不可压液晶的流体动力学理论最早是由Ericksen^[2-4]和Leslie^[8-9]在1960年代建立的.后来, Hardt, Kinderlehrer和林芳华在文献[13]中最初开始抛物型Ericksen-Leslie方程的数学研究.自此以后, 有大量关于Ericksen-Leslie方程及其逼近形式的存在性、正则性以及部分正则性的研究, 例如文献[22-25].对于更一般的抛物型Ericksen-Leslie方程, 关于二维空间${\mathbb R}^2$中的局部适定性和整体适定性请参见文献[15, 26], 而关于弱解的存在性和唯一性参见文献[14, 21, 27].

对于液晶的双曲型的Ericksen-Leslie方程, 高维情况下的数学研究结果非常少. De Anna和Zarnescu在文献[1]中研究了一个相关的惯性的液晶的Qian-Sheng模型.他们得出了能量守恒律, 同时也证明了有界初值下的局部适定性和小初值的同时系数满足某种衰减性质下的整体适定性.对于无粘性的Qian-Sheng模型, Feireisl等在文献[5]中证明了大初值下的整体耗散解的存在性.最近, 江宁和罗益龙在文献[19]中证明了双曲型不可压Ericksen-Leslie方程的有限初值下的局部经典解的存在性和唯一性.而在Leslie系数的一些约束条件和小初始能量的假设下, 他们也可以证明整体经典解的存在性和唯一性.

最近, Wu, Xu和Zarnescu在文献[29]中研究了不可压缩向列型液晶流的Beris-Edwards系统在控制流动时特征值范围的保留效应和缺陷的动态出现.特别地, 他们为Beris-Edwards系统在大Ericksen数的极限下的部分解耦提供了定性的理解.本文的目标是为了探讨双曲型Ericksen-Leslie方程的解的大Ericksen数的极限.在本文中, 我们将要研究了在大Ericksen数和Reynold数极限下, 如下双曲型Ericksen-Leslie不可压液晶方程的部分解耦问题

其中$\rho>0$表示流体的密度常数, $u(t, x)\in{\mathbb R}^n$表示流体的速度向量场, ${\rm d}(t, x)\in{\mathbb R}^n$表示液晶分子在几何约束$|{\rm d}| = \ell$下的方向场.这里, $\ell$为棒状向列相液晶分子的平均长度. $p(t, x)\in{\mathbb R}$表示标量压力场.这里, $\dot{\rm d}$和$\ddot{\rm d}$分别表示${\rm d}$的一阶物质导数和二阶物质导数, 即

记号

分别表示表示应变张量的速率和应变速率的反对称部分.记号$\Sigma_i (i = 1, 2, 3)$定义如下

其中${\rm E}$是$n\times n$单位矩阵, 矩阵$(\nabla{\rm d}\odot\nabla{\rm d})$的元素为$(\nabla{\rm d}\odot\nabla{\rm d})_{ij} = \partial_i{\rm d}\cdot\partial_j{\rm d}$, $\tilde{\sigma}(u, {\rm d}, \dot{\rm d})$是应力张量具有如下分量形式

这里参数$\mu_i\ (i = 1, 2, 3, 5, 6)$是Leslie系数, $\mu_4$就是通常的粘性系数, $\kappa$是测量液晶分子的弹性的Frank常数.通常, $\lambda_1, \lambda_2$满足$\lambda_1 = \mu_2-\mu_3, \ \lambda_2 = \mu_5-\mu_6 .$并且, $\mu_2, \mu_3, \mu_5, \mu_6$满足关系$\mu_2+\mu_3 = \mu_6-\mu_5 ,$这一关系被称为Parodi's关系, 它是由Onsager互反关系导出的, Onsager互反关系表示了在非平衡的热力学系统中流体和力之间某些关系的相等关系, 详细内容请参见文献[28].拉格朗日乘子$\Gamma$具有如下表示

从原始Ericksen-Leslie模型到不可压缩液晶系统(1.1)的严格推导归功于文献[19-20].由于我们要研究方程(1.1)的渐近行为, 因此研究它的无量纲形式是十分必要的.为此, 我们需要开展如下的无量纲程序.

令$L^\ast, T^\ast$和$U^\ast$分别表示宏观尺度下的单位长度、时间和流体速度, 其中$U^\ast = \frac{L^\ast}{T^\ast}$.令$\rho^\ast , c^\ast$和$\mu^\ast$分别表示单位的密度, 单位的声速以及单位的粘性系数.令$\kappa^\ast = {K\over{\ell^2}}$表示单位的Frank常数, 其中$K$是弹性系数.

为了无量纲化方程(1.1), 我们令

分别记马赫数、Reynolds数、Ericksen数以及惯性系数如下

现在将表达式(1.7)–(1.8)代入方程(1.1), 借助(1.9)式中的定义, 我们将方程(1.1)改写为如下无量纲形式(去掉所有$\hat\cdot$)

其中$\Gamma = -{\chi\over{\mathfrak{E}}}\rho|\dot{\rm d}|^2+{\kappa\over{\mathfrak{E}}}|\nabla{\rm d}|^2-\lambda_2 {\rm d}^\top{\rm Ad} .$

从上面无量纲形式中, 通过选取不同的尺度, 关于相关的渐进模型已有丰富的研究成果.例如, 让惯性系数$\chi$趋于$0$, 方程(1.10)形式上收敛到更广泛研究的抛物型Ericksen-Leslie方程, 参见文献[6, 12, 18].考虑Q -张量形式, 例如Beris-Edwards方程, Wu-Xu-Zarnescu在文献[29]中通过让Reynolds数和Ericksen数趋于无穷研究了Beris-Edwards方程的所谓的大Ericksen数极限(在$\chi = 0$的情形).

在本文中, 我们对双曲型液晶方程(1.10)的大Ericksen数极限进行了初步的研究.为了表述的简单, 我们令参数$\rho, \mathfrak{M}$, $\chi$以及$\kappa$为$1$, 并且令Reynolds数$\mathfrak{R} = \frac{1}{ \varepsilon^2}$和Ericksen数$\mathfrak{E} = \frac{1}{ \varepsilon}$ (这里选取不同的次数是为了计算的简单).于是, 方程(1.10)可写为

其中, ${\rm d}^ \varepsilon$满足几何约束$|{\rm d}^ \varepsilon| = 1$,

方程(1.11)有如下初始条件

其中${\rm d}_0(x)$和$\tilde{\rm d}_0(x)$满足约束条件和相容性条件

对任意的$\varepsilon>0$, 江宁和罗益龙在^[19]中证明了, 如果$(u_0, \nabla {\rm d}_0, \tilde{\rm d}_0)\in H^s({\mathbb R}^n), s>\frac{n}{2}+1$满足条件(1.13), 存在$T_ \varepsilon>0$使得方程(1.11)–(1.12)存在局部经典解

在大初值下, 方程(1.11)–(1.12)的整体适定性仍是个公开的问题.

方程(1.11)–(1.12)的所谓的大Ericksen数极限问题对应的是该方程的经典解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$随着$\varepsilon\to0$的渐近行为.形式上, 在方程(1.11)中令$\varepsilon = 0$, 我们得到如下的极限方程

这里${\rm d}$满足约束条件$|{\rm d}| = 1$, 拉格朗日乘子具有如下形式

注意到方程组(1.14)的第三个方程对时间变量$t$只有一阶导数, 因此方程(1.14)的初始条件变为

其中${\rm d}_0(x)$满足约束$|{\rm d}_0(x)| = 1$.

我们可以猜测到随着$\varepsilon\to0$, 方程(1.11)–(1.12)的解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$应该会在某种意义下收敛到方程(1.14)–(1.15)的解$(u, {\rm d})$.而本文的一个主要目的就是在经典解的框架下给出他们的误差$(u^ \varepsilon-u, {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d})$的一个能量估计.

本文的余下部分是如下组织的.在第2节, 我们将给出一些记号和预备知识.在第3节, 我们将证明极限方程的经典解的局部存在性.在第4节, 我们将陈述我们的主要定理, 同时给出主要定理的证明.

为了陈述我们的主要结果以及表述的简单, 我们引进一些记号和预备知识.

空间$L^p({\mathbb T}^n)$, $1\leq p\leq\infty$表示通常的标量函数或者向量函数的Lebesgue空间, 它的范数记为$\|\cdot\|_{L^p}$.当$p = 2$, $L^2({\mathbb T}^n)$是Hilbert空间, 我们记$\langle\cdot, \cdot\rangle$为相应的标量函数或向量函数的$L^2$-内积.我们记$W^{k, p}({\mathbb T}^n)$为通常的Sobolev空间, 相应的范数记为$\|\cdot\|_{W^{k, p}}$.当$p = 2$, 我们用$H^k({\mathbb T}^n)$来表示$W^{k, 2}({\mathbb T}^n)$, 相应的内积记为$\langle\cdot, \cdot\rangle_k$.给定一个Banach空间$X$以及相应的范数$\|\cdot\|_{X}$, 我们用$L^p(0, T;X)$, $1\leq p\leq\infty$来表示定义在$(0, T)$上取值在$X$上且满足$\int_0^T \|f(t)\|_{X}^p{\rm d}t<\infty$的所有函数的集合.在本文中, 我们用$C$来表示一个常数, 它可能在不同地方会有不同的取值.

由于我们在Sobolev空间中研究, 我们会很频繁地使用如下引理.

引理2.1  Sobolev空间中的微积分不等式.

1) $\forall\ m\in{\mathbb Z}$存在$c>0$使得, $\forall\ u, v\in L^\infty\cap H^m({\mathbb R}^n)$, 有

2) $\forall\ s>\frac{n}{2}$, 存在$c>0$使得$\forall\ u, v\in H^s({\mathbb R}^n)$, $\|uv\|_{H^s}\leq c\|u\|_{H^s}\|v\|_{H^s}.$

该引理的证明可参考文献[10].

在这一节, 我们考虑极限方程(1.14)–(1.15).注意到$\dot{\rm d} = \partial_t{\rm d}+u\cdot\nabla{\rm d},$同时如果$\lambda_1<0$, 我们可以将极限方程(1.14)改写为如下形式

其中$\gamma = -\lambda_2{\rm d}^\top{\rm A}{\rm d}$.初始条件为

这里$u, {\rm d}$满足周期性边界条件.

方程组(3.1)–(3.2)是一个弱的耦合系统, 它包含流体速度场$u$的Euler方程和方向场$d$的输运方程.在下面的定理中, 我们将给出方程组(3.1)–(3.2)的经典解的存在性的证明.

定理3.1  令$s>\frac{n}{2}+1, \lambda_1<0, u_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n), {\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n)$.则存在$T>0$, 依赖于$s, n, \|u_0\|_{H^s}, \|{\rm d}_0\|_{H^s}$, 使得极限方程存在唯一解

并且, 对所有的$0\leq t\leq T$, $x\in{\mathbb T}^n$, ${\rm d}$满足几何约束$|{\rm d}(t, x)| = 1$.

证  由于方程(3.1)中的流体速度场$u$的Euler方程是自适定的.我们也都知道, 如果$n = 2, s>2$, 对于初值速度场$u_0\in H^s({\mathbb T}^2)$, Euler方程是整体适定的, 而如果$n = 3, s> \frac{5}{2}$, 对于初始速度$u_0\in H^s({\mathbb T}^3)$, 存在$T_1>0$依赖于$s, \|u_0\|_{H^s}$, 使得Euler方程存在解$u$满足

更详细的讨论, 请参见文献[16-17].因此, 我们只需要考虑给定流体速度场$u$下的液晶分子的方向场${\rm d}$的方程${(3.1)}_3$.

下面我们将证明, 如果${\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n)$满足$|{\rm d}_0| = 1$, 存在$T_2>0$使得方程$(3.1)_3$存在唯一的经典解${\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n)\big)$, 并且对$t\in [0, T], x\in{\mathbb T}^n$, 都有$|d(t, x)| = 1$.

证明分为两个部分.在第一部分, 我们将证明如果${\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n)$, 线性的输运方程

存在唯一的${\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n) \big)$.这一部分的证明包含下面三个步骤.

第一步  先验估计.

假设对给定的光滑的$(u, {\rm d})$是方程(3.3)的一个光滑解.对满足$0\leq |\alpha|\leq s$的所有多重指标$\alpha\in{\mathbb Z}^n$, 在方程${(3.3)}_1$的两边应用微分算子$\partial^\alpha$, 然后和$\partial^\alpha {\rm d}$作$L^2$ -内积, 我们可以得到

注意到, 如果$s>\frac{n}{2}$, $H^s$是一个代数.在方程(3.4)两边对多重指标$0\leq|\alpha|\leq s$求和, 结合引理, 我们可以得到

其中$C$是一个常数, 它依赖于$s, n, \lambda_1, \lambda_2$.注意到$|{\rm d}| = 1$蕴含着$\|{\rm d}\|_{H^s}>0$, 因此由(3.5)式我们可以得到

对于给定的$u\in L^\infty\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n) \big)$, 结合Grownwall's不等式, 我们可以得到

这里$0<t<T_2\leq T_1$, $T_2$依赖于$\|{\rm d}_0\|_{H^s}, \|u\|_{H^{s+1}}$和常数$C$.

第二步  逼近解的构造.

由于对给定的$u$而言, 方程(3.3)是拟线性的, 因此我们可以用如下的抛物型方程来逼近它

其中$\gamma^\nu = -\lambda_2{{\rm d}^\nu}^\top{\rm A}{\rm d}^\nu.$

根据抛物方程的经典理论(参见文献[7]), 对任意的$\nu>0$, 方程(3.7)存在唯一的经典解

其中$T_2$依赖于$\|{\rm d}_0\|_{H^s}, \|u\|_{H^{s+1}}$.并且, 由方程(3.4)–(3.5)的推导过程, 我们可以得出如下能量估计

根据方程(3.6), 对任意$\nu>0$, 对任意的$t\in [0, T_2]$, 我们有$\|{\rm d}^\nu(t, \cdot)\|_{H^s}\leq M(t)$.对方程(3.8)两边关于$t$从$0$到$T_2$积分, 我们可以得到

并且, 我们还能推导出解序列$\{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0}$在空间$C\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n) \big)$中是一致有界的.

第三步  收敛性.

在这一步中, 我们将证明解序列$\{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0}$是空间$C\big([0, T];H^{s-1}({\mathbb T}^n) \big)$中的Cauchy列.令$0<\nu_1<\nu_2$.设${\rm d}^{\nu_1}$和${\rm d}^{\nu_2}$分别为方程

和

的经典解, 其中$\gamma^{\nu_1}$和$\gamma^{\nu_2}$分别表示为

由方程(3.10)和(3.11), 可知${\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}$满足如下方程

相应的初始条件为

这里, $\gamma^{\nu_2}{\rm d}^{\nu_2}-\gamma^{\nu_1}{\rm d}^{\nu_1}$可以表示成

将方程(3.12)的两边同时与${\rm d}^{\nu_2}-{\rm d}^{\nu_1}$作$H^{s-1}$ -内积, 我们可以得到

由方程(3.14), 我们可以得到

由Grönwall's不等式以及方程(3.9), 我们有

这意味着$\{{\rm d}^\nu\}_{\nu>0}\; \mbox{为}\; C\big([0, T_2];H^{s-1} \big)\; \mbox{中的Cauchy序列}.$因此, 随着$\nu\to0$在方程(3.8)中取极限, 我们得到对于给定的光滑$u$以及初始条件${\rm d}\big|_{t = 0} = {\rm d}_0$下方程(3.3)的解${\rm d}$.

现在我们证明了, 如果${\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n), u\in L^\infty\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n)\big)\cap L^1\big([0, T_1];H^{s+1}({\mathbb T}^n)\big)$, 方程(3.3)存在一个解${\rm d}\in L^\infty\big([0, T_2];H^s({\mathbb T}^n)\big).$然而我们并不知道${\rm d}$是否满足几何约束条件$|{\rm d}(t, x)| = 1$.

在第二个部分, 我们将证明, 如果初始方向场${\rm d}_0$满足几何约束条件$|{\rm d}_0| = 1$, 则当$0<t<T_2$时, 方程的解${\rm d}$也满足几何约束条件.由于${\rm d}$是方程

的经典解, 将方程(3.15)两边同时乘以${\rm d}$, 我们得到

将$\gamma$的表达式代入(3.16)式, 我们得到$|{\rm d}|^2-1$满足如下方程

解这个关于$|{\rm d}^2|-1$的输运方程(3.17), 容易验证如果$|{\rm d}_0| = 1$, 则当$0<t<T_2$时, $|{\rm d}| = 1$也成立.如果令$T = \min (T_1, T_2)$, 则定理得证.

在这一节, 我们回到方程(1.11), 即

其中${\rm A}^ \varepsilon, {\rm B}^ \varepsilon, \Sigma_1^ \varepsilon, \Sigma_2^ \varepsilon, \Sigma_3^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon, \ddot{\rm d}^ \varepsilon$形式如同在(1.2)–(1.5)式将$u, {\rm d}$换成$u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon$.此时, $\Gamma^ \varepsilon$具有如下形式

在前面一节, 我们已经证明了, 当$s>\frac{n}{2}+1$, 对于$u_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n)$和${\rm d}_0\in H^s({\mathbb T}^n)$, 极限方程存在唯一解$(u, {\rm d})$使得

其中$T>0$依赖于$n, s, \lambda_1, \lambda_2$和初始值$(u_0, {\rm d}_0)$.现在我们将要研究方程(4.1)的经典解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$的渐近行为.第一步我们需要给出一个合适的初始条件.事实上, 由方程(1.14)的第三个方程可知

因此, 方程(4.1)可以给出如下初始条件

其中$\dot{\rm d}\big|_{t = 0} = \big\{-\frac{1}{\lambda_1}(\gamma {\rm d}+\lambda_2 {\rm Ad})-{\rm Bd}\big\}\big|_{t = 0}$.

我们将验证方程(4.1)–(4.3)的大Ericksen数和Reynolds数极限, 也即方程的解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$随着$\varepsilon\to 0$的极限.为此, 我们需要得出方程解$({u}^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$的一个一致估计.由文献[19]中所推导的基本能量守恒律, 我们有如下引理.

引理4.1  假设$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$是方程(4.1)–(4.3)的一个光滑解, 则下面的关系成立

如果, 更进一步, $\varepsilon>0, \lambda_1<0, \mu_1\geq0, \mu_4>0$和$\mu_5+\mu_6+\frac{\lambda_2^2}{\lambda_1}\geq0$, 则基本能量守恒律(4.4)是耗散的.

证  对于任意的$\varepsilon>0$.令$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$为方程(4.1)–(4.3)的经典解.将方程(4.1)的第一个方程的两边同时与$u^ \varepsilon$作$L^2$-内积, 我们得到

将方程(4.1)的第三个方程的两边同时与$\varepsilon^2\dot{\rm d}^ \varepsilon$作$L^2$ -内积, 我们得到

其中我们用到关系${\rm d}^ \varepsilon\cdot \dot{\rm d}^ \varepsilon = 0$.将(4.5)式和(4.6)式加起来, 结合文献[19, Lemma 2.1]中的计算步骤, 我们可以得到下面的基本能量守恒律

其中用到抵消关系$\varepsilon^3\langle - {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), u^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}^ \varepsilon, u^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon\rangle = 0.$引理4.1得证.

现在我们可以阐述我们关于双曲型液晶方程的大Ericksen数极限的主要结果.

定理4.1  令$s>\frac{n}{2}+1$.设$u_0\in H^{s+2}({\mathbb T}^n)$满足$\nabla \cdot u_0 = 0$, ${\rm d}_0\in H^{s+1}({\mathbb T}^n)$满足$|{\rm d}_0| = 1$.令$u\in C\big([0, T_*];H^{s+2}({\mathbb T}^n) \big), {\rm d}\in C\big([0, T_*];H^{s+1}({\mathbb T}^n) \big)$为极限方程(3.1)在初始值为$(u_0, {\rm d}_0)$时的局部经典解.

对任意的$\varepsilon>0$.令$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$为方程(4.1)在初始条件(4.3)下的局部经典解, 使得

对某个$T_ \varepsilon>0$.

如果我们记$\omega^ \varepsilon = u^ \varepsilon-u, \theta^ \varepsilon = {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}$以及$\dot{\theta}^ \varepsilon = \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}$, 则我们有

其中$T = \min{(T_*, T_ \varepsilon)}$和$C_T$依赖于$s, n$, 和Leslie系数以及初始值$(u_0, {\rm d}_0)$.

证  形式上, 对方程(4.1)和方程(3.1)作差之后, 我们得到

将方程(4.8)的两边同时与$u^ \varepsilon-u$相乘, 并在${\mathbb T}^n$上积分, 我们得到

其中我们用到这样的事实:由${\rm{div}}(u^ \varepsilon-u) = 0$可得$\langle u^ \varepsilon\cdot\nabla\omega^ \varepsilon+\nabla(p^ \varepsilon-p), \omega^ \varepsilon\rangle = 0$.记${\rm \theta}^ \varepsilon = {\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}$和$\dot{\rm \theta}^ \varepsilon = \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d}$.注意到

记$\ddot{\rm d} = \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d}$.将方程(4.8)的第二个方程的两边同时减去$\varepsilon\ddot{\rm d}$, 将它改写成如下形式

将方程(4.10)两边同时乘以$\varepsilon^2\dot{\theta}^ \varepsilon$并在${\mathbb T}^n$上积分, 我们得到

将(4.9)式和(4.11)式加起来, 我们得到

这里我们用到事实: $- \varepsilon^3\langle {\rm{div}}(\nabla {\rm d}^ \varepsilon\odot\nabla {\rm d}^ \varepsilon), \omega^ \varepsilon\rangle+ \varepsilon^3\langle\Delta {\rm d}^ \varepsilon, \omega^ \varepsilon\cdot\nabla {\rm d}^ \varepsilon\rangle = 0$.剩下的工作就是去估计(4.12)式右边的各项.

首先, $\varepsilon^3\langle \Delta {\rm d}^ \varepsilon, u\cdot\nabla \theta^ \varepsilon\rangle$这项可如下估计

其次, 我们将$\lambda_1 \varepsilon^2\|\dot{\theta}^ \varepsilon\|_{L^2}^2$这项分拆为如下形式

于是, 在估计$\varepsilon^2\langle {\rm{div}}\tilde{\sigma}, \omega^ \varepsilon\rangle$这项之前, 我们先回顾$\tilde{\sigma}$具有如下形式

为了陈述的简单, 记

其中${\rm I}_1, {\rm I}_2, \cdots , {\rm I}_4$是(4.15)式的右边部分表达式.例如, ${\rm I}_1$具有如下形式

${\rm I}_2$具有如下形式

${\rm I}_3$具有如下形式

最后, ${\rm I}_4$具有如下形式

然后我们记${\rm II} = \lambda_1 \varepsilon^2\langle {\rm B}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm Bd}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle$, 它可以改写为如下形式

记${\rm III} = \lambda_2 \varepsilon^2 \langle {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-{\rm A d}, \dot{\theta}^ \varepsilon\rangle$, 并将它改写为

记${\rm IV} = \varepsilon^2\langle \Gamma^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon-\gamma {\rm d}, \dot{\rm d}^ \varepsilon-\dot{\rm d} \rangle$, 回顾$\Gamma^ \varepsilon = - \varepsilon|\dot{\rm d}^ \varepsilon|^2+ \varepsilon|\nabla {\rm d}^ \varepsilon|^2-\lambda_2 {{\rm d}^ \varepsilon}^\top {\rm A}^ \varepsilon {\rm d}^ \varepsilon$和$\gamma = -\lambda_2 {\rm d}^\top{\rm Ad}$.注意到$|{\rm d}^ \varepsilon| = 1$, 于是$\dot{\rm d}^ \varepsilon\cdot {\rm d}^ \varepsilon = 0.$因此, ${\rm IV}$可以改写为

现在将(4.13)–(4.23)式代入(4.12)式, 我们得到

剩下的工作是估计(4.24)式的右边各项.为了陈述的简单, 我们记${\rm R}_1$为如下形式

其中$\ddot{\rm d} = \partial_t\dot{\rm d}+u\cdot\nabla\dot{\rm d}$.注意到$(u, {\rm d})$是极限方程(1.14)的一个经典解, 于是

因此, $\ddot{\rm d} = \partial_t(-\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad}-{\rm Bd})+u\cdot\nabla(-\frac{1}{\lambda_1}\gamma {\rm d}-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}{\rm Ad}-{\rm Bd}),$同时注意到$\partial_t u\in L^\infty([0, T];H^{s+1}), \partial_t{\rm d}\in L^\infty([0, T];H^{s-1})$, 我们可以得到

于是, 由Hölder不等式和Cauchy不等式, 我们有

记${\rm R}_2$为

于是, 由Hölder不等式, 我们有

记${\rm R}_3$为

由事实$|{\rm d}^ \varepsilon| = 1$, 我们有

其中$C$依赖于$|\mu_1|, |\mu_2|, |\mu_3|, |\mu_5|$ and $|\mu_6|$.记${\rm R}_4$为如下形式

注意到$|{\rm d}| = 1, |{\rm d}^ \varepsilon| = 1$, 于是$|\theta^ \varepsilon| = |{\rm d}^ \varepsilon-{\rm d}|\leq2$.因此, 我们有

其中$C$依赖于$|\lambda_1|$ and $|\lambda_2|$.记${\rm R}_5$为

于是

因此

由类似的方式, ${\rm R}_{52}$可以改写为

这推出

因此${\rm R}_{53}$可改写为

于是

回顾$\gamma = -\lambda_2 {\rm d}^\top {\rm A}{\rm d}$, 于是

由$|{\rm d}| = 1$和Cauchy-Schwartz's不等式, 我们有

将估计(4.35), (4.37), (4.39)以及(4.41)代入(4.33)式, 我们有

其中$C$依赖于$\lambda_2$.将估计(4.26), (4.28), (4.30), (4.32)以及(4.42)代入(4.24)式, 可得

其中

其中$C$是一个常数, 它依赖于$s, n$和Leslie系数, 但是它不依赖于$\varepsilon$.由于${\cal Y}(0) = 0$, 由Gronwall's不等式, 可得对所有的$0< \varepsilon<1$

其中$C_T$依赖于$s, n$, Leslie系数以及极限方程的经典解$(u, {\rm d})$.由(4.44)式的上界, 将它对$t$从$0$到$T$积分, 我们得到(4.7)式.定理4.1得证.

注4.1  根据文献[19], 双曲液晶方程的局部经典解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$的存在时间是依赖于初始能量和Leslie系数的.然而, 对于我们这里的参数化的双曲液晶方程(4.1)–(4.3), 它的初始能量和Leslie系数都依赖于参数$\varepsilon$.特别地, 参数化的双曲液晶方程的Leslie系数参数化为$\mu_1 \varepsilon, \mu_2 \varepsilon, \cdots , \mu_6 \varepsilon$.随着$\varepsilon$趋向于0, 它们变得非常小.因此我们并不知道, 对于所有的$0< \varepsilon\leq1$, 方程(4.1)–(4.3)的局部经典解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$的存在时间是否有一个一致的下界.因此, 定理4.1仅仅是关于双曲液晶方程的大Ericksen数的极限的一个形式分析的结果.

注4.2  通过标准的能量方法, 似乎我们不能得到关于经典解$(u^ \varepsilon, {\rm d}^ \varepsilon, \dot{\rm d}^ \varepsilon)$的存在时间的关于$\varepsilon$的一致下界.其中一个原因是我们不能得到参数化双曲方程(4.1)–(4.3)的解的一致$H^s$ -范数估计.主要困难在于能量中参数$\varepsilon$的次数和Leslie张量中$\varepsilon$的次数不匹配造成的.如果我们对参数化的方程(4.1)–(4.3)做$H^s$ -能量估计, 可以观察到$\|\nabla {\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}$和$\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}$关于$\varepsilon$是$\frac{1}{ \varepsilon}$次的.但是方程的右边会出现一项$\varepsilon^3\|{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}\|\dot{\rm d}^ \varepsilon\|_{H^s}^3$, 随着$\varepsilon$趋向于$0$, 这一项会变得非常大.