本文考虑如下含调和位势和非线性项指数为质量临界情形的$p$次分数阶Laplace方程

其中$0<s<1$, $p\in (1, \infty)$且$sp<N$, $|x|^2$是通常的调和位势, $\beta>0$是非线性项参数, $(-\Delta)_p^s$表示分数阶$p$-Laplace算子, 定义为

其中$x, y\in {{\Bbb R}} ^N$, $B_\varepsilon(x): = \{y\in {{\Bbb R}} ^N:|x-y|<\varepsilon\}.$

如果$s = 1$, 方程(1.1)就是一般的$p$-Laplace方程, 相应方程非平凡解的存在性, 多重性以及解的相关性质研究结果非常丰富, 可参见文献[7-10, 12, 15-16]及其参考文献.其中文献[12]研究了解的存在性及其衰减性.文献[7]研究了正解的对称性.文献[8]研究了$1<p<2$且位势是调和位势时方程(1.1)基态解的存在性, 并证明了非线性项参数趋于临界情形时基态解的集中行为.进一步, 文献[9]研究了一般$p$情形且位势函数是阱位势时方程(1.1)基态解的存在性, 并证明了非线性项参数趋于临界情形时基态解的集中行为, 但是此时由于极限方程的解不具有唯一性, 因此相对而言基态解的集中行为比较困难.

若$0<s<1$, 方程(1.1)被称为分数阶$p$-Laplace方程.分数阶Laplace方程由于其在数学物理和其它领域的广泛应用, 近年来受到许多数学研究者的关注, 是国内外研究热点, 特别是当$p = 2$时, 关于解的存在性、唯一性、多重性等情形非常多.文献[4]利用约束变分的方法得到了一维情形方程(1.1)基态解的存在性, 并用常微分方程理论得到了基态解的唯一性.进一步, 文献[5]中改进了常微分方程理论得到了高维情形方程(1.1)基态解的存在性和唯一性.而对于一般的$p$, 解的存在性参见文献[11], 相应的极大值原理和解的对称性参见文献[2], 解的正则性结果参见文献[3].

本文的目的是希望能利用$L^p$约束极小的方法, 将求解方程(1.1)基态解的存在性转化成求约束在$L^p$流形上的泛函极小值问题.关于极小解存在性所用的方法来源于文献[8, 15-16].进一步, 关于极小解的渐近行为所使用的方法是能量估计, 来源于文献[10]和^[8].但是由于是$p$次分数阶Laplace方程, 相关结果较少, 所需的Gagliardo-Nirenberg不等式需要重新推导, 同时极限方程基态解的唯一性不能确定也带来了一定的困难.

研究方程(1.1)基态解的存在性, 可以考虑如下极小化问题

其中

$[u]_{W^{s, p}}^p$表示Gagliardo半范数

对$s\in (0, 1)$, $p\in[1, +\infty)$, 设$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N): = \{u\in L^p({{\Bbb R}} ^N):\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\frac{N}{p}+s}}\in L^p({{\Bbb R}} ^N\times {{\Bbb R}} ^N)\}$且具有范数

空间${\Bbb H} = \{u\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N): \int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|u|^p{\rm d}x<\infty\}$, 很自然的可以在空间${\Bbb H}$中讨论方程(1.1)基态解的存在性.

设$E(u) = \frac{1}{p}[u]_{W^{s, p}}^p+\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|u|^p{\rm d}x-\frac{\beta}{q}\int_{{{\Bbb R}} ^N} |u|^{q}{\rm d}x$, 对任意固定的$\varphi\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$且$\int_{{{\Bbb R}} ^N} |\varphi|^p{\rm d}x = 1$.设$u_\lambda(x) = \lambda^{\frac{N}{p}}\varphi(\lambda x)$, 则容易计算得

因此当$\lambda$比较大时, 可以得出$q<p+\frac{sp^2}{N}$时泛函$E(u_\lambda)$有下界, 而$q>p+\frac{sp^2}{N}$时泛函$E(u_\lambda)$无下界.则$q = p+\frac{sp^2}{N}$是$L^p$约束极小存在与否的临界指数, 因此本文直接考虑$L^p$约束临界即问题(1.2)极小解的存在性.

定义$\beta^* = |Q|_p^{\frac{sp^2}{N}}$, 其中$Q(x)$是方程

的径向基态解.针对问题(1.2)极小解的存在性, 本文结果如下：

定理1.1   (1)如果$0\leq \beta<\beta^*$, 则问题(1.2)至少存在一个非负极小解;

(2) 如果$\beta \geq \beta^*$, 则问题(1.2)不存在极小解;

(3) 如果$\beta<\beta^*$, 则$m(\beta)>0$, $\lim\limits_{\beta\rightarrow \beta^*}m(\beta) = m(\beta^*) = 0$.

利用细致的能量估计, 进一步可得基态解的渐近行为如下:

定理1.2   假设$u_\beta$是$\beta<\beta^*$时极小化问题(1.2)的非负极小解, 设

则任意满足当$n\rightarrow \infty$时$\beta_n\rightarrow \beta^*$的序列$\{\beta_n\}$存在子列(仍记作$\{\beta_n\}$), 使得

本文中, 不加特殊说明的情形下, $C$表示常数, $[u]_{W^{s, p}}^p$表示Gagliardo半范数, $|u|_r$表示$L^r({{\Bbb R}} ^N)$中的范数.

相似文献[1]中紧性引理的证明, 可以得到如下嵌入紧性定理.

引理2.1   假设$2<p<q< p^*$, 则嵌入${\Bbb H}\hookrightarrow L^q({{\Bbb R}} ^N)$是紧的.

为了得到极小解的存在性, 需要相应的Gagliardo-Nirenberg不等式, 相似文献[14]中的证明, 结合文献[13]中的嵌入不等式, 可得如下Gagliardo-Nirenberg不等式.

引理2.2   设$p\in [1, \infty)$, $s\in (0, 1)$, $sp<N$.则对任意$u\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$, 有

其中函数$Q(x)$是方程(1.3)的基态解, 且(2.1)式中等号成立当且仅当$u$是基态解$Q(x)$的伸缩平移.

证   由文献[13], 对$p^* = \frac{Np}{N-ps}$, 存在一个正的常数$C = C(n, p, s)$, 使得

上式结合Hölder不等式可得

令

设$u_{\lambda, \mu}(x) = \mu u(\lambda x)$, 通过计算可得

即$J_{s, p}(u)$保持伸缩不变.进一步易知对任意的$u\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$有$J_{s, p}(u)>0$.可知存在一个非负极小化序列$\{u_m\}\subset W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)\cap L^{p+\frac{sp^2}{N}}({{\Bbb R}} ^N)$, 使得

取

则

上面公式显示

利用文献[6]中关于$\int_{{{\Bbb R}} ^N}\int_{{{\Bbb R}} ^N}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y$的对称递减重排不等式, 记$v_m$的对称递减重排为$v_m^*$.则$v_m^*$满足

(ⅰ) $v_m^*\geq 0$, $\forall x\in {{\Bbb R}} ^N$;

(ⅱ) $v_m^*$是径向对称函数;

(ⅲ) 对任意$r\in [1, \infty]$, 若$v_m\in L^r({{\Bbb R}} ^N)$, 则$|v_m^*|_r = |v_m|_r$;

(ⅳ) 若$v_m\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$, 则

进一步可得

这意味着序列$\{v_m^*\}$也是一个极小化序列且$v_m^* = v_m^*(|x|)$关于$|x|$是径向单调递减的.类似文献[12], 可得

$|v_m^*|_p = 1$.利用条件(ⅲ)和(ⅳ), 可得

即$\{v_m^*\}$在空间$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$中有界.则存在序列$\{v_m^*\}$的一个子列, 仍记作$\{v_m^*\}$, 存在$v\in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$, 使得

由(2.4)式, 可进一步推导得$v_m^*\rightarrow v, \ \mbox{in } L^{t}({{\Bbb R}} ^N), \ p<t<p^*.$即

从而$|v|_p = [v]_{W_{s, p}}^p = 1$且在空间$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$上$v_m^*\rightarrow v$.进一步可知函数$v$满足如下Euler-Lagrange方程

代入$\alpha = \frac{1}{|v|_{p+\frac{sp^2}{N}}^{p+\frac{sp^2}{N}}}$, $|v|_p = |v| = 1$, 有

令$v = \left(\frac{N}{\alpha (N+sp)}\right)^{\frac{1}{\frac{sp^2}{N}}}\varphi$, 可得函数$\varphi$满足方程

假设函数$Q(x)$是方程(2.5)的一个基态解, 则

进一步, 利用Pohozaev恒等式和方程(2.5), 通过计算可得

引理2.2得证.

引理2.3   设$0\leq \beta<\beta^*$, $u_\beta$是极小化问题(1.2)的解, 则存在常数$\gamma>0$, 使得

其中$C(s, p, N) = \frac{1}{p\beta^*\frac{N+2}{sp+2}} \left[\big(\frac{2}{sp}\big)^{\frac{sp}{sp+2}}+\big(\frac{sp}{2}\big)^{\frac{sp}{sp+2}}\right]\left(\int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|Q|^p{\rm d}x\right)^{\frac{sp}{sp+2}}$.

证   由引理2.2中的Gagliardo-Nirenberg不等式结合Young不等式可知

设$\alpha>0$充分小, 取$c = \alpha(\beta^*-\beta)^{\frac{2}{2+sp}}$, 则由上述表达式可知存在$\gamma>0$, 使得

设$u_{\lambda}(x) = \frac{\lambda^{\frac{N}{p}}}{|Q|_{p}}Q(\lambda x)$, 则

令$\lambda = \Big( \frac{2(\beta^*)^{1-\frac{N}{sp}}}{sp(\beta^*-\beta)}\int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|Q|^p{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{sp+2}}$, 可得

其中$C(s, p, N) = \frac{1}{p\beta^*\frac{N+2}{sp+2}} \left[\big(\frac{2}{sp}\big)^{\frac{sp}{sp+2}}+\big(\frac{sp}{2}\big)^{\frac{sp}{sp+2}}\right]\left(\int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|Q|^p{\rm d}x\right)^{\frac{sp}{sp+2}}$.引理2.3得证.

引理2.4   若$u_\beta$是极小化问题(1.2)的一个极小解, 则存在一个与$\beta$无关的正常数$A$, 使得当$\beta\rightarrow\beta^*$时有

证   利用引理2.2中的Gagliardo-Nirenberg不等式有

上式结合引理2.3可得

其中$A = \frac{p(N+sp)}{N}C(s, p, N)$.现假设$0<\delta<\beta$, 可得

即

结合引理2.3可得

其中$\theta = \frac{\beta-\delta}{\beta^*-\beta}$.当$\beta$充分靠近$\beta^*$时, $\theta$足够大, 使得$\frac{\gamma(1+\theta)^{\frac{2}{sp+2}}-C(s, p, N)}{\theta}>0$.引理2.4得证.

定理1.1的证明   对任意的$u\in M$, 由引理2.2中的Gagliardo-Nirenberg不等式有

由$\beta^*$的定义有

(1) 当$\beta<\beta^*$时.由(3.1)式知$E_\beta(u)\geq 0$, 因此泛函$E_\beta(u)$有下界.

设$\{u_n\}\subset M$是问题(1.2)的一个非负极小化序列, 由定义有

结合(3.1)式可得

由此可知

由引理2.1, 存在序列$\{u_n\}$的子序列, 仍记作$\{u_n\}$, 存在$u\in {\Bbb H}$, 使得在空间${\Bbb H}$中$u_n\rightharpoonup u$, 在空间$L^q({{\Bbb R}} ^N) (p\leq q<p^*)$中$u_n\rightarrow u$.因此

进一步可知$u\geq 0$.而后由范数的弱下半连续性可知

即$u\in {\Bbb H}$为$m(\beta)$的极小解.

(2) 当$\beta>\beta^*$时.对常数$\lambda$, 设

通过计算并利用(2.6)式可知

进一步

这意味着当$\beta>\beta^*$时问题(1.2)不存在极小解.

若$\beta = \beta^*$.此时

而由(3.1)式有$E_\beta(u)\geq \int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|u|^p{\rm d}x\geq 0,$即$m(\beta^*)\geq 0$.因此$m(\beta^*) = 0$.此时若$m(\beta^*)$存在极小元$u_1\in M$, 不妨设$u_1$是非负的, 有

即

故$u_1 = 0,$ a.e. $x\in {{\Bbb R}} ^N$, 这与$u_1\in M$矛盾.因此当$\beta = \beta^*$时极小化问题(1.2)不存在极小解.

(3) 的证明.由(3.1)式可知当$\beta<\beta^*$时, $m(\beta)\geq 0$, 进而可得$m(\beta)>0$.类似于(2)中(3.2)式的取法并令$\lambda = (\beta^*-\beta)^{-\frac{1}{sp+1}}$, 可得当$\beta\rightarrow \beta^*$时, 有

因此可得$\lim\limits_{\beta\rightarrow \beta^*}m(\beta) = m(\beta^*) = 0.$

定理1.2的证明   设$u_\beta$是极小化问题(1.2)的极小解, 则

设$\varepsilon_\beta = (\beta^*-\beta)^{\frac{1}{sp+2}}$, 因此可得

设$v_\beta(x) = \varepsilon_\beta^{\frac{N}{p}} u_\beta(\varepsilon_\beta x)$, 通过计算可得

再由引理2.4可得

取序列$\{\beta_n\}$, 且当$n\rightarrow \infty$时$\beta_n\rightarrow \beta^*$.由(3.4)和(3.5)式容易得序列$\{v_{\beta_n}\}$在空间${\Bbb H}$中有界, 因此存在序列$\{v_{\beta_n}\}$的一个子序列, 仍记作$\{v_{\beta_n}\}$, 存在$v\in {\Bbb H}$, 使得在空间${\Bbb H}$中$v_{\beta_n}\rightharpoonup v$, 在空间$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$中$v_{\beta_n}\rightharpoonup v$, 在空间$L^q({{\Bbb R}} ^N)(p\leq q<p^*)$中$v_{\beta_n}\rightarrow v$.

另一方面, 由于$u_{\beta_n}$是极小化问题(1.2)的非负极小解, 从而$u_{\beta_n}$满足方程

其中Lagrange乘子

上式结合引理2.3和引理2.4可得存在一个常数$\nu>0$, 使得

进一步, 由定义可知

因而函数$v_{\beta_n}$满足方程

对每个$\varphi \in W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$, 定义一个泛函$T:W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)\rightarrow (W^{s, p})'$为

由方程(3.7)可知

而由$v_{\beta_n}$在空间$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$中的弱收敛性可知

进一步, 利用下述不等式:对任意的$\xi, \eta\in {{\Bbb R}} ^N$, 有

其中$C_p, \tilde{C}_p$是仅依赖于$p$的常数, 由(3.8)式有

因此在空间$W^{s, p}({{\Bbb R}} ^N)$中有$v_{\beta_n} \rightarrow v$.且$v$满足

进而由文献[2]中极大值原理可得$v>0$.

由$u_{\beta_n}$和$v_{\beta_n}$的定义, 可以计算能量得

设

将$v$代入方程(3.9)并计算可得$\tilde{Q}$是方程(1.3)的解, 由于$v$满足方程(3.9), 结合Pohozaev恒等式可知$\tilde{Q}$是方程(1.3)的基态解.因此存在$x_0\in {{\Bbb R}} ^N$, 使得$\tilde{Q} = Q(x+x_0)$, 这意味着

由(3.11)和(2.6)式, 且$Q$是径向对称函数, 可得

结合(3.10), (3.12)和(3.14)式可得

上式能取等号当且仅当$x_0 = 0$且

从而由引理2.3可得

设$\mu = \left(\frac{2\int_{{{\Bbb R}} ^N} |x|^2|Q|^p{\rm d}x}{sp}\right)^{\frac{1}{2+sp}}$, 将$\nu$和$x_0$代入表达式(3.11)可得

定理1.2的证毕.