(\theta)\cos\theta{\rm d}\theta) = (1, 0)$,

且$\alpha$的参数方程为

其中$\alpha(0) = (x_0, y_0)$.

反过来, 若$\lambda_{\bf{u}}:[0, 2\pi)\rightarrow [0, 1]$满足性质$\rm(ⅰ)$和$\rm(ⅱ)$, 则曲线

为杠杆轮.

证   (1) $\forall \alpha\in{\cal L}(\omega)$, $\lambda_{\bf{u}}$为$\alpha$的臂函数.注意到定义3.1中的条件(ⅰ)等价于对任意的${\bf{{\bf{u_0}}}}\in S^1, {\bf{u}}$沿着$c({\bf{{\bf{u_0}}}})\varsubsetneqq S^1$趋于${\bf{u_0}}$, 使得

结合(3.4)式可得

令${\bf{u_0}} = (\cos\theta, \sin\theta)$, 当${\bf{u}}$沿着顺时针方向趋近于${\bf{u_0}}$时, 由(3.6)式可得

当$\alpha(0) = (x_0, y_0)$时, 由${\bf{u_0}}$的任意性可以得到$\alpha(\theta)$的参数方程

结合定义3.1中的条件(ⅱ), 则有

结合引理3.1可知臂函数$\lambda_{\bf{u}}$满足性质(ⅰ)和(ⅱ).

(2) 设函数$\lambda_{\bf{u}}$满足性质(ⅰ)和(ⅱ), 曲线

首先, 证明曲线$\alpha$连续封闭.

即

结合性质(ⅱ)可得$\alpha(0) = \alpha(2\pi)$, 则$\alpha$是连续闭合的曲线.

其次, 由步骤(1)的证明过程可以看出(3.6)式成立, 进而(3.5)式也成立, 故定义3.1中的条件(ⅰ)成立.下面证明定义3.1中的条件(ⅱ)也是成立的.

任意取定$\theta\in[0, 2\pi)$, 当$\theta\in[0, \pi)$时, 有

当$\theta\in[\pi, 2\pi)$时, 有

令$\bf{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$, 则定义3.1中的条件(ⅱ)成立.

上一节通过观察Reuleaux多边形的特征定义了一类平面曲线:杠杆轮.本节将证明杠杆轮是常宽曲线的一种等价刻画.

引理4.1  下列各条款等价

$\rm(ⅰ)$$K$为n维常宽凸体;

$\rm(ⅱ)$$K\in{\cal K}_{B^n}$且$K$为广义常宽集;

$\rm(ⅲ)$设$K\in{\cal K}_{B^n}$对任意${\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, 若$\alpha_1\in H(K, {\bf{u}})\cap{K}, \alpha_2\in H(K, -{\bf{u}})\cap{K}$, 则$\frac{\alpha_1-\alpha_2}{\|\alpha_1-\alpha_2\|} = {\bf{u}}$.

证   (ⅰ) $\Rightarrow$ (ⅱ).显然的.

(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅲ).设$K\in{\cal K}_{B^n}$是宽度为$\omega$的广义常宽集.假设$\exists {\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, $\alpha_1\in H(K, {\bf{u}})\cap{K}$, $\alpha_2\in H(K, -{\bf{u}})\cap{K}$使得$\frac{\alpha_1-\alpha_2}{\|\alpha_1-\alpha_2\|}\neq {\bf{u}}$.

令${\bf{p}} = \alpha_2+\omega {\bf{u}}$, 易知${\bf{p}}\neq\alpha_1$且

由$\langle {\bf{u}}$, $\alpha_1-{\bf{p}}\rangle = 0$和$\|\alpha_1-{\bf{p}}\|>0$, 可得$\|\alpha_1-\alpha_2\|>\omega$.

令${\bf{u}}^* = \frac{\alpha_1-\alpha_2}{\|\alpha_1-\alpha_2\|}$, 设$\alpha_1^*\in H(K, {\bf{u}}^*)\cap{K}, \alpha_2^*\in H(K, -{\bf{u}}^*)\cap{K}$, 则

这与定义2.2矛盾, 故(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅲ)成立.

(ⅲ) $\Rightarrow$ (ⅱ).当$K$满足条款(ⅲ)时, 假设$\exists \alpha_1^*\in H(K, {\bf{u}})\cap{K}$使得$\alpha_1\neq\alpha_1^*$.由

看出, $\alpha_1^*-\alpha_2$与${\bf{u}}$不共线, 与$K$满足条款(ⅲ)矛盾.故对任意${\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, $H(K, {\bf{u}})\cap{K}$是一个单点集, 于是, 设映射$\alpha:S^{n-1}\rightarrow {{\Bbb R}} ^n$满足$\{\alpha({\bf{u}})\} = H(K, {\bf{u}})\cap{K}$.对任意${\bf{u}}$, ${\bf{v}}\in{S^{n-1}}$, ${\bf{u}}\neq {\bf{v}}$有

同理

$\forall {\bf{u}}\in{S^{n-1}}$, 记$\omega({\bf{u}}) = \|\alpha({\bf{u}})-\alpha(-{\bf{u}})\|$, 则

因此

同理, $\omega({\bf{v}})\geq \omega({\bf{u}})\langle {\bf{u}}$, ${\bf{v}}\rangle$.

若将$S^{n-1}$上从${\bf{u}}$至${\bf{v}}$的弧长为$s$的测地线平均分为$k$段: $\widehat{{\bf{u_0}}{\bf{u}}_1}$, $\widehat{{\bf{u}}_1{\bf{u}}_2}, \cdots$, $\widehat{{\bf{u}}_{k-1}{\bf{u}}_k}$.其中${\bf{u}}_0 = {\bf{u}}, {\bf{u}}_k = {\bf{v}}$.于是$\langle {\bf{u}}_{i-1}, {\bf{u}}_{i}\rangle = \cos\frac{s}{k}, i = 1, 2, \cdots , k$, 则

因为

故$\omega({\bf{u}}) = \omega({\bf{v}})$, 进而$K$为广义常宽集, 即(ⅲ) $\Rightarrow$ (ⅱ)成立.

(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅰ).设$K$满足条款(ⅱ), 则对任意${\bf{u}}\in{S^{n-1}}, H(K, {\bf{u}}) = H(\rm{conv}K, {\bf{u}})$, 其中$\rm{conv}K$表示$K$的凸包.又$K$为广义常宽集, 故凸体$\rm{conv}K$也为广义常宽集, 进而$\rm{conv}K$为常宽凸体.由$K\subset \rm{conv}K$, 可得

对$\rm{conv}K$应用(ⅲ) $\Rightarrow$ (ⅱ)的方法, 可以得到$H(\rm{conv}K, {\bf{u}})\cap{\rm{conv}K}$与$H(K, {\bf{u}})\cap K$均为单点集, 故

进而

事实上, 若$\exists {\bf{x}}\in\partial K$, 但${\bf{x}}\not\in\partial{(\rm{conv}K)}$, 由$\partial{(\rm{conv}K)}$的封闭性, 则$\partial K$有自交点或不连通, 这与$K\in{\cal K}_{B^n}$矛盾, 故$\partial{(\rm{conv}K)} = \partial K$.

因此$K = \rm{conv}K$, 故$K$为常宽凸体, 即(ⅱ) $\Rightarrow$ (ⅰ)成立.

引理4.2  设曲线$\alpha$为杠杆轮, 则对任意${\bf{u}}\in S^{1}$有$H(\alpha, {\bf{u}})\cap{\alpha} = \{\alpha({\bf{u}})\}$.

证  设$\alpha$是直径长为$\omega$的杠杆轮.由定理3.1, 存在臂函数$\lambda_{\bf{u}}$使得

其中$\alpha(0) = (x_0, y_0)$.设${\bf{u}}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta), \theta\in[0, 2\pi)$, 任意取定$\theta_0\in[0, 2\pi)$, 则

当$\theta_0-\theta\in(0, \pi)$时, 令$\phi = \theta_0-\varphi$, 则

当$\theta_0-\theta\in(\pi, 2\pi)$时, 令$\phi = \theta_0-\varphi$, 由$\alpha$的封闭性(即$\alpha(0) = \alpha(2\pi)$)得

当$\theta_0-\theta\in(-2\pi, 0)$时, 令$\phi = \theta_0-\varphi+2\pi$, 同理可证

故$\alpha(\theta_0)\in H(\alpha, {\bf{u}}(\theta_0))\cap{\alpha}$.

下面证明$H(\alpha, {\bf{u}}(\theta_0))\cap{\alpha}$中仅有一点$\alpha(\theta_0)$.反设存在$\alpha(\theta)\in H(\alpha, {\bf{u}}(\theta_0))\cap{\alpha}$且$\alpha(\theta)\neq\alpha(\theta_0)$, 则$\langle{\bf{u}}(\theta_0), \alpha(\theta_0)-\alpha(\theta)\rangle = 0$.进而

令$m = \min\{\theta_0, \theta\}, M = \max\{\theta_0, \theta\}$.利用$\lambda_{\bf{u}}$的非负性, 仿照上述的分类讨论, 可得

进而, $\alpha(\theta) = \alpha(\theta_0)$, 即$H(\alpha, {\bf{u}}(\theta_0))\cap{\alpha} = \{\alpha(\theta_0)\}$, 由$\theta_0$的任意性可得结论成立.

定理4.1(常宽曲线的等价刻画)  $K\in{\cal K}_{B^2}$, $K$为常宽凸体当且仅当$\partial K$为杠杆轮.

证  充分性.设$\partial K$为杠杆轮, 由引理4.2可知对任意${\bf{u}}\in{S^{1}},$有

由定义3.1中的条件(ⅱ)可得

故杠杆轮为广义常宽集.进一步, 结合已知条件$K\in{\cal K}_{B^2}$和引理4.1可知$K$为常宽凸体.

必要性.设$K$为平面常宽凸体, 由引理4.1可知$K\in{\cal K}_{B^2}$, 且对任意${\bf{u}}\in{S^{1}},$若$\alpha_1\in H(K, {\bf{u}})\cap{K}$, $\alpha_2\in H(K, -{\bf{u}})\cap{K}$, 则

由引理4.1中步骤(ⅲ) $\Rightarrow$ (ⅱ)的证明过程, 存在一个正常数$\omega$和一个映射$\alpha:S^1\rightarrow {{\Bbb R}} ^2$满足$\{\alpha({\bf{u}})\} = H(K, {\bf{u}})\cap{K}$, 且

即$\alpha$满足定义3.1的条件(ⅱ). $\forall {\bf{u}}, {\bf{v}}\in S^1$且${\bf{u}}\neq \pm{\bf{v}}$, 令

显然, $\alpha({\bf{u}})\in[{\bf{p}}_{{\bf{u}}, -{\bf{v}}}, {\bf{p}}_{{\bf{u}}, {\bf{v}}}]$, 其中$[{\bf{p}}_{{\bf{u}}, -{\bf{v}}}, {\bf{p}}_{{\bf{u}}, {\bf{v}}}]$表示以${\bf{p}}_{{\bf{u}}, -{\bf{v}}}, {\bf{p}}_{{\bf{u}}, {\bf{v}}}$为端点的线段.同理, $\alpha(-{\bf{u}})\in[{\bf{p}}_{-{\bf{u}}, -{\bf{v}}}, {\bf{p}}_{-{\bf{u}}, {\bf{v}}}]$.因$\alpha({\bf{u}})-\alpha(-{\bf{u}}) = \omega{\bf{u}}$, 故$\exists \lambda\in[0, 1]$使得

同理, $\exists \mu\in[0, 1]$使得

设${\bf{p}}_{{\bf{u}}, {\bf{v}}} = {\bf{p}}_{-{\bf{u}}, -{\bf{v}}}+x \omega {\bf{u}}+y \omega {\bf{v}}$, 其中$x, y$为实数.由${\bf{p}}_{{\bf{u}}, {\bf{v}}}\in H(K, {\bf{u}})\cap H(K, {\bf{v}})$, 得

解得$x = y = \frac{1}{\langle {\bf{u}}, {\bf{v}}\rangle+1}$.故

若任意给定${\bf{{\bf{u_0}}}}\in S^1$, 当${\bf{u}}$沿$c({\bf{{\bf{u_0}}}})\varsubsetneqq S^1$趋近于${\bf{u_0}}$时, 常宽曲线$\alpha$在$\alpha({\bf{u_0}})$处的曲率半径$\lim\limits_{{\bf{u}}\rightarrow {\bf{u_0}} }\frac{\|\alpha({\bf{u}}) -\alpha({\bf{u_0}})\|}{\|{\bf{u}}-{\bf{u_0}}\|}$存在.于是, $\exists \lambda({\bf{u}}), \mu({\bf{u}})\in[0, 1]$使得

又$\frac{\omega}{2}(\mu({\bf{u}})+\lambda({\bf{u}}))\geq 0$, 将(3.1)式等号两边与单位矢量$\lim\limits_{{\bf{u}}\rightarrow {\bf{u_0}}}\frac{{\bf{u}} -{\bf{u_0}}}{\|{\bf{u}}-{\bf{u_0}}\|}$作内积可以得到$\alpha$满足定义3.1中的条件(ⅰ).由定义3.1知$\partial K$为杠杆轮.

下面我们利用定理3.1和定理4.1构造一类平面常宽曲线.设$[0, \pi)$上的函数

其中$a_i, b_i\in{{\Bbb R}} , i = 1, 2, \cdots, n$, 则

结合定理3.1和定理4.1可以证明, 函数

是杠杆轮(或常宽曲线)的臂函数当且仅当齐次线性方程组

成立且非零常数

记$\alpha$是由臂函数$\lambda_{\bf{u}}(\theta)$确定的杠杆轮, 令$\alpha(0) = (x_0, y_0)$, 结合定理3.1可得

利用(5.1), (5.2)和(5.5)式可以得到$\alpha$的参数方程$\alpha(\theta) = (x(\theta), y(\theta))$

其中

例5.1  当$n = 4$时, 联立(5.3)和(5.4)式可以求出$a_1, \cdots, a_4, b_1, \cdots, b_4, c$的解空间, 取其中的一组解$a_1 = 0$, $a_2 = -1$, $a_3 = 24$, $a_4 = 5$, $b_1 = 0$, $b_2 = 2$, $b_3 = 0$, $b_4 = -5$, $c = 23$, 此时臂函数

其中$u_i(\theta)$由(5.6)式给出.取$\omega = 1$, $x_0 = 1$, $y_0 = 0$, 确定的杠杆轮记为$\alpha_1$, 如图 1.

例5.2  当$n = 5$时, 联立(4.3)和(4.4)式可以求出$a_1, \cdots, a_5, b_1, \cdots, b_5, c$的解空间, 取其中的一组解$a_1 = \frac{8}{15\pi}$, $a_2 = -1$, $a_3 = 0$, $a_4 = 15$, $a_5 = -\frac{4}{5}$, $b_1 = \frac{8}{3\pi}$, $b_2 = 1$, $b_3 = 0$, $b_4 = -2$, $b_5 = 0$, $c = 18$, 此时臂函数

其中$u_i(\theta)$由(4.6)给出.取$\omega = 1$, $x_0 = 1$, $y_0 = 0$, 确定的杠杆轮记为$\alpha_2$, 如图 2.

我们把包含圆与Reuleaux多边形在内的所有可以分割为若干段圆弧的常宽曲线统称为广义Reuleaux多边形.下面我们讨论广义Reuleaux多边形的构造.由定理3.1和定理4.1可知, 对任意宽度为$\omega$的广义Reuleaux多边形$\Gamma$, 存在臂函数$\lambda_{\bf{u}}$满足定理3.1中的性质(ⅰ)和(ⅱ)且

定理5.1  任意广义$\rm Reuleaux$多边形的臂函数为分段常函数.反之, 任意臂函数为分段常函数的杠杆轮都是广义$\rm Reuleaux$多边形.

证  首先, 设$\Gamma$是宽度为$\omega$的广义Reuleaux多边形, 则$\Gamma\in{\cal L}(\omega)$.设$\gamma$为$\Gamma$上任意一段圆弧, 其圆心为$P$半径为$r$.对任意${\bf{x}}\in\gamma$, $\exists {\bf{u}}\in S^1$使得${\bf{x}} = P+r{\bf{u}}$.由引理4.2可得${\bf{x}} = \Gamma({\bf{u}})$, 故

设$\Gamma$在${\bf{u}}$方向上的支点为$P({\bf{u}})$, 因杠杆轮$\Gamma$在${\bf{u}}$方向上的臂长是$\Gamma$在${\bf{x}}$处的曲率半径, 即$\|\Gamma({\bf{u}})-P({\bf{u}})\| = r$, 故

且对任意$\Gamma({\bf{u}})\in\gamma$有

即在$\gamma$上对应的$\lambda({\bf{u}})$恒为常数.因广义Reuleaux多边形由若干段圆弧构成, 故它的臂函数在$[0, 2\pi)$上为分段常函数.

其次, 设$\alpha$是直径为$\omega$的杠杆轮, 其臂函数$\lambda_{\bf{u}}$为分段常函数, 故设

其中右开区间$I_1, I_2, \cdots, I_k$为区间$[0, 2\pi)$的一组划分, $\lambda_i\in[0, 1]$是一组常数, $i = 1, 2, \cdots, k$.结合定理3.1知, $\lambda_{\bf{u}}$确定的$\alpha$上的曲线段

是半径为$\omega\lambda_i$的圆弧, 即$\alpha$是广义Reuleaux多边形.

事实上, 构造广义Reuleaux多边形就是构造臂函数为分段常函数的杠杆轮.为此, 我们设$[0, \pi)$上的分段常函数

其中右开区间$I_1, I_2, \cdots, I_n$为区间$[0, \pi)$的一组划分, $\mu_i\in{{\Bbb R}}$是一组常数, $i = 1, 2, \cdots, n$.令

结合定理3.1和定理5.1可以证明, 若$n$元齐次线性方程组

成立且非零常数

则分段常函数

是广义Reuleaux多边形的臂函数.反之, 若任意广义Reuleaux多边形的臂函数$\lambda_{\bf{u}}(\theta)$由(5.7)和(5.11)式给出, 则(5.9)和(5.10)式成立.

设分段常函数

是广义Reuleaux多边形$\Gamma$的臂函数, 其中右开区间$I_1, I_2, \cdots, I_n$为区间$[0, \pi)$的一组划分, $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$是一组常数, 且任意区间$I_{i}$与$I_{i-1}$相邻, 任意常数$\lambda_{i}\neq\lambda_{i-1}, i = 2, \cdots, n$.

易看出, 当常数$\lambda_{i} = 0$时, 区间$I_{i}$对应$\Gamma$上的一个奇点.当常数$\lambda_{i}\neq0$时, 区间$I_{i}$对应$\Gamma$上的一条边.进而, 可以得到广义Reuleaux多边形$\Gamma$的边数

其中非负整数$N_0, N_1$分别定义为常数组$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$中$0$和$1$的个数, 且

综上所述, 将区间$[0, \pi)$任意划分为一组右开区间$I_1, I_2, \cdots, I_n$, 通过(4.8)式计算出两组实数$\{S_i\}, \{C_i\}, i = 1, 2, \cdots, n$, 并代入(4.9)和(4.10)式, 可以求出$\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n, c$的解空间.联立(5.7)和(5.11)式得到臂函数$\lambda_{\bf{u}}(\theta)$, 进而得到对应的广义Reuleaux多边形.

例5.3  将区间$[0, \pi)$平均分成九个右开区间, 可以求出$\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_9, c$的解空间, 取其中的一组解$\mu_1 = \mu_4 = \mu_6 = \mu_9 = \cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{\pi}{9}$, $\mu_2 = \mu_8 = 2-2\cos\frac{4\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{\pi}{9}$, $\mu_3 = \mu_5 = \mu_7 = \cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}$, $c = \cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{2\pi}{9}$.此时臂函数

设直径长度$\omega = 1$, 利用定理$\rm3.1$, 构造出广义$\rm Reuleaux$十一边形, 如图 3.

例5.4  将区间$[0, \pi)$划分为$[0, \theta_1)$, $[\theta_1, \theta_2)$, $[\theta_2, \pi)$三个区间, 令$\frac{\mu_1}{c} = \frac{\mu_3}{c} = -1$, $|\frac{\mu_2}{c}|<1$, 即$\lambda_1 = \lambda_3 = 0$, $\lambda_2\in(0, 1)$, 则(5.12)式中$N = 4$, 结合(5.9)式解得$\theta_1 = \pi-\theta_2\in(0, \frac{\pi}{3})$.令$\theta_1 = \frac{\pi}{6}$, 此时臂函数

设直径长度$\omega = 1$, 利用定理$\rm3.1$, 构造出$\rm Reuleaux$等腰梯形, 如图 4.

为了构造平面常宽凸体, 我们基于Reuleaux多边形的性质定义了一类平面曲线, 称为杠杆轮, 它是平面常宽曲线的一种等价刻画.我们引入了杠杆轮的臂函数, 用臂函数给出了杠杆轮的参数表示, 从而给出了常宽曲线的一种不同于支撑函数表示的参数方程.特别地, 本文定义的臂函数区别于支撑函数.首先, 臂函数不依赖于原点位置.其次, 可以用臂函数的积分表示曲线参数方程, 不要求臂函数的连续性, 并且比支撑函数更便于构造Reuleaux多边形.

另外, 本文构造了一类臂函数为三角函数形式的常宽曲线, 并且推广了经典的Reuleaux多边形, 得到了广义Reuleaux多边形.