不可压液晶的流体动力学理论最早是由Ericksen^[2-4]和Leslie^[8-9]在1960年代建立的.后来, Hardt, Kinderlehrer和林芳华在文献[13]中最初开始抛物型Ericksen-Leslie方程的数学研究.自此以后, 有大量关于Ericksen-Leslie方程及其逼近形式的存在性、正则性以及部分正则性的研究, 例如文献[22-25].对于更一般的抛物型Ericksen-Leslie方程, 关于二维空间$ {\mathbb R}^2 $中的局部适定性和整体适定性请参见文献[15, 26], 而关于弱解的存在性和唯一性参见文献[14, 21, 27].

对于液晶的双曲型的Ericksen-Leslie方程, 高维情况下的数学研究结果非常少. De Anna和Zarnescu在文献[1]中研究了一个相关的惯性的液晶的Qian-Sheng模型.他们得出了能量守恒律, 同时也证明了有界初值下的局部适定性和小初值的同时系数满足某种衰减性质下的整体适定性.对于无粘性的Qian-Sheng模型, Feireisl等在文献[5]中证明了大初值下的整体耗散解的存在性.最近, 江宁和罗益龙在文献[19]中证明了双曲型不可压Ericksen-Leslie方程的有限初值下的局部经典解的存在性和唯一性.而在Leslie系数的一些约束条件和小初始能量的假设下, 他们也可以证明整体经典解的存在性和唯一性.

最近, Wu, Xu和Zarnescu在文献[29]中研究了不可压缩向列型液晶流的Beris-Edwards系统在控制流动时特征值范围的保留效应和缺陷的动态出现.特别地, 他们为Beris-Edwards系统在大Ericksen数的极限下的部分解耦提供了定性的理解.本文的目标是为了探讨双曲型Ericksen-Leslie方程的解的大Ericksen数的极限.在本文中, 我们将要研究了在大Ericksen数和Reynold数极限下, 如下双曲型Ericksen-Leslie不可压液晶方程的部分解耦问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\partial_t(\rho u)+ {\rm{div}}(\rho {\rm{u}}\otimes {\rm{u}})+\nabla p = {\rm{div}}(\Sigma_1+\Sigma_2+\Sigma_3), \\ & {\rm{divu}} { } = 0, \\ & \rho \ddot{\rm d} = \kappa\Delta{\rm d}+\Gamma{\rm d}+\lambda_1(\dot{\rm d}+{\rm B} {\rm d})+\lambda_2 {\rm A} {\rm d}, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \rho>0 $表示流体的密度常数, $ u(t, x)\in{\mathbb R}^n $表示流体的速度向量场, $ {\rm d}(t, x)\in{\mathbb R}^n $表示液晶分子在几何约束$ |{\rm d}| = \ell $下的方向场.这里, $ \ell $为棒状向列相液晶分子的平均长度. $ p(t, x)\in{\mathbb R} $表示标量压力场.这里, $ \dot{\rm d} $和$ \ddot{\rm d} $分别表示$ {\rm d} $的一阶物质导数和二阶物质导数, 即

(1.2) $ \begin{equation} \dot{\rm d} = \partial_t{\rm d}+u\cdot\nabla{\rm d}, \quad \ddot{\rm d} = \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d}\ . \end{equation} $

记号

(1.3) $ \begin{equation} {\rm A} = \frac{1}{2}(\nabla u+\nabla u^\top), \quad {\rm B} = \frac{1}{2}(\nabla u-\nabla u^\top) \end{equation} $

分别表示表示应变张量的速率和应变速率的反对称部分.记号$ \Sigma_i (i = 1, 2, 3) $定义如下

(1.4) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \Sigma_1 = \frac{1}{2}\mu_4(\nabla u+\nabla u^\top), \\ { } \Sigma_2 = \frac{1}{2}\kappa|\nabla {\rm d}|^2 {\rm E}-\kappa (\nabla {\rm d}\odot\nabla{\rm d}), \\ { } \Sigma_3 = \tilde{\sigma}_{\mu}(u, {\rm d}, {\dot{\rm d}}), \end{array} \end{equation} $

其中$ {\rm E} $是$ n\times n $单位矩阵, 矩阵$ (\nabla{\rm d}\odot\nabla{\rm d}) $的元素为$ (\nabla{\rm d}\odot\nabla{\rm d})_{ij} = \partial_i{\rm d}\cdot\partial_j{\rm d} $, $ \tilde{\sigma}(u, {\rm d}, \dot{\rm d}) $是应力张量具有如下分量形式

(1.5) $ \begin{eqnarray} \big(\tilde\sigma(u, {\rm d}, \dot{\rm d}) \big)_{ij} & = &\mu_1{\rm d}_k{\rm d}_p{\rm A}_{kp}{\rm d}_i{\rm d}_j+\mu_2{\rm d}_i(\dot {\rm d}_j+{\rm B}_{jk}{\rm d}_k)+\mu_3{\rm d}_j(\dot {\rm d}_i+{\rm B}_{ik}{\rm d}_k) {}\\ &&+\mu_5 {\rm d}_i {\rm A}_{jk}{\rm d}_k+\mu_6{\rm d}_j {\rm A}_{ik}{\rm d}_k , \end{eqnarray} $

这里参数$ \mu_i\ (i = 1, 2, 3, 5, 6) $是Leslie系数, $ \mu_4 $就是通常的粘性系数, $ \kappa $是测量液晶分子的弹性的Frank常数.通常, $ \lambda_1, \lambda_2 $满足$ \lambda_1 = \mu_2-\mu_3, \ \lambda_2 = \mu_5-\mu_6 . $并且, $ \mu_2, \mu_3, \mu_5, \mu_6 $满足关系$ \mu_2+\mu_3 = \mu_6-\mu_5 , $这一关系被称为Parodi's关系, 它是由Onsager互反关系导出的, Onsager互反关系表示了在非平衡的热力学系统中流体和力之间某些关系的相等关系, 详细内容请参见文献[28].拉格朗日乘子$ \Gamma $具有如下表示

(1.6) $ \begin{equation} \Gamma \equiv \Gamma(u, {\rm d}, \dot{\rm d}) = \frac{1}{\ell^2}\big(-|\dot{\rm d}|^2+\kappa|\nabla{\rm d}|^2-\lambda_2{\rm d}^\top{\rm A}{\rm d} \big). \end{equation} $

从原始Ericksen-Leslie模型到不可压缩液晶系统(1.1)的严格推导归功于文献[19-20].由于我们要研究方程(1.1)的渐近行为, 因此研究它的无量纲形式是十分必要的.为此, 我们需要开展如下的无量纲程序.

令$ L^\ast, T^\ast $和$ U^\ast $分别表示宏观尺度下的单位长度、时间和流体速度, 其中$ U^\ast = \frac{L^\ast}{T^\ast} $.令$ \rho^\ast , c^\ast $和$ \mu^\ast $分别表示单位的密度, 单位的声速以及单位的粘性系数.令$ \kappa^\ast = {K\over{\ell^2}} $表示单位的Frank常数, 其中$ K $是弹性系数.

为了无量纲化方程(1.1), 我们令

(1.7) $ \begin{eqnarray} &&x = L^\ast \hat x, \quad t = T^\ast \hat t, \quad u = U^\ast\hat u, \quad \rho = \rho^\ast\hat\rho, \quad {\rm d} = \ell\hat{\rm d}, \quad \kappa = \kappa^\ast\hat\kappa, \end{eqnarray} $

(1.8) $ \begin{eqnarray} && \mu_4 = \mu^\ast\hat{\mu}_4, \quad \xi = \mu^\ast\hat\xi, \quad \mu_1 = {\mu^\ast\over {\ell^4}}\hat{\mu}_1, \quad \mu_i = {\mu^\ast\over {\ell^2}}\hat{\mu}_i, \quad i = 2, 3, 5, 6. \end{eqnarray} $

分别记马赫数、Reynolds数、Ericksen数以及惯性系数如下

(1.9) $ \begin{equation} \mathfrak{M} = {U^*\over{c^*}}, \quad \mathfrak{R} = {\rho^*L^*U^*\over{\mu^*}}, \quad \mathfrak{E} = {\mu^*L^*U^*\over {\kappa^*\ell^2}}, \quad \chi = {\rho^*{U^*}^2\over{\kappa^*}}. \end{equation} $

现在将表达式(1.7)–(1.8)代入方程(1.1), 借助(1.9)式中的定义, 我们将方程(1.1)改写为如下无量纲形式(去掉所有$ \hat\cdot $)

(1.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \rho\partial_t u+\rho (u\cdot\nabla u)+{1\over {\mathfrak{M}^2}}\nabla p = {1\over{\mathfrak{R}}} {\rm{div}}\Sigma_1+{1\over{\mathfrak{R}}}{1\over{\mathfrak{E}}} {\rm{div}}\Sigma_2+{1\over{\mathfrak{R}}} {\rm{div}}\Sigma_3, \\ {\rm{divu}} = 0, \\ { } {\chi\over{\mathfrak{E}}}\rho \ddot{\rm d} = {\kappa\over{\mathfrak{E}}}\Delta {\rm d}+\Gamma{\rm d}+\lambda_1(\dot{\rm d}+{\rm B}{\rm d})+\lambda_2{\rm A}{\rm d}, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \Gamma = -{\chi\over{\mathfrak{E}}}\rho|\dot{\rm d}|^2+{\kappa\over{\mathfrak{E}}}|\nabla{\rm d}|^2-\lambda_2 {\rm d}^\top{\rm Ad} . $

从上面无量纲形式中, 通过选取不同的尺度, 关于相关的渐进模型已有丰富的研究成果.例如, 让惯性系数$ \chi $趋于$ 0 $, 方程(1.10)形式上收敛到更广泛研究的抛物型Ericksen-Leslie方程, 参见文献[6, 12, 18].考虑Q -张量形式, 例如Beris-Edwards方程, Wu-Xu-Zarnescu在文献[29]中通过让Reynolds数和Ericksen数趋于无穷研究了Beris-Edwards方程的所谓的大Ericksen数极限(在$ \chi = 0 $的情形).

在本文中, 我们对双曲型液晶方程(1.10)的大Ericksen数极限进行了初步的研究.为了表述的简单, 我们令参数$ \rho, \mathfrak{M} $, $ \chi $以及$ \kappa $为$ 1 $, 并且令Reynolds数$ \mathfrak{R} = \frac{1}{ \varepsilon^2} $和Ericksen数$ \mathfrak{E} = \frac{1}{ \varepsilon} $ (这里选取不同的次数是为了计算的简单).于是, 方程(1.10)可写为

(1.11) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\partial_t u^ \varepsilon+u^ \varepsilon\cdot\nabla u^ \varepsilon+\nabla p^ \varepsilon = { \varepsilon^2} {\rm{div}}\Sigma_1^ \varepsilon+{ \varepsilon^3} {\rm{div}}\Sigma_2^ \varepsilon+{ \varepsilon^2} {\rm{div}}\Sigma_3^ \varepsilon, \\ & {\rm{divu}} ^ \varepsilon = 0, \\ & { \varepsilon} \ddot{\rm d}^ \varepsilon = { \varepsilon}\Delta {\rm d}^ \varepsilon+\Gamma^ \varepsilon{\rm d}^ \varepsilon+\lambda_1(\dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon{\rm d}^ \varepsilon)+\lambda_2{\rm A}^ \varepsilon{\rm d}^ \varepsilon, \end{array} \right. \end{equation} $

其中, $ {\rm d}^ \varepsilon $满足几何约束$ |{\rm d}^ \varepsilon| = 1 $,

$ \Gamma^ \varepsilon = - \varepsilon |\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2+ \varepsilon|\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2-\lambda_2 {{\rm d}^ \varepsilon}^\top{\rm A}^ \varepsilon{\rm d}^ \varepsilon. $

方程(1.11)有如下初始条件

(1.12) $ \begin{equation} u^ \varepsilon\big|_{t = 0} = u_0(x), \quad {\rm d}^ \varepsilon\big|_{t = 0} = {\rm d}_0(x), \quad {\dot{\rm d}^ \varepsilon}\big|_{t = 0} = \tilde{\rm d}_0(x), \end{equation} $

其中$ {\rm d}_0(x) $和$ \tilde{\rm d}_0(x) $满足约束条件和相容性条件

(1.13) $ \begin{equation} |{\rm d}_0(x)| = 1, \quad \tilde{\rm d}_0(x)\cdot {\rm d}_0(x) = 0. \end{equation} $

对任意的$ \varepsilon>0 $, 江宁和罗益龙在^[19]中证明了, 如果$ (u_0, \nabla {\rm d}_0, \tilde{\rm d}_0)\in H^s({\mathbb R}^n), s>\frac{n}{2}+1 $满足条件(1.13), 存在$ T_ \varepsilon>0 $使得方程(1.11)–(1.12)存在局部经典解

$ (u^ \varepsilon, \nabla {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)\in L^\infty\big([0, T_ \varepsilon];H^s({\mathbb R}^n)\big). $

在大初值下, 方程(1.11)–(1.12)的整体适定性仍是个公开的问题.

方程(1.11)–(1.12)的所谓的大Ericksen数极限问题对应的是该方程的经典解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $随着$ \varepsilon\to0 $的渐近行为.形式上, 在方程(1.11)中令$ \varepsilon = 0 $, 我们得到如下的极限方程

(1.14) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\partial_t u+u\cdot\nabla u+\nabla p = 0, \\ & {\rm{divu}} = 0, \\ & \gamma{\rm d}+\lambda_1(\dot{\rm d}+{\rm B}{\rm d})+\lambda_2{\rm A}{\rm d} = 0, \end{array} \right. \end{equation} $

这里$ {\rm d} $满足约束条件$ |{\rm d}| = 1 $, 拉格朗日乘子具有如下形式

$ \gamma = -\lambda_2{\rm d}^\top{\rm A d}. $

注意到方程组(1.14)的第三个方程对时间变量$ t $只有一阶导数, 因此方程(1.14)的初始条件变为

(1.15) $ \begin{equation} u\big|_{t = 0} = u_0(x), \quad {\rm d}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0(x), \end{equation} $

其中$ {\rm d}_0(x) $满足约束$ |{\rm d}_0(x)| = 1 $.

我们可以猜测到随着$ \varepsilon\to0 $, 方程(1.11)–(1.12)的解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $应该会在某种意义下收敛到方程(1.14)–(1.15)的解$ (u, {\rm d}) $.而本文的一个主要目的就是在经典解的框架下给出他们的误差$ (u^ \varepsilon-u, {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}) $的一个能量估计.

本文的余下部分是如下组织的.在第2节, 我们将给出一些记号和预备知识.在第3节, 我们将证明极限方程的经典解的局部存在性.在第4节, 我们将陈述我们的主要定理, 同时给出主要定理的证明.

为了陈述我们的主要结果以及表述的简单, 我们引进一些记号和预备知识.

空间$ L^p({\mathbb T}^n) $, $ 1\leq p\leq\infty $表示通常的标量函数或者向量函数的Lebesgue空间, 它的范数记为$ \|\cdot\|_{L^p} $.当$ p = 2 $, $ L^2({\mathbb T}^n) $是Hilbert空间, 我们记$ \langle\cdot, \cdot\rangle $为相应的标量函数或向量函数的$ L^2 $-内积.我们记$ W^{k, p}({\mathbb T}^n) $为通常的Sobolev空间, 相应的范数记为$ \|\cdot\|_{W^{k, p}} $.当$ p = 2 $, 我们用$ H^k({\mathbb T}^n) $来表示$ W^{k, 2}({\mathbb T}^n) $, 相应的内积记为$ \langle\cdot, \cdot\rangle_k $.给定一个Banach空间$ X $以及相应的范数$ \|\cdot\|_{X} $, 我们用$ L^p(0, T;X) $, $ 1\leq p\leq\infty $来表示定义在$ (0, T) $上取值在$ X $上且满足$ \int_0^T \|f(t)\|_{X}^p{\rm d}t<\infty $的所有函数的集合.在本文中, 我们用$ C $来表示一个常数, 它可能在不同地方会有不同的取值.

由于我们在Sobolev空间中研究, 我们会很频繁地使用如下引理.

引理2.1  Sobolev空间中的微积分不等式.

1) $ \forall\ m\in{\mathbb Z} $存在$ c>0 $使得, $ \forall\ u, v\in L^\infty\cap H^m({\mathbb R}^n) $, 有

$ \|uv\|_{H^m}\leq c\{\|u\|_{L^\infty}\|v\|_{H^m}+\|u\|_{H^m}\|v\|_{L^\infty} \}, $

$ \sum\limits_{0\leq|\alpha|\leq m}\|\partial^\alpha(uv)-u\partial^\alpha v\|_{L^2}\leq c\{\|\nabla u\|_{L^\infty}\|v\|_{H^{m-1}}+\|u\|_{H^m}\|v\|_{L^\infty} \}; $

2) $ \forall\ s>\frac{n}{2} $, 存在$ c>0 $使得$ \forall\ u, v\in H^s({\mathbb R}^n) $, $ \|uv\|_{H^s}\leq c\|u\|_{H^s}\|v\|_{H^s}. $

该引理的证明可参考文献[10].

在这一节, 我们考虑极限方程(1.14)–(1.15).注意到$ \dot{\rm d} = \partial_t{\rm d}+u\cdot\nabla{\rm d}, $同时如果$ \lambda_1<0 $, 我们可以将极限方程(1.14)改写为如下形式

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_tu+u\cdot\nabla u+\nabla p = 0, \\ {\rm{divu}} = 0, \\ { } \partial_t {\rm d}+u\cdot\nabla{\rm d}+{\rm Bd}+\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1} {\rm Ad} = 0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \gamma = -\lambda_2{\rm d}^\top{\rm A}{\rm d} $.初始条件为

(3.2) $ \begin{equation} u\big|_{t = 0} = u_0(x), \ \ \ {\rm d}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0(x), \ \ \ x\in{\mathbb T}^n, \end{equation} $

这里$ u, {\rm d} $满足周期性边界条件.

方程组(3.1)–(3.2)是一个弱的耦合系统, 它包含流体速度场$ u $的Euler方程和方向场$ d $的输运方程.在下面的定理中, 我们将给出方程组(3.1)–(3.2)的经典解的存在性的证明.

定理3.1  令$ s>\frac{n}{2}+1, \lambda_1<0, u_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n), {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n) $.则存在$ T>0 $, 依赖于$ s, n, \|u_0\|_{H^s}, \|{\rm d}_0\|_{H^s} $, 使得极限方程存在唯一解

$ u\in L^\infty\big([0, T];H^{s+1}({\mathbb T}^n) \big), \quad {\rm d}\in L^\infty\big([0, T];H^s({\mathbb T}^n)\big). $

并且, 对所有的$ 0\leq t\leq T $, $ x\in{\mathbb T}^n $, $ {\rm d} $满足几何约束$ |{\rm d}(t, x)| = 1 $.

证  由于方程(3.1)中的流体速度场$ u $的Euler方程是自适定的.我们也都知道, 如果$ n = 2, s>2 $, 对于初值速度场$ u_0\in H^s({\mathbb T}^2) $, Euler方程是整体适定的, 而如果$ n = 3, s> \frac{5}{2} $, 对于初始速度$ u_0\in H^s({\mathbb T}^3) $, 存在$ T_1>0 $依赖于$ s, \|u_0\|_{H^s} $, 使得Euler方程存在解$ u $满足

$ u\in L^\infty\big([0, T_1];H^s({\mathbb T}^n)\big), $

更详细的讨论, 请参见文献[16-17].因此, 我们只需要考虑给定流体速度场$ u $下的液晶分子的方向场$ {\rm d} $的方程$ {(3.1)}_3 $.

下面我们将证明, 如果$ {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n) $满足$ |{\rm d}_0| = 1 $, 存在$ T_2>0 $使得方程$ (3.1)_3 $存在唯一的经典解$ {\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n)\big) $, 并且对$ t\in [0, T], x\in{\mathbb T}^n $, 都有$ |d(t, x)| = 1 $.

证明分为两个部分.在第一部分, 我们将证明如果$ {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n) $, 线性的输运方程

(3.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t {\rm d}+u\cdot\nabla{\rm d}+{\rm Bd}+\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1} {\rm Ad} = 0, \\ {\rm d}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0 \end{array} \right. \end{equation} $

存在唯一的$ {\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n) \big) $.这一部分的证明包含下面三个步骤.

第一步  先验估计.

假设对给定的光滑的$ (u, {\rm d}) $是方程(3.3)的一个光滑解.对满足$ 0\leq |\alpha|\leq s $的所有多重指标$ \alpha\in{\mathbb Z}^n $, 在方程$ {(3.3)}_1 $的两边应用微分算子$ \partial^\alpha $, 然后和$ \partial^\alpha {\rm d} $作$ L^2 $ -内积, 我们可以得到

(3.4) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\partial^\alpha {\rm d}\|_{L^2}^2 & = &-\langle\partial^{\alpha}(u\cdot\nabla{\rm d}), \partial^\alpha{\rm d}\rangle-\langle \partial^\alpha({\rm Bd}), \partial^\alpha{\rm d}\rangle-\frac{1}{\lambda_1}\langle\partial^\alpha(\gamma{\rm d}), \partial^\alpha{\rm d}\rangle {}\\ &&-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\langle\partial^\alpha({\rm Ad}), \partial^\alpha{\rm d}\rangle\ . \end{eqnarray} $

注意到, 如果$ s>\frac{n}{2} $, $ H^s $是一个代数.在方程(3.4)两边对多重指标$ 0\leq|\alpha|\leq s $求和, 结合引理, 我们可以得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{\rm d}\|_{H^s}^2 \leq C\|u\|_{H^s}\|{\rm d}\|_{H^s}^2+C\|\nabla u\|_{H^s}\|{\rm d}\|_{H^s}^2+C\|\nabla u\|_{H^s}\|{\rm d}\|_{H^s}^4\ , \end{eqnarray} $

其中$ C $是一个常数, 它依赖于$ s, n, \lambda_1, \lambda_2 $.注意到$ |{\rm d}| = 1 $蕴含着$ \|{\rm d}\|_{H^s}>0 $, 因此由(3.5)式我们可以得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{\rm d}(t, \cdot)\|_{H^s} \leq C\|u\|_{H^{s+1}}\|{\rm d}(t, \cdot) \|_{H^s}+C\|u\|_{H^{s+1}}\|{\rm d}(t, \cdot)\|_{H^s}^3. $

对于给定的$ u\in L^\infty\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n) \big) $, 结合Grownwall's不等式, 我们可以得到

(3.6) $ \begin{equation} \|{\rm d}(t, \cdot)\|_{H^s} \leq \frac{\|{\rm d}_0\|_{H^s}e^{\int_0^t C\|u(\tau, \cdot)\|_{H^{s+1}} {\rm d}\tau}}{\sqrt{1-\|{\rm d}_0\|^2_{H^s}\int_0^t 2C\|u(\tau, \cdot)\|_{H^{s+1}}e^{\int_0^ \tau 2C\|u(\eta, \cdot)\|_{H^s}{\rm d}\eta} {\rm d}\tau}}\triangleq M(t)\ , \end{equation} $

这里$ 0<t<T_2\leq T_1 $, $ T_2 $依赖于$ \|{\rm d}_0\|_{H^s}, \|u\|_{H^{s+1}} $和常数$ C $.

第二步  逼近解的构造.

由于对给定的$ u $而言, 方程(3.3)是拟线性的, 因此我们可以用如下的抛物型方程来逼近它

(3.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t {\rm d}^\nu +u\cdot\nabla{\rm d}^\nu +{\rm B}{\rm d}^\nu+\frac{1}{\lambda_1}\gamma^\nu{\rm d}^ \nu+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm A}{\rm d}^\nu-\nu\Delta{\rm d}^\nu = 0, \\ {\rm d}^\nu\big|_{t = 0} = {\rm d}_0\ , \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \gamma^\nu = -\lambda_2{{\rm d}^\nu}^\top{\rm A}{\rm d}^\nu. $

根据抛物方程的经典理论(参见文献[7]), 对任意的$ \nu>0 $, 方程(3.7)存在唯一的经典解

$ {\rm d}^\nu\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n) \big)\cap L^2\big([0, T_2];H^{s+1}({\mathbb T}^n)\big), $

其中$ T_2 $依赖于$ \|{\rm d}_0\|_{H^s}, \|u\|_{H^{s+1}} $.并且, 由方程(3.4)–(3.5)的推导过程, 我们可以得出如下能量估计

(3.8) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{\rm d}^\nu(t, \cdot)\|_{H^s}^2+\nu\int_0^t\|\nabla {\rm d}^\nu(s, \cdot)\|_{H^s}^2{\rm d}s\leq C\|u\|_{H^{s+1}}\|{\rm d}^\nu\|_{H^s}^2+C\|u\|_{H^{s+1}}\|{\rm d}^\nu\|_{H^s}^4. \end{equation} $

根据方程(3.6), 对任意$ \nu>0 $, 对任意的$ t\in [0, T_2] $, 我们有$ \|{\rm d}^\nu(t, \cdot)\|_{H^s}\leq M(t) $.对方程(3.8)两边关于$ t $从$ 0 $到$ T_2 $积分, 我们可以得到

(3.9) $ \begin{eqnarray} &&\nu \int_0^{T_2} \|\nabla {\rm d}^\nu(s, \cdot)\|_{H^s}^2{\rm d}s {}\\ &\leq &\int_0^{T_2} \bigg[C\|u(t, \cdot)\|_{H^{s+1}}M(t){\rm d}t+C\|u(t, \cdot)\|_{H^{s+1}}M^3(t)\bigg]{\rm d}t+\frac{1}{2}\|{\rm d}_0\|_{H^s}^2 \triangleq \tilde{M}_{T_2}. \end{eqnarray} $

并且, 我们还能推导出解序列$ \{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0} $在空间$ C\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n) \big) $中是一致有界的.

第三步  收敛性.

在这一步中, 我们将证明解序列$ \{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0} $是空间$ C\big([0, T];H^{s-1}({\mathbb T}^n) \big) $中的Cauchy列.令$ 0<\nu_1<\nu_2 $.设$ {\rm d}^{\nu_1} $和$ {\rm d}^{\nu_2} $分别为方程

(3.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t{\rm d}^{\nu_1} +u\cdot\nabla{\rm d}^{\nu_1}+{\rm B}{\rm d}^{\nu_1}+\frac{1}{\lambda_1}\gamma^{\nu_1}{\rm d}^{\nu_1}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm A}{\rm d}^{\nu_1}-\nu_1\Delta {\rm d}^{\nu_1} = 0, \\ {\rm d}^{\nu_1}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0 \end{array} \right. \end{equation} $

和

(3.11) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t{\rm d}^{\nu_2} +u\cdot\nabla{\rm d}^{\nu_2}+{\rm B}{\rm d}^{\nu_2}+\frac{1}{\lambda_1}\gamma^{\nu_2}{\rm d}^{\nu_2}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm A}{\rm d}^{\nu_2}-\nu_2\Delta {\rm d}^{\nu_2} = 0, \\ {\rm d}^{\nu_2}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0 \end{array} \right. \end{equation} $

的经典解, 其中$ \gamma^{\nu_1} $和$ \gamma^{\nu_2} $分别表示为

$ \gamma^{\nu_1} = -\lambda_2 {{\rm d}^{\nu_1}}^\top {\rm A} {\rm d}^{\nu_1}, \quad \gamma^{\nu_2} = -\lambda_2 {{\rm d}^{\nu_2}}^\top {\rm A}{\rm d}^{\nu_2}. $

由方程(3.10)和(3.11), 可知$ {\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1} $满足如下方程

(3.12) $ \begin{eqnarray} &&\partial_t({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})+u\cdot\nabla({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})+{\rm B}({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm A}({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}){}\\ &&+\frac{1}{\lambda_1}(\gamma^{\nu_2}{\rm d}^{\nu_2}-\gamma^{\nu_1}{\rm d}^{\nu_1})-\nu_2\Delta({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}) = (\nu_2-\nu_1)\Delta {\rm d}^{\nu_1}, \end{eqnarray} $

相应的初始条件为

(3.13) $ \begin{equation} {\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\big|_{t = 0} = 0. \end{equation} $

这里, $ \gamma^{\nu_2}{\rm d}^{\nu_2}-\gamma^{\nu_1}{\rm d}^{\nu_1} $可以表示成

$ \begin{eqnarray} \gamma^{\nu_2}{\rm d}^{\nu_2}-\gamma^{\nu_1}{\rm d}^{\nu_1} & = &-\lambda_2\big\{[ ({\rm d}^{\nu_2})^\top {\rm A} {\rm d}^{\nu_2}]{\rm d}^{\nu_2}-\big[({\rm d}^{\nu_1})^\top {\rm A} {\rm d}^{\nu_1} \big]{\rm d}^{\nu_1} \big\} {}\\ & = &-\lambda_2 \big\{ [({\rm d}^{\nu_2})^\top {\rm A} {\rm d}^{\nu_2}]({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})+({\rm d}^{\nu_2})^\top {\rm A}({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}){\rm d}^{\nu_1}{} \\ &&+[({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})^\top {\rm A} {\rm d}^{\nu_1}]{\rm d}^{\nu_1} \big\}.{} \end{eqnarray} $

将方程(3.12)的两边同时与$ {\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1} $作$ H^{s-1} $ -内积, 我们可以得到

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 +\nu_2\|\nabla({\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1})\|_{H^{s-1}}^2 {}\\ &\leq& C\|u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2+C\|\nabla u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 {}\\ && +\frac{\lambda_2}{\lambda_1}C\|\nabla u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}C\|{\rm d}^{\nu_2}\|_{H^{s-1}}^2\|\nabla u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 \\ && +\frac{\lambda_2}{\lambda_1}C\|{\rm d}^{\nu_2}\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}\|\nabla u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 {}\\ && +\frac{\lambda_2}{\lambda_1}C\|{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2\|\nabla u\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 +(\nu_2-\nu_1)\|\Delta {\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}\\ &\leq& C\|u\|_{H^s}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2+C\|u\|_{H^s}M(t)^2\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}^2 {}\\ && +(\nu_2-\nu_1)\|\Delta {\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}. \end{eqnarray} $

由方程(3.14), 我们可以得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}} \leq C\|u\|_{H^{s-1}}(1+M(t)^2)\|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}+(\nu_2-\nu_1)\|\Delta {\rm d}^{\nu_1}\|_{H^{s-1}}. $

由Grönwall's不等式以及方程(3.9), 我们有

$ \begin{eqnarray*} \|{\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}(t, \cdot)\|_{H^{s-1}} &\leq& e^{\int_0^t C\|u(s, \cdot)\|_{H^s}(1+M(s)^2){\rm d}s}\int_0^t (\nu_2-\nu_1)\|\nabla {\rm d}^{\nu_1}(s, \cdot)\|_{H^{s}} {\rm d}s {\nonumber}\\ & \leq &e^{\int_0^t C\|u(s, \cdot)\|_{H^s}(1+M(s)^2){\rm d}s} \bigg(\int_0^t\nu_2\|\nabla {\rm d}^{\nu_1}\|_{H^s}^2{\rm d}s \bigg)^{1\over2}\sqrt{\nu_2-\nu_1}t^{1\over2}.{\nonumber}\\ &\leq &e^{\int_0^t C\|u(s, \cdot)\|_{H^s}(1+M(s)^2){\rm d}s}\sqrt{\tilde{M}_{T_2}}\sqrt{\nu_2-\nu_1}t^{\frac{1}{2}}.{\nonumber} \end{eqnarray*} $

这意味着$ \{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0}\; \mbox{为}\; C\big([0, T_2];H^{s-1} \big)\; \mbox{中的Cauchy序列}. $因此, 随着$ \nu\to0 $在方程(3.8)中取极限, 我们得到对于给定的光滑$ u $以及初始条件$ {\rm d}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0 $下方程(3.3)的解$ {\rm d} $.

现在我们证明了, 如果$ {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n), u\in L^\infty\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n)\big)\cap L^1\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n)\big) $, 方程(3.3)存在一个解$ {\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n)\big). $然而我们并不知道$ {\rm d} $是否满足几何约束条件$ |{\rm d}(t, x)| = 1 $.

在第二个部分, 我们将证明, 如果初始方向场$ {\rm d}_0 $满足几何约束条件$ |{\rm d}_0| = 1 $, 则当$ 0<t<T_2 $时, 方程的解$ {\rm d} $也满足几何约束条件.由于$ {\rm d} $是方程

(3.15) $ \begin{equation} \partial_t {\rm d}+u\cdot\nabla {\rm d}+{\rm Bd}+\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad} = 0 \end{equation} $

的经典解, 将方程(3.15)两边同时乘以$ {\rm d} $, 我们得到

(3.16) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\partial_t|{\rm d}|^2+\frac{1}{2}u\cdot\nabla |{\rm d}|^2+\frac{1}{\lambda_1}\gamma|{\rm d}|^2+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm d}^\top {\rm Ad} = 0. \end{equation} $

将$ \gamma $的表达式代入(3.16)式, 我们得到$ |{\rm d}|^2-1 $满足如下方程

(3.17) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t(|{\rm d}|^2-1)+u\cdot\nabla(|{\rm d}|^2-1)+\frac{1}{\lambda_1}\gamma(|{\rm d}|^2-1) = 0, \\ |{\rm d}|^2-1\big|_{t = 0} = 0. \end{array} \right. \end{equation} $

解这个关于$ |{\rm d}^2|-1 $的输运方程(3.17), 容易验证如果$ |{\rm d}_0| = 1 $, 则当$ 0<t<T_2 $时, $ |{\rm d}| = 1 $也成立.如果令$ T = \min (T_1, T_2) $, 则定理得证.

在这一节, 我们回到方程(1.11), 即

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t u^ \varepsilon+u^ \varepsilon\cdot\nabla u^ \varepsilon+\nabla p^ \varepsilon = \varepsilon^2 {\rm{div}}\Sigma^ \varepsilon_1+ \varepsilon^3 {\rm{div}}\Sigma^ \varepsilon_2+ \varepsilon^2 {\rm{div}}\Sigma^ \varepsilon_3, \\ {\rm{divu}} ^ \varepsilon = 0, \\ \varepsilon \ddot{\rm d}^ \varepsilon = \varepsilon\Delta {\rm d}^ \varepsilon+\Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon+\lambda_1(\dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon)+\lambda_2 {\rm A}^ \varepsilon{\rm d}^ \varepsilon, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ {\rm A}^ \varepsilon, {\rm B}^ \varepsilon, \Sigma_1^ \varepsilon, \Sigma_2^ \varepsilon, \Sigma_3^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon, \ddot{\rm d}^ \varepsilon $形式如同在(1.2)–(1.5)式将$ u, {\rm d} $换成$ u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon $.此时, $ \Gamma^ \varepsilon $具有如下形式

(4.2) $ \begin{equation} \Gamma^ \varepsilon = - \varepsilon |\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2+ \varepsilon|\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2-\lambda_2{{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon. \end{equation} $

在前面一节, 我们已经证明了, 当$ s>\frac{n}{2}+1 $, 对于$ u_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n) $和$ {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n) $, 极限方程存在唯一解$ (u, {\rm d}) $使得

$ u\in L^\infty([0, T];H^{s+1}), \quad {\rm d}\in L^\infty([0, T];H^s), $

其中$ T>0 $依赖于$ n, s, \lambda_1, \lambda_2 $和初始值$ (u_0, {\rm d}_0) $.现在我们将要研究方程(4.1)的经典解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $的渐近行为.第一步我们需要给出一个合适的初始条件.事实上, 由方程(1.14)的第三个方程可知

$ \dot{\rm d} = -\frac{1}{\lambda_1}(\gamma {\rm d}+\lambda_2 {\rm Ad})-{\rm Bd}. $

因此, 方程(4.1)可以给出如下初始条件

(4.3) $ \begin{equation} u^ \varepsilon\big|_{t = 0} = u_0, \quad {\rm d}^ \varepsilon\big|_{t = 0} = {\rm d}_0, \quad \dot{\rm d}^ \varepsilon\big|_{t = 0} = \dot{\rm d}\big|_{t = 0}, \end{equation} $

其中$ \dot{\rm d}\big|_{t = 0} = \big\{-\frac{1}{\lambda_1}(\gamma {\rm d}+\lambda_2 {\rm Ad})-{\rm Bd}\big\}\big|_{t = 0} $.

我们将验证方程(4.1)–(4.3)的大Ericksen数和Reynolds数极限, 也即方程的解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $随着$ \varepsilon\to 0 $的极限.为此, 我们需要得出方程解$ ({u}^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $的一个一致估计.由文献[19]中所推导的基本能量守恒律, 我们有如下引理.

引理4.1  假设$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $是方程(4.1)–(4.3)的一个光滑解, 则下面的关系成立

(4.4) $ \begin{eqnarray} && {1\over2} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|u^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+{1\over2} \varepsilon^2\mu_4\|\nabla u^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\mu_1 \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2{}\\ &&-\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2-2\lambda_2 \varepsilon^2\langle \dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon, {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\rangle+(\mu_5+\mu_6) \varepsilon^2\|{\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 = 0. \end{eqnarray} $

如果, 更进一步, $ \varepsilon>0, \lambda_1<0, \mu_1\geq0, \mu_4>0 $和$ \mu_5+\mu_6+\frac{\lambda_2^2}{\lambda_1}\geq0 $, 则基本能量守恒律(4.4)是耗散的.

证  对于任意的$ \varepsilon>0 $.令$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $为方程(4.1)–(4.3)的经典解.将方程(4.1)的第一个方程的两边同时与$ u^ \varepsilon $作$ L^2 $-内积, 我们得到

(4.5) $ \begin{equation} {1\over 2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u^ \varepsilon\|_{L^2}^2+{1\over2} \varepsilon^2\mu_4\|\nabla u^ \varepsilon\|_{L^2}^2 = \varepsilon^3\langle- {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), u^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^2\langle \partial_j\tilde{\sigma}_{ji}, u^ \varepsilon_i\rangle. \end{equation} $

将方程(4.1)的第三个方程的两边同时与$ \varepsilon^2\dot{\rm d}^ \varepsilon $作$ L^2 $ -内积, 我们得到

(4.6) $ \begin{eqnarray} && {1\over2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big( \varepsilon^3\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 + \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)-\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 {}\\ & = & \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}^ \varepsilon, u^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon\rangle+\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon\rangle+\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon\rangle, \end{eqnarray} $

其中我们用到关系$ {\rm d}^ \varepsilon\cdot \dot{\rm d}^ \varepsilon = 0 $.将(4.5)式和(4.6)式加起来, 结合文献[19, Lemma 2.1]中的计算步骤, 我们可以得到下面的基本能量守恒律

$ \begin{eqnarray*} && {1\over2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|u^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+{1\over2} \varepsilon^2\mu_4\|\nabla u^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\mu_1 \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2\\ &&-\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2-2\lambda_2 \varepsilon^2\langle \dot{\rm d}^ \varepsilon+{\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon, {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\rangle+(\mu_5+\mu_6) \varepsilon^2\|{\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 = 0, \end{eqnarray*} $

其中用到抵消关系$ \varepsilon^3\langle - {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), u^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}^ \varepsilon, u^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon\rangle = 0. $引理4.1得证.

现在我们可以阐述我们关于双曲型液晶方程的大Ericksen数极限的主要结果.

定理4.1  令$ s>\frac{n}{2}+1 $.设$ u_0\in H^{s+2}({\mathbb T}^n) $满足$ \nabla \cdot u_0 = 0 $, $ {\rm d}_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n) $满足$ |{\rm d}_0| = 1 $.令$ u\in C\big([0, T_*];H^{s+2}({\mathbb T}^n) \big), {\rm d}\in C\big([0, T_*];H^{s+1}({\mathbb T}^n) \big) $为极限方程(3.1)在初始值为$ (u_0, {\rm d}_0) $时的局部经典解.

对任意的$ \varepsilon>0 $.令$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $为方程(4.1)在初始条件(4.3)下的局部经典解, 使得

$ u^ \varepsilon\in L^\infty\big([0, T_ \varepsilon];H^s({\mathbb T}^n)), \ \ \nabla {\rm d}^ \varepsilon\in L^\infty\big([0, T_ \varepsilon];H^s({\mathbb T}^n)\big), \ \ \dot{\rm d}^ \varepsilon\in L^\infty\big([0, T_ \varepsilon];H^s({\mathbb T}^n)\big), $

对某个$ T_ \varepsilon>0 $.

如果我们记$ \omega^ \varepsilon = u^ \varepsilon-u, \theta^ \varepsilon = {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d} $以及$ \dot{\theta}^ \varepsilon = \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} $, 则我们有

(4.7) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \|\omega^ \varepsilon(t, \cdot)\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\theta^ \varepsilon(t, \cdot)\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot\theta^ \varepsilon(t, \cdot)\|_{L^2}^2\leq C_T \varepsilon, \\ { } \int_0^T \big( \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon(t, \cdot)\|_{L^2}^2+ \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big){\rm d}t\leq C_T \varepsilon, \ \ \forall\ t\in [0, T], \end{array} \end{equation} $

其中$ T = \min{(T_*, T_ \varepsilon)} $和$ C_T $依赖于$ s, n $, 和Leslie系数以及初始值$ (u_0, {\rm d}_0) $.

证  形式上, 对方程(4.1)和方程(3.1)作差之后, 我们得到

(4.8) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \partial_t (u^ \varepsilon-u) +u^ \varepsilon\cdot\nabla(u^ \varepsilon-u) +(u^ \varepsilon-u)\cdot\nabla u+\nabla(p^ \varepsilon-p)-\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\Delta(u^ \varepsilon-u)\\ { } = \frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\Delta u- \varepsilon^3 {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon)+ \varepsilon^2 {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \\ { } \varepsilon\partial_t \dot{\rm d}^ \varepsilon+ \varepsilon u^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d}^ \varepsilon = \varepsilon\Delta {\rm d}^ \varepsilon +(\Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d})+\lambda_1(\dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d})+\lambda_1({\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Bd})\\ { } +\lambda_2({\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Ad}). \end{array} \right. \end{equation} $

将方程(4.8)的两边同时与$ u^ \varepsilon-u $相乘, 并在$ {\mathbb T}^n $上积分, 我们得到

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} \|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2 +\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla u, \omega^ \varepsilon\rangle +\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2 {}\\ & = &\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\langle\Delta u, \omega^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^2\langle {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \omega^ \varepsilon\rangle, \end{eqnarray} $

其中我们用到这样的事实:由$ {\rm{div}}(u^ \varepsilon-u) = 0 $可得$ \langle u^ \varepsilon\cdot\nabla\omega^ \varepsilon+\nabla(p^ \varepsilon-p), \omega^ \varepsilon\rangle = 0 $.记$ {\rm \theta}^ \varepsilon = {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d} $和$ \dot{\rm \theta}^ \varepsilon = \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} $.注意到

$ \dot{\theta}^ \varepsilon = \partial_t({\rm d}^ \varepsilon-{\rm d})+(u^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon-u\cdot\nabla {\rm d}) = \partial_t\theta^ \varepsilon+u^ \varepsilon\cdot\nabla\theta^ \varepsilon+\omega^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}. $

记$ \ddot{\rm d} = \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d} $.将方程(4.8)的第二个方程的两边同时减去$ \varepsilon\ddot{\rm d} $, 将它改写成如下形式

(4.10) $ \begin{eqnarray} \varepsilon\partial_t \dot{\theta}^ \varepsilon+ \varepsilon u^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\theta}^ \varepsilon+ \varepsilon \omega^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d} & = &- \varepsilon\partial_t\dot{\rm d}- \varepsilon u\cdot\nabla \dot{\rm d}+ \varepsilon\Delta {\rm d}^ \varepsilon+(\Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d}) \\ &&+\lambda_1(\dot{\rm d}^ \varepsilon -\dot{\rm d})+\lambda_1({\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Bd})+\lambda_2({\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Ad}). \end{eqnarray} $

将方程(4.10)两边同时乘以$ \varepsilon^2\dot{\theta}^ \varepsilon $并在$ {\mathbb T}^n $上积分, 我们得到

(4.11) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big( \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big) + \varepsilon^3\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle{}\\ & = &- \varepsilon^3\langle \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}^ \varepsilon, \omega^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon+u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^2\langle \Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle \\ &&+\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon -{\rm Bd}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle+\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Ad}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}, \partial_t\theta^\varepsilon \rangle . \end{eqnarray} $

将(4.9)式和(4.11)式加起来, 我们得到

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2 \|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2{}\\ & = &\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\langle \Delta u, \omega^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^2\langle {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \omega^ \varepsilon\rangle-\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla u, \omega^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3 \langle \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}^ \varepsilon, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^2\langle \Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle+\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Bd}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Ad}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}, \partial_t\theta^\varepsilon \rangle, \end{eqnarray} $

这里我们用到事实: $ - \varepsilon^3\langle {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}^ \varepsilon, \omega^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon\rangle = 0 $.剩下的工作就是去估计(4.12)式右边的各项.

首先, $ \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}^ \varepsilon, u\cdot\nabla \theta^ \varepsilon\rangle $这项可如下估计

(4.13) $ \begin{eqnarray} \varepsilon^3 \langle \Delta {\rm d}^ \varepsilon, u\cdot\nabla \theta^ \varepsilon\rangle & = & \varepsilon^3 \langle\Delta\theta^ \varepsilon, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle {}\\ & = &- \varepsilon^3\langle \nabla \theta^ \varepsilon, \nabla u\cdot\nabla \theta^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}, u\cdot\nabla \theta^ \varepsilon\rangle \end{eqnarray} $

其次, 我们将$ \lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 $这项分拆为如下形式

(4.14) $ \begin{eqnarray} \lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 = \lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2}^2-2\lambda_1 \varepsilon^2\langle\dot{\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

于是, 在估计$ \varepsilon^2\langle {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \omega^ \varepsilon\rangle $这项之前, 我们先回顾$ \tilde{\sigma} $具有如下形式

(4.15) $ \begin{eqnarray} \big(\tilde\sigma(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) \big)_{ij} & = &\mu_1{\rm d}^ \varepsilon_k{\rm d}^ \varepsilon_p{\rm A}^ \varepsilon_{kp}{\rm d}^ \varepsilon_i{\rm d}^ \varepsilon_j+\mu_2{\rm d}^ \varepsilon_i(\dot {\rm d}^ \varepsilon_j+{\rm B}^ \varepsilon_{jk}{\rm d}^ \varepsilon_k)+\mu_3{\rm d}^ \varepsilon_j(\dot {\rm d}^ \varepsilon_i+{\rm B}^ \varepsilon_{ik}{\rm d}^ \varepsilon_k) {}\\ &&+\mu_5 {\rm d}^ \varepsilon_i {\rm A}^ \varepsilon_{jk}{\rm d}^ \varepsilon_k+\mu_6{\rm d}^ \varepsilon_j {\rm A}^ \varepsilon_{ik}{\rm d}^ \varepsilon_k\ . \end{eqnarray} $

为了陈述的简单, 记

(4.16) $ \begin{equation} {\rm I} = \varepsilon^2\langle {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \omega^ \varepsilon\rangle = {\rm I}_1+{\rm I}_2+\cdots +{\rm I}_4, \end{equation} $

其中$ {\rm I}_1, {\rm I}_2, \cdots , {\rm I}_4 $是(4.15)式的右边部分表达式.例如, $ {\rm I}_1 $具有如下形式

(4.17) $ \begin{eqnarray} {\rm I}_1 & = & \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}^ \varepsilon_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = & \varepsilon^2 \langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon ({\rm A}^ \varepsilon_{kp}-{\rm A}_{kp}) {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle + \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = &-\mu_1 \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle. \end{eqnarray} $

$ {\rm I}_2 $具有如下形式

(4.18) $ \begin{eqnarray} {\rm I}_2 & = & \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki}^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon+\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj}^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = & \varepsilon^2 \langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon ({\rm B}_{ki}^ \varepsilon-{\rm B}_{ki}) {\rm d}_k^ \varepsilon+\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon ({\rm B}_{kj}^ \varepsilon-{\rm B}_{kj}) {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki} {\rm d}_k^ \varepsilon+\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj} {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {} \\ & = &\lambda_1 \varepsilon^2\|({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B})d^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A})d^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki} {\rm d}_k^ \varepsilon+\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj} {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle. \end{eqnarray} $

$ {\rm I}_3 $具有如下形式

(4.19) $ \begin{eqnarray} {\rm I}_3 & = & \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}^ \varepsilon+\mu_6 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj}^ \varepsilon ), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = & \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon ({\rm A}_{ki}^ \varepsilon-{\rm A}_{ki})+\mu_6 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon ({\rm A}_{kj}^ \varepsilon-{\rm A}_{kj}) ), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}+\mu_6 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj} ), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = &-(\mu_5+\mu_6) \varepsilon^2\|({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon, ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}+\mu_6 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj} ), \omega^ \varepsilon_i\rangle. \end{eqnarray} $

最后, $ {\rm I}_4 $具有如下形式

(4.20) $ \begin{eqnarray} {\rm I}_4 & = & \varepsilon^2 \langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon \dot{\rm d}_i^ \varepsilon+\mu_3{\rm d}_j^ \varepsilon\dot{\rm d}_i^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ & = &\lambda_2 \varepsilon^2\langle \dot{\rm d}^ \varepsilon, ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\rangle+\lambda_1 \varepsilon^2\langle \dot{\rm d}^ \varepsilon, ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon\rangle. \end{eqnarray} $

然后我们记$ {\rm II} = \lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Bd}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle $, 它可以改写为如下形式

(4.21) $ \begin{eqnarray} {\rm II} & = &\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm B d} , \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} \rangle {}\\ & = &\lambda_1 \varepsilon^2\langle ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon \rangle +\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}\theta^ \varepsilon, \dot{\theta}^ \varepsilon \rangle-\lambda_1 \varepsilon^2 \langle ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

记$ {\rm III} = \lambda_2 \varepsilon^2 \langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm A d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle $, 并将它改写为

(4.22) $ \begin{eqnarray} {\rm III} & = &\lambda_2 \varepsilon^2 \langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm A d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} \rangle {}\\ & = & \lambda_2 \varepsilon^2 \langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon+{\rm A}({\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}), \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle {}\\ & = &\lambda_2 \varepsilon^2 \langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon\rangle -\lambda_2 \varepsilon^2 \langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle+\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}({\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}), \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle. \end{eqnarray} $

记$ {\rm IV} = \varepsilon^2\langle \Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} \rangle $, 回顾$ \Gamma^ \varepsilon = - \varepsilon|\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2+ \varepsilon|\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2-\lambda_2 {{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon $和$ \gamma = -\lambda_2 {\rm d}^\top{\rm Ad} $.注意到$ |{\rm d}^ \varepsilon| = 1 $, 于是$ \dot{\rm d}^ \varepsilon\cdot {\rm d}^ \varepsilon = 0. $因此, $ {\rm IV} $可以改写为

(4.23) $ \begin{eqnarray} {\rm IV} & = & \varepsilon^2 \langle \Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon, -\dot{\rm d} \rangle - \varepsilon^2 \langle \Gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle {}\\ & = & \varepsilon^3\langle |\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle - \varepsilon^3\langle |\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle +\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle- \varepsilon^2 \langle \gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

现在将(4.13)–(4.23)式代入(4.12)式, 我们得到

(4.24) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla \theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\mu_1 \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 {}\\ &&-\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon+({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon \|_{L^2}^2 -2\lambda_2 \varepsilon^2 \langle \dot{\rm d}^ \varepsilon+({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\rangle {}\\ && +(\mu_5+\mu_6) \varepsilon^2\|({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2{} \\ & = &\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\langle\Delta u, \omega^ \varepsilon\rangle-\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla u, \omega^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle\ddot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^3\langle\Delta\theta^ \varepsilon, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki} {\rm d}_k^ \varepsilon +\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj} {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}+\mu_6{\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj} ), \omega^ \varepsilon_i\rangle {}\\ &&+\lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}\theta^ \varepsilon, \dot{\theta}^ \varepsilon \rangle-\lambda_1 \varepsilon^2 \langle ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle-\lambda_2 \varepsilon^2 \langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle+\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}({\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}), \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle {}\\ &&+ \varepsilon^3\langle |\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle - \varepsilon^3\langle |\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle +\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle{}\\ &&- \varepsilon^2 \langle \gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle + \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}, \partial_t\theta^\varepsilon \rangle. \end{eqnarray} $

剩下的工作是估计(4.24)式的右边各项.为了陈述的简单, 我们记$ {\rm R}_1 $为如下形式

(4.25) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_1& = &\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\langle\Delta u, \omega^ \varepsilon\rangle-\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla u, \omega^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle\omega^ \varepsilon\cdot\nabla\dot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle- \varepsilon^3\langle\ddot{\rm d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle{}\\ &&+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle + \varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}, \partial_t\theta^\varepsilon \rangle, \end{eqnarray} $

其中$ \ddot{\rm d} = \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d} $.注意到$ (u, {\rm d}) $是极限方程(1.14)的一个经典解, 于是

$ \dot{\rm d} = -\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad}-{\rm Bd}. $

因此, $ \ddot{\rm d} = \partial_t(-\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad}-{\rm Bd})+u\cdot\nabla(-\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad}-{\rm Bd}), $同时注意到$ \partial_t u\in L^\infty([0, T];H^{s+1}), \partial_t{\rm d}\in L^\infty([0, T];H^{s-1}) $, 我们可以得到

$ \ddot{\rm d}\in L^\infty([0, T];H^{s-1}). $

于是, 由Hölder不等式和Cauchy不等式, 我们有

(4.26) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_1|& \leq &\frac{1}{2}\mu_4 \varepsilon^2\|\Delta u\|_{L^2}\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^\infty}\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\dot{\rm d}\|_{L^\infty}\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}\\ &&+ \varepsilon^3\|\ddot{\rm d}\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}+ \varepsilon^3\|\Delta {\rm d}\|_{L^2}\|u\|_{L^\infty} \|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2} + \varepsilon^3\|\Delta {\rm d}\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2} \\ &&+ \varepsilon^3\|\Delta {\rm d}\|_{L^\infty} \|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\nabla \theta^ \varepsilon\|_{L^\infty} + \varepsilon^3\|\Delta {\rm d}\|_{L^\infty} \|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\nabla {\rm d}\|_{L^2} \\ &\leq& \mu_4 \varepsilon^2\big(\|\Delta u\|_{L^2}^2+\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+\|\nabla u\|_{L^\infty}\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\frac{1}{2} \varepsilon^3\|\nabla\dot{\rm d}\|_{L^\infty}\big(\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)\\ &&+\frac{1}{2} \varepsilon^3\big(\|\ddot{\rm d}\|_{L^2}^2+\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big)+\frac{1}{2} \varepsilon^3\big(\|\Delta {\rm d}\|_{L^2}^2\|u\|_{L^\infty}^2+\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big) +\frac{1}{2} \varepsilon^3\big(\|\Delta{\rm d}\|_{L^2}^2+\|\nabla{\rm d}\|_{L^2}^2){}\\ && +\frac{1}{2} \varepsilon^3\big(\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2 \big) +\frac{1}{2}(1+ \varepsilon^2) \|\Delta{\rm d}\|_{L^\infty}^2\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

记$ {\rm R}_2 $为

(4.27) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_2 & = & \varepsilon^3\langle \Delta\theta^ \varepsilon, u\cdot\nabla\theta^ \varepsilon\rangle = \varepsilon^3\int_{{\mathbb T}^n}\sum\limits_{i, j, k = 1}^n\partial_j^2 \theta^ \varepsilon_i (u_k\partial_k\theta^ \varepsilon_i) {\rm d}x \\ & = &- \varepsilon^3\int_{{\mathbb T}^n}\sum\limits_{i, j, k = 1}^n\partial_j\theta^ \varepsilon_i (\partial_j u_k\partial_k\theta^ \varepsilon_i) {\rm d}x. \end{eqnarray} $

于是, 由Hölder不等式, 我们有

(4.28) $ \begin{equation} |{\rm R}_2| \leq \varepsilon^3\|\nabla u\|_{L^\infty}\|\nabla \theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2. \end{equation} $

记$ {\rm R}_3 $为

(4.29) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_3 & = & \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki} {\rm d}_k^ \varepsilon +\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj} {\rm d}_k^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon_i\rangle \\ &&+ \varepsilon^2\langle \partial_j(\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}+\mu_6{\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj} ), \omega^ \varepsilon_i\rangle \\ & = &- \varepsilon^2\langle (\mu_1 {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm d}_p^ \varepsilon {\rm A}_{kp} {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_j^ \varepsilon), \partial_j\omega^ \varepsilon_i\rangle- \varepsilon^2\langle (\mu_2 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm B}_{ki} {\rm d}_k^ \varepsilon +\mu_3 {\rm d}_i^ \varepsilon {\rm B}_{kj} {\rm d}_k^ \varepsilon), \partial_j\omega^ \varepsilon_i\rangle \\ &&- \varepsilon^2\langle (\mu_5 {\rm d}_j^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{ki}+\mu_6{\rm d}_i^ \varepsilon {\rm d}_k^ \varepsilon {\rm A}_{kj} ), \partial_j\omega^ \varepsilon_i\rangle . \end{eqnarray} $

由事实$ |{\rm d}^ \varepsilon| = 1 $, 我们有

(4.30) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_3| &\leq &(|\mu_1|+|\mu_2|+|\mu_3|+|\mu_5|+|\mu_6|) \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2} \\ &\leq &\frac{C}{\mu_4} \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}^2+\frac{\mu_4}{8} \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2, \end{eqnarray} $

其中$ C $依赖于$ |\mu_1|, |\mu_2|, |\mu_3|, |\mu_5| $ and $ |\mu_6| $.记$ {\rm R}_4 $为如下形式

(4.31) $ \begin{equation} {\rm R}_4 = \lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}\theta^ \varepsilon, \dot{\theta}^ \varepsilon \rangle-\lambda_1 \varepsilon^2 \langle ({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle-\lambda_2 \varepsilon^2 \langle ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle +\lambda_2 \varepsilon^2\langle {\rm A}({\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}), \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle. \end{equation} $

注意到$ |{\rm d}| = 1, |{\rm d}^ \varepsilon| = 1 $, 于是$ |\theta^ \varepsilon| = |{\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}|\leq2 $.因此, 我们有

(4.32) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_4| &\leq& C|\lambda_1| \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}+|\lambda_1|C \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}+|\lambda_2|C \varepsilon^2\|\nabla \omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}\\ &&+|\lambda_2|C \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2} \\ &\leq& C \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+C \varepsilon\|\nabla u\|_{L^2}^2+\frac{\mu_4}{8} \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\frac{C \varepsilon^2}{\mu_4}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}^2, \end{eqnarray} $

其中$ C $依赖于$ |\lambda_1| $ and $ |\lambda_2| $.记$ {\rm R}_5 $为

(4.33) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_5 & = & \varepsilon^3\langle |\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle - \varepsilon^3\langle |\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle +\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle- \varepsilon^2 \langle \Gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle \\ &\triangleq &R_{51}+R_{52}+R_{53}+R_{54}. \end{eqnarray} $

于是

(4.34) $ \begin{equation} {\rm R}_{51} = \varepsilon^3 \langle |\dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}+\dot{\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle = \varepsilon^3 \langle |\dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon+2[(\dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d})\cdot \dot{\rm d}]{\rm d}^ \varepsilon+|\dot{\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon , \dot{\rm d}\rangle. \end{equation} $

因此

(4.35) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_{51}| &\leq& \varepsilon^3\|\dot{\rm d}\|_{L^\infty}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+2 \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\rm d}\|_{L^3}^3 {}\\ &\leq& \varepsilon^3\|\dot{\rm d}\|_{L^\infty}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^4+ \varepsilon^3\|\dot{\rm d}\|_{L^3}^3. \end{eqnarray} $

由类似的方式, $ {\rm R}_{52} $可以改写为

(4.36) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_{52} & = &- \varepsilon^3\langle |\nabla {\rm d}^ \varepsilon-\nabla {\rm d}+\nabla {\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle {}\\ & = &- \varepsilon^3\langle |\nabla {\rm d}^ \varepsilon-\nabla {\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon+2[(\nabla {\rm d}^ \varepsilon-\nabla {\rm d})\cdot\nabla {\rm d}]{\rm d}^ \varepsilon+|\nabla {\rm d}|^2 {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

这推出

(4.37) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_{52}| &\leq& \varepsilon^3 \|\dot{\rm d}\|_{L^\infty} \|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2+2 \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}\|\dot{\rm d}\|_{L^4}\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}+ \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}^2 \|\dot{\rm d}\|_{L^2} {}\\ &\leq & \varepsilon^3 \|\dot{\rm d}\|_{L^\infty} \|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^2+ \varepsilon^3\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2}. \end{eqnarray} $

因此$ {\rm R}_{53} $可改写为

(4.38) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_{53} & = &\lambda_2 \varepsilon^2 \langle [{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A+A}){\rm d}^ \varepsilon]{\rm d}^ \varepsilon, \dot {\rm d}\rangle {}\\ & = &\lambda_2 \varepsilon^2\langle [{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon]{\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle+\lambda_2 \varepsilon^2\langle ({{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}{\rm d}^ \varepsilon){\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

于是

(4.39) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_{53}| &\leq &C\lambda_2 \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}+C\lambda_2 \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2} {}\\ &\leq &\frac{\mu_4}{8} \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\frac{C}{\mu_4}\lambda_2^2 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2}^2+C\lambda_2 \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}. \end{eqnarray} $

回顾$ \gamma = -\lambda_2 {\rm d}^\top {\rm A}{\rm d} $, 于是

(4.40) $ \begin{eqnarray} {\rm R}_{54} = \lambda_2 \varepsilon^2\langle ({\rm d}^\top {\rm A}{\rm d}){\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}\rangle. \end{eqnarray} $

由$ |{\rm d}| = 1 $和Cauchy-Schwartz's不等式, 我们有

(4.41) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_{54}| \leq C\lambda_2 \varepsilon^2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2} \leq C\lambda_2^2 \varepsilon\|\nabla u\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

将估计(4.35), (4.37), (4.39)以及(4.41)代入(4.33)式, 我们有

(4.42) $ \begin{eqnarray} |{\rm R}_5| &\leq &(2+\|\dot{\rm d}\|_{L^\infty})\big( \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla \theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2\big)+ \varepsilon^3\big( \|\dot{\rm d}\|_{L^4}^4+\|\dot{\rm d}\|_{L^3}^3+\|\nabla{\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^2 \\ &&+\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2}\big)+\frac{\mu_4}{8} \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^2\big(\frac{C}{\mu_4}\lambda_2^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2}^2+C\lambda_2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2} \big) \\ &&+C\lambda_2^2 \varepsilon\|\nabla u\|_{L^2}^2, \end{eqnarray} $

其中$ C $依赖于$ \lambda_2 $.将估计(4.26), (4.28), (4.30), (4.32)以及(4.42)代入(4.24)式, 可得

(4.43) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal Y}(t)+{\cal D}(t) \leq C{\cal H}(t){\cal Y}(t)+C \varepsilon{\cal M}_1(t)+C \varepsilon^2{\cal M}_2(t)+C \varepsilon^3{\cal M}_3(t), \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} {\cal Y}(t) & = &\|\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\nabla\theta^ \varepsilon\|_{L^2}^2+ \varepsilon^3\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2, {\nonumber}\\ {\cal H}(t) & = &1+ \varepsilon^2+\|\nabla u\|_{L^\infty}+\|\dot{\rm d}\|_{L^\infty}+\|\nabla\dot{\rm d}\|_{L^\infty} + \varepsilon^3\|\nabla\dot{\rm d}\|_{L^\infty} +(1+\varepsilon^3)\|\Delta{\rm d}\|_{L^\infty}^2 , {\nonumber}\\ {\cal D}(t) & = &\frac{\mu_4}{8} \varepsilon^2\|\nabla\omega^ \varepsilon\|_{L^2}^2+\mu_1 \varepsilon^2\|{{\rm d}^ \varepsilon}^\top({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2-\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\rm d}^ \varepsilon+({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon \|_{L^2}^2 \nonumber\\ && -2\lambda_2 \varepsilon^2 \langle \dot{\rm d}^ \varepsilon+({\rm B}^ \varepsilon-{\rm B}){\rm d}^ \varepsilon, ({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\rangle+(\mu_5+\mu_6) \varepsilon^2\|({\rm A}^ \varepsilon-{\rm A}){\rm d}^ \varepsilon\|_{L^2}^2, \nonumber\\ {\cal M}_1(t) & = &(1+\lambda_2^2)\|\nabla u\|_{L^2}^2, {\nonumber}\\ {\cal M}_2(t) & = &\frac{1+\lambda_2^2}{\mu_4}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}^2+\frac{1}{\mu_4}\|\nabla u\|_{L^2}^2+\lambda_2\|\nabla u\|_{L^2}\|\dot{\rm d}\|_{L^2}+\mu_4\|\Delta u\|_{L^2}^2, {\nonumber}\\ {\cal M}_3(t) & = &\|\Delta {\rm d}\|_{L^2}^2\|u\|_{L^\infty}^2+\|\ddot{\rm d}\|_{L^2}^2 +\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^4+\|\dot{\rm d}\|_{L^3}^3+\|\nabla {\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^4}^2 \\ && +\|\nabla{\rm d}\|_{L^4}^2\|\dot{\rm d}\|_{L^2} +\|\Delta{\rm d}\|^2_{L^2}+\|\nabla{\rm d}\|^2_{L^2}, {\nonumber} \end{eqnarray*} $

其中$ C $是一个常数, 它依赖于$ s, n $和Leslie系数, 但是它不依赖于$ \varepsilon $.由于$ {\cal Y}(0) = 0 $, 由Gronwall's不等式, 可得对所有的$ 0< \varepsilon<1 $

(4.44) $ \begin{equation} {\cal Y}(t)\leq C_T \varepsilon, \quad \forall\ 0<t<T, \end{equation} $

其中$ C_T $依赖于$ s, n $, Leslie系数以及极限方程的经典解$ (u, {\rm d}) $.由(4.44)式的上界, 将它对$ t $从$ 0 $到$ T $积分, 我们得到(4.7)式.定理4.1得证.

注4.1  根据文献[19], 双曲液晶方程的局部经典解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $的存在时间是依赖于初始能量和Leslie系数的.然而, 对于我们这里的参数化的双曲液晶方程(4.1)–(4.3), 它的初始能量和Leslie系数都依赖于参数$ \varepsilon $.特别地, 参数化的双曲液晶方程的Leslie系数参数化为$ \mu_1 \varepsilon, \mu_2 \varepsilon, \cdots , \mu_6 \varepsilon $.随着$ \varepsilon $趋向于0, 它们变得非常小.因此我们并不知道, 对于所有的$ 0< \varepsilon\leq1 $, 方程(4.1)–(4.3)的局部经典解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $的存在时间是否有一个一致的下界.因此, 定理4.1仅仅是关于双曲液晶方程的大Ericksen数的极限的一个形式分析的结果.

注4.2  通过标准的能量方法, 似乎我们不能得到关于经典解$ (u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon) $的存在时间的关于$ \varepsilon $的一致下界.其中一个原因是我们不能得到参数化双曲方程(4.1)–(4.3)的解的一致$ H^s $ -范数估计.主要困难在于能量中参数$ \varepsilon $的次数和Leslie张量中$ \varepsilon $的次数不匹配造成的.如果我们对参数化的方程(4.1)–(4.3)做$ H^s $ -能量估计, 可以观察到$ \|\nabla {\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s} $和$ \|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s} $关于$ \varepsilon $是$ \frac{1}{ \varepsilon} $次的.但是方程的右边会出现一项$ \varepsilon^3\|{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}^3 $, 随着$ \varepsilon $趋向于$ 0 $, 这一项会变得非常大.