数学物理学报, 2020, 40(6): 1699-1711 doi:

论文

Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov模型临界温度和能隙解的数值方法

葛志昊,, 李瑞华

Numerical Methods for the Critical Temperature and Gap Solution of Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov Model

Ge Zhihao,, Li Ruihua

通讯作者: 葛志昊, E-mail: zhihaoge@henu.edu.cn

收稿日期: 2018-12-19  

基金资助: 国家自然科学基金.  11971150
河南大学一流学科培育项目.  2019YLZDJL08

Received: 2018-12-19  

Fund supported: the NSFC.  11971150
the Cultivation Project of First Class Subject of Henan University.  2019YLZDJL08

Abstract

In the paper, the max-mixed scheme and min-mixed scheme are proposed for the critical temperature and gap solution of Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov model in superconductivity theory. For the first time, the numerical solutions of critical temperature and gap solution are given for the above model with the alternating kernel function. The convergence analysis of the numerical method is also given. Also, some numerical examples are presented to verify the results of the paper.

Keywords: Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov model ; Critical temperature ; Gap solution ; Convergence analysis

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本文引用格式

葛志昊, 李瑞华. Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov模型临界温度和能隙解的数值方法. 数学物理学报[J], 2020, 40(6): 1699-1711 doi:

Ge Zhihao, Li Ruihua. Numerical Methods for the Critical Temperature and Gap Solution of Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov Model. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(6): 1699-1711 doi:

1 引言

在Bardeen-Cooper-Schrieffer(BCS)量子超导理论中超导状态被一个正的能隙函数所刻画, 记为$ \Delta({\bf x}) $, 它满足

$ \begin{equation} \Delta({\bf x}) = \int_{\Omega}{\rm d}{\bf y}K({\bf x}, {\bf y})\varphi_{\beta} ({\bf y}, \Delta({\bf y})), \end{equation} $

其中$ \varphi_{\beta}({\bf y}, \Delta({\bf y})) = H_{\beta}((({\bf y})^{2}+\Delta^{2}({\bf y}))^{1/2}) \Delta({\bf y}), \ H_{\beta}(t) = \frac{\tanh(1/2\beta t)}{t} $, 且$ \Omega $是一个有界区域, $ T\geq0 $是绝对温度, $ \beta = \frac{1}{T} $, $ K({\bf x}, {\bf y}) $是负的矩阵元素, 由潜在的电子波矢量$ {\bf x} $, $ {\bf y}\in{{\Bbb R}} ^{3} $交互而成.关于BCS模型的物理解, 可参见文献[3-6, 9-10, 12]及其中参考文献.

为了叙述的方便, 通常考虑BCS模型的一维情形:

$ \begin{equation} \Delta(x) = \int_{I'}K(x, y)\frac{\tanh((1/2T)\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)})}{\sqrt{y^{2}+\Delta^{2}(y)}}\Delta(y){\rm d}y, \end{equation} $

其中$ I' = [-a, a] $是一个闭区间, $ T\geq0 $是绝对温度, $ \Delta(x) $是具有如下性质的函数, $ \Delta(x) = 0 $相应于正常阶段, $ \Delta(x)\neq0 $相应于超导阶段.

当核函数$ K({\bf x}, {\bf y}) $满足如下条件时

$ \begin{equation} K({\bf x}, {\bf y})>0, K({\bf x}, {\bf y})\leq \sigma({\bf y}), \ \frac{\sigma({\bf x})}{{\bf x}^{2}+1}\in L({{\Bbb R}} ^{3}), \end{equation} $

文献[2]中给出了一些数值结果: BCS方程(1.1)有一个正解$ \Delta({\bf x})>0 $, 表示超导的发生, 而当$ T = 1/\beta>1/\beta_{c} = T_{c} $, 方程(1.1)的唯一解是平凡的, $ \Delta({\bf x})\equiv 0 $, 表示正常阶段; 另外还给出了两种数值方法:最小-最小格式和最大-最大格式.

然而, 条件(1.3)是一种简单的假设, 为了使模型更接近实际, Bogoliubov, Tolmachev和Shirkov在文献[1]中提出了如下模型:

$ \begin{equation} \Delta(x) = \int_{I}K(x, y)\frac{\tanh((1/2T)\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)})}{\sqrt{y^{2} +\Delta^{2}(y)}}\Delta(y){\rm d}y, \end{equation} $

其中, 区间变为$ I = [-b, b] $, 核函数也不再是简单的恒正的情形而是变号的, 并具有两项和的形式: $ K(x, y) = K_{phonon}(x, y)+K_{Coulomb}(x, y) $, 其中

$ \begin{equation} \begin{array}{l} { } K_{phonon}(x, y)\equiv\frac{K_{1}}{2}>0, |x|, |y|<a, \\ K_{phonon}(x, y) = 0, \quad \mbox{其他};\\ { } K_{Coulomb}(x, y)\equiv-\frac{K_{2}}{2}<0, |x|, |y|<b, \\ K_{Coulomb}(x, y) = 0, \quad \mbox{其他}, \end{array} \end{equation} $

$ K_1, K_2 $是常数, $ a>0 $是Debye能量, 并且$ a = \hbar\omega_{D} $, $ b>a $是屏蔽库仑斥力能量范围的上界.

注1.1  问题(1.4)–(1.5)通常被称为Bogoliubov-Tolmachev-Shirkov (BTS)模型, 它是BCS模型的一个自然延伸.

注1.2  文献[1, 7-8]可知问题(1.4)有一个分片常数解:

$ \begin{equation} \begin{array}{l} \Delta(x) = \Delta_{1}, |x|<a;\\ \Delta(x) = \Delta_{2}, a<|x|<b;\\ \Delta(x) = 0, \ \ \mbox{其他}. \end{array} \end{equation} $

文献[2]基于核函数恒正的数值方法对于核函数变号的情况不能使用, 为此, 我们提出一种新的数值方法求解具有变号核函数问题(1.4)的临界温度和能隙解.我们设计了最小-混合格式和最大-混合格式, 同时证明了存在两个相应的数值临界温度$ T'_{c} $$ T''_{c} $使得$ T'_{c}\leq T_{c}\leq T''_{c} $, 证明了存在$ (u, v)_{m} $$ (u, v)_{M} $使得$ (u, v)_{m}\leq(u, v)\leq(u, v)_M $, 并用一些数值算例来验证理论结果, 数值结果与物理现象吻合得很好.据我们所知, 这是第一个对具有变号核函数BTS模型的临界温度和能隙解进行数值求解的方法.

2 BTS模型的数值方法

$ f_{\beta}(s) = \frac{\tanh(1/2\beta s)}{s} $, 定义$ A_{\beta} $$ B_{\beta} $为如下非线性形式:

$ \begin{equation} B_{\beta}(\Delta) = \Delta\int_{a}^{b}f_{\beta}(\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}}){\rm d}x = \Delta\int_{a}^{b} \frac{\tanh(1/2\beta\sqrt{\Delta^{2} +x^{2}})}{\sqrt{\Delta^{2}+x^{2}}}{\rm d}x. \end{equation} $

引入变量$ u = \Delta_{1} $$ v = -\Delta_{2} $, 由(2.1)和(1.6)式可得

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u = (K_{1}-K_{2})A_{\beta}(u)+K_{2}B_{\beta}(v), \\ v = K_{2}A_{\beta}(u)-K_{2}B_{\beta}(v). \end{array}\right. \end{equation} $

注2.1  由文献[11]可知存在一个唯一的正的转变温度, $ T_{c} = 1/\beta_{c} $, 使得当$ T<T_{c} $时方程组(2.2)有一个非平凡解(超导阶段), 而当$ T>T_{c} $时方程组(2.2)只有平凡解.

下面, 我们给出确定临界温度的数值方法.首先, 对区间$ I $进行剖分, 令$ \{I_{j}|1\leq j\leq N\} $$ I $的开子集组成的集合, 满足

然后, 我们分两种情况来处理问题: $ K_{1}>K_{2} $ (情况Ⅰ)和$ K_{1}\leq K_{2} $ (情况Ⅱ).

情况Ⅰ  $ K_{1}>K_{2} $}

问题(1.4)的下方逼近离散格式是

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1} = (K_{1}-K_{2})u_{n+1} \sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad} +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}| {}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ; \ v_{1} = v_{0}, \end{eqnarray} $

其中$ (u_0, v_0) $可以通过估算得到, 它是格式(2.3)的下解, 即: $ (u_0, v_0) $满足

$ \begin{eqnarray} &&u_{0}\leq(K_{1}-K_{2})u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| + K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{0}+K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \leq K_{2}u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

格式(2.3)的解被记为: $ (u_{n+1}, v_{n+1})_m $, 称为最小-混合离散格式.

问题(1.4)的上方逼近离散格式为

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1} = (K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, {\quad} n = 1, 2, \cdots ; \ v_{1} = v^0, {} \end{eqnarray} $

其中$ (u^0, v^0) $可以通过估算得到, 它是格式(2.6)的上解, 即$ (u^0, v^0) $满足

$ \begin{eqnarray} &&u^{0}\geq(K_{1}-K_{2})u^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{(u^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}| +K_{2}v^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(v^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v^{0}+K_{2}v^{0}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(v^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \geq K_{2}u^{0}\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{(u^{0})^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

格式(2.6)的解记为: $ (u_{n+1}, v_{n+1})_M $, 称为最大-混合离散格式.

注2.2  格式(2.3)的最小-混合离散格式和格式(2.6)最大-混合离散格式是新的, 对文献[2]中的格式有本质的改进.

为了说明数值解的收敛性, 需要给出以下引理.为了方便, 记

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } A_{h}(u) = u\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \\ { } B_{h}(v) = v\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|. \end{array} \end{equation} $

引理2.1  令$ H_{h}(u) = u-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u) $.$ K_1>K_2 $, 则方程

$ \begin{eqnarray} H_{h}(u) = s \end{eqnarray} $

对于每一个固定的$ s>0 $只有一个正解; 而且, 对于任意的$ c_0 $若满足$ H_h(c_0)\geq s $, 方程(2.8)的解$ u $则满足$ u\leq c_0 $.

  证明类似于[11]中的情形, 此处略去.

则易证下面的引理成立.

引理2.2  $ J_{h}(v) $严格单调递增, 并有$ J_{h}(0) = 0 $, $ J_{h}(\infty) = \infty $; 对于每一个$ s\in [0, \infty) $, 方程$ J_{h}(v) = s $$ [0, \infty) $有唯一解, 记做$ v $, 显然, $ v $随着$ s $的增加而增加.

引理2.3  如果$ K_1>K_2 $, 则存在一个常数$ \delta_{0}>0 $, 使得对任意$ v $, 若$ u^{0}\geq \delta_{0} $, 有$ u^{0} $是格式(2.3)中第一个方程的上解, 即

$ \begin{equation} u^{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u^{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

  因为函数$ A_{h}(u) $$ B_{h}(v) $关于参数$ \beta $一致有界, 即存在某个常数$ C>0 $, 使得

$ \begin{eqnarray} A_{h}(u)\leq C, \ B_{h}(v)\leq C. \end{eqnarray} $

由(2.10)式, 可得存在一个常数$ \delta_{0}>0 $使得

$ \begin{equation} \delta_{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(\delta_{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

由(2.11)式和引理2.1可知, 如果$ u^{0}\geq \delta_{0} $, 则$ u^{0} $是一个上解.证毕.

引理2.4  如果$ K_1>K_2 $, 当$ \beta $足够小时, 格式(2.3)只有零解; 当$ \beta $足够大时, 格式(2.3)有一个下解$ (u_0, v_0) $.

  从(2.7)式, 容易验证

$ \begin{eqnarray} A_{h}(u)\leq\frac{1}{2}\beta au, \ B_{h}(v)\leq\frac{1}{2}\beta (b-a)v. \end{eqnarray} $

由(2.12)和(2.3)式, 易知当$ \beta $足够小时, 格式(2.3)的非负解是平凡的, 即$ u = 0, \ v = 0 $.

在格式(2.3)中令$ v = 0 $, 可得

$ \begin{equation} u = (K_{1}-K_{2})A_{h}(u). \end{equation} $

$ K_1>K_2 $的条件下, 由文献[2]可知, 当$ \beta $足够大时, (2.13)式有一个正解, 设为$ u_0 $.$ v_{0} = 0 $, 当$ \beta>0 $足够大时, 则非负解对$ (u_0, v_0) $满足(2.4)式, 即为格式(2.3)的一个下解.

引理2.5  如果$ K_1>K_2 $, 则最小-混合格式(2.3)存在正解当且仅当它存在非平凡的下解$ (u_0, v_0) $.

  由引理2.3可知, 存在一个绝对常数$ u^{0}>0 $使得

$ \begin{equation} u^{0}-(K_{1}-K_{2})A_{h}(u^{0}) \geq K_{2}B_{h}(v), \quad \forall v. \end{equation} $

$ (u_0, v_0) $是格式(2.3)的下解, 如果$ v_{1} = v_{0}\geq 0 $, 利用(2.3)和(2.14)式, 可得

$ \begin{eqnarray} u_{2}>0, \ u_{0}\leq u_{2}\leq u^{0}. \end{eqnarray} $

不妨假设存在某个正数$ l $, 使得下式成立

$ \begin{eqnarray} &&0<u_{0} = u_{1}\leq u_{2}\leq\cdots \leq u_{l}\leq u^{0}, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} &&0\leq v_{0} = v_{1}\leq v_{2}\leq\cdots \leq v_{l}, \end{eqnarray} $

由(2.17)式可知

$ \begin{equation} K_{2}B_{h}(v_{l-1})\leq K_{2}B_{h}(v_{l}). \end{equation} $

由(2.3)式, (2.18)式和引理2.1, 可得

$ \begin{eqnarray} u_{l+1}\geq u_{l}. \end{eqnarray} $

由(2.19)式, 可得

$ \begin{equation} K_{2}A_{h}(u_{l}) \leq K_{2}A_{h}(u_{l+1}). \end{equation} $

由(2.3)式, (2.20)式和引理2.2, 可得

$ \begin{equation} v_{l}\leq v_{l+1}. \end{equation} $

由(2.14)式, 若$ u^{0} $是一个上解, 则

$ \begin{equation} u_{l+1}\leq u^{0}. \end{equation} $

由数学归纳法原理, (2.16)和(2.17)式普遍成立.

由格式(2.3)的第二个方程可知, 数列$ \{v_{n}\} $的有界性可以通过$ \{u_{n}\} $的有界性得到.事实上, $ v_{n}\leq K_{2}A_{h}(u^{0}), \quad n = 1, 2, \cdots $.证毕.

引理2.6  $ \Lambda $是一个区间且$ \beta_c'>0 $.除此之外, 我们还有$ (\beta_{c}', \infty)\subset\Lambda $$ [0, \beta_{c}')\bigcap\Lambda = \phi $.

  为了证明结论成立, 只需要说明:如果$ \beta\in\Lambda $, 则对任意$ \varepsilon>0 $, $ \beta+\varepsilon\in\Lambda $.事实上, 令$ \beta\in\Lambda $, 取$ r\in(0, 1) $使得

$ \begin{equation} B_{\beta+\varepsilon}(rv) = B_{\beta}(v). \end{equation} $

由格式(2.3), 可知

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}<(K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad} +K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && <K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

结合(2.23)和(2.24)式, 可得

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}\leq(K_{1}-K_{2})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ &&{\qquad}{\qquad}+K_{2}rv_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{(rv_{n})^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&rv_{n+1}+K_{2}rv_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{(rv_{n+1})^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ &&\leq K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta+\varepsilon}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

在(2.4)式中, 令$ u_{0} = u_{n+1}, v_{0} = rv_{n+1} $, 用$ \beta+\varepsilon $替代$ \beta $, 由引理2.5, 可知$ \beta+\varepsilon\in\Lambda $.

综合利用引理2.4, 引理2.5和引理2.6, 可得到如下结果:

定理2.1  在$ K_1>K_2 $的条件下, 存在$ \beta'_{c}>0 $使得对任意的$ \beta: \beta'_{c}<\beta\leq\infty $, 格式(2.3)有一个非平凡正解; 而当$ \beta<\beta'_c $, 格式(2.3)只有平凡解.

注2.3  定理2.1并没有给出当$ \beta = \beta'_{c} $时, 格式(2.3)是否只有零解?在这里我们猜测它是正确的(参看图 1图 4), 但是目前还不能给出证明.

图 1

图 1   最小-混合格式($ \beta_{c}\approx0.1 $), $ N = 50 $, $ (u (up), v (down)) $ vs $ \beta $


图 4

图 4   最小-混合格式($ a = 1.1 $, $ \beta_{c}\approx0.095 $), $ N = 50 $, $ (u (top), v (bottom)) $ vs $ \beta $


对于格式(2.6), 采用与定理2.1类似的证明, 可以得到以下结果:

定理2.2  在$ K_1>K_2 $的条件下, 存在$ \beta''_{c}>0 $使得格式(2.6)对任意$ \beta:\beta''_{c}<\beta\leq\infty $有一个非平凡解; 而当$ \beta<\beta''_c $, 格式(2.6)只有平凡解.

此外, 我们有以下重要的比较定理:

定理2.3  若$ K_1>K_2 $, 假设$ (u_n, v_n)_{m} $$ (u_n, v_n)_{M} $分别是格式(2.3)和(2.6)的解, $ (u, v) $是方程组(2.2)的非平凡解, 则有

$ \begin{eqnarray} (u_n, v_n)_{m}\leq(u, v)\leq(u_n, v_n)_{M}. \end{eqnarray} $

而且, 令$ \beta_{c} $, $ \beta'_{c} $$ \beta''_{c} $分别是格式(2.2), (2.3)和(2.6)相应的临界数, 则有

$ \begin{eqnarray} \beta'_{c}\geq\beta_{c}\geq\beta''_{c}. \end{eqnarray} $

  由(2.2), (2.3)和(2.6)式, 容易验证(2.26)式成立.

下面, 我们验证(2.27)式成立.由定理2.1, 对任意给出的$ \beta>\beta'_{c} $, 格式(2.3)都有一个非平凡解$ (u, v)_{m} $.

由(2.26)式, 可知$ (u, v) $是格式(2.2)的一个非平凡解, 因此有$ \beta>\beta_{c} $.由于$ \beta(>\beta'_{c}) $的任意性, 可得

$ \begin{equation} \beta'_{c}\geq\beta_{c}. \end{equation} $

同理, 可得

$ \begin{equation} \beta_{c}\geq\beta''_{c}. \end{equation} $

由(2.28)和(2.29)式, 可得(2.27)式成立.证毕.

情况Ⅱ  $ K_{1}\leq K_{2} $

对于这种情况, 我们需要将格式(2.2)重写为以下形式:

$ \begin{equation} \begin{array}{l} u+(K_{2}-K_{1})A_{\beta}(u) = K_{2}B_{\beta}(v), \\ v+K_{2}B_{\beta}(v) = K_{2}A_{\beta}(u). \end{array} \end{equation} $

对于(2.30)式, 其最小-混合格式为

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}+(K_{2}-K_{1})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}| {}\\ && = K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ;\ v = v_{0}, \end{eqnarray} $

其中$ (u_0, v_0) $是一个下解, 即$ (u_0, v_0) $满足

$ \begin{eqnarray} &&u_{0}+(K_{2}-K_{1})u_{0}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}| \leq K_{2}v_{0}\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{0}+K_{2}v_{0} \sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{v_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I'}_{k}| \leq K_{2}u\sum\limits_{k}^{N} \min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u_{0}^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

其最大-混合格式为

$ \begin{eqnarray} &&u_{n+1}+(K_{2}-K_{1})u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|{}\\ && = K_{2}v_{n}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|, {}\\ &&v_{n+1}+K_{2}v_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I'}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{v_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I'}_{k}|{}\\ && = K_{2}u_{n+1}\sum\limits_{k}^{N}\max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta}(\sqrt{u_{n+1}^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \ n = 1, 2, \cdots ;\ v = v_{0}. \end{eqnarray} $

类似于情况Ⅰ, 可以定义如下符号:

$ \begin{eqnarray} A'_{h}(u)& = &u\sum\limits_{k}^{N}\min\limits_{x\in\overline{I}_{k}} f_{\beta}(\sqrt{u^{2} +x^{2}})|\overline{I}_{k}|, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} P_{h}(u)& = &u+(K_{2}-K_{1})u\sum\limits_{k}^{N} \max\limits_{x\in\overline{I}_{k}}f_{\beta} (\sqrt{u^{2}+x^{2}})|\overline{I}_{k}|. \end{eqnarray} $

按照格式(2.3)的方法, 可以得到与定理2.1, 定理2.2和定理2.3相似的结果, 具体细节略去.

综上, 可以得出结论:最小-混合格式从下方逼近了系统(2.2)的临界温度和能隙解的近似解, 而最大-混合格式则从上方逼近了系统(2.2)的临界温度和能隙解的近似解.

3 数值算例

在这一节中, 我们给出了一些算例来验证本文所设计的数值方法的有效性.

算例1  首先选取参数$ a = 1, \ b = 1.5, \ K_{1} = 2, K_{2} = 0.1 $, 得到了如下数值结果:

图 2

图 2   最大-混合格式(从上到下), 最小-混合格式(从下到上), $u (left), v (right), \beta = 6, N = 50, 100, 200$


图 3

图 3   最大-混合格式和最小-混合格式(从上到下), $ u (left), v (right) $, $ N = 100 $, $ \beta = 6 $


下面, 我们只改变$ a $的值来观察一下临界值$ \beta_{c} $的变化.首先, 选$ a = 1.1 $, 得到如下的数值结果:

比较图 1图 4, 发现差异很小, 为此我们将图 4放大如下:

图 5

图 5   最小-混合格式($ a = 1.1 $, $ \beta_{c}\approx0.095 $), $ N = 50 $, $ (u (top), v (bottom)) $ vs $ \beta $


通过比较图 1图 4, 我们可以看到:随着$ a $逐渐变大, $ \beta_{c} $逐渐减小.事实上, 我们从图 6中发现上述事实是正确的, 这与物理现象非常吻合.

图 6

图 6   最小-混合格式$ N = 50 $, $ \beta_{c} $ vs $ a $


现在, 我们只改变$ K_{2} $来观察$ \beta_{c} $的变化.

通过图 7, 我们看到$ \beta_{c} $随着$ K_{2} $的增加而增加, 它非常吻合物理现象.

图 7

图 7   最小-混合格式$ N = 50 $, $ \beta_{c} $ vs $ K_{2} $


算例2  令$ a = 0.5, \ b = 1.5, \ K_{1} = 0.01, K_{2} = 0.1 $, 我们得到了如下的数值结果:

图 8

图 8   最小-混合格式($ N = 50 $, $ (u (up), v (down)) $ vs $ \beta $


图 9

图 9   最小-混合格式(从上到下), $ u (middle), v(left, right), \beta = 5, N = 50, 100, 200 $


图 10

图 10   最大-混合格式(从上到下), $ u (middle), v (left, right), \beta = 5, N = 50, 100, 200 $


图 11

图 11   最大-混合格式和最小-混合格式(从上到下), $ N = 50, 100, 200, \beta = 5 $


下面, 我们只增加$ a $的值来观察$ (u, v)_{m} $的变化.

图 12表明:当$ a $趋向于$ b $时最小-混合格式的$ u $$ v $逐渐减小.因此, 当$ a $趋向于$ b $时, $ \beta_{c} $将会增加.

图 12

图 12   最小-混合格式, $ N = 50 $, $ (u, v) $ vs $ a $


现在, 我们只改变$ K_{2} $来观察$ (u, v) $的变化.

图 13表明: $ (u, v) $随着$ K_{2} $的增加而增加.因此, $ \beta_{c} $将随$ K_{2} $的增加而减小.

图 13

图 13   最小-混合格式$ N = 50 $, $ (u, v) $ vs $ K_{2} $


从图中可以看出, 数值算例验证了本文的理论结果, 也与相应的物理现象吻合得很好.

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