令$ {\mathbb S}^{n-1} = \{x \in {{\Bbb R}} ^{n}:|x| = 1\} $是$ {{\Bbb R}} ^{n}\, (n\geq2) $上的单位球面, $ {\rm d}\sigma $表示$ {\mathbb S}^{n-1} $上的Lebesgue测度.设$ {{\Bbb R}} ^{n}\times{\mathbb S}^{n-1} $上的零阶齐次函数$ \Omega(x, z') \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})(q\geq 1) $是指

(1.1) $ \begin{equation} \Omega(x, \lambda z) = \Omega(x, z)\quad \mbox{对每个 } x, z \in {{\Bbb R}} ^{n} \mbox{ 且 } \lambda>0, \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} \|\Omega\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})}: = \sup\limits_{x \in {{\Bbb R}} ^{n}}\bigg(\int_{{\mathbb S}^{n-1}}|\Omega(x, z')|^{q} {\rm d}\sigma(z')\bigg)^{1 / q}<\infty, \end{equation} $

其中$ z' = z /|z|, $且$ z \in {{\Bbb R}} ^{n} \backslash\{0\} . $

对于$ \varepsilon>0 $, 带变量核的截断奇异积分算子$ T_{\Omega, \, \varepsilon} $被定义为

(1.3) $ \begin{eqnarray} T_{\Omega, \varepsilon} f(x) = \int_{|x-y|>\varepsilon}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^n}f(y){\rm d}y, \end{eqnarray} $

其中$ \Omega\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{1}({\mathbb S}^{n-1}) $且满足消失条件

(1.4) $ \begin{equation} \int_{{\mathbb S}^{n-1}} \Omega(x, y') {\rm d}\sigma(y^{\prime}) = 0, \end{equation} $

则对于$ f\in C^\infty_0({{\Bbb R}} ^n) $, 带变量核奇异积分算子$ T_\Omega $定义为

(1.5) $ \begin{equation} T_\Omega f(x) = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^+}T_{\Omega, \, \varepsilon} f(x), \ a.e. \ x\in{{\Bbb R}} ^n. \end{equation} $

关于变量核奇异积分算子的早期工作要追溯到1955年.当$ \Omega $满足(1.4)式和$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})\, (q>2(n-1) / n) $时, Calderón和Zygmund (见文献[3])得到了$ T_\Omega $是在$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $上有界的.同时, 他们也指出了$ q>2(n-1) / n $是最优的条件.

众所周知, 奇异积分算子族的几乎处处收敛性问题往往归结为相关的极大奇异积分算子的有界性问题.在1980年, Aguilera和Harboure (见文献[1])得到了极大奇异积分算子$ T_\Omega^{\ast} = \sup\limits_{\varepsilon>0}|T_{\Omega, \, \varepsilon} f(x)| $的$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界性, 其中$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1})(q>4(n-1) /(2 n-1)) $且满足(1.4)式.在$ 1985 $年, Cowling和Mauceri (见文献[11])通过使用$ \Omega $的球面调和展开的方法证明了当$ q>2(n-1) / n $时, 上面结论仍然成立.利用旋转和混合范数估计的方法, Christ, Duoandikoetxea和Rubio de Francia (见文献[8])得到了相同的结果.回顾如下:

定理A^{[8, 11]}  当$ q>2(n-1) / n $时, 如果$ \Omega \in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{n}) \times L^{q}({\mathbb S}^{n-1}) $且满足(1.4)式, 则$ T_\Omega^{*} $是$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $上的有界算子.

令$ {\cal T}_\Omega $表示算子族$ \{T_{\Omega, \varepsilon}\}_{\varepsilon>0} $.众所周知, $ {\cal T}_\Omega $的变差不等式在学习带变量核奇异积分算子簇的几乎处处收敛性问题中也起到了至关重要的作用.受到定理A的启发, 一个有趣的问题是, $ {\cal T}_\Omega $的变差是否也能得到相同的结果.该文首先对这个问题做出了一个肯定的回答, 并建立了带粗糙核$ {\cal T}_\Omega $的变差函数是$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{n}) $有界的.

在介绍该文的主要结果之前, 首先回顾一下变差算子的定义. 1976年, Lépingle^[20]关于一般鞅序列得到了第一个变差不等式.十多年后, Pisier和Xu (见文献[27])给出了Lépingle结果的一个简单证明, 而Bourgain^[2]利用Lépingle结果得到了遍历平均的变差不等式, 极大地改进了经典的Dunford-Schwartz极大遍历不等式的结果.从那时起, 大多数有关变差算子的工作在调和分析和遍历理论中出现(可参看文献[7, 9-10, 12, 16-17, 19, 22-25, 30]).

令$ \rho\geq1 $, 并且$ {\mathfrak{a}} = \{a_{t}:t>0\} $是一个复数族, 复数族$ {\mathfrak{a}} $的$ \rho $ -变差范数定义为

$ \|{\mathfrak{a}}\|_{V_{\rho}} = \sup\bigg(\sum\limits_{k\geq1}|a_{t_{k}}-a_{t_{k-1}}|^{\rho}\bigg)^{\frac{1}{\rho}}, $

这里的上确界取遍所有递增的正数序列$ \{t_k:k\geq1\} $.显然, 对于某个固定$ t_0 $, 有

(1.6) $ \begin{equation} \|{\mathfrak{a}}\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} )}: = \sup\limits_{t \in {{\Bbb R}} }|a_{t}| \leq\|{\mathfrak{a}}\|_{V_{\rho}}+|a_{t_{0}}| \quad \rho \geq 1. \end{equation} $

令$ {\cal F} = \{F_{t}\}_{ t>0} $是定义在$ {{\Bbb R}} ^{n} $上的Lebesgue可测函数族.通过复数族的$ \rho $ -变差范数的定义, 可以定义函数族$ {\cal F} $的强$ \rho $ -变差函数$ V_{\rho}({\cal F}) $.固定$ x\in{{\Bbb R}} ^{n} $, 函数族$ {\cal F} $