在Bardeen-Cooper-Schrieffer(BCS)量子超导理论中超导状态被一个正的能隙函数所刻画, 记为$ \Delta({\bf x}) $, 它满足

(1.1) $ \begin{equation} \Delta({\bf x}) = \int_{\Omega}{\rm d}{\bf y}K({\bf x}, {\bf y})\varphi_{\beta} ({\bf y}, \Delta({\bf y})), \end{equation} $

其中$ \varphi_{\beta}({\bf y}, \Delta({\bf y})) = H_{\beta}((({\bf y})^{2}+\Delta^{2}({\bf y}))^{1/2}) \Delta({\bf y}), \ H_{\beta}(t) = \frac{\tanh(1/2\beta t)}{t} $, 且$ \Omega $是一个有界区域, $ T\geq0 $是绝对温度, $ \beta = \frac{1}{T} $, $ K({\bf x}, {\bf y}) $是负的矩阵元素, 由潜在的电子波矢量$ {\bf x} $, $ {\bf y}\in{{\Bbb R}} ^{3} $交互而成.关于BCS模型的物理解, 可参见文献[3-6, 9-10, 12]及其中参考文献.

为了叙述的方便, 通常考虑BCS模型的一维情形:

(1.2) $ \begin{equation} \Delta(x) = \int_{I'}K(x, y)\frac{\tanh((1/2T)\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)})}{\sqrt{y^{2}+\Delta^{2}(y)}}\Delta(y){\rm d}y, \end{equation} $

其中$ I' = [-a, a] $是一个闭区间, $ T\geq0 $是绝对温度, $ \Delta(x) $是具有如下性质的函数, $ \Delta(x) = 0 $相应于正常阶段, $ \Delta(x)\neq0 $相应于超导阶段.

当核函数$ K({\bf x}, {\bf y}) $满足如下条件时

(1.3) $ \begin{equation} K({\bf x}, {\bf y})>0, K({\bf x}, {\bf y})\leq \sigma({\bf y}), \ \frac{\sigma({\bf x})}{{\bf x}^{2}+1}\in L({{\Bbb R}} ^{3}), \end{equation} $

文献[2]中给出了一些数值结果: BCS方程(1.1)有一个正解$ \Delta({\bf x})>0 $, 表示超导的发生, 而当$ T = 1/\beta>1/\beta_{c} = T_{c} $, 方程(1.1)的唯一解是平凡的, $ \Delta({\bf x})\equiv 0 $, 表示正常阶段; 另外还给出了两种数值方法:最小-最小格式和最大-最大格式.

然而, 条件(1.3)是一种简单的假设, 为了使模型更接近实际, Bogoliubov, Tolmachev和Shirkov在文献[1]中提出了如下模型:

(1.4) $ \begin{equation} \Delta(x) = \int_{I}K(x, y)\frac{\tanh((1/2T)\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)})}{\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)}}\Delta(y){\rm d}y, \end{equation} $

其中, 区间变为$ I = [-b, b] $, 核函数也不再是简单的恒正的情形而是变号的, 并具有两项和的形式: $ K(x, y) = K_{phonon}(x, y)+K_{Coulomb}(x, y) $, 其中

(1.5) $ \begin{equation} \begin{array}{l} { } K_{phonon}(x, y)\equiv\frac{K_{1}}{2}>0, |x|, |y|<a, \\ K_{phonon}(x, y) = 0, \quad \mbox{其他};\\ { } K_{Coulomb}(x, y)\equiv-\frac{K_{2}}{2}<0, |x|, |y|<b, \\ K_{Coulomb}(x, y) = 0, \quad \mbox{其他}, \end{array} \end{equation} $

$ K_1, K_2 $是常数, $ a>0 $是Debye能量, 并且$ a = \hbar\omega_{D} $, $ b>a $是屏蔽库仑斥力能量范围的上界.

注1.1  问题(1.4)–(1.5)通常被称为Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov (BTS)模型, 它是BCS模型的一个自然延伸.

注1.2  文献[1, 7-8]可知问题(1.4)有一个分片常数解:

(1.6) $ \begin{equation} \begin{array}{l} \Delta(x) = \Delta_{1}, |x|<a;\\ \Delta(x) = \Delta_{2}, a<|x|<b;\\ \Delta(x) = 0, \ \ \mbox{其他}. \end{array} \end{equation} $

文献[2]基于核函数恒正的数值方法对于核函数变号的情况不能使用, 为此, 我们提出一种新的数值方法求解具有变号核函数问题(1.4)的临界温度和能隙解.我们设计了最小-混合格式和最大-混合格式, 同时证明了存在两个相应的数值临界温度$ T'_{c} $和$ T''_{c} $使得$ T'_{c}\leq T_{c}\leq T''_{c} $, 证明了存在$ (u, v)_{m} $和$ (u, v)_{M} $使得$ (u, v)_{m}\leq(u, v)\leq(u, v)_M $, 并用一些数值算例来验证理论结果, 数值结果与物理现象吻合得很好.据我们所知, 这是第一个对具有变号核函数BTS模型的临界温度和能隙解进行数值求解的方法.

记$ f_{\beta}(s) = \frac{\tanh(1/2\beta s)}{s} $, 定义$ A_{\beta} $和$ B_{\beta} $为如下非线性形式:

$ { } A_{\beta}(\Delta) = \Delta\int_{0}^{a}f_{\beta}(\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}}){\rm d}x = \Delta\int_{0}^{a} \frac{\tanh(1/2\beta\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}})}{\sqrt{\Delta^{2}+x^{2}}}{\rm d}x, $

(2.1) $ \begin{equation} B_{\beta}(\Delta) = \Delta\int_{a}^{b}f_{\beta}(\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}}){\rm d}x = \Delta\int_{a}^{b} \frac{\tanh(1/2\beta\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}})}{\sqrt{\Delta^{2}+x^{2}}}{\rm d}x. \end{equation} $

引入变量$ u = \Delta_{1} $和$ v = -\Delta_{2} $, 由(2.1)和(1.6)式可得

(2.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u = (K_{1}-K_{2})A_{\beta}(u)+K_{2}B_{\beta}(v), \\ v = K_{2}A_{\beta}(u)-K_{2}B_{\beta}(v). \end{array}\right. \end{equation} $

注2.1  由文献[11]可知存在一个唯一的正的转变温度, $ T_{c} = 1/\beta_{c} $, 使得当$ T<T_{c} $时方程组(2.2)有一个非平凡解(超导阶段), 而当$ T>T_{c} $时方程组(2.2)只有平凡解.

下面, 我们给出确定临界温度的数值方法.首先, 对区间$ I $进行剖分, 令$ \{I_{j}|1\leq j\leq N\} $是$ I $的开子集组成的集合, 满足

$ I_{j}\cap I_{k} = \phi\quad (j\neq k), \quad \bigcup\limits_{j = 1}^{N}\bar{I}_{j}\supset I. $

然后, 我们分两种情况来处理问题: $ K_{1}>K_{2} $ (情况Ⅰ)和$ K_{1}\leq K_{2} $ (情况Ⅱ).

情况Ⅰ  $ K_{1}>K_{2} $}

问题(1.4)的下方逼近离散格式是

(2.3) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1} = (K_{1}-K_{2})u_{n+1} \sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad} +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}| {}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ; \ v_{1} = v_{0}, \end{eqnarray} $

其中$ (u_0, v_0) $可以通过估算得到, 它是格式(2.3)的下解, 即: $ (u_0, v_0) $满足

(2.4) $ \begin{eqnarray} &&u_{0}\leq(K_{1}-K_{2})u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| + K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{0}+K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \leq K_{2}u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

格式(2.3)的解被记为: $ (u_{n+1}, v_{n+1})_m $, 称为最小-混合离散格式.

问题(1.4)的上方逼近离散格式为

(2.5) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1} = (K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, {\quad} n = 1, 2, \cdots ; \ v_{1} = v^0, {} \end{eqnarray} $

其中$ (u^0, v^0) $可以通过估算得到, 它是格式(2.6)的上解, 即$ (u^0, v^0) $满足

(2.6) $ \begin{eqnarray} &&u^{0}\geq(K_{1}-K_{2})u^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{(u^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}| +K_{2}v^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(v^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v^{0}+K_{2}v^{0}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(v^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \geq K_{2}u^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(u^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

格式(2.6)的解记为: $ (u_{n+1}, v_{n+1})_M $, 称为最大-混合离散格式.

注2.2  格式(2.3)的最小-混合离散格式和格式(2.6)最大-混合离散格式是新的, 对文献[2]中的格式有本质的改进.

为了说明数值解的收敛性, 需要给出以下引理.为了方便, 记

(2.7) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } A_{h}(u) = u\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \\ { } B_{h}(v) = v\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|. \end{array} \end{equation} $

引理2.1  令$ H_{h}(u) = u-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u) $.若$ K_1>K_2 $, 则方程

(2.8) $ \begin{eqnarray} H_{h}(u) = s \end{eqnarray} $

对于每一个固定的$ s>0 $只有一个正解; 而且, 对于任意的$ c_0 $若满足$ H_h(c_0)\geq s $, 方程(2.8)的解$ u $则满足$ u\leq c_0 $.

证  证明类似于^[11]中的情形, 此处略去.

记

$ J_{h}(v) = v+K_{2}v \sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, $

则易证下面的引理成立.

引理2.2  $ J_{h}(v) $严格单调递增, 并有$ J_{h}(0) = 0 $, $ J_{h}(\infty) = \infty $; 对于每一个$ s\in [0, \infty) $, 方程$ J_{h}(v) = s $在$ [0, \infty) $有唯一解, 记做$ v $, 显然, $ v $随着$ s $的增加而增加.

引理2.3  如果$ K_1>K_2 $, 则存在一个常数$ \delta_{0}>0 $, 使得对任意$ v $, 若$ u^{0}\geq \delta_{0} $, 有$ u^{0} $是格式(2.3)中第一个方程的上解, 即

(2.9) $ \begin{equation} u^{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u^{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

证  因为函数$ A_{h}(u) $和$ B_{h}(v) $关于参数$ \beta $一致有界, 即存在某个常数$ C>0 $, 使得

(2.10) $ \begin{eqnarray} A_{h}(u)\leq C, \ B_{h}(v)\leq C. \end{eqnarray} $

由(2.10)式, 可得存在一个常数$ \delta_{0}>0 $使得

(2.11) $ \begin{equation} \delta_{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(\delta_{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

由(2.11)式和引理2.1可知, 如果$ u^{0}\geq \delta_{0} $, 则$ u^{0} $是一个上解.证毕.

引理2.4  如果$ K_1>K_2 $, 当$ \beta $足够小时, 格式(2.3)只有零解; 当$ \beta $足够大时, 格式(2.3)有一个下解$ (u_0, v_0) $.

证  从(2.7)式, 容易验证

(2.12) $ \begin{eqnarray} A_{h}(u)\leq\frac{1}{2}\beta au, \ B_{h}(v)\leq\frac{1}{2}\beta (b-a)v. \end{eqnarray} $

由(2.12)和(2.3)式, 易知当$ \beta $足够小时, 格式(2.3)的非负解是平凡的, 即$ u = 0, \ v = 0 $.

在格式(2.3)中令$ v = 0 $, 可得

(2.13) $ \begin{equation} u = (K_{1}-K_{2})A_{h}(u). \end{equation} $

在$ K_1>K_2 $的条件下, 由文献[2]可知, 当$ \beta $足够大时, (2.13)式有一个正解, 设为$ u_0 $.令$ v_{0} = 0 $, 当$ \beta>0 $足够大时, 则非负解对$ (u_0, v_0) $满足(2.4)式, 即为格式(2.3)的一个下解.

引理2.5  如果$ K_1>K_2 $, 则最小-混合格式(2.3)存在正解当且仅当它存在非平凡的下解$ (u_0, v_0) $.

证  由引理2.3可知, 存在一个绝对常数$ u^{0}>0 $使得

(2.14) $ \begin{equation} u^{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u^{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

令$ (u_0, v_0) $是格式(2.3)的下解, 如果$ v_{1} = v_{0}\geq 0 $, 利用(2.3)和(2.14)式, 可得

(2.15) $ \begin{eqnarray} u_{2}>0, \ u_{0}\leq u_{2}\leq u^{0}. \end{eqnarray} $

不妨假设存在某个正数$ l $, 使得下式成立

(2.16) $ \begin{eqnarray} &&0<u_{0} = u_{1}\leq u_{2}\leq\cdots \leq u_{l}\leq u^{0}, \end{eqnarray} $

(2.17) $ \begin{eqnarray} &&0\leq v_{0} = v_{1}\leq v_{2}\leq\cdots \leq v_{l}, \end{eqnarray} $

由(2.17)式可知

(2.18) $ \begin{equation} K_{2}B_{h}(v_{l-1})\leq K_{2}B_{h}(v_{l}). \end{equation} $

由(2.3)式, (2.18)式和引理2.1, 可得

(2.19) $ \begin{eqnarray} u_{l+1}\geq u_{l}. \end{eqnarray} $

由(2.19)式, 可得

(2.20) $ \begin{equation} K_{2}A_{h}(u_{l}) \leq K_{2}A_{h}(u_{l+1}). \end{equation} $

由(2.3)式, (2.20)式和引理2.2, 可得

(2.21) $ \begin{equation} v_{l}\leq v_{l+1}. \end{equation} $

由(2.14)式, 若$ u^{0} $是一个上解, 则

(2.22) $ \begin{equation} u_{l+1}\leq u^{0}. \end{equation} $

由数学归纳法原理, (2.16)和(2.17)式普遍成立.

由格式(2.3)的第二个方程可知, 数列$ \{v_{n}\} $的有界性可以通过$ \{u_{n}\} $的有界性得到.事实上, $ v_{n}\leq K_{2}A_{h}(u^{0}), \quad n = 1, 2, \cdots $.证毕.

令

$ \begin{eqnarray*} &&\Lambda = \{\beta>0\ |\ {\rm{格式}}\ (2.3)\ {\rm{对任意}} n {\rm{有一个正解对}} \}, \\ &&\beta_c' = \inf\{\beta\ |\ \beta\in\Lambda\}. \end{eqnarray*} $

引理2.6  $ \Lambda $是一个区间且$ \beta_c'>0 $.除此之外, 我们还有$ (\beta_{c}', \infty)\subset\Lambda $和$ [0, \beta_{c}')\bigcap\Lambda = \phi $.

证  为了证明结论成立, 只需要说明:如果$ \beta\in\Lambda $, 则对任意$ \varepsilon>0 $, $ \beta+\varepsilon\in\Lambda $.事实上, 令$ \beta\in\Lambda $, 取$ r\in(0, 1) $使得

(2.23) $ \begin{equation} B_{\beta+\varepsilon}(rv) = B_{\beta}(v). \end{equation} $

由格式(2.3), 可知

(2.24) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}<(K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad} +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && <K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

结合(2.23)和(2.24)式, 可得

(2.25) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}\leq(K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad}+K_{2}rv_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{(rv_{n})^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&rv_{n+1}+K_{2}rv_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{(rv_{n+1})^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ &&\leq K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

在(2.4)式中, 令$ u_{0} = u_{n+1}, v_{0} = rv_{n+1} $, 用$ \beta+\varepsilon $替代$ \beta $, 由引理2.5, 可知$ \beta+\varepsilon\in\Lambda $.

综合利用引理2.4, 引理2.5和引理2.6, 可得到如下结果:

定理2.1  在$ K_1>K_2 $的条件下, 存在$ \beta'_{c}>0 $使得对任意的$ \beta: \beta'_{c}<\beta\leq\infty $, 格式(2.3)有一个非平凡正解; 而当$ \beta<\beta'_c $, 格式(2.3)只有平凡解.

注2.3  定理2.1并没有给出当$ \beta = \beta'_{c} $时, 格式(2.3)是否只有零解?在这里我们猜测它是正确的(参看图 1和图 4), 但是目前还不能给出证明.

对于格式(2.6), 采用与定理2.1类似的证明, 可以得到以下结果:

定理2.2  在$ K_1>K_2 $的条件下, 存在$ \beta''_{c}>0 $使得格式(2.6)对任意$ \beta:\beta''_{c}<\beta\leq\infty $有一个非平凡解; 而当$ \beta<\beta''_c $, 格式(2.6)只有平凡解.

此外, 我们有以下重要的比较定理:

定理2.3  若$ K_1>K_2 $, 假设$ (u_n, v_n)_{m} $和$ (u_n, v_n)_{M} $分别是格式(2.3)和(2.6)的解, $ (u, v) $是方程组(2.2)的非平凡解, 则有

(2.26) $ \begin{eqnarray} (u_n, v_n)_{m}\leq(u, v)\leq(u_n, v_n)_{M}. \end{eqnarray} $

而且, 令$ \beta_{c} $, $ \beta'_{c} $和$ \beta''_{c} $分别是格式(2.2), (2.3)和(2.6)相应的临界数, 则有

(2.27) $ \begin{eqnarray} \beta'_{c}\geq\beta_{c}\geq\beta''_{c}. \end{eqnarray} $

证  由(2.2), (2.3)和(2.6)式, 容易验证(2.26)式成立.

下面, 我们验证(2.27)式成立.由定理2.1, 对任意给出的$ \beta>\beta'_{c} $, 格式(2.3)都有一个非平凡解$ (u, v)_{m} $.

由(2.26)式, 可知$ (u, v) $是格式(2.2)的一个非平凡解, 因此有$ \beta>\beta_{c} $.由于$ \beta(>\beta'_{c}) $的任意性, 可得

(2.28) $ \begin{equation} \beta'_{c}\geq\beta_{c}. \end{equation} $

同理, 可得

(2.29) $ \begin{equation} \beta_{c}\geq\beta''_{c}. \end{equation} $

由(2.28)和(2.29)式, 可得(2.27)式成立.证毕.

情况Ⅱ  $ K_{1}\leq K_{2} $

对于这种情况, 我们需要将格式(2.2)重写为以下形式:

(2.30) $ \begin{equation} \begin{array}{l} u+(K_{2}-K_{1})A_{\beta}(u) = K_{2}B_{\beta}(v), \\ v+K_{2}B_{\beta}(v) = K_{2}A_{\beta}(u). \end{array} \end{equation} $

对于(2.30)式, 其最小-混合格式为

(2.31) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}+(K_{2}-K_{1})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| {}\\ && = K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ;\ v = v_{0}, \end{eqnarray} $

其中$ (u_0, v_0) $是一个下解, 即$ (u_0, v_0) $满足

(2.32) $ \begin{eqnarray} &&u_{0}+(K_{2}-K_{1})u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}| \leq K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{0}+K_{2}v_{0} \sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \leq K_{2}u\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

其最大-混合格式为

(2.33) $ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}+(K_{2}-K_{1})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ && = K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ;\ v = v_{0}. \end{eqnarray} $

类似于情况Ⅰ, 可以定义如下符号:

(2.34) $ \begin{eqnarray} A'_{h}(u)& = &u\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \end{eqnarray} $

(2.35) $ \begin{eqnarray} P_{h}(u)& = &u+(K_{2}-K_{1})u\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{u^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

按照格式(2.3)的方法, 可以得到与定理2.1, 定理2.2和定理2.3相似的结果, 具体细节略去.

综上, 可以得出结论:最小-混合格式从下方逼近了系统(2.2)的临界温度和能隙解的近似解, 而最大-混合格式则从上方逼近了系统(2.2)的临界温度和能隙解的近似解.

在这一节中, 我们给出了一些算例来验证本文所设计的数值方法的有效性.

算例1  首先选取参数$ a = 1, \ b = 1.5, \ K_{1} = 2, K_{2} = 0.1 $, 得到了如下数值结果:

下面, 我们只改变$ a $的值来观察一下临界值$ \beta_{c} $的变化.首先, 选$ a = 1.1 $, 得到如下的数值结果:

比较图 1和图 4, 发现差异很小, 为此我们将图 4放大如下:

通过比较图 1和图 4, 我们可以看到:随着$ a $逐渐变大, $ \beta_{c} $逐渐减小.事实上, 我们从图 6中发现上述事实是正确的, 这与物理现象非常吻合.

现在, 我们只改变$ K_{2} $来观察$ \beta_{c} $的变化.

通过图 7, 我们看到$ \beta_{c} $随着$ K_{2} $的增加而增加, 它非常吻合物理现象.

算例2  令$ a = 0.5, \ b = 1.5, \ K_{1} = 0.01, K_{2} = 0.1 $, 我们得到了如下的数值结果:

下面, 我们只增加$ a $的值来观察$ (u, v)_{m} $的变化.

图 12表明:当$ a $趋向于$ b $时最小-混合格式的$ u $和$ v $逐渐减小.因此, 当$ a $趋向于$ b $时, $ \beta_{c} $将会增加.

现在, 我们只改变$ K_{2} $来观察$ (u, v) $的变化.

图 13表明: $ (u, v) $随着$ K_{2} $的增加而增加.因此, $ \beta_{c} $将随$ K_{2} $的增加而减小.

从图中可以看出, 数值算例验证了本文的理论结果, 也与相应的物理现象吻合得很好.