令$X$是一复$n$维Stein流形, $T(X)$和${{T}^{{*}}}({X})$分别表示$X$上切丛和余切丛, ${{T}_{z}}(X)$和${{T}_{z}}^{*}(X)$分别表示对于$z\in X$的纤维.用$s(z, \varsigma)$和${{s}^{*}}(z, \varsigma)$分别表示$T(X)$和${{T}^{{*}}}(\mbox{X})$的全纯截面和${C ^{1}}$截面.因为我们的兴趣在于函数或微分形式的积分表示, 所以我们可令$X$是更大Stein流形的相对紧集.

Henkin和Leiterer^[1]已获得如下两个重要结果:

(A) 若$X$是更大Stein流形的相对紧集, 则存在全纯映射$s$: $X\times X\to T(X)$和$X\times X$上全纯函数$\varphi$满足如下条件: (a)对于所有$z, \varsigma\in X$, $S(z, \varsigma)\in{{T}_{z}}(X)$; (b)对于每一固定的$z\in X$, $S(z, z)=0$和$s(z, \varsigma):X\to {{T}_{z}}(X)$在$\varsigma\in X$的邻域中是双全纯的; (c)对于所有$z\in X$, $\varphi(z, z)=1$; (d)若${{{\Bbb F}}_{s}}$是一解析层, 它是由${}_{X\times X}\mathfrak{M}$生成的, 则$\varphi\in{{{\Bbb F}}_{s}}((X\times X)\backslash\{(z, z):z\in X\})$; (e)存在一个$\kappa\ge 0$, 对于$T(X)$中每一范数$\left\|\cdot \right\|$我们有函数${{\varphi}^{\kappa}}{{\left\|\left.s\right\|\right.}^{-2}}$在$(X\times X)\backslash \{(z, z):z\in X\}$上是${C ^{2}}$的.

(B) 若$X$是更大Stein流形的相对紧集, 则对于每一全纯函数${{F}_{j}}$和$X\times X$的局部有限开复盖$\{{{V}_{j}}\}$, 存在全纯映射${{\alpha }^{*(j)}}:{{V}_{j}}\to {{T}^{*}}(X)$, 使得${{\alpha }^{*(j)}}(z, \varsigma )\in T{^{*}_{z}}(X)$, 且对于所有$(z, \varsigma )\in {{V}_{j}}$, 我们有

以及对于$z\in D$和$\varsigma \in {{\delta }_{j}}=\{z\in \partial D:\left| {{F}_{j}}(z) \right|=1\}$, $j=1, 2, \cdots, N$, 还有

作者在${{\Bbb C}^{n}}$中对于一般有界域解析簇上已获得Koppelman-Leray型积分表示式^[2-3].本文我们研究在Stein流形的解析簇上如何建立微分形式的积分公式.首先, 使用不同的方法和技巧我们导出在Stein流形的两类有界域中对于复$n-m(0\le m<n)$维解析簇上微分形式的相应的积分表示式.其次, 我们得到在Stein流形的一般有界域中对于复$n-m(0\le m<n)$维解析簇上微分形式的统一的积分表示式.特别, 当$m=0$时本文所得公式正是Koppelman-Leray公式在Stein流形中的拓广.

我们还注意到:(a)对于Ⅱ -型有界域微分形式的积分表示至今还很少研究, 更谈不上研究两型有界域的统一积分表示式^[2-3]. (b)我们可进一步获得积分算子的一些估计式^[7-8] (为节省篇幅, 本文不予处理, 我们将另文给予讨论). (c)在Stein流形的解析簇上如何建立微分形式的积分公式至今仍缺少研究.其困难在于我们需证明本文的引理2.3, 本文填补了这个空缺.

${C ^{\infty }}$映射$\sigma :T(X)\to T^*(X)$在$T(X)$的每一纤维中, 确定一个范数

选择$\{{X_{j}}\}$是从属于$\{{{U}_{j}}\}$的单位分解.对于$z\in {{U}_{j}}\subset X$, $s(z, \varsigma )\in {{T}_{z}}(x)$和${{\sigma }_{j}}s(z, \varsigma )\in T_{z}^{*}(X)$, 定义$\sigma s(z, \varsigma )=\sum\limits_{j}{{{X}_{j}}(z){{\sigma }_{j}}s(z, \varsigma )}$, 且记$\bar{s}(z, \varsigma )=\sigma s(z, \varsigma )$($\bar{s}(z, \varsigma )$用于替代${C ^{n}}$中的$\bar{\varsigma }-\bar{z}$).选择全纯截面${{s}_{1}}, {{s}_{2}}, \cdots, {{s}_{n}}\in {{T}_{z}}(X)$和${C ^{1}}$截面$s_{b, 1, \nu }^{*}, s_{b, 2, \nu }^{*}, \cdots, s_{b, n, \nu }^{*}\in T_{z}^{*}(X)$, $b=1, 2, \cdots, \beta$, $\nu =1, 2, \cdots, \alpha -l+1(1\le l\le \alpha \le k)$.

令${{J}_{\alpha }}=\{{{j}_{1}}, \cdots, {{j}_{\alpha }}\}$是$\{1, 2, \cdots, K\}$的有序子集, ${{j}_{1}}<\cdots <{{j}_{\alpha }}$.我们置

为了简单起见, 我们用$({{\mu }_{1}}, {{\mu }_{2}}, \cdots, {{\mu }_{\alpha -k+1}})$替代$({{\mu }_{{{j}_{1}}}}, \cdots, {{\mu }_{{{j}_{\alpha -k+1}}}})$, ${{\Lambda }^{(\beta -1)}}$表示$\beta$维实空间${{\Bbb R}^{\beta }}$的$\beta-1$维链, ${{\Lambda }^{(0)}}=1$.

令$T={{({{T}_{1}}, {{T}_{2}}, \cdots, {{T}_{n}})}^{\tau }}$和${{T}_{p}}={{T}_{p}}(\zeta, z, \lambda, \mu )=\sum\limits_{\nu =1}^{\alpha -l+1}{{{\mu }_{\nu }}}T_{p}^{(\nu )}, T_{p}^{(\nu )}=t_{\beta, \nu }^{p}/{{M}_{\beta, \nu }}$, 其中$t_{\beta, \nu }^{p}=\sum\limits_{b=1}^{\beta }{{{\lambda }_{b}}}s_{b, p, \nu }^{*}(z, \varsigma )$, ${{M}_{\beta, \nu }}=\sum\limits_{p=1}^{n}{{{s}_{p}}(z, \varsigma )}t_{\beta, \nu }^{p}$.特别地,

当$l=k$时, $T=Q={{({{Q}_{1}}, \cdots, {{Q}_{n}})}^{\tau }}$, ${{Q}_{p}}={{Q}_{p}}(\varsigma, z, \lambda )=t_{\beta, 1}^{p}/{{M}_{\beta, 1}}, t_{\beta, 1}^{p}=\sum\limits_{b=1}^{\beta }{{{\lambda }_{b}}}s_{b, p, 1}^{*}(z, \varsigma )$, ${{M}_{\beta, 1}}=\sum\limits_{p=1}^{n}{{{s}_{p}}}(z, \varsigma )t_{\beta, 1}^{p}$;

当$\beta =1$时, $T={{\tilde{Q}}^{0}}={{({{\tilde{Q}}^{0}}_{1}, \cdots, {{\tilde{Q}}^{0}}_{n})}^{\tau }}$和${{\tilde{Q}}^{0}}_{p}={{\tilde{Q}}^{0}}_{p}(\zeta, z, \mu )=\sum\limits_{\nu =1}^{\alpha -l+1}{{{\mu }_{\nu }}}\tilde{Q}_{p}^{0(\nu )}, \tilde{Q}_{p}^{0(\nu )}=t_{1, \nu }^{p}/{{M}_{1, \nu }}$, 其中$t_{1, \nu }^{p}=s_{1, p, \nu }^{*}(z, \varsigma ),$${{M}_{1, \nu }}=\sum\limits_{p=1}^{n}{{{s}_{p}}}(z, \varsigma )s_{1, p, \nu }^{*}(z, \varsigma )$;

当$\beta =\mbox{1}$和$l=k$时, $T={{Q}^{0}}$$={{({{Q}^{0}}_{1}, \cdots, {{Q}^{0}}_{n})}^{\tau }}$和$Q_{p}^{0}=t_{1, 1}^{p}/{{M}_{1, 1}}$, 其中$t_{1, 1}^{p}=s_{1, p, 1}^{*}(z, \zeta )$, ${{M}_{1, 1}}=\sum\limits_{p=1}^{n}{{{s}_{p}}(z, \varsigma )s_{1, p, 1}^{*}}(z, \varsigma )$.这里以及本文剩余部分, $\tau$均表示矩阵转置.

若对于$\varsigma \in \partial D, z\in D$$, \lambda \in {{\Lambda }^{(\beta -1)}}$, ${{M}_{\beta, \nu }}(\varsigma, z, \lambda )\ne 0$和$\varphi (z, \varsigma )$在$D\times \partial D\subseteq D\times X$的邻域中是全纯函数, 函数${{\varphi }^{{{\kappa }^{*}}}}(z, \varsigma )/{{M}_{\beta, \nu }}$是${C ^{1}}$的, 其中${{\kappa }^{*}}$是一适当的非负整数, 则记${{M}_{\beta, \nu }}\in B$.

若全纯函数${{F}_{j}}(\varsigma, z)$可表示成

且对任何固定的$z\in D$, 在$\varsigma \in \sigma _j\subset \partial D=\bigcup\limits_{j=1}^K\sigma _j$处, $\varphi (z, \varsigma ){{F}_{j}}(\varsigma, z)\ne 0$, 则记${{F}_{j}}(\varsigma, z)\in A$.本文我们总假设${{M}_{\beta, 1}}\in B$, ${{F}_{j}}(\varsigma, z)\in A$.

我们记${{h}_{{{j}_{\nu }}}}={{({{h}_{{{j}_{\nu }}1}}, \cdots, {{h}_{{{j}_{\nu }}n}})}^{\tau }}$, 其中${{h}_{{{j}_{\nu }}p}}=\alpha _{p}^{*{{j}_{\nu }}}(z, \varsigma )/\varphi (z, \varsigma ){{F}_{{{j}_{\nu }}}}(\zeta, z)$.令

我们假设在Stein流形$X$中的有界域$D$的边界$\partial D$(这里以及本文剩余部分总假设$\partial D$是逐块光滑的)构成缝空间的链, 且可表示成

其中${{\bar{\sigma }}^{(\theta )}}$是${{\sigma }^{(\theta )}}$的闭包$(\theta =1, 2, \cdots, \beta )$, 则Stein流形中的有界域将分成如下两类型：

(Ⅰ) ${{\sigma }^{(\theta )}}$的维数恰比${{\sigma }^{(\theta \mbox{+}1)}}$增加一维.这种有界域称为Ⅰ -型的.例如解析多面体$D$的边界构成缝空间的链, 且$\partial D$可表示成$\bar{D}\supset \partial D\equiv {{\bar{\sigma }}^{(1)}}\supset \cdots \supset {{\bar{\sigma }}^{(\theta )}}\supset {{\bar{\sigma }}^{(\theta +1)}}\supset$$\cdots \supset {{\bar{\sigma }}^{(\beta )}}$, 其中${{\sigma }^{(\theta )}}$和${{\sigma }^{(\theta +1)}}$分别是解析多面体$D$的实$2n-\theta$维和实$2n-\theta -1$维的棱边.

(Ⅱ) ${{\sigma }^{(\theta )}}$的维数至少比${{\sigma }^{(\theta \mbox{+}1)}}$增加一维.这种有界域称为Ⅱ -型的.例如典型域R的边界构成缝空间的链, 且缝空间的维数至少比其缝增加一维.

但它们可写为统一的形式:

其中${{\bar{\sigma }}^{(\theta )}}$是${{\sigma }^{(\theta )}}$的闭包$(\theta =1, 2, \cdots, \beta )$, 且${{\sigma }^{(\theta )}}$的维数至少比${{\sigma }^{(\theta +1)}}$增加一维, 且${{\sigma }^{(\beta )}}$是$2n-\beta$维边缘链, 即存在$2n-\beta +1$维链${{B}_{0}}$, 使得$\partial {{B}_{0}}={{\varepsilon }_{0}}{{\sigma }^{(\beta )}}$, 其中${{\varepsilon }_{0}}$的值是由${{\sigma }^{(\beta )}}$的定向确定, 且通常我们可选择:当$\beta =1$时, ${{\varepsilon }_{0}}=1$; 当$\beta >1$时, ${{\varepsilon }_{0}}={{(-1)}^{n+1}}$; 而$\bar{\sigma }_{(l)}^{(\beta -1)}$是$\sigma _{(l)}^{(\beta -1)}$的闭包$(l=1, 2, \cdots, k)$, 且${{\sigma }^{(\theta )}}$的维数恰比${{\sigma }^{(\theta \mbox{+}1)}}$增加一维.置

若${{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}}$是在$\bar{D}$的邻域${{U}_{{\bar{D}}}}$中的全纯函数, 则置

我们假设$Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})$横截相交于$\partial D$.置$\tilde{D}=Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})\bigcap D$, 考虑

其中${{\tilde{\sigma }}^{(\theta )}}=Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}}) \bigcap {{\sigma }^{(\theta )}}$$(\theta =1, 2, \cdots, \beta )$和$\tilde{\sigma }_{(l)}^{\beta -1}=Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})\bigcap \sigma _{(l)}^{(\beta -1)}$$(l=1, 2, \cdots, k)$.置$\tilde{\sigma }_{(l)}^{(\beta -1)}=\sum\limits_{1\le {{j}_{1}}<\cdots <{{j}_{l}}\le K}{\tilde{\sigma }_{{{j}_{1}}\cdots {{j}_{l}}}^{(\beta -1)}}=\sum\limits_{{{J}_{l}}}{\tilde{\sigma }_{{{J}_{l}}}^{(\beta -1)}}$.

由(B), 我们有

和全纯映射${{\beta }^{*(j)}}(z, \varsigma ):{{V}_{j}}\to {{T}^{*}}(X)$, 其中$j=1, 2, \cdots, m$, 或

我们记${{H}_{jr}}(z, \varsigma )=\frac{\beta _{r}^{*(j)}(z, \varsigma )}{\varphi (z, \varsigma )}$.

令${{\Psi }_{j}}=({{H}_{1}}, \cdots, {{H}_{j}})$, 这里${{H}_{j}}={{({{H}_{j1}}, \cdots, {{H}_{jn}})}^{\tau }}$, $j=1, \cdots, m$.

因为在$Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})$和${{\Delta }_{{{J}_{\alpha -l+1}}}}$上,

其中${{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}\lambda \mu }}={{\partial }_{{\bar{\varsigma }}}}\mbox{+}{{\partial }_{{\bar{z}}}}\mbox{+}{{\mbox{d}}_{\lambda }}+{{d}_{\mu }}$, 我们有

其中$\upsilon$取成适当大.特别地,

且当$l=1$时, 我们有

令

其中

$B_{0}^{\Phi }(s(z, \varsigma ))=n!\omega (s(z, \varsigma ))$, 这里$\omega (s(z, \varsigma ))={\rm d}{{s}_{1}}\wedge \cdots \wedge {\rm d}{{s}_{n}}$.

经计算得(参见文献[4-5])

其中$\tilde{e}={{(-1)}^{(j-1)(n-j+1)}}{{(-1)}^{j(j-1)/2}}$.且当$j>1$, 使用(2.14)式我们得

当$j=1$时, 我们有

本文总假设$Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{j}})$横截$\partial D$和$\left| \nabla _{j}^{\Phi }(s(z, \varsigma )) \right|\ne 0$, 其中$1\le j\le m$.

引理 2.1^[3-4]  令${{D}_{j}}=Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{j}})\bigcap D, {{D}_{0}}=D, {{D}_{m}}=\tilde{D}$和${{M}_{1, 1}}\in B.$若$z\in \tilde{D}$, 则

其中${{c}_{m}}={{(-1)}^{m(n+1)}}{{(-1)}^{m(m\mbox{+}1)/2}}/(n-m)!{{(2\pi {\rm i})}^{n-m}}$.

因为

其中$\delta = {{(-1)}^{m(n-m)}}{{(-1)}^{m(m+1)/2}}/(n-m)!{{(2\pi {\rm i})}^{n-m}}$, 我们有

令

则

由引理2.1我们可得:

引理 2.2  对于$\tilde{D}$中的任何固定点$z$, 令${{\tilde{U}}_{r}}=\{(z, \varsigma )\in {{U}_{\Delta }}\times {{U}_{\Delta }}:\left\| s(z, \varsigma ) \right\|<r\}$是足够小, 其中${{U}_{\Delta }}\subseteq X\times X$是$\Delta =\{(z, z):z\in \tilde{D}\subset X\}$的邻域, 则有

证  设$\vartheta (\varsigma )$和$\theta (\varsigma )$分别是$\bar{s}(z, \varsigma )$和$s(z, \varsigma )$关于全纯图册$({{U}_{{{j}_{0}}}}, {{\pi }_{{{j}_{0}}}})$的表示, 和$z\in {{U}_{{{j}_{0}}}}$.

令

则通过计算我们得

其中当$z\in {{U}_{{{j}_{0}}}}$时, ${{\tilde{U}}_{r}}$被写成${{U}_{r}}$.

由上所述和Bochner-Martinelli公式得

且由(2.22)和(2.23)式我们有

引理2.2得证.

下面我们要证明下述的引理2.3.

若$\{({{U}_{j}}, {{\pi }_{j}})\}$是$X$的全纯图册, 且$\tilde{D}\subset D\subset \subset X$, 则由(A)(b)我们可找到$\alpha =\{(z, z):z\in \tilde{D}\}$的邻域${{U}_{\alpha }}\subseteq \tilde{D}\times \tilde{D}$, 使得映射$s(z, \varsigma )$对于每一固定的$z\in \tilde{D}$, 和$(z, \varsigma )\in {{U}_{\alpha }}$是双全纯的.我们考虑开集${{U}_{\varepsilon }}=\{(z, \varsigma )\in {{U}_{\alpha }}\times {{U}_{\alpha }}:\left\| s(z, \varsigma ) \right\|<\varepsilon \}$.

令$\theta (z, \varsigma )$和$\vartheta (z, \varsigma )$分别是$s(z, \varsigma )$和$\bar{s}(z, \varsigma )$关于$({{U}_{j}}, {{\pi }_{j}})$的表示.由(A)(b), 我们可找到这样的${{\varepsilon }_{0}}$, 使得:(a)映射$T$把$({{U}_{j}}\times {{U}_{j}})\bigcap {{U}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$双全纯映为某开集${{V}_{{{\varepsilon }_{0}}}}\subseteq {C ^{n}}\times {C ^{n}}$. (b) $N:{{Y}_{{{\varepsilon }_{0}}}}\to {{U}_{j}}$是由$N({{\pi }_{j}}(z), \theta (z, \varsigma ))=N(\eta, \xi )=\varsigma$定义的全纯映射.我们可定义$T$的逆映射${{T}^{-1}}:{{V}_{{{\varepsilon }_{0}}}}\to ({{U}_{j}}\times {{U}_{j}})\bigcap {{U}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$, 和对于所有$(\eta, \xi )\in {{Y}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$我们有${{T}^{-1}}(\eta, \xi )=(z, \varsigma )=(\pi _{j}^{-1}(\eta ), N(\eta, \xi ))$和$\theta ({{T}^{-1}}(\eta, \xi ))=\theta (z, \varsigma )=\xi$, 以及对于所有$\eta \in {{\pi }_{j}}({{U}_{j}})$, 我们有${{T}^{-1}}(\eta, 0)=(\pi _{j}^{-1}(\eta ), \pi _{j}^{-1}(\eta ))$, 和当$\eta \in {{\pi }_{j}}({{U}_{j}})$, 则$\vartheta ({{T}^{-1}}(\eta, 0))=0$.

对于$0<\varepsilon \le {{\varepsilon }_{0}}$, 置${{\tilde{S}}_{\varepsilon }}=T(({{\tilde{U}}_{j}}\times {{U}_{j}})\bigcap \partial {{U}_{\varepsilon }})$, 其中${{\tilde{U}}_{j}}\subset \subset {{U}_{j}}$.我们可找到${{\varepsilon }_{1}}:0<{{\varepsilon }_{1}}\le {{\varepsilon }_{0}}$, 使得对于$0<\varepsilon \le {{\varepsilon }_{1}}$, ${{\tilde{S}}_{\varepsilon }}\subset \subset {{Y}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$, 且存在$c<\infty$, 使得$\left| \theta (z, \varsigma ) \right|\le c\left\| s(z, \varsigma ) \right\|\le c\varepsilon$, 其中$(z, \varsigma )\in ({{\tilde{U}}_{j}}\times {{U}_{j}})\bigcap \partial {{U}_{\varepsilon }}$, 即对于$0<\varepsilon \le {{\varepsilon }_{1}}$, $\left| \xi \right|\le c\varepsilon$和$(\eta, \xi )\in {{\tilde{S}}_{\varepsilon }}$.

因为$\vartheta \circ {{T}^{-1}}$在${{Y}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$上是${C ^{\infty }}$的, 由上所述存在$c<\infty$, 使得对于所有$0<\varepsilon \le {{\varepsilon }_{1}}$和$(\eta, \xi )\in {{\tilde{S}}_{\varepsilon }}$, 我们有^[1]

令$(\pi _{j}^{-1})^*G$和${{N}^{*}}G$分别是由$\pi _{j}^{-1}$和$N$确定的$G$的拉回, 则

对于$(\eta, \xi )\in {{Y}_{{{\varepsilon }_{0}}}}$, 我们定义

对于$0<\varepsilon \le {{\varepsilon }_{1}}$和$(\eta, \xi )\in {{\tilde{S}}_{\varepsilon }}$, 存在$c<\infty$使得

因此

令$v(z)$是具有紧支集在$\tilde{D}$中的${C ^{\infty }}$微分形式, $\{{{\chi }_{j}}\}$是从属于$\{{{U}_{j}}\}$的${{ C}^{\infty }}$单位分解, 且书${{v}_{j}}={{\chi }_{j}}v$和选择开集${{\tilde{U}}_{j}}\subset \subset {{U}_{j}}$.

令$({{T}^{-1}})^*$是${{T}^{-1}}$的拉回, 则

由(2.25)和(2.30)式得

由于阶数的缘由, 我们有

由(2.29)式和引理2.2我们有

从上面的论述, 我们已得如下引理2.3:

引理 2.3  对于在$\tilde{D}$中的任何固定的$z$, 则

其中$G(z)=\sum\limits_{\left| K \right|}{{{G}_{K}}}(z){\rm d}{{\bar{z}}_{K}}$是$(0, q) (q >0)$微分形式.

定理 3.1  若$D$是在Stein流形$X$中具有逐块光滑边界的有界域, 则对于在$\bar{D}$上的$(0, q)(q>0)$微分形式$G(z)$和$z\in \tilde{D}$, 在Stein流形$X$的复$n-m(0\le m<n)$维的解析簇中我们有拓广的Koppelman-Leray型公式

其中

这里$\Gamma (\varsigma )$为$\bar{\partial }G(\varsigma )$或$G(\varsigma )$, $\eta ={{({{\eta }_{1}}, \cdots, {{\eta }_{n}})}^{\tau }}$和${{\eta }_{p}}=e\frac{\bar{s}(z, \varsigma )}{\left\| s(z, \varsigma ) \right\|_{\sigma }^{2}}+(1-e)Q_{p}^{0}, \ e\in [0, 1],$$p=1, \cdots, n.$

当$q=0$时, $G(z)$改写为可微函数$u(z)$, (3.1)式被写为拓广的Leray-Stokes型公式

证  因为在$Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})$上,

因此我们有

其中${\rm d}={{\partial }_{\varsigma }}+{{\partial }_{{\bar{\varsigma }}}}+{{d}_{e}}, {{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}e}}={{\partial }_{{\bar{\varsigma }}}}+{{\partial }_{{\bar{z}}}}+{{d}_{e}}, \varsigma \in \partial \tilde{D}$.

我们考虑积分域$\{e=1, \varsigma \in \tilde{D}-{{\tilde{S}}_{r}}\}\bigcup \{(\varsigma, e)\in \partial \tilde{D}\times [0, 1]\}$, 其边界是$\{e=0, \varsigma \in \partial \tilde{D}\}\bigcup \{e=1, \varsigma \in \partial {{\tilde{S}}_{r}}\}$.由Stokes公式我们有

令$r\to 0$, 且在(3.3)式的两边取极限, 则由引理2.3我们得(3.1)式.

定理 3.2  若Stein流形$X$中有界域$D$的边界$\partial D$由(2.3)式定义, $\partial \tilde{D}$由(2.4)式定义(其中$\beta =1$), 则在$\bar{D}$上的$(0, q) (q >0)$微分形式$G(z)$和$z\in \tilde{D}$, 我们有Ⅰ -型有界域上复$n-m(0\le m<n)$维的解析簇的积分表示:

(a) 当$k>1$时, 我们有

(b) 当$k=1$时, 我们有

其中${{\tilde{L}}_{m}}(\varsigma, z)=-({{R}_{\partial \tilde{D}}}+{{B}_{{\tilde{D}}}})\bar{\partial }G +\bar{\partial }({{R}_{\partial \tilde{D}}}+{{B}_{{\tilde{D}}}})G$.

证  因为

则由上述和Stokes公式, 我们有

和

由(2.9)和(3.6)式我们得

反复使用(3.7)式, 我们得

由(2.11)式我们有

因此, 由(3.8), (3.9)和(3.1)式得(3.4)和(3.5)式.

定理 3.3  若Stein流形$X$中有界域$D$的边界$\partial D$由(2.3)式定义, $\partial \tilde{D}$由(2.4)式定义(其中$k=1$), 令${{\tau }_{m}}={{B}_{0}}\bigcap Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})$, $\partial {{\tau }_{m}}={{\varepsilon }_{0}}{{\tilde{\sigma }}^{(\beta )}}$和$\tilde{C}=\partial ({{\Lambda }^{(\beta -1)}}\times {{\tau }_{m}})$.假设$\tilde{\Omega }$是具有以$\tilde{C}$和$\partial \tilde{D}$作为边缘的一个链, 则在$\bar{D}$上的$(0, q) (q >0)$微分形式$G(z)$和$z\in \tilde{D}$, 我们有Ⅱ -型有界域上复$n-m(0\le m<n)$维的解析簇的积分表示:

其中$\varepsilon ={{(-1)}^{\beta -1}}{{\varepsilon }_{0}},$${{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}\lambda }}\mbox{=}{{\partial }_{{\bar{\varsigma }}}}\mbox{+}{{\partial }_{{\bar{z}}}}\mbox{+}{{\mbox{d}}_{\lambda }}$, $Q={{({{Q}_{1}}, \cdots, {{Q}_{n}})}^{\tau }}$和${{Q}_{p}}=t_{\beta, 1}^{p}/{{M}_{\beta, 1}}(p=1, \cdots, n)$, 且如下条件成立

证  令$\tilde{C}=\partial ({{\Lambda }^{(\beta -1)}}\times {{\tau }_{m}})$, 则$\tilde{C}=\partial {{\Lambda }^{(\beta -1)}}\times {{\tau }_{m}}+\varepsilon {{\Lambda }^{(\beta -1)}}\times {{\tilde{\sigma }}^{(\beta )}}$是实$2n-2m-1$维循环, 使用条件(3.11), 且经计算得

因此我们有

另一方面, 因为

和

在$Z({{\Phi }_{1}}, \cdots, {{\Phi }_{m}})$上有

因$\tilde{C}$和$\partial \tilde{D}=\partial {{D}_{m}}$都是${{\Bbb R}^{\beta }}\times {C ^{n-m}}$上实$2n-2m-1$维循环, 因此由(3.13)式和Stokes公式得

从(3.13)和(3.14)式我们推得

由(3.15)和(3.1)式我们可得(3.10)式.

定理 3.4  若Stein流形$X$中有界域$D$的边界$\partial D$由(2.3)式定义, $\partial \tilde{D}$由(2.4)式定义, 则在$\bar{D}$上的$(0, q) (q >0)$微分形式$G(z)$和$z\in \tilde{D}$, 我们有Ⅰ -型有界域上复$n-m(0\le m<n)$维的解析簇的积分表示:

(a) 当$k>1$时, 我们有

(b) 当$k=1$时, 我们有

其中${{\varepsilon }_{l}}={{(-1)}^{(l-1)(q+\beta -1)}}\ (l=1, 2, \cdots, k;k>1)$, $Q={{({{Q}_{1}}, \cdots, {{Q}_{n}})}^{\tau }}$, 以及${{Q}_{p}}=t_{\beta, 1}^{p}/{{M}_{\beta, 1}}$$(p=1, \cdots, n)$, 且满足如下条件:

以及

证  因为

和

其中${\rm d}={{\partial }_{\zeta }}+{{\partial }_{{\bar{\zeta }}}}+{{\rm d}_{\lambda }}$, ${{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}\lambda }}={{\partial }_{{\bar{\varsigma }}}} +{{\partial }_{{\bar{z}}}}+{{\rm d}_{\lambda }}={{\partial }_{\bar{\varsigma }\lambda }}+{{\partial }_{{\bar{z}}}}$.则由(3.20)式, (3.21)式和Stokes公式我们有

和

使用条件(3.18), 且经计算我们可得

于是由(3.22), (3.23)和(2.8)式得

其中$l=1, 2, \cdots, k-1$.

反复使用(3.24)式得

由(2.10)式我们有

从(3.25), (3.26)和(3.10)式得(3.16)和(3.17)式.

注 3.1  当$\beta =1$时, 我们有$Q={{Q}^{0}},$${{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}\lambda }}Q={{\partial }_{\bar{\varsigma }\bar{z}}}{{Q}^{0}}, {{\tilde{\sigma }}^{(1)}}=\tilde{\sigma }_{(1)}^{(0)}=\partial \tilde{D}$, 且由(3.15)式得

这意味着

和${{{L}'}_{m}}(\varsigma, z)=$${{\tilde{L}}_{m}}(\varsigma, z)$.因此(3.16)和(3.17)式分别转化为(3.4)和(3.5)式.

注 3.2  当$k=1$时, 我们有$\tilde{\sigma }_{(1)}^{(\beta -1)}={{\tilde{\sigma }}^{(\beta )}}$, 且(3.17)式转化为(3.10)式.由注3.1和注3.2断言(3.16)和(3.17)式是(3.1), (3.4), (3.5)和(3.10)式的统一的积分表示式.

注 3.3  当$m=0$时, 则$B_{m}^{\Phi }(s(z, \zeta ))$$=B_{0}^{\Phi }(s(z, \zeta ))=n!\omega (s(z, \zeta ))$, ${{c}_{0}}=1/n!{{(2\pi {\rm i})}^{n}}$, $\tilde{\sigma }_{\alpha }^{\beta -1}\mbox{=}\sigma _{\alpha }^{\beta -1}$, $\tilde{\Omega }=\Omega$和$\partial \tilde{D}=\partial D$, 它是由(2.3)式定义, 且(3.18)式可写为

因此(3.16)和(3.17)式转化为如下的Koppelman-Leray公式的推广:

对于$k>1$,

对于$k=1,$

其中

其中

这里$\Gamma (\varsigma )$为$\bar{\partial }G(\varsigma )$或$G(\varsigma )$.

特别, 当$\beta =1$时, 则我们有如下Ⅰ -型有界域的微分形式的积分表示:

对于$k>1,$

对于$k=1,$

当$q=0$ (即可微函数)的情形, 我们还有相应于(3.32)和(3.33)式的公式.例如, 我们假设解析多面体是由${{Z}_{j}}(z)$$(j=1, 2, \cdots, K\ge n)$定义, $\partial D$表示为$\sum\limits_{j}{{{\sigma }_{j}}}$.在(3.32)式的相应公式中, 我们选择$k=n$和在$\varsigma \in {{\sigma }_{j}}, z\in D$处

令${{h}_{{{j}_{\nu}p}}}=\frac{\alpha _{p}^{*(j_\nu)}(z, \varsigma )}{\varphi (z, \varsigma )[{{Z}_{j_\nu}}(\varsigma )-{{Z}_{j_\nu}}(z)]}, p, \nu=1, 2, \cdots, n$, 则由(3.32)式的相应公式得

注 3.4  当$X={C ^{n}}$时, 我们可得${C ^{n}}$中相应于本文的积分公式(参见文献[2-3]).

从(2.7), (3.10), (3.16)和(3.17)式, 由计算可得如下定理.

定理 3.5  若Stein流形$X$中有界域$D$的边界$\partial D$由(2.3)式定义, $\partial \tilde{D}$由(2.4)式定义, 则对于$\bar{D}$上的$(0, q) (q >0)$微分形式$G(z)$和$z\in \tilde{D}$, 我们有如下公式:

其中$T={{({{T}_{1}}, \cdots, {{T}_{n}})}^{\tau }}$, 这里$T_{p}^{(\nu )}=t_{\beta, \nu }^{p}/{{M}_{\beta, \nu }}(p=1, \cdots, n)$, 以及如下条件被满足

注 3.5  对于$q=0$ (即可微函数)的情形, 使用上述同样的方法, 我们也可得类似于(3.4), (3.5), (3.10), (3.16), (3.17)式.所以对于$q=0$和$m=0$, 我们也可得相应得积分公式.