定义1.1  称随机变量$\{X_{i};1\leq i\leq n\}$是NA (negatively associated)的, 若对集合$\{1, 2, \cdots, n\}$中的任意不相交的两个非空子集$A_{1}$, $A_{2}$, 都有

其中$f_{1}$和$f_{2}$是使得上式成立且对每个变元都为非降（或非升）的函数.称随机变量序列$\{X_{n}; n\geq 1\}$是NA序列, 若对任意的$n\geq2$, $\{X_{i};1\leq i\leq n\}$都是NA的.

定义1.2  称随机变量序列$\{X_{n};n \geq 1\}$是AANA (asymptotically almost negatively associated)的, 若存在非负序列$\mu(n)\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$, 对任意的$n, k\geq 1$, 都有

其中$f_{1}$, $f_{2}$为任何两个使该协方差存在且对每个变元都是单调非降的函数.称$\{\mu(n); n \geq 1\}$为该AANA序列的混合系数.

Chandra和Ghosal^[2]首先提出了AANA序列的概念, 可以明显看出, AANA序列真包含NA序列($\mu(n) = 0, n\geq 1$). Joag-Dev和Proschan^[7]指出并证明, 许多多元分布具有NA性质.因此, 将NA随机变量的极限性质推广到AANA随机变量的情形具有重要意义.关于AANA随机变量的极限性质的更多细节, 参见文献[6, 8, 12, 15, 17-18]等等.

Hsu和Robbins^[5]首先介绍了完全收敛性的概念.称随机序列$\{X_{n};n\geq 1\}$完全收敛于常数${\lambda}$, 如果对任意的${\varepsilon>0}$, 有$\sum\limits_{n = 1}^\infty P(|X_{n}-\lambda|>\varepsilon)<\infty$.随机变量的完全收敛性是建立几乎处处收敛的重要工具, 关于它的第一个结果是由Hsu和Robbins^[5]以及Erdös^[4]给出的.许多作者把这个基本定理推广和改进到了多个方向, 如文献[9-11, 13-14, 16]等等.特别地, Baek等^[1]研究了NA随机变量加权和的完全收敛性, 得到如下结果.

定理1.1  设$\left\{X_{ni}; i\geq 1, n\geq 1\right\}$为行间NA随机变量阵列, 且对任意的$i\geq 1, n\geq 1$和$x\geq 0$, 有$EX_{ni} = 0$, $P\big(\big|X_{ni}\big|\geq x\big)\leq CP\big(|X|\geq x\big)$.又设$\beta\geq -1$, $\left\{a_{ni}; i\geq 1, n\geq 1\right\}$为常数阵列, 满足:${ } \sup_{i\geq1}\big|a_{ni}\big| = O\big(n^{-r}\big)$, $r>0$和$\sum\limits_{i = 1}^\infty \big|a_{ni}\big| = O\big(n^{\alpha}\big)$, $\alpha\in [0, r)$.

$\big({\rm i}\big)$当$1+\alpha+\beta>0$时, 假设存在$\delta>0$使得$1+\alpha/r<\delta\leq 2$.令

若$E|X|^{s}<\infty$, 则对任意的$\varepsilon>0$,

$\big({\rm ii}\big)$当$1+\alpha+\beta = 0$时, 若$E\big(|X|{\rm log}\big(1+|X|\big)\big)<\infty$, 则(1.1)式成立.

Wang等^[12]把上述结果从行间NA随机变量推广到了AANA随机变量, 而且增加考虑了$1+\alpha+\beta<0$的情况, 获得如下结果.

定理1.2  设$\beta\geq -1$, $\left\{X_{ni}; i\geq 1, n\geq 1\right\}$为行间AANA随机变量阵列, 且被随机变量$X$随机控制.假设常数阵列$\left\{a_{ni}; i\geq 1, n\geq 1\right\}$满足如下条件:

$\big({\rm i}\big)$假设当$1<\theta<2$时, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{2}(n)<\infty$.若$1+\alpha+\beta<0$, $E|X|^{\theta}<\infty$, 则对任意的$\varepsilon>0$,

且(1.1)式也成立.

$\big({\rm ii}\big)$若$1+\alpha+\beta = 0$, 且

进一步假设$EX_{ni} = 0$, 当$1\leq\theta<2$时, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{2}(n)<\infty$, 则(1.1)式和(1.4)式成立.

$\big({\rm iii}\big)$若$1+\alpha+\beta>0$, 设$\beta>-1$, 且当$s = \theta+(1+\alpha+\beta)/r$时, $E|X|^{s}<\infty$.进一步假设$EX_{ni} = 0$, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{1/(p-1)}(n)<\infty$, $p\in \big(3\cdot2^{k-1}, 4\cdot2^{k-1}\big]$, 并且

其中$s\geq1$, 正整数$k\geq1$, 则(1.1)式和(1.4)式成立.

该文在Baek等^[1]和Wang等^[12]研究结果的基础之上, 将进一步研究不同分布条件下行间AANA随机变量加权和的完全矩收敛.所得结果推广和改进了Baek等^[1]和Wang等^[12]的结论.

定义1.3  称随机变量序列$\left\{Z_{n}; n\geq 1\right\}$完全矩收敛, 若对$a_{n}>0, b_{n}>0, q>0$,

完全矩收敛的概念是由Chow^[3]首先提出的.

定义1.4  称随机变量序列$\left\{X_{n}; n\geq 1\right\}$被随机变量$X$随机控制, 若存在正常数$C$, 使得对所有的$n\geq 1$, $x\geq 0$, 有$P\big(\big|X_{n}\big|\geq x\big)\leq CP\big(|X|\geq x\big).$

引理2.1^[17]  设$\left\{X_{n}; n\geq 1\right\}$是混合系数为$\left\{\mu (n); n\geq 1\right\}$的AANA随机变量序列, 设$\left\{f_{n}; n\geq 1\right\}$是单调不增（或单调不减）的函数序列, 则$\left\{f_{n}\big(X_{n}\big); n\geq 1\right\}$仍是混合系数为$\left\{\mu (n); n\geq 1\right\}$的AANA随机变量序列.

引理2.2^[17]  设$\left\{X_{n}; n\geq 1\right\}$是一均值为0的AANA随机变量序列, 当$1<p\leq2$时, 混合系数$\left\{\mu (n); n\geq 1\right\}$满足$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{2}(n)<\infty$, 则存在只依赖于$p$的正常数$C = C_{p}$, 使得

当$p\in \big(3\cdot2^{k-1}, 4\cdot2^{k-1}\big]$时, $k$是正整数, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{1/(p-1)}(n)<\infty$, 则存在只依赖于$p$的正常数$C = C_{p}$, 使得

引理2.3^[16]  设$\{X_{n};n\geq 1\}$为一随机变量序列, 且被随机变量$X$随机控制, 则对所有的$u>0$, $t>0$, 下面两式成立:

整篇文章中, $\left\{X_{ni};i\geq1, n\geq1\right\}$为行间AANA阵列, 且混合系数为$\left\{\mu(i), i\geq1\right\}$.正常数$C$在不同的地方有所不同.

定理3.1  设$\beta\geq -1$, $\left\{X_{ni};i\geq1, n\geq1\right\}$为行间AANA阵列, 且被随机变量$X$随机控制.$\left\{a_{ni};i\geq1, n\geq1\right\}$为满足(1.2)式, (1.3)式的常数阵列.

$\big({\rm i}\big)$设$1<\theta<2$, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{2}(n)<\infty$.若$1+\alpha+\beta<0$, $E|X|^{\theta}<\infty$, 则对任意的$\varepsilon>0$,

以及

$\big({\rm ii}\big)$若$1+\alpha+\beta = 0$, 且

进一步假设$EX_{ni} = 0$, 当$1\leq\theta<2$时, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{2}(n)<\infty$, 则(3.1)式和(3.2)式成立.

$\big({\rm iii}\big)$若$1+\alpha+\beta>0$, $\beta>-1$以及

进一步假设$EX_{ni} = 0$, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\mu^{1/(p-1)}(n)<\infty$, $p\in (3\cdot2^{k-1}, 4\cdot2^{k-1}]$, 并且

其中$s\geq1$, $k$为正整数, 则(3.1)式和(3.2)式成立.

注3.1  定理3.1不仅把定理1.1关于行间NA阵列的结果扩展到了AANA阵列的情况, 而且考虑了$1+\alpha+\beta<0$的情形, 从而补充了Baek等^[1]的结论.

注3.2  在定理3.1的条件下, 对任意$\varepsilon>0$,

从(3.6)式可以看出, 完全矩收敛蕴含完全收敛.比较Wang等^[12]的结果, 在同样的条件下, 定理3.1的结果比定理1.2的结果更强.因此, 定理3.1提高了Wang等^[12]的结论.

证  (3.2)式的证明完全类似于(3.1)式的证明, 因此, 该文仅证明(3.1)式成立.不失一般性, 设$a_{ni}>0$, $n, i\geq1$ (否则, 用$a_{ni}^{+}$和$a_{ni}^{-}$替代$a_{ni}$, 则$a_{ni} = a_{ni}^{+}-a_{ni}^{-}$).由(1.2)式和(1.3)式, 不妨设${ } \sup_{i\geq1}\big|a_{ni}\big|\leq n^{-r}$和$\sum\limits_{i = 1}^{\infty}\big|a_{ni}\big|^{\theta}\leq n^{\alpha}$.对任意$\varepsilon>0$,

根据Wang等^[12]中的定理3.1的证明, 可以直接得到$I<\infty$.因此, 只需分如下三种情况证明$J<\infty$.

$\big({\rm i}\big)$$1+\alpha+\beta<0$

注意到:

由(3.8)式, (2.1)式和(1.3)式可知

接下来证明当$1+\alpha+\beta\geq0$时, $J<\infty$.对固定的$n\geq1$, 定义

由引理2.1可知, $\left\{Y_{ni}; i\geq1, n\geq 1\right\}$仍是AANA随机阵列, 容易验证

则

因此, 要证(3.1)式成立, 只需证明$J_{1}<\infty$, $J_{2}<\infty$.

$\big({\rm ii}\big)$$1+\alpha+\beta = 0$

根据(1.2)式, 不失一般性, 不妨设$\big|a_{ni}\big|\leq n^{-r}$.因此, 由(3.8), (1.2), (1.3)和(3.3)式可知

下面分$0<\theta<1$和$1\leq \theta<2$两种情况来证明$J_{2}<\infty$.

情况1  $0<\theta<1$

取某个$p$使得$1<p\leq2$, 根据Markov不等式, $C_{r}$不等式以及引理2.3可得

首先证明$J_{22}<\infty$, $J_{23}<\infty$.令$x = t^{\theta}$, 则

由(3.8)式以及$J_{1}<\infty$的证明过程, 易知

其次证明$J_{21}<\infty$.

根据$\theta<p$, $r>0$, (1.2)和(1.3)式可知

由$J_{1}<\infty$的证明过程, 再次可得

情况2  $1\leq\theta<2$

首先证明

事实上, 由条件$EX_{ni} = 0$, $Y_{ni}$的定义, 引理2.3, (1.2)和(1.3)式以及$E|X|^{\theta}<\infty$可得

因此, 对足够大的$n$, 有

根据(3.20)式, 引理2.2, Markov不等式以及情况1中$J_{2}<\infty$ (用2替代指数$p$)的证明过程, 可得

$\big({\rm iii}\big)$$1+\alpha+\beta>0$

由(3.8)式, 引理2.3, (1.2)式, (1.3)式和(3.4)式, 可知

下面分$s\geq 1$和$s<1$两种情况证明$J_{2}<\infty$.

情况1  $s\geq 1$

首先证明(3.18)式仍成立.根据$Y_{ni}$的定义, $EX_{ni} = 0$, 引理2.3, (1.2)式, (1.3)式以及$E|X|^{s}<\infty$, 可得

这样, (3.20)式仍成立.

取某个$p$使得

从而由(3.20)式, Markov不等式, 引理2.2以及$C_{r}$不等式, 有

根据$p>s = \theta+\frac{1+\alpha+\beta}{r}>\theta$, 以及当$1+\alpha+\beta = 0$时, 情况1中$J_{2}<\infty$的证明过程, 容易得到$J_{2}^{(1)}<\infty$.又根据$Y_{ni}$的定义, 引理2.3和$C_{r}$不等式可得

首先证明:$J_{21}^{(2)}<\infty$.当$s\geq2$时, 由$p>\frac{2(1+\beta)}{r(2-\theta)-\alpha}$以及$E|X|^{2}<\infty$可得

当$1\leq s<2$时, 由$p>2$, $E|X|^s<\infty$可得

其次证明:$J_{22}^{(2)}<\infty$.注意到

因此, 当$n$充分大时, $\sum\limits_{i = 1}^nP\big(\big|a_{ni}X_{ni}\big|>x^{1/\theta}\big)<1$, $x\geq1$.从而由(3.8)和(3.22)式可知

情况2  $s<1$

取$p>0$, 使得$\theta+(1+\alpha+\beta)/r = s<p<1$, 则$\alpha+\beta-r(p-\theta)<-1$.类似$1+\alpha+\beta = 0$中情况1的证明, 容易得到: $J_{21}^{*}\leq CE|X|^{\theta+(1+\alpha+\beta)/r}<\infty$, $J_{21}^{**}\leq CE|X|^{\theta+(1+\alpha+\beta)/r}<\infty$, $J_{22}\leq CE|X|^{\theta+(1+\alpha+\beta)/r}<\infty$以及$J_{23}\leq CE|X|^{\theta+(1+\alpha+\beta)/r}<\infty$.证毕.