本文考虑Orlicz空间中具有散度形式的椭圆方程的很弱解的$L^{\phi}$型估计. Orlice空间由Orlice^[1]引入.对于Orlice空间的应用参见文献[2]. $A$ -调和方程具有很强的背景, 且在物理和工程方面有很多应用.近些年来不同形式的$A$ -调和方程的发展, 参见文献[3-11].

令$\Omega$为${{\Bbb R}} ^{n}$中的有界正则区域, $n\geq 2$.在正则区域中, Hodge分解及其估计是满足的.例如, Lipschitz域是正则的.本文考虑如下的$A$ -调和方程

其中$\textbf{f} = (f^{1}, f^{2}, \cdots , f^{n})$是给定的向量, 算子$A = A(x, \xi ):\Omega\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{n}$.对于每一个$\xi$, $A$在$x$上可测, 并且对于几乎所有的$x$, $A$在$\xi$上连续.而且当$p\in(1, \infty)$时, 算子$A = A(x, \xi )$满足如下结构条件

$({\rm H} _{1})\quad\left \langle A(x, \xi )-A(x, \zeta ) , \xi -\zeta \right \rangle\geq C_{1}\left | \xi -\zeta \right |^{p}$,

$({\rm H}_{2})\quad | A(x, \xi ) |\leq C_{2}\left | \xi \right |^{p-1}$,

$({\rm H} _{3})\quad A(x, 0) = 0,$

$({\rm H}_{4})\quad\left | A(x, \xi )-A(y, \xi ) \right |\leq C_{3}\omega (\left | x-y \right |)\left | \xi \right |^{p-1}$,

其中$\xi, \zeta\in{{\Bbb R}} ^{n}, x, y\in\Omega, C_{i}> 0, i = 1, 2, 3$为正常数.这里的连续模$\omega (x):{{\Bbb R}} ^{+}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{+}$非减, 而且满足

方程$(1.1)$的原型是$p$ -调和方程

定义1.1^[12]  函数$u \in W_{loc}^{1, p} (\Omega)$称为方程$(1.1)$的局部弱解, 若有

对于任意的具有紧支集的$\varphi \in W_{0}^{1, p} (\Omega )$都成立.

本文考虑很弱解的概念, 降低了自然可积性假设.

定义1.2  函数$u \in W_{loc}^{1, r} (\Omega)$, $\max\{1, p-1\}\leq r < p$, 称为方程$(1.1)$的局部很弱解, 若对所有具有紧支集的$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}} (\Omega )$, 方程$(1.4)$成立.

关于梯度估计, 有下述研究成果. Acerbi-Mingione^[13]证明了$p(x)$-Laplacian方程组

的梯度估计; DiBenedetto-Manfredi^[14]获得了

的弱解的梯度的更高可积性; Byun-Wang^[15]和Kinnunen-Zhou^[16]获得了

的弱解的$L^{q}(q\geq p)$梯度估计; Byun-Wang^[17]获得了一般非线性椭圆方程

的$L^{p}$估计; Yao^[12]在2010年获得了方程(1.1)的弱解在Orlicz空间中的梯度估计.

尽管关于弱解的梯度估计有很多出色的成果, 但Orlicz空间中的很弱解的梯度估计尚未研究.本文旨在研究方程(1.1)的很弱解在Orlicz空间中的$L^{\phi}$估计.下面是本文的主要结论.

定理1.1  假设$\phi \in\triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown_{2}, | {\bf f} |^{r}\in L_{loc}^{\phi}(\Omega)$, $\max\{1, p-1\}\leq r < p$.如果$u$是方程$(1.1)$的局部很弱解, 且算子$A$满足条件$(H_{1})-(H_{4})$, 则有$\left | \nabla u \right |^{r} \in L_{loc}^{\phi }\left ( \Omega \right ),$且有估计式

其中$B_{2R}\subset \Omega$, 且$C$是独立于$u$和${\bf f}$的常数.

本文其余部分安排如下.在第二节和第三节, 介绍Orlicz空间中的一些知识和预备引理.在第四节中给出方程(1.1)的很弱解的$L^{r}$估计.在第五节中给出主要定理(定理1.1)的证明.

用$\Phi$表示所有函数$\phi :\left [ 0, + \infty \right )\rightarrow \left [ 0, + \infty \right )$组成的函数类, 其中$\phi$是递增的凸函数.

定义2.1^[12]  如果存在一个正常数$K$, 使得对于任意的$t> 0$, 都有

那么, 函数$\phi \in \Phi$满足全局$\triangle _{2}$条件, 表示为$\phi \in \triangle _{2}$.同时, 如果存在一个常数$a>1$, 使得对于任意的$t>0$, 都有

那么, 函数$\phi \in \Phi$满足全局$\bigtriangledown _{2}$条件, 表示为$\phi \in \bigtriangledown _{2}$.

注2.1^[12]   $(1)$ 注意到全局$\triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$条件使函数适当增长.

$(2)$ 事实上, 如果$\phi \in \triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$, 则对于$0< \theta _{2}\leq 1\leq \theta _{1}< \infty$, $\phi$满足

其中$\alpha _{1} = \log _{2}K, \alpha _{2} = \log _{a }2+1$.

$(3)$ 在条件(2.3)下, 很容易得到$\phi \in \Phi$满足$\phi(0) = 0$以及

定义2.2^[12]  令$\phi \in \Phi$, 则$\rm Orlicz$类$K^{\phi }(\Omega )$是满足

的所有可测函数$g:\Omega \rightarrow {{\Bbb R}}$组成的集合. Orlicz空间$L^{\phi }(\Omega )$是$K^{\phi }(\Omega )$的线性闭包.

注2.2  注意到, $\rm Orlicz$空间是$L^{q }$空间的推广形式.如果$\phi (t) = t^{q}, t\geq 0$, 那么$\phi \in \triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$, 于是得到一个特例, $L^{\phi }(\Omega ) = L^{q}(\Omega )$.

关于Orlicz空间有如下引理.

引理2.1^[12]  假设$\phi \in\triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$以及$g \in L^{\phi }(\Omega )$, 那么

(1) $K^{\phi } = L^{\phi },$且$C_{0}^{\infty }$在$L^{\phi }$中稠密;

(2) $L^{\alpha _{1}}(\Omega )\subset L^{\phi }(\Omega )\subset L^{\alpha _{2}}(\Omega )\subset L^{1}(\Omega ),$其中$\alpha _{1} = \log _{2}K, \alpha _{2} = \log _{\alpha }2+1;$

(3) $\int _{\Omega }\phi (\left | g \right |){\rm d}x = \int_{0}^{\infty }\left | \left \{ x \in \Omega :\left | g \right |> \lambda \right \} \right |{\rm d}\left [ \phi (\lambda ) \right ];$

(4) $\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\mu }\int _{\left \{ x \in \Omega :\left | g \right | > a\mu \right \}}\left | g \right |{\rm d}x{\rm d}\left [ \phi (b\mu ) \right ]\leq C\int _{\Omega }\phi (\left | g \right |){\rm d}x,$其中$a, b>0, C = C(a, b, \phi )$.

在本节中, 使用文献[12]中的新标准化方法, 该方法受文献[17]影响较大.

对任意的$\lambda \ge 1$, 定义

引理3.1 (新标准化)  若$u \in W_{loc}^{1, r}(\Omega)$是方程$(1.1)$的局部很弱解, $A$满足条件(H$_1)$–(H$_4)$, 那么

(1) $A_\lambda$满足条件(H$_1)$–(H$_4)$, 即有

其中$C_{i}(1\le i\le 3)$为常数.

(2) $u_\lambda$是方程

的很弱解.

证  使用文献[12, 引理2.1]中的类似方法来证明.

下面给出文献[12]中使用的迭代覆盖方法.令$u$是方程(1.1)的局部很弱解.先设定理$1.1$中的$R = 1$, 再通过缩放论证证明.设

其中$\varepsilon> 0$满足(5.12)式中的条件.对于任意的$x \in \Omega$和$\rho > 0$, 令

由(1.2)式, 选择合适的常数$R_{0} = R_{0}(\varepsilon ) \in (0, 1)$使得

一般情况下, 考虑$r$趋近于$p$时, 限制$0<p-r<\min\{\frac{1}{2}, \varepsilon \}$.

引理3.2^[12]  令$\lambda \geq \lambda _{*} = :(10/R_{0})^{n/r}\lambda _{0}+1$, 则存在一族不相交的球$\left \{ B_{\rho _{i}}(x_{i}) \right \}$, $x_{i} \in E_\lambda(1)$, 使得$0< \rho _{i} = \rho (x_{i})\leq R_{0}/10$且有

而且有

以下是对方程$(1.1)$的很弱解的$L^{r}$估计.

定理4.1  假设$\left|{\bf f}\right|^{r}\in L^{\phi}(B_{2R}), B_{2R}\subset \Omega$, 令$u \in W_{loc}^{1, r}(\Omega)$为方程$(1.1)$的局部很弱解, 算子$A$满足条件(H$_1)$–(H$_3)$, 则

其中$C = C(n, p, C_1, C_2)$.

证  令$u$是$A$ -调和方程$(1.1)$的局部很弱解. $B_{2R}\subset\subset \Omega$.取截断函数$\eta \in C_{0}^{\infty }(R_n)$满足

对$|\nabla [\eta( u-u_{B_{2R}}\;)]|^{r-p}\nabla[\eta( u-u_{B_{2R}}\;)] \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(\Omega)$进行Hodge分解, 参见文献[18]:

其中$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(\Omega), H \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(\Omega)$是散度为零向量场且有以下估计式成立

其中$C = C(n, p)$是只依赖于$n$和$p$的常数.令

通过文献[19, p271, (4.1)式]

可以得到

由$(4.3)$和$(4.6)$式, 有

选取$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(\Omega)$为定义$1.2$中的检验函数, 则

即

上述结果可表示为$I_1 = I_2+I_3+I_4+I_5+I_6.$估计$I_1$.由条件(H$_1)$和(H$_3)$, 得

估计$I_2$.由条件(H$_2)$, $(4.8)$式, Young不等式$(\tau >0)$以及$(4.2)$式可得

估计$I_3$.由条件(H$_2)$, Hölder不等式以及$(4.5)$式有

因为$\nabla[\eta(u-u_{B_{2R}}\;)] = \eta\nabla(u-u_{B_{2R}}\;)+(u-u_{B_{2R}}\;)\nabla\eta$, 由Young不等式$(\tau >0)$以及$(4.2)$式, 上面不等式即为

估计$I_4$.由Young不等式$(\tau >0)$, 有

估计$I_5$.由Young不等式$(\tau >0)$以及$(4.8)$式, 有

估计$I_6$.由Hölder不等式, $(4.5)$式, Young不等式$(\tau >0)$以及$(4.2)$式, 有

结合$I_i(1\leq i\leq 6)$得到

其中$C = C(n, p, r, C_2, \tau)$.选择足够小的$\tau$和$p-r$使得上述不等式右边第一项系数的总和$C\tau +C(p-r)(1+\tau)+\tau+C(p-r)\tau$远小于1.则上述不等式通过迭代法变为

其中$C = C(n, p, C_1, C_2)$.定理$4.1$得证.

令$v$是下列边值问题的很弱解

其中$x^{*} \in B_{\widetilde{R}}$为定点, 且$B_{\widetilde{R}} = B_{10\rho_{i}}(x_{i})$.

下面给出很弱解的定义.

定义4.1  假设$v \in W^{1, r}(B_{\widetilde{R}})$, $v-u \in W_{0}^{1, r}(B_{\widetilde{R}})$, 称$v \in W^{1, r}(B_{\widetilde{R}})$是Dirichlet问题$(4.21)$在$B_{\widetilde{R}}$中的很弱解, 如果有

对于任意的$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{\widetilde{R}} )$成立.

需要下面的定理.

定理4.2  若$u \in W_{loc}^{1, r}(\Omega)$是方程$(1.1)$的局部很弱解, $v \in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是Dirichlet问题$(4.21)$在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$中的很弱解, 其中$x_{i} \in E_\lambda(1)$, $\rho _{i}$与在引理$3.2$中的定义相同, 则有

其中$C = C(n, p, C_1, C_2)$.

证  令$v \in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是Dirichlet问题$(4.21)$的很弱解, 令$\widetilde{\varphi} = v-u$, 则

易知$|\nabla\widetilde{\varphi}|^{r-p}\nabla\widetilde{\varphi}\in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$.然后对$|\nabla\widetilde{\varphi}|^{r-p}\nabla\widetilde{\varphi}$进行Hodge分解(参见文献[18])

其中$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}) ), H\in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}) )$是散度为零向量场, 并且有下面的估计成立

其中$C = C(n, p)$是仅依赖于$n$和$p$的常数.令

然后由基本不等式$(4.7)$可得

因为

选择$\varphi\in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(\Omega)$作为定义$4.1$的检验函数, 则

估计上述等式的左右两边.首先由条件(H$_1)$和(H$_3)$有

再由条件(H$_2)$和$(4.29)$式得

然后利用Hölder不等式$(\frac{p-1}{r}+\frac{r-p+1}{r} = 1)$, (4.24)式, (4.27)式以及Young不等式$(\tau >0)$, 上述不等式即为

选择足够小的$\tau$和$p-r$使得$C_1 \geq C\tau+C(p-r)\tau+C(p-r)$, 然后结合(4.31)–(4.34)式有

其中$C = C(n, p, C_1, C_2)$.定理$4.2$得证.

定理4.3  若$u \in W_{loc}^{1, r}(\Omega)$是方程$(1.1)$的局部很弱解, $v \in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是Dirichlet问题$(4.21)$在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$中的很弱解, 其中$x_{i} \in E_\lambda(1)$, $\rho _{i}$与引理$3.2$中的定义相同, 如果

则有

证  选取检验函数$\widetilde{\varphi} = u-v$.易知$|\nabla\widetilde{\varphi}|^{r-p}\nabla\widetilde{\varphi}\in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$.然后对$|\nabla\widetilde{\varphi}|^{r-p}\nabla\widetilde{\varphi}$进行Hodge分解

其中$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}) ), H\in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}) )$是散度为零向量场, 并且有下面的估计成立

其中$C = C(n, p)$是仅依赖于$n$和$p$的常数.

选择$\varphi \in W_{0}^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{10\rho _{i}}(x_{i}) )$作为定义$1.1$和定义$4.1$中的检验函数, 有

其中$x^{*} \in B_{10\rho _{i}}(x_{i})$为定点.然后直接计算得到结果为

根据$(4.38)$式有

其中

先估计$K_1$.利用条件(H$_1)$得

估计$K_2$.由条件(H$_2)$, Hölder不等式, $(4.39)$式以及Young不等式$(\tau >0)$得

估计$K_{3}.$由条件(H$_4)$, (3.10)式, Young不等式$(\tau >0)$以及$\rho _{i} \in (0, R_{0}/10]$得

估计$K_{4}.$由条件(H$_4)$, Hölder不等式, (4.39)式, (3.10)式, Young不等式$(\tau >0)$以及$\rho _{i} \in (0, R_{0}/10]$可得

估计$K_{5}.$由Young不等式$(\tau >0)$得

估计$K_{6}.$由Hölder不等式, $(4.39)$式以及Young不等式$(\tau >0)$得

综合估计式$K_i(1 \leq i\leq 6)$, 且选取足够小的$\tau$和$(p-r)$, 使得

则有

即

然后根据定理$4.2$得

由$(4.36)$式得

其中$C = C(n, p, C_1, C_2, C_3)$.定理$4.3$证毕.

接下来, 给出如下Dirichlet问题$(4.21)$很弱解$v$的有界性引理.

引理4.1^[20]  设$f (\tau )$是定义在$0\leq R_{0}\leq t\leq R_{1}$上的非负有界函数, 若对$R_{0}\leq \tau < t\leq R_{1}$有

这里$A, B, \alpha, \theta$为非负常数且$\theta < 1$, 则存在只依赖于$\alpha$和$\theta$的常数$c = c(\alpha, \theta)$, 使得对于每个$\rho , R, R_{0}\leq \rho < R\leq R_{1}$, 有

定义4.2^[21]  函数$u \in W_{loc}^{1, m}(\Omega)$属于$B(\Omega, \gamma, m, k_0)$类, 若对于每一个$k>k_0, k_0>0$和$B_{\rho} = B_{\rho}(x_0), B_{\rho-\rho\sigma} = B_{\rho-\rho\sigma}(x_0), B_R = B_R(x_0)$, 有

其中$R/2\leq\rho-\rho\sigma<\rho<R, m<n, |A_{k, \rho}^{+}|$是集合$A_{k, \rho}^{+}$的$n$维勒贝格测度.

引理4.2^[21]  假设$u(x)$是属于$B(\Omega, \gamma, m, k_0)$类的任意函数, 且$B_R\subset\subset\Omega$.则有

其中常数$c$仅由$\gamma, m, k_0, R, ||\nabla u||_{m}$确定.

定理4.4  假设$v \in W^{1, r}(B_{\widetilde{R}})$是方程$(4.21)$的很弱解, 则$v$局部有界.

证  令$v$是Dirichlet问题$(4.21)$的很弱解.由于$v-u \in W_{0}^{1, r}(B_{\widetilde{R}})$, 则在${\Omega} \backslash B_{\widetilde{R}}$上$v = u$.令$B_{2\widetilde R}\subset\subset\Omega, 0<\widetilde R\leq \widetilde\tau <t\leq2\widetilde R$.考虑函数$v(x)$和$k>0$有

选取截断函数$\eta \in C_0^{\infty}(B_{2\widetilde R})$使得

考虑函数

其中

易知$|\nabla\phi|^{r-p}\nabla\phi \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{2\widetilde R})$.对$|\nabla\phi|^{r-p}\nabla\phi$进行Hodge分解

其中$\varphi\in W_0^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{2\widetilde R}), H\in L^{\frac{r}{r-p+1}}\;(B_{2\widetilde R})$是散度为零向量场, 且有以下估计成立

其中$C = C(n, p)$是只依赖于$n$和$p$的常数.

选取$\varphi \in W_0^{1, \frac{r}{r-p+1}}\;(B_{2\widetilde R})$作为定义$4.1$中的检验函数, 则有

则有

令

由基本不等式$(4.7)$和

可得

由$E(\eta, v)$的定义和$(4.61)$式得

下面估计$(4.65)$式的左右两边.先由条件$(H_1)$和$(H_3)$得出

再由条件$(H_2)$和$(4.64)$式得出

其中$C = C_{2} 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}$.因为在${A_{k, t}^{+}}$上$t_k(v) = k$, 利用Young不等式$(\tau>0)$得到

根据$|\nabla\eta|\leq2(t-\widetilde \tau)^{-1}$以及在${A_{k, t}^{+}}$上$|v-t_k(v)| = |v-k|$, 可得

现估计$I_2$, 由条件$(H_2)$, Hölder不等式, $(4.59)$式以及Young不等式可得

由$(4.63)$式有

即有

故由不等式$(4.65), (4.66), (4.69)$以及$(4.72)$, 得到

选取足够小的$\tau$和$p-r$, 使得$(4.73)$式右边第一项的系数总和$\theta$小于$1$.因此, 对每一个$t$和$\widetilde \tau$, 满足$\widetilde R\leq \widetilde \tau<t<2\widetilde R$, 有

给定任意的$\rho, \sigma$, 满足$\widetilde R\leq \rho <\sigma\leq 2\widetilde R.$利用引理$4.1$可得出

其中$c$是引理$4.1$中给定的常数.因此, $v$属于$B$类, 且有$\gamma = cC(p, r)/C_1, m = r$.于是由引理$4.2$可得

定理4.4证毕.

引理4.3^[22]  令$g\in C^{1}$且满足$0\leq \frac{tg'(t)}{g(t)}\leq g_0(t>0)$, 假设对某正常数$\varepsilon$有$g(t)\geq\varepsilon t$.令$\overline{A}:{{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{n}$, 假设存在一个正常数$\Lambda$使得

其中$h, \xi \in {{\Bbb R}}^{n}, \overline{a^{ij}} = \frac{\partial{\overline {A^{i}}}}{\partial{h^{j}}}$.若$v$是方程${\rm div}\overline{A}(Dv) = 0$在$W^{1, G}(B_R)$中的有界解, 则$v \in C^{1, \sigma}(B_R), \sigma(N, g_0, \Lambda)$是正数.又有

其中$0<r<R$.

定理4.5  假设$v\in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是Dirichlet问题$(4.21)$在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$上的很弱解, 则存在$N_0>1$使得

证  令$v$是方程$(4.21)$的很弱解.由定理$4.4$可知$v$是局部有界的.令$g(t) = rt^{r-1}$.然后根据引理$4.3$, 有

根据文献[22]中$W^{1, G}$的定义, $v(x)\in W^{1, G}(B_{R})$, 则Dirichlet问题$(4.21)$的很弱解$v(x)$满足引理$4.3$的条件.然后根据引理$4.3$和$G(t)$的定义, 有

根据引理$3.2$, 给定$\lambda \geq \lambda _{*} = :(10/R_{0}) ^{n/r}\lambda _{0}+1$, 构造一族互不相交的球$\left \{ B_{\rho _{i}}(x_{i}) \right \}_{i\in N}$, 其中$x_i\in E_\lambda(1), i\in N$.则对任意的$\rho>\rho_i$, 有

此外, 根据引理$3.1$的新标准化, 可得出以下定理$4.3$和定理$4.5$的推论.

推论4.1  假设$v_{\lambda}\in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是方程$(4.21)$在$B_{10\rho _{i}}(x_{i})$上的很弱解, $A_{\lambda}$满足(H$_1)$–(H$_4)$.则存在$N_0>1$使得

推论4.2  假设$v_{\lambda}\in W^{1, r}(B_{10\rho _{i}}(x_{i}))$是方程$(4.21)$的很弱解, 其中$x^{*}\in B_{10\rho _{i}}(x_{i})$, 且$A_{\lambda}$满足条件$(H_1)$–$(H_4)$.则有

本节证明定理$1.1$.首先假设$\left | \nabla u \right |^{r} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega )\subset L_{loc}^{\phi}(\Omega).$该假设可以如文献[23-24]通过逼近的标准方法移除.

假设$\left | \nabla u \right |^{r} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega )\subset L_{loc}^{\phi}(\Omega)$.根据引理$2.1(3)$, 有

估计$J_1$.

下面考虑$\lambda_{*}^{r}$.利用$(3.7)$式中$\lambda_{0}$的定义和定理$4.1$得到

其中$C = C(n, r, \varepsilon).$最后利用(5.2)和(2.3)式, 上述不等式及Jensen不等式可得

其中$C = C(n, r, \phi, \varepsilon, C_1, C_2, N_0).$

估计$J_2$.由$(5.1)$式可得

现在考虑上面不等式右边最后一个积分的被积函数.

对任意的$\lambda \geq \lambda _{*} = (10/R_0)^{n/r}\lambda _{0}+1$, 利用推论4.1, 4.2以及引理$3.2$中的$(3.13)$式, 可得

其中$C = C(n, r, N_0).$即可知球$B_{\rho_i}{(x_i)}$不相交及对于任意的$\lambda \geq \lambda _{*} = (10/R_0)^{n/r}\lambda _{0}+1$, 有

然后对上述不等式在$i\in N$上求和, 可得到

然后将$(5.8)$式代入$(5.5)$式, 并令$\mu = \lambda ^{r}$可得

回顾引理$2.1(4)$有

其中$C_4 = C(n, r, \phi, N_0), C_5 = C(n, r, \phi, \varepsilon , N_0, C_1, C_2, C_3).$

综合估计$J_1$和$J_2$可得出

其中$C_6 = C(n, r, \phi, \varepsilon , C_1, C_2, C_3, N_0), C_7 = C(n, r, \phi, \varepsilon , C_1, C_2, N_0).$选取合适的$\varepsilon$使得

通过迭代覆盖(参见文献[20, 第三章, 引理2.1])将上面不等式右边第一个积分吸收, 可得到

故通过基本缩放论证, 定理$1.1$得证.

条件$\left | \nabla u \right |^{r} \in L_{loc}^{\infty }(\Omega )\subset L_{loc}^{\phi}(\Omega)$可以采用逼近的标准方法移除.

根据文献[23], 因为$\textbf{f}^{r}\in L_{loc}^{\phi}(\Omega),$即有

考虑Dirichlet问题

对所有$k = 1, 2, 3, \cdot\cdot\cdot$, 存在唯一解$u_{k} \in W^{1, r}(B_{2R})$.由$u_{k}$的梯度的正则性理论知, $\nabla u_{k} \in L^{\infty}(B_{2R}).$经过初步推断, 可得到当$k\rightarrow \infty$时

因此, 存在$\{u_{k}\}_{k = 1}^{\infty}$的子序列(由$\{u_{k}\}$表示), 使得

因此, 根据Fatou引理, (1.9), (5.14), (5.16)和$(5.17)$式可得

所以, 在附加假设$\nabla u$是局部有界时可证明定理$1.1.$只要在一般情况下证明$(1.9)$式, 即可通过标准覆盖论证得到$|\nabla u|^{r}\in L_{loc}^{\phi}(\Omega)$.