令$ {\mathbb S}^{n-1} = \{x \in {{\Bbb R}} ^{n}:|x| = 1\} $是$ {{\Bbb R}} ^{n}\, (n\geq2) $上的单位球面, $ {\rm d}\sigma $表示$ {\mathbb S}^{n-1} $上的Lebesgue测度.设$ {{\Bbb R}} ^{n}\times{\mathbb S}^{n-1} $上的零阶齐次函数$ \Omega(x, z') \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})(q\geq 1) $是指

(1.1) $ \begin{equation} \Omega(x, \lambda z) = \Omega(x, z)\quad \mbox{对每个 } x, z \in {{\Bbb R}} ^{n} \mbox{ 且 } \lambda>0, \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} \|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}: = \sup\limits_{x \in {{\Bbb R}} ^{n}}\bigg(\int_{{\mathbb S}^{n-1}}|\Omega(x, z')|^{q} {\rm d}\sigma(z')\bigg)^{1 / q}<\infty, \end{equation} $

其中$ z' = z /|z|, $且$ z \in {{\Bbb R}} ^{n} \backslash\{0\} . $

对于$ \varepsilon>0 $, 带变量核的截断奇异积分算子$ T_{\Omega, \, \varepsilon} $被定义为

(1.3) $ \begin{eqnarray} T_{\Omega, \varepsilon} f(x) = \int_{|x-y|>\varepsilon}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^n}f(y){\rm d}y, \end{eqnarray} $

其中$ \Omega\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{1}({\mathbb S}^{n-1}) $且满足消失条件

(1.4) $ \begin{equation} \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \Omega(x, y') {\rm d}\sigma(y^{\prime}) = 0, \end{equation} $

则对于$ f\in C^\infty_0({{\Bbb R}} ^n) $, 带变量核奇异积分算子$ T_\Omega $定义为

(1.5) $ \begin{equation} T_\Omega f(x) = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}T_{\Omega, \, \varepsilon} f(x), \ a.e. \ x\in{{\Bbb R}} ^n. \end{equation} $

关于变量核奇异积分算子的早期工作要追溯到1955年.当$ \Omega $满足(1.4)式和$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})\, (q>2(n-1) / n) $时, Calderón和Zygmund (见文献[3])得到了$ T_\Omega $是在$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $上有界的.同时, 他们也指出了$ q>2(n-1) / n $是最优的条件.

众所周知, 奇异积分算子族的几乎处处收敛性问题往往归结为相关的极大奇异积分算子的有界性问题.在1980年, Aguilera和Harboure (见文献[1])得到了极大奇异积分算子$ T_\Omega^{\ast} = \sup\limits_{\varepsilon>0}|T_{\Omega, \, \varepsilon} f(x)| $的$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界性, 其中$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})(q>4(n-1) /(2 n-1)) $且满足(1.4)式.在$ 1985 $年, Cowling和Mauceri (见文献[11])通过使用$ \Omega $的球面调和展开的方法证明了当$ q>2(n-1) / n $时, 上面结论仍然成立.利用旋转和混合范数估计的方法, Christ, Duoandikoetxea和Rubio de Francia (见文献[8])得到了相同的结果.回顾如下:

定理A^{[8, 11]}  当$ q>2(n-1) / n $时, 如果$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1}) $且满足(1.4)式, 则$ T_\Omega^{*} $是$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $上的有界算子.

令$ {\cal T}_\Omega $表示算子族$ \{T_{\Omega, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $.众所周知, $ {\cal T}_\Omega $的变差不等式在学习带变量核奇异积分算子簇的几乎处处收敛性问题中也起到了至关重要的作用.受到定理A的启发, 一个有趣的问题是, $ {\cal T}_\Omega $的变差是否也能得到相同的结果.该文首先对这个问题做出了一个肯定的回答, 并建立了带粗糙核$ {\cal T}_\Omega $的变差函数是$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界的.

在介绍该文的主要结果之前, 首先回顾一下变差算子的定义. 1976年, Lépingle^[20]关于一般鞅序列得到了第一个变差不等式.十多年后, Pisier和Xu (见文献[27])给出了Lépingle结果的一个简单证明, 而Bourgain^[2]利用Lépingle结果得到了遍历平均的变差不等式, 极大地改进了经典的Dunford-Schwartz极大遍历不等式的结果.从那时起, 大多数有关变差算子的工作在调和分析和遍历理论中出现(可参看文献[7, 9-10, 12, 16-17, 19, 22-25, 30]).

令$ \rho\geq1 $, 并且$ {\mathfrak{a}} = \{a_{t}:t>0\} $是一个复数族, 复数族$ {\mathfrak{a}} $的$ \rho $ -变差范数定义为

$ \|{\mathfrak{a}}\|_{V_{\rho}} = \sup\bigg(\sum\limits_{k\geq1}|a_{t_{k}}-a_{t_{k-1}}|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}, $

这里的上确界取遍所有递增的正数序列$ \{t_k:k\geq1\} $.显然, 对于某个固定$ t_0 $, 有

(1.6) $ \begin{equation} \|{\mathfrak{a}}\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} )}: = \sup\limits_{t \in {{\Bbb R}} }|a_{t}| \leq\|{\mathfrak{a}}\|_{V_{\rho}}+|a_{t_{0}}| \quad \rho \geq 1. \end{equation} $

令$ {\cal F} = \{F_{t}\}_{ t>0} $是定义在$ {{\Bbb R}} ^{n} $上的Lebesgue可测函数族.通过复数族的$ \rho $ -变差范数的定义, 可以定义函数族$ {\cal F} $的强$ \rho $ -变差函数$ V_{\rho}({\cal F}) $.固定$ x\in{{\Bbb R}} ^{n} $, 函数族$ {\cal F} $在$ x $处的强$ \rho $ -变差函数$ V_{\rho}({\cal F}) $定义为

$ V_{\rho}({\cal F})(x) = \|\{F_{t}(x)\}_{t>0}\|_{V_{\rho}}\quad \rho\geq1. $

类似地, 可以定义如下的强$ \rho $ -变差算子

$ V_{\rho}({\cal A}f)(x) = \|\{{A}_{t}(f)(x)\}_{t>0}\|_{V_{\rho}} \quad \rho\geq1, $

其中$ {\cal A} = \{A_{t}\}_{t>0} $是$ L^{p}({{\Bbb R}} ^{n})\, (1\leq p\leq\infty) $上的算子族.

注意对于任意的$ f\in L^{p}({{\Bbb R}} ^{n}) $和$ x\in{{\Bbb R}} ^{n} $ (见文献[7]或[12]), 有下面的逐点估计

(1.7) $ \begin{equation} A^{\ast}f(x)\leq V_{\rho}({\cal A}f)(x)\quad \rho\geq1, \end{equation} $

其中$ A^{\ast} $是定义为$ A^{\ast}f(x) = \sup\limits_{t>0}|{A}_{t}(f)(x)| $的极大算子.

当$ \Omega(x, z') = \Omega(z') $且维数为$ n = 1 $的齐次核奇异积分算子$ T_\Omega $是著名的Hilbert变换$ H $.在2000年, Campbell^[9]等人首先考虑了截断Hilbert变换族$ {\cal H}: = \{H_\varepsilon\}_{\varepsilon>0} $的强$ \rho $ -变差算子$ (\rho>2) $是$ L^p({{\Bbb R}} )\, (1<p<\infty) $有界的.在2002年, Campbell^[10]等人也给出了$ {\cal T}_\Omega $的强$ \rho $ -变差算子$ (\rho>2) $是$ L^p({{\Bbb R}} ^n) $有界的, 其中$ \Omega(x, z') = \Omega(z') \in L\log^+ L({\Bbb S}^{n-1}) $且满足(1.4)式.

该文可以得到的第一个结果如下

定理1.1  令$ {\cal T}_\Omega = \{T_{\Omega, \, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $是由(1.3)式给出的带变量核的截断算子族.假设对于$ q>2(n-1) / n $, $ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1}) $且满足(1.4)式.则存在一个常数$ C > 0 $使得

(1.8) $ \begin{eqnarray} \|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f)\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} \end{eqnarray} $

对所有的$ \rho>2 $成立.

注1.1  通过类似于文献[3]的证明, 在定理1.1中的条件$ q>2(n-1) / n $是最优的.从不等式(1.7)式, 不难发现, 定理1.1是定理A的改进和推广的结果.

关于(1.8)式的证明, 我们可以从文献[17]中获得一些想法.也就是说, 我们将分别证明长变差和短变差来得到所需要的估计(相关概念见第2节).但是, 因为需要处理的是粗糙变量核, 所以有一些细节是不同的.该文将使用核函数的球面调和展开和傅里叶变换来分别估计长变差和短变差算子.

值得注意的是在定理1.1的条件下, 核函数$ \Omega $没有任何的光滑性.因此, 如果在$ \Omega(x, z) $的第二个变量中加强其光滑性假设, 则可以得到带光滑变量核奇异积分算子的加权$ \rho $ -变差不等式$ (\rho>2) $.

加权不等式理论在调和分析中有着广泛的应用(可参看文献[7, 14-15, 22-23, 31]).近年来, 加权变差不等式在遍历理论和调和分析中也得到了广泛的关注.最近Calderón-Zygmund算子的加权变差不等式已经在文献[22]和[23]中被证明.并且陈^[7]等建立了卷积核粗糙算子的加权变差不等式.回顾$ A_{p} $权的定义.令$ w $是定义在$ {{\Bbb R}} ^{n} $上的非负局部可积函数.对于$ 1<p<\infty $, 如果存在常数$ C>0 $使得对每个方体$ Q $

$ \sup\limits_{Q}\bigg(\frac{1}{|Q|} \int_{Q} w(x) {\rm d}x\bigg)\bigg(\frac{1}{|Q|} \int_{Q} w(x)^{1-p'} {\rm d}x\bigg)^{p-1} \leq C, $

其中$ p' $是$ p $的共轭指数, 则称$ w \in A_{p} $

现在, 将介绍该文的第二个结果.

定理1.2  令$ 1<p<\infty $, $ w\in A_p $且$ {\cal T}_\Omega = \{T_{\Omega, \, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $是由(1.3)式给出的带变量核的截断算子族.假设$ \Omega $满足(1.1)式, (1.4)式和

(1.9) $ \begin{eqnarray} \max\limits_{|j|\le 2n}\| (\partial^j/\partial y^j)\Omega(x, y)\|_{L^\infty({\Bbb R}^n\times {\mathbb S}^{n-1})}<\infty, \end{eqnarray} $

则对所有的$ \rho>2 $, 存在一个常数$ C > 0 $使得

(1.10) $ \begin{eqnarray} \|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f)\|_{L^{p}(w)}\leq C\|f\|_{L^{p}(w)}. \end{eqnarray} $

设$ 1<p<\infty $, $ \gamma \in(0, n) $, Morrey空间$ L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) $定义为

$ L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) = \{f \in L_{loc}^{p}({{\Bbb R}} ^{n}):\|f\|_{L^{p, \gamma}}<\infty\}, $

其中

$ \|f\|_{L^{p, \gamma}} = \bigg(\sup\limits_{x \in {{\Bbb R}} ^{n}, r>0} \frac{1}{r^{\gamma}} \int_{Q(x, r)}|f(y)|^{p} {\rm d}y\bigg)^{1 / p}, $

$ Q(x, r) $代表半径为$ r $, 圆心为$ x $的任意方体.当$ \gamma = 0 $时, $ L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) $与Lebesgue空间$ L^{p}({{\Bbb R}} ^{n}) $一致.

Morrey空间$ L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) $是Morrey在1938年研究二阶椭圆型偏微分方程解的局部性质时所引进的(见文献[21]).对于Morrey空间的性质和应用, 读者可以参看文献[26, 28-29].

容易发现定理1.2的结果可以推广到Morrey空间上.即, 该文可以得到带光滑变量核奇异积分算子的强$ \rho $ -变差函数$ (\rho>2) $在Morrey空间$ L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) $上的有界性.

定理1.3  令$ 1<p<\infty $, $ \gamma\in (0, n) $, 且$ {\cal T}_\Omega = \{T_{\Omega, \, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $是由(1.3)式给出的带变量核的截断算子族.假设$ \Omega $满足(1.1), (1.4)和(1.9)式, 则对所有的$ \rho>2 $, 存在一个常数$ C >0 $使得

(1.11) $ \begin{equation} \|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f)\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{equation} $

我们可以将上述的变差结果应用到$ \lambda $ -跳跃函数的估计.给定一个定义在$ {{\Bbb R}} ^{n} $上的Lebesgue可测函数$ {\cal F} = \{F_{t}\}_{ t>0} $, 令$ \lambda> 0 $和$ x \in {{\Bbb R}} ^{n} $, 在$ x $点的$ \lambda $ -跳跃函数$ N_{\lambda}({\cal F}) $被定义为

$ N_{\lambda}({\cal F})(x) = \sup\{J\in{\mathbb N} : \exists \; 0<s_{1} < t_{1}\leq s_{2} < t_{2} \leq \cdot\cdot\cdot \leq s_{J}< t_{J}\; \mbox{s.t.}\; |F_{t_{k}}(x)-F_{s_{k}}(x)| > \lambda\}. $

在文献[17]中, Jones等人得到当$ \lambda>0 $且$ \rho \geq 1 $时, 有

(1.12) $ \begin{equation} \lambda(N_{\lambda}({\cal F})(x))^{1 / \rho} \leq C V_{\rho}({\cal F})(x). \end{equation} $

因此, 通过(1.12)式, 定理1.1, 定理1.2和定理1.3, 我们立即得到下面的跳跃估计.

推论1.1  与定理1.1的条件一样.令$ \rho>2 $, 存在一个常数$ C > 0 $使得

$ \sup\limits_{\lambda>0}\|\lambda(N_{\lambda}({\cal T}_{\Omega}f))^{\frac{1}{\rho}}\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. $

推论1.2  与定理1.2的条件一样.令$ 1<p<\infty $, $ w\in A_p $且$ \rho>2 $, 下面$ \lambda $ -跳跃不等式成立

$ \sup\limits_{\lambda>0}\|\lambda(N_{\lambda}({\cal T}_{\Omega}f))^{\frac{1}{\rho}}\|_{L^{p}(w)}\leq C\|f\|_{L^{p}(w)}. $

推论1.3  令$ 1<p<\infty $且$ \gamma\in (0, n) $.与定理1.3的条件一样, 对于$ \rho>2 $有

$ \sup\limits_{\lambda>0}\|\lambda(N_{\lambda}({\cal T}_{\Omega}f))^{\frac{1}{\rho}}\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}. $

本文的提纲如下.在第2节中, 该文建立了定理1.1的证明.第3节讨论了定理1.2的证明.在第4节中, 该文建立了定理1.3的证明.在该文中, 字母$ C $表示一个正常数, 它是独立的基本变量, 在每次出现时可能不一样.

在证明定理1.1之前, 将引入一些概念和引理.假设$ m\in{\mathbb N} $.定义$ {\cal H}_{m} $为$ {\mathbb S}^{n-1} $上的$ m $阶的球面调和函数空间并且是一个有限维的向量空间, $ {\rm dim} {\cal H}_{m} = D_{m}. $令$ \{Y_{m, j}\}_{j = 1}^{D_{m}} $为$ {\cal H}_{m} $上的标准正交基且(见文献[5])

(2.1) $ \bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\sim m^{(n-2)/2}\quad\hbox{对任意}\; \xi\neq0. $

引理2.1^[6]  对$ 0<\beta<1 $, $ \ell\in{\mathbb Z} $, $ m \in {\mathbb N} $.令

$ v_{\ell, m, j}(x) = \frac{Y_{m, j}(x')}{|x|^{n}}\chi_{\{2^{\ell}< |x|\leq2^{\ell+1}\}}(x), $

则对$ m\geq1 $, 有

(2.2) $ \begin{equation} |\widehat{v_{\ell, m, j}}(\xi)|\leq C m^{-\varrho-1+\beta / 2}\min\{|2^{\ell} \xi|, |2^{\ell} \xi|^{-\beta / 2}\}|Y_{m, j}(\xi^{\prime})|, \end{equation} $

其中$ \varrho = (n-2)/2 $, $ \xi' = \xi/|\xi| $.

下面证明定理1.1.为了证明定理1.1, 需要使用下面逐点不等式(见文献[17, 引理1.3])

(2.3) $ \begin{eqnarray} V_{\rho}({\cal T}_\Omega f)(x)\leq C\Big(S_{2}({\cal T}_\Omega f)(x)+V_{\rho}(\{T_{\Omega, 2^{k}} f\}_{k\in{\mathbb Z}})(x)\Big), \end{eqnarray} $

其中

$ S_{2}({\cal T}_\Omega f)(x) = \bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}[V_{2, k}({\cal T}_\Omega f)(x)]^{2}\bigg)^{1/2}, $

$ V_{2, k}({\cal T}_\Omega f)(x) = \bigg(\sup\limits_{ t_1<\cdots<t_J\atop [t_l, t_{l+1}]\subset[2^k, 2^{k+1}]} \sum\limits_{l = 1}^{J-1}|T_{\Omega, t_{l+1}}f(x)-T_{\Omega, t_l}f(x)|^2\bigg)^{1/2}. $

因此, 只需证明

(2.4) $ \begin{equation} \Big\|V_{\rho}(\{T_{\Omega, 2^{k}} f\}_{k\in{\mathbb Z}})\Big\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} \end{equation} $

和

(2.5) $ \begin{equation} \|S_{2}({\cal T}_\Omega f)\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{equation} $

下面将分别估计(2.4)式和(2.5)式.

(2.4)式的证明.正如文献[5], 可以通过一个极限讨论将不等式(1.8)减少到$ f \in C_{0}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) $的情况, 并且

$ \Omega(x, z') = \sum\limits_{m \geq 0} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} a_{m, j}(x) Y_{m, j}(z') $

是一个有限核.注意$ \Omega(x, z') $满足消失性条件$ (1.4) $式, 因此对任意的$ 1\leq j\leq D_{m} $有$ a_{0, j} \equiv 0 $.定义

$ a_{m}(x) = \bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|a_{m, j}(x)|^{2}\bigg)^{1 / 2} $

和

$ b_{m, j}(x) = \frac{a_{m, j}(x)}{a_{m}(x)}, $

则

(2.6) $ \begin{equation} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}^{2}(x) = 1. \end{equation} $

令

$ T_{m, j}f(x) = {\rm p.v.}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\frac{Y_{m, j}(y')}{|y|^{n}}f(x-y){\rm d}y, $

和

$ T_{m, j, \varepsilon}f(x) = \int_{|y|>\varepsilon}\frac{Y_{m, j}(y')}{|y|^{n}}f(x-y){\rm d}y. $

由强$ \rho $ -变差算子的定义可以得出

$ V_{\rho}(\{T_{\Omega, 2^{k}} f\}_{k\in{\mathbb Z}})(x) = \sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|T_{\Omega, 2^{k_{l}}} f(x)-T_{\Omega, 2^{k_{l-1}}} f(x)\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}, $

其中上确界取遍所有的递增序列$ \{2^{k_{l}}:l\geq1\} $.则通过Minkowski不等式, 两次Hölder不等式和(2.6)式, 可得到对$ 0<\theta<1 $, 有

(2.7) $ \begin{eqnarray} &&\Big(V_{\rho}(\{T_{\Omega, 2^{k}} f\}_{k\in{\mathbb Z}})(x)\Big)^{2}\\ & = &\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|T_{\Omega, 2^{k_{l}}} f(x)-T_{\Omega, 2^{k_{l-1}}} f(x)\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{2}{\rho}}\\ &\leq & C\bigg\{\sum^{\infty}_{m = 1}a^{2}_{m}(x)m^{-\theta}\bigg\}\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg( \sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} \bigg| T_{m, j, 2^{k_{l}}} f(x)-T_{m, j, 2^{k_{l-1}}} f(x)\bigg|^{2}\bigg)^{\frac{\rho}{2}}\bigg)^{\frac{2}{\rho}}\\ &\leq & C\bigg\{\sum^{\infty}_{m = 1}a^{2}_{m}(x)m^{-\theta}\bigg\}\sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} \sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1} \bigg| T_{m, j, 2^{k_{l}}} f(x)-T_{m, j, 2^{k_{l-1}}} f(x)\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{2}{\rho}} \\ & = &C\bigg\{\sum^{\infty}_{m = 1}a^{2}_{m}(x)m^{-\theta}\bigg\} \bigg\{\sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} V^{2}_{\rho}(\{T_{m, j, 2^{k}}f\}_{k\in{\mathbb Z}})(x)\bigg\}. \end{eqnarray} $

由文献[5], 对$ q>2(n-1)/n $, 如果令$ 0<\theta<1 $并充分的接近1时, 有

(2.8) $ \begin{eqnarray} \bigg(\sum^{\infty}_{m = 1}a^{2}_{m}(x)m^{-\theta}\bigg)^{1/2}&\leq & C\bigg(\int_{{\mathbb S}^{n-1}}|\Omega(x, z')|^{q}\, {\rm d}\sigma(z')\bigg)^{1/q}\\ &\leq &C\|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}. \end{eqnarray} $

通过(2.7)式和(2.8)式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\Big\|V_{\rho}(\{T_{\Omega, 2^{k}} f\}_{k\in{\mathbb Z}})\Big\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq& C\|\Omega\|^{2}_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta}\bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} V^{2}_{\rho}(\{T_{m, j, 2^{k}}f\}_{k\in{\mathbb Z}})\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

显然, 如果可以证明对某个$ 0<\beta<1-\theta $使得

(2.9) $ \begin{eqnarray} \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} V^{2}_{\rho}(\{T_{m, j, 2^{k}}f\}_{k\in{\mathbb Z}})\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq Cm^{-1+\beta/2}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}, \end{eqnarray} $

则(2.4)式将被证明.明显地, 对于$ k\in{\mathbb Z} $, 有

$ \begin{eqnarray*} T_{m, j, 2^k}f(x)& = & \int_{|y|>2^k}\frac{Y_{m, j}(y')}{|y|^{n}}f(x-y){\rm d}y\\ & = &\sum\limits_{s\geq k}\int_{2^{s}< |y|\leq2^{s+1}}\frac{Y_{m, j}(y')}{|y|^{n}}f(x-y){\rm d}y\nonumber\\ & = &\sum\limits_{s\geq k}v_{s, m, j}\ast f(x), \end{eqnarray*} $

其中$ v_{s, m, j}(x) = Y_{m, j}(x')|x|^{-n}\chi_{\{2^{s}< |x|\leq2^{s+1}\}}(x) $.

令$ \phi(x) $是径向的Schwartz函数使其在$ |\xi|\leq2 $上$ {\hat{\phi}}(\xi) = 1 $, 在$ |\xi|>4 $上$ {\hat{\phi}}(\xi) = 0 $, 则有如下相似于文献[17]的分解

$ \begin{eqnarray*} T_{m, j, 2^k}f(x)& = &\phi_{k}\ast T_{m, j}f(x)+\sum\limits_{s\geq 0}(\delta_{0}-\phi_{k})\ast v_{k+s, m, j}\ast f(x)-\phi_{k}\ast\sum\limits_{s<0}v_{k+s, m, j}\ast f(x)\nonumber\\ & = &:T_{k}^{1} f(x)+T_{k}^{2} f(x)-T_{k}^{3} f(x), \nonumber \end{eqnarray*} $

其中$ \phi_{k}(x) = 2^{-kn}\phi(2^{-k}x) $且$ \widehat{\phi_{k}}(\xi) = \hat{\phi}(2^{k}\xi) $, $ \delta_{0} $是在$ 0 $处的Dirac测度.令$ {\cal T}_{m, j}^{i}f $表示族$ \{T_{k}^{i} f\}_{k\in{\mathbb Z}} $其中$ i = 1, 2, 3. $为了证明(2.9)式, 充分的去证明一下不等式

(2.10) $ \begin{eqnarray} \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{i}f)\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq Cm^{-1+\beta/2}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}, \; \; i = 1, 2, 3. \end{eqnarray} $

(2.10)式在$ i = 1 $处的估计.由文献[12, 引理2.7]和文献[3], 可得

$ \begin{eqnarray*} \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{1}f)\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} &\leq & C\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\big\| V_{\rho}({\cal T}_{m, j} ^{1}f)\big\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq &C\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\| T_{m, j}f\big\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq& C m^{-2}\|f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

(2.10)式在$ i = 2 $处的估计.由Minkowski不等式得到

$ \begin{eqnarray*} \bigg(\sum\limits_{j = 2}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{2}f)(x)\bigg)^{1/2} & = & \bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\bigg|\sum\limits_{s\geq0}[(\delta_{0}-\phi_{k})\ast v_{k+s, m, j}]\ast f(x)\bigg|^{2}\bigg)^{1/2}\\ &\leq &C\sum\limits_{s\geq0} \bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|(\delta_{0}-\phi_{k})\ast v_{k+s, m, j}\ast f(x)|^{2}\bigg)^{1/2}\\ & = &:C\sum\limits_{s\geq0}G_{s}f(x). _{} \end{eqnarray*} $

令$ \psi(\xi) = \psi(|\xi|)\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) $使得$ 0\leq\psi\leq1 $, $ \rm{supp}\psi\subset\{\xi:1/2\leq|\xi|\leq2\} $和在$ |\xi|\neq1 $上$ \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\psi^{2}(2^{-l}\xi) = 1 $.由$ \widehat{\Delta_{l}f}(\xi) = \psi(2^{-l}\xi)\hat{f}(\xi) $定义乘子$ \Delta_{l} $.则有

$ \begin{eqnarray*} G_{s}f(x)& = & \bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|(\delta_{0}-\phi_{k})\ast v_{k+s, m, j}\ast \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\Delta^{2}_{l-k}f(x)|^{2}\bigg)^{1/2} \\ &\leq &\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\bigg( \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|(\delta_{0}-\phi_{k})\ast v_{k+s, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k}f(x)|^{2}\bigg)^{1/2}\\ & = & :\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}G_{s}^{l}f(x). \end{eqnarray*} $

设$ l\in{\mathbb Z} $和$ s\geq0 $, 将去建立$ \|G_{s}^{l}f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} $的估计.因为

$ \hbox{supp}((1-\widehat{\phi_{k}})\widehat{v_{k+s, m, j}})\subset \{\xi:|2^{k}\xi|>1\}, $

通过引理2.1, 对$ 0<\beta<1 $和$ \varrho = \frac{n-2}{2} $, 有

(2.11) $ \begin{eqnarray} |(1-\widehat{\phi_{k}})(\xi)||\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)|\leq C m^{-1-\varrho+\beta/2}2^{-\beta s/2}\min\{|2^{k}\xi|^{-\beta/2}, |2^{k}\xi|\}|Y_{m, j}(\xi')|. \end{eqnarray} $

因为$ \rm{supp}\psi\subset\{\xi:1/2\leq|\xi|\leq2\} $, 那是很容易看出

(2.12) $ \begin{equation} |\psi(2^{k-l}\xi)||(1-\widehat{\phi_{k}})(\xi)||\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)| \leq C m^{-1-\varrho+\beta/2}2^{-\beta s/2}\min\{2^{-l\beta /2}, 2^{l}\}|Y_{m, j}(\xi')|. \end{equation} $

应用Plancherel定理, Littlewood-Paley理论和$ \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2}\sim m^{2\varrho} $, 可以得到对某个$ 0<\nu<1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|G_{s}^{l}f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}& = &\int_{{{\Bbb R}} ^{n}} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\psi^{2}(2^{k-l}\xi)|(1-\widehat{\phi_{k}})(\xi)|^{2}|\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)|^{2}|\widehat{\Delta_{l-k}f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\\ &\leq & Cm^{-2-2\varrho+\beta}2^{-\beta s}2^{-\beta\nu|l|}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2} \sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\widehat{\Delta_{l-k}f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\\ &\leq & Cm^{-2+\beta}2^{-\beta s}2^{-\beta\nu|l|} \|f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}, \end{eqnarray*} $

则有

$ \begin{eqnarray*} \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 2}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{2}f)\bigg)^{1/2}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}&\leq & Cm^{-1+\beta/2}\sum\limits_{s\geq0}\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}2^{-\beta s/2}2^{-\beta\nu|l|/2} \|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq & Cm^{-1+\beta/2}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

(2.10)式在$ i = 3 $处的估计.类似地, 有下面逐点分解

$ \begin{eqnarray*} \bigg(\sum\limits_{j = 2}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{3}f)(x)\bigg)^{1/2} &\leq & C\sum\limits_{s<0}\bigg(\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}} |\phi_{k}\ast v_{k+s, m, j}\ast f(x)|^{2}\bigg)^{1/2}\\ & = &: C\sum\limits_{s<0}H_{s}f(x). \end{eqnarray*} $

由Minkowski不等式和$ \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}} \Delta^{2}_{l}f = f $, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} H_{s}f(x)& = & \bigg( \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\bigg|\phi_{k}\ast v_{k+s, m, j}\ast \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\Delta^{2}_{l-k}f(x)\bigg|^{2}\bigg)^{1/2}\nonumber\\ &\leq & \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\bigg( \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\phi_{k}\ast v_{k+s, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k}f(x)|^{2}\bigg)^{1/2}\\ & = &: \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}H_{s}^{l}f(x). \end{eqnarray*} $

因此, 只需要考虑当$ l\in{\mathbb Z} $和$ s<0 $时, $ H_{s}^{l}f(x) $的$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界性.因为$ \hbox{supp}(\widehat{\phi_{k}}\widehat{v_{k+s, m, j}})\subset \{\xi:|2^{k}\xi|<1\} $, 通过引理2.1, 可以得到对$ 0<\beta<1 $和$ \varrho = \frac{n-2}{2} $,

$ \begin{eqnarray*} |\widehat{\phi_{k}}(\xi)||\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)|\leq C m^{-1-\varrho+\beta/2}2^{ s}\min\{|2^{k}\xi|^{-\beta/2}, |2^{k }\xi|\}|Y_{m, j}(\xi')|. \end{eqnarray*} $

因为$ \rm{supp}\psi\subset\{\xi:1/2\leq|\xi|\leq2\} $, 有

(2.13) $ \begin{eqnarray} |\psi(2^{k-l}\xi)||\widehat{\phi_{k}}(\xi)||\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)|\leq C m^{-1-\varrho+\beta/2}2^{s}\min\{2^{-\beta l/2}, 2^{l}\}|Y_{m, j}(\xi')|. \end{eqnarray} $

应用上面的估计, Littlewood-Paley理论和$ \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2}\sim m^{2\varrho} $, 可以得到对某个$ 0<\vartheta<1 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|H_{s}^{l}f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}& = &\int_{{{\Bbb R}} ^{n}} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\psi(2^{k-l}\xi)|^{2}|\widehat{\phi_{k}}(\xi)|^{2}|\widehat{v_{k+s, m, j}}(\xi)|^{2} |\widehat{\Delta_{l-k}f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\\ &\leq& Cm^{-2-2\varrho+\beta}2^{ 2s}2^{-\vartheta|l| }\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2} \sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\widehat{\Delta_{l-k}f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi\\ &\leq & Cm^{-2+\beta}2^{2 s}2^{-\vartheta|l|} \|f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

因此, 得到

$ \begin{eqnarray*} \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j = 2}^{D_{m}} V_{\rho}^{2}({\cal T}_{m, j} ^{3}f)\bigg)^{1/2}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} &\leq & Cm^{-1+\beta/2}\sum\limits_{s<0}\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}2^{ s}2^{-\vartheta|l|/2} \|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq & Cm^{-1+\beta/2}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

(2.5)式的证明.令$ t\in[1, 2) $, 首先定义$ v_{0, t, m, j} $为

$ \begin{eqnarray*} v_{0, t, m, j}(x) = \frac{Y_{m, j}(x')}{|x|^{n}}\chi_{\{t\leq|x|\leq2\}}(x) \end{eqnarray*} $

和$ v_{k, t, m, j}(x) = 2^{-k n}v_{0, t, m, j}(2^{-k}x) $其中$ k\in{\mathbb Z} $.很容易得到

$ V_{2, k}({\cal T}_\Omega f)(x) = \bigg\|\bigg\{\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast f(x)\bigg\}_{t\in[1, 2]}\bigg\|_{V_{2}}. $

由Minkowski不等式和$ \sum\limits_{l\in {\mathbb Z}}\Delta_l^2f = f $, 有

$ \begin{eqnarray*} S_{2}({\cal T}_\Omega f)(x)& = & \bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}[V_{2, k}({\cal T}_\Omega f)(x)]^{2}\bigg)^{1/2}\\ & = &\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\bigg\|\bigg\{\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast f(x)\bigg\}_{t\in[1, 2]}\bigg\|_{V_{2}}^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& \sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\bigg\|\bigg\{\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f(x)\bigg\}_{t\in[1, 2]}\bigg\|_{V_{2}}^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ & = & :\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}S_{2, l}({\cal T}_\Omega f)(x), \end{eqnarray*} $

则仅仅需要去估计当$ l\in{\mathbb Z} $时, $ S_{2, l}({\cal T}_\Omega f) $的$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界性.因为

$ \|{\mathfrak{a}}_{t}\|_{V_{2}}\leq C\|{\mathfrak{a}}_{t}\|_{L^{2}(X)}^{1/2}\|\frac{{\rm d}t}{t}{\mathfrak{a}}_{t}\|_{L^{2}(X)}^{1/2}, $

其中$ X = L^{2}([1, 2], \frac{{\rm d}t}{t}) $ (见文献[17]), 则

$ \begin{eqnarray*} [S_{2, \, l}({\cal T}_\Omega f)(x)]^{2}&\leq& C\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\bigg\|\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f(x)\bigg\|_{L^{2}_{t}([1, 2])}\\ &&\times\bigg\|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f(x)\bigg)\bigg\|_{L^{2}_{t}([1, 2])}. \end{eqnarray*} $

通过Cauchy-Schwarz不等式, 有

(2.14) $ \begin{eqnarray} &&\|S_{2, \, l}({\cal T}_\Omega f)\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq& C \bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\Big\|\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(\cdot) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(\cdot)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\Big\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ && \times \bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\Big\|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(\cdot) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(\cdot)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\bigg)\Big\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray} $

现在估计(2.14)式右边的第一项.利用两次Hölder不等式, (2.6)式和(2.8)式, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} & &\bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\Big\|\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(\cdot) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(\cdot)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\Big\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq & C\|\Omega\|^{2}_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\Big\|v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\Big\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

通过引理2.1, 得到对$ 0<\beta<1 $和$ \varrho = \frac{n-2}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} |\widehat{v_{k, t, m, j}}(\xi)|\leq m^{-\varrho-1+\beta / 2}\min\{|2^{k} \xi|, |2^{k} \xi|^{-\beta / 2}\}|Y_{m, j}(\xi^{\prime})|, \end{eqnarray*} $

在$ t\in[1, 2) $上一致的.因此, 通过Plancherel定理, Littlewood-Paley理论, $ \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2}\sim m^{2\varrho}, $并且令$ 0<\beta<1-\theta $, 可以得到对某个$ 0<\mu<1 $, 有

(2.15) $ \begin{eqnarray} && \bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\|v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ & = & \sum^{\infty}_{m = 1}m^{\theta} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\int_{1}^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|\psi(2^{k-l}\xi)|^{2}|\widehat{v_{k, t, m, j}}(\xi)|^{2}|\widehat{\Delta_{l-k} f}(\xi)|^{2}{\rm d}\xi \frac{{\rm d}t}{t}\\ &\leq & C\sum^{\infty}_{m = 1}m^{-2\varrho-2+\beta+\theta}2^{-\mu|l|}\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\widehat{\Delta_{l-k} f}(\xi)|^{2}\sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|Y_{m, j}(\xi')|^{2}{\rm d}\xi\\ &\leq& C2^{-\mu|l|}\|f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray} $

接下来去估计(2.14)式右边的第二项.通过球坐标变换, 和一个简单的计算可以得出

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x)v_{k, t, m, j}\ast h(x)\bigg)\\ & = & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[\int_{2^{k}t<|y|\leq 2^{k+1}}\frac{\Omega(x, y')}{|y|^{n}}h(x-y){\rm d}y\bigg]\\ & = & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg[\int_{{\mathbb S}^{n-1}}\Omega(x, y')\int_{2^{k}t}^{ 2^{k+1}}\frac{1}{r}h(x-r y'){\rm d}r {\rm d}\sigma(y')\bigg]\\ & = & -\frac{1}{t}\int_{{\mathbb S}^{n-1}}\Omega(x, y')h(x-2^{k}t y'){\rm d}\sigma(y'). \end{eqnarray*} $

注意$ t\in[1, 2) $, 通过Minkowski不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} & &\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\bigg|\frac{\rm d}{{\rm d } t}\bigg(\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(x) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(x) v_{k, t, m, j}\ast h(x)\bigg)\bigg|^{2} {\rm d}x\bigg)^{1 / 2}\\ & = &\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\bigg|\frac{1}{t} \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \Omega(x, y^{\prime}) h(x-2^{k} t y^{\prime}) {\rm d}\sigma(y^{\prime})\bigg|^{2} {\rm d}x\bigg)^{1 / 2}\\ &\leq& C \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \sup\limits_{x \in {{\Bbb R}} ^{n}}|\Omega(x, y^{\prime})|\bigg(\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|h(x-2^{k} t y^{\prime})|^{2} {\rm d} x\bigg)^{1 / 2} {\rm d}\sigma(y^{\prime}) \\ &\leq& C \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \sup\limits_{x \in {{\Bbb R}} ^{n}}|\Omega(x, y^{\prime})| {\rm d}\sigma(y^{\prime})\|h\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})} \\ &\leq& C\|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\|h\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}, \end{eqnarray*} $

则通过Littlewood-Paley理论知道

(2.16) $ \begin{eqnarray} & & \bigg\|\bigg(\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}\Big\|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\sum\limits_{m \geq 1} a_{m}(\cdot) \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} b_{m, j}(\cdot)v_{k, t, m, j}\ast \Delta^{2}_{l-k} f\bigg)\Big\|^{2}_{L^{2}_{t}([1, 2])}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}^2\\ &\leq& C\|\Omega\|^{2}_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\int_1^2\int_{{{\Bbb R}} ^{n}}\sum\limits_{k\in{\mathbb Z}}|\Delta^{2}_{l-k}f(x)|^{2}{\rm d}x\frac{{\rm d}t}{t}\\ &\leq & C\|\Omega\|^{2}_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\|f\|^{2}_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray} $

由(2.15)式和(2.16)式可以推出

(2.17) $ \begin{eqnarray} \|S_{2, \, l}({\cal T}_\Omega f)\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq C2^{-\mu|l|/4} \|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}, \end{eqnarray} $

则

$ \begin{eqnarray*} \|S_{2}({\cal T}_\Omega f)\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}&\leq & C\sum\limits_{l\in{\mathbb Z}}2^{-\mu|l|/4} \|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\\ &\leq & C\|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n})\times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

因此, 完成了定理1.1的证明.

为证明定理1.2, 首先引入一些$ \{Y_{m, j}(x')\}_{j = 1}^{D_{m}} $的性质.如参考文献[5]中所示, 有

(3.1) $ \begin{eqnarray} D_{m}\leq Cm^{n-2}, \quad m\geq1. \end{eqnarray} $

对任意的多重指标$ \alpha $ (见文献[4])

(3.2) $ \begin{equation} \sup\limits_{x' \in {\mathbb S}^{n-1}}|(\frac{\partial}{\partial x'})^{\alpha} Y_{m, j}(x')| \leqslant C m^{|\alpha|+(n-2) / 2}, \quad m = 1, 2, \cdots.\nonumber \end{equation} $

如果$ \varphi \in C^{\infty}({\mathbb S}^{n-1}) $那么$ \sum\limits_{m} \sum\limits_{j} a_{m, j} Y_{m, j}(x')\varphi(x') $是关于$ \{Y_{m, j}(x')\}_{m, j} $的Fourier级数展开, 其中

$ a_{m, j} = \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \varphi(y') Y_{m j}(y') {\rm d}\sigma(y'). $

由文献[4]知

(3.3) $ \begin{eqnarray} a_{m, j} = (-1)^{l} m^{-l}(m+n-2)^{-l} \int_{{\mathbb S}^{n-1}} L^{l}(\varphi) Y_{m, j}(x') {\rm d}\sigma(x'), \quad m \geq 1, \end{eqnarray} $

其中$ L(\varphi) = |x|^{2} \Delta \varphi(x) $和任意的正整数$ l $, $ L^{l+1}(\varphi) = L(L^{l}(\varphi)) $.特别地, $ \varphi $的球调和展开一致收敛于$ \varphi $.

现在去证明定理1.2.对$ x, y\in {{\Bbb R}} ^{n} $, 由(1.4)式知

$ \begin{eqnarray*} \Omega(x, z') = \sum\limits_{m \geq 0} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}} a_{m, j}(x) Y_{m, j}(z'), \end{eqnarray*} $

其中

$ a_{m, j}(x) = \int_{{\mathbb S}^{n-1}}\Omega(x, z')Y_{m, j}(z'){\rm d} z'. $

且对每个$ m\in \Bbb N $和$ j = 1, \dots, D_{m} $有$ a_{0, j}\equiv 0 $.根据(1.9)式和(3.3)式, 可以得到

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|a_{m, j}\|_{L^{\infty}} \leq C m^{-2 n}. \end{eqnarray} $

由强$ \rho $ -变差算子的定义, Minkowski不等式和(3.4)式可以得出

(3.5) $ \begin{eqnarray} V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f)(x) & = &\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|T_{\Omega, \varepsilon_{l}} f(x)-T_{\Omega, \varepsilon_{l-1}} f(x)\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}\\ & = &\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|\int_{|x-y|>\varepsilon_{l}}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n}}f(y){\rm d}y-\int_{|x-y|>\varepsilon_{l-1}}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n}}f(y){\rm d}y\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}\\ &\leq& C\sum\limits_{m \geq 1} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|a_{m, j}(x)|\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|\int_{|x-y|>\varepsilon_{l}}\frac{Y_{m, j}(x-y)}{|x-y|^{n}}f(y){\rm d}y\\ &&-\int_{|x-y|>\varepsilon_{l-1}}\frac{Y_{m, j}(x-y)}{|x-y|^{n}}f(y){\rm d}y\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}\\ & = &C\sum\limits_{m \geq 1} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}|a_{m, j}(x)|\sup\bigg(\sum\limits_{l\geq1}\bigg|T_{m, j, \varepsilon_{l}} f(x)-T_{m, j, \varepsilon_{l-1}} f(x)\bigg|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}\\ & = &:C\sum\limits_{m \geq 1} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}m^{-2 n}V_{\rho}({\cal T}_{m, j}f)(x), \end{eqnarray} $

其中上确界取遍所有的递增序列$ \{\varepsilon_{l}:l\geq1\} $并且$ {\cal T}_{m, j}: = \{T_{m, j, \, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $.

接下来, 只需去证明$ V_{\rho}({\cal T}_{m, j}f) $的加权有界性.可以发现

(1) 对于$ x\neq0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{|Y_{m, j}(x)|}{|x|^{n}}\leq Cm^{n/2}\frac{1}{|x|^{n}}; \end{eqnarray*} $

(2) 对于$ |y|>2|x|>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \bigg|\frac{|Y_{m, j}(x-y)|}{|x-y|^{n}}-\frac{|Y_{m, j}(-y)|}{|-y|^{n}}\bigg|\leq Cm^{n/2}\frac{|x|}{|y|^{n+1}}, \end{eqnarray*} $

这个基本不等式在参考文献[13]已被证明.

(3) 用证明定理1.1相同的方法可以得到

$ \begin{eqnarray*} \|V_{\rho}({\cal T}_{m, j}f)\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}\leq Cm^{n/2}\|f\|_{L^{2}({{\Bbb R}} ^{n})}. \end{eqnarray*} $

由上面三个估计和文献[23, 定理1.1], 易证当$ 1<p<\infty $且$ w\in A_{p} $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \|V_{\rho}({\cal T}_{m, j}f)\|_{L^{p}(w)}\leq Cm^{n/2}\|f\|_{L^{p}(w)}. \end{eqnarray*} $

因此, 通过上面估计, 以及(3.1)和(3.5)式, 对于$ 1<p<\infty $且$ w\in A_{p} $, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f)\|_{L^{p}(w)}&\leq &C\sum\limits_{m \geq 1} \sum\limits_{j = 1}^{D_{m}}m^{-2 n}\|V_{\rho}({\cal T}_{m, j}f)\|_{L^{p}(w)}\\ &\leq& C\sum\limits_{m \geq 1} m^{n-2}m^{-2 n}m^{n/2}\|f\|_{L^{p}(w)}\leq C\|f\|_{L^{p}(w)}. \end{eqnarray*} $

因此, 完成了定理1.2的证明.

这个定理证明的想法来源于参考文献[13].对于固定的$ t \in {{\Bbb R}} ^{n} $和$ r>0 $, 令$ B = B(t, r) $.对于$ f \in L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n}) $, 有

$ f(y) = f(y) \chi_{2 B}(y)+\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f(y) \chi_{2^{k+1} B \backslash 2^{k} B}(y) = :\sum\limits_{k = 0}^{\infty} f_{k}(y). $

当$ k = 0 $, 由(1.10)式和$ w(x) = 1 $, 可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{B}|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f_{0})(x)|^{p} {\rm d}x & \leq&\|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f_{0})\|_{L^{p}({{\Bbb R}} ^{n})}^{p} \leq \|f_{0}\|_{L^{p}({{\Bbb R}} ^{n})}^{p} \\ & = &C \int_{2B}|f(y)|^{p} {\rm d}x \leq C(2 r)^{\gamma}\|f\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}^{p}. \end{eqnarray*} $

当$ k>0 $, 注意当$ x \in 2^{k+1} B \backslash 2^{k} B $时, $ M(\chi_{B})(x) \sim 2^{-k n} $.令$ \eta \in(\gamma / n, 1) $, 知道$ (M \chi_{B})^{\eta} \in A_{1} \subset A_{p} $其中$ A_{1} $的常数仅仅取决于$ \gamma $和$ n $.对于$ k>0 $, 由(1.10)式, 令$ 1<p<\infty $和$ \gamma\in (0, n) $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{B}|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f_{k})(x)|^{p} {\rm d}x & = &\int_{{{\Bbb R}} ^{n}} |V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f_{k})(x)|^{p}(\chi_{B}(x))^{\eta} {\rm d}x \\ & \leq & \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|V_{\rho}({\cal T}_{\Omega}f_{k})(x)|^{p}(M \chi_{B}(x))^{\eta} {\rm d}x \\ & \leq& C \int_{{{\Bbb R}} ^{n}}|f_{k}(x)|^{p}(M \chi_{B}(x))^{\eta} {\rm d}x \\ & \leq& C 2^{-k n \eta} \int_{2^{k+1} B}|f_{k}(x)|^{p} {\rm d}x \\ & \leq& C 2^{-k n(\eta-\gamma / n)} 2^{-k \gamma} \int_{2^{k+1} B}|f_{k}(x)|^{p} {\rm d}x \\ & \leq& C 2^{-kn(\eta-\gamma / n)} r^{\gamma}\|f\|_{L^{p, \gamma}({{\Bbb R}} ^{n})}^{p}. \end{eqnarray*} $

应用上面估计和Minkowski不等式, 可以得到(1.11)式.因此, 完成了定理1.3的证明.