本文研究非线性层晶格模型的耦合Boussinesq型广义方程组的Cauchy问题

其中$u(x, t)$, $w(x, t)$是未知函数; $f(s)$和$g(s)$是给定的非线性函数; $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2>0$, $a_3\neq0$和$b_3\neq0$是常数; $u_0(x)$, $u_1(x)$, $w_0(x)$和$w_1(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的初值函数.

我们还研究Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4) (见第4节).

在文献[1]中, 作者在一两层不完整有界结构中利用非线性晶格模型研究非线性波.模型的主要元素是震荡偶级无线的一非谐链, 它能看作相对于一维宏观波导管的基本晶格.在一具有光滑的中间(或有界)层晶格的长非线性纵波由下列耦合Boussinesq型方程组

控制, 其中$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2>0$, $a_3\neq0$, $b_3\neq0$, $a_4\neq0$和$b_4\neq0$是常数.显然, 方程组(1.1), (1.2)包含了方程组(1.5), (1.6).但是关于方程组(1.5), (1.6)的定解问题在文献[1]中没有任何讨论.

贯穿本节, 我们应用下列符号, $L^p$$(1\leq p\leq\infty)$表示通常所有在$\mathbb{R}$上$L^p$ -函数具有范数$\|\cdot\|_p=\|\cdot\|_{L^p}$和$\|\cdot\|=\|\cdot\|_2$的空间; $H^s$表示在$\mathbb{R}$上具有范数$\|h\|_{H^s}=\|(I-\partial^2_x)^{\frac{s}{2}}h\|$的Sobolev空间, 其中$s$是一实数, $\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}$, $I$是单位向量.

此文在第2节中首先证明Cauchy问题(1.1)-(1.4)局部解的存在唯一性; 其次, 证明当$s\geq2$时, 在$C([0, \infty);H^s(\mathbb{R} )\times H^s(\mathbb{R} ))$中存在整体广义解, 当$s>\frac{5}{2}$时, 存在唯一的整体古典解$C^2([0, \infty);C_B^2(\mathbb{R} )\times C_B^2(\mathbb{R} ))$.在第3节中, 证明Cauchy问题(1.1)-(1.4)解的爆破.

(A)   Cauchy问题(1.1)-(1.4)局部广义解的存在性与唯一性

现在, 我们将利用二阶常微分方程的基本解化Cauchy问题(1.1)-(1.4)为一积分方程组.应用压缩映射原理证明积分方程组局部广义解的存在性与唯一性, 即证明Cauchy问题(1.1)-(1.4)存在唯一局部广义解.

设$(u, w)\in C^2([0, T];H^s)$ (即$u\in C^2([0, T];H^s)$, $w\in C^2([0, T];H^s))$$(s\geq2)$是Cauchy问题(1.1)-(1.4)的一广义解.方程组(1.1)-(1.2)可以改写为

由(2.1)和(2.2)式有

其中$G_1(x)$是二阶常微分方程

的基本解, 其中$\delta(x)$是Dirac函数, 即$G_1(x)=\frac{1}{2\sqrt{a_2}}e^{-\frac{|x|}{\sqrt{a_2}}}$, $x\in\mathbb{R}$; $G_2(x)$是二阶常微分方程

的基本解, 即$G_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{b_2}}e^{-\frac{|x|}{\sqrt{b_2}}}$, $x\in\mathbb{R}$. $u\ast v$表示$u$和$v$的卷积, 定义为

(2.3)和(2.4)式分别对$t$积分两次, 并注意到初值(1.3)-(1.4), Cauchy问题(2.3), (2.4), (1.3), (1.4)变换为下面的积分方程组

其中

定义 2.1  对于任意的$T>0$, 如果$s>\frac{1}{2}$, $V_0, V_1\in H^s\times H^s$$(V_0\in H^s\times H^s$意思是$u_0\in H^s$和$w_0\in H^s)$和$V\in C([0, T];H^s\times H^s)$满足积分方程组$(2.5)$, 则$V(x, t)$称为积分方程组$(2.5)$的连续解或Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的广义解.如果$T<\infty$, 则$V(x, t)$称为Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的局部广义解.如果$T=\infty$, 则$V(x, t)$称为Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的整体广义解.

引理 2.1  $(1)$$G_1(x)$, $G_2(x)$在$\mathbb{R}$上有定义且连续, $G_1(x)$, $G_2(x)>0$;

$(2)$$G_1(x)$, $G_2(x)\in L^q$且$\|G_1\|_1=\|G_2\|_1=1$, 其中$1\leq q\leq\infty$;

$(3)$$\|G_1\ast h\|_{H^s}=\|h\|_{H^{s-2}}$, $\|G_2\ast h\|_{H^s}=\|h\|_{H^{s-2}}$, $s-2\geq0$.

证  性质(1)和(2)是显然的.我们仅证明性质(3).

成立, 于是

其中$\hat{h}(\xi)=(1/\sqrt{2\pi})\int_{\mathbb{R} }h(x){\rm e}^{-{\rm i}x\xi}{\rm d}x$表示$h$的Fourier变换.类似地, 可以证明$\|G_2\ast h\|_{H^s}=\|h\|_{H^{s-2}}$.

为了证明积分方程组(2.5)局部连续解的存在性与唯一性, 我们引进下面的引理.

引理 2.2^[2]  设$v(u)\in C^k(\mathbb{R} )$, $v(0)=0$, $u\in H^s\cap L^\infty$, $k=[s]+1$, 其中$s\geq0$.如果$\|u\|_\infty\leq M_0$, 则有

其中$K(M_0)$是依赖于常数$M_0$的正常数.

引理 2.3^[3]  设$s\geq0$, $v(u)\in C^k(\mathbb{R} ),$$k=[s]+1$.如果$u$, $z\in H^s\cap L^\infty$, 则

如果$\|u\|_\infty+\|u\|_{H^{s}}$, $\|z\|_\infty+\|z\|_{H^s}\leq M_1$, 其中$K_1(M_1)$是依赖于常数$M_1$的正常数.

引理 2.4^[4]  设$s=m+\frac{1}{2}+\lambda$, $\lambda\in(0, 1)$, $m\in\mathbb{Z}_+$\ $(\mathbb{Z}_+$是一非负整数集合), 则

并对于任意的$f\in H^s$有

其中$"\hookrightarrow"$表示嵌入关系.

下面, 假定$f(0)=0$, $g(0)=0$.否则我们可以分别用$f(s)-f(0)$代替$f(s)$, 用$g(s)-g(0)$代替$g(s)$, 并假定对于$s>\frac{1}{2}$, $V_0\in H^s$, 即$u_0\in H^s$, $w_0\in H^s$, $V_1\in H^s$.

现在, 考虑Banach空间

赋予范数

其中$V\in C([0, T];H^s)$, 即$u\in C([0, T];H^s)$, $w\in C([0, T];H^s)$.

由Sobolev嵌入定理^[4]知

且$\|V\|_{L^\infty}\leq K_2\|V\|_{H^s}$.

定义映射$S$如下:对于$\psi\in X(T)$, 有

其中$\Psi(x, t)=\left( \begin{array}{c} \varphi(x, t)\\ \psi(x, t) \end{array} \right)$.显然, 如果$f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, 则$S: X(T)\mapsto X(T)$.

现在, 对于初值$V_0$, $V_1\in H^s\times H^s$, 令$\|V_0\|_{H^s}+\|V_1\|_{H^s}=M$, 定义

显然, 对于每一对$M$, $T>0$, $Q(M, T)$是$X(T)$的一非空有界闭凸子集.我们的目的是指出, $S$在$Q(M, T)$内有唯一不动点.

引理 2.5  设$s>\frac{1}{2}$, $V_0$, $V_1\in H^s\times H^s$, $f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, $f(0)=0$, $g(0)=0$.则$S$映$Q(M, T)$到$Q(M, T)$且$S: Q(M, T)\mapsto Q(M, T)$是严格压缩的, 如果$T$相对于$M$适当小.

证  首先我们对充分小的$T$证明$S$映$Q(M, T)$到自身.令$\Psi\in Q(M, T)$是给定的.由引理2.1和2.2, 有

其中$K(K_2(M+1))$表示$K$是依赖于$K_2(M+1)$的常数.

由(2.6)和(2.7)式可得

如果$T$满足

则$\|S\Psi\|_{X(T)}\leq M+1$.所以, 如果(2.9)式成立, 则$S$映$Q(M, T)$到$Q(M, T)$.

现在, 证明映射$S$是严格压缩的.令$\Psi_1$, $\Psi_2\in Q(M, T)$是给定的, 其中$\Psi_i(x, t)=\left( \begin{array}{c} \varphi_i(x, t)\\ \psi_i(x, t) \end{array} \right)$$(i=1, 2)$.利用Minkowski积分不等式, 引理2.3和(2.6)式, 得

由引理2.1和引理2.3知

将(2.11)式代入(2.10)式, 得

如果$T$满足(2.9)式和

于是$\|S\Psi_1-S\Psi_2\|_{X(T)}\leq\frac{1}{2}\|\Psi_1-\Psi_2\|_{X(T)}$.即$S$映$Q(M, T)$到$Q(M, T)$且$S$是严格压缩的.

定理 2.1  设$s\geq2$, $V_0$, $V_1\in H^s\times H^s$, $f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, $f(0)=0$, $g(0)=0$.则Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$存在唯一局部广义解$V\in C([0, T_0);H^s\times H^s)$, 其中$[0, T_0)$是最大时间区间.同时, 如果

则$T_0=\infty$.

证  由引理2.5和压缩映射原理推出, 对于适当选择的$T>0$, $S$有唯一的不动点$V\in Q(M, T)$, 它显然是积分方程组(2.5)的一解.对于每一个$T^\prime>0$, 积分方程组(2.5)最多有一解属于$X(T^\prime)$.事实上, 令$V_1$, $V_2\in X(T^\prime)$是积分方程组的两个解, 其中$V_i(x, t)=\left( \begin{array}{c} u_i(x, t)\\ w_i(x, t) \end{array} \right)\ (i=1, 2)$, 则对于$0\leq t\leq T^\prime$,

根据空间$X(T^\prime)$的定义, 可以假定

其中$C_1(T^\prime)$是一依赖于$T^\prime$的正常数.因此, 由(2.14)式, 引理2.1, 引理2.3和Minkowski不等式, 得

其中$C_2(T^\prime)$是一依赖于$T^\prime$的正常数.由(2.15)式和Gronwall不等式, 有

即积分方程组最多有一解属于$X(T^\prime)$.

现在, 令$[0, T_0)$是$V\in X(T_0)$存在的最大时间区间.余下仅指出, 如果(2.13)式成立, 则$T_0=\infty$.

令(2.13)式成立, 且$T_0<\infty$.对于任意的$T^\prime\in[0, T_0)$, 考虑积分方程组

根据(2.13)式, $\|V(\cdot, T^\prime)\|_{H^s\times H^s}+\|V_t(\cdot, T^\prime)\|_{H^s\times H^s}$关于$T^\prime\in[0, T_0)$是一致有界的, 这允许我们选择$T^\ast\in(0, T_0)$, 使得对于每一个$T^\prime\in[0, T_0)$, 积分方程组(2.16)有唯一解$W(x, t)\in X(T^\ast)$.由引理2.5和压缩映射原理推出确实存在一个这样的$T^\ast$.特别地, (2.9)和(2.12)式揭示$T^\ast$的选择不依赖于$T^\prime\in[0, T_0)$.置$T^\prime=T_0-\frac{T^\ast}{2}$, 令$W(x, t)$表示积分方程组(2.16)对应的解, 由

定义$\widetilde{V}(x, t)$.根据解的构造, $\widetilde{V}(x, t)$是在$[0, T_0+\frac{T^\ast}{2}]$上积分方程组(2.5)的一个解, 且根据局部解的唯一性, $\widetilde{V}$是$V$的延拓.这与$[0, T_0)$是最大时间区间矛盾.因此, 如果(2.13)式成立, 则$T_0=\infty$.证毕.

注 2.1  如果$V\in C([0, T_0);H^s\times H^s)$是问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的一局部广义解, 从$(2.5)$式知, $V\in C^2([0, T_0);H^s\times H^s)$, 且方程组$(2.3)$-$(2.4)$成立; 如果$V\in C([0, T_0);H^s\times H^s)$是问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的一局部广义解, 则当$s>\frac{5}{2}$时, $V\in C^2([0, T_0);C^2(\mathbb{R} ))$是问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$一局部古典解.

(B)   Cauchy问题(1.1)-(1.4)整体解的存在性与唯一性

现在, 我们从解的延拓条件(2.13)变换到条件(2.18).

定理 2.2  设$s\geq2$, $V_0$, $V_1\in H^s\times H^s$, $f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, $f(0)=0$, $g(0)=0$.则Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$存在唯一局部广义解$V\in C([0, T_0);H^s\times H^s)$, 其中$[0, T_0)$是最大的时间区间, 如果

则$T_0=\infty$.

证  应用Minkowski积分不等式, 引理2.1, 引理2.2和(2.18)式, 由(2.5)式可得

利用Gronwall不等式, 由(2.19)式有

(2.5)式对$t$求导, 知

从Minkowski积分不等式, 引理2.2和(2.21)式得

由(2.20)和(2.22)式发现

则$T_0=\infty$.证毕.

为了得到问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的整体解的条件, 我们建立问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$解的两个能量等式.

引理 2.6  设$V_0$, $V_1\in H^1\times H^1$, $f$, $g\in C(\mathbb{R} )$, $\varphi(u_x)=\int_0^{u_x}f(y){\rm d}y$, $\psi(w_x)=\int_0^{w_x}g(y){\rm d}y$, $\varphi(u_{0x})\in L^1$, $\psi(w_{0x})\in L^1$, 则Cauchy问题$(2.1)$, $(2.2)$, $(1.3)$, $(1.4)$的广义解$V\in C^2([0, T_0);$$H^s\times H^s)$$(s\geq2)$满足下列等式

证  (1.1)式两端同乘以$2u_t$, 在$(-\infty, \infty)\times(0, t)$上积分, 根据引理2.4并分部积分得(2.23)式.

(1.2)式两端同乘以$2w_t$, 在$(-\infty, \infty)\times(0, t)$上积分, 根据引理2.4并分部积分得(2.24)式.证毕.

引理 2.7  设引理2.5的假设成立, $V_0$, $V_1\in H^s\times H^s(s\geq2)$, $\varphi(u_x)\geq0$, $\psi(w_x)\geq0$.如果存在$\rho$$(1\leq\rho\leq\infty)$, 使得

其中$A_0$, $B_0$, $C_0$和$D_0$是正常数, 则问题(1.1)-(1.2)的广义解$V(x, t)$有估计

证  (2.3)式对$x$求导, 且两端同乘以$2u_{xt}$, 有

(2.4)式对$x$求导, 且两端同乘以$2w_{xt}$, 得

由引理2.1, 2.6, 2.7和(2.25)式, 利用Young不等式和Hölder不等式, 知

其中$\frac{1}{\rho}+\frac{1}{q}=1$.类似地, 有

应用卷积Young不等式, 得

从(2.27)式和上述不等式看出

类似地, 有

将(2.32)式加到(2.33)式上, 知

上述不等式对$t$积分并应用Sobolev嵌入定理, 我们有

于是

Gronwall不等式给出$\|V_x(\cdot, t)\|_{\infty\times\infty}\leq C_{17}(T)$.

由定理2.2和引理2.7推出以下定理成立.

定理 2.3  设

(i)   $s\geq2$, $f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, $f(0)=0$, $g(0)=0$, $\varphi(u_x)\geq0$, $\psi(w_x)\geq0$, $\varphi(u_{0x})$, $\psi(w_{0x})\in L^\infty(\mathbb{R} )$;

(ii)   $u_0, u_1, w_0, w_1\in H^s(\mathbb{R} )$;

(iii)   $|f(u_x)|\leq A_0\varphi(u_x)^{\frac{1}{\rho}}|u_x|+B_0,$$|g(w_x)|\leq C_0\psi(w_x)^{\frac{1}{\rho}}|w_x|+D_0,$

其中$A_0$, $B_0$, $C_0$和$D_0$是正常数, 且$1\leq\rho\leq\infty$.那么, 问题(1.1)-(1.4)存在唯一整体广义解$V\in C([0, \infty);H^s(\mathbb{R} ) \times H^s(\mathbb{R} ))$.

注 2.2  假定$V\in C([0, \infty);H^s(\mathbb{R} )\times H^s(\mathbb{R} ))$是Cauchy问题(1.1)-(1.4)的广义解, 如果$s>\frac{5}{2}$, 于是Cauchy问题(1.1)-(1.4)存在唯一整体古典解$V\in C^2([0, \infty);C^2_B(\mathbb{R} )\times C^2_B(\mathbb{R} ))$, 其中$C^2_B(\mathbb{R} )$由所有$C^2(\mathbb{R} )$中在$\mathbb{R}$上有界的函数组成, 这里我们用到的定理：设$s>\frac{1}{2}+j, j$是非负整数, 则$H^s(\mathbb{R} )\hookrightarrow C^3_B(\mathbb{R} )$ (参见文献[4]).

在这节, 我们应用凸性方法考虑Cauchy问题(1.1)-(1.4)解的爆破.

引理 3.1^[6]  设$\phi(t)\in C^2[0, \infty)$是一正函数, 对于所有$t\geq0$满足不等式

其中$\gamma>0$和$A_1$, $A_2\geq0$是常数.

$(1)$如果$A_1=A_2=0$, $\phi(0)>0$, $\dot{\phi}(0)>0$, 于是存在$t_1\leq t_2=\frac{\phi(0)}{\gamma\dot{\phi}(0)}$, 使得$t\rightarrow t_1$时, $\phi(t)\rightarrow\infty$.

$(2)$如果$A_1+A_2>0$, $\phi(0)>0$, $\dot{\phi}(0)>-\gamma_2\gamma^{-1}\phi(0)$, 则当$t\rightarrow t_1\leq t_2$时, $\phi(t)\rightarrow\infty$, 其中

定理 3.1  设$f$, $g\in C(\mathbb{R} )$, $u_0$, $u_1$, $w_0$, $w_1\in H^1(\mathbb{R} )$, $\int_{\mathbb{R} }u_0w_0{\rm d}x>0$, $\varphi$, $\psi\in L^1(\mathbb{R} )$, $a_3=b_3>0$, 存在常数$\gamma>0$, 使得

则问题(1.1)-(1.4)的广义解或古典解$V(x, t)$在有限时刻爆破, 如果满足下列条件之一:

(i)   $E_1(0)+E_2(0)<0$;

(ii)   $E_1(0)+E_2(0)=0$和

(iii)   $E_1(0)+E_2(0)>0$和

其中

证  设问题(1.1)-(1.4)的解存在的最大时间区间为无穷.令

其中$\beta_0$和$t_0$是待定的非负常数. (3.3)式对$t$求导, 有

应用Schwarz不等式, 得

(3.4)式对$t$求导, 应用方程(1.1)-(1.2)和引理2.4, 知

从(3.3), (3.5), (3.6), (2.23)和(2.24)式, 可得

(i) 如果$E_1(0)+E_2(0)<0$, 取$\beta_0=-\frac{3+4\gamma}{2+4\gamma}(E_1(0)+E_2(0))>0$, $t_0$充分大, 于是

且$\phi(0)$, $\dot{\phi}(0)>0$.根据引理3.1知如果$t\rightarrow T_1\leq t_2=\frac{\phi(0)}{\gamma\dot{\phi}(0)}$时, $\phi(t)\rightarrow\infty.$

(ii) 如果$E_1(0)+E_2(0)=0$, 取$\beta_0=0$, 于是(3.7)式变成

$\phi(0)>0$是显然的.根据假定(ii)知$\dot{\phi}(0)>0$.应用引理3.1, 如果$t\rightarrow T_1\leq t_2=\frac{\phi(0)}{\gamma\dot{\phi}(0)}$时, 有$\phi(t)\rightarrow\infty$.

(iii) 如果$E_1(0)+E_2(0)>0$, 取$\beta_0=0$.由(3.7)式, 得

令$Q(t)=\phi^{-\gamma}(t)$, 则

根据假定(iii), 知

令$t^\ast=\sup\{\tau|\dot{Q}(\tau)<0, \tau\in[0, t)\}$, 因此由于$\dot{Q}(t)$的连续性, $t^\ast$是正的.用$2\dot{Q}(t)$同乘(3.8)式两端, 得

(3.9)式在$[0, t)$$(0\leq t<t^\ast)$上对$t$积分, 有

根据假定(iii), 可见

依$\dot{Q}(t)$的连续性, 由(3.10)和(3.11)式得

由$t^\ast$的定义, 对于$t\geq0$, (3.12)式成立.所以

由(3.13)式, 存在$T_1>0$, 使得$Q(T_1)=0$和$0<T_1\leq T_0$成立, 其中

因此, 如果$t\rightarrow T_1\leq T_0$, $\phi(t)\rightarrow\infty$.

这样, 在假定条件(i)-(iii)下, 在$T_1$, $\phi(t)$总是变为无穷大.这与解存在的最大时间是无穷的事实矛盾.因此解存在的最大时间是有限的.证毕.

现在利用定理2.1, 2.3和3.1研究Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4).

考虑Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4)

其中$a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2>0$, $a_3\neq0$, $b_3\neq0$, $a_4\neq0$, $b_4\neq0$.

方程组(1.5)-(1.6)可以重写如下

方程(4.1)和(4.2)化为

(4.3)和(4.4)式对$t$积分两次, 且注意到条件(1.3)-(1.4), Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4)变为下列积分方程组

其中

根据定理2.1易证下面的定理.

定理 4.1  设$s\geq2$, $V_0$, $V_1\in H^s\times H^s$, $f$, $g\in C^{[s]+1}(\mathbb{R} )$, $f(0)=0$, $g(0)=0$.则Cauchy问题$(1.5)$, $(1.6)$, $(1.3)$, $(1.4)$存在唯一局部广义解$V\in C([0, T_0);H^s\times H^s)$, 其中$[0, T_0)$是最大时间区间.同时, 如果

则$T_0=\infty$.

根据引理2.5易证以下引理.

引理 4.1  设$V_0$, $V_1\in H^1\times H^1$, $f$, $g\in C(\mathbb{R} )$, $\varphi(u_x)=-\frac{a_4}{6}u_x^3$, $\psi(w_x)=-\frac{b_4}{6}w_x^3$, $\varphi(u_{0x})\in L^1$, $\psi(w_{0x})\in L^1$, 则Cauchy问题$(1.5)$, $(1.6)$, $(1.3)$, $(1.4)$的广义解$V\in C^2([0, T_0);H^s\times H^s)$$(s\geq2)$满足下列等式

因为在Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4)中, $\varphi(u_x)=-\frac{a_4}{6}u_x^3>0$和$\psi(w_x)=-\frac{b_4}{6}w_x^3>0$, 其中$a_4>0$, $b_4>0$或$a_4<0$, $b_4<0$不成立. $|f(u_x)|\leq A_0\varphi(u_x)^{\frac{1}{\rho}}|u_x|+B_0$, $|g(w_x)|\leq C_0\psi(w_x)^{\frac{1}{\rho}}|w_x|+D_0$也不成立, 其中$1\leq\rho\leq\infty$.根据定理2.3, Cauchy问题(1.5), (1.6), (1.3), (1.4)也不存在唯一整体解.

根据定理3.1易证下面的定理.

定理 4.2  设$f$, $g\in C(\mathbb{R} )$, $u_0$, $u_1$, $w_0$, $w_1\in H^1(\mathbb{R} )$, $\int_{\mathbb{R} }u_0w_0{\rm d}x>0$, $\varphi$, $\psi\in L^1(\mathbb{R} )$, $a_3=b_3>0$, 且存在一常数$\gamma>0$, 使得

于是Cauchy问题$(1.5)$, $(1.6)$, $(1.3)$, $(1.4)$的广义解或古典解$V(x, t)$在有限时刻爆破, 如果下列条件之一成立:

(i)   $E_1(0)+E_2(0)<0$;

(ii)   $E_1(0)+E_2(0)=0$,

(iii)   $E_1(0)+E_2(0)>0$,

其中