在复数域内, 由于复线性微分方程与具有最大亏量和的亚纯函数和具有有限个分支点的覆盖曲面等方面关系紧密, 复线性微分方程已经成为函数论中重要研究对象.关于复线性微分方程的相关理论可参见文献[1-2].

设$ {\mathbb D} $为复平面上的单位圆盘, $ H({\mathbb D}) $为$ {\mathbb D} $内解析函数的全体, $ {\mathbb D} $内任意阶齐次复线性微分方程具有如下一般形式

(1.1) $ \begin{equation} f^{(k)}+A_{k-1}(z)f^{(k-1)}+\cdots +A_1(z)f'+A_0(z)f = 0, z\in {\mathbb D}, \end{equation} $

其中$ A_j(z)\in H({\mathbb D}) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $.

1982年, Pommerenke在文献[3]中获得了$ k = 2 $时方程(1.1)的解属于Nevanlinna类和Hardy空间$ H^2 $的充分条件.在文献[3]的基础上, Heittokangas在文献[4]中研究了单位圆盘内任意阶线性微分方程, 证明了系数函数是$ H $-函数是解为有限级的解析函数的充分必要条件, 并获得了方程$ f^{(k)}+A_0(z)f = 0 $的解属于Nevanlinna类, 加权Hardy空间$ H^p_q $, $ \alpha $-Bloch空间, $ F(p, q, s) $空间的条件.李叶舟^[5], 曹廷彬和仪洪勋^[6]先后利用Nevanlinna值分布理论研究了复线性微分方程的解增长性与系数函数增长性之间的关系.后来Heittokangas, Korhonen和Rättyä在文献[7-10]中研究了方程(1.1)的解属于Hardy空间、增长空间、Dirichlet型空间、Nevanlinna类的条件.

2004年, Heittokangas等在文献[7]中获得了方程(1.1)解的下列增长估计.

定理A^[7]  设$ f(z) $是方程(1.1)的解, 则存在正常数$ C_1 = C_1(k) $, $ C_2 = C_2(k) $, 使得

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq C_1\exp\bigg(C_2\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^{j}_{i = 0}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A^{(i)}_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg), \end{eqnarray} $

其中常数$ C_1 $与$ f(z) $在$ z = 0 $处的值有关.

2011年, 李浩和乌兰哈斯在文献[11]中获得了方程(1.1)的解属于$ Q_K $空间, Dirichlet空间的条件. 2013年, 李浩和李颂孝在文献[12]中进而给出了方程(1.1)解属于$ Q_K $型空间和Dirichlet型空间的条件, 其中有关方程(1.1)解属于$ Q_K $型空间的结果如下:

定理B^[12]  设$ 1<p<\infty $, $ 0<q <\infty $, $ 0<\gamma<1 $, 且$ K $满足

$ \begin{eqnarray} \int^\infty_1\frac{\varphi_K(s)}{s^{2-\gamma}}{\rm d}s<\infty, \end{eqnarray} $

其中$ \varphi_K(s) = \sup\limits_{0\leq t\leq 1}\frac{K(st)}{K(t)} $, $ 0<s<\infty $.如果存在常数$ \alpha_1 = \alpha_1(k, \gamma, p, q, K)>0 $, 使得方程(1.1)的系数函数满足$ \|A_j\|_{H^\infty_{k-j-1}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j-1}<\alpha_1. $那么

(ⅰ)当$ p>q+2 $时, $ f(z)\in Q_K(p, q) $;

(ⅱ)当$ p\leq q+2 $时, $ f(z)\in Q_K(p, q)\cap H^\infty $.

考虑到定理A中的常数$ C_2 $对方程(1.1)解的增长性很重要, 本文继续讨论方程(1.1)解的增长性, 获得了更具体的估计, 并由此得到方程(1.1)的解属于加权Hardy空间的条件.考虑到当$ K(t) = t^s $时, $ Q_K(p, q) = F(p, q, s) $, 定理B中$ \varphi_K $的条件表明其结论只针对满足$ 0<s<1 $的$ F(p, q, s) $空间.本文在$ F(p, q, s) $空间的所有参数范围内, 讨论方程(1.1)解属于$ F(p, q, s) $空间的条件.本文还讨论了方程(1.1)的解属于面积Nevanlinna空间$ {\cal N}^p_\alpha $的条件.

首先介绍几个解析函数空间和解析函数类.

设$ 0<p\leq \infty $, $ 0\leq q<\infty $, 加权Hardy空间$ H^p_q $是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ \sup\limits_{0\leq r<1}(1-r^2)^qM_p(r, f)<\infty, \nonumber $

其中$ M_p(r, f) = \Big(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|^p {\rm d}\theta \Big)^{\frac{1}{p}} $, $ M_\infty(r, f) = \max\limits_{0\leq \theta\leq 2\pi}|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})| $.当$ q = 0 $时, $ H^p_q = H^p_0 $就是经典的Hardy空间$ H^p $.关于Hardy空间$ H^p $的介绍, 参见文献[17].

设$ -1<\alpha <\infty $, $ 0<p <\infty $, 加权Bergman空间$ A^p_\alpha $是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ \bigg(\int_{\mathbb D}|f(z)|^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\bigg)^{\frac{1}{p}}<\infty, \nonumber $

其中$ {\rm d}\sigma(z) $为$ {\mathbb D} $上的面积Lebesgue测度.当$ q = 0 $时, $ A^p_q = A^p_0 $就是经典的Bergman空间$ A^p $.有关Bergman空间$ A^p $的介绍, 参见文献[18].

设$ 0<p, s<\infty $, $ -2<q<\infty $, $ F(p, q, s) $空间是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ \|f\|^p_{F(p, q, s)} = \sup\limits_{a \in {\mathbb D}}\int_{\mathbb D} |f'(z)|^p(1-|z|^2)^q g^s(z, a){\rm d}\sigma(z)<\infty, \nonumber $

其中$ g(z, a) = \log\frac{1}{|\varphi_a(z)|} $, $ \varphi_a(z) = \frac{a-z}{1-\overline{a}z} $. $ F(p, q, s) $空间是一般化的解析函数空间.当参数$ p $, $ q $和$ s $满足一定条件时, $ F(p, q, s) $空间可以变成很多经典解析函数空间, 包括Hardy空间, Bergman空间, $ \alpha $-Bloch空间, $ \alpha $-Besov空间, BMOA空间等.有关$ F(p, q, s) $空间的介绍, 参见文献[19].

设$ 0<p<\infty $, $ -2<q<\infty $, $ Q_K(p, q) $空间是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ \sup\limits_{a \in {\mathbb D}}\int_{\mathbb D}|f'(z)|^p(1-|z|^2)^q K(g(z, a)){\rm d}\sigma(z)<\infty, \nonumber $

其中$ K:[0, \infty)\rightarrow [0, \infty) $为右连续且非递减的实函数.当$ K(t) = t^s $时, $ Q_K(p, q) = F(p, q, s) $.因此$ Q_K(p, q) $空间是比$ F(p, q, s) $空间更一般化的解析函数空间.有关$ Q_K(p, q) $空间的介绍, 参见乌兰哈斯的文章[20].

设$ \beta \in (0, \infty) $, $ \varepsilon ^\beta $空间是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ |f(z)|\leq \exp \Big(\frac{C }{(1-|z|^2)^\beta}\Big), \nonumber $

其中$ C $为正常数.有关$ \varepsilon ^\beta $空间的介绍, 参见文献[21].

设$ p\geq 1 $, $ \alpha>-1 $, 面积Nevanlinna空间$ {\cal N}^p_\alpha $是由满足下列条件的$ {\mathbb D} $内解析函数$ f(z) $构成的集合

$ \|f\|_{{\cal N}^p_\alpha}^p = \int_{{\mathbb D}} \big[\log(1+|f(z)|)\big]^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)<\infty.\nonumber $

在$ F $ -范数$ \|\cdot\|_{{\cal N}^p_\alpha} $之下, $ {{\cal N}^p_\alpha} $是平移不变的完备度量空间(参见文献[22]). $ {\cal N}^p_\alpha $空间和$ \varepsilon ^\beta $空间满足下列关系.

命题2.1  设$ p\geq 1 $, $ \alpha>-1 $.若$ 0<\beta < \frac{\alpha+1}{p} $, 则$ \varepsilon ^{\beta} \subset{\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p} $.

证  利用与文献[18]中引理3.2类似的讨论, 如果$ f(z)\in{\cal N}^p_\alpha $, 由$ \log (1+|f(z)|) $的次调和性, 存在正常数$ C_1 = C_1(p, \alpha) $, 使得$ \log (1+|f(z)|) \leq C_1 \frac{\|f\|_{{\cal N}^p_\alpha } }{ (1-|z|^2)^{(2+\alpha)/p}} $.这表明$ {\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p} $.

另一方面, 易见当$ x\geq 0 $时, $ \log^+x\leq \log(1+x)\leq \log 2+\log^+x $, 其中$ \log^+x = \max\{0, \log x\} $.若$ f(z) \in\varepsilon ^\beta $且$ 0<\beta < \frac{\alpha+1}{p} $, 则存在常数$ C_2 $, 使得$ |f(z)|\leq \exp \big(\frac{C }{(1-|z|^2)^\beta}\big) $, 从而

$ \begin{eqnarray} \int_{{\mathbb D}} \big[\log(1+|f(z)|)\big]^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)&\leq& \int_{{\mathbb D}} \big[\log2+\log^+|f(z)|\big]^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\\ &\leq& 2^{p-1}\int_{{\mathbb D}} \big[(\log2)^p+(\log^+|f(z)|)^p\big](1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\\ &\leq& 2^{p-1}\int_{{\mathbb D}} \big[(\log2)^p+\frac{C_2 }{(1-|z|^2)^{p\beta}}\big](1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\\ &<& \infty. \end{eqnarray} $

这又表明$ \varepsilon ^{\beta} \subset {\cal N}^p_\alpha $.证毕.

为了下一节主要结果的证明, 下面给出几个重要引理.其中, 引理2.1可直接由文献[7]中的定理3.1的证明得到, 引理2.2是文献[14]中的定理3.2, 引理2.4是文献[23]中的引理4.2.2, 而引理2.3可由文献[15]中的引理2.3和文献[16]中的引理2.2直接得到.

引理2.1^[7]  方程(1.1)的解$ f(z) $可表示为

(2.1) $ \begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}g_jz^{j}-\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{(-1)^i \big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\int^{z}_{0}(z-\xi)^{k-j+i-1}A_{j}^{(i)}(\xi)f(\xi){\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

其中$ g_j $仅与$ f^{(j)}(0) $和$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $有关.

引理2.2^[14]  设$ f(z)\in H({\mathbb D}) $, $ 0 < p <\infty $, $ -2<q <\infty $, $ 0\leq s < \infty $, $ q+s>-1 $, $ n\in N $.那么下列条件的等价的:

(ⅰ) $ f(z)\in F(p, q, s) $;

(ⅱ) $ \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D} |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q}(1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z) < \infty $;

(ⅲ) $ \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D} |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q}g^s(z, a){\rm d}\sigma (z) < \infty $;

(ⅳ) $ {\rm d}\mu(z) = |f^{(n)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(n-1)p+q+s}{\rm d}\sigma(z) $是有界$ s $-Carleson测度.

引理2.3  设$ 0 < p <\infty $, $ -2<q <\infty $, $ 0\leq s < \infty $.若$ f(z)\in F(p, q, s) $, 则存在常数$ C = C(p, q, w) $, 使得

$ \begin{eqnarray} |f(z)| \leq C\left\{\begin{array}{ll} { } |f(0)|+\|f\|_{F(p, q, s)}\Big(\frac{1}{1-|z|^2}\Big)^{\frac{q+2-p}{p}}, & q+2>p, \\ { } |f(0)|+\|f\|_{F(p, q, s)}\ln\frac{e}{1-|z|^2}, \; \; \; \; \; & q+2 = p, \\ { } |f(0)|+\|f\|_{F(p, q, s)}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; & q+2<p.\end{array}\right. \end{eqnarray} $

引理2.4^[23]  设$ z\in {\mathbb D} $, $ c $为实数, $ t>-1 $, $ I_{c, t}(z) = \int_{\mathbb D} \frac{(1-|w|^2)^t}{|1-z\bar{w}|^{t+c+2}}{\rm d}A(w) $.那么

(1) 当$ c<0 $时, $ I_{c, t}(z) $在$ {\mathbb D} $内有界;

(2) 当$ c>0 $时, $ I_{c, t}(z) $在$ {\mathbb D} $内无界, 且当$ |z|\rightarrow 1^- $时, $ I_{c, t}(z)\sim \frac{1}{(1-|z|^2)^c} $;

(3) 当$ c = 0 $时, $ I_{c, t}(z) $在$ {\mathbb D} $内无界, 且当$ |z|\rightarrow 1^- $时, $ I_{c, t}(z)\sim \log\frac{1}{(1-|z|^2)} $.

定理3.1  设$ f(z) $是方程(1.1)的解, 则存在正常数$ C $, 使得

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq C\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg), \end{eqnarray} $

其中$ C $仅与$ f^{(j)}(0) $和$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $有关.

证  设$ f(z) $是方程(1.1)的解.由引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}g_jz^{j}-\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{(-1)^i\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\int^{z}_{0}(z-\xi)^{k-j+i-1}A_{j}^{(i)}(\xi)f(\xi) {\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

其中$ g_j $仅与$ f^{(j)}(0) $和$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $有关.

令$ z = r{\rm e}^{{\rm i}\theta} $, $ \xi = t{\rm e}^{{\rm i}\theta} $, 则有

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|+\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A_{j}^{(i)}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})f(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t. \end{eqnarray} $

利用Gronwall引理(参见文献[2, 引理5.10]), 可得到

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq \bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|\bigg)\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A_{j}^{(i)}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg). \end{eqnarray} $

又因为, 对于$ i = 1, 2, \cdots, j $, 有

$ \begin{eqnarray} \int^{z}_{0}(z-\xi)^{k-j+i-1}A_{j}^{(i)}(\xi){\rm d}\xi& = &\sum\limits^{i-1}_{n = 0} \frac{(k-j+i-1)!}{(k-j+n)!}z^{p+n-i+1}A^{(n)}_j(0)\\ &&+\frac{(k-j+i-1)!}{(k-j-1)!}\int^{z}_{0}(z-\xi)^{k-j-1}A_{j}(\xi){\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

那么$ \int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A_{j}^{(i)}(\xi)|{\rm d}t\leq c_{i, j}+\frac{(k-j+i-1)!}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t $, 其中$ c_{i, j} $均为正常数, 只与$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $有关.因此有

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|&\leq & \bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|\bigg)\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j+i-1}|A_{j}^{(i)}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg) \\ &\leq& \bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|\bigg)\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\sum\limits^j_{i = 0}\frac{\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!} \\ &&\times \bigg[c_{i, j}+\frac{(k-j+i-1)!}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg]\bigg)\\ &\leq& C\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg), \end{eqnarray} $

其中正常数$ C = \bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|g_j|\bigg)\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0} \sum\limits^j_{i = 0}\frac{c_{i, j}\big({}^j_i\big)}{(k-j+i-1)!}\bigg) $仅与$ f^{(j)}(0) $和$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, $$ k-1) $有关.证毕.

定理3.2  设$ f(z) $是方程(1.1)的解.如果其系数函数满足

(3.1) $ \begin{eqnarray} \|A_j\|_{H^\infty_{k-j-\beta_j}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j-\beta_j}\leq \alpha_j, j = 0, 1, 2, \cdots, k-1, \end{eqnarray} $

其中$ \alpha_j>0 $和$ \beta_j\ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $均为常数.令$ { }\beta = \min\limits_{0\leq j\leq k-1}\beta_j $, $ q = \sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^{j}\alpha_{j}}{(k-j-1)!} $.那么

(ⅰ)当$ 0<\beta \leq 1 $时, $ f(z)\in H^\infty $;

(ⅱ)当$ \beta = 0 $时, $ f(z)\in H^\infty_{q} $;

(ⅲ)当$ \beta <0 $时, $ f(z)\in \varepsilon^{-\beta } $.

证  由条件(3.1)可知$ |A_j(z)|\leq\frac{\alpha_j}{(1-|z|^2)^{k-j-\beta_j}} $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $.由定理3.1, 有

(3.2) $ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|&\leq& C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg)\\ &\leq& C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg)\\ &\leq& C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{\beta_j-1}{\rm d}t\bigg), \end{eqnarray} $

其中$ C_1 $为正常数, 仅与$ f^{(j)}(0) $和$ A^{(j)}(0) $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $有关, 后面的$ C_2 $, $ C_3 $和$ C_4 $也是如此.

当$ \beta<0 $时, 由(3.2)式可得

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|&\leq& C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{\beta_j-1}{\rm d}t\bigg)\\ & = & C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j>0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{\beta_j-1}{\rm d}t\\ &&+\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{-1}{\rm d}t+\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j<0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\int^{r}_{0}(1-t)^{\beta_j-1}{\rm d}t\bigg)\\ & = & C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j>0}\frac{2^j\alpha_j}{\beta_j(k-j-1)!}+\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j\ln\frac{1}{1-r}}{(k-j-1)!}{\rm d}t\\ &&+\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j<0}\frac{-2^j\alpha_j}{\beta_j(k-j-1)!}[(1-r)^{\beta_j}-1]\bigg)\\ &\leq& C_2\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j\ln\frac{1}{1-r}}{(k-j-1)!} +\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j<0}\frac{-2^j\alpha_j(1-r)^{\beta_j}}{\beta_j(k-j-1)!}\bigg){}\\ &\leq& C_3\exp\bigg(\frac{C_4}{(1-r)^{-\beta}}\bigg). \end{eqnarray} $

从而有$ f(z)\in \varepsilon^{-\beta } $.

当$ \beta = 0 $时, 由(3.2)式有

$ \begin{eqnarray} |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|&\leq& C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j>0}\frac{2^j\alpha_j}{\beta_j(k-j-1)!}+\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j\ln\frac{1}{1-r}}{(k-j-1)!}\bigg)\\ &\leq& C_2\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}\ln\frac{1}{1-r}\bigg) \leq C_2\bigg(\frac{1}{1-r}\bigg)^{\sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{(k-j-1)!}}. \end{eqnarray} $

所以当$ q = \sum\limits^{k-1}_{j = 0, \beta_j = 0}\frac{2^{j}\alpha_{j}}{(k-j-1)!} $时, 有$ f(z)\in H_q^\infty $.

当$ 1\geq \beta>0 $时, 由(3.2)式可知$ |f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|\leq C_1\exp\bigg(\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j\alpha_j}{\beta_j(k-j-1)!}\bigg) $, 从而$ f(z)\in H^\infty $.定理3.2证毕.

注3.1  定理3.2改进了2000年Heittokangas利用Wittich的方法获得的结果, 参见文献[4]中定理6.2.其中结论(ⅱ)建立了$ q $与$ \alpha_j $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $的函数关系, 由此可以获得方程(1.1)所有解属于$ H^\infty_{q} $空间时系数函数的范数$ \|A_j\|_{H^\infty_{k-j}} $的上界.

定理3.3  设$ 0 < p <\infty $, $ -2 < q <\infty $, $ 0\leq s < \infty $, $ q+s>-1 $, $ f(z) $是方程(1.1)的解.如果存在正常数$ \alpha = \alpha(k, p, q, s) $, 使得

(3.3) $ \begin{equation} \|A_j\|_{H^\infty_{k-j}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j}\leq \alpha, \quad j = 1, 2, \cdots, k-1, \end{equation} $

(3.4) $ \begin{equation} \|A_{0} \|_{H^\infty_{k-t}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_0(z)|(1-|z|^2)^{k-t}\leq \alpha. \end{equation} $

那么

(ⅰ)当$ p<q+s+1 $, $ t = 0 $时, $ f(z)\in F(p, q, s) $;

(ⅱ)当$ p\geq q+s+1 $, $ p> q+2 $, $ \max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}<t<1 $时, $ f(z)\in F(p, q, s) $;

(ⅱ)当$ p\geq q+s+1 $, $ p\leq q+2 $, $ \frac{1-s}{p}<t<1 $时, $ f(z)\in F(p, q, s) $.

证  令$ {\rm d}\mu_a(z) = (1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z) $, $ f^{(j)}_\rho (z) = f^{(j)}(\rho z) $, $ A_{\rho, j}(z) = A_j(\rho z) $$ (j = 0, 1, \cdots, k) $, 其中$ \frac{1}{2} \leq \rho < 1 $.若$ f(z) $是方程(1.1)的解, 则$ f_\rho^{(k)}(z) = -A_{\rho, k-1}(z)f_\rho^{(k-1)}(z)-\cdots -A_{\rho, 1}(z)f_\rho'(z)-A_{\rho, 0}(z)f_\rho(z). $

由引理2.2, 可得

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}&\leq &C_1 \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D} |f_\rho ^{(k)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(k-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)+\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f_\rho^{(j)}(0)|\\ &\leq & C_1\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|A_{\rho, j}(z)f_\rho^{(j)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(k-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)+C_2, \end{eqnarray} $

其中$ C_1 = C_1(k, p, q, s) $和$ C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)| $均为常数.

当$ p<q+s+1 $, $ t = 0 $时, 由(3.3), (3.4)和(3.5)式以及引理2.2, 可得

$ \begin{eqnarray} \|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}&\leq & C_1\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|A_{\rho, j}(z)f_\rho^{(j)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(k-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)+C_2\\ &\leq & C_1\alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f_\rho^{(j)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(j-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)+C_2\\ &\leq & C_1C_3\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2, \end{eqnarray} $

其中$ C_3 = C_3(k, p, q, s) $为常数.这等价于$ (1-C_1C_3\alpha^p)\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}\leq C_2. $选择足够小的$ \alpha $, 并令$ \rho\rightarrow1^- $, 可得$ \|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty $, 从而结论(i)成立.

当$ p\geq q+s+1 $, $ p>q+2 $, $ 1>t>\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\} $时.利用引理2.2和引理2.3, 由(3.3), (3.4)和(3.5)式, 可得

(3.6) $ \begin{eqnarray} \|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}&\leq & C_1\bigg(\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\sum\limits^{k-1}_{j = 1}|A_{\rho, j}(z)f_\rho^{(j)}(z)|^p(1 -|z|^2)^{(k-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ &&+\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}|A_{\rho, 0}(z)f_\rho(z)|^p(1 -|z|^2)^{(k-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\bigg)+C_2\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2+C_1 \alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}|f_\rho(z)|^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2\\ & &+C_5 \alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(|f(0)|+\|f_\rho\|_{F(p, q, s)})^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2{}\\ & &+C_6 \alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(|f(0)|^p+\|f_\rho\|^p_{F(p, q, s)})(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z). \end{eqnarray} $

因为$ p\geq q+s+1 $, $ q+2<p $, $ 1>t>\max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\} $, 因而$ (t-1)p+q+s>-1 $, $ 2s-2-((t-1)p+q+s) = s-2-q-tp+p<s $.由引理2.4, 易知

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z) = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} (1-|a|^2)^s\int_{\mathbb D}\frac{(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q+s}}{|1-\bar{a}z|^{2s}} {\rm d}\sigma (z)<\infty. \end{eqnarray} $

现令$ C_7 = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z) $, 则(3.6)式等价于

(3.7) $ \begin{eqnarray} (1-C_1C_4\alpha^p-C_6C_7\alpha^p)\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}\leq C_2+C_6C_7|f(0)|^p, \end{eqnarray} $

其中$ C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)| $和$ c_i = c_i(k, p, q, s) $$ (i = 1, 4, 6, 7) $均为常数.由(3.7)式, 选择足够小的$ \alpha $, 并令$ \rho\rightarrow1^- $, 可得$ \|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty $.这样就证明了结论(ⅱ).

下面假设$ p\geq q+s+1 $, 且$ 1>t>\frac{1-s}{p} $.

若$ q+2>p $, 由(3.5)式可得

(3.8) $ \begin{eqnarray} \|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}&\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2+C_1 \alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}|f_\rho(z)|^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2\\ & &+C_8 \alpha^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(|f(0)|^p+\frac{\|f_\rho\|^p_{F(p, q, s)}}{(1-|z|^2)^{q+2-p}}\big)(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_8\alpha^p \bigg(|f(0)|^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ & & +\|f_\rho\|^p_{F(p, q, s)}\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{tp-2}{\rm d}\mu_a(z)\bigg)+C_2. \end{eqnarray} $

既然$ p\geq q+s+1 $, $ q+2> p $, 则有$ 0\leq s<1 $.因为$ t>\frac{1-s}{p} $, 所以$ (t-1)p+q+s>tp-2+s>-1 $, 且$ s-2-(t-1)p-q< s-tp<s $.考虑到$ 2s = 2+((t-1)p+q+s)+(s-2-(t-1)p-q) $和$ 2s = 2+(tp-2+s)+(s-tp) $, 由引理2.4可知

$ C_7 = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z) = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} (1-|a|^2)^s\int_{\mathbb D}\frac{(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q+s}}{|1-\bar{a}z|^{2s}} {\rm d}\sigma (z), $

$ C_9 = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{tp-2}{\rm d}\mu_a(z) = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} (1-|a|^2)^s\int_{\mathbb D}\frac{(1 -|z|^2)^{tp-2+s}}{|1-\bar{a}z|^{2s}} {\rm d}\sigma (z) $

均为有界常数.因此不等式(3.8)等价于

(3.9) $ \begin{eqnarray} (1-C_1C_4\alpha^p-C_8 C_9\alpha^p)\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}\leq C_2+C_7 C_8|f(0)|^p\alpha^p . \end{eqnarray} $

若$ q+2 = p\geq q+s+1 $, 利用和$ q+2>p $情形类似的讨论, 可得

(3.10) $ \begin{eqnarray} \|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}&\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2+C_8\alpha^p \bigg(|f(0)|^p\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ & &+\|f_\rho\|^p_{F(p, q, s)}\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\bigg)\\ &\leq & C_1C_4\alpha^p\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}+C_2+C_8\alpha^p \bigg(C_7|f(0)|^p{}\\ & &+\|f_\rho\|^p_{F(p, q, s)}\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\bigg). \end{eqnarray} $

由于$ q+2 = p\geq q+s+1 $和$ t>\frac{1-s}{p} $, 则有$ (t-1)p+q+s>-1 $和$ 2s-2-((t-1)p+q+s)<s $.从而存在$ s_0>-1 $, 使得$ (t-1)p+q+s>s_0 $且$ 2s-2-s_0<s $, 因此有

$ \begin{eqnarray} \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{((t-1)p+q+s)-s_0}<\infty. \end{eqnarray} $

再由引理2.4, 可得

$ \begin{eqnarray} & &\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}{\rm d}\mu_a(z)\\ & = &\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} (1-|a|^2)^s\int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p\frac{(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q+s}}{|1-\bar{a}z|^{2s}} {\rm d}\sigma (z)\\ &\leq &C\sup\limits_{a\in {\mathbb D}} (1-|a|^2)^s\int_{\mathbb D}\frac{(1 -|z|^2)^{s_0}}{|1-\bar{a}z|^{2+s_0+(2s-2-s_0)}} {\rm d}\sigma (z)<\infty. \end{eqnarray} $

令$ C_{10} = \sup\limits_{a\in {\mathbb D}} \int_{\mathbb D}\big(\ln\frac{e}{1-|z|^2}\big)^p(1 -|z|^2)^{(t-1)p+q}(1-|\varphi_a(z)|^2)^s {\rm d}\sigma (z). $则(3.10)式等价于

(3.11) $ \begin{eqnarray} (1-C_1C_4\alpha^p-C_8C_{10}\alpha^p)\|f_\rho \|^p_{F(p, q, s)}\leq C_2+C_7 C_8\alpha^p|f(0)|^p. \end{eqnarray} $

不等式(3.9)和(3.11)中, $ C_2 = \sum\limits^{k-1}_{j = 0}|f^{(j)}(0)| $和$ c_i = c_i(k, p, q, s) $$ (i = 1, 4, 7, 8, 9, 10) $均为常数.利用(3.11)式, 选择足够小的$ \alpha $, 并令$ \rho\rightarrow1^- $, 可得$ \|f\|^p_{F(p, q, s)}<\infty $.这样就证明了结论(ⅲ).证毕.

推论3.1  设$ 0 < p <\infty $, $ -2< q<\infty $, $ 0\leq s < \infty $, $ q+s>-1 $, $ f(z) $是方程(1.1)的解.如果存在正常数$ \alpha = \alpha(k, p, q, s)> 0 $, 使得

(3.12) $ \begin{eqnarray} \|A_j\|_{H^\infty_{k-j-t}} = \sup\limits_{z\in {\mathbb D}}|A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j-t}\leq \alpha, \quad j = 0, 1, 2, \cdots, k-1, \end{eqnarray} $

那么

(ⅰ)当$ p<q+s+1 $, $ 0<t<1 $时, $ f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty $;

(ⅱ)当$ p\geq q+s+1 $, $ p> q+2 $, $ \max\{\frac{p-q-s-1}{p}, \frac{p-q-2}{p}\}<t<1 $时, $ f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty $;

(ⅲ)当$ p\geq q+s+1 $, $ p\leq q+2 $, $ \frac{1-s}{p}<t<1 $时, $ f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty $.

证  由定理3.3可知三种情形下均有$ f(z)\in F(p, q, s) $, 再由定理3.2可知三种情形下均有$ f(z)\in H^\infty $.因此三种情形下均有$ f(z)\in F(p, q, s)\cap H^\infty $.证毕.

注3.2  当$ K(t) = t^s $时, $ Q_K(p, q) = F(p, q, s) $, 因此可以说该推论弱化了定理B中有关方程(1.1)的解属于$ F(p, q, s) $空间的条件.

定理3.4  设$ 1 \leq p <\infty $, $ \alpha >-1 $.如果系数函数$ A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha} $$ (j = 0, \cdots, k-1) $, 那么方程(1.1)的所有解属于面积Nevanlinna空间$ {\cal N}^p_\alpha $.

证  设$ f(z) $为方程(1.1)的解, 由定理3.1和文献[24]中的引理5, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|f\|_{{\cal N}^p_\alpha} & = &\int_{{\mathbb D}} (\log(1+|f(z)|))^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\nonumber\\ &\leq&2^{p-1}\int_{{\mathbb D}} [(\log2)^p+(\log^+|f(z)|)^p](1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z)\nonumber\\ &\leq& 2^{p-1}\int_{{\mathbb D}}\bigg[(\log2)^p\\ &&+\bigg(\log C_1 +\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\frac{2^j}{(k-j-1)!} \int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta}|){\rm d}t\bigg)^p\bigg](1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z) \nonumber\\ &\leq& C_2+C_3\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\int_{{\mathbb D}}\bigg(\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1}|A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta}) |{\rm d}t\bigg)^p(1-|z|^2)^\alpha {\rm d}\sigma(z) \nonumber\\ &\leq& C_2+C_3\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\int^{2\pi}_0\int^{1}_0\bigg(\int^{r}_{0}(r-t)^{k-j-1} |A_{j}(t{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}t\bigg)^p(1-r)^\alpha {\rm d}r{\rm d}\theta\nonumber\\ &\leq& C_2+C_3\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\int^{2\pi}_0\int^{1}_0|A_j(r{\rm e}^{{\rm i}\theta}) |^p(1-r^2)^{p(k-j)+\alpha}{\rm d}r{\rm d}\theta.\nonumber \end{eqnarray*} $

再利用文献[4]中引理4.6证明过程中类似的讨论, 可得

$ \begin{eqnarray} \|f\|_{{\cal N}^p_\alpha}&\leq& C_2+C_4\sum\limits^{k-1}_{j = 0}\int_{{\mathbb D}}|A_j(z)|^p(1-|z|^2)^{p(k-j)+\alpha}{\rm d}\sigma(z)\\ &\leq& C_2+C_4\sum\limits^{k-1}_{j = 0} \|A_j\|^p_{A^p_{p(k-j)+\alpha}}<\infty. \end{eqnarray} $

所以$ f(z)\in{\cal N}^p_\alpha $.证毕.

注3.3  易知, 当$ A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha} $时, $ |A_j(z)|(1-|z|^2)^{k-j+\frac{\alpha+2}{p}} $有界, 从而满足定理3.2中的条件(3.1), 此时$ \beta_j = \beta = -\frac{\alpha+2}{p} $.然而定理3.2中的条件(3.1)是$ A_j(z)\in A^p_{p(k-j)+\alpha} $$ (j = 0, 1, 2, \cdots, k-1) $的必要非充分条件.这表明定理3.4的条件强于定理3.2的结论(iii)的条件.这和命题2.1的包含关系$ {\cal N}^p_\alpha\subset \varepsilon ^{(2+\alpha)/p} $是相容的.