在复数域内, 由于复线性微分方程与具有最大亏量和的亚纯函数和具有有限个分支点的覆盖曲面等方面关系紧密, 复线性微分方程已经成为函数论中重要研究对象.关于复线性微分方程的相关理论可参见文献[1-2].

设${\mathbb D}$为复平面上的单位圆盘, $H({\mathbb D})$为${\mathbb D}$内解析函数的全体, ${\mathbb D}$内任意阶齐次复线性微分方程具有如下一般形式

其中$A_j(z)\in H({\mathbb D})$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$.

1982年, Pommerenke在文献[3]中获得了$k = 2$时方程(1.1)的解属于Nevanlinna类和Hardy空间$H^2$的充分条件.在文献[3]的基础上, Heittokangas在文献[4]中研究了单位圆盘内任意阶线性微分方程, 证明了系数函数是$H$-函数是解为有限级的解析函数的充分必要条件, 并获得了方程$f^{(k)}+A_0(z)f = 0$的解属于Nevanlinna类, 加权Hardy空间$H^p_q$, $\alpha$-Bloch空间, $F(p, q, s)$空间的条件.李叶舟^[5], 曹廷彬和仪洪勋^[6]先后利用Nevanlinna值分布理论研究了复线性微分方程的解增长性与系数函数增长性之间的关系.后来Heittokangas, Korhonen和Rättyä在文献[7-10]中研究了方程(1.1)的解属于Hardy空间、增长空间、Dirichlet型空间、Nevanlinna类的条件.

2004年, Heittokangas等在文献[7]中获得了方程(1.1)解的下列增长估计.

定理A^[7]  设$f(z)$是方程(1.1)的解, 则存在正常数$C_1 = C_1(k)$, $C_2 = C_2(k)$, 使得

其中常数$C_1$与$f(z)$在$z = 0$处的值有关.

2011年, 李浩和乌兰哈斯在文献[11]中获得了方程(1.1)的解属于$Q_K$空间, Dirichlet空间的条件. 2013年, 李浩和李颂孝在文献[12]中进而给出了方程(1.1)解属于$Q_K$型空间和Dirichlet型空间的条件, 其中有关方程(1.1)解属于$Q_K$型空间的结果如下:

定理B^[12]  设$1<p<\infty$, $0<q <\infty$, $0<\gamma<1$, 且$K$满足

其中$\varphi_K(s) = \sup\limits_{0\leq t\leq 1}\frac{K(st)}{K(t)}$, $0<s<\infty$.如果存在常数$\alpha_1 = \alpha_1(k, \gamma, p, q, K)>0$, 使得方程(1.1)的系数函数满足$\|A_j\|_{H^\infty_{k-j-1}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j-1}<\alpha_1.$那么

(ⅰ)当$p>q+2$时, $f(z)\in Q_K(p, q)$;

(ⅱ)当$p\leq q+2$时, $f(z)\in Q_K(p, q)\cap H^\infty$.

考虑到定理A中的常数$C_2$对方程(1.1)解的增长性很重要, 本文继续讨论方程(1.1)解的增长性, 获得了更具体的估计, 并由此得到方程(1.1)的解属于加权Hardy空间的条件.考虑到当$K(t) = t^s$时, $Q_K(p, q) = F(p, q, s)$, 定理B中$\varphi_K$的条件表明其结论只针对满足$0<s<1$的$F(p, q, s)$空间.本文在$F(p, q, s)$空间的所有参数范围内, 讨论方程(1.1)解属于$F(p, q, s)$空间的条件.本文还讨论了方程(1.1)的解属于面积Nevanlinna空间${\cal N}^p_\alpha$的条件.

首先介绍几个解析函数空间和解析函数类.

设$0<p\leq \infty$, $0\leq q<\infty$, 加权Hardy空间$H^p_q$是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

其中$M_p(r, f) = \Big(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|^p {\rm d}\theta \Big)^{\frac{1}{p}}$, $M_\infty(r, f) = \max\limits_{0\leq \theta\leq 2\pi}|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|$.当$q = 0$时, $H^p_q = H^p_0$就是经典的Hardy空间$H^p$.关于Hardy空间$H^p$的介绍, 参见文献[17].

设$-1<\alpha <\infty$, $0<p <\infty$, 加权Bergman空间$A^p_\alpha$是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

其中${\rm d}\sigma(z)$为${\mathbb D}$上的面积Lebesgue测度.当$q = 0$时, $A^p_q = A^p_0$就是经典的Bergman空间$A^p$.有关Bergman空间$A^p$的介绍, 参见文献[18].

设$0<p, s<\infty$, $-2<q<\infty$, $F(p, q, s)$空间是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

其中$g(z, a) = \log\frac{1}{|\varphi_a(z)|}$, $\varphi_a(z) = \frac{a-z}{1-\overline{a}z}$. $F(p, q, s)$空间是一般化的解析函数空间.当参数$p$, $q$和$s$满足一定条件时, $F(p, q, s)$空间可以变成很多经典解析函数空间, 包括Hardy空间, Bergman空间, $\alpha$-Bloch空间, $\alpha$-Besov空间, BMOA空间等.有关$F(p, q, s)$空间的介绍, 参见文献[19].

设$0<p<\infty$, $-2<q<\infty$, $Q_K(p, q)$空间是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

其中$K:[0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$为右连续且非递减的实函数.当$K(t) = t^s$时, $Q_K(p, q) = F(p, q, s)$.因此$Q_K(p, q)$空间是比$F(p, q, s)$空间更一般化的解析函数空间.有关$Q_K(p, q)$空间的介绍, 参见乌兰哈斯的文章[20].

设$\beta \in (0, \infty)$, $\varepsilon ^\beta$空间是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

其中$C$为正常数.有关$\varepsilon ^\beta$空间的介绍, 参见文献[21].

设$p\geq 1$, $\alpha>-1$, 面积Nevanlinna空间${\cal N}^p_\alpha$是由满足下列条件的${\mathbb D}$内解析函数$f(z)$构成的集合

在$F$ -范数$\|\cdot\|_{{\cal N}^p_\alpha}$之下, ${{\cal N}^p_\alpha}$是平移不变的完备度量空间(参见文献[22]). ${\cal N}^p_\alpha$空间和$\varepsilon ^\beta$空间满足下列关系.

命题2.1  设$p\geq 1$, $\alpha>-1$.若$0<\beta < \frac{\alpha+1}{p}$, 则$\varepsilon ^{\beta} \subset{\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p}$.

证  利用与文献[18]中引理3.2类似的讨论, 如果$f(z)\in{\cal N}^p_\alpha$, 由$\log (1+|f(z)|)$的次调和性, 存在正常数$C_1 = C_1(p, \alpha)$, 使得$\log (1+|f(z)|) \leq C_1 \frac{\|f\|_{{\cal N}^p_\alpha } }{ (1-|z|^2)^{(2+\alpha)/p}}$.这表明${\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p}$.

另一方面, 易见当$x\geq 0$时, $\log^+x\leq \log(1+x)\leq \log 2+\log^+x$, 其中$\log^+x = \max\{0, \log x\}$.若$f(z) \in\varepsilon ^\beta$且$0<\beta < \frac{\alpha+1}{p}$, 则存在常数$C_2$, 使得$|f(z)|\leq \exp \big(\frac{C }{(1-|z|^2)^\beta}\big)$, 从而

这又表明$\varepsilon ^{\beta} \subset {\cal N}^p_\alpha$.证毕.

为了下一节主要结果的证明, 下面给出几个重要引理.其中, 引理2.1可直接由文献[7]中的定理3.1的证明得到, 引理2.2是文献[14]中的定理3.2, 引理2.4是文献[23]中的引理4.2.2, 而引理2.3可由文献[15]中的引理2.3和文献[16]中的引理2.2直接得到.

引理2.1^[7]  方程(1.1)的解$f(z)$可表示为

其中$g_j$仅与$f^{(j)}(0)$和$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$有关.

引理2.2^[14]  设$f(z)\in H({\mathbb D})$, $0 < p <\infty$, $-2<q <\infty$, $0\leq s < \infty$, $q+s>-1$, $n\in N$.那么下列条件的等价的:

(ⅰ) $f(z)\in F(p, q, s)$;

(ⅱ) $\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D} |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q}(1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z) < \infty$;

(ⅲ) $\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D} |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q}g^s(z, a){\rm d}\sigma (z) < \infty$;

(ⅳ) ${\rm d}\mu(z) = |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q+s}{\rm d}\sigma(z)$是有界$s$-Carleson测度.

引理2.3  设$0 < p <\infty$, $-2<q <\infty$, $0\leq s < \infty$.若$f(z)\in F(p, q, s)$, 则存在常数$C = C(p, q, w)$, 使得

引理2.4^[23]  设$z\in {\mathbb D}$, $c$为实数, $t>-1$, $I_{c, t}(z) = \int_{\mathbb D} \frac{(1-|w|^2)^t}{|1-z\bar{w}|^{t+c+2}}{\rm d}A(w)$.那么

(1) 当$c<0$时, $I_{c, t}(z)$在${\mathbb D}$内有界;

(2) 当$c>0$时, $I_{c, t}(z)$在${\mathbb D}$内无界, 且当$|z|\rightarrow 1^-$时, $I_{c, t}(z)\sim \frac{1}{(1-|z|^2)^c}$;

(3) 当$c = 0$时, $I_{c, t}(z)$在${\mathbb D}$内无界, 且当$|z|\rightarrow 1^-$时, $I_{c, t}(z)\sim \log\frac{1}{(1-|z|^2)}$.

定理3.1  设$f(z)$是方程(1.1)的解, 则存在正常数$C$, 使得

其中$C$仅与$f^{(j)}(0)$和$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$有关.

证  设$f(z)$是方程(1.1)的解.由引理2.1, 有

其中$g_j$仅与$f^{(j)}(0)$和$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$有关.

令$z = r{\rm e}^{{\rm i}\theta}$, $\xi = t{\rm e}^{{\rm i}\theta}$, 则有

利用Gronwall引理(参见文献[2, 引理5.10]), 可得到

又因为, 对于$i = 1, 2, \cdots, j$, 有

那么$\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A_{j}^{(i)}(\xi)|{\rm d}t\leq c_{i, j}+\frac{(k-j+i-1)!}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t$, 其中$c_{i, j}$均为正常数, 只与$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$有关.因此有

其中正常数$C = \bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|\bigg)\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0} \sum\limits^j_{i = 0}\frac{c_{i, j}\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\bigg)$仅与$f^{(j)}(0)$和$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots,$$k-1)$有关.证毕.

定理3.2  设$f(z)$是方程(1.1)的解.如果其系数函数满足

其中$\alpha_j>0$和$\beta_j\ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$均为常数.令${ }\beta = \min\limits_{0\leq j\leq k-1}\beta_j$, $q = \sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^{j}\alpha_{j}}{(k-j-1)!}$.那么

(ⅰ)当$0<\beta \leq 1$时, $f(z)\in H^\infty$;

(ⅱ)当$\beta = 0$时, $f(z)\in H^\infty_{q}$;

(ⅲ)当$\beta <0$时, $f(z)\in \varepsilon^{-\beta }$.

证  由条件(3.1)可知$|A_j(z)|\leq\frac{\alpha_j}{(1-|z|^2)^{k-j-\beta_j}}$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$.由定理3.1, 有

其中$C_1$为正常数, 仅与$f^{(j)}(0)$和$A^{(j)}(0)$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$有关, 后面的$C_2$, $C_3$和$C_4$也是如此.

当$\beta<0$时, 由(3.2)式可得

从而有$f(z)\in \varepsilon^{-\beta }$.

当$\beta = 0$时, 由(3.2)式有

所以当$q = \sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^{j}\alpha_{j}}{(k-j-1)!}$时, 有$f(z)\in H_q^\infty$.

当$1\geq \beta>0$时, 由(3.2)式可知$|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{\beta_j(k-j-1)!}\bigg)$, 从而$f(z)\in H^\infty$.定理3.2证毕.

注3.1  定理3.2改进了2000年Heittokangas利用Wittich的方法获得的结果, 参见文献[4]中定理6.2.其中结论(ⅱ)建立了$q$与$\alpha_j$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$的函数关系, 由此可以获得方程(1.1)所有解属于$H^\infty_{q}$空间时系数函数的范数$\|A_j\|_{H^\infty_{k-j}}$的上界.

定理3.3  设$0 < p <\infty$, $-2 < q <\infty$, $0\leq s < \infty$, $q+s>-1$, $f(z)$是方程(1.1)的解.如果存在正常数$\alpha = \alpha(k, p, q, s)$, 使得

那么

(ⅰ)当$p<q+s+1$, $t = 0$时, $f(z)\in F(p, q, s)$;

(ⅱ)当$p\geq q+s+1$, $p> q+2$, $\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}<t<1$时, $f(z)\in F(p, q, s)$;

(ⅱ)当$p\geq q+s+1$, $p\leq q+2$, $\frac{1-s}{p}<t<1$时, $f(z)\in F(p, q, s)$.

证  令${\rm d}\mu_a(z) = (1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z)$, $f^{(j)}_\rho (z) = f^{(j)}(\rho z)$, $A_{\rho, j}(z) = A_j(\rho z)$$(j = 0, 1, \cdots, k)$, 其中$\frac{1}{2} \leq \rho < 1$.若$f(z)$是方程(1.1)的解, 则$f_\rho^{(k)}(z) = -A_{\rho, k-1}(z)f_\rho^{(k-1)}(z)-\cdots -A_{\rho, 1}(z)f_\rho'(z)-A_{\rho, 0}(z)f_\rho(z).$

由引理2.2, 可得

其中$C_1 = C_1(k, p, q, s)$和$C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)|$均为常数.

当$p<q+s+1$, $t = 0$时, 由(3.3), (3.4)和(3.5)式以及引理2.2, 可得

其中$C_3 = C_3(k, p, q, s)$为常数.这等价于$(1-C_1C_3\alpha^p)\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}\leq C_2.$选择足够小的$\alpha$, 并令$\rho\rightarrow1^-$, 可得$\|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty$, 从而结论(i)成立.

当$p\geq q+s+1$, $p>q+2$, $1>t>\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}$时.利用引理2.2和引理2.3, 由(3.3), (3.4)和(3.5)式, 可得

因为$p\geq q+s+1$, $q+2<p$, $1>t>\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}$, 因而$(t-1)p+q+s>-1$, $2s-2-((t-1)p+q+s) = s-2-q-tp+p<s$.由引理2.4, 易知

现令$C_7 = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)$, 则(3.6)式等价于

其中$C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)|$和$c_i = c_i(k, p, q, s)$$(i = 1, 4, 6, 7)$均为常数.由(3.7)式, 选择足够小的$\alpha$, 并令$\rho\rightarrow1^-$, 可得$\|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty$.这样就证明了结论(ⅱ).

下面假设$p\geq q+s+1$, 且$1>t>\frac{1-s}{p}$.

若$q+2>p$, 由(3.5)式可得

既然$p\geq q+s+1$, $q+2> p$, 则有$0\leq s<1$.因为$t>\frac{1-s}{p}$, 所以$(t-1)p+q+s>tp-2+s>-1$, 且$s-2-(t-1)p-q< s-tp<s$.考虑到$2s = 2+((t-1)p+q+s)+(s-2-(t-1)p-q)$和$2s = 2+(tp-2+s)+(s-tp)$, 由引理2.4可知

均为有界常数.因此不等式(3.8)等价于

若$q+2 = p\geq q+s+1$, 利用和$q+2>p$情形类似的讨论, 可得

由于$q+2 = p\geq q+s+1$和$t>\frac{1-s}{p}$, 则有$(t-1)p+q+s>-1$和$2s-2-((t-1)p+q+s)<s$.从而存在$s_0>-1$, 使得$(t-1)p+q+s>s_0$且$2s-2-s_0<s$, 因此有

再由引理2.4, 可得

令$C_{10} = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}(1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z).$则(3.10)式等价于

不等式(3.9)和(3.11)中, $C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)|$和$c_i = c_i(k, p, q, s)$$(i = 1, 4, 7, 8, 9, 10)$均为常数.利用(3.11)式, 选择足够小的$\alpha$, 并令$\rho\rightarrow1^-$, 可得$\|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty$.这样就证明了结论(ⅲ).证毕.

推论3.1  设$0 < p <\infty$, $-2< q<\infty$, $0\leq s < \infty$, $q+s>-1$, $f(z)$是方程(1.1)的解.如果存在正常数$\alpha = \alpha(k, p, q, s)> 0$, 使得

那么

(ⅰ)当$p<q+s+1$, $0<t<1$时, $f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty$;

(ⅱ)当$p\geq q+s+1$, $p> q+2$, $\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}<t<1$时, $f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty$;

(ⅲ)当$p\geq q+s+1$, $p\leq q+2$, $\frac{1-s}{p}<t<1$时, $f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty$.

证  由定理3.3可知三种情形下均有$f(z)\in F(p, q, s)$, 再由定理3.2可知三种情形下均有$f(z)\in H^\infty$.因此三种情形下均有$f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty$.证毕.

注3.2  当$K(t) = t^s$时, $Q_K(p, q) = F(p, q, s)$, 因此可以说该推论弱化了定理B中有关方程(1.1)的解属于$F(p, q, s)$空间的条件.

定理3.4  设$1 \leq p <\infty$, $\alpha >-1$.如果系数函数$A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha}$$(j = 0, \cdots, k-1)$, 那么方程(1.1)的所有解属于面积Nevanlinna空间${\cal N}^p_\alpha$.

证  设$f(z)$为方程(1.1)的解, 由定理3.1和文献[24]中的引理5, 可得

再利用文献[4]中引理4.6证明过程中类似的讨论, 可得

所以$f(z)\in{\cal N}^p_\alpha$.证毕.

注3.3  易知, 当$A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha}$时, $|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j+\frac{\alpha+2}{p}}$有界, 从而满足定理3.2中的条件(3.1), 此时$\beta_j = \beta = -\frac{\alpha+2}{p}$.然而定理3.2中的条件(3.1)是$A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha}$$(j = 0, 1, 2, \cdots, k-1)$的必要非充分条件.这表明定理3.4的条件强于定理3.2的结论(iii)的条件.这和命题2.1的包含关系${\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p}$是相容的.